حان الوقت لتتآلف مع نفسك الانتصاب كسر جبريإلى حد ما. يتم تقليل هذا الإجراء مع الكسور الجبرية ، من حيث الدرجة ، إلى الضرب كسور متطابقة. في هذه المقالة ، سنقدم القاعدة المقابلة ، وننظر في أمثلة لرفع الكسور الجبرية إلى درجة طبيعية.
التنقل في الصفحة.
حكم رفع الكسر الجبري إلى قوة برهانه
قبل الحديث عن رفع الكسر الجبري إلى أس ، لا يضر تذكر ماهية حاصل ضرب نفس العوامل التي تقف عند قاعدة الدرجة ، ويتم تحديد عددها بواسطة المؤشر. على سبيل المثال ، 2 3 = 2 2 2 = 8.
لنتذكر الآن قاعدة الأس جزء مشترك- لهذا تحتاج إلى رفع البسط بشكل منفصل إلى القوة المشار إليها ، وبشكل منفصل - المقام. على سبيل المثال، . تنطبق هذه القاعدة على رفع كسر جبري إلى قوة طبيعية.
رفع الكسر الجبري إلى قوة طبيعيةيعطي كسرًا جديدًا ، في البسط هو الدرجة المحددة لبسط الكسر الأصلي ، وفي المقام - درجة المقام. في الشكل الحرفي ، تتوافق هذه القاعدة مع المساواة ، حيث يكون a و b متعددي الحدود تعسفيًا (في حالات معينة ، monomials أو أرقام) ، و b هو كثير حدود غير صفري ، و n هو.
يعتمد إثبات القاعدة الصوتية لرفع الكسر الجبري إلى قوة على تعريف الدرجة بأسس طبيعي وعلى كيفية تعريفنا لضرب الكسور الجبرية: 
.
أمثلة ، حلول
القاعدة التي تم الحصول عليها في الفقرة السابقة تقلل من رفع الكسر الجبري إلى أس إلى رفع البسط والمقام في الكسر الأصلي إلى هذه القوة. وبما أن بسط ومقام الكسر الجبري الأصلي عبارة عن كثيرات حدود (في الحالة الخاصة ، أحاديات أو أرقام) ، يتم تقليل المهمة الأصلية إلى رفع كثيرات الحدود إلى قوة. بعد تنفيذ هذا الإجراء ، سيتم الحصول على كسر جبري جديد ، يساوي بشكل مماثل القوة المحددة للكسر الجبري الأصلي.
دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
مثال.
ربّع الكسر الجبري.
المحلول.
دعونا نكتب الدرجة. ننتقل الآن إلى قاعدة رفع الكسر الجبري إلى قوة ، فهذا يعطينا المساواة 
. يبقى تحويل الكسر الناتج إلى شكل كسر جبري عن طريق رفع المونوميرات إلى أس. وبالتالي 
.
عادةً ، عند رفع جزء جبري إلى قوة ، لا يتم شرح مسار الحل ، ويتم كتابة الحل باختصار. مثالنا يتوافق مع السجل 
.
إجابه:
.
عندما تكون كثيرات الحدود ، خاصة ذات الحدين ، في البسط و / أو المقام لكسر جبري ، فعند رفعه إلى أس ، يُنصح باستخدام صيغ الضرب المختصرة المقابلة.
مثال.
ارفع الكسر الجبري 
إلى الدرجة الثانية.
المحلول.
بقاعدة رفع الكسر إلى أس ، لدينا 
.
لتحويل التعبير الناتج في البسط ، نستخدم صيغة تربيع الفرق، وفي المقام - صيغة مربع مجموع المصطلحات الثلاثة: 
إجابه:
في الختام ، نلاحظ أنه إذا رفعنا كسرًا جبريًا غير قابل للاختزال إلى قوة طبيعية ، فستكون النتيجة أيضًا كسرًا غير قابل للاختزال. إذا كان الكسر الأصلي قابلاً للإلغاء ، فقبل رفعه إلى أس ، يُنصح بتقليل الكسر الجبري حتى لا يتم الاختزال بعد رفعه إلى أس.
فهرس.
- الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن ج. مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
- مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 8. الساعة 2 ظهرًا الجزء الأول. كتاب الطالب المؤسسات التعليمية/ أ.جي مردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة ، ممحاة. - م: Mnemozina، 2009. - 215 ص: م. ردمك 978-5-346-01155-2.
- جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.
حقوق التأليف والنشر من قبل الطلاب الأذكياء
كل الحقوق محفوظة.
محمي بقانون حقوق التأليف والنشر. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع ، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي ، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق النشر.
الكسر هو نسبة البسط إلى المقام ، ويجب ألا يكون المقام صفرًا ، ويمكن أن يكون البسط أيًا.
عند رفع أي كسر لقوة اعتباطية ، عليك رفع بسط الكسر ومقامه بشكل منفصل إلى هذه الأس ، وبعد ذلك يجب علينا حساب هذه الأسس ، وبالتالي رفع الكسر إلى الأس.
علي سبيل المثال:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2/3) ^ 3 = (2/3) (2/3) (2/3) = 2 ^ 3/3 ^ 3
قوة سلبية
إذا كنا نتعامل مع درجة سالبة ، فيجب علينا أولاً "عكس الكسر" ، وعندها فقط نرفعها إلى قوة وفقًا للقاعدة المكتوبة أعلاه.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
درجة الرسالة
عند العمل بقيم حرفية مثل "x" و "y" ، يتبع الأس نفس القاعدة كما في السابق.
يمكننا أيضًا التحقق من أنفسنا عن طريق رفع الكسر ½ إلى القوة الثالثة ، ونتيجة لذلك نحصل على ½ * ½ * ½ = 1/8 وهو في الأساس نفس
(1/2)^3 = 1/8.
الأس الحرفي x ^ y
ضرب وقسمة الكسور ذات القوى
إذا ضربنا قوى لها نفس الأساس ، فإن القاعدة نفسها تظل كما هي ، ونجمع الأسس. إذا قسمنا القوى التي لها نفس الأساس ، فإن قاعدة الدرجة أيضًا تظل كما هي ، ويتم طرح الأسس.
يمكن إظهار ذلك بسهولة شديدة بمثال:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
يمكننا الحصول على نفس الشيء إذا رفعنا المقام والبسط بشكل منفصل إلى القوة الأسية 3 و 4 على التوالي.
رفع الكسر بقوة إلى قوة أخرى
عند رفع كسر موجود بالفعل في قوة ، مرة أخرى إلى قوة ، يجب علينا أولاً إجراء الأس الداخلي ثم الانتقال إلى الجزء الخارجي من الأس. بعبارة أخرى ، يمكننا ببساطة ضرب هذه القوى ورفع الكسر للقوة الناتجة.
علي سبيل المثال:
(2 ^ 4) ^ 2 = 2 ^ 4 2 = 2 ^ 8
الاتحاد ، الجذر التربيعي
يجب ألا ننسى أيضًا أن رفع أي كسر مطلقًا إلى أس صفر سيعطينا 1 ، تمامًا مثل أي عدد آخر ، عند رفعه إلى أس يساوي صفرًا ، فسنحصل على 1.
معتاد الجذر التربيعييمكن التعبير عنها أيضًا في صورة كسر
الجذر التربيعي 3 = 3 ^ (1/2)
إذا كنا نتعامل مع جذر تربيعي يوجد تحته كسر ، فيمكننا إذن تمثيل هذا الكسر في البسط الذي سيكون جذره التربيعي 2 درجة (لأن الجذر التربيعي)
وسيحتوي المقام أيضًا على الجذر التربيعي ، أي بمعنى آخر ، سنرى نسبة الجذور ، قد يكون هذا مفيدًا في حل بعض المشكلات والأمثلة.
إذا رفعنا كسرًا تحت الجذر التربيعي للقوة الثانية ، فسنحصل على نفس الكسر.
حاصل ضرب كسرين تحت نفس الدرجة سيكون مساويًا لحاصل ضرب هذين الكسرين ، كل منهما على حدة سيكون تحت درجته الخاصة.
تذكر: لا يمكنك القسمة على الصفر!
أيضًا ، لا تنس ملاحظة مهمة جدًا لكسر مثل أن المقام لا يجب أن يساوي صفرًا. في المستقبل ، في العديد من المعادلات ، سنستخدم هذا التقييد ، المسمى ODZ - نطاق القيم المقبولة
عند مقارنة كسرين لهما نفس الأساس ، لكن درجات متفاوته، كلما زاد الكسر الذي ستكون فيه الدرجة أكبر ، والجزء الأصغر الذي ستكون فيه الدرجة أقل ، إذا لم تكن القواعد متساوية فحسب ، بل أيضًا الدرجات ، فسيتم اعتبار الكسر هو نفسه.
أمثلة:
مثال: 14 ^ 3.8 / 14 ^ (- 0.2) = 14 ^ (3.8 -0.2) = 139.6
6 ^ (1.77) 6 ^ (- 0.75) = 6 ^ (1.77 + (- 0.75)) = 79.7 - 1.3 = 78.6
سيأخذ الدرس في الاعتبار نسخة أكثر عمومية من ضرب الكسور - وهذا هو الأس. بادئ ذي بدء ، سنتحدث عن الدرجة الطبيعية للكسر والأمثلة التي توضح أفعالًا متشابهة مع الكسور. في بداية الدرس ، سنكرر أيضًا رفع إلى قوة طبيعية للتعبيرات الصحيحة ونرى كيف يكون ذلك مفيدًا لحل المزيد من الأمثلة.
الموضوع: الكسور الجبرية. عمليات حسابيةعلى الكسور الجبرية
الدرس: رفع الكسر الجبري إلى قوة
1. قواعد رفع الكسور والتعبيرات الصحيحة إلى قوى طبيعية مع أمثلة أولية
قاعدة رفع الكسور العادية والجبرية إلى قوى طبيعية:
يمكنك رسم تشبيه بدرجة التعبير الصحيح وتذكر المقصود برفعها إلى قوة:
مثال 1 
.
كما ترى من المثال ، فإن رفع الكسر إلى أس هو حالة خاصةضرب الكسور التي تمت دراستها في الدرس السابق.
مثال 2. أ) ، ب) 
- يزول الطرح ، لأننا رفعنا التعبير إلى قوة زوجية.
لتسهيل العمل بالدرجات ، نذكر القواعد الأساسية للارتقاء إلى قوة طبيعية:
- حاصل ضرب الدرجات.
- تقسيم الدرجات.
رفع درجة إلى قوة ؛
درجة العمل.
مثال 3 - هذا معروف لنا منذ موضوع "الارتقاء إلى قوة التعابير الصحيحة" ، باستثناء حالة واحدة: فهو غير موجود.
2. أبسط الأمثلة لرفع الكسور الجبرية إلى قوى طبيعية
مثال 4. ارفع الكسر إلى أس.
المحلول. عند رفعه إلى قوة زوجية ، يزول الطرح:
مثال 5. ارفع الكسر إلى أس.
المحلول. نستخدم الآن القواعد لرفع درجة إلى قوة فورًا بدون جدول منفصل:
.
الآن ضع في اعتبارك المهام المجمعة التي سنحتاج فيها إلى رفع الكسور إلى أس ، وضربها ، والقسمة.
مثال 6: تنفيذ الإجراءات.
المحلول. 
. بعد ذلك ، تحتاج إلى إجراء تخفيض. سنصف مرة واحدة بالتفصيل كيف سنفعل ذلك ، ثم سنشير إلى النتيجة فورًا عن طريق القياس: بالمثل (أو حسب قاعدة قسمة الدرجات). لدينا: .
مثال 7: نفذ الإجراءات.
المحلول. . يتم إجراء التخفيض عن طريق القياس مع المثال الذي تمت مناقشته سابقًا.
مثال 8: تنفيذ الإجراءات.
المحلول. . في هذا المثال ، وصفنا مرة أخرى عملية تقليل القوى في الكسور بمزيد من التفصيل من أجل دمج هذه الطريقة.
3. أمثلة أكثر تعقيدًا لرفع الكسور الجبرية إلى قوى طبيعية (مع مراعاة العلامات والمصطلحات بين قوسين)
مثال 9: تنفيذ الإجراءات 
.
المحلول. في هذا المثال ، سنتخطى بالفعل الضرب المنفصل للكسور ، ونستخدم فورًا قاعدة الضرب ونكتبها تحت مقام واحد. في الوقت نفسه ، نتبع الإشارات - في هذه الحالة ، يتم رفع الكسور إلى حتى درجات، لذلك تختفي السلبيات. لنقم بإجراء تخفيض في النهاية.
مثال 10: نفذ الإجراءات 
.
المحلول. في هذا المثال ، يوجد قسمة للكسور ، تذكر أنه في هذه الحالة يتم ضرب الكسر الأول في الثاني ، ولكن معكوسًا.
الكسر هو نسبة البسط إلى المقام ، ويجب ألا يكون المقام صفرًا ، ويمكن أن يكون البسط أيًا.
عند رفع أي كسر لقوة اعتباطية ، عليك رفع بسط الكسر ومقامه بشكل منفصل إلى هذه الأس ، وبعد ذلك يجب علينا حساب هذه الأسس ، وبالتالي رفع الكسر إلى الأس.
علي سبيل المثال:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2/3) ^ 3 = (2/3) (2/3) (2/3) = 2 ^ 3/3 ^ 3
قوة سلبية
إذا كنا نتعامل مع درجة سالبة ، فيجب علينا أولاً "عكس الكسر" ، وعندها فقط نرفعها إلى قوة وفقًا للقاعدة المكتوبة أعلاه.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
درجة الرسالة
عند العمل بقيم حرفية مثل "x" و "y" ، يتبع الأس نفس القاعدة كما في السابق.
يمكننا أيضًا التحقق من أنفسنا عن طريق رفع الكسر ½ إلى القوة الثالثة ، ونتيجة لذلك نحصل على ½ * ½ * ½ = 1/8 وهو في الأساس نفس
الأس الحرفي x ^ y
ضرب وقسمة الكسور ذات القوى
إذا ضربنا قوى لها نفس الأساس ، فإن القاعدة نفسها تظل كما هي ، ونجمع الأسس. إذا قسمنا القوى التي لها نفس الأساس ، فإن قاعدة الدرجة أيضًا تظل كما هي ، ويتم طرح الأسس.
يمكن إظهار ذلك بسهولة شديدة بمثال:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
يمكننا الحصول على نفس الشيء إذا رفعنا المقام والبسط بشكل منفصل إلى القوة الأسية 3 و 4 على التوالي.
رفع الكسر بقوة إلى قوة أخرى
عند رفع كسر موجود بالفعل في قوة ، مرة أخرى إلى قوة ، يجب علينا أولاً إجراء الأس الداخلي ثم الانتقال إلى الجزء الخارجي من الأس. بعبارة أخرى ، يمكننا ببساطة ضرب هذه القوى ورفع الكسر للقوة الناتجة.
علي سبيل المثال:
(2 ^ 4) ^ 2 = 2 ^ 4 2 = 2 ^ 8
الاتحاد ، الجذر التربيعي
يجب ألا ننسى أيضًا أن رفع أي كسر مطلقًا إلى أس صفر سيعطينا 1 ، تمامًا مثل أي عدد آخر ، عند رفعه إلى أس يساوي صفرًا ، فسنحصل على 1.
يمكن أيضًا تمثيل الجذر التربيعي المعتاد في صورة قوة كسر
الجذر التربيعي 3 = 3 ^ (1/2)
إذا كنا نتعامل مع جذر تربيعي يوجد تحته كسر ، فيمكننا إذن تمثيل هذا الكسر في البسط الذي سيكون جذره التربيعي 2 - درجة (لأن الجذر التربيعي)
وسيحتوي المقام أيضًا على الجذر التربيعي ، أي بمعنى آخر ، سنرى نسبة الجذور ، قد يكون هذا مفيدًا في حل بعض المشكلات والأمثلة.
إذا رفعنا كسرًا تحت الجذر التربيعي للقوة الثانية ، فسنحصل على نفس الكسر.
حاصل ضرب كسرين تحت نفس الدرجة سيكون مساويًا لحاصل ضرب هذين الكسرين ، كل منهما على حدة سيكون تحت درجته الخاصة.
تذكر: لا يمكنك القسمة على الصفر!
أيضًا ، لا تنس ملاحظة مهمة جدًا لكسر مثل أن المقام لا يجب أن يساوي صفرًا. في المستقبل ، في العديد من المعادلات ، سوف نستخدم هذا التقييد ، المسمى ODZ - نطاق القيم المسموح بها
عند مقارنة كسرين لهما نفس الأساس ولكن بدرجات مختلفة ، سيكون الكسر الأكبر هو الكسر الذي ستكون فيه الدرجة أكبر ، والكسر الأصغر الذي ستكون فيه الدرجة أقل ، إذا لم تكن الأسس متساوية فقط ، ولكن أيضًا درجة ، يعتبر الكسر هو نفسه.
أحيانًا يكون من الضروري في الرياضيات رفع رقم إلى أس يمثل كسرًا. ستخبرك مقالتنا بكيفية رفع رقم إلى قوة كسرية ، وسترى أنه بسيط للغاية.
نادرًا ما يكون الرقم الكسري عددًا صحيحًا. غالبًا ما يمكن تمثيل نتيجة هذا الانتصاب بدرجة معينة من الدقة. لذلك ، إذا لم يتم تحديد دقة الحساب ، فسيتم العثور على تلك القيم التي يتم حسابها بدقة تصل إلى الأعداد الصحيحة ، وتلك التي تحتوي على عدد كبير منبعد العلامة العشرية ، اتركها بالجذور. على سبيل المثال ، الجذر التكعيبي لسبعة أو الجذر التربيعي لاثنين. في الفيزياء ، يتم تقريب القيم المحسوبة لهذه الجذور إلى جزء من المئات عندما لا تكون هناك حاجة إلى درجة أخرى من الدقة.
خوارزمية الحل
- تحويل مؤشر كسري إلى غير صحيح أو جزء الصحيح. جزء جزء غير لائق، وهو عدد صحيح ، لا ينبغي تحديده. إذا تم تمثيل قوة كسرية بعدد صحيح وجزء كسري ، فيجب تحويلها إلى كسر غير فعلي
- نحسب قيمة قوة رقم معين ، والتي تساوي بسط كسر حقيقي أو كسر غير فعلي
- نحسب جذر الرقم الذي تم الحصول عليه في الفقرة 2 ، ومؤشرنا نأخذ مقام الكسر
دعونا نعطي أمثلة على مثل هذه الحسابات
أيضًا ، بالنسبة لهذه الحسابات ، يمكنك تنزيل آلة حاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك أو استخدام الآلات الحاسبة عبر الإنترنت ، وهي كثيرة جدًا على الإنترنت ، على سبيل المثال.
