نسبة وظيفتين تساوي نسبة المشتقات. مشتق وظيفي. المعنى الهندسي للمشتق. مشتق من الدالة الأسية

من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتقات وطرق حسابها. يعتبر المشتق من أهم مفاهيم التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه الفيزيائي والهندسي ، كيف نحسب مشتق دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) ، في بعض الفترات (أ ، ب) . النقطتان x و x0 تنتمي إلى هذه الفترة. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - اختلاف قيمها x-x0 . هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:

مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

وإلا يمكن كتابتها على النحو التالي:

ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ لكن اي واحدة:

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى الماديالمشتق: المشتق الزمني للمسار يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع ، منذ أيام الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر . متوسط السرعةلبعض الوقت:

لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: أخرج الثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، كقاعدة عامة - إذا كنت تستطيع تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .

مثال. دعنا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف

مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق فرق الوظائف.

لن نعطي دليلًا على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.

أوجد مشتق دالة:

القاعدة الثالثة: مشتق حاصل ضرب التوابع

يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: أوجد مشتق دالة:

المحلول:

من المهم هنا أن نقول عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي منتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

في المثال أعلاه ، نواجه التعبير:

في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نأخذ أولاً في الاعتبار مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالحجة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة نفسها فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتق حاصل قسمة وظيفتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:

حاولنا الحديث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

مع أي سؤال حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب الضوابط والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تتعامل مع حساب المشتقات من قبل.

فيما يلي جدول ملخص للراحة والوضوح عند دراسة الموضوع.

مستمرص = ج

دالة الطاقة y = x p

(س ع) "= ص س ص - 1

دالة أسيةص = س

(أ س) "= أ س ل ن أ

على وجه الخصوص ، متىأ = هـلدينا ص = ه س

(هـ) "= هـ س

دالة لوغاريتمية

(log a x) "= 1 x ln a

على وجه الخصوص ، متىأ = هـلدينا ص = تسجيل س

(ln x) "= 1 x

الدوال المثلثية

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

الدوال المثلثية العكسية

(a r c sin x) "= 1 1 - x 2 (a r c cos x)" = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) "= 1 1 + x 2 (a r c c t g x)" = - 1 1 + x 2

الدوال الزائدية

(s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

دعونا نحلل كيف تم الحصول على صيغ الجدول المحدد ، أو بعبارة أخرى ، سنثبت اشتقاق الصيغ للمشتقات لكل نوع من الوظائف.

مشتق ثابت

إثبات 1

من أجل إخراج هذه الصيغة، نأخذ تعريف مشتق دالة عند نقطة ما كأساس. نستخدم x 0 = x حيث xيأخذ قيمة أي رقم حقيقي ، أو بعبارة أخرى ، xهو أي رقم من مجال الوظيفة f (x) = C. لنكتب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة كـ ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

يرجى ملاحظة أن التعبير 0 ∆ x يقع تحت علامة النهاية. لا يتعلق الأمر بارتياب "صفر مقسومًا على صفر" ، لأن البسط لا يحتوي على قيمة متناهية الصغر ، ولكنه يحتوي على صفر. بمعنى آخر ، زيادة دالة ثابتة تساوي دائمًا صفرًا.

إذن ، مشتق الدالة الثابتة f (x) = C يساوي صفرًا في مجال التعريف بأكمله.

مثال 1

إعطاء وظائف ثابتة:

و 1 (س) = 3 ، و 2 (س) = أ ، أ ∈ ص ، و 3 (س) = 4. 13 7 22 ، و 4 (س) = 0 ، و 5 (س) = - 8 7

المحلول

دعونا نصف الظروف المعطاة. في الدالة الأولى نرى مشتق العدد الطبيعي 3. في المثال التالي ، عليك أن تأخذ مشتق لكن، أين لكن- أي رقم حقيقي. المثال الثالث يعطينا مشتق العدد غير النسبي 4. 13 7 22، الرابع - مشتق الصفر (صفر عدد صحيح). أخيرًا ، في الحالة الخامسة لدينا المشتق جزء منطقي - 8 7 .

إجابه:المشتقات ضبط الوظائفهو صفر لأي حقيقي x(على كامل مجال التعريف)

f 1 "(x) = (3)" = 0، f 2 "(x) = (a)" = 0، a ∈ R، f 3 "(x) = 4. 13 7 22" = 0، f 4 "(س) = 0" = 0 ، و 5 "(س) = - 8 7" = 0

مشتق دالة القدرة

هيا بنا نمضي قدما ل وظيفة الطاقةوصيغة مشتقها ، والتي لها الشكل: (x p) "= p x p - 1 ، حيث الأس صهو أي رقم حقيقي.

إثبات 2

نقدم إثبات الصيغة عندما يكون الأس عدد طبيعي: ص = 1 ، 2 ، 3 ، ...

مرة أخرى ، نعتمد على تعريف المشتق. لنكتب حد نسبة زيادة دالة القوة إلى زيادة الوسيطة:

(x p) "= lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

لتبسيط التعبير في البسط ، نستخدم صيغة نيوتن ذات الحدين:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + + C pp - 1 x (∆ x) p - 1 + C pp (x) p - xp = = C p 1 xp - 1 ∆ x + C p 2 xp - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

في هذا الطريق:

(xp) "= lim ∆ x → 0 ∆ (xp) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - xp ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 xp - 1 ∆ x + C p 2 xp - 2 (∆ x) 2 +. + C pp - 1 x (∆ x) p - 1 + C pp (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 xp - 1 + C p 2 xp - 2 x +. + C pp - 1 x (∆ x) p - 2 + C pp (x) p - 1) = = C p 1 xp - 1 + 0 + 0 +.. + 0 = p! 1! (ص - 1)! xp - 1 = p xp - 1

لذلك ، أثبتنا صيغة مشتقة دالة أس عندما يكون الأس عددًا طبيعيًا.

إثبات 3

لإثبات القضية متى ص-أي رقم حقيقي غير الصفر ، نستخدم المشتق اللوغاريتمي (هنا يجب أن نفهم الفرق من مشتق الدالة اللوغاريتمية). للحصول على فهم أكثر اكتمالاً ، من المستحسن دراسة مشتق الوظيفة اللوغاريتمية والتعامل بالإضافة إلى ذلك مع مشتق دالة معينة ضمنيًا ومشتق دالة معقدة.

النظر في حالتين: متى xإيجابية ومتى xسلبية.

لذا x> 0. ثم: x p> 0. نأخذ لوغاريتم المساواة y \ u003d x p إلى القاعدة e ونطبق خاصية اللوغاريتم:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

في هذه المرحلة ، تم الحصول على وظيفة محددة ضمنيًا. دعنا نحدد مشتقها:

(ln y) "= (p ln x) 1 y y" = p 1 x ⇒ y "= p y x = p x p x = p x p - 1

الآن نحن ننظر في القضية متى س-رقم سالب.

إذا كان المؤشر صتأكل رقم زوجي، ثم يتم تعريف دالة الطاقة أيضًا لـ x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

ثم إكس بي< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

إذا صهو رقم فردي ، ثم يتم تعريف دالة الطاقة لـ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \ u003d (- (- x) p)" \ u003d - ((- x) p) "\ u003d - p (- x) p - 1 (- x)" = \ u003d p (- x) ) ص - 1 = ص إكس بي - 1

الانتقال الأخير ممكن لأنه إذا صهو رقم فردي ، إذن ص - 1إما عدد زوجي أو صفر (ل p = 1) ، لذلك ، لسالب xالمساواة (- س) ص - 1 = س ص - 1 صحيحة.

لذا ، فقد أثبتنا صيغة مشتقة دالة أس لأي قيمة p حقيقية.

مثال 2

وظائف معينة:

و 1 (س) = 1 × 2 3 ، و 2 (س) = س 2-1 4 ، و 3 (س) = 1 × سجل 7 12

حدد مشتقاتها.

المحلول

نقوم بتحويل جزء من الدوال المعينة إلى شكل جدولي y = x p ، بناءً على خصائص الدرجة ، ثم نستخدم الصيغة:

f 1 (x) \ u003d 1 x 2 3 \ u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \ u003d - 2 3 x - 2 3-1 \ u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \ u003d x 2-1 4 = 2-1 4 x 2-1 4-1 = 2-1 4 x 2-5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - السجل 7 12 x - السجل 7 12-1 = - السجل 7 12 x - السجل 7 12 - السجل 7 7 = - السجل 7 12 x - السجل 7 84

مشتق من الدالة الأسية

إثبات 4

نشتق صيغة المشتق بناءً على التعريف:

(فأس) "= lim ∆ x → 0 ax + x - ax ∆ x = lim ∆ x → 0 ax (a ∆ x - 1) ∆ x = ax lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

لدينا عدم اليقين. لتوسيعه ، نكتب متغيرًا جديدًا z = a ∆ x - 1 (z → 0 as ∆ x → 0). في هذه الحالة a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a. بالنسبة للانتقال الأخير ، يتم استخدام صيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم.

لنقم باستبدال الحد الأصلي:

(فأس) "= ax lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = ax ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = ax ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = ax ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

تذكر الحد الثاني الرائع ثم نحصل على صيغة المشتق دالة أسية:

(a x) "= a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

مثال 3

يتم إعطاء الوظائف الأسية:

و 1 (س) = 2 3 س ، و 2 (س) = 5 3 س ، و 3 (س) = 1 (هـ) س

علينا إيجاد مشتقاتهم.

المحلول

نستخدم صيغة مشتق الدالة الأسية وخصائص اللوغاريتم:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 ex "= 1 ex ln 1 e = 1 ex ln e - 1 = - 1 ex

مشتق من دالة لوغاريتمية

إثبات 5

نقدم إثبات صيغة مشتق الدالة اللوغاريتمية لأي xفي مجال التعريف وأي القيم المسموح بهاقواعد اللوغاريتم. بناءً على تعريف المشتق ، نحصل على:

(log ax) "= lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log ax ∆ x = lim ∆ x → 0 log ax + ∆ xx ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ xx = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ xx 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ xx 1 ∆ x xx = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + xxx ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ xxx ∆ x = 1 x log ae = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

يمكن أن نرى من سلسلة المساواة المحددة أن التحولات قد بُنيت على أساس خاصية اللوغاريتم. المساواة lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e صحيحة وفقًا للحد الثاني الملحوظ.

مثال 4

يتم إعطاء الوظائف اللوغاريتمية:

و 1 (س) = السجل سجل 3 س ، و 2 (س) = تسجيل س

من الضروري حساب مشتقاتها.

المحلول

دعنا نطبق الصيغة المشتقة:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ؛ f 2 "(x) \ u003d (ln x)" \ u003d 1 x ln e \ u003d 1 x

إذن ، مشتق اللوغاريتم الطبيعي يساوي واحدًا على x.

مشتقات التوابع المثلثية

إثبات 6

نستخدم البعض الصيغ المثلثيةوأول حد رائع لاشتقاق صيغة مشتقة دالة مثلثية.

وفقًا لتعريف مشتق دالة الجيب ، نحصل على:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

ستسمح لنا صيغة اختلاف الجيب بتنفيذ الإجراءات التالية:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + x + x 2 x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

أخيرًا ، نستخدم الحد الرائع الأول:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

إذن ، مشتق الدالة الخطيئة xإرادة كوس x.

سنثبت أيضًا صيغة مشتق جيب التمام بنفس الطريقة:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0-2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

أولئك. المشتق وظائف جيب التمامسيكون x - الخطيئة x.

نشتق معادلات مشتقات الظل والظل بناءً على قواعد التفاضل:

tg "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos" x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 xctg "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin" x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

مشتقات الدوال المثلثية العكسية

يقدم القسم الخاص بمشتق الدوال العكسية معلومات شاملة عن إثبات الصيغ الخاصة بمشتقات قوس القوس ، قوس القوس ، قوس ظل الزاوية ، قوس التمام ، لذلك لن نكرر المادة هنا.

مشتقات الدوال الزائدية

إثبات 7

يمكننا اشتقاق صيغ لمشتقات الجيب الزائدي وجيب التمام والظل والظل باستخدام قاعدة التفاضل وصيغة مشتق الدالة الأسية:

sh "x = ex - e - x 2" = 1 2 ex "- e - x" == 1 2 ex - - e - x = ex + e - x 2 = chxch "x = ex + e - x 2" = 1 2 ex "+ e - x" == 1 2 ex + - e - x = ex - e - x 2 = shxth "x = shxchx" = sh "x chx - shx ch" xch 2 x = ch 2 x - sh 2 xch 2 x = 1 ch 2 xcth "x = chxshx" = ch "x shx - chx sh" xsh 2 x = sh 2 x - ch 2 xsh 2 x = - 1 sh 2 x

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter