عند حل العديد من المشكلات العملية ، ليس من الضروري دائمًا توصيف متغير عشوائي تمامًا ، أي تحديد قوانين التوزيع. بالإضافة إلى ذلك ، فإن بناء دالة أو سلسلة من التوزيعات من أجل منفصل ، والكثافة - لمتغير عشوائي مستمر أمر مرهق وغير ضروري.

في بعض الأحيان ، يكفي الإشارة إلى المعلمات الرقمية الفردية التي تميز ميزات التوزيع جزئيًا. من الضروري معرفة متوسط ​​قيمة كل متغير عشوائي ، يتم حولها تجميع قيمته المحتملة ، أو درجة تشتت هذه القيم بالنسبة إلى المتوسط ​​، إلخ.

تسمى خصائص أهم سمات التوزيع الخصائص العددية متغير عشوائي.بمساعدتهم ، يتم تسهيل حل العديد من المشكلات الاحتمالية دون تحديد قوانين التوزيع بالنسبة لهم.

أهم ما يميز موضع المتغير العشوائي على المحور الحقيقي هو القيمة المتوقعة م[X]= أ ،والتي تسمى أحيانًا القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي. بالنسبة المتغير العشوائي المنفصل X معالقيم الممكنة x 1 , x 2 , … , x نوالاحتمالات ص 1 , ص 2 ,… , ص نيتم تحديده من خلال الصيغة

بالنظر إلى أن = 1 ، يمكننا الكتابة

في هذا الطريق، توقع رياضي المتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه المحتملة واحتمالاتها.المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي في أعداد كبيرةالتجارب تقترب من توقعاتها الرياضية.

بالنسبة المتغير العشوائي المستمر Xلا يتم تحديد التوقع الرياضي بالمجموع ، ولكن متكامل

أين F(x) - كثافة توزيع الكمية x.

لا يوجد توقع رياضي لجميع المتغيرات العشوائية. بالنسبة لبعضهم ، المجموع ، أو التكامل ، يتباعد ، وبالتالي لا يوجد توقع. في هذه الحالات ، لأسباب تتعلق بالدقة ، يجب على المرء أن يحد من المنطقة التغييرات الممكنةمتغير عشوائي س ،والتي من أجلها يتقارب المجموع أو التكامل.

في الممارسة العملية ، يتم أيضًا استخدام خصائص موضع متغير عشوائي مثل الوضع والمتوسط.

أزياء عشوائيةيتم استدعاء قيمته الأكثر احتمالا.في الحالة العامةالوضع والتوقعات ليست هي نفسها.

متوسط ​​المتغير العشوائيX هي قيمتها ، والتي من المرجح أن تحصل على قيمة أكبر أو أصغر لمتغير عشوائي، أي ، هذا هو الحد الأقصى للنقطة التي يتم فيها تقسيم المنطقة التي يحدها منحنى التوزيع إلى النصف. للحصول على توزيع متماثل ، جميع الخصائص الثلاث هي نفسها.

بالإضافة إلى التوقع الرياضي والوضع والوسيط ، تُستخدم أيضًا خصائص أخرى في نظرية الاحتمالات ، كل منها يصف خاصية معينة للتوزيع. على سبيل المثال ، الخصائص العددية التي تميز تشتت متغير عشوائي ، أي إظهار مدى قرب تجميع قيمه المحتملة حول التوقع الرياضي ، هي التباين والانحراف المعياري. إنها تكمل المتغير العشوائي بشكل كبير ، حيث توجد غالبًا في الممارسة العملية متغيرات عشوائية لها توقعات رياضية متساوية ، ولكن توزيعات مختلفة. عند تحديد خصائص التشتت ، يكون الفرق بين المتغير العشوائي Xوتوقعاتها الرياضية ، أي

أين لكن = م[X] - القيمة المتوقعة.

يسمى هذا الاختلاف متغير عشوائي متمركز ،القيمة المقابلة س ،والمشار إليها :

تباين المتغير العشوائيهو التوقع الرياضي لمربع انحراف القيمة عن توقعها الرياضي ، أي:

د[ X] = م [( X-a) 2] أو

د[ X] = م [ 2 ].

يعتبر تباين المتغير العشوائي خاصية ملائمة لتشتت وتشتت قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي. ومع ذلك ، فهي خالية من الرؤية ، لأنها تحتوي على أبعاد مربع المتغير العشوائي.

من أجل التوصيف المرئي للتشتت ، يكون من الأنسب استخدام كمية يتطابق أبعادها مع متغير عشوائي. هذه القيمة الانحراف المعياري المتغير العشوائي هو الجذر التربيعي الموجب لتباينه.

التوقع الرياضي ، النمط ، الوسيط ، التباين ، الانحراف المعياري - الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغيرات العشوائية. عند حل المشكلات العملية ، عندما يكون من المستحيل تحديد قانون التوزيع ، فإن الوصف التقريبي للمتغير العشوائي هو خصائصه العددية ، معبراً عن بعض خصائص التوزيع.

بالإضافة إلى الخصائص الرئيسية لتوزيع المركز (التوقع) والتشتت (التشتت) ، غالبًا ما يكون من الضروري وصف الخصائص المهمة الأخرى للتوزيع - تناظرو حدة،والتي يمكن تمثيلها باستخدام لحظات التوزيع.

يتم إعطاء توزيع المتغير العشوائي بالكامل إذا كانت كل لحظاته معروفة.ومع ذلك ، يمكن وصف العديد من التوزيعات بشكل كامل باستخدام اللحظات الأربع الأولى ، وهي ليست فقط معلمات تصف التوزيعات ، ولكنها تحتوي أيضًا على أهميةعند اختيار التوزيعات التجريبية ، أي عن طريق حساب القيم العددية للحظات من أجل معين سلسلة إحصائيةوباستخدام الرسوم البيانية الخاصة ، يمكنك تحديد قانون التوزيع.

في نظرية الاحتمالات ، يتم تمييز نوعين من اللحظات: أولية ومركزية.

اللحظة الأولى من الرتبة kمتغير عشوائي تييسمى التوقع الرياضي للكمية X ك ،بمعنى آخر.

لذلك ، بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل ، يتم التعبير عنه بالمجموع

وللاستمرار - لا يتجزأ

من بين اللحظات الأولى لمتغير عشوائي ، فإن لحظة الترتيب الأول ، وهي التوقع الرياضي ، لها أهمية خاصة. تستخدم اللحظات الأولية ذات الترتيب الأعلى بشكل أساسي لحساب اللحظات المركزية.

اللحظة المركزية من الرتبة kالمتغير العشوائي يسمى التوقع الرياضي للمتغير ( X - م [X])ك

أين لكن = م [س].

بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل ، يتم التعبير عنه بالمجموع

لكنالمستمر - لا يتجزأ

من بين اللحظات المركزية للمتغير العشوائي اللحظة المركزية من الدرجة الثانية ،الذي يمثل تباين المتغير العشوائي.

دائمًا ما تكون اللحظة المركزية من الدرجة الأولى هي صفر.

اللحظة الأولى الثالثةيميز عدم تناسق (انحراف) التوزيع ، ووفقًا لنتائج الملاحظات للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة ، يتم تحديده من خلال التعبيرات المقابلة:

نظرًا لأنه يحتوي على أبعاد مكعب لمتغير عشوائي ، من أجل الحصول على خاصية بلا أبعاد ، م 3مقسومًا على الانحراف المعياري للقوة الثالثة

تسمى القيمة الناتجة معامل عدم التناسق ، واعتمادًا على العلامة ، يميز الموجب ( كما> 0) أو سلبي ( كما< 0) انحراف التوزيع (الشكل 2.3).

القيمة المتوقعة. توقع رياضيالمتغير العشوائي المنفصل Xمضيف عدد محدودالقيم Xأنامع الاحتمالات صأنا، يسمى المجموع:

توقع رياضيمتغير عشوائي مستمر Xيسمى تكامل ناتج قيمه Xعلى كثافة التوزيع الاحتمالية F(x):

(6ب)

تكامل غير لائق (6 ب) من المفترض أن تكون متقاربة تمامًا (وإلا فإننا نقول أن التوقع م(X) غير موجود). التوقع الرياضي يميز يعنيمتغير عشوائي X. يتطابق أبعادها مع أبعاد المتغير العشوائي.

خصائص التوقع الرياضي:

تشتت. تشتتمتغير عشوائي Xالرقم يسمى:

التشتت خاصية التشتتقيم متغير عشوائي Xبالنسبة لمتوسط ​​قيمته م(X). أبعاد التباين تساوي أبعاد مربع المتغير العشوائي. بناءً على تعريفات التباين (8) والتوقع الرياضي (5) لمتغير عشوائي منفصل و (6) لمتغير عشوائي مستمر ، نحصل على تعبيرات مماثلة للتباين:

(9)

هنا م = م(X).

خصائص التشتت:

الانحراف المعياري:

(11)

نظرًا لأن بُعد الانحراف المعياري هو نفسه أبعاد المتغير العشوائي ، فإنه غالبًا ما يكون أكثر من التباين المستخدم كمقياس للتشتت.

لحظات التوزيع. تعتبر مفاهيم التوقع الرياضي والتباين حالات خاصة لأكثر من ذلك المفهوم العامللخصائص العددية للمتغيرات العشوائية - لحظات التوزيع. يتم تقديم لحظات توزيع المتغير العشوائي كتوقعات رياضية لبعض الوظائف البسيطة لمتغير عشوائي. إذن ، لحظة النظام كنسبة إلى هذه النقطة X 0 يسمى التوقع م(X–X 0 )ك. لحظات بالنسبة إلى الأصل X= 0 تسمى لحظات أوليةويتم تمييزها:

(12)

اللحظة الأولى من الترتيب الأول هي مركز توزيع المتغير العشوائي المدروس:

(13)

لحظات بالنسبة لمركز التوزيع X= ممسمى لحظات مركزيةويتم تمييزها:

(14)

من (7) يترتب على ذلك أن اللحظة المركزية من الدرجة الأولى تساوي دائمًا صفرًا:

لا تعتمد اللحظات المركزية على أصل قيم المتغير العشوائي ، لأنه مع التحول بمقدار قيمة ثابتة منيتم تحويل مركز توزيعه بنفس القيمة منولا يتغير الانحراف عن المركز: X – م = (X – من) – (م – من).
الآن من الواضح أن تشتت- هذه اللحظة المركزية من الدرجة الثانية:

عدم التماثل. اللحظة المركزية من الترتيب الثالث:

(17)

يعمل على التقييم انحراف التوزيع. إذا كان التوزيع متماثلًا حول النقطة X= م، إذن ستكون اللحظة المركزية من الترتيب الثالث مساوية للصفر (بالإضافة إلى جميع اللحظات المركزية للأوامر الفردية). لذلك ، إذا كانت اللحظة المركزية من الرتبة الثالثة مختلفة عن الصفر ، فلا يمكن أن يكون التوزيع متماثلًا. يتم تقدير حجم عدم التناسق باستخدام أبعاد معامل عدم التناسق:

(18)

تشير علامة معامل عدم التناسق (18) إلى عدم تناسق الجانب الأيمن أو الجانب الأيسر (الشكل 2).

أرز. 2. أنواع عدم تناسق التوزيعات.

إفراط. اللحظة المركزية من الترتيب الرابع:

(19)

يعمل على تقييم ما يسمى ب التفرطح، والتي تحدد درجة انحدار (نقطة) منحنى التوزيع بالقرب من مركز التوزيع فيما يتعلق بمنحنى التوزيع الطبيعي. نظرًا للتوزيع الطبيعي ، فإن الكمية المأخوذة على أنها تفرطح هي:

(20)

على التين. يوضح الشكل 3 أمثلة لمنحنيات التوزيع بقيم مختلفة من التفرطح. لتوزيع طبيعي ه= 0. المنحنيات التي بلغت ذروتها أكثر من المعتاد لها تفرطح إيجابي ، والمنحنيات ذات القمم المسطحة أكثر بها تفرطح سلبي.

أرز. 3. منحنيات التوزيع بدرجات مختلفة من الانحدار (التفرطح).

لحظات مرتبة أعلى في التطبيقات الهندسية الإحصاء الرياضيعادة لا تطبق.

موضة منفصلهالمتغير العشوائي هو القيمة الأكثر احتمالا. موضة مستمرالمتغير العشوائي هو القيمة التي تكون عندها كثافة الاحتمال القصوى (الشكل 2). إذا كان منحنى التوزيع له حد أقصى واحد ، فسيتم استدعاء التوزيع أحادي. إذا كان لمنحنى التوزيع أكثر من حد أقصى ، فسيتم استدعاء التوزيع متعدد الوسائط. في بعض الأحيان توجد توزيعات ليس لمنحنياتها حدًا أقصى ، ولكن لها حد أدنى. تسمى هذه التوزيعات مضاد. في الحالة العامة ، لا يتطابق الوضع مع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي. في حالة معينة ، من أجل مشروط، بمعنى آخر. وجود وضع ، توزيع متماثل ، بشرط أن يكون هناك توقع رياضي ، يتزامن هذا الأخير مع وضع ومركز تناظر التوزيع.

الوسيط متغير عشوائي Xهو معناها أنا، والتي لها المساواة: من المرجح بنفس القدر أن المتغير العشوائي Xسيكون أقل أو أكثر أنا. هندسيا الوسيطهي حدود النقطة التي تنقسم عندها المنطقة الواقعة تحت منحنى التوزيع إلى نصفين (الشكل 2). في حالة التوزيع النمطي المتماثل ، يكون الوسيط والأسلوب والمتوسط ​​هو نفسه.

"وحدات قياس الكميات الفيزيائية" - الخطأ المطلقيساوي نصف قيمة القسمة أداة قياس. ميكرومتر. يتم الحصول على النتيجة مباشرة باستخدام جهاز القياس. طول الصندوق: 4 سم قصير ، 5 سم أكثر. لكل الكمية الماديةوحدات القياس المناسبة متوفرة. ساعة حائط. خطأ نسبي.

"قيم الطول" - 2. ما هي الكميات التي يمكن مقارنتها مع بعضها البعض: 2. اشرح سبب حل المشكلة التالية باستخدام الإضافة: 2. قم بتبرير اختيار الإجراء عند حل المشكلة. كم عدد الحزم التي حصلت عليها؟ كم عدد الأقلام في ثلاثة من هذه الصناديق؟ تم خياطة الفساتين من 12 م من القماش كل منها 4 م كم عدد الفساتين المخيطة؟

"الكميات الفيزيائية" - حدود تفصل بين الفيزياء وغيرها علوم طبيعية، مشروطة تاريخيا. تحتوي نتيجة أي قياس دائمًا على بعض الأخطاء. موضوع جديد. سرعة. تفاعل الهاتف. يتم تقديم القوانين الفيزيائية في شكل نسب كمية معبر عنها بلغة الرياضيات. خطأ في القياس.

"الرقم نتيجة قياس قيمة" - "رقم نتيجة قياس قيمة" درس رياضيات في الصف الأول. قياس طول المقطع بمعيار.

"الأعداد والكميات" - الإلمام بمفهوم الكتلة. مقارنة الكتل بدون قياسات. الترقيم الروماني المكتوب. الاهلية. يتعلم الطالب: الأعداد والكميات (30 ساعة) تنسيق الشعاع مفهوم الشعاع الإحداثي. نتائج المواد المخططة في قسم "الأعداد والكميات" بالصف الثاني. المبدأ العامتكوين الأعداد الأصلية داخل الأعداد المدروسة.

"حجم الطلب" - أسباب التغيرات في الطلب. منحنى DD الذي تم الحصول عليه على الرسم البياني (من الطلب الإنجليزي - "الطلب") يسمى منحنى الطلب. طلب مرن (Epd> 1). مقدار الطلب. العوامل المؤثرة على الطلب. يسمى اعتماد الكمية المطلوبة على مستوى السعر مقياس الطلب. طلب غير مرن على الإطلاق (Epd = 0).

71 ، الخصائص العددية للمتغيرات العشوائيةتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية لحساب مؤشرات الموثوقية. في العديد من أسئلة الممارسة ، ليست هناك حاجة لتوصيف متغير عشوائي بشكل كامل وشامل. غالبًا ما يكون كافياً للإشارة إلى المعلمات الرقمية فقط التي تميز إلى حد ما السمات الأساسية لتوزيع متغير عشوائي ، على سبيل المثال: يعني ، بالقرب من يتم تجميع القيم المحتملة للمتغير العشوائي ؛ رقم يميز تشتت متغير عشوائي بالنسبة لمتوسط ​​القيمة ، إلخ. المعلمات العددية التي تسمح في شكل مضغوط بالتعبير عن أهم سمات المتغير العشوائي تسمى الخصائص العددية للمتغير العشوائي.

لكن) ب)

أرز. 11 تعريف التوقع

الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية المستخدمة في نظرية الموثوقية ترد في الجدول. واحد.

72 ، توقع(متوسط ​​القيمة) لمتغير عشوائي مستمر تنتمي قيمه المحتملة إلى الفترة الزمنية ، هو تكامل محدد (الشكل 11 ، ب)

. (26)

يمكن التعبير عن التوقع الرياضي من حيث تكملة الوظيفة المتكاملة. للقيام بذلك ، نستبدل (11) في (26) وندمج أجزاء التعبير الناتج

, (27)

لأن و ، ومن بعد

. (28)

للمتغيرات العشوائية غير السلبية التي تنتمي قيمها المحتملة إلى الفترة الزمنية ، الصيغة (28) تأخذ الشكل

. (29)

أي التوقع الرياضي لمتغير عشوائي غير سلبي تنتمي قيمه المحتملة إلى الفترة الزمنية ، يساوي عدديًا المساحة الواقعة أسفل الرسم البياني لمكمل دالة التكامل (الشكل 11 ، لكن).

73 ، يعني الوقت حتى الفشل الأول المعلومات الإحصائية يتم تحديده من خلال الصيغة

, (30)

أين هو وقت الفشل الأول أناالكائن -th ن- عدد الأشياء المختبرة.

وبالمثل ، يتم تحديد متوسط ​​الموارد ومتوسط ​​عمر الخدمة ومتوسط ​​وقت الاسترداد ومتوسط ​​العمر الافتراضي.

74 ، تشتت متغير عشوائي حول قيمته المتوقعةتقييمها باستخدام تشتت الانحراف المعياري(RMS) و معامل الاختلاف.

التباين في المتغير العشوائي المستمر X هو التوقع الرياضي للانحراف التربيعي للمتغير العشوائي عن توقعه الرياضي ويتم حسابه بواسطة الصيغة

. (31)

تشتتله أبعاد مربع المتغير العشوائي ، وهذا ليس مناسبًا دائمًا.

75 ، الانحراف المعياريالمتغير العشوائي هو الجذر التربيعيمن التباين ولها أبعاد متغير عشوائي

. (32)

76 ، معامل الاختلافهو مؤشر نسبي لتشتت متغير عشوائي ويتم تعريفه على أنه نسبة الانحراف المعياري إلى التوقع الرياضي

. (33)

77 ، جاما - قيمة النسبة المئوية لمتغير عشوائي- قيمة المتغير العشوائي المطابق لاحتمال معين أن المتغير العشوائي يأخذ قيمة أكبر من

. (34)

78 ، جاما - يمكن تحديد القيمة المئوية لمتغير عشوائي من خلال دالة متكاملة ، وظيفتها التكميلية والتفاضلية (الشكل 12). قيمة النسبة المئوية لجاما للمتغير العشوائي هي مقدار الاحتمال (الشكل 12 ، لكن)

. (35)

تستخدم نظرية الموثوقية قيمة النسبة المئوية جاما للموارد وعمر الخدمة وفترة الصلاحية(الجدول 1). تسمى نسبة جاما بالموارد ، ومدة الخدمة ، ومدة الصلاحية ،الذي يحتوي (ويتجاوز) نسبة كائنات من نوع معين.

لكن) ب)

شكل 12 تحديد قيمة النسبة المئوية لجاما لمتغير عشوائي

مصدر النسبة المئوية لجامايميز متانةعلى المستوى المحدد احتمال عدم التدمير. يتم تعيين مورد نسبة جاما مع الأخذ في الاعتبار مسؤولية الكائنات. على سبيل المثال ، بالنسبة للمحامل الدوارة ، غالبًا ما يتم استخدام مورد 90٪ ، لمحامل أكثر الأشياء أهمية ، ويتم اختيار مورد 95٪ وما فوق ، مما يجعله أقرب إلى 100٪ إذا كان الفشل يهدد الحياة.

79 ، متوسط ​​متغير عشوائيهي قيمة النسبة المئوية لجاما عند . للوسيط من المحتمل أيضًا أن يكون المتغير العشوائي تيأكثر أو أقل منه ، أي.

هندسيًا ، الوسيط هو حد السيني لنقطة تقاطع دالة التوزيع المتكاملة ومكملتها (الشكل 12 ، ب). يمكن تفسير الوسيط على أنه إحداثيات النقطة التي يقسم عندها إحداثيات الوظيفة التفاضلية المنطقة التي يحدها منحنى التوزيع (الشكل 12 ، في).

يتم استخدام متوسط ​​المتغير العشوائي في نظرية الموثوقية كسمة عددية للمورد ، ومدة الخدمة ، ومدة الصلاحية (الجدول 1).

هناك علاقة وظيفية بين مؤشرات موثوقية الكائنات. معرفة إحدى الوظائف
يسمح لك بتحديد مؤشرات الموثوقية الأخرى. ويرد ملخص للعلاقات بين مؤشرات الموثوقية في الجدول. 2.

الجدول 2. العلاقة الوظيفية بين مؤشرات الموثوقية

القيم العشوائية وقوانين توزيعها.

عشوائي تسمى الكمية التي تأخذ قيمًا بناءً على مجموعة الظروف العشوائية. يميز منفصله وعشوائي مستمر كميات.

منفصله يتم استدعاء الكمية إذا كانت تأخذ مجموعة قابلة للعد من القيم. ( مثال:عدد المرضى في عيادة الطبيب ، عدد الحروف في كل صفحة ، عدد الجزيئات في حجم معين).

مستمر تسمى الكمية التي يمكن أن تأخذ قيمًا خلال فترة زمنية معينة. ( مثال:درجة حرارة الهواء ووزن الجسم وارتفاع الإنسان وما إلى ذلك)

قانون التوزيع المتغير العشوائي عبارة عن مجموعة من القيم المحتملة لهذه الكمية ، والتي تتوافق مع هذه القيم ، الاحتمالات (أو تكرارات الحدوث).

مثال:

الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية.

في كثير من الحالات ، جنبًا إلى جنب مع توزيع متغير عشوائي أو بدلاً من ذلك ، يمكن توفير معلومات حول هذه الكميات من خلال معلمات رقمية تسمى الخصائص العددية لمتغير عشوائي . الأكثر استخدامًا منها:

1 .القيمة المتوقعة - (القيمة المتوسطة) لمتغير عشوائي هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه المحتملة واحتمالات هذه القيم:

2 .تشتت متغير عشوائي:

3 .الانحراف المعياري :

ثلاث علامات - إذا تم توزيع متغير عشوائي وفقًا لقانون عادي ، فإن انحراف هذه القيمة عن القيمة المتوسطة في القيمة المطلقة لا يتجاوز ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري

قانون غاوس - قانون التوزيع العادي

غالبًا ما يتم توزيع القيم القانون العادي (قانون جاوس). الميزة الأساسية : إنه القانون المقيد الذي تقترب منه قوانين التوزيع الأخرى.

عادة ما يتم توزيع المتغير العشوائي إذا كان كثافة الاحتمال يشبه:

م (X) - التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ؛

 - الانحراف المعياري.

كثافة الاحتمال (دالة التوزيع) توضح كيف يتغير الاحتمال المرتبط بالفاصل الزمني DX متغير عشوائي حسب قيمة المتغير نفسه:

المفاهيم الأساسية للإحصاء الرياضي

الإحصاء الرياضي - فرع من فروع الرياضيات التطبيقية ، متاخم مباشرة لنظرية الاحتمال. يتمثل الاختلاف الرئيسي بين الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات في أن الإحصاء الرياضي لا يأخذ في الاعتبار الإجراءات المتعلقة بقوانين التوزيع والخصائص العددية للمتغيرات العشوائية ، ولكن الطرق التقريبية لإيجاد هذه القوانين والخصائص العددية بناءً على النتائج التجريبية.

مفاهيم أساسية الإحصاءات الرياضية هي:

عامه السكان؛

عينة؛

سلسلة التباين

موضه؛

الوسيط؛

النسبة المئوية

تردد المضلع،

شريط الرسم البياني.

تعداد سكاني - عدد كبير من السكان الإحصائيين يتم من خلاله اختيار بعض العناصر للبحث

(مثال:جميع سكان المنطقة ، وطلاب الجامعات في المدينة ، وما إلى ذلك)

عينة (عينة من السكان) - مجموعة من العناصر المختارة من عامة السكان.

سلسلة التباين - التوزيع الإحصائي المكون من المتغيرات (قيم متغير عشوائي) والترددات المقابلة لها.

مثال:

X , كلغ

م

x - قيمة متغير عشوائي (كتلة الفتيات في سن 10 سنوات) ؛

م - عدد مرات الحدوث.

موضة - قيمة المتغير العشوائي الذي يتوافق مع أعلى تكرار للوقوع. (في المثال أعلاه ، 24 كجم هي القيمة الأكثر شيوعًا للأزياء: م = 20).

الوسيط - قيمة المتغير العشوائي الذي يقسم التوزيع إلى النصف: نصف القيم تقع على يمين الوسيط ، النصف (ليس أكثر) - على اليسار.

مثال:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

في المثال ، نلاحظ 40 قيمة لمتغير عشوائي. يتم ترتيب جميع القيم بترتيب تصاعدي ، مع مراعاة تكرار حدوثها. يمكن ملاحظة أن 20 (نصف) من 40 قيمة تقع على يمين القيمة المحددة 7. إذن 7 هو الوسيط.

لتمييز التبعثر ، نجد القيم التي لم تكن أعلى من 25 و 75٪ من نتائج القياس. تسمى هذه القيم الخامس والعشرين والخامس والسبعين النسب المئوية . إذا كان الوسيط يقسم التوزيع ، فسيتم قطع النسب المئوية الخامسة والعشرين والخامسة والسبعين عنه بمقدار الربع. (بالمناسبة ، يمكن اعتبار الوسيط نفسه هو المئين الخمسين.) كما ترى من المثال ، فإن النسب المئوية 25 و 75 هي 3 و 8 على التوالي.

استعمال منفصله (نقطة) التوزيع الإحصائي و مستمر (فترة) التوزيع الإحصائي.

من أجل الوضوح ، يتم وصف التوزيعات الإحصائية بيانياً في النموذج تردد المضلع أو - الرسوم البيانية .

تردد المضلع - خط متقطع ، تربط أجزائه النقاط بالإحداثيات ( x 1 , م 1 ), (x 2 , م 2 )، ...، أو ل مضلع الترددات النسبية - مع الإحداثيات ( x 1 ، ر * 1 ), (x 2 ، ر * 2 )، ...(رسم بياني 1).

مم أنا / نو (خ)

x x

الشكل 1 الشكل 2

التردد الرسومي - مجموعة من المستطيلات المجاورة مبنية على خط مستقيم واحد (الشكل 2) ، قواعد المستطيلات متساوية ومتساوية DX ، والارتفاعات تساوي نسبة التردد إلى DX ، أو ص * ل DX (كثافة الاحتمال).

مثال:

س ، كجم