درس وعرض تقديمي حول المواضيع: "اللوغاريتمات الطبيعية. قاعدة اللوغاريتم الطبيعي. لوغاريتم العدد الطبيعي"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف الحادي عشر
دليل تفاعلي للصفوف 9-11 "علم المثلثات"
دليل تفاعلي للصفوف 10-11 "لوغاريتمات"
ما هو اللوغاريتم الطبيعي
يا رفاق ، في الدرس الأخير تعلمنا رقمًا خاصًا جديدًا - e. اليوم سنواصل العمل مع هذا الرقم.لقد درسنا اللوغاريتمات ونعلم أن قاعدة اللوغاريتم يمكن أن تكون مجموعة من الأرقام أكبر من 0. اليوم سننظر أيضًا في اللوغاريتم ، الذي يعتمد على الرقم e. يُطلق على هذا اللوغاريتم عادةً اللوغاريتم الطبيعي . لها تدوينها الخاص: $ \ ln (n) $ هو اللوغاريتم الطبيعي. هذا الترميز يعادل: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
الدالتان الأسية واللوغاريتمية معكوسة ، ثم اللوغاريتم الطبيعي هو معكوس الدالة: $ y = e ^ x $.
الدوال العكسية متماثلة بالنسبة للخط المستقيم $ y = x $.
لنرسم اللوغاريتم الطبيعي عن طريق رسم الدالة الأسية بالنسبة إلى الخط المستقيم $ y = x $.
من الجدير بالذكر أن ميل المماس للرسم البياني للدالة $ y = e ^ x $ عند النقطة (0 ؛ 1) هو 45 °. ثم ميل المماس للرسم البياني للوغاريتم الطبيعي عند النقطة (1 ؛ 0) سيساوي أيضًا 45 درجة. كلا المماسين سيكونان موازيين للخط $ y = x $. دعنا نرسم الظلال: 
خصائص الوظيفة $ y = \ ln (x) $
1. $ D (f) = (0 ؛ + ∞) $.2. ليست زوجية ولا فردية.
3. يزيد على مجال التعريف بأكمله.
4. لا يقتصر على ما سبق ، ولا يقتصر على من أسفل.
5. أعظم قيمةرقم، أصغر قيمةرقم.
6. مستمر.
7. $ E (f) = (- ∞؛ + ∞) $.
8. محدب.
9. تفاضل في كل مكان.
في سياق الرياضيات العليا ثبت ذلك مشتق دالة عكسية هو مقلوب مشتق دالة معينة.
تعمق في الدليل لا يوجد لديه شعور عظيم، لنكتب الصيغة: $ y "= (\ ln (x))" = \ frac (1) (x) $.
مثال.
احسب قيمة مشتق الدالة: $ y = \ ln (2x-7) $ عند النقطة $ x = 4 $.
المحلول.
في نظرة عامةتمثل وظيفتنا الدالة $ y = f (kx + m) $ ، ويمكننا حساب مشتقات هذه الدوال.
$ y "= (\ ln ((2x-7)))" = \ frac (2) ((2x-7)) $.
لنحسب قيمة المشتق عند النقطة المطلوبة: $ y "(4) = \ frac (2) ((2 * 4-7)) = 2 $.
الجواب: 2.
مثال.
ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة $ y = ln (x) $ عند النقطة $ x = e $.
المحلول.
معادلة المماس للرسم البياني للدالة ، عند النقطة $ x = a $ ، نتذكر جيدًا.
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
دعونا نحسب بالتسلسل القيم المطلوبة.
$ a = e $.
$ f (a) = f (e) = \ ln (e) = 1 $.
$ f "(a) = \ frac (1) (a) = \ frac (1) (e) $.
$ y = 1 + \ frac (1) (e) (x-e) = 1 + \ frac (x) (e) - \ frac (e) (e) = \ frac (x) (e) $.
معادلة الظل عند النقطة $ x = e $ هي الوظيفة $ y = \ frac (x) (e) $.
دعونا نرسم اللوغاريتم الطبيعي والماس. 
مثال.
تحقق من دالة الرتابة والقيمة القصوى: $ y = x ^ 6-6 * ln (x) $.
المحلول.
مجال الوظيفة $ D (y) = (0؛ + ∞) $.
أوجد مشتق الدالة المعينة:
$ y "= 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) $.
المشتق موجود لجميع س من مجال التعريف ، ثم لا توجد نقاط حرجة. لنجد النقاط الثابتة:
6 دولارات * س ^ 5- \ فارك (6) (س) = 0 دولار.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 دولار.
6 دولارات * × ^ 6-6 = 0 دولار.
× ^ 6-1 = 0 دولار.
× ^ 6 دولار = 1 دولار.
x دولار = ± 1 دولار.
النقطة $ х = -1 $ لا تنتمي إلى مجال التعريف. ثم لدينا نقطة ثابتة واحدة $ х = 1 دولار. أوجد فترات الزيادة والنقصان: 
النقطة $ x = 1 $ هي الحد الأدنى للنقطة ، ثم $ y_min = 1-6 * \ ln (1) = 1 $.
الإجابة: تتناقص الوظيفة في المقطع (0 ؛ 1] ، تتزايد الدالة على الشعاع $ 2 .
النظام الأنجلو أمريكي
عادةً ما يستخدم علماء الرياضيات والإحصائيون وبعض المهندسين إما "السجل ( x) "أو" ln ( x) "، وللإشارة إلى اللوغاريتم إلى الأساس 10 -" log 10 ( x)».
يكتب دائمًا بعض المهندسين وعلماء الأحياء وغيرهم من المتخصصين "ln ( x) "(أو أحيانًا" تسجيل البريد ( x) ") عندما يقصدون اللوغاريتم الطبيعي والترميز" log ( x) "تعني السجل 10 ( x).
سجل ههو اللوغاريتم "الطبيعي" لأنه يحدث تلقائيًا ويظهر كثيرًا في الرياضيات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مشكلة المشتقات دالة لوغاريتمية:
إذا كانت القاعدة بيساوي ه، فإن المشتق هو ببساطة 1 / x، وعندما x= 1 هذا المشتق يساوي 1. مبرر آخر للأساس هاللوغاريتم هو الأكثر طبيعية ، وهو أنه يمكن تعريفه ببساطة من حيث تكامل بسيط أو سلسلة تايلور ، والتي لا يمكن قولها عن اللوغاريتمات الأخرى.
لا ترتبط أدلة الطبيعة الأخرى بالرقم. لذلك ، على سبيل المثال ، هناك العديد من السلاسل البسيطة ذات اللوغاريتمات الطبيعية. دعاهم بيترو مينجولي ونيكولاس مركاتور اللوغاريتم الطبيعيعدة عقود حتى طور نيوتن وليبنيز حساب التفاضل والتكامل التفاضلي.
تعريف
رسميا ln ( أ) على أنها المنطقة الواقعة تحت منحنى الرسم البياني 1 / xمن 1 الى أ، أي كجزء لا يتجزأ:
إنه بالفعل لوغاريتم لأنه يرضي الملكية الأساسيةاللوغاريتم:
يمكن إثبات ذلك بافتراض ما يلي:
قيمة عددية
للحساب قيمة عدديةاللوغاريتم الطبيعي لرقم ، يمكنك استخدام توسيعه في سلسلة تايلور بالشكل:
للحصول على أفضل معدل تقارب ، يمكنك استخدام الهوية التالية:
لـ ln ( x)، أين x> 1 من معنى أقرب xإلى 1 ، كلما كان معدل التقارب أسرع. يمكن استخدام الهويات المرتبطة باللوغاريتم لتحقيق الهدف:
تم استخدام هذه الأساليب حتى قبل ظهور الآلات الحاسبة ، حيث تم استخدام جداول رقمية وإجراء معالجات مماثلة لتلك المذكورة أعلاه.
دقة عالية
لحساب اللوغاريتم الطبيعي بالعديد من الأرقام الدقيقة ، فإن سلسلة تايلور ليست فعالة لأن تقاربها بطيء. البديل هو استخدام طريقة نيوتن للانعكاس إلى دالة أسية ، تتقارب سلسلتها بشكل أسرع.
الصيغة:
أين ميشير إلى الوسط الحسابي الهندسي لـ 1 و 4 / ثانية ، و
ماختار ذلك صيتم تحقيق علامات الدقة. (في معظم الحالات ، تكون قيمة 8 لـ m كافية.) في الواقع ، إذا تم استخدام هذه الطريقة ، فيمكن تطبيق انعكاس نيوتن للوغاريتم الطبيعي لحساب الدالة الأسية بكفاءة. (يمكن حساب الثوابت ln 2 و pi مسبقًا بالدقة المرغوبة باستخدام أي من السلاسل المتقاربة المعروفة.)
التعقيد الحسابي
التعقيد الحسابي للوغاريتمات الطبيعية (باستخدام الوسط الحسابي الهندسي) هو O ( م(ن) ln ن). هنا نهو عدد أرقام الدقة التي سيتم من أجلها تقييم اللوغاريتم الطبيعي ، و م(ن) هو التعقيد الحسابي لضرب اثنين ن-الأرقام.
الكسور المستمرة
على الرغم من عدم وجود كسور متواصلة بسيطة لتمثيل اللوغاريتم ، يمكن استخدام العديد من الكسور المستمرة المعممة ، بما في ذلك:
اللوغاريتمات المعقدة
يمكن تمديد الدالة الأسية إلى دالة تعطي عددًا معقدًا من النموذج ه xلأي رقم مركب تعسفي x، أثناء استخدام سلسلة لانهائية مع مركب x. يمكن عكس هذه الوظيفة الأسية لتشكيل لوغاريتم معقد يحتوي على معظم خصائص اللوغاريتمات العادية. ومع ذلك ، هناك نوعان من الصعوبات: لا توجد x، لأي منهم ه x= 0 ، واتضح أن ه 2بي = 1 = ه 0. بما أن خاصية الضرب صالحة لدالة أسية معقدة ، إذن ه ض = ه ض+2npiلجميع معقدة ضوكامل ن.
لا يمكن تعريف اللوغاريتم على المستوى المعقد بأكمله ، وحتى مع ذلك فهو متعدد القيم - يمكن استبدال أي لوغاريتم معقد بلوغاريتم "مكافئ" عن طريق إضافة أي عدد صحيح مضاعف 2 بي. لا يمكن تحديد قيمة اللوغاريتم المركب إلا على شريحة من المستوى المركب. على سبيل المثال ln أنا = 1/2 بيأو 5/2 بيأو −3/2 بي، وما إلى ذلك ، وعلى الرغم من ذلك أنا 4 = 1.4 سجل أنايمكن تعريفه على أنه 2 بي، أو 10 بيأو -6 بي، إلخ.
أنظر أيضا
- جون نابير - مخترع اللوغاريتمات
ملاحظات
- الرياضيات للكيمياء الفيزيائية. - الثالث. - المطبعة الأكاديمية ، 2005. - ص 9 - ISBN 0-125-08347-5، مقتطف من الصفحة 9
- J J O "Connor و EF Robertsonالرقم هـ. أرشيف MacTutor تاريخ الرياضيات (سبتمبر 2001). مؤرشفة من الأصلي في 12 فبراير 2012.
- كاجوري فلوريانتاريخ الرياضيات ، الطبعة الخامسة. - مكتبة AMS ، 1991. - ص 152. -
اللوغاريتممن رقم معين يسمى الأس الذي يجب رفع رقم آخر إليه أساساللوغاريتم للحصول على الرقم المحدد. على سبيل المثال ، لوغاريتم الرقم 100 للأساس 10 هو 2. بمعنى آخر ، يجب تربيع 10 للحصول على الرقم 100 (10 2 = 100). إذا ن- رقم معين ، ب- قاعدة و لهو اللوغاريتم ، إذن bl = n. رقم نوتسمى أيضًا القاعدة المضادة للوغاريتم بأعداد ل. على سبيل المثال ، مضاد اللوغاريتم من 2 إلى الأساس 10 هو 100. يمكن كتابة هذا على شكل log ب ن = لو Antilog ب ل = ن.
الخصائص الرئيسية للوغاريتمات:
أي رقم موجب غير واحد يمكن أن يكون أساس اللوغاريتمات ، ولكن للأسف اتضح أن بو نهي أرقام منطقية ، ثم في حالات نادرة يوجد مثل هذا الرقم المنطقي ل، ماذا او ما bl = n. ومع ذلك ، يمكن للمرء تحديد رقم غير منطقي ل، على سبيل المثال ، هذا 10 ل= 2 ؛ إنه رقم غير منطقي ليمكن تقريبه بأي دقة مطلوبة أرقام نسبية. اتضح ذلك في هذا المثال ليساوي تقريبًا 0.3010 ، ويمكن إيجاد هذه القيمة التقريبية للوغاريتم إلى الأساس 10 للرقم 2 في جداول مكونة من أربعة أرقام اللوغاريتمات العشرية. تستخدم لوغاريتمات القاعدة 10 (أو اللوغاريتمات العشرية) في كثير من الأحيان في العمليات الحسابية التي يطلق عليها عادياللوغاريتمات وكُتبت كـ log2 = 0.3010 أو log2 = 0.3010 ، مع حذف الإشارة الصريحة لأساس اللوغاريتم. اللوغاريتمات الأساسية ه، رقم متسامي يساوي تقريبًا 2.71828 ، يسمى طبيعياللوغاريتمات. توجد بشكل أساسي في أعمال التحليل الرياضي وتطبيقاته في العلوم المختلفة. تتم كتابة اللوغاريتمات الطبيعية أيضًا دون الإشارة صراحة إلى الأساس ، ولكن باستخدام الترميز الخاص ln: على سبيل المثال ، ln2 = 0.6931 ، لأن ه 0,6931 = 2.
استخدام جداول اللوغاريتمات العادية.
اللوغاريتم العادي لرقم ما هو الأس الذي تحتاج إلى رفعه 10 للحصول على الرقم المحدد. بما أن 10 0 = 1 ، 10 1 = 10 و 10 2 = 100 ، نحصل على الفور على السجل 1 = 0 ، السجل 10 = 1 ، السجل 100 = 2 ، وهكذا. لزيادة قوى الأعداد الصحيحة من 10. وبالمثل ، 10-1 = 0.1 ، 10-2 = 0.01 وبالتالي log 0.1 = -1 ، log0.01 = -2 ، وهكذا. لجميع الأعداد الصحيحة السالبة من 10. يتم وضع اللوغاريتمات المعتادة للأعداد المتبقية بين لوغاريتمات أقرب عدد صحيح من الأس 10 ؛ يجب إرفاق log2 بين 0 و 1 ، و log20 بين 1 و 2 ، و log0.2 بين -1 و 0. وهكذا ، يتكون اللوغاريتم من جزأين ، عدد صحيح و كسر عشريبين 0 و 1. يسمى الجزء الصحيح صفة مميزةاللوغاريتم ويتم تحديده من خلال الرقم نفسه ، يسمى الجزء الكسري العشريويمكن العثور عليها من الجداول. أيضًا ، log20 = log (2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. لوغاريتم 2 هو 0.3010 ، لذا فإن log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. وبالمثل ، log0.2 = log (2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. عن طريق الطرح ، نحصل على log0.2 = -0.6990. ومع ذلك ، فمن الأنسب تمثيل log0.2 كـ 0.3010 - 1 أو 9.3010 - 10 ؛ يمكن صياغتها و قاعدة عامة: جميع الأرقام التي تم الحصول عليها من رقم معين بضربها في قوة 10 لها نفس الجزء العشري من العدد المحدد. في معظم الجداول ، يتم إعطاء مانتيسات للأرقام التي تتراوح من 1 إلى 10 ، حيث يمكن الحصول على مانتيساس لجميع الأرقام الأخرى من تلك الواردة في الجدول.
تعطي معظم الجداول لوغاريتمات بأربعة أو خمسة منازل عشرية ، على الرغم من وجود جداول مكونة من سبعة أرقام وجداول بها منازل عشرية أكثر. تعلم كيفية استخدام هذه الجداول أسهل مع الأمثلة. للعثور على log 3.59 ، أولاً ، لاحظ أن الرقم 3.59 يقع بين 10 0 و 10 1 ، لذا فإن خصائصه هي 0. نجد الرقم 35 (على اليسار) في الجدول ونتحرك على طول الصف إلى العمود الذي يحتوي على الرقم 9 في الأعلى ؛ تقاطع هذا العمود والصف 35 هو 5551 ، لذلك log3.59 = 0.5551. للعثور على الجزء العشري لعدد مكون من أربعة أرقام معنوية ، عليك اللجوء إلى الاستيفاء. في بعض الجداول ، يتم تسهيل الاستيفاء من خلال الأجزاء المتناسبة الواردة في آخر تسعة أعمدة على الجانب الأيمن من كل صفحة من صفحات الجدول. ابحث الآن عن log736.4 ؛ الرقم 736.4 يقع بين 10 2 و 10 3 ، لذا فإن خاصية اللوغاريتم الخاص به هي 2. في الجدول نجد الصف على اليسار الذي هو 73 والعمود 6. عند تقاطع هذا الصف وهذا العمود هو الرقم 8669. من بين الأجزاء الخطية نجد العمود 4 عند تقاطع الصف 73 والعمود 4 هو الرقم 2. بإضافة 2 إلى 8669 ، نحصل على الجزء العشري - يساوي 8671. وبالتالي ، log736.4 = 2.8671.
اللوغاريتمات الطبيعية.
تشبه جداول وخصائص اللوغاريتمات الطبيعية جداول وخصائص اللوغاريتمات العادية. الفرق الرئيسي بين الاثنين هو أن الجزء الصحيح من اللوغاريتم الطبيعي ليس مهمًا في تحديد موضع الفاصلة العشرية ، وبالتالي فإن الاختلاف بين الجزء العشري والخاصية لا يلعب دورًا خاصًا. اللوغاريتمات الطبيعية للأرقام 5.432 ؛ 54.32 و 543.2 هما 1.6923 على التوالي ؛ 3.9949 و 6.2975. تصبح العلاقة بين هذه اللوغاريتمات واضحة إذا أخذنا في الاعتبار الاختلافات بينهما: log 543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026 ؛ الرقم الأخيرليس أكثر من اللوغاريتم الطبيعي للرقم 10 (مكتوب على هذا النحو: ln10) ؛ سجل 543.2 - سجل 5.432 = 4.6052 ؛ الرقم الأخير هو 2ln10. لكن 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2 ґ5.432. وهكذا ، من خلال اللوغاريتم الطبيعي لرقم معين أيمكنك إيجاد اللوغاريتمات الطبيعية للأرقام ، تساوي حاصل ضرب العدد أإلى أي درجة نرقم 10 إذا ك ln أأضف ln10 مضروبًا في ن، بمعنى آخر. ln ( أґ10ن) = تسجيل الدخول أ + ن ln10 = ln أ + 2,3026ن. على سبيل المثال ، ln0.005432 = ln (5.432´10 -3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3´2.3026) = - 5.2155. لذلك ، فإن جداول اللوغاريتمات الطبيعية ، مثل جداول اللوغاريتمات العادية ، تحتوي عادةً فقط على لوغاريتمات الأرقام من 1 إلى 10. في نظام اللوغاريتمات الطبيعية ، يمكن للمرء التحدث عن اللوغاريتمات المضادة ، ولكن في كثير من الأحيان يتحدث المرء عن دالة أسية أو أسية . إذا x= ln ذ، ومن بعد ذ = السابق، و ذيسمى الأس x(من أجل راحة التنضيد المطبعي ، غالبًا ما يكتبون ذ= إكسب x). يلعب الأس دور نقيض اللوغاريتم للعدد x.
بمساعدة جداول اللوغاريتمات العشرية والطبيعية ، يمكنك إنشاء جداول من اللوغاريتمات في أي قاعدة بخلاف 10 و ه. إذا سجل ب أ = x، ومن بعد ب س = أ، ومن ثم تسجيل الدخول ج ب س= سجل ج أأو xسجل ج ب= سجل ج أ، أو x= سجل ج أ/سجل ج ب= سجل ب أ. لذلك ، باستخدام صيغة الانعكاس هذه من جدول اللوغاريتمات إلى القاعدة جيمكنك بناء جداول اللوغاريتمات في أي قاعدة أخرى ب. المضاعف 1 / سجل ج بمسمى وحدة الانتقالمن الأرض جإلى القاعدة ب. لا شيء يمنع ، على سبيل المثال ، استخدام صيغة الانعكاس ، أو الانتقال من نظام لوغاريتمات إلى أخرى ، للعثور على اللوغاريتمات الطبيعية من جدول اللوغاريتمات العادية أو لإجراء الانتقال العكسي. على سبيل المثال ، log105،432 = log ه 5.432 / سجل ه 10 = 1.6923 / 2.3026 = 1.6923´0.4343 = 0.7350. الرقم 0.4343 ، الذي يجب بموجبه ضرب اللوغاريتم الطبيعي لرقم معين للحصول على اللوغاريتم العادي ، هو معامل الانتقال إلى نظام اللوغاريتمات العادية.
طاولات خاصة.
تم اختراع اللوغاريتمات في الأصل من أجل استخدام سجل خصائصها أب= سجل أ+ سجل بوتسجيل أ/ب= سجل أ-سجل ب، وتحويل المنتجات إلى مبالغ ، والناتج إلى اختلافات. وبعبارة أخرى ، إذا سجل أوتسجيل بمعروفة ، ثم بمساعدة الجمع والطرح يمكننا بسهولة العثور على لوغاريتم حاصل الضرب والحاصل. في علم الفلك ، ومع ذلك ، في كثير من الأحيان مجموعة القيمسجل أوتسجيل ببحاجة للعثور على سجل ( أ + ب) أو تسجيل ( أ – ب). بالطبع ، يمكن للمرء أن يجد أولاً من جداول اللوغاريتمات أو ب، ثم قم بإجراء الإضافة أو الطرح المحدد ، ومرة أخرى بالرجوع إلى الجداول ، ابحث عن اللوغاريتمات المطلوبة ، ولكن مثل هذا الإجراء سيتطلب ثلاث رحلات إلى الجداول. نشر Z. Leonelli في عام 1802 جداول ما يسمى ب. اللوغاريتمات الغوسية- لوغاريتمات إضافة المجاميع والاختلافات - مما جعل من الممكن تقييد وصول واحد إلى الجداول.
في عام 1624 ، اقترح إ. كبلر جداول اللوغاريتمات النسبية ، أي لوغاريتمات الأرقام أ/x، أين أ- بعض الإيجابية مستمر. يتم استخدام هذه الجداول بشكل أساسي من قبل علماء الفلك والملاحين.
اللوغاريتمات النسبية في أ= 1 تسمى اللوغاريتماتوتستخدم في العمليات الحسابية عندما يتعين على المرء أن يتعامل مع المنتجات والحواجز. لوغاريتم رقم نيساوي لوغاريتم المقلوب ؛ أولئك. colog ن= log1 / ن= - سجل ن. إذا كان log2 = 0.3010 ، فإن colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. ميزة استخدام اللوغاريتمات هي أنه عند حساب قيمة لوغاريتم تعبيرات النموذج ص/صمجموع ثلاثي لوغاريتم الكسور العشرية الموجبة ص+ سجل ف+ colog صأسهل في العثور عليها من المجموع المختلط والاختلاف في اللوغاريتمات ص+ سجل ف-سجل ص.
تاريخ.
كان المبدأ الذي يقوم عليه أي نظام من اللوغاريتمات معروفًا لفترة طويلة جدًا ويمكن إرجاعه إلى الرياضيات البابلية القديمة (حوالي 2000 قبل الميلاد). في تلك الأيام ، تم استخدام الاستيفاء بين القيم المجدولة لقوى عدد صحيح موجب لحساب الفائدة المركبة. بعد ذلك بوقت طويل ، استخدم أرخميدس (287-212 قبل الميلاد) قوى 10 8 لإيجاد حد أعلى لعدد حبيبات الرمل اللازمة لملء الكون تمامًا المعروف في ذلك الوقت. لفت أرخميدس الانتباه إلى خاصية الأسس التي تكمن وراء فعالية اللوغاريتمات: ناتج القوى يتوافق مع مجموع الأس. في نهاية العصور الوسطى وبداية العصر الجديد ، بدأ علماء الرياضيات بشكل متزايد في الإشارة إلى العلاقة بين التقدم الهندسي والحسابي. M. Stiefel في مقالته عدد صحيح في الحسابأعطى (1544) جدولًا للقوى الموجبة والسالبة للرقم 2:
لاحظ Stiefel أن مجموع العددين في الصف الأول (صف الأسس) يساوي أس اثنين ، وهو ما يتوافق مع حاصل ضرب العددين المتناظرين في الصف السفلي (صف الأسس). فيما يتعلق بهذا الجدول ، صاغ Stiefel أربع قواعد مكافئة للقواعد الحديثة الأربعة للعمليات على الأس أو أربع قواعد للعمليات على اللوغاريتمات: المجموع في الصف العلوي يتوافق مع المنتج في الصف السفلي ؛ يتوافق الطرح في الصف العلوي مع القسمة في الصف السفلي ؛ يتوافق الضرب في الصف العلوي مع الأس في الصف السفلي ؛ التقسيم في الصف العلوي يتوافق مع استخراج الجذر في الصف السفلي.
على ما يبدو ، أدت القواعد المشابهة لقواعد Stiefel إلى قيام J. Naper بالتقديم الرسمي لأول نظام من اللوغاريتمات في المقالة. وصف جدول اللوغاريتم المذهل، تم نشره عام 1614. ولكن أفكار نابير كانت منشغلة بمشكلة تحويل المنتجات إلى مبالغ منذ أكثر من عشر سنوات قبل نشر عمله ، تلقى نابير أخبارًا من الدنمارك أنه في مرصد تايكو براهي كان لمساعديه طريقة لتحويل الأعمال في مسائل حسابية. الطريقة الموصوفة في اتصال نابير كانت مبنية على استخدام الصيغ المثلثيةاكتب
لذلك كانت جداول نابير تتكون أساسًا من اللوغاريتمات الدوال المثلثية. على الرغم من أن مفهوم القاعدة لم يتم تضمينه بشكل صريح في التعريف الذي اقترحه نابير ، فإن الدور المكافئ لقاعدة نظام اللوغاريتمات في نظامه تم لعبه بواسطة الرقم (1-10 -7) 10 7 ، أي ما يعادل تقريبًا 1 / ه.
بشكل مستقل عن نيوبير وبالتزامن معه تقريبًا ، اخترع ج. جداول التقدم الحسابي والهندسي. كانت هذه جداول من مضادات اللوغاريتمات في القاعدة (1 + 10 –4) 10 4 ، وهو تقدير تقريبي جيد إلى حد ما للعدد ه.
في نظام نابير ، تم أخذ لوغاريتم الرقم 10 7 على أنه صفر ، ومع تناقص الأرقام ، ازداد اللوغاريتمات. عندما زار ج. بريجز (1561-1631) نابير ، اتفق كلاهما على أنه سيكون أكثر ملاءمة لاستخدام الرقم 10 كقاعدة والنظر في لوغاريتم واحد يساوي صفرًا. ثم ، مع زيادة الأرقام ، سيزداد اللوغاريتمات الخاصة بهم. وهكذا ، حصلنا على النظام الحديث للوغاريتمات العشرية ، الذي نشر بريجز جدوله في مقالته الحساب اللوغاريتمي(1620). اللوغاريتمات الأساسية ه، على الرغم من أنها ليست تمامًا تلك التي قدمها نابير ، غالبًا ما يشار إليها باسم نابير. تم اقتراح المصطلحين "مميزة" و "الجزء العشري" من قبل بريجز.
استخدمت اللوغاريتمات الأولى ، لأسباب تاريخية ، تقديرات تقريبية للأرقام 1 / هو ه. بعد ذلك بقليل ، بدأت فكرة اللوغاريتمات الطبيعية مرتبطة بدراسة المناطق الواقعة تحت القطع الزائد س ص= 1 (الشكل 1). في القرن السابع عشر تبين أن المنطقة التي يحدها هذا المنحنى المحور xويحدث x= 1 و x = أ(في الشكل 1 ، هذه المنطقة مغطاة بنقاط أكثر سمكا وندرة) تزداد في المتوالية العددية، متي أيزيد في المتوالية الهندسية. هذا هو الاعتماد الذي ينشأ في قواعد الإجراءات على الأس واللوغاريتمات. أعطى هذا أسبابًا لتسمية لوغاريتمات نابير "اللوغاريتمات الزائدية".
دالة لوغاريتمية.
كان هناك وقت كان يُنظر فيه إلى اللوغاريتمات كوسيلة حساب فقط ، ولكن في القرن الثامن عشر ، ويرجع ذلك أساسًا إلى عمل أويلر ، تم تشكيل مفهوم الوظيفة اللوغاريتمية. الرسم البياني لمثل هذه الوظيفة ذ= ln x، التي تزداد إحداثياتها في التقدم الحسابي ، بينما تزداد الاحداثيات في التقدم الهندسي ، في الشكل. 2 ، لكن. رسم بياني للدالة العكسية أو الأسية (الأسية) ص = ه س، التي تزداد إحداثياتها أضعافا مضاعفة ، وتزيد الاحداثيات الحسابية ، على التوالي ، في الشكل. 2 ، ب. (منحنيات ذ= سجل xو ذ = 10xتشبه المنحنيات في الشكل ذ= ln xو ذ = السابق.) تم أيضًا اقتراح تعريفات بديلة للوظيفة اللوغاريتمية ، على سبيل المثال ،
kpi. وبالمثل ، فإن اللوغاريتمات الطبيعية للعدد -1 هي ارقام مركبةالأنواع (2 ك + 1)بي، أين كهو عدد صحيح. عبارات مماثلة صحيحة أيضًا بالنسبة للوغاريتمات العامة أو أنظمة اللوغاريتمات الأخرى. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تعميم تعريف اللوغاريتمات باستخدام هويات أويلر لتشمل اللوغاريتمات المعقدة للأعداد المركبة.
يتم توفير تعريف بديل للوظيفة اللوغاريتمية من خلال التحليل الوظيفي. إذا F(x) هي دالة مستمرة لرقم حقيقي x، والتي لها الخصائص الثلاث التالية: F (1) = 0, F (ب) = 1, F (الأشعة فوق البنفسجية) = F (ش) + F (الخامس)، ومن بعد F(x) على أنه لوغاريتم الرقم xبسبب ب. هذا التعريف له عدد من المزايا على التعريف الوارد في بداية هذه المقالة.
التطبيقات.
تم استخدام اللوغاريتمات في الأصل فقط لتبسيط العمليات الحسابية ، ولا يزال هذا التطبيق أحد أهمها. يتم تسهيل حساب المنتجات والحاصل والقوى والجذور ليس فقط من خلال التوافر الواسع لجداول اللوغاريتمات المنشورة ، ولكن أيضًا من خلال استخدام ما يسمى. قاعدة الشريحة - أداة حسابية ، يعتمد مبدأها على خصائص اللوغاريتمات. تم تجهيز المسطرة بمقاييس لوغاريتمية أي. المسافة من الرقم 1 إلى أي رقم xاختيار يساوي تسجيل x؛ من خلال تحويل مقياس نسبة إلى آخر ، من الممكن رسم مجاميع أو اختلافات اللوغاريتمات ، مما يجعل من الممكن قراءة المنتجات أو أجزاء من الأرقام المقابلة مباشرة من المقياس. للاستفادة من عرض الأرقام في شكل لوغاريتمي يسمح لما يسمى. ورق لوغاريتمي للتخطيط (ورق بمقاييس لوغاريتمية مطبوعة عليه على طول محوري الإحداثيات). إذا كانت الوظيفة تفي بقانون القوة الخاص بالشكل ص = ك س ن، فإن الرسم البياني اللوغاريتمي الخاص به يبدو وكأنه خط مستقيم ، لأن سجل ذ= سجل ك + نسجل xهي معادلة خطية فيما يتعلق بالسجل ذوتسجيل x. على العكس من ذلك ، إذا كان الرسم البياني اللوغاريتمي لبعض التبعية الوظيفية له شكل خط مستقيم ، فإن هذا الاعتماد هو قانون قوة. يعد الورق شبه اللوغاريتمي (حيث يكون المحور y على مقياس لوغاريتمي ويكون الحد الأقصى على مقياس موحد) مفيدًا عند الحاجة إلى تحديد الدوال الأسية. معادلات النموذج ص = كيلو بايت rxتنشأ عندما تنخفض أو تزداد كمية ، مثل عدد السكان أو كمية المواد المشعة أو الرصيد المصرفي ، بمعدل يتناسب مع العدد الحالي للسكان ، مادة مشعةاو مال. إذا تم تطبيق مثل هذا الاعتماد على الورق شبه اللوغاريتمي ، فسيبدو الرسم البياني كخط مستقيم.
تنشأ الوظيفة اللوغاريتمية فيما يتعلق بمجموعة متنوعة من الأشكال الطبيعية. تصطف الأزهار في أزهار عباد الشمس في حلزونات لوغاريتمية ، وتطور أصداف الرخويات نوتيلوس، قرون خروف جبلي ومناقير ببغاوات. كل هذه الأشكال الطبيعية هي أمثلة للمنحنى المعروف باسم اللولب اللوغاريتمي ، لأنه في الإحداثيات القطبية تكون معادلته r = ae bq، أو ln ص= ln أ + بك. يوصف هذا المنحنى بنقطة متحركة ، حيث تنمو المسافة من القطب بشكل كبير ، والزاوية الموصوفة بواسطة متجه نصف القطر الخاص بها تنمو حسابيًا. يتضح وجود مثل هذا المنحنى في كل مكان ، ومن ثم الوظيفة اللوغاريتمية ، جيدًا من خلال حقيقة أنه ينشأ في مناطق مختلفة، مثل محيط الكاميرا غريب الأطوار ومسار بعض الحشرات التي تطير نحو الضوء.
