أوجد معدل زيادة الدالة في اتجاه المتجه. انحدار الدالة والمشتق في اتجاه المتجه. إيجاد المشتق بالنسبة لاتجاه المتجه

التدرج الوظيفيعند نقطة ما يسمى المتجه الذي تكون إحداثياته مساوية للمشتقات الجزئية المقابلة ويتم الإشارة إليها.

إذا أخذنا في الاعتبار متجه الوحدة e = () ، فوفقًا للصيغة (3) ، فإن المشتق في الاتجاه هو المنتج القياسي للتدرج ومتجه الوحدة الذي يحدد الاتجاه. من المعروف أن الناتج القياسي لمتجهين يكون أعظمى إذا كان لهما نفس الاتجاه. لذلك ، فإن تدرج الوظيفة عند نقطة معينة يميز اتجاه وحجم النمو الأقصى للدالة عند هذه النقطة.

نظرية . إذا كانت الوظيفة قابلة للتفاضل وعند النقطة م 0 قيمة التدرج اللوني غير صفرية ، ثم يكون التدرج عموديًا على خط المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة ويتم توجيهه في اتجاه الوظيفة المتزايدة ، بينما

الخلاصة: 1)مشتق دالة عند نقطة على طول الاتجاه الذي يحدده التدرج اللوني لتلك الوظيفة عند النقطة المحددة له قيمة قصوى مقارنة بالمشتق في تلك النقطة على طول أي اتجاه آخر.

2) قيمة مشتق الدالة في الاتجاه ، والتي تحدد انحدار هذه الدالة عند نقطة معينة ، تساوي.
3) معرفة التدرج اللوني للوظيفة عند كل نقطة ، من الممكن بناء خطوط مستوية مع بعض الأخطاء. لنبدأ من النقطة M 0. دعونا نبني تدرجًا في هذه المرحلة. اضبط الاتجاه العمودي على التدرج اللوني. دعونا نبني جزءًا صغيرًا من خط المستوى. ضع في اعتبارك نقطة قريبة M 1 ، وقم ببناء تدرج عندها ، وهكذا.

مفهوم مشتق اتجاهي تعتبر وظائف ذات متغيرين وثلاثة متغيرات. لفهم معنى المشتق الاتجاهي ، نحتاج إلى مقارنة المشتقات حسب التعريف.

بالتالي،

يمكننا الآن إيجاد المشتق في اتجاه هذه الدالة من خلال صيغتها:

والآن - واجب منزلي. إنه يعطي دالة ليس ثلاثة ، بل متغيرين فقط ، لكن متجه الاتجاه يُعطى بطريقة مختلفة قليلاً. لذلك عليك أن تكرر ناقلات الجبر .

مثال 2أوجد مشتق دالة عند نقطة م0 (1; 2) في اتجاه المتجه ، حيث م1 - نقطة مع إحداثيات (3 ؛ 0).

يمكن أيضًا إعطاء المتجه الذي يحدد اتجاه المشتق بالشكل كما في المثال التالي - في النموذج التوسعات في متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات، ولكن هذا موضوع مألوف منذ بداية الجبر المتجه.

مثال 3أوجد مشتق دالة في هذه النقطة م0 (1; 1; 1) في اتجاه المتجه.

المحلول. أوجد اتجاه جيب التمام للمتجه

لنجد المشتقات الجزئية للدوال عند نقطة ما م0 :

لذلك ، يمكننا إيجاد المشتق في اتجاه هذه الدالة من خلال صيغتها:

التدرج الوظيفي

دالة التدرج لعدة متغيرات عند نقطة ما م0 يميز اتجاه النمو الأقصى لهذه الوظيفة عند النقطة م0 وضخامة هذا النمو الأقصى.

كيف تجد التدرج؟

تحتاج إلى تحديد المتجه الذي إسقاطاته على محاور الإحداثياتهي القيم المشتقات الجزئية، من هذه الوظيفة في النقطة المقابلة:

هذا هو ، يجب أن يكون تمثيل المتجه بواسطة متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات، حيث يتم ضرب المشتق الجزئي المقابل لمحوره في كل متجه وحدة.

الانحدار المهامهي كمية متجهة ، يرتبط إيجادها بتعريف المشتقات الجزئية للدالة. يشير اتجاه التدرج اللوني إلى مسار أسرع نمو للوظيفة من نقطة في الحقل القياسي إلى نقطة أخرى.

تعليمات

1. لحل مشكلة التدرج اللوني للدالة ، يتم استخدام طرق حساب التفاضل ، أي إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى في ثلاثة متغيرات. من المفترض أن الوظيفة نفسها وجميع مشتقاتها الجزئية لها خاصية الاستمرارية في مجال الوظيفة.

2. التدرج هو متجه ، يشير اتجاهه إلى اتجاه أسرع زيادة في الوظيفة F. للقيام بذلك ، يتم تحديد نقطتين M0 و M1 على الرسم البياني ، وهما نهايات المتجه. قيمة التدرج اللوني تساوي معدل زيادة الوظيفة من النقطة M0 إلى النقطة M1.

3. الوظيفة قابلة للاشتقاق في جميع نقاط هذا المتجه ، وبالتالي ، فإن إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات هي جميع مشتقاتها الجزئية. ثم تبدو صيغة التدرج كما يلي: grad = (؟ F /؟ x) i + (؟ F /؟ y) j + (؟ F /؟ z) k ، حيث i ، j ، k هي إحداثيات متجه الوحدة. بمعنى آخر ، انحدار الدالة هو متجه إحداثياته هي مشتقاته الجزئية grad F = (؟ F /؟ х،؟ F /؟ y،؟ F /؟ z).

4. مثال 1. دع الدالة F = sin (x z؟) / y معطاة. مطلوب لإيجاد تدرجه عند النقطة (؟ / 6 ، 1/4 ، 1).

5. الحل. حدد المشتقات الجزئية بالنسبة لأي متغير: F'_x \ u003d 1 / y cos (x z؟) z ؟؛ F'_y \ u003d sin (x z؟) (-1) 1 / (y؟)؛ F '_z \ u003d 1 / y cos (x z؟) 2 x z.

6. استبدل إحداثيات النقطة الشهيرة: F'_x = 4 cos (؟ / 6) = 2؟ 3؛ F'_y = sin (؟ / 6) (-1) 16 = -8 ؛ F'_z \ u003d 4 cos (؟ / 6) 2؟ / 6 \ u003d 2؟ /؟ 3.

7. طبق معادلة التدرج الوظيفي: grad F = 2؟ 3 i - 8 j + 2؟ /؟ 3 k.

8. مثال 2. أوجد إحداثيات التدرج اللوني للدالة F = y arсtg (z / x) عند النقطة (1 ، 2 ، 1).

9. الحل F'_x \ u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \ u003d y 1 / (1 + (z / x)؟) (-z / x؟) \ u003d -y z / (x؟ (1 + (z / x)؟)) = -1؛ F'_y = 1 arctg (z / x) = arctg 1 =؟ / 4؛ F'_z = 0 arctg (z / x) ) + y (arctg (z / x)) '_ z = y 1 / (1 + (z / x)؟) 1 / x = y / (x (1 + (z / x)؟)) = 1.grad = (- 1 ،؟ / 4 ، 1).

التدرج اللوني للحقل القياسي هو كمية متجهة. وبالتالي ، للعثور عليه ، يلزم تحديد جميع مكونات المتجه المقابل ، بناءً على المعرفة حول تقسيم المجال القياسي.

تعليمات

1. اقرأ في كتاب مدرسي عن الرياضيات العليا ما هو التدرج اللوني للحقل القياسي. كما تعلم ، فإن كمية المتجه هذه لها اتجاه يتميز بأقصى معدل تضاؤل للدالة العددية. يتم تبرير هذا الإحساس بكمية متجهية معينة بتعبير لتحديد مكوناتها.

2. تذكر أن كل متجه يتم تعريفه من خلال قيم مكوناته. مكونات المتجه هي في الواقع إسقاطات لهذا المتجه على محور إحداثيات واحد أو آخر. وبالتالي ، إذا تم أخذ الفضاء ثلاثي الأبعاد في الاعتبار ، فيجب أن يحتوي المتجه على ثلاثة مكونات.

3. اكتب كيف يتم تحديد مكونات المتجه الذي يمثل تدرج حقل ما. جميع إحداثيات هذا المتجه تساوي مشتق الجهد القياسي فيما يتعلق بالمتغير الذي يتم حساب إحداثياته. أي ، إذا كنت بحاجة إلى حساب مكون "x" لمتجه التدرج اللوني ، فأنت بحاجة إلى التفريق بين الدالة العددية فيما يتعلق بالمتغير "x". لاحظ أن المشتق يجب أن يكون حاصل القسمة. وهذا يعني أنه عند التفريق ، يجب اعتبار المتغيرات المتبقية التي لا تشارك فيها ثوابت.

4. اكتب تعبيرًا للحقل القياسي. كما تعلم ، يعني هذا المصطلح أن كل دالة عددية تتكون من عدة متغيرات ، وهي أيضًا كميات عددية. عدد متغيرات الدالة العددية محدود بأبعاد الفراغ.

5. ميّز بشكل منفصل الدالة العددية فيما يتعلق بكل متغير. نتيجة لذلك ، سيكون لديك ثلاث وظائف جديدة. اكتب أي دالة في التعبير لمتجه التدرج للحقل القياسي. أي من الوظائف التي تم الحصول عليها هي في الحقيقة مؤشر لمتجه الوحدة لإحداثيات معينة. وبالتالي ، يجب أن يبدو متجه التدرج النهائي مثل كثير الحدود مع الأس كمشتقات للدالة.

عند النظر في القضايا التي تنطوي على تمثيل التدرج اللوني ، من الشائع التفكير في كل منها على أنها مجال عددي. لذلك ، نحن بحاجة إلى تقديم الترميز المناسب.

سوف تحتاج

- فقاعة؛
- قلم.

تعليمات

1. دع الدالة تُعطى بثلاث وسيطات u = f (x ، y ، z). يتم تعريف المشتق الجزئي للدالة ، على سبيل المثال فيما يتعلق بـ x ، على أنه المشتق فيما يتعلق بهذه الحجة ، والذي يتم الحصول عليه عن طريق تثبيت الحجج المتبقية. بقية الحجج متشابهة. تتم كتابة تدوين المشتق الجزئي على النحو التالي: df / dx \ u003d u’x ...

2. سيكون التفاضل الإجمالي مساويًا لـ du \ u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. يمكن فهم المشتقات الجزئية على أنها مشتقات في اتجاهات محاور الإحداثيات. وبالتالي ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو إيجاد المشتق فيما يتعلق باتجاه متجه معين s عند النقطة M (x ، y ، z) (لا تنس أن الاتجاه s يحدد وحدة متجه ort s ^ o). في هذه الحالة ، المتجه التفاضلي للوسيطات هو (dx ، dy ، dz) = (dscos (alpha) ، dscos (beta) ، dscos (gamma)).

3. بالنظر إلى شكل التفاضل الكلي du ، من الممكن استنتاج أن المشتق فيما يتعلق بالاتجاه s عند النقطة M هو: (du / ds) | M = ((df / dx) | M) cos (alpha) + ((df / dy) | M) cos (تجريبي) + ((df / dz) | M) cos (جاما). إذا كانت s = s (sx ، sy ، sz) ، إذن اتجاه جيب التمام (cos (alpha) ، cos (بيتا) ، cos (جاما)) تحسب (انظر الشكل 1 أ).

4. يمكن إعادة كتابة تعريف المشتق في الاتجاه ، مع الأخذ في الاعتبار النقطة M كمتغير ، كمنتج نقطي: (du / ds) = ((df / dx ، df / dy ، df / dz) ، (cos (alpha) ، cos (تجريبي)، cos (جاما))) = (grad u، s ^ o). سيكون هذا التعبير هدفًا للحقل القياسي. إذا اعتبرنا وظيفة سهلة ، فإن gradf هو متجه له إحداثيات تتزامن مع المشتقات الجزئية f (x، y، z) .gradf (x، y، z) = ((df / dx، df / dy، df / dz ) =) = (df / dx) i + (df / dy) j + (df / dz) k. هنا (أنا ، ي ، ك) هي متجهات الوحدة لمحاور الإحداثيات في نظام إحداثيات ديكارت مستطيل.

5. إذا استخدمنا عامل المتجه التفاضلي Hamilton Nabla ، فيمكن كتابة gradf كضرب متجه هذا العامل بواسطة العددية f (انظر الشكل 1 ب). من وجهة نظر اتصال gradf بالمشتق الاتجاهي ، فإن المساواة (gradf ، s ^ o) = 0 مقبولة إذا كانت هذه النواقل متعامدة. وبالتالي ، غالبًا ما يتم تعريف gradf على أنه اتجاه أسرع تحول في حقل عددي. ومن وجهة نظر العمليات التفاضلية (gradf واحدة منها) ، فإن خصائص gradf تكرر بالضبط خصائص تمايز الوظائف. على وجه الخصوص ، إذا كانت f = uv ، فإن gradf = (vgradu + ugradv).

فيديوهات ذات علاقة

الانحدارهذه أداة تملأ الصورة الظلية في محرري الرسوم بانتقال سلس من لون إلى آخر. الانحداريمكن أن يعطي صورة ظلية نتيجة الحجم ، أو محاكاة الإضاءة ، أو انعكاسات الضوء على سطح كائن ، أو نتيجة غروب الشمس في خلفية الصورة. تستخدم هذه الأداة على نطاق واسع ، لذلك ، لمعالجة الصور أو إنشاء الرسوم التوضيحية ، من المهم جدًا معرفة كيفية استخدامها.

سوف تحتاج

الكمبيوتر أو محرر الرسومات Adobe Photoshop أو Corel Draw أو Paint.Net أو غير ذلك.

تعليمات

1. افتح الصورة في البرنامج أو قم بعمل صورة جديدة. قم بعمل صورة ظلية أو حدد المنطقة المرغوبة في الصورة.

2. قم بتشغيل أداة التدرج على شريط أدوات محرر الرسومات. ضع مؤشر الماوس على نقطة داخل المنطقة المحددة أو الصورة الظلية ، حيث سيبدأ اللون الأول للتدرج. انقر مع الاستمرار فوق زر الماوس الأيسر. حرك المؤشر إلى النقطة التي يجب أن ينتقل فيها التدرج اللوني إلى اللون النهائي. الافراج عن زر الماوس الأيسر. سيتم تعبئة الصورة الظلية المحددة بتعبئة متدرجة.

3. الانحدار y من الممكن ضبط الشفافية والألوان ونسبتها عند نقطة تعبئة معينة. للقيام بذلك ، افتح نافذة تحرير التدرج. لفتح نافذة التحرير في Photoshop ، انقر فوق مثال التدرج في لوحة الخيارات.

4. في النافذة التي تفتح ، يتم عرض خيارات التعبئة المتدرجة المتاحة كأمثلة. لتحرير أحد الخيارات ، حدده بنقرة زر الماوس.

5. يتم عرض مثال على التدرج اللوني في الجزء السفلي من النافذة في شكل مقياس واسع مع منزلقات. تشير أشرطة التمرير إلى النقاط التي يجب أن يحتوي التدرج اللوني عندها على عمليات الترتيب المحددة ، وفي الفاصل الزمني بين المنزلقات ، ينتقل اللون بالتساوي من النقطة المحددة في النقطة الأولى إلى لون النقطة الثانية.

6. تقوم المنزلقات الموجودة في الجزء العلوي من المقياس بتعيين شفافية التدرج اللوني. لتغيير الشفافية ، انقر فوق شريط التمرير المطلوب. سيظهر حقل أسفل المقياس ، حيث يتم إدخال درجة الشفافية المطلوبة بالنسبة المئوية.

7. تقوم المنزلقات الموجودة أسفل المقياس بتعيين ألوان التدرج اللوني. من خلال النقر فوق أحدها ، ستتمكن من تفضيل اللون المطلوب.

8. الانحداريمكن أن يكون لها ألوان انتقالية متعددة. لتعيين لون آخر ، انقر فوق مساحة فارغة أسفل المقياس. سيظهر شريط تمرير آخر عليه. اضبط اللون المطلوب لذلك. سيعرض المقياس مثالاً على التدرج اللوني بنقطة أخرى. يمكنك تحريك المنزلقات عن طريق الضغط عليها بدعم من زر الفأرة الأيسر من أجل تحقيق التركيبة المرغوبة.

9. الانحدارهناك عدة أنواع يمكن أن تعطي شكلاً للصور الظلية المسطحة. لنفترض أنه من أجل إعطاء دائرة شكل الكرة ، تم تطبيق تدرج نصف قطري ، ومن أجل إعطاء شكل مخروط ، يتم تطبيق تدرج مخروطي. يمكن استخدام التدرج اللوني لإعطاء السطح وهم الانتفاخ ، ويمكن استخدام التدرج الماسي لإنشاء الإبرازات.

فيديوهات ذات علاقة

التعريف 1

إذا تم تعيين قيمة معينة $ z $ لكل زوج $ (x، y) $ لقيم متغيرين مستقلين من مجال ما ، عندئذٍ يُقال أن $ z $ دالة لمتغيرين $ (x، y ) $. تدوين: $ z = f (x، y) $.

ضع في اعتبارك الوظيفة $ z = f (x، y) $ ، والتي تم تعريفها في بعض المجالات في الفضاء $ Oxy $.

بالتالي،

التعريف 3

إذا تم تعيين قيمة معينة $ w $ لكل ثلاثة دولارات (x، y، z) $ لقيم ثلاثة متغيرات مستقلة من مجال ما ، فإن $ w $ هو دالة من ثلاثة متغيرات $ (x، y، z) $ في هذه المنطقة.

تعيين:$ w = f (x، y، z) $.

ضع في اعتبارك الوظيفة $ w = f (x، y، z) $ ، والتي تم تعريفها في بعض المجالات في الفضاء $ Oxyz $.

بالنسبة لوظيفة معينة ، نحدد متجهًا تكون إسقاطاته على محاور الإحداثيات هي قيم المشتقات الجزئية للدالة المعينة عند نقطة ما $ \ frac (\ جزئي z) (\ جزئي x) ؛ \ frac (\ جزئي ض) (ص جزئية) $.

التعريف 4

انحدار دالة معينة $ w = f (x، y، z) $ هو متجه $ \ overrightarrow (gradw) $ للصيغة التالية:

نظرية 3

دع حقل التدرج اللوني يتم تعريفه في بعض الحقول القياسية $ w = f (x، y، z) $

\ [\ overrightarrow (gradw) = \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي x) \ cdot \ overrightarrow (i) + \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي y) \ cdot \ overrightarrow (j) + \ frac (\ جزئي ث) (\ جزئي ض) \ cdot \ overrightarrow (ك). \]

المشتق $ \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي s) $ في اتجاه المتجه المعطى $ \ overrightarrow (s) $ يساوي إسقاط متجه التدرج $ \ overrightarrow (gradw) $ على المتجه المحدد $ \ overrightarrow (s) $.

مثال 4

المحلول:

تم العثور على التعبير عن التدرج في الصيغة

\ [\ frac (\ جزئي w) (\ جزئي x) = 2x؛ \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي y) = 4y؛ \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي z) = 2. \]

بالتالي،

\ [\ overrightarrow (gradw) = 2x \ cdot \ overrightarrow (i) + 4y \ cdot \ overrightarrow (j) +2 \ cdot \ overrightarrow (k). \]

مثال 5

حدد انحدار دالة معينة

عند النقطة $ M (1 ؛ 2 ؛ 1) $. احسب $ \ left (| \ overrightarrow (gradz) | \ right) _ (M) $.

المحلول:

تم إيجاد التعبير عن التدرج اللوني عند نقطة معينة بواسطة الصيغة

\ [\ يسار (\ overrightarrow (gradw) \ right) _ (M) = \ يسار (\ frac (\ جزئي w) (\ جزئي x) \ يمين) _ (M) \ cdot \ overrightarrow (i) + \ left (\ frac (\ جزئي w) (\ جزئي y) \ يمين) _ (M) \ cdot \ overrightarrow (j) + \ left (\ frac (\ جزئي w) (\ جزئي z) \ يمين) _ (M) \ cdot \ overrightarrow (ك). \]

المشتقات الجزئية لها الشكل:

\ [\ frac (\ جزئي w) (\ جزئي x) = 2x؛ \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي y) = 4y؛ \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي z) = 6z ^ (2) . \]

المشتقات عند النقطة $ M (1؛ 2) $:

\ [\ frac (\ جزئي w) (\ جزئي x) = 2 \ cdot 1 = 2؛ \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي y) = 4 \ cdot 2 = 8؛ \ frac (\ جزئي w) ( \ جزئي ض) = 6 \ cdot 1 ^ (2) = 6 \]

بالتالي،

\ [\ left (\ overrightarrow (gradw) \ right) _ (M) = 2 \ cdot \ overrightarrow (i) +8 \ cdot \ overrightarrow (j) +6 \ cdot \ overrightarrow (k) \]

\ [\ left (| \ overrightarrow (gradw) | \ right) _ (M) = \ sqrt (2 ^ (2) + 8 ^ (2) + 6 ^ (2)) = \ sqrt (4 + 64 + 36) ) = الجذر التربيعي (104). \]

دعنا نسرد بعض خصائص التدرج:

يكون لمشتق دالة معينة عند نقطة معينة على طول اتجاه بعض المتجه $ \ overrightarrow (s) $ أكبر قيمة إذا كان اتجاه المتجه المعطى $ \ overrightarrow (s) $ يتطابق مع اتجاه التدرج. في هذه الحالة ، تتطابق هذه القيمة الأكبر للمشتق مع طول متجه التدرج ، أي $ | \ overrightarrow (gradw) | $.

مشتق الوظيفة المعينة فيما يتعلق باتجاه المتجه العمودي على متجه التدرج ، أي $ \ overrightarrow (gradw) $ يساوي 0. بما أن $ \ varphi = \ frac (\ pi) (2) $ ، فإن $ \ cos \ varphi = 0 $؛ ومن ثم $ \ frac (\ جزئي w) (\ جزئي ث) = | \ overrightarrow (gradw) | \ cdot \ cos \ varphi = 0 $.

من المعروف من مقرر الرياضيات المدرسي أن المتجه على مستوى هو مقطع موجه. بدايته ونهايته لهما إحداثيان. تُحسب إحداثيات المتجه بطرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية.

يمكن أيضًا توسيع مفهوم المتجه إلى مساحة ذات أبعاد n (بدلاً من إحداثيات اثنين سيكون هناك إحداثيات n).

الانحداردالة gradz z = f (x 1، x 2، ... x n) هي متجه المشتقات الجزئية للدالة عند نقطة ما ، أي ناقلات مع الإحداثيات.

يمكن إثبات أن التدرج اللوني لوظيفة ما يميز اتجاه أسرع نمو لمستوى الوظيفة عند نقطة ما.

على سبيل المثال ، بالنسبة للوظيفة z \ u003d 2x 1 + x 2 (انظر الشكل 5.8) ، سيكون للتدرج اللوني في أي نقطة إحداثيات (2 ؛ 1). يمكن بناؤها على مستوى بطرق مختلفة ، مع اعتبار أي نقطة بداية للمتجه. على سبيل المثال ، يمكنك توصيل النقطة (0 ؛ 0) بالنقطة (2 ؛ 1) أو النقطة (1 ؛ 0) بالنقطة (3 ؛ 1) أو النقطة (0 ؛ 3) بالنقطة (2 ؛ 4) ، أو ر. (انظر الشكل 5.8). سيكون لجميع المتجهات التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة إحداثيات (2 - 0 ؛ 1 - 0) = = (3 - 1 ؛ 1 - 0) = (2 - 0 ؛ 4 - 3) = (2 ؛ 1).

يوضح الشكل 5.8 بوضوح أن مستوى الوظيفة ينمو في اتجاه التدرج ، حيث تتوافق خطوط المستوى المنشأة مع قيم المستوى 4> 3> 2.

الشكل 5.8 - تدرج الوظيفة z \ u003d 2x 1 + x 2

فكر في مثال آخر - الوظيفة z = 1 / (x 1 x 2). لن يكون التدرج اللوني لهذه الوظيفة دائمًا هو نفسه عند نقاط مختلفة ، حيث يتم تحديد إحداثياتها بواسطة الصيغ (-1 / (× 1 2 × 2) ؛ -1 / (× 1 × 2 2)).

يوضح الشكل 5.9 خطوط المستوى للوظيفة z = 1 / (x 1 x 2) للمستويين 2 و 10 (السطر 1 / (x 1 x 2) = 2 يشار إليه بخط منقط ، والخط 1 / ( × 1 × 2) = 10 خط متصل).

الشكل 5.9 - تدرجات الوظيفة z \ u003d 1 / (x 1 x 2) عند نقاط مختلفة

خذ ، على سبيل المثال ، النقطة (0.5 ؛ 1) واحسب التدرج اللوني عند هذه النقطة: (-1 / (0.5 2 * 1) ؛ -1 / (0.5 * 1 2)) \ u003d (-4 ؛ - 2) . لاحظ أن النقطة (0.5 ؛ 1) تقع على خط المستوى 1 / (× 1 × 2) \ u003d 2 ، لأن z \ u003d f (0.5 ؛ 1) \ u003d 1 / (0.5 * 1) \ u003d 2. إلى ارسم المتجه (-4 ؛ -2) في الشكل 5.9 ، قم بتوصيل النقطة (0.5 ؛ 1) بالنقطة (-3.5 ؛ -1) ، لأن (-3.5 - 0.5 ؛ -1 - 1) = (-4 ؛ -2).

لنأخذ نقطة أخرى على نفس خط المستوى ، على سبيل المثال ، النقطة (1 ؛ 0.5) (z = f (1 ؛ 0.5) = 1 / (0.5 * 1) = 2). احسب التدرج اللوني عند هذه النقطة (-1 / (1 2 * 0.5) ؛ -1 / (1 * 0.5 2)) = (-2 ؛ -4). لتصويرها في الشكل 5.9 ، نقوم بتوصيل النقطة (1 ؛ 0.5) بالنقطة (-1 ؛ -3.5) ، لأن (-1 - 1 ؛ -3.5 - 0.5) = (-2 ؛ - أربعة).

لنأخذ نقطة أخرى على نفس خط المستوى ، ولكن الآن فقط في ربع إحداثي غير موجب. على سبيل المثال ، النقطة (-0.5 ؛ -1) (z = f (-0.5 ؛ -1) = 1 / ((- 1) * (- 0.5)) = 2). سيكون التدرج اللوني عند هذه النقطة هو (-1 / ((- 0.5) 2 * (- 1)) ؛ -1 / ((- 0.5) * (- 1) 2)) = (4 ؛ 2). لنصوره في الشكل 5.9 بربط النقطة (-0.5 ؛ -1) بالنقطة (3.5 ؛ 1) ، لأن (3.5 - (-0.5) ؛ 1 - (-1)) = (4 ؛ 2).

وتجدر الإشارة إلى أنه في جميع الحالات الثلاث التي تم النظر فيها ، يُظهر التدرج اتجاه نمو مستوى الوظيفة (نحو خط المستوى 1 / (× 1 × 2) = 10> 2).

يمكن إثبات أن التدرج اللوني دائمًا ما يكون عموديًا على خط المستوى (سطح المستوى) الذي يمر عبر نقطة معينة.

Extrema لدالة من عدة متغيرات

دعونا نحدد المفهوم أقصىلدالة من العديد من المتغيرات.

وظيفة العديد من المتغيرات f (X) عند النقطة X (0) ما في وسعنا)،إذا كان هناك حي من هذه النقطة بحيث بالنسبة لجميع النقاط X من هذا الحي ، فإن عدم المساواة f (X) f (X (0)) () عقد.

إذا تم استيفاء هذه التفاوتات على أنها صارمة ، فسيتم استدعاء الحد الأقصى قوي، وإذا لم يكن كذلك ، إذن ضعيف.

لاحظ أن الحد الأقصى المحدد بهذه الطريقة هو محليالشخصية ، لأن هذه التفاوتات تنطبق فقط على بعض المناطق المجاورة للنقطة القصوى.

الشرط الضروري للنقطة القصوى المحلية للدالة القابلة للتفاضل z = f (x 1،..، x n) عند نقطة ما هو المساواة مع الصفر لجميع المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى في هذه المرحلة:
.

يتم استدعاء النقاط التي يتم عندها تثبيت هذه المساواة ثابت.

بطريقة أخرى ، يمكن صياغة الشرط الضروري للنقطة القصوى على النحو التالي: عند النقطة القصوى ، يكون التدرج اللوني يساوي صفرًا. من الممكن أيضًا إثبات عبارة أكثر عمومية - عند النقطة القصوى ، تختفي مشتقات الوظيفة في جميع الاتجاهات.

يجب أن تخضع النقاط الثابتة لدراسات إضافية - ما إذا كانت الشروط الكافية لوجود حد أقصى محلي مستوفاة. للقيام بذلك ، حدد علامة فرق الدرجة الثانية. إذا كانت أي منها لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، فهي دائمًا سالبة (موجبة) ، فإن الوظيفة لها حد أقصى (أدنى). إذا كان يمكن أن يتلاشى ليس فقط بزيادات صفرية ، فإن مسألة الحد الأقصى تظل مفتوحة. إذا كان يمكن أن يأخذ كلا من القيم الموجبة والسالبة ، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة الثابتة.

في الحالة العامة ، يعد تحديد علامة التفاضل مشكلة معقدة إلى حد ما ، والتي لن نأخذها في الاعتبار هنا. لدالة ذات متغيرين ، يمكن للمرء أن يثبت ذلك إذا كان عند نقطة ثابتة
، ثم هناك حد أقصى. في هذه الحالة ، تتزامن علامة التفاضل الثاني مع العلامة
، بمعنى آخر. إذا
، فهذا هو الحد الأقصى ، وإذا
، فهذا هو الحد الأدنى. اذا كان
، فلا يوجد حد أقصى في هذه المرحلة ، وإذا
، ثم تظل مسألة الطرف الأقصى مفتوحة.

مثال 1. أوجد القيمة القصوى لدالة
.

لنجد المشتقات الجزئية بطريقة الاشتقاق اللوغاريتمي.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

بصورة مماثلة
.

لنجد نقاطًا ثابتة من نظام المعادلات:

وهكذا ، تم العثور على أربع نقاط ثابتة (1 ؛ 1) ، (1 ؛ -1) ، (-1 ؛ 1) و (-1 ؛ -1).

لنجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

بصورة مماثلة
;
.

لان
علامة التعبير
يعتمد فقط على
. لاحظ أنه في كلا المشتقتين يكون المقام دائمًا موجبًا ، لذلك يمكنك فقط مراعاة علامة البسط أو حتى علامة التعابير x (x 2 - 3) و y (y 2 - 3). دعونا نحدده في كل نقطة حرجة ونتحقق من استيفاء الحالة القصوى الكافية.

للنقطة (1 ؛ 1) نحصل على 1 * (1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 و
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

للنقطة (1 ؛ -1) نحصل على 1 * (1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. لأن حاصل ضرب هذه الأرقام
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

للنقطة (-1 ؛ -1) نحصل على (-1) * ((- 1) 2-3) = 2> 0. حاصل ضرب عددين موجبين
> 0 و
> 0 ، عند النقطة (-1 ؛ -1) يمكنك إيجاد الحد الأدنى. إنه يساوي 2 * ((- 1) + (-1)) * (1 + (- 1) * (- 1)) / ((1 + (- 1) 2) * (1 + (- 1) 2)) = -8/4 = = -2.

تجد عالميالحد الأقصى أو الحد الأدنى (أكبر أو أصغر قيمة للدالة) أكثر تعقيدًا إلى حد ما من الحد الأقصى المحلي ، حيث يمكن تحقيق هذه القيم ليس فقط في النقاط الثابتة ، ولكن أيضًا عند حدود مجال التعريف. ليس من السهل دائمًا دراسة سلوك دالة على حدود هذه المنطقة.