في دورة الجبر للصف السابع ، انخرطنا في تحويل التعبيرات الصحيحة ، أي التعبيرات المكونة من أرقام ومتغيرات باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب ، وكذلك القسمة على رقم غير الصفر. وبالتالي ، فإن التعبيرات هي أعداد صحيحة

في المقابل ، التعبيرات

بالإضافة إلى إجراء الجمع والطرح والضرب ، فإنها تحتوي على قسمة بتعبير مع المتغيرات. تسمى هذه التعبيرات بالتعبيرات الكسرية.

تسمى التعبيرات الصحيحة والكسرية التعبيرات المنطقية.

يكون تعبير العدد الصحيح منطقيًا لأي قيم للمتغيرات المضمنة فيه ، لأنه من أجل العثور على قيمة تعبير كامل ، تحتاج إلى تنفيذ الإجراءات الممكنة دائمًا.

قد لا يكون التعبير الكسري لبعض قيم المتغيرات منطقيًا. على سبيل المثال ، التعبير - لا معنى له بالنسبة إلى = 0. بالنسبة لجميع قيم a الأخرى ، يكون هذا التعبير منطقيًا. يكون التعبير منطقيًا لقيمتي x و y عند x y.

تسمى القيم المتغيرة التي يكون التعبير لها معنى قيمًا متغيرة صالحة.

يسمى تعبير النموذج ، كما تعلم ، كسر.

يُطلق على الكسر الذي يكون بسطه ومقامه كثير حدود الكسر الكسري الكسري.

الكسور أمثلة على الكسور النسبية.

في جزء منطقيمقبولة هي قيم المتغيرات التي لا يختفي فيها مقام الكسر.

مثال 1لنجد القيم الصحيحة للمتغير في الكسر

المحلولللعثور على قيم مقام الكسر التي تختفي ، تحتاج إلى حل المعادلة أ (أ - 9) \ u003d 0. هذه المعادلة لها جذران: 0 و 9. لذلك ، جميع الأرقام باستثناء 0 و 9 هي قيم صالحة للمتغير أ.

مثال 2ما قيمة x هي قيمة الكسر يساوي الصفر؟

المحلولالكسر يساوي صفرًا فقط إذا كان a يساوي 0 و b 0.

تتناول هذه المقالة كيفية العثور على قيم التعبيرات الرياضية. لنبدأ بالتعبيرات العددية البسيطة وبعد ذلك سننظر في الحالات كلما زاد تعقيدها. في النهاية ، نعطي تعبيرًا يحتوي على تسميات الحروف والأقواس والجذور والخاصة علامات رياضية، درجات ، وظائف ، إلخ. النظرية بأكملها ، وفقًا للتقاليد ، سيتم تزويدها بأمثلة وفيرة ومفصلة.

كيف تجد قيمة التعبير الرقمي؟

تساعد التعبيرات الرقمية ، من بين أشياء أخرى ، في وصف حالة المشكلة لغة رياضية. بشكل عام ، يمكن أن تكون التعبيرات الرياضية إما بسيطة جدًا ، تتكون من زوج من الأرقام والعلامات الحسابية ، أو معقدة جدًا ، وتحتوي على وظائف ودرجات وجذور وأقواس ، إلخ. كجزء من المهمة ، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على قيمة التعبير. كيفية القيام بذلك سوف تناقش أدناه.

أبسط الحالات

هذه هي الحالات التي لا يحتوي فيها التعبير إلا على الأرقام والحسابات. للعثور على قيم هذه التعبيرات بنجاح ، ستحتاج إلى معرفة الترتيب الذي تتم به العمليات الحسابية بدون أقواس ، بالإضافة إلى القدرة على إجراء عمليات بأرقام مختلفة.

إذا كان التعبير يحتوي فقط على أرقام وعلامات حسابية "+" ، "·" ، "-" ، "" ، يتم تنفيذ العمليات من اليسار إلى اليمين بالترتيب التالي: الضرب والقسمة الأول ، ثم الجمع والطرح. دعونا نعطي أمثلة.

مثال 1. القيمة تعبير رقمي

فليكن من الضروري إيجاد قيم التعبير 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

لنقم بالضرب والقسمة أولًا. نحن نحصل:

14-2 15 6-3 = 14-30 6-3 = 14-5-3.

الآن نطرح ونحصل على النتيجة النهائية:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

مثال 2. قيمة التعبير الرقمي

لنحسب: 0، 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12.

أولاً نقوم بتحويل الكسور والقسمة والضرب:

0، 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

لنقم الآن بعملية الجمع والطرح. لنجمع الكسور ونجمعهم في قاسم مشترك:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

تم العثور على القيمة المطلوبة.

التعبيرات ذات الأقواس

إذا احتوى التعبير على أقواس ، فإنهم يحددون ترتيب الإجراءات في هذا التعبير. أولاً ، يتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين ، ثم كل الإجراءات المتبقية. دعنا نظهر هذا بمثال.

مثال 3. قيمة التعبير الرقمي

أوجد قيمة التعبير 0. 5 · (0. 76 - 0. 06).

يحتوي التعبير على أقواس ، لذلك نقوم أولاً بإجراء عملية الطرح بين قوسين ، وبعد ذلك فقط نقوم بعملية الضرب.

0.5 (0.76 - 0.06) = 0.5 0.7 = 0.35.

تم العثور على قيمة التعبيرات التي تحتوي على أقواس وفقًا لنفس المبدأ.

مثال 4. قيمة التعبير الرقمي

لنحسب القيمة 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4.

سنقوم بتنفيذ الإجراءات بدءًا من الأقواس الداخلية ، والانتقال إلى الأقواس الخارجية.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 ، 5 = 1 + 2 6 = 13.

في إيجاد قيم التعبيرات ذات الأقواس ، الشيء الرئيسي هو اتباع تسلسل الإجراءات.

التعبيرات ذات الجذور

قد تحتوي التعبيرات الرياضية التي نحتاج إلى إيجاد قيمها على إشارات جذرية. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون التعبير نفسه تحت علامة الجذر. كيف تكون في هذه الحالة؟ تحتاج أولاً إلى إيجاد قيمة التعبير تحت الجذر ، ثم استخراج الجذر من الرقم الناتج. إذا أمكن ، يجب التخلص بشكل أفضل من الجذور في التعبيرات العددية ، واستبدالها بـ القيم العددية.

مثال 5. قيمة التعبير الرقمي

لنحسب قيمة التعبير ذي الجذور - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 ، 2 + 0 ، 1 0 ، 5.

أولًا ، نحسب المقادير الجذرية.

2 3 - 1 + 60 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2، 2 + 0، 1 0، 5 = 2، 2 + 0، 05 = 2، 25 = 1، 5.

يمكننا الآن حساب قيمة التعبير بالكامل.

2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2، 2 + 0، 1 0، 5 = 2 + 3 1، 5 = 6، 5

في كثير من الأحيان ، للعثور على قيمة تعبير له جذور ، غالبًا ما يكون من الضروري أولاً تحويل التعبير الأصلي. لنوضح هذا بمثال آخر.

مثال 6. قيمة التعبير الرقمي

ما هو 3 + 1 3-1-1

كما ترى ، ليس لدينا القدرة على استبدال الجذر بقيمة دقيقة ، مما يعقد عملية العد. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، يمكنك تطبيق صيغة الضرب المختصرة.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

في هذا الطريق:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

تعابير ذات قوى

إذا كان التعبير يحتوي على قوى ، فيجب حساب قيمها قبل متابعة جميع الإجراءات الأخرى. يحدث أن الأس نفسه أو أساس الدرجة عبارة عن تعبيرات. في هذه الحالة ، يتم حساب قيمة هذه التعبيرات أولاً ، ثم قيمة الدرجة.

مثال 7. قيمة التعبير الرقمي

أوجد قيمة التعبير 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 ، 5 - 2 1 4.

نبدأ في الحساب بالترتيب.

2 3 4-10 = 2 12-10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3 ، 5 - 2 1 4 = 16 * 0 ، 5 3 = 16 1 8 = 2.

يبقى فقط تنفيذ عملية الإضافة ومعرفة قيمة التعبير:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 ، 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

يُنصح أيضًا في كثير من الأحيان بتبسيط التعبير باستخدام خصائص الدرجة.

مثال 8. قيمة التعبير الرقمي

لنحسب قيمة التعبير التالي: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6.

يتم وضع الأس مرة أخرى بحيث لا يمكن الحصول على القيم العددية الدقيقة. بسّط التعبير الأصلي لإيجاد قيمته.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

التعبيرات ذات الكسور

إذا كان التعبير يحتوي على كسور ، فعند حساب مثل هذا التعبير ، يجب تمثيل جميع الكسور فيه ككسور عادية وقيمها المحسوبة.

إذا كانت هناك تعبيرات في البسط والمقام في الكسر ، فسيتم حساب قيم هذه التعبيرات أولاً ، ويتم تسجيل القيمة النهائية للكسر نفسه. يتم تنفيذ العمليات الحسابية بالترتيب القياسي. لنفكر في مثال للحل.

مثال 9. قيمة التعبير الرقمي

لنجد قيمة التعبير الذي يحتوي على كسور: 3، 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

كما ترى ، هناك ثلاثة كسور في التعبير الأصلي. دعونا أولا نحسب قيمهم.

3، 2 2 = 3، 2 2 = 1، 6

٧ - ٢ ٣ ٦ = ٧ - ٦ ٦ = ٦ ١

1 + 2 + 3 9-6 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

دعونا نعيد كتابة التعبير ونحسب قيمته:

1 ، 6-3 1 6 ÷ 1 = 1 ، 6-0 ، 5 1 = 1 ، 1

في كثير من الأحيان ، عند إيجاد قيم التعبيرات ، يكون من المناسب تقليل الكسور. هناك قاعدة غير معلنة: قبل العثور على قيمتها ، من الأفضل تبسيط أي تعبير إلى الحد الأقصى ، وتقليل جميع العمليات الحسابية إلى أبسط الحالات.

مثال 10. قيمة التعبير الرقمي

لنحسب التعبير 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

لا يمكننا استخراج جذر خمسة تمامًا ، لكن يمكننا تبسيط المقدار الأصلي من خلال عمليات التحويل.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

يأخذ التعبير الأصلي الشكل:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

دعنا نحسب قيمة هذا التعبير:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

التعبيرات مع اللوغاريتمات

عندما تكون اللوغاريتمات موجودة في تعبير ما ، فإن قيمتها ، إن أمكن ، تحسب من البداية. على سبيل المثال ، في التعبير log 2 4 + 2 4 ، يمكنك كتابة قيمة هذا اللوغاريتم على الفور بدلاً من log 2 4 ، ثم تنفيذ جميع الإجراءات. نحصل على: سجل 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

يمكن أيضًا العثور على التعبيرات الرقمية تحت علامة اللوغاريتم وفي قاعدته. في هذه الحالة ، فإن الخطوة الأولى هي إيجاد قيمهم. لنأخذ التعبير log 5-6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. لدينا:

سجل 5-6 3 5 2 + 2 + 7 = سجل 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

إذا كان من المستحيل حساب القيمة الدقيقة للوغاريتم ، فإن تبسيط التعبير يساعد في إيجاد قيمتها.

مثال 11. قيمة التعبير الرقمي

أوجد قيمة التعبير log 2 log 2256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5729 log 0، 2 27.

السجل 2 السجل 2264 = السجل 2 8 = 3.

حسب خاصية اللوغاريتمات:

سجل 6 2 + سجل 6 3 = سجل 6 (2 3) = سجل 6 6 = 1.

مرة أخرى بتطبيق خصائص اللوغاريتمات ، نحصل على الكسر الأخير في التعبير:

السجل 5729 السجل 0 ، 2 27 = السجل 5729 السجل 1 5 27 = السجل 5729 - السجل 5 27 = - السجل 27729 = - السجل 27 27 2 = - 2.

الآن يمكنك المتابعة إلى حساب قيمة التعبير الأصلي.

سجل 2 سجل 2264 + سجل 6 2 + سجل 6 3 + سجل 5729 سجل 0 ، 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

التعبيرات ذات الدوال المثلثية

يحدث في التعبير أن هناك دوال مثلثية لكل من الجيب وجيب التمام والظل والظل ، بالإضافة إلى الدوال المعكوسة لها. من القيمة يتم حسابها قبل إجراء جميع العمليات الحسابية الأخرى. خلاف ذلك ، يتم تبسيط التعبير.

مثال 12. قيمة التعبير الرقمي

أوجد قيمة التعبير: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

أولاً ، نحسب القيم الدوال المثلثيةالمدرجة في التعبير.

الخطيئة - 5 π 2 \ u003d - 1

استبدل القيم الموجودة في التعبير واحسب قيمتها:

t g 2 4 π 3 - الخطيئة - 5 π 2 + cosπ \ u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \ u003d 3 + 1 - 1 \ u003d 3.

تم العثور على قيمة التعبير.

في كثير من الأحيان ، من أجل العثور على قيمة تعبير ذي دوال مثلثية ، يجب أولاً تحويلها. دعنا نوضح بمثال.

مثال 13. قيمة التعبير الرقمي

من الضروري إيجاد قيمة التعبير cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9-1.

للتحويل سوف نستخدم الصيغ المثلثيةجيب التمام زاوية مزدوجةوجيب تمام المجموع.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9-1 = cos 2 π 8 cos 5 36 + 9-1 = cos π 4 cos π 4-1 = 1 - 1 = 0.

الحالة العامة للتعبير الرقمي

في الحالة العامة ، يمكن أن يحتوي التعبير المثلثي على جميع العناصر الموضحة أعلاه: الأقواس ، والدرجات ، والجذور ، واللوغاريتمات ، والوظائف. دعونا نصيغ قاعدة عامةإيجاد قيم مثل هذه التعبيرات.

كيف تجد قيمة التعبير

1. الجذور والقوى واللوغاريتمات ، إلخ. يتم استبدالها بقيمها.
2. يتم تنفيذ الإجراءات بين قوسين.
3. يتم تنفيذ الخطوات المتبقية بالترتيب من اليسار إلى اليمين. أولا - الضرب والقسمة ثم - الجمع والطرح.

لنأخذ مثالا.

مثال 14. قيمة التعبير الرقمي

لنحسب قيمة التعبير - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

التعبير معقد للغاية ومرهق. ليس من قبيل المصادفة أننا اخترنا مثل هذا المثال فقط ، في محاولة لملاءمته مع جميع الحالات الموضحة أعلاه. كيف تجد قيمة مثل هذا التعبير؟

من المعروف أنه عند حساب قيمة الصيغة الكسرية المعقدة ، يتم أولاً العثور على قيم البسط والمقام بشكل منفصل ، على التوالي. سنقوم بتحويل وتبسيط هذا التعبير على التوالي.

أولًا ، نحسب قيمة التعبير الجذري 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد قيمة الجيب ، والتعبير الذي يمثل وسيطة الدالة المثلثية.

6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = 6 + 2 2 π + 3 π 5 = 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

الآن يمكنك معرفة قيمة الجيب:

الخطيئة π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

نحسب قيمة التعبير الجذري:

2 الخطيئة π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 خطيئة π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

مع مقام الكسر ، كل شيء أسهل:

يمكننا الآن كتابة قيمة الكسر كله:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

مع وضع هذا في الاعتبار ، نكتب التعبير بالكامل:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

النتيجة النهائية:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

في هذه الحالة ، تمكنا من حساب القيم الدقيقة للجذور واللوغاريتمات والجيب وما إلى ذلك. إذا لم يكن ذلك ممكنًا ، يمكنك محاولة التخلص منها عن طريق التحولات الرياضية.

حساب التعبيرات بطرق عقلانية

يجب حساب القيم الرقمية بشكل متسق ودقيق. يمكن ترشيد هذه العملية وتسريعها باستخدام خصائص مختلفة للعمليات مع الأرقام. على سبيل المثال ، من المعروف أن المنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. بالنظر إلى هذه الخاصية ، يمكننا أن نقول على الفور إن المقدار 2386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، ليس من الضروري على الإطلاق تنفيذ الخطوات بالترتيب الموضح في المقالة أعلاه.

من الملائم أيضًا استخدام خاصية طرح أعداد متساوية. بدون تنفيذ أي إجراءات ، من الممكن ترتيب قيمة التعبير 56 + 8 - 3، 789 ln e 2-56 + 8 - 3، 789 ln e 2 تساوي صفرًا أيضًا.

هناك أسلوب آخر يسمح لك بتسريع العملية وهو استخدام تحويلات متطابقة مثل تجميع المصطلحات والعوامل وإخراج العامل المشترك من الأقواس. تتمثل الطريقة المنطقية لحساب التعبيرات ذات الكسور في تقليل نفس المقادير في البسط والمقام.

على سبيل المثال ، لنأخذ التعبير 2 3 - 1 5 + 3289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3289 3 4. بدون تنفيذ الإجراءات بين قوسين ، ولكن بتقليل الكسر ، يمكننا القول أن قيمة التعبير هي 1 3.

إيجاد قيم التعبيرات ذات المتغيرات

تم العثور على معنى التعبير الحرفي والتعبير مع المتغيرات محددة نقاط الضبطالحروف والمتغيرات.

إيجاد قيم التعبيرات ذات المتغيرات

للعثور على قيمة التعبير الحرفي والتعبير ذي المتغيرات ، تحتاج إلى استبدال القيم المعطاة للأحرف والمتغيرات في التعبير الأصلي ، ثم حساب قيمة التعبير الرقمي الناتج.

مثال 15. قيمة تعبير به متغيرات

احسب قيمة التعبير 0 ، 5 س - ص إذا كانت س = 2 ، 4 ، ص = 5.

نعوض بقيم المتغيرات في التعبير ونحسب:

0.5 س - ص = 0 .5 2 .4-5 = 1. 2-5 = - 3 .8.

في بعض الأحيان يكون من الممكن تحويل تعبير بطريقة للحصول على قيمته بغض النظر عن قيم الحروف والمتغيرات المضمنة فيه. للقيام بذلك ، تحتاج إلى التخلص من الأحرف والمتغيرات في التعبير ، إن أمكن ، باستخدام تحولات متطابقةوخصائص العمليات الحسابية وجميع الطرق الأخرى الممكنة.

على سبيل المثال ، من الواضح أن التعبير x + 3 - x له القيمة 3 ، وليس من الضروري معرفة قيمة x لحساب هذه القيمة. المعنى التعبير المعطىيساوي ثلاثة لجميع قيم المتغير x من نطاق قيمه المقبولة.

مثال آخر. قيمة التعبير x x تساوي واحدًا لجميع موجبات x.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

لذلك ، إذا كان التعبير العددي يتكون من أرقام وعلامات + ، - ، · و: ، ثم بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، يجب عليك أولاً إجراء الضرب والقسمة ، ثم الجمع والطرح ، مما سيسمح لك بالعثور على المطلوب قيمة التعبير.

دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة للتوضيح.

مثال.

احسب قيمة التعبير 14−2 · 15: 6−3.

المحلول.

للعثور على قيمة التعبير ، تحتاج إلى تنفيذ جميع الإجراءات المحددة فيه وفقًا للترتيب المقبول لتنفيذ هذه الإجراءات. أولًا ، بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، نقوم بالضرب والقسمة 14−2 15: 6−3 = 14−30: 6−3 = 14−5−3. الآن ، بالترتيب من اليسار إلى اليمين ، نقوم بتنفيذ الإجراءات المتبقية: 14−5−3 = 9−3 = 6. إذن ، أوجدنا قيمة التعبير الأصلي ، وهي تساوي 6.

إجابه:

14−2 15: 6−3 = 6.

مثال.

أوجد قيمة التعبير.

المحلول.

في هذا المثال ، نحتاج أولاً إلى إجراء الضرب 2 (7) والقسمة مع الضرب في التعبير. تذكر كيف نجد 2 (−7) = - 14. وأداء الأفعال في التعبير أولاً ، ومن بعد ، وتنفيذ: .

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي:.

ولكن ماذا عن وجود تعبير رقمي تحت علامة الجذر؟ للحصول على قيمة مثل هذا الجذر ، يجب عليك أولاً العثور على قيمة التعبير الجذر ، باتباع الترتيب المقبول للعمليات. علي سبيل المثال، .

في التعبيرات العددية ، يجب أن يُنظر إلى الجذور على أنها بعض الأرقام ، ويُنصح باستبدال الجذور على الفور بقيمها ، ثم إيجاد قيمة التعبير الناتج بدون جذور ، وتنفيذ الإجراءات في التسلسل المقبول.

مثال.

أوجد قيمة التعبير مع الجذور.

المحلول.

أولاً ، أوجد قيمة الجذر . للقيام بذلك ، نحسب أولاً قيمة التعبير الجذري الذي لدينا −2 3−1 + 60: 4 = 6−1 + 15 = 8. وثانيًا ، نجد قيمة الجذر.

الآن دعونا نحسب قيمة الجذر الثاني من التعبير الأصلي:.

أخيرًا ، يمكننا إيجاد قيمة التعبير الأصلي عن طريق استبدال الجذور بقيمها:.

إجابه:

في كثير من الأحيان ، لكي تتمكن من العثور على قيمة تعبير له جذور ، عليك أولاً تحويله. دعنا نعرض مثالاً للحل.

مثال.

ما معنى التعبير .

المحلول.

لا يمكننا استبدال جذر ثلاثة بقيمته الدقيقة ، مما لا يسمح لنا بحساب قيمة هذا التعبير بالطريقة الموضحة أعلاه. ومع ذلك ، يمكننا حساب قيمة هذا التعبير عن طريق إجراء تحويلات بسيطة. ملائم فرق صيغة المربعات:. النظر ، نحصل . إذن ، فإن قيمة التعبير الأصلي هي 1.

إجابه:

.

مع درجات

إذا كان الأساس والأس من أرقام ، فسيتم حساب قيمتهما من خلال تعريف الدرجة ، على سبيل المثال ، 3 2 = 3 3 = 9 أو 8 1 = 1/8. توجد أيضًا إدخالات عندما يكون الأساس و / أو الأس عبارة عن بعض التعبيرات. في هذه الحالات ، تحتاج إلى إيجاد قيمة التعبير في الأساس ، وقيمة التعبير في الأس ، ثم حساب قيمة الدرجة نفسها.

مثال.

أوجد قيمة تعبير له قوى الصورة 2 3 4−10 +16 (1−1 / 2) 3.5−2 1/4.

المحلول.

للتعبير الأصلي قوتان 2 3 4−10 و (1−1 / 2) 3.5−2 1/4. يجب حساب قيمها قبل تنفيذ باقي الخطوات.

لنبدأ بالقوة 2 3 · 4−10. يحتوي مؤشره على تعبير رقمي ، دعنا نحسب قيمته: 3 · 4−10 = 12−10 = 2. يمكنك الآن إيجاد قيمة الدرجة نفسها: 2 3 4−10 = 2 2 = 4.

هناك تعبيرات في الأساس والأس (1−1 / 2) 3.5−2 1/4 ، نحسب قيمها لإيجاد قيمة الدرجة لاحقًا. لدينا (1−1 / 2) 3.5−2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

نعود الآن إلى التعبير الأصلي ، ونستبدل الدرجات بقيمها ، ونجد قيمة التعبير الذي نحتاجه: 2 3 4−10 +16 (1−1 / 2) 3.5−2 1/4 = 4 + 16 1/8 = 4 + 2 = 6.

إجابه:

2 3 4−10 +16 (1−1 / 2) 3.5−2 1/4 = 6.

من الجدير بالذكر أن هناك حالات أكثر شيوعًا عندما يُنصح بإجراء تمهيدي تبسيط التعبير بالقوىعلى القاعدة.

مثال.

أوجد قيمة التعبير .

المحلول.

انطلاقًا من الأسس في هذا التعبير ، لا يمكن الحصول على القيم الدقيقة للدرجات. لنحاول تبسيط المقدار الأصلي ، فربما يساعد في إيجاد قيمته. لدينا

إجابه:

.

غالبًا ما تسير القوى في التعبيرات جنبًا إلى جنب مع اللوغاريتمات ، لكننا سنتحدث عن إيجاد قيم المقادير ذات اللوغاريتمات في أحدهما.

إيجاد قيمة تعبير به كسور

قد تحتوي التعبيرات الرقمية في إدخالها كسور. عندما تريد العثور على قيمة مثل هذا التعبير ، يجب استبدال الكسور بخلاف الكسور العادية بقيمها قبل تنفيذ خطوات أخرى.

يمكن أن يحتوي بسط ومقام الكسور (التي تختلف عن الكسور العادية) على بعض الأعداد والتعبيرات. لحساب قيمة هذا الكسر ، تحتاج إلى حساب قيمة التعبير في البسط ، وحساب قيمة التعبير في المقام ، ثم حساب قيمة الكسر نفسه. يفسر هذا الترتيب بحقيقة أن الكسر أ / ب ، حيث أ و ب بعض التعبيرات ، هو في الواقع حاصل قسمة للصيغة (أ): (ب) ، منذ ذلك الحين.

لنفكر في مثال للحل.

مثال.

أوجد قيمة تعبير به كسور .

المحلول.

في التعبير العددي الأصلي ، ثلاثة كسور و . لإيجاد قيمة التعبير الأصلي ، نحتاج أولاً إلى هذه الكسور واستبدالها بقيمها. دعنا نقوم به.

البسط والمقام في الكسر عبارة عن أعداد. للعثور على قيمة هذا الكسر ، نستبدل الشريط الكسري بعلامة القسمة ، وننفذ هذا الإجراء: .

يحتوي بسط الكسر على التعبير 7−2 3 ، ومن السهل إيجاد قيمته: 7−2 3 = 7−6 = 1. في هذا الطريق، . يمكنك المتابعة لإيجاد قيمة الكسر الثالث.

يحتوي الكسر الثالث في البسط والمقام على تعبيرات رقمية ، لذلك عليك أولاً حساب قيمها ، وهذا سيسمح لك بإيجاد قيمة الكسر نفسه. لدينا .

يبقى استبدال القيم الموجودة في التعبير الأصلي ، وتنفيذ الخطوات المتبقية:.

إجابه:

.

في كثير من الأحيان ، عند العثور على قيم التعبيرات ذات الكسور ، عليك القيام بذلك تبسيط تعابير كسرية ، بناءً على أداء الإجراءات مع الكسور وعلى تقليل الكسور.

مثال.

أوجد قيمة التعبير .

المحلول.

لم يتم استخلاص جذر خمسة بالكامل ، لذا لإيجاد قيمة التعبير الأصلي ، دعونا نبسطه أولًا. لهذا تخلص من اللاعقلانية في المقامالكسر الأول: . بعد ذلك ، سيأخذ التعبير الأصلي الشكل . بعد طرح الكسور ، ستختفي الجذور ، مما سيسمح لنا بإيجاد قيمة التعبير المعطى في البداية :.

إجابه:

.

مع اللوغاريتمات

إذا احتوى التعبير الرقمي ، وإذا كان من الممكن التخلص منها ، يتم ذلك قبل تنفيذ الإجراءات الأخرى. على سبيل المثال ، عند العثور على قيمة التعبير log 2 4 + 2 3 ، يتم استبدال لوغاريتم log 2 4 بقيمته 2 ، وبعد ذلك يتم تنفيذ بقية العمليات بالترتيب المعتاد ، أي log 2 4 +2 3 = 2 + 2 3 = 2 + 6 = 8.

عندما تكون هناك تعبيرات عددية تحت علامة اللوغاريتم و / أو في قاعدته ، يتم العثور على قيمها أولاً ، وبعد ذلك يتم حساب قيمة اللوغاريتم. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تعبيرًا به لوغاريتم النموذج . في قاعدة اللوغاريتم وتحت علامته توجد تعبيرات عددية ، نجد قيمها:. الآن نجد اللوغاريتم ، وبعد ذلك نكمل الحسابات:.

إذا لم يتم حساب اللوغاريتمات تمامًا ، فسيتم تبسيطها الأولي باستخدام. في هذه الحالة ، يجب أن تكون متمكنًا من مادة المقال. تحويل التعبيرات اللوغاريتمية.

مثال.

أوجد قيمة تعبير باللوغاريتمات .

المحلول.

لنبدأ بحساب السجل 2 (السجل 2 256). منذ 256 = 2 8 ، ثم log 2256 = 8 ، وبالتالي تسجيل 2 (تسجيل 2264) = تسجيل 2 8 = تسجيل 2 2 3 = 3.

يمكن تجميع اللوغاريتمات log 6 2 و log 6 3. مجموع اللوغاريتمات log 6 2 + log 6 3 يساوي لوغاريتم منتج log 6 (2 3) ، لذلك سجل 6 2 + سجل 6 3 = سجل 6 (2 3) = سجل 6 6 = 1.

الآن دعونا نتعامل مع الكسور. في البداية ، نعيد كتابة أساس اللوغاريتم في المقام بالصيغة جزء مشتركمثل 1/5 ، وبعد ذلك نستخدم خصائص اللوغاريتمات ، والتي ستسمح لنا بالحصول على قيمة الكسر:
.

يبقى فقط استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي والانتهاء من العثور على قيمتها:

إجابه:

كيف تجد قيمة التعبير المثلثي؟

عندما يحتوي تعبير رقمي أو ما إلى ذلك ، يتم حساب قيمها قبل تنفيذ إجراءات أخرى. إذا كانت هناك تعبيرات عددية تحت علامة الدوال المثلثية ، فسيتم حساب قيمها أولاً ، وبعد ذلك يتم العثور على قيم الدوال المثلثية.

مثال.

أوجد قيمة التعبير .

المحلول.

بالانتقال إلى المقال ، وصلنا و cosπ = -1. نعوض بهذه القيم في التعبير الأصلي ، يأخذ الشكل . للعثور على قيمتها ، تحتاج أولاً إلى إجراء الأس ، ثم إنهاء العمليات الحسابية:.

إجابه:

.

وتجدر الإشارة إلى أن حساب قيم التعبيرات بالجيب ، وجيب التمام ، إلخ. غالبا ما يتطلب مسبقا التحولات التعبير المثلثي .

مثال.

ما هي قيمة التعبير المثلثي .

المحلول.

دعنا نحول التعبير الأصلي باستخدام ، في هذه الحالة نحتاج إلى صيغة جيب تمام الزاوية المزدوجة وصيغة الجمع:

ساعدتنا التحولات التي تم إجراؤها في العثور على قيمة التعبير.

إجابه:

.

الحالة العامة

في الحالة العامة ، يمكن أن يحتوي التعبير الرقمي على جذور ودرجات وكسور وأي وظائف وأقواس. يتمثل البحث عن قيم هذه التعبيرات في تنفيذ الإجراءات التالية:

• الجذور الأولى ، الدرجات ، الكسور ، إلخ. يتم استبدالها بقيمها ،
• مزيد من الإجراءات بين قوسين ،
• وبالترتيب من اليسار إلى اليمين ، يتم تنفيذ العمليات المتبقية - الضرب والقسمة ، متبوعًا بالجمع والطرح.

يتم تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه حتى يتم الحصول على النتيجة النهائية.

مثال.

أوجد قيمة التعبير .

المحلول.

شكل هذا التعبير معقد نوعًا ما. في هذا التعبير ، نرى كسرًا وجذورًا ودرجات وجيبًا ولوغاريتمًا. كيف تجد معناها؟

بالانتقال على طول السجل من اليسار إلى اليمين ، صادفنا جزءًا صغيرًا من النموذج . نعلم ذلك عند التعامل مع الكسور نوع معقد، نحتاج إلى حساب قيمة البسط بشكل منفصل ، كل على حدة - المقام ، وأخيرًا ، إيجاد قيمة الكسر.

في البسط لدينا جذر للصيغة . لتحديد قيمتها ، يجب عليك أولاً حساب قيمة التعبير الجذري . هناك شرط هنا. لا يمكننا إيجاد قيمتها إلا بعد حساب قيمة التعبير . هذا ما يمكننا القيام به:. ثم من اين و .

مع المقام ، كل شيء بسيط:.

في هذا الطريق، .

بعد استبدال هذه النتيجة في التعبير الأصلي ، ستأخذ الشكل. يحتوي التعبير الناتج على الدرجة. للعثور على قيمته ، عليك أولاً العثور على قيمة المؤشر ، لدينا .

وبالتالي، .

إجابه:

.

إذا لم يكن من الممكن حساب القيم الدقيقة للجذور والدرجات وما إلى ذلك ، فيمكنك محاولة التخلص منها باستخدام أي تحويلات ، ثم العودة إلى حساب القيمة وفقًا للمخطط المحدد.

طرق منطقية لحساب قيم التعبيرات

يتطلب حساب قيم التعبيرات العددية الاتساق والدقة. نعم ، من الضروري الالتزام بتسلسل الإجراءات المسجل في الفقرات السابقة ، ولكن لا ينبغي أن يتم ذلك بشكل أعمى وميكانيكي. نعني بهذا أنه من الممكن في كثير من الأحيان تبرير عملية إيجاد قيمة التعبير. على سبيل المثال ، تسمح لك بعض خصائص الإجراءات ذات الأرقام بتسريع عملية العثور على قيمة التعبير وتبسيطها بشكل ملحوظ.

على سبيل المثال ، نعرف خاصية الضرب هذه: إذا كان أحد العوامل في المنتج هو صفر ، فإن قيمة المنتج هي صفر. باستخدام هذه الخاصية ، يمكننا أن نقول على الفور أن قيمة التعبير 0 (2 3 + 893−3234: 54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4 + 456: 3 43) تساوي صفرًا. إذا اتبعنا الترتيب القياسي للعمليات ، فسنضطر أولاً إلى حساب قيم التعبيرات المرهقة بين قوسين ، وسيستغرق هذا وقتًا طويلاً ، وستظل النتيجة صفرًا.

من الملائم أيضًا استخدام خاصية طرح أرقام متساوية: إذا طرحت رقمًا متساويًا من رقم ، فستكون النتيجة صفرًا. يمكن اعتبار هذه الخاصية على نطاق أوسع: الفرق بين تعبيرين عدديين متطابقين يساوي صفرًا. على سبيل المثال ، بدون حساب قيمة التعبيرات بين قوسين ، يمكنك العثور على قيمة التعبير (54 6-12 47362: 3) - (54 6-12 47362: 3)، فهو يساوي صفرًا ، لأن التعبير الأصلي هو اختلاف التعبيرات المتطابقة.

يمكن تسهيل الحساب المنطقي لقيم التعبيرات تحولات متطابقة. على سبيل المثال ، من المفيد تجميع المصطلحات والعوامل، لا يقل استخدامًا إخراج العامل المشترك من الأقواس. لذا من السهل جدًا إيجاد قيمة التعبير 53 5 + 53 7−53 11 + 5 بعد إخراج العامل 53 من الأقواس: 53 (5 + 7−11) + 5 = 53 1 + 5 = 53 + 5 = 58. سيستغرق الحساب المباشر وقتًا أطول بكثير.

في ختام هذه الفقرة ، دعنا ننتبه إلى الطريقة المنطقية لحساب قيم التعبيرات ذات الكسور - يتم تقليل نفس العوامل في البسط والمقام في الكسر. على سبيل المثال ، اختزال نفس التعبيرات في بسط الكسر ومقامه يتيح لك العثور على قيمتها على الفور ، وهي 1/2.

إيجاد قيمة التعبير الحرفي والتعبير مع المتغيرات

معنى التعبيرات الحرفية والمتغيرةتم العثور عليها لقيم معينة من الحروف والمتغيرات. بمعنى آخر، نحن نتكلمحول العثور على قيمة تعبير حرفي لقيم أحرف معينة ، أو حول إيجاد قيمة تعبير مع متغيرات لقيم متغيرة محددة.

القاعدةالعثور على قيمة التعبير الحرفي أو التعبير مع المتغيرات لقيم معينة من الأحرف أو القيم المختارة للمتغيرات هو كما يلي: في التعبير الأصلي ، تحتاج إلى استبدال القيم المعطاة للأحرف أو المتغيرات ، و احسب قيمة التعبير الرقمي الناتج ، إنها القيمة المطلوبة.

مثال.

احسب قيمة التعبير 0.5 x − y لـ x = 2.4 و y = 5.

المحلول.

للعثور على القيمة المطلوبة للتعبير ، تحتاج أولاً إلى استبدال هذه القيم المتغيرة في التعبير الأصلي ، ثم تنفيذ الإجراءات التالية: 0.5 2.4−5 = 1.2−5 = −3.8.

إجابه:

−3,8 .

في الختام ، نلاحظ أنه في بعض الأحيان ، يتيح لك تحويل التعبيرات والتعبيرات الحرفية مع المتغيرات الحصول على قيمها ، بغض النظر عن قيم الأحرف والمتغيرات. على سبيل المثال ، يمكن تبسيط التعبير x + 3 − x ليصبح 3. من هذا يمكننا أن نستنتج أن قيمة التعبير x + 3 − x تساوي 3 لأي من قيم المتغير x من قيمته نطاق القيم المقبولة (ODZ). مثال آخر: قيمة التعبير تساوي 1 لجميع القيم الموجبة x ، وبالتالي فإن نطاق القيم المقبولة للمتغير x في التعبير الأصلي هو مجموعة الأرقام الموجبة ، وتحدث المساواة في هذه المنطقة .

فهرس.

• رياضيات: دراسات. لمدة 5 خلايا. تعليم عام المؤسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - الطبعة 21 ، ممحاة. - م: Mnemosyne، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.
• رياضيات.الصف السادس: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [N. يا فيلينكين وآخرون]. - الطبعة 22 ، القس. - م: Mnemosyne، 2008. - 288 ص: مريض. ردمك 978-5-346-00897-2.
• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 7 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن ج. مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة 17. - م: التربية والتعليم 2008. - 240 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019315-3.
• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن ج. مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• الجبر:الصف التاسع: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن ج. مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية 2009. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-021134-5.
• الجبروبداية التحليل: Proc. لـ 10-11 خلية. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون ؛ إد. أ.ن.كولموغوروفا. - الطبعة 14. - م: التنوير ، 2004. - 384 ص: مريض - ISBN 5-09-013651-3.