عادة ما يتم حل أبسط المعادلات المثلثية بالصيغ. دعني أذكرك أن المعادلات المثلثية التالية تسمى الأبسط:

sinx = أ

كوسكس = أ

tgx = أ

ctgx = أ

x هي الزاوية المطلوب إيجادها ،
أ هو أي رقم.

وإليك المعادلات التي يمكنك من خلالها تدوين حلول أبسط المعادلات على الفور.

للجيوب الأنفية:

لجيب التمام:

س = ± arccos a + 2π n ، n ∈ Z

للظل:

س = arctg a + n ، n ∈ Z

بالنسبة إلى ظل التمام:

x = arcctg a + n، n ∈ Z

في الواقع ، هذا هو الجزء النظريأبسط الحلول المعادلات المثلثية. والكل!) لا شيء على الإطلاق. ومع ذلك ، فإن عدد الأخطاء في هذا الموضوع يتدحرج. خاصة ، مع انحراف طفيف للمثال عن النموذج. لماذا ا؟

نعم ، لأن الكثير من الأشخاص يكتبون هذه الرسائل ، دون فهم معناها على الإطلاق!يكتب مع القلق ، بغض النظر عن كيفية حدوث شيء ما ...) هذا يحتاج إلى تسوية. علم المثلثات للناس ، أو الناس لحساب المثلثات ، بعد كل شيء !؟)

دعونا نكتشف ذلك؟

زاوية واحدة ستكون مساوية ل arccos a ، ثانيا: -اركوس أ.

وهذه هي الطريقة التي ستعمل بها دائمًا.لأي لكن.

إذا كنت لا تصدقني ، حرك مؤشر الماوس فوق الصورة ، أو المس الصورة على الجهاز اللوحي.) لقد غيرت الرقم لكن لبعض السلبية. على أي حال ، لدينا زاوية واحدة arccos a ، ثانيا: -اركوس أ.

لذلك ، يمكن دائمًا كتابة الإجابة على شكل سلسلتين من الجذور:

x 1 = arccos a + 2π n، n ∈ Z

س 2 = - arccos a + 2π n ، n ∈ Z

نجمع هاتين السلسلتين في سلسلة واحدة:

س = ± arccos a + 2π n ، n ∈ Z

وكل الاشياء. لقد حصلنا على صيغة عامة لحل أبسط معادلة مثلثية باستخدام جيب التمام.

إذا فهمت أن هذا ليس نوعًا من الحكمة العلمية الفائقة ، ولكن مجرد سجل مختصر لسلسلتين من الإجابات ،أنت والمهام "ج" ستكون على كتفك. مع المتباينات ، مع اختيار الجذور من فترة معينة ... هناك ، الإجابة التي تحتوي على موجب / ناقص لا تتدحرج. وإذا تعاملت مع الإجابة على أنها عملية ، وقمت بتقسيمها إلى إجابتين منفصلتين ، فسيتم تحديد كل شيء.) في الواقع ، نحن نفهم هذا. ماذا وكيف واين.

في أبسط معادلة مثلثية

sinx = أ

احصل أيضًا على سلسلتين من الجذور. دائما. ويمكن أيضًا تسجيل هاتين السلسلتين خط واحد. فقط هذا الخط سيكون أكثر ذكاءً:

س = (-1) ن قوسين أ + ن ، ن ∈ ع

لكن الجوهر يبقى كما هو. قام علماء الرياضيات ببساطة ببناء معادلة لإنشاء واحدة بدلاً من سجلين لسلسلة من الجذور. وهذا كل شيء!

دعونا نتحقق من علماء الرياضيات؟ وهذا لا يكفي ...)

في الدرس السابق ، تم تحليل الحل (بدون أي صيغ) للمعادلة المثلثية بجيب بالتفصيل:

تبين أن الإجابة هي مجموعتان من الجذور:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

إذا حللنا نفس المعادلة باستخدام الصيغة ، فسنحصل على الإجابة:

س = (-1) ن قوسين 0.5 + ن ، ن ∈ Z

في الواقع ، هذه إجابة نصف مكتملة.) يجب أن يعرف الطالب ذلك أركسين 0.5 = / 6.ستكون الإجابة الكاملة:

س = (-1) ن π / 6+ πn ، n ∈ Z

هنا يظهر سؤال مثير للاهتمام. الرد عبر × 1 ؛ × 2 (هذه هي الإجابة الصحيحة!) وذلك من خلال الوحدة X (وهذا هو الجواب الصحيح!) - نفس الشيء أم لا؟ دعنا نكتشف الآن.)

استبدل استجابة بـ × 1 القيم ن = 0 ؛ واحد؛ 2 ؛ إلخ ، فنحن نعتبر أننا نحصل على سلسلة من الجذور:

× 1 \ u003d π / 6 ؛ 13π / 6 ؛ 25π / 6 إلخ.

مع نفس الاستبدال ردا على × 2 ، نحن نحصل:

× 2 \ u003d 5π / 6 ؛ 17π / 6 ؛ 29π / 6 إلخ.

والآن نعوض بالقيم ن (0 ؛ 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ...) في الصيغة العامة للوحدة X . أي ، نرفع ناقص واحد إلى أس صفر ، ثم إلى الأول ، ثم الثاني ، وهكذا. وبالطبع ، نعوض بـ 0 في الحد الثاني ؛ واحد؛ 2 3 ؛ 4 إلخ. ونفكر. نحصل على سلسلة:

س = π / 6 ؛ 5π / 6 ؛ 13π / 6 ؛ 17π / 6 ؛ 25π / 6 إلخ.

هذا كل ما يمكنك رؤيته). تعطينا الصيغة العامة بالضبط نفس النتائجوهما الجوابان بشكل منفصل. كل مرة بالترتيب. علماء الرياضيات لم يخدعوا).

يمكن أيضًا التحقق من الصيغ الخاصة بحل المعادلات المثلثية ذات الظل والتظل. لكن دعونا لا.) هم متواضعون جدا.

لقد رسمت كل هذا الاستبدال والتحقق عن قصد. هنا من المهم أن نفهم واحد شيء بسيط: هناك صيغ لحل المعادلات المثلثية الأولية ، مجرد ملخص للإجابات.لهذا الإيجاز ، كان علي إدخال زائد / ناقص في محلول جيب التمام و (-1) ن في محلول الجيب.

لا تتدخل هذه الإدخالات بأي شكل من الأشكال في المهام حيث تحتاج فقط إلى كتابة إجابة معادلة أولية. ولكن إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة متباينة ، أو إذا كنت بحاجة إلى القيام بشيء ما بالإجابة: تحديد الجذور على فترة زمنية ، والتحقق من وجود ODZ ، وما إلى ذلك ، فإن هذه الإدخالات يمكن أن تزعج شخصًا بسهولة.

و ما العمل؟ نعم ، إما أن ترسم الإجابة في سلسلتين ، أو تحل المعادلة / المتباينة في دائرة مثلثية. ثم تختفي هذه الإدخالات وتصبح الحياة أسهل.)

يمكنك تلخيص.

لحل أبسط المعادلات المثلثية ، توجد صيغ إجابات جاهزة. أربع قطع. إنها جيدة لكتابة حل المعادلة على الفور. على سبيل المثال ، تحتاج إلى حل المعادلات:

sinx = 0.3

بسهولة: س = (-1) ن قوسين 0.3 + ن ، ن ∈ Z

كوسكس = 0.2

لا مشكلة: x = ± arccos 0.2 + 2π n ، n ∈ Z

tgx = 1.2

بسهولة: س = arctg 1،2 + n ، n ∈ Z

ctgx = 3.7

بقيت واحده: س = arcctg3،7 + n ، n ∈ Z

كوس س = 1.8

إذا كنت تتألق بالمعرفة ، فاكتب الإجابة على الفور:

x = ± arccos 1.8 + 2π n ، n ∈ Z

ثم تتألق بالفعل ، هذا ... من البركة.) الإجابة الصحيحة هي: لا توجد حلول. لا أفهم لماذا؟ اقرأ ما هو arccosine. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كانت هناك قيم جدولية للجيب وجيب التمام والظل والتظل - على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية 1; 0; √3; 1/2; √3/2 إلخ. - الجواب من خلال الأقواس سيكون غير مكتمل. يجب تحويل الأقواس إلى راديان.

وإذا صادفت بالفعل عدم مساواة ، مثل

ثم الجواب:

س πn ، ن ∈ Z

هناك هراء نادر ، نعم ...) هنا من الضروري الدائرة المثلثيةيحل. ماذا سنفعل في الموضوع المقابل.

بالنسبة لأولئك الذين قرأوا بشكل بطولي حتى هذه السطور. لا يسعني إلا أن أقدر جهودك العملاقة. لك مكافأة.)

علاوة:

عند كتابة الصيغ في موقف قتالي مقلق ، غالبًا ما يتم الخلط بين المهووسين المتعصبين pn ، و أين 2πn. إليك خدعة بسيطة لك. في الكلالصيغ ص. باستثناء الصيغة الوحيدة التي بها قوس جيب التمام. إنها تقف هناك 2πn. اثنين pien. الكلمة الرئيسية - اثنين.في نفس الصيغة الفردية اثنينالتوقيع في البداية. زائد وناقص. هنا وهناك - اثنين.

لذلك إذا كتبت اثنينأمام قوس جيب التمام ، يسهل تذكر ما سيحدث في النهاية اثنين pien. والعكس بالعكس يحدث. تخطي علامة الرجل ± ، حتى النهاية ، اكتب بشكل صحيح اثنين pien ، نعم ، واقبض عليه. قبل شيء اثنينإشارة! سيعود الإنسان إلى البداية لكنه سيصحح الخطأ! مثله.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

المعادلات المثلثية ليست الموضوع الأسهل. إنها متنوعة بشكل مؤلم.) على سبيل المثال ، هذه:

sin2x + cos3x = ctg5x

الخطيئة (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

إلخ...

لكن هذه الوحوش المثلثية (وجميع أخرى) لها ميزتان مشتركتان وإجباريتان. أولاً - لن تصدق ذلك - هناك دوال مثلثية في المعادلات.) ثانيًا: جميع التعبيرات التي تحتوي على x هي ضمن هذه الوظائف نفسها.وفقط هناك! إذا ظهر x في مكان ما الخارج،علي سبيل المثال، sin2x + 3x = 3 ،ستكون هذه معادلة من النوع المختلط. تتطلب مثل هذه المعادلات مقاربة فردية. هنا لن نعتبرهم.

لن نحل المعادلات الشريرة في هذا الدرس أيضًا.) هنا سنتعامل معها أبسط المعادلات المثلثية.لماذا ا؟ نعم لأن القرار أيتتكون المعادلات المثلثية من مرحلتين. في المرحلة الأولى ، يتم تقليل المعادلة الشريرة إلى معادلة بسيطة من خلال التحولات المختلفة. في الثانية - تم حل هذه المعادلة الأبسط. لا توجد طريقة أخرى.

لذا ، إذا كانت لديك مشاكل في المرحلة الثانية ، فإن المرحلة الأولى لا معنى لها.)

كيف تبدو المعادلات المثلثية الأولية؟

sinx = أ

كوسكس = أ

tgx = أ

ctgx = أ

هنا لكن لتقف على أي رقم. أي.

بالمناسبة ، قد لا يكون هناك علامة x نقية داخل الوظيفة ، ولكن هناك نوع من التعبير ، مثل:

كوس (3 س + π / 3) = 1/2

إلخ. هذا يعقد الحياة ، لكنه لا يؤثر على طريقة حل المعادلة المثلثية.

كيف تحل المعادلات المثلثية؟

يمكن حل المعادلات المثلثية بطريقتين. الطريقة الأولى: استخدام المنطق والدائرة المثلثية. سوف نستكشف هذا المسار هنا. الطريقة الثانية - باستخدام الذاكرة والصيغ - سيتم النظر فيها في الدرس التالي.

الطريقة الأولى واضحة وموثوقة ويصعب نسيانها.) وهي جيدة لحل المعادلات المثلثية وعدم المساواة وجميع أنواع الأمثلة غير القياسية الصعبة. المنطق أقوى من الذاكرة!

نحل المعادلات باستخدام دائرة مثلثية.

نقوم بتضمين المنطق الأولي والقدرة على استخدام الدائرة المثلثية. ألا يمكنك !؟ ومع ذلك ... سيكون من الصعب عليك في علم المثلثات ...) لكن هذا لا يهم. الق نظرة على الدروس "الدائرة المثلثية ...... ما هي؟" و "عد الزوايا على دائرة مثلثية." كل شيء بسيط هناك. على عكس الكتب المدرسية ...)

آه ، أنت تعلم !؟ وحتى يتقن "العمل العملي مع الدائرة المثلثية" !؟ تقبل التهاني. سيكون هذا الموضوع قريبًا ومفهومًا بالنسبة لك.) الأمر الممتع بشكل خاص هو أن الدائرة المثلثية لا تهتم بالمعادلة التي تحلها. الجيب وجيب التمام والظل والظل - كل شيء هو نفسه بالنسبة له. مبدأ الحل هو نفسه.

إذن ، نأخذ أي معادلة مثلثية أولية. على الأقل هذا:

كوسكس = 0.5

أحتاج أن أجد X. التحدث بلغة بشرية ، أنت بحاجة أوجد الزاوية (x) التي يساوي جيب تمامها 0.5.

كيف استخدمنا الدائرة من قبل؟ رسمنا زاوية عليها. بالدرجات أو بالتقدير الدائري. وعلى الفور رأيت الدوال المثلثية لهذه الزاوية. الآن دعونا نفعل العكس. ارسم جيب التمام يساوي 0.5 على الدائرة وعلى الفور سوف نرى حقنة. يبقى فقط كتابة الإجابة.) نعم ، نعم!

نرسم دائرة ونضع علامة على جيب التمام يساوي 0.5. على محور جيب التمام بالطبع. مثله:

لنرسم الآن الزاوية التي يعطينا جيب التمام هذا. حرك الماوس فوق الصورة (أو المس الصورة على الكمبيوتر اللوحي) ، و يرىهذه الزاوية نفسها X.

أي زاوية لها جيب تمام 0.5؟

س \ u003d π / 3

كوس 60 درجة= كوس ( π / 3) = 0,5

بعض الناس سوف يتذمرون متشككين ، نعم ... يقولون ، هل كان الأمر يستحق العناء لتسييج الدائرة ، عندما يكون كل شيء واضحًا على أي حال ... يمكنك ، بالطبع ، النخر ...) ولكن الحقيقة هي أن هذا خطأ إجابه. أو بالأحرى غير ملائم. يفهم خبراء الدائرة أنه لا تزال هناك مجموعة كاملة من الزوايا التي تعطي أيضًا جيب تمام يساوي 0.5.

إذا قمت بإدارة الجانب المتحرك OA لدور كامل، ستعود النقطة A إلى موضعها الأصلي. بنفس جيب التمام يساوي 0.5. أولئك. ستتغير الزاوية 360 درجة أو 2π راديان ، و جيب التمام ليس كذلك.ستكون الزاوية الجديدة 60 درجة + 360 درجة = 420 درجة أيضًا حلًا لمعادلتنا ، لأن

يمكن أن تجرح مثل هذه المنعطفات الكاملة مجموعة لانهائية... وستكون كل هذه الزوايا الجديدة حلولاً لمعادلتنا المثلثية. وكلهم بحاجة إلى تدوينهم بطريقة ما. كل شئ.خلاف ذلك ، لا يتم النظر في القرار ، نعم ...)

يمكن للرياضيات أن تفعل هذا ببساطة وأنيقة. في إجابة قصيرة واحدة ، اكتب مجموعة لانهائيةحلول. إليك ما تبدو عليه معادلتنا:

س = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

سوف أفك. ما زلت أكتب بشكل هادفأجمل من رسم بعض الحروف الغامضة بغباء ، أليس كذلك؟)

π / 3 هي نفس الزاوية التي نحن منشارعلى الدائرة و المحددةوفقًا لجدول جيب التمام.

2π دورة كاملة بالتقدير الدائري.

ن - هذا هو عدد الاكتمال ، أي كاملالثورات. فمن الواضح أن ن يمكن أن يكون 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 .... وهكذا. كما يتضح من الإدخال القصير:

ن ∈ Z

ن ينتمي ( ∈ ) إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ( ض ). بالمناسبة ، بدلا من الحرف ن يمكن استخدام الحروف ك ، م ، ر إلخ.

هذا الترميز يعني أنه يمكنك أخذ أي عدد صحيح ن . -3 على الأقل ، 0 على الأقل ، +55 على الأقل. ماذا تريد. إذا أدخلت هذا الرقم في إجابتك ، فستحصل على زاوية محددة ، والتي من المؤكد أنها ستكون الحل لمعادلتنا القاسية.)

أو بعبارة أخرى ، س \ u003d π / 3 هو الجذر الوحيد لمجموعة لانهائية. للحصول على جميع الجذور الأخرى ، يكفي إضافة أي عدد من الدورات الكاملة إلى π / 3 ( ن ) بالتقدير الدائري. أولئك. 2πn راديان.

كل شئ؟ رقم. أنا على وجه التحديد أمد المتعة. لنتذكر بشكل أفضل.) تلقينا جزءًا فقط من إجابات معادلتنا. سأكتب هذا الجزء الأول من الحل على النحو التالي:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

× 1 - ليس جذرًا واحدًا ، إنه سلسلة كاملة من الجذور ، مكتوبة بصيغة مختصرة.

لكن هناك زوايا أخرى تعطي جيب تمام يساوي 0.5!

دعنا نعود إلى صورتنا ، والتي بموجبها كتبنا الإجابة. ها هي:

حرك الماوس فوق الصورة و يرىزاوية أخرى يعطي أيضًا جيب تمام 0.5.ما رأيك أنه يساوي؟ المثلثات هي نفسها .. نعم! إنها تساوي الزاوية X ، فقط في الاتجاه السلبي. هذه هي الزاوية -X. لكننا قمنا بالفعل بحساب x. π / 3 أو 60 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:

× 2 \ u003d - π / 3

وبالطبع نضيف كل الزوايا التي تم الحصول عليها من خلال المنعطفات الكاملة:

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شيء الآن.) في الدائرة المثلثية ، نحن منشار(من يفهم طبعا)) الكلالزوايا التي تعطي جيب تمام يساوي 0.5. وكتبت هذه الزوايا بإيجاز شكل رياضي. الجواب هو مجموعتان لا حصر لهما من الجذور:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا هو الجواب الصحيح.

آمل أن، المبدأ العام لحل المعادلات المثلثيةبمساعدة دائرة أمر مفهوم. نحتفل على الدائرة بجيب التمام (الجيب ، الظل ، ظل التمام) من معادلة معينة، ارسم الزوايا المقابلة لها واكتب الإجابة.بالطبع ، أنت بحاجة إلى معرفة أي نوع من الزوايا نحن منشارعلى الدائرة. في بعض الأحيان لا يكون الأمر واضحًا جدًا. حسنًا ، كما قلت ، المنطق مطلوب هنا.)

على سبيل المثال ، دعنا نحلل معادلة مثلثية أخرى:

يرجى ملاحظة أن الرقم 0.5 ليس الرقم الوحيد الممكن في المعادلات!) إنه مناسب لي أكثر من كتابته من الجذور والكسور.

نعمل وفق المبدأ العام. نرسم دائرة ، ونضع علامة (على محور الجيب ، بالطبع!) 0.5. نرسم مرة واحدة كل الزوايا المقابلة لهذا الجيب. نحصل على هذه الصورة:

دعونا نتعامل مع الزاوية أولاً. X في الربع الأول. نتذكر جدول الجيب ونحدد قيمة هذه الزاوية. الأمر بسيط:

س \ u003d π / 6

نتذكر المنعطفات الكاملة ، وبضمير مرتاح ، نكتب أول سلسلة من الإجابات:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

تم الانتهاء من نصف العمل. الآن نحن بحاجة إلى تحديد الزاوية الثانية ...هذا أصعب مما هو عليه في جيب التمام ، نعم ... لكن المنطق سينقذنا! كيفية تحديد الزاوية الثانية من خلال x؟ نعم سهل! المثلثات في الصورة هي نفسها ، والركن الأحمر هو نفسه X يساوي الزاوية X . فقط يُحسب من الزاوية π في الاتجاه السلبي. هذا هو السبب في أنها حمراء.) وللحصول على الإجابة ، نحتاج إلى قياس زاوية بشكل صحيح من المحور شبه الموجب OX ، أي بزاوية 0 درجة.

حرك المؤشر فوق الصورة وشاهد كل شيء. أزلت الزاوية الأولى حتى لا تعقد الصورة. ستكون الزاوية التي تهمنا (المرسومة باللون الأخضر) مساوية لـ:

π - س

س نحن نعرف ذلك π / 6 . إذن ستكون الزاوية الثانية:

π - / 6 = 5π / 6

مرة أخرى ، نتذكر إضافة الثورات الكاملة ونكتب السلسلة الثانية من الإجابات:

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شئ. تتكون الإجابة الكاملة من سلسلتين من الجذور:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

يمكن حل المعادلات ذات الظل والتظل بسهولة باستخدام نفس المبدأ العام لحل المعادلات المثلثية. ما لم تعرف ، بالطبع ، كيفية رسم الظل والظل على دائرة مثلثية.

في الأمثلة أعلاه ، استخدمت القيمة الجدولية للجيب وجيب التمام: 0.5. أولئك. أحد تلك المعاني التي يعرفها الطالب يجب.الآن دعونا نوسع قدراتنا إلى كل القيم الأخرى.قرر ، لذلك قرر!)

لذلك ، لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة المثلثية التالية:

لا توجد مثل هذه القيمة لجيب التمام في الجداول القصيرة. تجاهل هذا ببرود حقيقة مخيفة. نرسم دائرة ونضع علامة 2/3 على محور جيب التمام ونرسم الزوايا المقابلة. لقد حصلنا على هذه الصورة.

نحن نفهم ، بالنسبة للمبتدئين ، بزاوية في الربع الأول. لمعرفة ما يساوي x ، سيكتبون الإجابة على الفور! لا نعرف ... فشل !؟ هدوء! الرياضيات لا تترك نفسها في مأزق! اخترعت جيب التمام القوسي لهذه الحالة. لا أعلم؟ بلا فائدة. اكتشف. إنه أسهل بكثير مما تعتقد. وفقًا لهذا الرابط ، لا توجد تعويذة واحدة صعبة حول "الدوال المثلثية العكسية" ... إنها غير ضرورية في هذا الموضوع.

إذا كنت تعرف ، فقط قل لنفسك ، "X هي زاوية جيب تمامها 2/3." وعلى الفور ، من خلال تعريف قوس القوس ، يمكننا أن نكتب:

نتذكر الثورات الإضافية ونكتب بهدوء السلسلة الأولى من جذور معادلتنا المثلثية:

س 1 = arccos 2/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

يتم أيضًا كتابة السلسلة الثانية من الجذور تلقائيًا تقريبًا للزاوية الثانية. كل شيء هو نفسه ، فقط x (arccos 2/3) ستكون مع سالب:

س 2 = - arccos 2/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

وكل الاشياء! هذا هو الجواب الصحيح. حتى أسهل من القيم المجدولة. لا تحتاج إلى تذكر أي شيء.) بالمناسبة ، سيلاحظ الأكثر انتباهاً أن هذه الصورة مع الحل من خلال جيب التمام القوسي أساسا لا يختلف عن الصورة ل معادلات كوسس = 0.5.

بالضبط! المبدأ العاملهذا السبب هو شائع! لقد رسمت على وجه التحديد صورتين متطابقتين تقريبًا. تبين لنا الدائرة الزاوية X بجيب التمام. إنه جيب تمام جدولي ، أم لا - لا تعرف الدائرة. أي نوع من الزاوية هذه ، π / 3 ، أو أي نوع من قوس جيب التمام علينا أن نقرره.

مع نفس الأغنية. علي سبيل المثال:

مرة أخرى نرسم دائرة ، ونضع علامة على الجيب يساوي 1/3 ، ونرسم الزوايا. اتضح هذه الصورة:

ومرة أخرى ، فإن الصورة هي نفسها تقريبًا كما في المعادلة sinx = 0.5.مرة أخرى نبدأ من الزاوية في الربع الأول. ما الذي يساوي x إذا كان الجيب يساوي 1/3؟ لا مشكلة!

لذا فإن أول حزمة من الجذور جاهزة:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ Z

لنلق نظرة على الزاوية الثانية. في المثال ذي قيمة الجدول 0.5 ، كانت تساوي:

π - س

حتى هنا سيكون هو نفسه بالضبط! فقط x هي مختلفة ، arcsin 1/3. وماذا في ذلك!؟ يمكنك كتابة الحزمة الثانية من الجذور بأمان:

س 2 = - قوسين 1/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

هذه إجابة صحيحة تمامًا. على الرغم من أنها لا تبدو مألوفة للغاية. لكن هذا مفهوم ، كما آمل.)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات المثلثية باستخدام الدائرة. هذا المسار واضح ومفهوم. هو الذي يحفظ في المعادلات المثلثية باختيار الجذور في فترة زمنية معينة ، في عدم المساواة المثلثية- يتم حلها بشكل عام تقريبًا في دائرة. باختصار ، في أي مهام تكون أكثر تعقيدًا بقليل من المهام القياسية.

وضع المعرفة موضع التنفيذ؟

حل المعادلات المثلثية:

في البداية يكون الأمر أبسط ، مباشرة في هذا الدرس.

الآن الأمر أكثر صعوبة.

تلميح: هنا عليك التفكير في الدائرة. شخصيا.)

والآن متواضع ظاهريًا ... ويطلق عليهم أيضًا حالات خاصة.

sinx = 0

sinx = 1

كوسكس = 0

كوسكس = -1

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة في دائرة حيث توجد سلسلتان من الإجابات ، وأين توجد واحدة ... وكيفية كتابة سلسلة واحدة بدلاً من سلسلتين من الإجابات. نعم ، حتى لا يتم فقد جذر واحد من عدد لا نهائي!)

حسنًا ، بسيط جدًا):

sinx = 0,3

كوسكس = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة ما هو القوسين ، القوسين؟ ما هو قوس الظل ، قوس الظل؟ معظم تعريفات بسيطة. لكنك لست بحاجة إلى تذكر أي قيم جدولة!)

الإجابات ، بالطبع ، في حالة من الفوضى):

× 1= arcsin0،3 + 2πn، n ∈ Z
× 2= π - قوسين 0.3 + 2

لا يعمل كل شيء؟ يحدث ذلك. اقرأ الدرس مرة أخرى. فقط بعناية(هناك مثل هذه الكلمة التي عفا عليها الزمن ...) واتبع الروابط. الروابط الرئيسية تدور حول الدائرة. بدونها في علم المثلثات - كيفية عبور الطريق معصوب العينين. في بعض الأحيان يعمل.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يمكنك الطلب حل مفصلمهمتك!!!

المساواة تحتوي على المجهول تحت العلامة دالة مثلثية("sin x ، cos x ، tg x" أو "ctg x") ، تسمى معادلة مثلثية ، وصيغها هي التي سننظر فيها أكثر.

أبسط المعادلات هي `sin x = a ، cos x = a ، tg x = a ، ctg x = a` ، حيث` x` هي الزاوية المطلوب إيجادها ، و` a` هو أي رقم. دعنا نكتب صيغ الجذر لكل منهم.

1. المعادلة `sin x = a`.

بالنسبة لـ `| a |> 1` ليس لها حلول.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n، n \ in Z`

2. المعادلة `cos x = a`

بالنسبة لـ `| a |> 1` - كما في حالة الجيب ، لا توجد حلول بين الأعداد الحقيقية.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n، n \ in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x = a`

لديه عدد لا حصر له من الحلول لأية قيم لـ `أ`.

صيغة الجذر: `x = arctg a + \ pi n، n \ in Z`

4. المعادلة `ctg x = a`

كما أن لديها عددًا لا نهائيًا من الحلول لأي قيم لـ "أ".

صيغة الجذر: `x = arcctg a + \ pi n، n \ in Z`

صيغ لجذور المعادلات المثلثية في الجدول

للجيوب الأنفية:
لجيب التمام:
بالنسبة إلى الظل والظل:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

يتكون حل أي معادلة مثلثية من مرحلتين:

• استخدامها لتحويلها إلى أبسط ؛
• حل المعادلة البسيطة الناتجة باستخدام الصيغ أعلاه للجذور والجداول.

دعنا نفكر في الطرق الرئيسية للحل باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

في هذه الطريقة ، يتم استبدال المتغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

"2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0` ،

استبدل: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y` ، ثم` 2y ^ 2-3y + 1 = 0` ،

نجد الجذور: `y_1 = 1 ، y_2 = 1 / 2` ، ومنها حالتان:

1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`،` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`، `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`،` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`، `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ فارك \ بي 6 + 2 \ بي ن`.

الإجابة: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x + cos x = 1`.

المحلول. انقل إلى اليسار كل حدود المساواة: `sin x + cos x-1 = 0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وعوامل الجانب الأيسر:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

"2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0` ،

1. `sin x / 2 = 0` ،` x / 2 = \ pi n` ، `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0` ،` tg x / 2 = 1` ، `x / 2 = arctg 1+ \ pi n` ،` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الإجابة: `x_1 = 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الاختزال إلى معادلة متجانسة

أولاً ، عليك إحضار هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x + b cos x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم قسّم كلا الجزأين على `cos x \ ne 0` للحالة الأولى ، وعلى` cos ^ 2 x \ ne 0` للحالة الثانية. نحصل على معادلات لـ `tg x`:` a tg x + b = 0` و `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` ، والتي يجب حلها باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

المحلول. لنكتب الجانب الأيمن كـ `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` sin ^ 2 x + cos ^ 2 x` ،

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية ، تقسم جزأها الأيمن والأيسر على `cos ^ 2 x \ ne 0` ، نحصل على:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. لنقدم البديل `tg x = t` كنتيجة لذلك` t ^ 2 + t - 2 = 0`. جذور هذه المعادلة هي "t_1 = -2" و "t_2 = 1". ثم:

1. `tg x = -2` ،` x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `tg x = 1` ،` x = arctg 1+ \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

إجابه. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`،` n \ in Z`، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`،` n \ in Z`.

اذهب إلى Half Corner

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

المحلول. دعنا نطبق الصيغ زاوية مزدوجة، مما ينتج عنه: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =" 10 sin ^ 2 x / 2 + 10 cos ^ 2x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2-11 tg x / 2 + 6 = 0`

تطبيق ما ورد أعلاه الطريقة الجبرية، نحن نحصل:

1. `tg x / 2 = 2` ،` x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z` ،
2. `tg x / 2 = 3 / 4` ،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابه. `x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n، n \ in Z`،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n`، `n \ in Z`.

مقدمة من زاوية مساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x = c` ، حيث a و b و c معاملات و x متغير ، نقسم كلا الجزأين على` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

"\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +" \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = "\ frac c (sqrt (a ^ 2) + ب ^ 2)) `.

المعاملات على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام ، أي أن مجموع مربعيها هو 1 ومعاملها على الأكثر 1. دعنا نشير إليها على النحو التالي: `\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^) 2)) = cos \ varphi`، `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`،` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C` ، ومن بعد:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

المحلول. بقسمة طرفي المعادلة على `` الجذر التربيعي (3 ^ 2 + 4 ^ 2) '' نحصل على:

"\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +" \ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = "\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

تشير إلى `3/5 = cos \ varphi` ،` 4/5 = sin \ varphi`. نظرًا لأن `sin \ varphi> 0` ،` cos \ varphi> 0` ، فإننا نأخذ `\ varphi = arcsin 4 / 5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب مساواتنا بالشكل:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب ، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

"الخطيئة (س + \ فارفي) = 2/5" ،

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n` ،` n \ in Z` ،

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابه. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

المعادلات المثلثية الكسرية المنطقية

هذه هي مساوات مع كسور ، في البسط والمقام الذي توجد به دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

المحلول. اضرب واقسم الطرف الأيمن من المعادلة على `(1 + cos x)`. نتيجة لذلك ، نحصل على:

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) "

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) `

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) "

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يكون صفراً ، نحصل على `1 + cos x \ ne 0` ،` cos x \ ne -1` ، `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

مساواة بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin ^ 2 x = 0` ،` sin x (1-sin x) = 0`. ثم `sin x = 0` أو` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0` ،` x = \ pi n` ، `n \ in Z`
2. "1-sin x = 0` ،` sin x = -1` ، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

بالنظر إلى أن `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z` ، فإن الحلول هي` x = 2 \ pi n ، n \ in Z` و `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` ، `n \ في Z`.

إجابه. `x = 2 \ pi n`،` n \ in Z`، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`،` n \ in Z`.

يتم استخدام علم المثلثات والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر ، وهناك دائمًا مهام للاختبار ، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون في متناول يديك!

ومع ذلك ، لا تحتاج حتى إلى حفظها ، فالشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على الاستنتاج. الأمر ليس صعبًا كما يبدو. انظر بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد الالكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها بواسطتنا معلومات شخصيةيتيح لنا الاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الاندماج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

أبسط المعادلات المثلثية هي المعادلات

Cos (x) = a، sin (x) = a، tg (x) = a، ctg (x) = a

المعادلة cos (x) = a

الشرح والمبررات

1. الجذور معادلات كوكس= أ. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | كوسكس |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

دع | أ |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. في الفترة الزمنية ، تقل الدالة y = cos x من 1 إلى -1. لكن دالة التناقص تأخذ كل من قيمها عند نقطة واحدة فقط من مجال تعريفها ، وبالتالي فإن المعادلة cos x = a لها جذر واحد فقط في هذه الفترة ، والتي ، حسب تعريف قوس جيب التمام ، هي: x 1 = arccos a (ولهذا الجذر cos x = لكن).

جيب التمام - دالة زوجية، وهكذا في الفاصل الزمني [-p ؛ 0] المعادلة cos x = ولها أيضًا جذر واحد فقط - وهو الرقم المقابل لـ x 1 ، أي

× 2 = -اركوس أ.

وهكذا ، على الفاصل الزمني [-n ؛ n] (الطول 2n) المعادلة cos x = a لـ | أ |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

الدالة y = cos x دورية بفترة 2n ، لذلك تختلف كل الجذور الأخرى عن تلك الموجودة في 2np (n € Z). نحصل على الصيغة التالية لجذور المعادلة cos x = a عندما

س = ± arccos a + 2n ، n £ Z.

1. حالات خاصة لحل المعادلة cosx = a.

من المفيد تذكر الترميز الخاص لجذور المعادلة cos x = a عندما

أ \ u003d 0 ، أ \ u003d -1 ، أ \ u003d 1 ، والتي يمكن الحصول عليها بسهولة باستخدام دائرة الوحدة كدليل.

بما أن جيب التمام يساوي حدود النقطة المقابلة دائرة الوحدة، نحصل على cos x = 0 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة A أو النقطة B.

وبالمثل ، cos x = 1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة C ،

س = 2πp ، ك € Z.

أيضًا cos x \ u003d -1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة D ، وبالتالي x \ u003d n + 2n ،

المعادلة sin (x) = a

الشرح والمبررات

1. الجذور معادلات sinx= أ. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функции y = sinx).