حل الأنظمة المعادلات الخطيةطريقة جاوس.افترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل للنظام من نالمعادلات الخطية مع نمتغيرات غير معروفة
محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر.

جوهر طريقة غاوسيتكون من الاستبعاد المتعاقب لمتغيرات غير معروفة: أولاً ، × 1من كل معادلات النظام ابتداء من الثانية ثم x2من جميع المعادلات ، بدءًا من المعادلة الثالثة ، وهكذا ، حتى يبقى المتغير المجهول فقط في المعادلة الأخيرة x ن. تسمى هذه العملية لتحويل معادلات النظام للحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة طريقة جاوس المباشرة. بعد الانتهاء من التحرك للأمام لطريقة غاوس ، من المعادلة الأخيرة التي وجدناها x ن، باستخدام هذه القيمة من المعادلة قبل الأخيرة يتم حسابها xn-1وهكذا ، من المعادلة الأولى × 1. تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى طريقة غاوس العكسي.

دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. تخلص من المتغير المجهول × 1من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية. للقيام بذلك ، أضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثانية للنظام ، أضف الأول مضروبًا في المعادلة الثالثة ، وهكذا ، إلى ال الأضف المعادلة الأولى مضروبة في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا .

سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن ذلك × 1من خلال متغيرات أخرى غير معروفة في المعادلة الأولى للنظام وتم استبدال التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. لذا فإن المتغير × 1مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثانية.

بعد ذلك ، نتصرف بشكل مشابه ، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج ، والذي تم تمييزه في الشكل

للقيام بذلك ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الثالثة للنظام ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الرابعة ، وهكذا ، إلى ال الأضف المعادلة الثانية مضروبة في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا . لذا فإن المتغير x2مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثالث.

بعد ذلك ، ننتقل إلى القضاء على المجهول × 3، بينما نتصرف بالمثل مع جزء النظام المميز في الشكل

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه اللحظة ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x نمن المعادلة الأخيرة باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x نتجد xn-1من المعادلة قبل الأخيرة ، وما إلى ذلك ، نجد × 1من المعادلة الأولى.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة جاوس.

في هذه المقالة ، تعتبر الطريقة كطريقة للحل. الطريقة تحليلية ، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية حل في نظرة عامة، ثم استبدل القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس ، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. أو ليس لديهم على الإطلاق.

ماذا يعني غاوس؟

تحتاج أولاً إلى كتابة نظام المعادلات الخاص بنا في يبدو هكذا. النظام مأخوذ:

تتم كتابة المعاملات في شكل جدول ، وعلى اليمين في عمود منفصل - أعضاء أحرار. يتم فصل العمود الذي يحتوي على أعضاء حرة لتسهيل الأمر ، وتسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود الموسعة.

علاوة على ذلك ، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى الشكل المثلثي العلوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام بطريقة غاوس. ببساطة ، بعد بعض المعالجات ، يجب أن تبدو المصفوفة هكذا ، بحيث لا يوجد سوى أصفار في الجزء السفلي الأيسر منها:

بعد ذلك ، إذا كتبت المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام معادلات ، فستلاحظ أن الصف الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور ، والتي يتم استبدالها بعد ذلك في المعادلة أعلاه ، وتم العثور على جذر آخر ، وهكذا.

هذا وصف للحل بطريقة غاوس في المصطلحات الأكثر عمومية. وماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا حصر له منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى ، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في الحل بواسطة طريقة Gauss.

المصفوفات وخصائصها

لا يوجد معنى خفي في المصفوفة. إنها مجرد طريقة ملائمة لتسجيل البيانات لعمليات لاحقة. حتى تلاميذ المدارس يجب ألا يخافوا منهم.

تكون المصفوفة دائمًا مستطيلة لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة غاوس ، حيث كل شيء يأتي لبناء مصفوفة الثلاثي، يظهر مستطيل في الإدخال ، مع وجود أصفار فقط في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. يمكن حذف الأصفار ، لكنها ضمنية.

المصفوفة لها حجم. "عرضه" هو عدد الصفوف (م) ، "طوله" هو عدد الأعمدة (ن). ثم حجم المصفوفة A (عادة ما تستخدم الحروف اللاتينية الكبيرة لتسميتها) سيتم الإشارة إليها على أنها A m × n. إذا كانت m = n ، فإن هذه المصفوفة مربعة ، و m = n هو ترتيبها. وفقًا لذلك ، يمكن الإشارة إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة A برقم صفها وعمودها: a xy ؛ س - رقم الصف ، التغييرات ، رقم العمود ص ، التغييرات.

ب ليست النقطة الرئيسية في الحل. من حيث المبدأ ، يمكن إجراء جميع العمليات مباشرة باستخدام المعادلات نفسها ، لكن التدوين سيكون أكثر تعقيدًا ، وسيكون من الأسهل بكثير الخلط فيه.

محدد

المصفوفة لها أيضًا محدد. هذه ميزة مهمة جدا. معرفة معناه الآن لا يستحق كل هذا العناء ، يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابه ، ثم تحديد خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة لإيجاد المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الخيالية في المصفوفة ؛ تتضاعف العناصر الموجودة على كل منها ، ثم تُضاف النواتج الناتجة: الأقطار ذات المنحدر إلى اليمين - بعلامة "زائد" ، ومنحدر إلى اليسار - بعلامة "ناقص".

من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. بالنسبة إلى المصفوفة المستطيلة ، يمكنك القيام بما يلي: اختر أصغر عدد من الصفوف وعدد الأعمدة (لنكن k) ، ثم ضع علامة عشوائية على k أعمدة و k صفوف في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة مصفوفة مربعة جديدة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة هو رقم غير الصفر ، فإنه يسمى الأساس الصغرى للمصفوفة المستطيلة الأصلية.

قبل الشروع في حل نظام المعادلات بطريقة غاوس ، لا يضر حساب المحدد. إذا اتضح أنها صفر ، فيمكننا أن نقول على الفور أن المصفوفة إما بها عدد لانهائي من الحلول ، أو لا يوجد حل واحد على الإطلاق. في مثل هذه الحالة المحزنة ، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتكتشف رتبة المصفوفة.

تصنيف النظام

هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الحد الأقصى لترتيب المحدد غير الصفري (تذكر الأساس الثانوي ، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).

وفقًا لكيفية سير الأمور بالرتبة ، يمكن تقسيم SLAE إلى:

• مشترك. فيبالنسبة لأنظمة المفاصل ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون فقط من المعاملات) تتطابق مع مرتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من المصطلحات المجانية). هذه الأنظمة لها حل ، ولكن ليس بالضرورة حل واحد ، لذلك ، يتم تقسيم الأنظمة المشتركة بالإضافة إلى ذلك إلى:
• - المؤكد- وجود حل فريد. في أنظمة معينة ، تتساوى رتبة المصفوفة وعدد المجهول (أو عدد الأعمدة وهو نفس الشيء) ؛
• - غير محدد -مع عدد لا حصر له من الحلول. رتبة المصفوفات لهذه الأنظمة أقل من عدد المجهولين.
• غير متوافق. فيمثل هذه الأنظمة ، لا تتطابق رتب المصفوفات الرئيسية والمصفوفة الموسعة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.

تعتبر طريقة Gauss جيدة من حيث أنها تسمح للشخص بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (دون حساب محددات المصفوفات الكبيرة) أو حل عام لنظام يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.

التحولات الأولية

قبل الشروع مباشرة في حل النظام ، من الممكن جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة للحسابات. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المذكورة أعلاه صالحة فقط للمصفوفات ، والتي كان مصدرها تحديدًا SLAE. فيما يلي قائمة بهذه التحولات:

1. تبديل السلسلة. من الواضح أننا إذا قمنا بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام ، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. وبالتالي ، من الممكن أيضًا تبادل الصفوف في مصفوفة هذا النظام ، دون أن ننسى بالطبع عمود الأعضاء الأحرار.
2. ضرب كل عناصر سلسلة ببعض العوامل. مفيد جدا! يمكن استخدامه للتقصير أعداد كبيرةفي المصفوفة أو إزالة الأصفار. مجموعة الحلول ، كالعادة ، لن تتغير ، وستصبح أكثر ملاءمة لإجراء المزيد من العمليات. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا يساوي الصفر.
3. احذف الصفوف ذات المعاملات المتناسبة. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في المصفوفة معاملات متناسبة ، فعند ضرب / قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب ، يتم الحصول على صفين (أو أكثر) متطابقين تمامًا ، ويمكنك إزالة الصفوف الإضافية ، مع ترك الصفوف فقط واحد.
4. إزالة السطر الفارغ. إذا تم الحصول على سلسلة أثناء عمليات التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر ، بما في ذلك العضو الحر ، صفرًا ، فيمكن عندئذٍ تسمية هذه السلسلة بصفر وإلقاءها خارج المصفوفة.
5. إضافة عناصر صف آخر (في الأعمدة المقابلة) إلى عناصر صف واحد ، مضروبة في معامل معين. التحول الأكثر غموضًا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيها بمزيد من التفصيل.

إضافة سلسلة مضروبة في عامل

لسهولة الفهم ، يجدر تفكيك هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ 21 أ 22 ... أ 2 ن | ب 2

افترض أنك بحاجة إلى إضافة الأول إلى الثاني ، مضروبًا في المعامل "-2".

أ "21 \ u003d أ 21 + -2 × أ 11

أ "22 \ u003d أ 22 + -2 × أ 12

أ "2n \ u003d أ 2n + -2 × 1n

ثم في المصفوفة ، يتم استبدال الصف الثاني بواحد جديد ، ويبقى الصف الأول دون تغيير.

أ 11 أ 12 ... أ 1 ن | ب 1

أ "21 أ" 22 ... أ "2 ن | ب 2

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار عامل الضرب بطريقة تجعل أحد عناصر السلسلة الجديدة يساوي صفرًا نتيجة إضافة سلسلتين. لذلك ، من الممكن الحصول على معادلة في النظام ، حيث ستكون هناك معادلة غير معروفة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل ، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي بالفعل على مجهولين أقل. وإذا ننتقل في كل مرة إلى صفر معامل واحد لجميع الصفوف الأقل من المعامل الأصلي ، فيمكننا ، مثل الخطوات ، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة ذات واحد غير معروف. يسمى هذا حل النظام باستخدام طريقة Gaussian.

على العموم

يجب ألا يكون هناك نظام. لها معادلات م ون جذور غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:

يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. يضاف عمود من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الممتدة ويفصل بينهم شريط للراحة.

• يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k = (-a 21 / a 11) ؛
• يضاف الصف الأول المعدل والصف الثاني من المصفوفة ؛
• بدلاً من الصف الثاني ، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة ؛
• الآن المعامل الأول في الصف الثاني الجديد هو 11 × (-a 21 / أ 11) + أ 21 = -أ 21 + أ 21 = 0.

الآن يتم إجراء نفس سلسلة التحويلات ، يتم تضمين الصفين الأول والثالث فقط. وفقًا لذلك ، في كل خطوة من الخوارزمية ، يتم استبدال العنصر a 21 بـ 31. ثم يتكرر كل شيء لـ 41 ، ... a m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف يساوي صفرًا. نحتاج الآن إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:

• المعامل k \ u003d (-a 32 / a 22) ؛
• يضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي" ؛
• يتم استبدال نتيجة الإضافة في الأسطر الثالث والرابع وهكذا ، بينما يظل الأول والثاني بدون تغيير ؛
• في صفوف المصفوفة ، أول عنصرين يساوي الصفر بالفعل.

يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k = (-a m، m-1 / a mm). هذا يعني أن في آخر مرةتم تنفيذ الخوارزمية فقط للمعادلة السفلية. تبدو المصفوفة الآن كمثلث ، أو لها شكل متدرج. يحتوي المحصلة النهائية على المساواة أ م ن × س ن = ب م. المعامل والمصطلح الحر معروفان ، ويتم التعبير عن الجذر من خلالهما: x n = b m / a mn. يتم استبدال الجذر الناتج في الصف العلوي لإيجاد x n-1 = (b m-1 - a m-1، n × (b m / a mn)) ÷ a m-1، n-1. وهكذا عن طريق القياس: في كل سطر تالٍ يوجد جذر جديد ، وبعد أن وصلت إلى "قمة" النظام ، يمكنك إيجاد العديد من الحلول. سيكون الوحيد.

عندما لا توجد حلول

إذا كانت جميع العناصر في أحد صفوف المصفوفة تساوي صفرًا ، باستثناء المصطلح الحر ، فإن المعادلة المقابلة لهذا الصف تبدو مثل 0 = ب. ليس لها حل. وبما أن مثل هذه المعادلة مدرجة في النظام ، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة ، أي أنها متدهورة.

عندما يكون هناك عدد لا حصر له من الحلول

قد يتضح أنه في المصفوفة المثلثية المختصرة لا توجد صفوف بها عنصر واحد - معامل المعادلة ، وواحد - عضو حر. لا يوجد سوى السلاسل التي ، عند إعادة كتابتها ، ستبدو كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. هذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة ، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف افعلها؟

جميع المتغيرات في المصفوفة مقسمة إلى أساسية ومجانية. أساسي - هذه هي تلك التي تقف "على حافة" الصفوف في المصفوفة المتدرجة. الباقي أحرار. في الحل العام ، تتم كتابة المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات المجانية.

للراحة ، تتم إعادة كتابة المصفوفة أولاً في نظام المعادلات. ثم في الأخير ، حيث بقي متغير أساسي واحد فقط ، يبقى في جانب ، وكل شيء آخر يتم نقله إلى الآخر. يتم ذلك لكل معادلة بمتغير أساسي واحد. ثم ، في بقية المعادلات ، حيثما أمكن ، بدلاً من المتغير الأساسي ، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه من أجله. إذا كانت النتيجة مرة أخرى تعبيرًا يحتوي على متغير أساسي واحد فقط ، فسيتم التعبير عنه من هناك مرة أخرى ، وهكذا ، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير يحتوي على متغيرات حرة. هذا ما هو عليه قرار مشترك SLAU.

يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - أعط المتغيرات المجانية أي قيم ، ثم في هذه الحالة بالذات احسب قيم المتغيرات الأساسية. هناك عدد لا نهائي من الحلول الخاصة.

حل بأمثلة محددة

هنا نظام المعادلات.

للراحة ، من الأفضل إنشاء مصفوفة على الفور

من المعروف أنه عند الحل بطريقة Gauss ، فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى دون تغيير في نهاية التحويلات. لذلك ، سيكون الأمر أكثر ربحية إذا كان العنصر الأيسر العلوي للمصفوفة هو الأصغر - ثم ستتحول العناصر الأولى من الصفوف المتبقية بعد العمليات إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني مكان الصف الأول.

السطر الثاني: ك = (-a 21 / أ 11) = (-3/1) = -3

أ "21 \ u003d أ 21 + ك × أ 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0

أ "22 \ u003d أ 22 + ك × أ 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7

أ "23 = أ 23 + ك × أ 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

ب "2 \ u003d ب 2 + ك × ب 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24

السطر الثالث: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

أ "3 1 = أ 3 1 + ك × أ 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

أ "3 2 = أ 3 2 + ك × أ 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

أ "3 3 = أ 33 + ك × أ 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57

الآن ، من أجل عدم الخلط ، من الضروري كتابة المصفوفة بالنتائج الوسيطة للتحولات.

من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر ملاءمة للإدراك بمساعدة بعض العمليات. على سبيل المثال ، يمكنك إزالة جميع "السلبيات" من السطر الثاني بضرب كل عنصر في "-1".

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن جميع العناصر في الصف الثالث عبارة عن مضاعفات للرقم ثلاثة. ثم يمكنك تقصير السلسلة بهذا الرقم ، وضرب كل عنصر في "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت ، لإزالة القيم السالبة).

تبدو أجمل بكثير. علينا الآن ترك السطر الأول بمفرده والعمل مع السطر الثاني والثالث. تتمثل المهمة في إضافة الصف الثاني إلى الصف الثالث ، مضروبًا في مثل هذا المعامل بحيث يصبح العنصر a 32 مساويًا للصفر.

ك = (-a 32 / أ 22) = (-3/7) = -3/7 جزء مشترك، وعندها فقط ، عند تلقي الإجابات ، قرر ما إذا كنت تريد التقريب والترجمة إلى شكل آخر من أشكال التسجيل)

أ "32 = أ 32 + ك × أ 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

أ "33 \ u003d أ 33 + ك × أ 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7

ب "3 \ u003d ب 3 + ك × ب 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7

تمت كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

كما ترى ، فإن المصفوفة الناتجة لها بالفعل شكل متدرج. لذلك ، لا يلزم إجراء مزيد من التحولات للنظام بطريقة Gauss. ما يمكن عمله هنا هو إزالة المعامل العام "-1/7" من السطر الثالث.

الآن كل شيء جميل. النقطة صغيرة - اكتب المصفوفة مرة أخرى في شكل نظام معادلات واحسب الجذور

س + 2 ص + 4 ع = 12 (1)

7 س + 11 ع = 24 (2)

تسمى الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن بالحركة العكسية في طريقة غاوس. تحتوي المعادلة (3) على قيمة z:

ص = (24-11 × (61/9)) / 7 = -65/9

وتتيح لك المعادلة الأولى إيجاد x:

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

لدينا الحق في تسمية مثل هذا النظام مشتركًا ، وحتى مؤكدًا ، أي وجود حل فريد. الرد مكتوب بالصيغة التالية:

× 1 \ u003d -2/3 ، ص \ u003d -65/9 ، ض \ u003d 61/9.

مثال على نظام غير محدد

تم تحليل متغير حل نظام معين بطريقة Gauss ، والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير محدد ، أي أنه يمكن العثور على العديد من الحلول بشكل لا نهائي له.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3 س 1 + 2 س 2 + س 3 + س 4 - 3 س 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5 س 1 + 4 س 2 + 3 س 3 + 3 س 4 - س 5 = 12 (4)

مظهر النظام ينذر بالخطر بالفعل ، لأن عدد المجهول هو n = 5 ، ورتبة مصفوفة النظام أقل بالفعل من هذا الرقم ، لأن عدد الصفوف م = 4 ، أي أعظم ترتيبمربع محدد - 4. هذا يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من الحلول ، ويجب علينا البحث عن شكله العام. تجعل طريقة غاوس للمعادلات الخطية من الممكن القيام بذلك.

أولاً ، كالعادة ، يتم تجميع المصفوفة المعززة.

السطر الثاني: المعامل k = (-a 21 / a 11) = -3. في السطر الثالث ، يكون العنصر الأول قبل التحولات ، لذلك لا تحتاج إلى لمس أي شيء ، عليك تركه كما هو. السطر الرابع: k = (-a 4 1 / a 11) = -5

بضرب عناصر الصف الأول في كل من معاملاتها على التوالي وإضافتها إلى الصفوف المرغوبة ، نحصل على مصفوفة بالشكل التالي:

كما ترى ، الصفوف الثاني والثالث والرابع تتكون من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. عموماً الثاني والرابع متماثلان ، لذا يمكن إزالة أحدهما على الفور ، والباقي مضروب في المعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة ​​أخرى ، اترك أحد سطرين متطابقين.

اتضح مثل هذه المصفوفة. لم يتم تدوين النظام بعد ، من الضروري هنا تحديد المتغيرات الأساسية - الوقوف عند المعاملين 11 \ u003d 1 و 22 \ u003d 1 ، ومجاني - كل الباقي.

المعادلة الثانية لها متغير أساسي واحد فقط - x 2. ومن ثم ، يمكن التعبير عنها من هناك ، من خلال الكتابة من خلال المتغيرات x 3 ، x 4 ، x 5 ، وهي مجانية.

نعوض بالتعبير الناتج في المعادلة الأولى.

لقد تم التوصل إلى معادلة يكون فيها المتغير الأساسي الوحيد هو x 1. لنفعل نفس الشيء مع x 2.

يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية ، التي يوجد منها متغيران ، في شكل ثلاثة متغيرات حرة ، والآن يمكنك كتابة الإجابة بشكل عام.

يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول الخاصة للنظام. في مثل هذه الحالات ، كقاعدة عامة ، يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. ثم تكون الإجابة:

16, 23, 0, 0, 0.

مثال على نظام غير متوافق

حل أنظمة المعادلات غير المتسقة بطريقة غاوس هو الأسرع. تنتهي بمجرد الحصول على معادلة ليس لها حل في إحدى المراحل. أي أن المرحلة مع حساب الجذور ، وهي طويلة جدًا وكئيبة ، تختفي. يعتبر النظام التالي:

س + ص - ض = 0 (1)

2 س - ص - ض = -2 (2)

4 س + ص - 3 ع = 5 (3)

كالعادة ، يتم تجميع المصفوفة:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

ويتم تقليله إلى شكل متدرج:

ك 1 \ u003d -2 ك 2 \ u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

بعد التحويل الأول ، يحتوي السطر الثالث على معادلة النموذج

ليس لديها حل. لذلك ، فإن النظام غير متسق ، والإجابة هي المجموعة الفارغة.

مزايا وعيوب الطريقة

إذا اخترت أي طريقة لحل SLAE على الورق باستخدام قلم ، فإن الطريقة التي تم أخذها في الاعتبار في هذه المقالة تبدو الأكثر جاذبية. في التحولات الأولية ، يكون الخلط أكثر صعوبة مما يحدث إذا كان عليك البحث يدويًا عن المحدد أو بعض المصفوفة المعكوسة الصعبة. ومع ذلك ، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع ، على سبيل المثال ، جداول البيانات ، فقد اتضح أن هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحدد ، والقاصر ، والعكس ، وما إلى ذلك. وإذا كنت متأكدًا من أن الآلة ستحسب هذه القيم بنفسها ولن تخطئ ، فمن الأفضل استخدام طريقة المصفوفة أو صيغ كرامر ، لأن تطبيقها يبدأ وينتهي بحساب المحددات والمصفوفات المعكوسة.

تطبيق

نظرًا لأن حل Gaussian عبارة عن خوارزمية ، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد ، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن نظرًا لأن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى" ، ينبغي القول إن أسهل مكان لوضع الطريقة فيه هو جداول البيانات ، على سبيل المثال ، Excel. مرة أخرى ، سيتم اعتبار أي SLAE تم إدخاله في جدول في شكل مصفوفة بواسطة Excel كمصفوفة ثنائية الأبعاد. وللعمليات معهم ، هناك العديد من الأوامر الجيدة: الإضافة (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، الضرب برقم ، ضرب المصفوفة (أيضًا مع قيود معينة) ، إيجاد المصفوفات المعكوسة والمحوّلة ، والأهم من ذلك ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد ، فسيكون من الأسرع بكثير تحديد رتبة المصفوفة ، وبالتالي إثبات توافقها أو عدم تناسقها.

تم اقتراح طريقة جاوس من قبل عالم الرياضيات الألماني الشهير كارل فريدريش جاوس (1777 - 1855) وهي واحدة من أكثر الطرق شيوعًا لحل SLAE. يكمن جوهر هذه الطريقة في حقيقة أنه عن طريق عمليات الحذف المتتالية للمجهول ، يتم تحويل النظام المعطى إلى نظام متدرج (على وجه الخصوص ، مثلث) مكافئ للنظام المعطى. في الحل العملي للمشكلة ، يتم تقليل المصفوفة الممتدة للنظام بمساعدة التحولات الأولية عبر صفوفها إلى شكل متدرج. ثم يتم العثور على جميع المجهول بالتسلسل ، بدءًا من الأسفل إلى الأعلى.

مبدأ طريقة جاوس

تتضمن طريقة Gaussian تحركات مباشرة (تقليل المصفوفة الممتدة إلى شكل متدرج ، أي الحصول على الأصفار تحت القطر الرئيسي) والعكس (الحصول على الأصفار فوق القطر الرئيسي للمصفوفة الموسعة). يُطلق على الحركة إلى الأمام طريقة Gauss ، والعكس - طريقة Gauss-Jordan ، والتي تختلف عن الطريقة الأولى فقط في تسلسل استبعاد المتغيرات.

طريقة Gauss مثالية لحل الأنظمة التي تحتوي على أكثر من ثلاث معادلات خطية ، لحل أنظمة المعادلات غير التربيعية (والتي لا يمكن قولها عن طريقة كرامر وطريقة المصفوفة). أي أن طريقة غاوس هي الطريقة الأكثر شمولاً لإيجاد حل لأي نظام من المعادلات الخطية ؛ وهي تعمل في حالة وجود عدد لا نهائي من الحلول للنظام أو يكون غير متسق.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات

مثال

يمارس.حل SLAE بطريقة Gauss.

قرار.نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحويلات الأولية على صفوفها ، نأتي بهذه المصفوفة إلى شكل متدرج (حركة إلى الأمام) ثم نقوم بالتحريك العكسي لطريقة غاوس (نصنع أصفارًا فوق القطر الرئيسي). أولاً ، قم بتغيير الصف الأول والثاني بحيث يساوي العنصر 1 (نقوم بذلك لتبسيط العمليات الحسابية):

قسّم جميع عناصر الصف الثالث على اثنين (أو اضرب في العنصر نفسه):

من السطر الثالث نطرح الثاني مضروبًا في 3:

بضرب الصف الثالث ، نحصل على:

دعونا الآن ننفذ المسار العكسي لطريقة Gauss (طريقة Gassout-Jordan) ، أي سنقوم بعمل أصفار فوق القطر الرئيسي. لنبدأ بعناصر العمود الثالث. من الضروري إعادة تعيين العنصر ، لذلك نطرح الثالث من السطر الثاني.

تردد كارل فريدريش جاوس ، أعظم عالم رياضيات ، لفترة طويلة ، في الاختيار بين الفلسفة والرياضيات. ربما كانت هذه العقلية على وجه التحديد هي التي سمحت له "بالمغادرة" بشكل ملحوظ في علوم العالم. على وجه الخصوص ، من خلال إنشاء "طريقة غاوس" ...

منذ ما يقرب من 4 سنوات ، تم التعامل مع مقالات هذا الموقع التعليم المدرسي، بشكل رئيسي من جانب الفلسفة ، أدخلت مبادئ (سوء الفهم) في عقول الأطفال. حان الوقت لمزيد من التفاصيل والأمثلة والأساليب ... أعتقد أن هذا هو النهج المألوف والمربك و الأهميةمجالات الحياة تعطي أفضل النتائج.

نحن البشر مرتبون للغاية بغض النظر عن مقدار ما تتحدث عنه التفكير المجرد، لكن فهم دائماًيحدث من خلال الأمثلة. إذا لم تكن هناك أمثلة ، فمن المستحيل فهم المبادئ ... ما مدى استحالة أن تكون على قمة جبل بخلاف المرور عبر منحدره بالكامل من سفح الجبل.

نفس الشيء مع المدرسة: في الوقت الحالي قصص حيةليس كافيًا ، فنستمر غريزيًا في اعتباره مكانًا يتعلم فيه الأطفال فهمه.

على سبيل المثال ، تدريس طريقة غاوس ...

طريقة جاوس في الصف الخامس بالمدرسة

سأحجز على الفور: طريقة غاوس بها أكثر من ذلك بكثير تطبيق واسع، على سبيل المثال ، عند الحل أنظمة المعادلات الخطية. ما سنتحدث عنه يحدث في الصف الخامس. هذا هو البداية، بعد فهم أيٍّ منهما ، يكون من الأسهل بكثير فهم المزيد من "الخيارات المتقدمة". في هذا المقال نتحدث عنه طريقة (طريقة) Gauss عند إيجاد مجموع سلسلة

هذا مثال أحضرته من المدرسة الابن الاصغرحضور الصف الخامس من صالة الألعاب الرياضية في موسكو.

عرض مدرسي لطريقة غاوس

مدرس الرياضيات باستخدام ألواح الكتابة التفاعلية (الأساليب الحديثةالتدريب) على الأطفال عرضًا لتاريخ "إنشاء الطريقة" بواسطة غاوس الصغير.

قام مدرس المدرسة بجلد كارل الصغير (طريقة قديمة ، لم تستخدم الآن في المدارس) لكونها ،

بدلاً من جمع الأرقام بالتتابع من 1 إلى 100 لإيجاد مجموعها لاحظتأن أزواج الأرقام المتباعدة بالتساوي من حواف التقدم الحسابي تضيف ما يصل إلى نفس العدد. على سبيل المثال ، 100 و 1 و 99 و 2. بعد حساب عدد هذه الأزواج ، تمكن غاوس الصغير على الفور تقريبًا من حل المشكلة التي اقترحها المعلم. الذي تعرض للإعدام أمام جمهور مذهول. لبقية التفكير كان عدم احترام.

ماذا فعل غاوس الصغير المتقدمة عدد المعنى? لاحظتبعض الميزاتسلسلة رقمية بخطوة ثابتة (التقدم الحسابي). و هذا بالضبطجعله فيما بعد عالمًا عظيمًا ، قادر على الملاحظة، الحيازة الشعور ، غريزة الفهم.

هذه هي قيمة الرياضيات التي تتطور القدرة على الرؤيةبشكل عام على وجه الخصوص - التفكير المجرد. لذلك ، فإن معظم الآباء وأرباب العمل اعتبر الرياضيات بشكل غريزي تخصصًا مهمًا ...

"يجب تدريس الرياضيات لاحقًا ، حتى تُنظم العقل.
ام في لومونوسوف ".

ومع ذلك ، فإن أتباع أولئك الذين جلدوا عباقرة المستقبل حولوا الطريقة إلى شيء معاكس. كما قال مشرفي قبل 35 عامًا: "لقد تعلموا السؤال". أو ، كما قال ابني الأصغر أمس عن طريقة غاوس: "ربما لا يستحق صنع علم كبير من هذا ، هاه؟"

تتجلى عواقب إبداع "العلماء" في مستوى رياضيات المدرسة الحالية ، ومستوى تدريسها وفهم الأغلبية لـ "ملكة العلوم".

ومع ذلك ، دعنا نكمل ...

طرق شرح طريقة جاوس بالصف الخامس بالمدرسة

أدى مدرس الرياضيات في صالة للألعاب الرياضية في موسكو ، يشرح طريقة غاوس بطريقة فيلينكين ، إلى تعقيد المهمة.

ماذا لو كان الفرق (الخطوة) في التقدم الحسابي ليس واحدًا ، بل رقمًا آخر؟ على سبيل المثال ، 20.

المهمة التي كلف بها تلاميذ الصف الخامس:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

قبل التعرف على طريقة صالة الألعاب الرياضية ، دعونا نلقي نظرة على الويب: كيف يقوم مدرسو المدارس - مدرسو الرياضيات بذلك؟ ..

طريقة غاوس: الشرح رقم 1

يعطي المعلم المعروف على قناته على YOUTUBE الأسباب التالية:

"لنكتب الأرقام من 1 إلى 100 على النحو التالي:

أولاً سلسلة من الأرقام من 1 إلى 50 ، وأسفلها تمامًا سلسلة أخرى من الأرقام من 50 إلى 100 ، ولكن بترتيب عكسي "

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

يرجى ملاحظة: مجموع كل زوج من الأرقام من الصفين العلوي والسفلي هو نفسه ويساوي 101! دعونا نحسب عدد الأزواج ، فهو 50 ونضرب مجموع زوج واحد في عدد الأزواج! Voila: The الجواب جاهز! ".

"إذا كنت لا تستطيع الفهم ، فلا تنزعج!" كرر المعلم ثلاث مرات في عملية الشرح. "ستجتاز هذه الطريقة في الصف التاسع!"

طريقة غاوس: الشرح رقم 2

مدرس آخر ، أقل شهرة (إذا حكمنا من خلال عدد المشاهدات) يستخدم أكثر منهج علمي، تقدم خوارزمية حل من 5 نقاط يجب إجراؤها بالتتابع.

للمبتدئين: الرقم 5 هو أحد أرقام فيبوناتشي التي تعتبر تقليديًا سحرية. تعد طريقة الخمس خطوات دائمًا أكثر علمية من طريقة الخطوات الست ، على سبيل المثال. ... وهذا ليس من قبيل الصدفة ، فعلى الأرجح أن المؤلف مناصر خفي لنظرية فيبوناتشي

دانا المتوالية العددية: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

خوارزمية لإيجاد مجموع الأرقام في سلسلة باستخدام طريقة Gauss:

الخطوة 1: أعد كتابة تسلسل الأرقام المعطى في الاتجاه المعاكس ، بالضبطتحت الأول.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

الخطوة 2: احسب مجموع أزواج الأرقام المرتبة في صفوف عمودية: 260.

الخطوة 3: احسب عدد هذه الأزواج في سلسلة الأرقام. للقيام بذلك ، اطرح الحد الأدنى من الحد الأقصى لعدد سلسلة الأرقام واقسم على حجم الخطوة: (256-4) / 6 = 42.

في نفس الوقت ، عليك أن تتذكر بالإضافة إلى قاعدة واحدة : يجب إضافة واحد إلى حاصل القسمة الناتج: وإلا سنحصل على نتيجة أقل بمقدار واحد من العدد الحقيقي للأزواج: 42 + 1 = 43.

الخطوة 4: اضرب مجموع زوج واحد من الأرقام في عدد الأزواج: 260 × 43 = 11،180

الخطوة 5: منذ أن حسبنا المبلغ أزواج من الأرقام، ثم يجب تقسيم المبلغ المستلم على اثنين: 11 180/2 = 5590.

هذا هو المبلغ المطلوب للتقدم الحسابي من 4 إلى 256 بفارق 6!

طريقة غاوس: شرح في الصف الخامس من صالة الألعاب الرياضية في موسكو

وإليكم كيف كان المطلوب حل مشكلة إيجاد مجموع المتسلسلة:

20+40+60+ ... +460+480+500

في الصف الخامس من صالة الألعاب الرياضية في موسكو ، كتاب فيلينكين المدرسي (حسب ابني).

بعد عرض العرض التقديمي ، أظهر مدرس الرياضيات بضعة أمثلة غاوسية وأعطى الفصل مهمة إيجاد مجموع الأرقام في سلسلة بخطوة 20.

هذا يتطلب ما يلي:

الخطوة 1: تأكد من كتابة جميع الأرقام الموجودة في الصف في دفتر ملاحظاتمن 20 إلى 500 (بزيادات قدرها 20).

الخطوة 2: اكتب مصطلحات متتالية - أزواج من الأرقام:الأول مع الأخير ، والثاني مع ما قبل الأخير ، إلخ. وحساب مبالغهم.

الخطوة 3: احسب "مجموع المبالغ" وابحث عن مجموع المتسلسلة بأكملها.

كما ترى ، فهي أكثر إحكاما و تقنية فعالة: الرقم 3 هو أيضًا عضو في متوالية فيبوناتشي

تعليقاتي على النسخة المدرسية من طريقة غاوس

من المؤكد أن عالم الرياضيات العظيم كان سيختار الفلسفة إذا كان قد توقع ما سيحول أتباعه "طريقته" إليه. مدرس لغة ألمانيةالذي جلد كارل بالعصي. كان ليرى الرمزية والدوامة الديالكتيكية وغباء "المعلمين" الأبدي. محاولة قياس انسجام الفكر الرياضي الحي مع جبر سوء الفهم ....

بالمناسبة ، هل تعلم. أن نظامنا التعليمي متجذر في المدرسة الألمانية في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر؟

لكن غاوس اختار الرياضيات.

ما هو جوهر طريقته؟

في تبسيط. في المراقبة والقبضأنماط بسيطة من الأرقام. في تحويل الحساب المدرسي الجاف إلى نشاط ممتع وممتع ، وتنشيط الرغبة في الاستمرار في الدماغ ، وعدم إعاقة النشاط العقلي عالي التكلفة.

هل من الممكن حساب مجموع أرقام التقدم الحسابي بأحد "تعديلات طريقة غاوس" المذكورة أعلاه فورا؟ وفقًا لـ "الخوارزميات" ، كان من الممكن ضمان أن يتجنب كارل الصغير الضرب على الأرداف ، ويزرع النفور من الرياضيات وقمع دوافعه الإبداعية في مهدها.

لماذا نصح المدرس تلاميذ الصف الخامس بإصرار "بألا يخافوا من سوء فهم" الطريقة ، مقنعهم بأنهم سيحلون "مثل هذه" المشاكل الموجودة بالفعل في الصف التاسع؟ عمل أمي نفسيا. كانت فكرة جيدة أن نلاحظ: "أرك لاحقًا بالفعل في الصف الخامس يمكنك ذلكحل المشاكل التي سوف تمر فقط 4 سنوات! يا لك من رفقاء طيبين! "

لاستخدام طريقة Gaussian ، يكفي المستوى 3 من الفصلعندما يعرف الأطفال العاديون بالفعل كيفية الجمع والضرب والقسمة على 2-3 أرقام. تنشأ المشاكل بسبب عدم قدرة المدرسين البالغين الذين "لا يدخلون" في كيفية شرح أبسط الأشياء بلغة بشرية عادية ، وليس فقط لغة رياضية ... فهم غير قادرين على الاهتمام بالرياضيات وثني حتى "القادرون" تمامًا.

أو ، كما علق ابني ، "اصنع منه علمًا كبيرًا".

كيف (في الحالة العامة) معرفة الرقم الذي يجب "فك تغليفه" في سجل الأرقام في الطريقة رقم 1؟

ماذا تفعل إذا كان عدد أعضاء السلسلة هو غريب?

لماذا تتحول إلى "قاعدة زائد 1" ما يمكن للطفل فقط استيعابحتى في الصف الأول ، إذا كان قد طور "حس العدد" ، و لم أتذكر"العد في عشرة"؟

وأخيراً: أين اختفى الصفر اختراع عبقري عمره أكثر من 2000 سنة ويتجنب معلمو الرياضيات الحديثون استخدامه ؟!

طريقة جاوس ، تفسيراتي

شرحت أنا وزوجتي هذه "الطريقة" لطفلنا ، على ما يبدو ، حتى قبل المدرسة ...

البساطة بدلاً من التعقيد أو لعبة الأسئلة - الإجابات

"" انظر ، هذه هي الأرقام من 1 إلى 100. ماذا ترى؟ "

لا يتعلق الأمر بما يراه الطفل. الحيلة هي جعله ينظر.

"كيف يمكنك تجميعها معًا؟" أدرك الابن أن مثل هذه الأسئلة لا تُطرح "تمامًا مثل هذا" وعليك أن تنظر إلى السؤال "بطريقة مختلفة عما يفعله عادةً"

لا يهم إذا رأى الطفل الحل على الفور ، فمن غير المحتمل. من المهم أن يكون توقف عن الخوف من النظر ، أو كما أقول: "نقل المهمة". هذه بداية الطريق إلى التفاهم

"أيهما أسهل: أضف ، على سبيل المثال ، 5 و 6 أم 5 و 95؟" سؤال أساسي ... ولكن بعد كل شيء ، فإن أي تدريب يأتي إلى "إرشاد" الشخص إلى "إجابة" - بأي طريقة مقبولة لديه.

في هذه المرحلة ، قد تكون هناك بالفعل تخمينات حول كيفية "الحفظ" في الحسابات.

كل ما فعلناه هو تلميح: طريقة العد "الأمامية والخطية" ليست الوحيدة الممكنة. إذا قام الطفل بقطع هذا ، فسيقوم لاحقًا باختراع العديد من هذه الأساليب ، لأنها مثيرة للاهتمام !!!وسيتجنب بالتأكيد "سوء الفهم" للرياضيات ، ولن يشعر بالاشمئزاز من ذلك. لقد حصل على الفوز!

اذا كان اكتشف الطفلإذن ، فإن إضافة أزواج من الأرقام التي يصل مجموعها إلى مائة مهمة تافهة "التقدم الحسابي مع الفرق 1"- شيء كئيب إلى حد ما وغير مثير للاهتمام لطفل - فجأة أعطاه الحياة . خرج النظام من الفوضى ، وهذا دائمًا متحمس: هذا ما نحن عليه!

سؤال يجب ملؤه: لماذا ، بعد البصيرة التي يتلقاها الطفل ، يدفعه مرة أخرى إلى إطار الخوارزميات الجافة ، علاوة على ذلك ، غير مجدية وظيفيًا في هذه الحالة ؟!

لماذا إعادة كتابة غبيةالأرقام المتسلسلة في دفتر ملاحظات: حتى لا يكون للقادرين فرصة واحدة للفهم؟ إحصائيًا بالطبع ، لكن التعليم الجماهيري يركز على "الإحصاء" ...

أين ذهب الصفر؟

ومع ذلك ، فإن جمع الأرقام التي تضيف ما يصل إلى 100 هي أكثر قبولًا للعقل من إعطاء 101 ...

تتطلب "طريقة المدرسة غاوس" هذا بالضبط: أضعاف بلا تفكيرعلى مسافة متساوية من مركز تقدم زوج من الأرقام ، بغض النظر.

ماذا لو نظرت؟

ومع ذلك ، فإن الصفر هو أعظم اختراع للبشرية ، عمره أكثر من 2000 عام. ويستمر مدرسو الرياضيات في تجاهله.

من الأسهل كثيرًا تحويل سلسلة من الأرقام التي تبدأ من 1 إلى سلسلة تبدأ من 0. ولن يتغير المجموع ، أليس كذلك؟ تحتاج إلى التوقف عن "التفكير في الكتب المدرسية" والبدء في البحث ...ولترى أن الأزواج التي يبلغ مجموعها 101 يمكن استبدالها بالكامل بأزواج بمجموع 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

كيف تلغي "القاعدة زائد 1"؟

لأكون صادقًا ، سمعت لأول مرة عن مثل هذه القاعدة من مدرس YouTube ...

ماذا لا زلت أفعل عندما أحتاج إلى تحديد عدد أعضاء سلسلة؟

النظر في التسلسل:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

وعندما تتعب تمامًا ، ثم في صف أبسط:

1, 2, 3, 4, 5

وأنا أظن: إذا طرحت واحدًا من 5 ، فستحصل على 4 ، لكنني واضح تمامًا يرى 5 أرقام! لذلك ، تحتاج إلى إضافة واحد! تم تطوير معنى الرقم في مدرسة إبتدائية، يقترح: حتى إذا كان هناك مجموعة كاملة من أعضاء السلسلة (من 10 إلى مائة) ، فسيظل النمط كما هو.

ههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههه

حتى أنه في غضون - ثلاث سنوات لملء كل الفراغ بين الجبهة ومؤخرة الرأس والتوقف عن التفكير؟ ماذا عن كسب الخبز والزبدة؟ بعد كل شيء ، نحن نتحرك في مراتب متساوية إلى عصر الاقتصاد الرقمي!

المزيد عن منهج غاوس المدرسي: "لماذا نستخرج العلم من هذا؟ .."

لم يكن عبثًا أنني نشرت لقطة شاشة من دفتر ملاحظات ابني ...

"ماذا كان هناك في الدرس؟"

"حسنًا ، لقد عدت على الفور ، ورفعت يدي ، لكنها لم تسأل. لذلك ، بينما كان الآخرون يعدون ، بدأت في DZ باللغة الروسية حتى لا أضيع الوقت. ثم ، عندما انتهى الآخرون من الكتابة (؟؟ ؟) ، اتصلت بي على السبورة ، وقلت الإجابة ".

قال المعلم: "هذا صحيح ، أرني كيف قمت بحلها". أظهرت. قالت: "خطأ ، عليك أن تحسب كما بينت!"

"من الجيد أنني لم أضع شيطانًا. وجعلتني أكتب" مسار الحل "بطريقتهم الخاصة في دفتر ملاحظات. لماذا صنع علمًا كبيرًا من هذا؟ .."

الجريمة الرئيسية لمعلم الرياضيات

بالكاد بعد تلك المناسبةتمتع كارل جاوس بإحساس عالٍ من الاحترام لمعلم الرياضيات في المدرسة. ولكن إذا كان يعرف كيف أتباع هذا المعلم تحريف جوهر الطريقة... كان يزأر في سخط وينتهي المنظمة العالميةحقوق الملكية الفكرية حققت المنظمة العالمية للملكية الفكرية حظرًا على استخدام اسمه الشريف في الكتب المدرسية! ..

ماذا الخطأ الرئيسي في نهج المدرسة؟ أم ، كما أصفها ، جريمة معلمي الرياضيات بالمدارس ضد الأطفال؟

خوارزمية سوء الفهم

ماذا يفعل علماء المنهج المدرسي ، والغالبية العظمى منهم لا يعرفون كيف يفكرون؟

إنشاء طرق وخوارزميات (انظر). هذا هو رد فعل دفاعي يحمي المعلمين من النقد ("كل شيء يتم وفقًا لـ ...") ، ويحمي الأطفال من الفهم. وبالتالي - من الرغبة في انتقاد المعلمين!(المشتق الثاني من "الحكمة" البيروقراطية ، مقاربة علمية للمشكلة). الشخص الذي لا يفهم المعنى سوف يلوم بالأحرى سوء فهمه ، وليس غباء النظام المدرسي.

ما يحدث: الآباء يلومون الأبناء ، والمعلمون ... نفس الشيء للأطفال الذين "لا يفهمون الرياضيات! ..

هل انت ذكي؟

ماذا فعل كارل الصغير؟

على الإطلاق اقترب بشكل غير تقليدي من مهمة قالب. هذا هو جوهر نهجه. هذا هو الشيء الرئيسي الذي يجب أن تدرس في المدرسة هو التفكير ليس بالكتب المدرسية ، بل بالعقل. بالطبع ، هناك أيضًا عنصر أساسي يمكن استخدامه ... في البحث عن أبسط و طرق فعالةحسابات.

طريقة جاوس حسب فيلينكين

في المدرسة يعلمون أن طريقة غاوس هي

في باريسأوجد مجموع الأرقام على مسافة متساوية من حواف المتسلسلة العددية ، تبدأ بالضرورة من الحواف!

أوجد عدد هذه الأزواج ، وهكذا.

ماذا او ما، إذا كان عدد العناصر في الصف فرديًاكما في المهمة التي كلف بها الابن؟ ..

"الحيلة" في هذه الحالة يجب أن تجد الرقم "الإضافي" للسلسلةوأضفه إلى مجموع الأزواج. في مثالنا ، هذا الرقم هو 260.

كيف تكتشف؟ إعادة كتابة جميع أزواج الأرقام في دفتر!(لهذا السبب جعل المعلم الأطفال يقومون بهذا العمل الغبي ، في محاولة لتعليم "الإبداع" باستخدام طريقة غاوس ... وهذا هو السبب في أن مثل هذه "الطريقة" غير قابلة للتطبيق عمليًا على سلاسل البيانات الكبيرة ، ولهذا السبب فهي ليست غوسية طريقة).

القليل من الإبداع في الروتين المدرسي ...

تصرف الابن بشكل مختلف.

لاحظ في البداية أنه من الأسهل مضاعفة الرقم 500 وليس 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

ثم اكتشف أن عدد الخطوات كان فرديًا: 500/20 = 25.

ثم أضاف صفرًا إلى بداية السلسلة (على الرغم من أنه كان من الممكن تجاهل المصطلح الأخير من السلسلة ، والذي سيضمن أيضًا التكافؤ) وأضاف الأرقام ، مما يعطي إجمالي 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 درجة هي 13 زوجًا من "خمسمائة": 13 × 500 = 6500 ..

إذا تجاهلنا العضو الأخير في السلسلة ، فسيكون هناك 12 زوجًا ، لكن يجب ألا ننسى إضافة الخمسمائة "المهملة" إلى نتيجة الحسابات. ثم: (12 × 500) + 500 = 6500!

حق سهل؟

ولكن من الناحية العملية ، يصبح الأمر أسهل ، مما يسمح لك باقتطاع 2-3 دقائق للاستشعار عن بُعد باللغة الروسية ، بينما يتم "العد" الباقي. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه يحتفظ بعدد خطوات المنهجية: 5 ، والتي لا تسمح بانتقاد النهج لكونه غير علمي.

من الواضح أن هذا النهج أبسط وأسرع وأكثر تنوعًا في أسلوب الطريقة. لكن ... المعلم لم يمدحني فحسب ، بل أجبرني أيضًا على إعادة كتابته "بالطريقة الصحيحة" (انظر لقطة الشاشة). أي أنها بذلت محاولة يائسة لخنق الدافع الإبداعي والقدرة على فهم الرياضيات في مهدها! على ما يبدو ، لكي يتم تعيينها لاحقًا كمدرس ... هاجمت الشخص الخطأ ...

كل ما وصفته طويلاً ومضجرًا يمكن شرحه لطفل عادي في مدة أقصاها نصف ساعة. جنبا إلى جنب مع الأمثلة.

وحتى لا ينسى ذلك أبدًا.

وسوف خطوة نحو التفاهم... ليس فقط الرياضيات.

أعترف بذلك: كم مرة في حياتك أضفتها باستخدام طريقة Gauss؟ وأنا أبدا!

لكن غريزة الفهمالذي يتطور (أو يطفئ) في عملية دراسة الأساليب الرياضية في المدرسة ... أوه! .. هذا حقًا شيء لا يمكن الاستغناء عنه!

خاصة في عصر الرقمنة العالمية ، الذي دخلناه بهدوء تحت إشراف صارم من الحزب والحكومة.

كلمات قليلة دفاعا عن المعلمين ...

من الظلم والخطأ تحميل المسؤولية الكاملة عن هذا النمط من التدريس على عاتق معلمي المدارس فقط. النظام قيد التشغيل.

بعضيتفهم المعلمون عبثية ما يحدث ، ولكن ماذا يفعلون؟ قانون التعليم ، المعايير التعليمية الفيدرالية للدولة ، الأساليب ، بطاقات الدروس ... يجب عمل كل شيء "وفقًا وعلى أساس" ويجب توثيق كل شيء. التنحي - وقف في الطابور للإقالة. دعونا لا نكون منافقين: رواتب أساتذة موسكو جيدة جدًا ... إذا طُردوا ، فأين يذهبون؟ ..

لذلك هذا الموقع ليس عن التعليم. هو على وشك التعليم الفردي، فقط طريقة محتملةاخرج من الزحام الجيل Z ...

تعريف ووصف طريقة غاوس

طريقة التحويل الغاوسي (المعروفة أيضًا باسم طريقة الحذف المتسلسل للمتغيرات غير المعروفة من معادلة أو مصفوفة) لحل أنظمة المعادلات الخطية هي طريقة كلاسيكية لحل نظام المعادلات الجبرية(جيش تحرير السودان). أيضًا ، تُستخدم هذه الطريقة الكلاسيكية لحل مشكلات مثل الحصول على المصفوفات العكسية وتحديد رتبة المصفوفة.

يتمثل التحول باستخدام طريقة غاوس في إجراء تغييرات صغيرة (أولية) متتالية في نظام المعادلات الجبرية الخطية ، مما يؤدي إلى إزالة المتغيرات منه من أعلى إلى أسفل مع تكوين نظام ثلاثي جديد من المعادلات ، وهو ما يعادل الأصلي.

التعريف 1

يسمى هذا الجزء من الحل حل Gaussian forward ، حيث يتم تنفيذ العملية برمتها من أعلى إلى أسفل.

بعد إحضار نظام المعادلات الأصلي إلى نظام مثلث ، تم العثور على جميع متغيرات النظام من الأسفل إلى الأعلى (أي أن المتغيرات الأولى التي تم العثور عليها موجودة بالضبط في الأسطر الأخيرة من النظام أو المصفوفة). يُعرف هذا الجزء من الحل أيضًا بمحلول Gauss العكسي. تتكون الخوارزمية الخاصة بها مما يلي: أولاً ، يتم حساب المتغيرات الأقرب إلى أسفل نظام المعادلات أو المصفوفة ، ثم يتم استبدال القيم التي تم الحصول عليها أعلاه وبالتالي يتم العثور على متغير آخر ، وهكذا.

وصف خوارزمية طريقة جاوس

يتألف تسلسل الإجراءات للحل العام لنظام المعادلات بطريقة غاوس من تطبيق الضربات الأمامية والخلفية بالتناوب على المصفوفة بناءً على SLAE. دع نظام المعادلات الأصلي يكون بالشكل التالي:

$ \ start (الحالات) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ end (الحالات) $

لحل SLAE بطريقة Gauss ، من الضروري كتابة نظام المعادلات الأولي في شكل مصفوفة:

$ A = \ start (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ end (pmatrix) $، $ b = \ start (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ end (pmatrix) $

تسمى المصفوفة $ A $ المصفوفة الرئيسية وتمثل معاملات المتغيرات المكتوبة بالترتيب ، ويطلق على $ b $ عمود أعضائها الأحرار. تسمى المصفوفة $ A $ المكتوبة عبر السطر الذي يحتوي على عمود من الأعضاء الأحرار المصفوفة المعززة:

$ A = \ start (array) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ end (array) $

الآن ، باستخدام التحويلات الأولية على نظام المعادلات (أو عبر المصفوفة ، لأنها أكثر ملاءمة) ، من الضروري إحضارها إلى النموذج التالي:

$ \ start (الحالات) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\ ... \ \ 0 = β_m \ النهاية (الحالات) $ (1)

المصفوفة التي تم الحصول عليها من معاملات النظام المحول للمعادلة (1) تسمى مصفوفة الخطوة ، هكذا تبدو مصفوفات الخطوة عادةً:

$ A = \ start (array) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ end (مجموعة) $

تتميز هذه المصفوفات بمجموعة الخصائص التالية:

1. تأتي جميع صفوفه الصفرية بعد الصفوف غير الصفرية
2. إذا كان أحد صفوف المصفوفة مع الفهرس $ k $ غير صفري ، فسيكون هناك عدد أقل من الأصفار في الصف السابق من نفس المصفوفة مقارنة بهذا الصف الذي يحتوي على الفهرس $ k $.

بعد الحصول على مصفوفة الخطوة ، من الضروري استبدال المتغيرات التي تم الحصول عليها في المعادلات المتبقية (بدءًا من النهاية) والحصول على القيم المتبقية للمتغيرات.

القواعد الأساسية والتحولات المسموح بها عند استخدام طريقة غاوس

عند تبسيط مصفوفة أو نظام معادلات بهذه الطريقة ، يجب استخدام التحويلات الأولية فقط.

هذه التحولات هي عمليات يمكن تطبيقها على مصفوفة أو نظام معادلات دون تغيير معناها:

• التقليب لعدة خطوط في الأماكن ،
• الجمع أو الطرح من سطر واحد من المصفوفة خط آخر منه ،
• ضرب أو قسمة سلسلة على ثابت لا يساوي الصفر ،
• يجب حذف خط يتكون من أصفار فقط ، تم الحصول عليها في عملية حساب وتبسيط النظام ،
• تحتاج أيضًا إلى إزالة الخطوط المتناسبة غير الضرورية ، واختيار النظام الوحيد الذي يحتوي على معاملات أكثر ملاءمة وملاءمة لمزيد من الحسابات.

جميع التحولات الأولية قابلة للعكس.

تحليل الحالات الرئيسية الثلاث التي تنشأ عند حل المعادلات الخطية باستخدام طريقة التحولات الغاوسية البسيطة

هناك ثلاث حالات تظهر عند استخدام طريقة Gauss لحل الأنظمة:

1. عندما يكون النظام غير متسق ، هذا يعني أنه ليس لديه أي حلول
2. نظام المعادلات له حل ، وهو الوحيد ، وعدد الصفوف والأعمدة غير الصفرية في المصفوفة يساوي بعضها البعض.
3. يحتوي النظام على عدد معين أو مجموعة من الحلول الممكنة ، وعدد الصفوف فيه أقل من عدد الأعمدة.

نتيجة الحل مع نظام غير متناسق

بالنسبة لهذا المتغير ، عند حل معادلة المصفوفة بطريقة غاوس ، من المعتاد الحصول على خط مع استحالة تحقيق المساواة. لذلك ، في حالة حدوث مساواة غير صحيحة واحدة على الأقل ، فإن النظامين الناتج والأصل ليس لهما حلول ، بغض النظر عن المعادلات الأخرى التي يحتويانها. مثال على مصفوفة غير متسقة:

$ \ start (array) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (array) $

ظهرت مساواة غير مُقنعة في السطر الأخير: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

نظام معادلات له حل واحد فقط

تحتوي بيانات النظام بعد تصغيرها إلى مصفوفة متدرجة وحذف الصفوف ذات الأصفار على نفس عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة الرئيسية. هنا أبسط مثالمثل هذا النظام:

$ \ start (الحالات) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ end (cases) $

لنكتبها على شكل مصفوفة:

$ \ start (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ end (array) $

لإحضار الخلية الأولى من الصف الثاني إلى الصفر ، نضرب الصف العلوي في -2 دولار ونطرحه من الصف السفلي للمصفوفة ، ونترك الصف العلوي في شكله الأصلي ، ونتيجة لذلك لدينا ما يلي :

$ \ start (array) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ end (array) $

يمكن كتابة هذا المثال كنظام:

$ \ start (الحالات) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ end (cases) $

تأتي القيمة التالية لـ $ x $ من المعادلة السفلية: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. بالتعويض عن هذه القيمة في المعادلة العليا: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $ ، نحصل على $ x_1 = 1 \ frac (2) (3) $.

نظام به العديد من الحلول الممكنة

يتميز هذا النظام بعدد من الصفوف المهمة أصغر من عدد الأعمدة الموجودة فيه (يتم أخذ صفوف المصفوفة الرئيسية في الاعتبار).

تنقسم المتغيرات في مثل هذا النظام إلى نوعين: أساسي ومجاني. عند تحويل مثل هذا النظام ، يجب ترك المتغيرات الرئيسية الموجودة فيه في المنطقة اليسرى قبل علامة "=" ، ويجب نقل المتغيرات المتبقية إلى الجانب الأيمن من المساواة.

مثل هذا النظام لديه حل عام معين فقط.

دعنا نحلل نظام المعادلات التالي:

$ \ start (الحالات) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ end (cases) $

لنكتبها على شكل مصفوفة:

$ \ start (array) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end (array) $

مهمتنا هي إيجاد حل عام للنظام. بالنسبة لهذه المصفوفة ، ستكون المتغيرات الأساسية $ y_1 $ و $ y_3 $ (لـ $ y_1 $ - نظرًا لأنها في المقام الأول ، وفي حالة $ y_3 $ - تقع بعد الأصفار).

كمتغيرات أساسية ، نختار بالضبط تلك التي لا تساوي الصفر أولاً في الصف.

تسمى المتغيرات المتبقية بالمجان ، ومن خلالها نحتاج إلى التعبير عن المتغيرات الأساسية.

باستخدام ما يسمى بالحركة العكسية ، نفكك النظام من الأسفل إلى الأعلى ، لذلك نعبر أولاً عن $ y_3 $ من المحصلة النهائية للنظام:

5y_3 - 4y_4 = 1 دولار

5y_3 = 4y_4 + 1 دولار

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

الآن استبدلنا $ y_3 $ المعبر عنه في المعادلة العليا للنظام $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 دولار

نعبر عن $ y_1 $ من حيث المتغيرات المجانية $ y_2 $ و $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 دولار

الحل جاهز.

مثال 1

حل سلو باستخدام طريقة جاوس. أمثلة. مثال على حل نظام معادلات خطية معطاة بمصفوفة 3 × 3 باستخدام طريقة جاوس

$ \ begin (الحالات) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ end (cases) $

نكتب نظامنا على شكل مصفوفة مكثفة:

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (array) $

الآن ، للراحة والتطبيق العملي ، نحتاج إلى تحويل المصفوفة بحيث يكون $ 1 في الزاوية العلوية للعمود الأخير.

للقيام بذلك ، أضف السطر من الوسط مضروبًا في $ -1 $ إلى السطر الأول ، واكتب السطر الأوسط نفسه كما هو ، اتضح:

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (array) $

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ end (مجموعة) $

اضرب الصفوف العلوية والأخيرة بمقدار $ -1 $ ، وقم بتبديل الصفوف الأخيرة والمتوسطة:

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ end (array) $

$ \ start (array) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ end (array) $

وقسم السطر الأخير على 3 دولارات:

$ \ start (مجموعة) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ end (array) $

نحصل على نظام المعادلات التالي ، المكافئ للنظام الأصلي:

$ \ start (الحالات) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ end (الحالات) $

من المعادلة العليا ، نعبر عن $ x_1 $:

x1 دولار = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 دولار.

مثال 2

مثال على حل نظام محدد باستخدام مصفوفة 4 × 4 باستخدام طريقة Gaussian

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (مجموعة) $.

في البداية ، قمنا بتبديل الخطوط العلوية التي تليها للحصول على 1 دولار في الزاوية اليسرى العليا:

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (مجموعة) $.

الآن دعونا نضرب السطر العلوي في -2 دولار ونضيفه إلى الثاني والثالث. إلى السطر الرابع نضيف السطر الأول مضروبًا في $ -3 $:

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ نهاية (مجموعة) $

الآن إلى السطر رقم 3 نضيف السطر 2 مضروبًا في 4 دولارات ، وإلى السطر 4 نضيف السطر 2 مضروبًا في $ -1 $.

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ end (مجموعة) $

اضرب الصف 2 في $ -1 $ ، اقسم الصف 4 على $ 3 $ واستبدل الصف 3.

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ نهاية (مجموعة) $

نضيف الآن إلى السطر الأخير السطر قبل الأخير مضروبًا في $ -5 $.

$ \ start (مجموعة) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ end (مجموعة) $

نحل نظام المعادلات الناتج:

$ \ start (الحالات) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ end (cases) $