تحديد مشتق دالة هو العملية العكسية لتكامل دالة. بالنسبة وظائف الابتدائيةليس من الصعب حساب المشتق ، يكفي استخدام جدول المشتقات. إذا احتجنا أوجد المشتقمن وظيفة معقدة، فسيكون التمايز أكثر صعوبة ، وسيتطلب المزيد من العناية والوقت. من السهل جدًا ارتكاب خطأ إملائي أو خطأ بسيط ، مما يؤدي إلى الإجابة الخاطئة النهائية. لذلك ، من المهم دائمًا أن تكون قادرًا على التحقق من قرارك. يمكنك القيام بذلك باستخدام هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، والتي تتيح لك العثور على مشتقات لأي وظيفة عبر الإنترنت باستخدامها حل مفصلمجانا بدون تسجيل بالموقع. إيجاد مشتق دالة (التمايز) هو نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة (عدديًا ، المشتق يساوي ظل منحدر المماس للرسم البياني للدالة). إذا كان من الضروري حساب مشتق دالة في نقطة معينة ، ثم في الاستجابة المستلمة ، بدلاً من الوسيطة xتأطير له قيمة عدديةوحساب التعبير. في حل مشتق عبر الإنترنتتحتاج إلى إدخال دالة في الحقل المقابل: في هذه الحالة ، يجب أن تكون الوسيطة متغيرًا x، لأن التمايز يسير على طوله بالضبط. لحساب المشتق الثاني ، تحتاج إلى اشتقاق الإجابة المستلمة.

عملية إيجاد المشتق تسمى التفاضل.

نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات لأبسط الوظائف (وليست بسيطة جدًا) من خلال تعريف المشتق على أنه حد نسبة الزيادة إلى الزيادة في الوسيطة ، ظهر جدول للمشتقات وقواعد محددة بدقة للتفاضل . كان إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات.

لذلك ، في عصرنا ، من أجل العثور على مشتق أي دالة ، ليس من الضروري حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الوظيفة إلى زيادة الوسيطة ، ولكن تحتاج فقط إلى استخدام الجدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة لإيجاد المشتق.

لإيجاد المشتق، فأنت بحاجة إلى تعبير تحت علامة السكتة الدماغية تحطيم الوظائف البسيطةوتحديد ما هي الإجراءات (المنتج ، المجموع ، الحاصل)ترتبط هذه الوظائف. علاوة على ذلك ، نجد مشتقات الدوال الأولية في جدول المشتقات ، والصيغ الخاصة بمشتقات المنتج ، والجمع والحاصل - في قواعد التفاضل. يتم إعطاء جدول المشتقات وقواعد التفاضل بعد المثالين الأولين.

مثال 1أوجد مشتق دالة

المحلول. من قواعد التفاضل نجد أن مشتق مجموع الوظائف هو مجموع مشتقات الوظائف ، أي

من جدول المشتقات ، نجد أن مشتق "X" يساوي واحدًا ، ومشتق الجيب يساوي جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتق الذي تتطلبه حالة المشكلة:

مثال 2أوجد مشتق دالة

المحلول. نحن نفرق كمشتق من المجموع ، حيث يمكن إخراج المصطلح الثاني بعامل ثابت من علامة المشتق:

إذا كانت لا تزال هناك أسئلة حول مصدر شيء ما ، فإنها ، كقاعدة عامة ، تصبح واضحة بعد قراءة جدول المشتقات وأبسط قواعد الاشتقاق. نحن نذهب إليهم الآن.

جدول مشتقات وظائف بسيطة

1. مشتق ثابت (رقم). أي رقم (1 ، 2 ، 5 ، 200 ...) موجود في تعبير الدالة. دائما صفر. من المهم جدًا تذكر هذا ، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان
2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "x". دائما يساوي واحد. من المهم أيضًا تذكر هذا
3. مشتق من الدرجة. عند حل المشكلات ، تحتاج إلى تحويل الجذور غير التربيعية إلى أس.
4. مشتق من متغير أس -1
5. مشتق الجذر التربيعي
6. مشتق الجيب
7. مشتق جيب التمام
8. مشتق الظل
9. مشتق ظل التمام
10. مشتق القوسين
11. مشتق قوس جيب التمام
12. مشتق قوس الظل
13. مشتق من معكوس الظل
14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي
15. مشتق من دالة لوغاريتمية
16. مشتق من الأس
17. مشتق دالة أسية

قواعد التمايز

1. مشتق من المجموع أو الفرق
2. مشتق من المنتج
2 أ. مشتق من تعبير مضروب بعامل ثابت
3. مشتق من حاصل القسمة
4. مشتق دالة معقدة

قاعدة 1إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، ثم الوظائف في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق المجموع الجبري للوظائف هو مجموع جبريمشتقات هذه الوظائف.

عاقبة. إذا اختلفت دالتان قابلتان للتفاضل بواسطة ثابت ، فإن مشتقاتهما تكون كذلك، بمعنى آخر.

القاعدة 2إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما ، فإن منتجها قابل للتفاضل أيضًا في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر.

النتيجة 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:

النتيجة 2. مشتق ناتج العديد من الوظائف القابلة للتفاضل يساوي مجموع حاصل ضرب مشتق كل من العوامل وكل العوامل الأخرى.

على سبيل المثال ، لثلاثة مضاعفات:

المادة 3إذا كان يعمل

قابلة للتفاضل في مرحلة ما و , ثم عند هذه النقطة يكون حاصل قسمةها أيضًا قابلاً للاشتقاق.u / v و

أولئك. مشتق خارج قسمة وظيفتين يساوي كسر ، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط والبسط ومشتق المقام ، والمقام هو مربع البسط السابق .

أين تبحث في الصفحات الأخرى

عند العثور على مشتق المنتج وحاصل القسمة في مشاكل حقيقية ، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد تفاضل في وقت واحد ، لذلك توجد المزيد من الأمثلة على هذه المشتقات في المقالة."مشتق المنتج والحاصل".

تعليق.يجب ألا تخلط بين ثابت (أي رقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! في حالة المصطلح ، يكون مشتقه مساويًا للصفر ، وفي حالة وجود عامل ثابت ، يتم استبعاده من علامة المشتقات. هذه خطأ نموذجي، والتي تحدث في المرحلة الأولى من دراسة المشتقات ، ولكن كحل للعديد من الأمثلة المكونة من جزئين ، لم يعد الطالب العادي يرتكب هذا الخطأ.

وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ش"الخامس، بحيث ش- رقم ، على سبيل المثال ، 2 أو 5 ، أي ثابت ، ثم مشتق هذا الرقم سيكون مساويًا للصفر ، وبالتالي ، فإن المصطلح بأكمله سيكون مساويًا للصفر (يتم تحليل هذه الحالة في المثال 10) .

خطأ شائع آخر هو الحل الميكانيكي لمشتق دالة معقدة كمشتق لدالة بسيطة. لهذا السبب مشتق دالة معقدةمكرسة لمقال منفصل. لكن في البداية سوف نتعلم إيجاد مشتقات وظائف بسيطة.

على طول الطريق ، لا يمكنك الاستغناء عن تحولات التعبيرات. للقيام بذلك ، قد تحتاج إلى فتح كتيبات النوافذ الجديدة أفعال ذات قوى وجذورو الأفعال مع الكسور .

إذا كنت تبحث عن حلول للمشتقات ذات القوى والجذور ، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم اتبع الدرس "مشتق مجموع الكسور ذات القوى والجذور".

إذا كان لديك مهمة مثل ، فأنت في الدرس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".

أمثلة خطوة بخطوة - كيفية إيجاد المشتق

مثال 3أوجد مشتق دالة

المحلول. نحدد أجزاء تعبير الدالة: يمثل التعبير بأكمله المنتج ، وعوامله عبارة عن مجاميع ، وفي الثانية يحتوي أحد المصطلحات على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتج: مشتق حاصل ضرب وظيفتين يساوي مجموع حاصل ضرب كل من هاتين الدالتين ومشتق الآخر:

بعد ذلك ، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق مجموع الدوال الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا ، في كل مجموع ، الحد الثاني بعلامة ناقص. في كل مجموع ، نرى متغيرًا مستقلاً ، مشتقه يساوي واحدًا ، وثابتًا (رقمًا) مشتقه يساوي صفرًا. إذن ، "x" تتحول إلى واحد ، وسالب 5 - إلى صفر. في التعبير الثاني ، يتم ضرب "x" في 2 ، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتق "x". نحصل على القيم التالية للمشتقات:

نستبدل المشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتق الوظيفة بأكملها التي تتطلبها حالة المشكلة:

ويمكنك التحقق من حل المسألة على المشتق في.

مثال 4أوجد مشتق دالة

المحلول. مطلوب منا إيجاد مشتق خارج القسمة. نطبق صيغة اشتقاق خارج القسمة: مشتق خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا يكون بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتق البسط ومشتق المقام ، و المقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:

لقد وجدنا بالفعل مشتق العوامل في البسط في المثال 2. دعونا لا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب ، وهو العامل الثاني في البسط ، مأخوذ بعلامة ناقص في المثال الحالي:

إذا كنت تبحث عن حلول لمثل هذه المشاكل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتق دالة ، حيث توجد كومة مستمرة من الجذور والدرجات ، مثل ، على سبيل المثال ، ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتق مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .

إذا كنت بحاجة إلى معرفة المزيد حول مشتقات الجيب وجيب التمام والظل وغيرها الدوال المثلثية، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم لديك درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .

مثال 5أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى منتجًا ، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل ، والذي تعرفنا على مشتقه في جدول المشتقات. وفقًا لقاعدة تمايز المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

يمكنك التحقق من حل مسألة المشتقات على مشتق حاسبة على الانترنت .

مثال 6أوجد مشتق دالة

المحلول. في هذه الدالة ، نرى حاصل القسمة الذي يكون المقسوم عليه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. وفقًا لقاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، التي كررناها وطبقناها في المثال 4 ، والقيمة المجدولة لمشتق الجذر التربيعي ، نحصل على:

للتخلص من الكسر في البسط ، اضرب البسط والمقام في.

التاريخ: 05/10/2015

كيف تجد المشتق؟

قواعد التمايز.

للعثور على مشتق من أي دالة ، تحتاج إلى إتقان ثلاثة مفاهيم فقط:

2. قواعد التفاضل.

3. مشتق دالة معقدة.

إنه بهذا الترتيب. إنه تلميح.)

بالطبع ، سيكون من الجيد أن يكون لديك فكرة عن المشتق بشكل عام). حول ماهية المشتق وكيفية التعامل مع جدول المشتقات - يمكن الوصول إليه في الدرس السابق. هنا سنتعامل مع قواعد التفاضل.

التفاضل هو عملية إيجاد مشتق. لا يوجد شيء وراء هذا المصطلح. أولئك. التعبيرات "أوجد مشتق دالة"و "وظيفة التفريق"- نفس الشئ.

تعبير "قواعد التمايز"يشير إلى إيجاد المشتق من العمليات الحسابية.يساعد هذا الفهم كثيرًا في تجنب ظهور العصيدة في الرأس.

دعونا نركز ونتذكر كل شيء ، كل شيء ، كل شيء عمليات حسابية. هناك أربعة منهم). الجمع (المجموع) والطرح (الفرق) والضرب (حاصل الضرب) والقسمة (حاصل القسمة). ها هي قواعد التفاضل:

تظهر اللوحة خمسةالقواعد على أربعةعمليات حسابية. لم أخطئ في التقدير.) إنها فقط أن القاعدة 4 هي نتيجة أولية للقاعدة 3. لكنها شائعة جدًا لدرجة أنه من المنطقي كتابتها (وتذكرها!) كصيغة مستقلة.

تحت التدوين يوو الخامسبعض الوظائف (على الإطلاق!) ضمنية يو (س)و الخامس (خ).

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة. أولا ، أبسطها.

أوجد مشتق الدالة y = sinx - x 2

لدينا هنا فرقوظيفتين أساسيتين. نطبق القاعدة 2. سنفترض أن sinx دالة يو، و x 2 دالة الخامس.لدينا كل الحق في أن نكتب:

y "= (sinx - x 2)" = (sinx) "- (x 2)"

أفضل بالفعل ، أليس كذلك؟) يبقى إيجاد مشتقات الجيب ومربع x. يوجد جدول مشتق لهذا. نبحث فقط في الجدول عن الوظائف التي نحتاجها ( sinxو x2) ، انظر إلى مشتقاتهم واكتب الإجابة:

y "= (sinx)" - (x 2) "= cosx - 2x

هذا كل ما في الامر. تعمل القاعدة 1 الخاصة بالتفريق بين المجموع بنفس الطريقة تمامًا.

ماذا لو كان لدينا مصطلحات متعددة؟ لا بأس.) نقسم الدالة إلى حدود ونبحث عن مشتق كل حد ، بغض النظر عن الحدود الأخرى. علي سبيل المثال:

أوجد مشتق الدالة y = sinx - x 2 + cosx - x +3

لا تتردد في الكتابة:

y "= (sinx)" - (x 2) "+ (cosx)" - (x) "+ (3)"

في نهاية الدرس ، سأقدم نصائح حول جعل الحياة أسهل عند التفريق.)

نصائح عملية:

1. قبل الاشتقاق ، نتطلع إلى معرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الوظيفة الأصلية.

2. في الأمثلة المشوشة ، نرسم الحل بالتفصيل ، بكل الأقواس والحدود.

3. عند اشتقاق الكسور ذات العدد الثابت في المقام ، فإننا نحول القسمة إلى عملية ضرب ونستخدم القاعدة 4.

من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتق وطرق حسابها. يعتبر المشتق من أهم مفاهيم التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه الفيزيائي والهندسي ، كيف نحسب مشتق دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) ، في بعض الفترات (أ ، ب) . النقطتان x و x0 تنتمي إلى هذه الفترة. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - اختلاف قيمها x-x0 . هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:

مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

وإلا يمكن كتابتها على النحو التالي:

ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ لكن اي واحدة:

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى الماديالمشتق: المشتق الزمني للمسار يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع ، منذ أيام الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر . متوسط ​​السرعةلبعض الوقت:

لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: أخرج الثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، كقاعدة عامة - إذا كنت تستطيع تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .

مثال. دعنا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف

مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق فرق الوظائف.

لن نعطي دليلاً على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.

أوجد مشتق دالة:

القاعدة الثالثة: مشتق حاصل ضرب التوابع

يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: أوجد مشتق دالة:

المحلول:

من المهم هنا أن نقول عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي منتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

في المثال أعلاه ، نواجه التعبير:

في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نأخذ أولاً في الاعتبار مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالحجة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة نفسها فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتق حاصل قسمة وظيفتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:

حاولنا الحديث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

لأية أسئلة حول هذا الموضوع وغيره ، يرجى الاتصال خدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب الضوابط والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تتعامل مع حساب المشتقات من قبل.