الدرس ذو الصلة "تقليل التقدم الهندسي بلا حدود"

الغرض من الدرس:تعريف الطلاب بنوع جديد من التسلسل - تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.

مهام:

صياغة الفكرة الأولية للحد من التسلسل العددي ؛ التعرف على طريقة أخرى لتحويل الكسور الدورية اللانهائية إلى كسور عادية باستخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود ؛

تنمية الصفات الفكرية لشخصية أطفال المدارس ، مثل التفكير المنطقي والقدرة على الإجراءات التقييمية والتعميم ؛

تعليم النشاط ، المساعدة المتبادلة ، الجماعية ، الاهتمام بالموضوع.

معدات:فئة الكمبيوتر ، جهاز العرض ، الشاشة.

نوع الدرس:الدرس - التعلم موضوع جديد.

خلال الفصول

أنا . منظمة. الوقت الحاضر. رسالة حول موضوع الدرس والغرض منه.

ثانيًا . تحديث معارف الطلاب.1. فحص الواجبات المنزلية.

1) التحقق من الصيغ الأساسية المتعلقة بالتعاقب الحسابي والهندسي. طالبان يكتبان الصيغ على السبورة.

2) يفعل باقي الطلاب الإملاء الرياضي على موضوع "صيغ الجمع".

مهام:

№1. أوجد مجموع أول خمسة حدود المتوالية العددية، إذا كان أعضائها الأول يساوي 6 (الخيار الأول) ، -20 (الخيار الثاني) ، والعضو الخامس هو -6 (الخيار الأول) ، 20 (الخيار الثاني).

№2. ابحث عن مجموع الأعضاء الخمسة الأولى في التقدم الحسابي إذا كان أول عضو فيه هو -20 (الخيار الأول) ، 6 (الخيار الثاني) ، والفرق هو 10 (الخيار الأول) ، -3 (الخيار الثاني).

№3. أوجد مجموع المصطلحات الخمسة الأولى للتقدم الهندسي إذا كان الحد الأول 1 (الخيار الأول) ، -1 (الخيار الثاني) ، والمقام هو -2 (الخيار الأول) ، 2 (الخيار الثاني).

في نهاية الإملاء ، بشكل انتقائي ، يتم فحص عمل اثنين من الطلاب للتقييم ، ويقوم الباقون بإجراء الفحص الذاتي وفقًا للحلول الجاهزة المكتوبة على طية صدر السترة على السبورة.

حلول:

مهام

1. يتم إعطاء التقدم الحسابي بواسطة الصيغة أ ن = 7 – 4 ن. يجد أ 10 . (-33)

2. التقدم الحسابي أ 3 = 7 و أ 5 = 1 . يجد أ 4 . (4)

3. التقدم الحسابي أ 3 = 7 و أ 5 = 1 . يجد أ 17 . (-35)

4. التقدم الحسابي أ 3 = 7 و أ 5 = 1 . يجد س 17 . (-187)

5. للحصول على تقدم هندسي
أوجد الحد الخامس.

6. للتقدم الهندسي
تجد ن-العضو.

7. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد ب 4 . (4)

8. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد ب 1 و ف .

9. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد س 5 . (62)

ثالثا . استكشاف موضوع جديد(عرض توضيحي).

لنفترض مربعًا ضلعًا يساوي 1. لنرسم مربعًا آخر ، يكون ضلعه نصف المربع الأول ، ثم مربع آخر ، ضلعه نصف الثاني ، ثم التالي ، وهكذا. في كل مرة يكون جانب المربع الجديد هو نصف السابق.

نتيجة لذلك ، حصلنا على سلسلة من أضلاع المربعات تشكيل تقدم هندسي مع المقام.

والأهم من ذلك ، أنه كلما قمنا ببناء مثل هذه المربعات ، كلما كان جانب المربع أصغر. علي سبيل المثال,

هؤلاء. مع زيادة الرقم n ، تقترب شروط التقدم من الصفر.

بمساعدة هذا الشكل ، يمكن اعتبار تسلسل آخر.

على سبيل المثال ، تسلسل مناطق المربعات:

. ومرة أخرى ، إذا نيزداد إلى أجل غير مسمى ، ثم تقترب المنطقة من الصفر بشكل تعسفي.

لنفكر في مثال آخر. مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 1 سم. دعونا نبني المثلث التالي برؤوس في نقاط المنتصف لأضلاع المثلث الأول ، وفقًا لنظرية خط الوسط للمثلث - ضلع الثاني يساوي نصف ضلع الأول ، وضلع الثالث هو نصف ضلع المثلث الثاني ، إلخ. مرة أخرى نحصل على سلسلة من أطوال أضلاع المثلثات.

في
.

إذا أخذنا في الاعتبار التقدم الهندسي ذي المقام السالب.

ثم ، مرة أخرى ، بأعداد متزايدة نشروط التقدم تقترب من الصفر.

دعونا ننتبه إلى مقامات هذه المتتاليات. في كل مكان كانت القواسم أقل من 1 modulo.

يمكننا أن نستنتج: سيقل التقدم الهندسي بشكل لا نهائي إذا كان مقياس مقامه أقل من 1.

العمل الأمامي.

تعريف:

يقال إن التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي إذا كان مقياس مقامه أقل من واحد.
.

بمساعدة التعريف ، من الممكن حل مسألة ما إذا كان التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي أم لا.

مهمة

هل التسلسل عبارة عن تسلسل هندسي متناقص بشكل لا نهائي إذا تم تقديمه بواسطة الصيغة:

;
.

قرار:

. لنجد ف .

;
;
;
.

هذا التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود.

ب)هذا التسلسل ليس تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي.

اعتبر مربعًا ضلعًا يساوي 1. اقسمه إلى نصفين ، وأحد النصفين إلى نصفين مرة أخرى ، وهكذا. تشكل مناطق كل المستطيلات الناتجة تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي:

سيكون مجموع مساحات جميع المستطيلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة مساويًا لمساحة المربع الأول ويساوي 1.

ولكن على الجانب الأيسر من هذه المساواة يوجد مجموع عدد لانهائي من المصطلحات.

ضع في اعتبارك مجموع أول حد من n.

وفقًا لصيغة مجموع أول n حدًا للتقدم الهندسي ، فإنه يساوي .

اذا كان نيزيد إلى أجل غير مسمى ، إذن

أو
. لذا
، بمعنى آخر.
.

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائيهناك حد التسلسل س 1 , س 2 , س 3 , …, س ن , … .

على سبيل المثال ، من أجل التقدم
,

مثل

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائييمكن إيجادها باستخدام الصيغة
.

ثالثا . انعكاس وتوحيد(إنجاز المهام).

رقم المهمة 2. أوجد مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود مع الحد الأول 3 ، والثاني 0.3.

قرار:

رقم المهمة 3. كتاب مدرسي ، ص 160 ، رقم 433 (1).

أوجد مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود:

قرار:

رقم المهمة 4. اكتب الكسر العشري الدوري اللانهائي 0 ، (5) ككسر مشترك.

الطريقة الأولى. دع x = 0 ، (5) = 0.555 ... / 10 الطريقة الثانية. 0 ، (5) = 0.555… =

رقم المهمة 5. كتاب مدرسي ، ص. 162 ، رقم 445 (3) (قرار مستقل)

اكتب الكسر العشري الدوري اللانهائي 0 ، (12) ككسر مشترك.

الجواب: 0 ، (12) = 4/33.

رابعا . تلخيص.

ما هو التسلسل الذي التقيت به اليوم؟

حدد تدرجًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي.

كيف تثبت أن التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود؟

اكتب صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود.

الخامس . الواجب المنزلي.

المتتاليات العددية VI

§ ل 48. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي

حتى الآن ، عند الحديث عن المبالغ ، افترضنا دائمًا أن عدد المصطلحات في هذه المبالغ محدود (على سبيل المثال ، 2 ، 15 ، 1000 ، إلخ). ولكن عند حل بعض المشكلات (خاصة الرياضيات العليا) ، يتعين على المرء التعامل مع مبالغ عدد لا حصر له من المصطلحات

S = أ 1 + أ 2 + ... + أ ن + ... . (1)

ما هي هذه المبالغ؟ الدير مجموع عدد لا حصر له من المصطلحات أ 1 , أ 2 , ..., أ ن ، ... يسمى حد المجموع S. ن أول ص الأرقام متى ص -> ∞ :

S = S. ن = (أ 1 + أ 2 + ... + أ ن ). (2)

بالطبع ، قد يكون الحد (2) موجودًا وقد لا يكون موجودًا. وفقًا لذلك ، يُقال أن المجموع (1) موجود أو غير موجود.

كيف تعرف ما إذا كان المجموع (1) موجودًا في كل حالة على حدة؟ قرار مشتركهذا السؤال يتجاوز نطاق برنامجنا. ومع ذلك ، هناك واحد مهم حالة خاصةالتي علينا الآن النظر فيها. سنتحدث عن مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

اسمحوا ان أ 1 , أ 1 ف , أ 1 ف 2 ، ... هو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. هذا يعني أن | ف |< 1. Сумма первых ص أعضاء هذا التقدم يساوي

من النظريات الأساسية حول حدود المتغيرات (انظر الفقرة 136) نحصل على:

لكن 1 = 1 ، أ ف ن = 0. لذلك

إذن ، مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود يساوي الحد الأول من هذا التقدم مقسومًا على واحد ناقص مقام هذا التقدم.

1) مجموع التقدم الهندسي 1 ، 1/3 ، 1/9 ، 1/27 ، ... هو

ومجموع التقدم الهندسي هو 12 ؛ -6 ؛ 3 ؛ - 3/2 ، ... يساوي

2) كسر دوري بسيط 0.454545 ... يتحول إلى كسر عادي.

لحل هذه المشكلة ، نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

الجانب الأيمن من هذه المساواة هو مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، المصطلح الأول منه هو 45/100 والمقام 1/100. لذا

بالطريقة الموصوفة ، يمكن للمرء الحصول عليها قاعدة عامةتحويل الكسور الدورية البسيطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38):

لتحويل كسر دوري بسيط إلى كسر عادي ، عليك القيام بما يلي: ضع النقطة في البسط كسر عشري، وفي المقام - عدد يتكون من تسع مرات مأخوذة من عدد مرات وجود أرقام في فترة الكسر العشري.

3) الكسر الدوري المختلط 0.58333 .... يتحول إلى كسر عادي.

دعنا نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

على الجانب الأيمن من هذه المساواة ، تشكل جميع المصطلحات ، بدءًا من 3/1000 ، تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، الحد الأول منه هو 3/1000 ، والمقام هو 1/10. لذا

بالطريقة الموصوفة ، يمكن أيضًا الحصول على القاعدة العامة لتحويل الكسور الدورية المختلطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38). نحن عمدا لا ندرجها هنا. ليست هناك حاجة لحفظ هذه القاعدة المرهقة. من المفيد أكثر معرفة أن أي كسر دوري مختلط يمكن تمثيله كمجموع للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي وبعض الأرقام. والصيغة

لمجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يجب على المرء ، بالطبع ، أن يتذكر.

كتدريب ، ندعوك ، بالإضافة إلى المشاكل رقم 995-1000 أدناه ، للعودة مرة أخرى إلى المشكلة رقم 301 § 38.

تمارين

995. ما يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود؟

996- أوجد مبالغ للتعاقب الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي:

997. لما القيم X تقدم

يتناقص بلا حدود؟ ابحث عن مجموع مثل هذا التقدم.

998. في مثلث متساوي الاضلاعمع حفلة أ يتم تسجيل مثلث جديد عن طريق توصيل نقاط المنتصف من جوانبه ؛ يتم كتابة مثلث جديد في هذا المثلث بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية.

أ) مجموع محيط كل هذه المثلثات ؛

ب) مجموع مناطقهم.

999. في مربع مع ضلع أ مربع جديد منقوش عن طريق ربط نقاط المنتصف من جوانبه ؛ مربع مكتوب في هذا المربع بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية. أوجد مجموع محيط كل هذه المربعات ومجموع مساحتها.

1000. قم بعمل تسلسل هندسي متناقص بشكل لا نهائي ، بحيث يكون مجموعها 25/4 ، ومجموع مربعات حدودها يساوي 625/24.

تأمل الآن في مسألة تلخيص التقدم الهندسي اللانهائي. دعونا نطلق على المجموع الجزئي لتقدم لانهائي معين مجموع شروطه الأولى. قم بالإشارة إلى المجموع الجزئي بالرمز

لكل تقدم لا حصر له

يمكن للمرء أن يؤلف سلسلة (لانهائية أيضًا) لمجموعها الجزئية

دع التسلسل مع زيادة غير محدودة له حدود

في هذه الحالة ، يسمى الرقم S ، أي حد المبالغ الجزئية للتقدم ، مجموع التقدم اللانهائي. سوف نثبت أن التدرج الهندسي المتناقص اللانهائي له دائمًا مجموع ، ونشتق صيغة لهذا المجموع (يمكننا أيضًا أن نظهر أنه بالنسبة للتقدم اللانهائي ليس له مجموع ، أو غير موجود).

نكتب التعبير عن المجموع الجزئي كمجموع أعضاء التقدم وفقًا للصيغة (91.1) ونأخذ في الاعتبار حد المجموع الجزئي عند

من نظرية البند 89 ، من المعروف أنه للتقدم المتناقص ؛ لذلك ، بتطبيق نظرية حد الفرق ، نجد

(تُستخدم القاعدة هنا أيضًا: يتم إخراج العامل الثابت من علامة الحد). تم إثبات الوجود ، وفي نفس الوقت يتم الحصول على صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود:

يمكن أيضًا كتابة المساواة (92.1) كـ

قد يبدو من المفارقة هنا أن المجموع عدد لانهائييتم تعيين المصطلحات قيمة محدودة ومحددة جيدًا.

يمكن إعطاء توضيح واضح لشرح هذا الموقف. ضع في اعتبارك مربعًا له جانب يساوي واحد(الشكل 72). قسّم هذا المربع بخط أفقي إلى جزأين متساويين و الجزء العلويضعيه على القاع بحيث يتكون مستطيل من الجانبين 2 و. بعد ذلك ، نقسم النصف الأيمن من هذا المستطيل مرة أخرى إلى النصف بخط أفقي ونربط الجزء العلوي بالجزء السفلي (كما هو موضح في الشكل 72). استمرارًا لهذه العملية ، نقوم باستمرار بتحويل المربع الأصلي بمساحة تساوي 1 إلى أشكال متساوية الحجم (تتخذ شكل سلم بخطوات أرق).

مع استمرار لانهائي لهذه العملية ، تتحلل مساحة المربع بالكامل إلى عدد لا نهائي من المصطلحات - مناطق المستطيلات ذات القواعد التي تساوي 1 والارتفاعات. وتشكل مناطق المستطيلات تقدمًا متناقصًا لانهائيًا ، مجموعها

أي ، كما هو متوقع ، تساوي مساحة المربع.

مثال. ابحث عن مجموع التسلسلات اللانهائية التالية:

الحل أ) نلاحظ أن هذا التقدم لذلك نجد بالصيغة (92.2)

ب) هذا يعني أنه بنفس الصيغة (92.2) لدينا

ج) نجد أن هذا التقدم لذلك ، هذا التقدم ليس له مجموع.

في القسم 5 ، تم عرض تطبيق الصيغة لمجموع شروط التقدم المتناقص بشكل لا نهائي لتحويل كسر عشري دوري إلى كسر عادي.

تمارين

1. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل غير محدود هو 3/5 ، ومجموع حدوده الأربعة الأولى هو 13/27. أوجد الحد الأول والمقام في التقدم.

2. أوجد أربعة أعداد تشكل تعاقبًا هندسيًا متبادلًا يكون فيه الحد الثاني أقل من الأول بمقدار 35 ، والثالث أكبر من الرابع بمقدار 560.

3. عرض ماذا لو تسلسل

يشكل تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، ثم التسلسل

لأي شكل من أشكال التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. هل هذا التأكيد يحمل ل

اشتق معادلة حاصل ضرب شروط التقدم الهندسي.

التقدم الهندسي هو النوع الجديدالتسلسل الرقمي ، الذي يجب أن نتعرف عليه. بالنسبة إلى التعارف الناجح ، لا يضر أن تعرف وتفهم على الأقل. ثم لن تكون هناك مشكلة في التقدم الهندسي.)

ما هو التقدم الهندسي؟ مفهوم التقدم الهندسي.

نبدأ الجولة ، كالعادة ، بالمرحلة الابتدائية. أكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

هل يمكنك التقاط نمط وتحديد الأرقام التي ستذهب بعد ذلك؟ الفلفل واضح ، والأرقام 100000 و 1000000 وما إلى ذلك ستذهب إلى أبعد من ذلك. حتى بدون الكثير من الضغط النفسي ، كل شيء واضح ، أليس كذلك؟)

نعم. مثال آخر. أكتب التسلسل التالي:

1, 2, 4, 8, 16, …

هل يمكنك معرفة الأرقام التي ستنتقل بعد ذلك ، بعد الرقم 16 والاسم ثامنعضو تسلسل؟ إذا اكتشفت أنه سيكون الرقم 128 ، فهذا جيد جدًا. لذا ، نصف المعركة في الفهم المعنىو النقاط الرئيسيةتم بالفعل التقدم الهندسي. يمكنك أن تنمو أكثر.)

والآن ننتقل مرة أخرى من الأحاسيس إلى الرياضيات الصارمة.

اللحظات الرئيسية للتقدم الهندسي.

اللحظة الأساسية # 1

التقدم الهندسي هو تسلسل الأرقام.كما هو التقدم. لا شيء صعب. فقط رتبت هذا التسلسل بشكل مختلف.ومن ثم ، بالطبع ، لها اسم آخر ، نعم ...

اللحظة الأساسية # 2

مع النقطة الرئيسية الثانية ، سيكون السؤال أكثر تعقيدًا. دعنا نعود قليلاً ونتذكر الخاصية الأساسية للتقدم الحسابي. ها هو: كل عضو يختلف عن السابق بنفس المقدار.

هل من الممكن صياغة خاصية مفتاح مشابهة للتقدم الهندسي؟ فكر قليلاً ... ألق نظرة على الأمثلة المقدمة. خمن؟ نعم! في تسلسل هندسي (أي!) يختلف كل عضو من أعضائه عن سابقيه في نفس العدد من المرات.دائماً!

في المثال الأول ، هذا الرقم هو عشرة. أيًا كان حد التسلسل الذي تأخذه ، فهو أكبر من السابق عشرة مرات.

في المثال الثاني ، هذا اثنان: كل عضو أكبر من السابق. مرتين.

في هذه النقطة الأساسية يختلف التقدم الهندسي عن الحسابي. في التقدم الحسابي ، يتم الحصول على كل مصطلح تالي مضيفامن نفس القيمة إلى المصطلح السابق. و هنا - عمليه الضربالمصطلح السابق بنفس المبلغ. هذا هو الفرق.)

اللحظة الأساسية # 3

هذه النقطة الأساسية مطابقة تمامًا لتلك الخاصة بالتقدم الحسابي. يسمى: كل عضو في التقدم الهندسي في مكانه.كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي ، وأعتقد أن التعليقات غير ضرورية. هناك المصطلح الأول ، وهناك المصطلح الأول ، ومائة ، وهكذا. دعنا نعيد ترتيب عضوين على الأقل - سيختفي النمط (ومعه التدرج الهندسي). ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام دون أي منطق.

هذا كل شئ. هذا هو بيت القصيد من التقدم الهندسي.

الشروط والتعيينات.

والآن ، بعد أن تعاملنا مع المعنى والنقاط الأساسية للتقدم الهندسي ، يمكننا الانتقال إلى النظرية. وإلا ما هي النظرية دون فهم المعنى ، أليس كذلك؟

ما هو التقدم الهندسي؟

كيف يتم كتابة التقدم الهندسي؟ نظرة عامة؟ لا مشكلة! يتم أيضًا كتابة كل عضو في التقدم كرسالة. للتقدم الحسابي فقط ، عادة ما يتم استخدام الحرف "أ"، للحرف الهندسي "ب". رقم عضوية، كالعادة ، يشار المؤشر الأيمن السفلي. يتم ببساطة سرد أعضاء التقدم أنفسهم مفصولة بفواصل أو فاصلة منقوطة.

مثله:

ب 1 ،ب 2 , ب 3 , ب 4 , ب 5 , ب 6 , …

باختصار ، يتم كتابة هذا التقدم على النحو التالي: (ب ن) .

أو هكذا ، للتعاقب المحدود:

ب 1 ، ب 2 ، ب 3 ، ب 4 ، ب 5 ، ب 6.

ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب 29 ، ب 30.

أو باختصار:

(ب ن), ن=30 .

هذا ، في الواقع ، هو كل التعيينات. كل شيء هو نفسه ، فقط الحرف هو مختلف ، نعم.) والآن ننتقل مباشرة إلى التعريف.

تعريف التقدم الهندسي.

التقدم الهندسي هو متتالية عددية ، الحد الأول منها ليس صفريًا ، وكل حد تالي يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري.

هذا هو التعريف الكامل. معظم الكلمات والعبارات واضحة ومألوفة لديك. ما لم تفهم بالطبع معنى التقدم الهندسي "على الأصابع" وبشكل عام. لكن هناك أيضًا بعض العبارات الجديدة التي أود أن ألفت إليها اهتمامًا خاصًا.

أولا الكلمات: "الفترة الأولى منها يختلف عن الصفر".

هذا القيد على الفصل الأول لم يتم تقديمه عن طريق الصدفة. ما رأيك سيحدث إذا كان الفصل الأول ب 1 تبين أن يكون الصفر؟ ماذا سيكون الحد الثاني إذا كان كل حد أكبر من السابق نفس العدد من المرات؟دعنا نقول ثلاث مرات؟ دعونا نرى ... اضرب الحد الأول (أي 0) في 3 واحصل على ... صفر! والعضو الثالث؟ صفر أيضا! والحد الرابع هو أيضًا صفر! إلخ…

نحصل فقط على كيس من الخبز من سلسلة من الأصفار:

0, 0, 0, 0, …

بالطبع ، مثل هذا التسلسل له الحق في الحياة ، لكنه ليس ذا فائدة عملية. كل شيء واضح جدا. أي من أعضائها هو صفر. مجموع أي عدد من الأعضاء هو أيضًا صفر ... ما الأشياء الشيقة التي يمكنك أن تفعلها به؟ لا شيئ…

الكلمات الرئيسية التالية: "مضروبة في نفس العدد غير الصفري".

هذا الرقم نفسه له أيضًا اسم خاص به - مقام التقدم الهندسي. لنبدأ المواعدة.)

مقام التقدم الهندسي.

كل شيء بسيط.

مقام التقدم الهندسي هو رقم غير صفري (أو قيمة) تشيركم مرةكل عضو في التقدم أكثر من السابق.

مرة أخرى ، عن طريق القياس مع التقدم الحسابي ، كلمة رئيسيةوالتي يجب ملاحظتها في هذا التعريف هي الكلمة "أكثر". هذا يعني أنه يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم الهندسي عمليه الضربلهذا المقام بالذات العضو السابق.

أشرح.

لحساب ، دعنا نقول ثانياعضو ليأخذ أولعضو و تتضاعفإلى المقام. للحساب العاشرعضو ليأخذ تاسععضو و تتضاعفإلى المقام.

يمكن أن يكون مقام التقدم الهندسي نفسه أي شيء. بالتأكيد أي شخص! عدد صحيح ، كسري ، إيجابي ، سلبي ، غير عقلاني - الجميع. باستثناء الصفر. هذا ما تخبرنا به كلمة "غير صفري" في التعريف. لماذا هذه الكلمة مطلوبة هنا - المزيد عن ذلك لاحقًا.

مقام التقدم الهندسيعادة ما يشار إليها بحرف ف.

كيف تجد هذا ف؟ لا مشكلة! يجب أن نتخذ أي مصطلح من التقدم و قسمة على المصطلح السابق. القسمة جزء. ومن هنا جاء الاسم - "قاسم التقدم". المقام ، عادة ما يقع في كسر ، نعم ...) على الرغم من القيمة المنطقية فيجب أن يسمى نشرالتقدم الهندسي ، على غرار فرقمن أجل التقدم الحسابي. لكنه وافق على الاتصال المقام - صفة مشتركة - حالة. ولن نعيد اختراع العجلة أيضًا).

دعونا نحدد ، على سبيل المثال ، القيمة فلهذا التقدم الهندسي:

2, 6, 18, 54, …

كل شيء أساسي. نحن نأخذ أيرقم التسلسل. ما نريده هو ما نأخذه. باستثناء الأول. على سبيل المثال ، 18. واقسم على الرقم السابق. هذا هو ، في 6.

نحن نحصل:

ف = 18/6 = 3

هذا كل شئ. هذا هو الجواب الصحيح. في أي تقدم هندسي ، المقام هو ثلاثة.

لنجد المقام فلتقدم هندسي آخر. على سبيل المثال ، مثل هذا:

1, -2, 4, -8, 16, …

كل نفس. مهما كانت الإشارات التي يحملها الأعضاء أنفسهم ، فإننا لا نزال نأخذها أيالرقم التسلسلي (على سبيل المثال ، 16) وقسمه على الرقم السابق(أي -8).

نحن نحصل:

د = 16/(-8) = -2

وهذا كل شيء). هذه المرة تبين أن مقام التقدم سلبي. ناقص اثنين. يحدث.)

لنأخذ هذا التقدم:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

ومرة أخرى ، بغض النظر عن نوع الأرقام في التسلسل (أعداد صحيحة زوجية ، حتى كسرية ، وحتى سالبة ، وحتى غير منطقية) ، فإننا نأخذ أي رقم (على سبيل المثال ، 1/9) ونقسمه على الرقم السابق (1/3). طبعا وفقا لقواعد العمليات مع الكسور.

نحن نحصل:

هذا كل شيء.) هنا تبين أن المقام كسري: ف = 1/3.

لكن مثل هذا "التقدم" مثلك؟

3, 3, 3, 3, 3, …

من الواضح هنا ف = 1 . رسميًا ، يعد هذا أيضًا تقدمًا هندسيًا ، فقط مع نفس الأعضاء.) ولكن هذه التعاقب للدراسة و تطبيق عمليلا اهتمام. تمامًا مثل التعاقب مع الأصفار الصلبة. لذلك ، لن نفكر فيها.

كما ترى ، يمكن أن يكون مقام التقدم أي شيء - عدد صحيح ، كسري ، موجب ، سلبي - أي شيء! لا يمكن أن تكون صفرًا فقط. لم تخمن لماذا؟

حسنًا ، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة المحددة ، ماذا سيحدث إذا أخذنا كمقام فصفر.) دعونا ، على سبيل المثال ، لدينا ب 1 = 2 ، أ ف = 0 . ماذا سيكون الفصل الثاني بعد ذلك؟

نحن نؤمن:

ب 2 = ب 1 · ف= 2 0 = 0

والعضو الثالث؟

ب 3 = ب 2 · ف= 0 0 = 0

أنواع وسلوك التعاقب الهندسي.

مع كل شيء كان أكثر أو أقل وضوحا: إذا كان الاختلاف في التقدم دأمر إيجابي ، والتقدم آخذ في الازدياد. إذا كان الاختلاف سالبًا ، فسيقل التقدم. هناك خياران فقط. لا يوجد ثالث.)

ولكن مع سلوك التقدم الهندسي ، سيكون كل شيء أكثر تشويقًا وتنوعًا!)

بمجرد أن يتصرف الأعضاء هنا: يزدادون وينقصون ، ويقتربون من الصفر إلى أجل غير مسمى ، بل ويغيرون الإشارات ، بالتناوب إما إلى "زائد" أو "ناقص"! وفي كل هذا التنوع يجب أن يكون المرء قادرًا على الفهم جيدًا ، نعم ...

نحن نفهم؟) لنبدأ بأبسط حالة.

المقام موجب ( ف >0)

مع المقام الموجب ، أولاً ، يمكن لأعضاء التقدم الهندسي الدخول بالإضافة إلى اللانهاية(أي زيادة إلى أجل غير مسمى) ويمكن أن تدخل ناقص ما لا نهاية(أي النقصان إلى أجل غير مسمى). لقد اعتدنا بالفعل على مثل هذا السلوك من التعاقب.

علي سبيل المثال:

(ب ن): 1, 2, 4, 8, 16, …

كل شيء بسيط هنا. كل عضو في التقدم هو أكثر من السابق. ويحصل كل عضو عمليه الضربعضو سابق في إيجابيالرقم +2 (أي ف = 2 ). سلوك مثل هذا التقدم واضح: كل أعضاء التقدم ينمون إلى أجل غير مسمى ، ويذهبون إلى الفضاء. بالإضافة إلى اللانهاية ...

الآن هذا هو التقدم:

(ب ن): -1, -2, -4, -8, -16, …

هنا ، أيضًا ، يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربعضو سابق في إيجابيرقم +2. لكن سلوك مثل هذا التقدم هو بالفعل عكس ذلك مباشرة: يتم الحصول على كل عضو في التقدم أقل من السابق، وجميع شروطها تنخفض إلى أجل غير مسمى ، وتذهب إلى سالب اللانهاية.

لنفكر الآن: ما هو العامل المشترك بين هذين التعاقبين؟ هذا صحيح ، المقام! هنا وهناك ف = +2 . رقم موجب، عدد إيجابي.تعؤل. و هنا سلوكهذان التسلسلان مختلفان اختلافًا جوهريًا! لم تخمن لماذا؟ نعم! انها كل شيء عن أول عضو!إنه ، كما يقولون ، هو الذي يطلب الموسيقى.) انظر بنفسك.

في الحالة الأولى ، المصطلح الأول من التقدم إيجابي(+1) وبالتالي جميع المصطلحات اللاحقة التي تم الحصول عليها بضربها إيجابيالمقام - صفة مشتركة - حالة ف = +2 ، سيتم أيضا إيجابي.

لكن في الحالة الثانية ، المصطلح الأول نفي(-واحد). لذلك ، تم الحصول على جميع أعضاء التقدم اللاحقين عن طريق الضرب في إيجابي ف = +2 ، سيتم الحصول عليها أيضًا نفي.بالنسبة إلى "ناقص" إلى "زائد" ، يتم دائمًا توفير "ناقص" ، نعم).

كما ترى ، على عكس التقدم الحسابي ، يمكن للتقدم الهندسي أن يتصرف بطرق مختلفة تمامًا ، ليس فقط اعتمادًا على من المقامف، ولكن أيضًا اعتمادًا من العضو الأول، نعم.)

تذكر: يتم تحديد سلوك التقدم الهندسي بشكل فريد من قبل العضو الأول ب 1 والمقامف .

والآن نبدأ في تحليل حالات أقل شيوعًا ولكنها أكثر إثارة للاهتمام!

خذ على سبيل المثال التسلسل التالي:

(ب ن): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

هذا التسلسل هو أيضًا تقدم هندسي! يتم الحصول أيضًا على كل عضو في هذا التقدم عمليه الضربالفترة السابقة ، بنفس العدد. فقط الرقم كسري: ف = +1/2 . أو +0,5 . ورقم (مهم!) ، أصغر واحد:ف = 1/2<1.

ما المثير للاهتمام في هذا التقدم الهندسي؟ إلى أين يذهب أعضائها؟ دعنا نلقي نظرة:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

ما المثير للاهتمام هنا؟ أولاً ، الانخفاض في أعضاء التقدم ملفت للنظر على الفور: كل عضو من أعضائه الأصغرالسابق بالضبط 2 مرات.أو ، وفقًا لتعريف التقدم الهندسي ، كل مصطلح أكثرالسابق 1/2 مرة، لان مقام التقدم ف = 1/2 . ومن الضرب في عدد موجب أقل من واحد تنخفض النتيجة عادة ، نعم ...

ماذا أكثريمكن رؤيته في سلوك هذا التقدم؟ هل يختفي أعضاؤها؟ غير محدود، الذهاب إلى ما لا نهاية؟ لا! يختفون بطريقة خاصة. في البداية تنخفض بسرعة كبيرة ، ثم ببطء أكثر فأكثر. وطوال فترة الإقامة إيجابي. وإن كانت صغيرة جدًا جدًا. وماذا يسعون جاهدين؟ لم تخمن؟ نعم! إنهم يميلون إلى الصفر!) وانتبهوا ، أعضاء تقدمنا لا تصل!فقط قريب منه بشكل لا نهائي. انها مهمة جدا.)

سيكون وضع مماثل في مثل هذا التقدم:

(ب ن): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

هنا ب 1 = -1 ، أ ف = 1/2 . كل شيء كما هو ، الآن فقط سيقترب الأعضاء من الصفر من الجانب الآخر ، من الأسفل. البقاء طوال الوقت نفي.)

مثل هذا التقدم الهندسي ، وأعضائه تقترب من الصفر إلى أجل غير مسمى.(لا يهم ، من الناحية الإيجابية أو السلبية) ، في الرياضيات لها اسم خاص - تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.هذا التقدم مثير للاهتمام وغير عادي حتى أنه سيكون كذلك درس منفصل .)

لذلك ، نظرنا في كل ما هو ممكن إيجابيالقواسم كبيرة وصغيرة. نحن لا نعتبر الشخص نفسه قاسمًا للأسباب المذكورة أعلاه (تذكر المثال مع تسلسل الثلاثيات ...)

كي تختصر:

إيجابيو أكثر من واحد (ف> 1) ، ثم أعضاء التقدم:

أ) زيادة إلى أجل غير مسمى (إذاب 1 >0);

ب) النقصان إلى أجل غير مسمى (إذاب 1 <0).

إذا كان المقام من التقدم الهندسي إيجابي و أقل من واحد (0< ف<1), то члены прогрессии:

أ) قريب بلا حدود من الصفر في الاعلى(لوب 1 >0);

ب) قريب بلا حدود من الصفر من الأسفل(لوب 1 <0).

يبقى الآن للنظر في القضية مقام سلبي.

المقام سالب ( ف <0)

لن نذهب بعيدا كمثال. لماذا ، في الواقع ، الجدة الأشعث؟!) دع ، على سبيل المثال ، أول عضو في التقدم يكون ب 1 = 1 وخذ المقام ف = -2.

نحصل على التسلسل التالي:

(ب ن): 1, -2, 4, -8, 16, …

وهلم جرا.) يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربعضو سابق في رقم سالب-2. في هذه الحالة ، سيكون جميع الأعضاء في الأماكن الفردية (الأول ، الثالث ، الخامس ، إلخ) إيجابي، وفي الأماكن الزوجية (الثاني ، الرابع ، إلخ) - نفي.الإشارات مشذرة بدقة. زائد ناقص زائد ناقص ... يسمى هذا التقدم الهندسي - زيادة علامة بالتناوب.

إلى أين يذهب أعضائها؟ ولا مكان.) نعم ، في القيمة المطلقة (أي modulo)تزداد شروط تقدمنا ​​إلى أجل غير مسمى (ومن هنا جاء الاسم "زيادة"). ولكن في الوقت نفسه ، يقوم كل عضو من أعضاء التقدم بإلقائه بالتناوب في الحرارة ، ثم في البرد. إما زائد أو ناقص. تقدمنا ​​يتقلب ... علاوة على ذلك ، فإن نطاق التقلبات ينمو بسرعة مع كل خطوة ، نعم.) لذلك ، فإن تطلعات أعضاء التقدم للذهاب إلى مكان ما على وجه التحديدهنا لا.لا إلى زائد ما لا نهاية ، ولا إلى سالب ما لا نهاية ، ولا إلى صفر - لا مكان.

ضع في اعتبارك الآن مقامًا كسريًا يقع بين صفر وسالب واحد.

على سبيل المثال ، فليكن ب 1 = 1 ، أ ف = -1/2.

ثم نحصل على التقدم:

(ب ن): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

ومرة أخرى لدينا تناوب العلامات! ولكن ، على عكس المثال السابق ، يوجد هنا بالفعل اتجاه واضح للمصطلحات لتقترب من الصفر.) هذه المرة فقط تقترب شروطنا من الصفر ليس من أعلى أو أسفل بشكل صارم ، ولكن مرة أخرى متردد. أخذ القيم الإيجابية أو السلبية بالتناوب. لكن في نفس الوقت هم الوحداتتقترب أكثر فأكثر من الصفر العزيزة.)

يسمى هذا التقدم الهندسي تناقص علامة بالتناوب لانهائية.

لماذا هذان المثالان مثيران للاهتمام؟ وحقيقة أنه في كلتا الحالتين يحدث بالتناوب الشخصيات!هذه الشريحة نموذجية فقط للتقدم مع مقام سالب ، نعم.) لذلك ، إذا رأيت في مهمة ما تقدمًا هندسيًا بأعضاء متناوبين ، فستعرف بالفعل أن مقامها سالب بنسبة 100٪ ولن تكون مخطئًا في العلامة).

بالمناسبة ، في حالة المقام السلبي ، لا تؤثر علامة المصطلح الأول على سلوك التقدم نفسه على الإطلاق. مهما كانت علامة العضو الأول في التقدم ، في أي حال ، سيتم ملاحظة علامة تناوب الأعضاء. السؤال كله عادل في أي مكان(زوجي أو فردي) سيكون هناك أعضاء بعلامات محددة.

يتذكر:

إذا كان المقام من التقدم الهندسي نفي ، ثم علامات شروط التقدم دائما البديل.

في الوقت نفسه ، فإن الأعضاء أنفسهم:

أ) زيادة إلى أجل غير مسمىمودولو، لوف<-1;

ب) اقترب من الصفر بلا حدود إذا -1< ف<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

هذا كل شئ. يتم تحليل جميع الحالات النموذجية.)

في عملية تحليل مجموعة متنوعة من الأمثلة للتعاقب الهندسي ، استخدمت بشكل دوري الكلمات: "يميل إلى الصفر", "يميل إلى إضافة ما لا نهاية", يميل إلى سالب اللانهاية... لا بأس.) يتحول هذا الكلام (وأمثلة محددة) ما هي إلا معرفة أولية بـ سلوكتسلسلات رقمية مختلفة. مثال على التقدم الهندسي.

لماذا نحتاج حتى إلى معرفة سلوك التقدم؟ ما الفرق الذي يحدث حيث تذهب؟ إلى الصفر ، إلى زائد ما لا نهاية ، إلى سالب ما لا نهاية ... ما الذي يهمنا بشأن هذا؟

الشيء هو أنه بالفعل في الجامعة ، في سياق الرياضيات العليا ، ستحتاج إلى القدرة على العمل مع مجموعة متنوعة من المتواليات الرقمية (مع أي ، وليس فقط التقدم!) والقدرة على تخيل بالضبط كيف يتصرف هذا التسلسل أو ذاك - ما إذا كانت الزيادة غير محدودة ، سواء كانت تنقص ، أو تميل إلى رقم معين (وليس بالضرورة إلى الصفر) ، أو حتى لا تميل إلى أي شيء على الإطلاق ... قسم كامل مخصص لهذا الموضوع في سياق التحليل الرياضي - نظرية الحد.بشكل أكثر تحديدًا ، المفهوم حد التسلسل الرقمي.موضوع مثير جدا للاهتمام! من المنطقي أن تذهب إلى الكلية وتكتشف ذلك).

بعض الأمثلة من هذا القسم (التسلسلات التي لها حدود) وعلى وجه الخصوص ، تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائيتبدأ التعلم في المدرسة. التعود.)

علاوة على ذلك ، فإن القدرة على دراسة سلوك التسلسلات جيدًا في المستقبل ستلعب بشكل كبير في متناول اليد وستكون مفيدة جدًا في البحث الوظيفي.الأكثر تنوعًا. لكن القدرة على العمل بكفاءة مع الوظائف (حساب المشتقات ، واستكشافها بالكامل ، وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم) تزيد بالفعل من مستواك الرياضي بشكل كبير! شك؟ لا حاجة. تذكر أيضًا كلماتي.)

دعونا نلقي نظرة على التقدم الهندسي في الحياة؟

في الحياة من حولنا ، نواجه تقدمًا أسيًا في كثير من الأحيان. دون أن تعرف ذلك.)

على سبيل المثال ، الكائنات الحية الدقيقة المختلفة التي تحيط بنا في كل مكان بكميات ضخمة والتي لا نراها بدون مجهر تتكاثر بدقة في التقدم الهندسي.

لنفترض أن بكتيريا واحدة تتكاثر عن طريق الانقسام إلى نصفين ، مما يعطي ذرية في 2 بكتيريا. في المقابل ، يتكاثر كل منهم ، وينقسم أيضًا إلى نصفين ، مما يعطي ذرية مشتركة من 4 بكتيريا. الجيل القادم سيعطي 8 بكتيريا ، ثم 16 بكتيريا ، 32 ، 64 وهكذا. مع كل جيل متتالي ، يتضاعف عدد البكتيريا. مثال نموذجي للتقدم الهندسي.)

كما أن بعض الحشرات - المن ، والذباب - تتكاثر أضعافا مضاعفة. وبالمناسبة ، فإن الأرانب أحيانًا أيضًا).

مثال آخر للتقدم الهندسي ، أقرب إلى الحياة اليومية ، هو ما يسمى الفائدة المركبة.غالبًا ما توجد مثل هذه الظاهرة المثيرة للاهتمام في الودائع المصرفية وتسمى رسملة الفائدة.ما هذا؟

أنت نفسك ما زلت ، بالطبع ، شابًا. أنت تدرس في المدرسة ، ولا تتقدم إلى البنوك. لكن والديك بالغين وأشخاص مستقلين. يذهبون إلى العمل ويكسبون نقودًا مقابل الخبز اليومي ويضعون بعضًا من المال في البنك ويدخرون.)

لنفترض أن والدك يريد توفير مبلغ معين من المال لقضاء إجازة عائلية في تركيا ووضع 50000 روبل في البنك بمعدل 10٪ سنويًا لمدة ثلاث سنوات مع رسملة الفائدة السنوية.علاوة على ذلك ، لا يمكن فعل أي شيء مع الإيداع خلال هذه الفترة بأكملها. لا يمكنك تجديد الإيداع ولا سحب الأموال من الحساب. ما هو الربح الذي سيحققه في هذه السنوات الثلاث؟

حسنًا ، أولاً ، تحتاج إلى معرفة نسبة 10٪ سنويًا. هذا يعني انه في سنةيضاف 10٪ إلى مبلغ الإيداع الأولي من قبل البنك. من ماذا؟ بالطبع من مبلغ الإيداع الأولي.

احسب مبلغ الحساب في عام. إذا كان مبلغ الإيداع الأولي 50000 روبل (أي 100 ٪) ، فما مقدار الفائدة على الحساب في السنة؟ هذا صحيح ، 110٪! من 50000 روبل.

لذلك نعتبر 110٪ من 50000 روبل:

50000 1.1 \ u003d 55000 روبل.

أرجو أن تفهم أن إيجاد 110٪ من القيمة يعني ضرب هذه القيمة في الرقم 1.1؟ إذا كنت لا تفهم سبب ذلك ، فتذكر الصفين الخامس والسادس. يسمى - علاقة النسب المئوية بالكسور والأجزاء.)

وبالتالي ، فإن الزيادة في السنة الأولى ستكون 5000 روبل.

كم سيكون المال في الحساب بعد سنتين؟ 60000 روبل؟ لسوء الحظ (أو بالأحرى ، لحسن الحظ) ، الأمر ليس بهذه البساطة. تكمن الحيلة الكاملة في رسملة الفائدة في أنه مع كل تراكم فائدة جديد ، سيتم اعتبار هذه الفائدة نفسها بالفعل من المبلغ الجديد!من الذي سابقاعلى الحساب في اللحظة.وتضاف الفائدة المتراكمة عن المدة السابقة إلى المبلغ الأولي للإيداع ، وبالتالي ، فإنهم يشاركون هم أنفسهم في احتساب الفائدة الجديدة! أي أنهم أصبحوا جزءًا كاملاً من الحساب الإجمالي. أو عام رأس المال.ومن هنا الاسم - رسملة الفائدة.

إنه في الاقتصاد. وفي الرياضيات ، تسمى هذه النسب المئوية الفائدة المركبة.أو في المئة من المئة.) خدعتهم هي أنه في الحساب المتسلسل ، يتم حساب النسب المئوية في كل مرة من القيمة الجديدة.ليس من الأصل ...

لذلك ، من أجل حساب المبلغ من خلال سنتان، نحتاج إلى حساب 110٪ من المبلغ الذي سيكون في الحساب في سنة.أي بالفعل من 55000 روبل.

نحن نعتبر 110 ٪ من 55000 روبل:

55000 1.1 = 60500 روبل.

هذا يعني أن النسبة المئوية للزيادة للسنة الثانية ستكون بالفعل 5500 روبل ، ولمدة عامين - 10500 روبل.

يمكنك الآن تخمين أنه في غضون ثلاث سنوات ، سيكون المبلغ في الحساب 110 ٪ من 60500 روبل. هذا مرة أخرى 110٪ من السابق (العام الماضي)مبالغ.

هنا نعتبر:

60500 1.1 = 66550 روبل.

والآن نبني مبالغنا النقدية بالسنوات بالتسلسل:

50000;

55000 = 50000 1.1 ؛

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1 ؛

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

إذا كيف؟ لماذا لا تقدم هندسي؟ أول عضو ب 1 = 50000 والمقام ف = 1,1 . كل مصطلح أكبر بمقدار 1.1 مرة من السابق. كل شيء يتوافق بدقة مع التعريف.)

وكم نسبة المكافآت الإضافية التي "سينخفضها" والدك بينما كان 50 ألف روبل في حسابه المصرفي لمدة ثلاث سنوات؟

نحن نؤمن:

66550-50000 = 16550 روبل

إنه أمر سيء بالطبع. ولكن هذا إذا كان المبلغ الأولي للمساهمة صغيرًا. ماذا لو كان هناك المزيد؟ قل ، ليس 50 بل 200 ألف روبل؟ ثم ستكون الزيادة لمدة ثلاث سنوات بالفعل 66200 روبل (إذا كنت تحسب). أيهما جيد جدًا بالفعل.) وإذا كانت المساهمة أكبر؟ هذا ما هو عليه...

الخلاصة: كلما زادت المساهمة الأولية ، ازدادت ربحية رسملة الفائدة. هذا هو السبب في أن الودائع برسملة الفائدة تقدم من قبل البنوك لفترات طويلة. دعنا نقول خمس سنوات.

أيضًا ، جميع أنواع الأمراض السيئة مثل الأنفلونزا والحصبة وحتى الأمراض الأكثر فظاعة (نفس السارس في أوائل القرن الحادي والعشرين أو الطاعون في العصور الوسطى) تحب أن تنتشر بشكل كبير. ومن هنا جاء حجم الأوبئة ، نعم ...) وكل ذلك بسبب حقيقة أن التقدم الهندسي مع القاسم الإيجابي كله (ف>1) - شيء ينمو بسرعة كبيرة! تذكر تكاثر البكتيريا: من بكتيريا واحدة يتم الحصول على اثنين ، من اثنين - أربعة ، من أربعة إلى ثمانية ، وهكذا ... مع انتشار أي عدوى ، كل شيء هو نفسه.)

أبسط المشاكل في التقدم الهندسي.

لنبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بمشكلة بسيطة. بحتة لفهم المعنى.

1. من المعروف أن الحد الثاني للتقدم الهندسي هو 6 والمقام -0.5. أوجد الحدود الأول والثالث والرابع.

لذلك نحن معطى بلا نهايةالتقدم الهندسي ، المعروف العضو الثانيهذا التقدم:

ب 2 = 6

بالإضافة إلى ذلك ، نحن نعلم أيضًا مقام التقدم:

ف = -0.5

وتحتاج أن تجد الثلث الأولو الرابعأعضاء هذا التقدم.

نحن هنا نتصرف. نكتب التسلسل حسب حالة المشكلة. مباشرة بشكل عام ، حيث يكون العضو الثاني هو الستة:

ب 1،6 ،ب 3 , ب 4 , …

لنبدأ الآن في البحث. نبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بالأبسط. يمكنك حساب ، على سبيل المثال ، المصطلح الثالث ب 3؟ تستطيع! نحن نعلم بالفعل (مباشرة بمعنى التقدم الهندسي) أن الحد الثالث (ب 3)أكثر من ثانية (ب 2 ) في "ف"بمجرد!

لذلك نكتب:

ب 3 =ب 2 · ف

نعوض بستة في هذا المقدار بدلاً من ب 2و -0.5 بدلاً من ذلك فونفكر. وكذلك لا يتم تجاهل الطرح بالطبع ...

ب 3 \ u003d 6 (-0.5) \ u003d -3

مثله. تبين أن المصطلح الثالث سلبي. لا عجب: قاسمنا ف- نفي. بالإضافة إلى أنه مضروبًا في ناقص ، سيكون بالطبع سالب).

نحن الآن ننظر في الفصل الدراسي الرابع التالي من التقدم:

ب 4 =ب 3 · ف

ب 4 \ u003d -3 (-0.5) \ u003d 1.5

المصطلح الرابع مرة أخرى مع موجب. سيكون الحد الخامس مرة أخرى بسالب ، والسادس بعلامة موجب ، وهكذا. علامات - بديل!

لذلك ، تم العثور على العضوين الثالث والرابع. والنتيجة هي التسلسل التالي:

ب 1 ؛ 6 ؛ -3 ؛ 1.5 ؛ ...

يبقى الآن أن نجد المصطلح الأول ب 1بحسب الثانية المشهورة. للقيام بذلك ، نخطو في الاتجاه الآخر ، إلى اليسار. هذا يعني أنه في هذه الحالة ، لا نحتاج إلى ضرب الحد الثاني من التقدم في المقام ، ولكن شارك.

نقسم ونحصل على:

هذا كل شيء.) ستكون الإجابة على المشكلة كما يلي:

-12; 6; -3; 1,5; …

كما ترى ، مبدأ الحل هو نفسه في. نعلم أيعضو و المقام - صفة مشتركة - حالةالتقدم الهندسي - يمكننا إيجاد أي مصطلح آخر. كل ما نريد ، سنجد واحدًا.) والفرق الوحيد هو أن الجمع / الطرح يتم استبداله بالضرب / القسمة.

تذكر: إذا عرفنا عضوًا واحدًا على الأقل ومقامًا للتقدم الهندسي ، فيمكننا دائمًا العثور على أي عضو آخر في هذا التقدم.

المهمة التالية ، وفقًا للتقاليد ، مأخوذة من الإصدار الحقيقي لـ OGE:

2.

… ؛ 150 ؛ X ؛ 6 ؛ 1.2 ؛ ...

إذا كيف؟ هذه المرة لا يوجد حد أول ولا مقام ف، يتم إعطاء مجرد تسلسل من الأرقام ... شيء مألوف بالفعل ، أليس كذلك؟ نعم! تم بالفعل التعامل مع مشكلة مماثلة في التقدم الحسابي!

نحن هنا لسنا خائفين. كل نفس. اقلب رأسك وتذكر المعنى الأولي للتقدم الهندسي. ننظر بعناية في تسلسلنا ونكتشف أي معلمات للتقدم الهندسي للعناصر الرئيسية الثلاثة (العضو الأول ، المقام ، رقم العضو) مخفية فيه.

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد عدد أعضاء ، نعم ... لكن هناك أربعة متتاليأعداد. ما تعنيه هذه الكلمة ، لا أرى الهدف من الشرح في هذه المرحلة.) هل هناك اثنان الأرقام المجاورة المعروفة؟هنالك! هذه هي 6 و 1.2. لذلك يمكننا أن نجد مقام التقدم.إذن ، نأخذ العدد 1.2 ونقسمه إلى الرقم السابق.لمدة ستة.

نحن نحصل:

نحن نحصل:

x= 150 0.2 = 30

إجابه: x = 30 .

كما ترى ، كل شيء بسيط للغاية. الصعوبة الرئيسية تكمن فقط في الحسابات. إنه صعب بشكل خاص في حالة القواسم السالبة والكسرية. إذن لمن لديه مشاكل كرر الحساب! كيفية التعامل مع الكسور ، وكيفية التعامل مع الأعداد السالبة ، وما إلى ذلك ... وإلا فسوف تبطئ هنا بلا رحمة.

الآن دعونا نغير المشكلة قليلاً. الآن سوف تصبح مثيرة للاهتمام! دعنا نزيل آخر رقم 1.2 فيه. لنحل هذه المشكلة الآن:

3. تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

… ؛ 150 ؛ X ؛ 6 ؛ ...

أوجد مصطلح التقدم ، المشار إليه بالحرف x.

كل شيء هو نفسه ، اثنان فقط المجاورة مشهورلم يعد لدينا أعضاء في التقدم. هذه هي المشكلة الرئيسية. لأن الحجم فمن خلال فترتين متجاورتين ، يمكننا بالفعل تحديد ذلك بسهولة لا نستطيع.هل لدينا فرصة لمواجهة التحدي؟ بالتأكيد!

دعونا نكتب المصطلح المجهول " x"مباشرة بمعنى التقدم الهندسي! بشكل عام.

نعم نعم! مباشرة بقاسم غير معروف!

من ناحية أخرى ، بالنسبة إلى x ، يمكننا كتابة النسبة التالية:

x= 150ف

من ناحية أخرى ، لدينا كل الحق في رسم نفس X من خلال التاليعضو من خلال الستة! اقسم ستة على المقام.

مثله:

x = 6/ ف

من الواضح أنه يمكننا الآن معادلة هاتين النسبتين. بما أننا نعبر نفس الشيءالقيمة (س) ، ولكن اثنين طرق مختلفة.

نحصل على المعادلة:

ضرب كل شيء ف، التبسيط ، التقليل ، نحصل على المعادلة:

س 2 \ u003d 1/25

نحل ونحصل على:

q = ± 1/5 = ± 0.2

أُووبس! المقام مزدوج! +0.2 و -0.2. وأي واحد تختار؟ نهاية؟

هادئ! نعم ، المشكلة بالفعل حلين!لا حرج في ذلك. يحدث ذلك.) لا تتفاجأ عندما تحصل ، على سبيل المثال ، على جذرين من خلال حل المعتاد؟ إنها نفس القصة هنا.)

ل ف = +0.2سوف نحضر:

س = 150 0.2 = 30

ولل ف = -0,2 إرادة:

س = 150 (-0.2) = -30

نحصل على إجابة مزدوجة: x = 30; x = -30.

ماذا تعني هذه الحقيقة الشيقة؟ وماذا يوجد تقدمان، تلبية لحالة المشكلة!

مثل هؤلاء:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

كلاهما مناسب.) ما رأيك في سبب تشعب الإجابات؟ فقط بسبب القضاء على عضو معين من التقدم (1،2) ، يأتي بعد الستة. وبمعرفة الأعضاء السابقين (n-1) واللاحقة (n + 1) -th من التقدم الهندسي ، لم يعد بإمكاننا قول أي شيء بشكل لا لبس فيه عن العضو n الذي يقف بينهما. هناك خياران - زائد وناقص.

لكن لا يهم. كقاعدة عامة ، في مهام التقدم الهندسي ، هناك معلومات إضافية تعطي إجابة لا لبس فيها. دعنا نقول الكلمات: "التقدم بالتناوب بين الإشارات"أو "التقدم بقاسم إيجابي"وهكذا ... هذه الكلمات هي التي يجب أن تكون بمثابة دليل يجب اختيار الإشارة ، زائد أو ناقص ، عند تقديم الإجابة النهائية. إذا لم تكن هناك مثل هذه المعلومات ، إذن - نعم ، سيكون للمهمة حلين.)

والآن نقرر بأنفسنا.

4. حدد ما إذا كان الرقم 20 سيكون جزءًا من تسلسل هندسي:

4 ; 6; 9; …

5. يتم إعطاء تسلسل هندسي متناوب:

…; 5; x ; 45; …

ابحث عن مصطلح التقدم المشار إليه بالحرف x .

6. أوجد الحد الرابع الإيجابي للتقدم الهندسي:

625; -250; 100; …

7. الحد الثاني للتقدم الهندسي هو -360 ، ومحده الخامس 23.04. ابحث عن الفصل الأول من هذا التقدم.

الإجابات (في حالة فوضى): -15 ؛ 900 ؛ لا؛ 2.56.

مبروك إذا كل شيء على ما يرام!

شيء لا يصلح؟ هل هناك إجابة مزدوجة في مكان ما؟ نقرأ شروط المهمة بعناية!

اللغز الأخير لا يعمل؟ لا يوجد شيء معقد هناك.) نحن نعمل مباشرة وفقًا لمعنى التقدم الهندسي. حسنًا ، يمكنك رسم صورة. تساعد.)

كما ترى ، كل شيء أساسي. إذا كان التقدم قصير. ماذا لو كانت طويلة؟ أم أن عدد العضو المطلوب كبير جدًا؟ أود ، بالقياس مع التقدم الحسابي ، أن أحصل بطريقة ما على صيغة ملائمة تجعل من السهل العثور على أيعضو في أي تقدم هندسي برقمه.دون مضاعفة مرات عديدة ف. وهناك مثل هذه الصيغة!) التفاصيل - في الدرس التالي.

درس وعرض تقديمي حول موضوع: "التسلسل الرقمي. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف التاسع
وظائف ورسوم بيانية القوى والجذور

يا رفاق ، اليوم سنتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية

تعريف. يُطلق على التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد ، بدءًا من الثاني ، مساويًا لمنتج السابق وبعض الأرقام الثابتة ، تسلسلًا هندسيًا.
دعونا نحدد تسلسلنا بشكل متكرر: $ b_ (1) = b $ ، $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $ ،
حيث b و q أرقام معينة معينة. الرقم q يسمى مقام التقدم.

مثال. 1،2،4،8،16 ... التقدم الهندسي ، حيث يكون العضو الأول يساوي واحدًا ، و $ q = 2 دولار.

مثال. 8،8،8،8 ... تسلسل هندسي ، حده الأول هو ثمانية ،
و $ q = 1 دولار.

مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ثلاثة ،
و $ q = -1 دولار.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، $ q> 1 $ ،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، 0 $ يُشار إلى التسلسل عادةً على النحو التالي: $ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n) ، ... $.

تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي ، إذا كان عدد العناصر في التقدم الهندسي محدودًا ، فإن التقدم يسمى التقدم الهندسي المحدود.

$ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n-2) ، b_ (n-1) ، b_ (n) $.
لاحظ أنه إذا كان التسلسل تقدمًا هندسيًا ، فإن تسلسل تربيع الحدود هو أيضًا تقدم هندسي. التسلسل الثاني له الحد الأول $ b_ (1) ^ 2 $ والمقام $ q ^ 2 $.

صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي

يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيف نفعل ذلك:
$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
يمكننا بسهولة رؤية النمط: $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $.
تسمى صيغتنا "صيغة العضو رقم n للتقدم الهندسي".

دعنا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16 ... تسلسل هندسي يساوي حده الأول واحدًا ،
و $ q = 2 دولار.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.

مثال. 16،8،4،2،1،1 / 2 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ستة عشر و $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

مثال. 8،8،8،8 ... تقدم هندسي حيث الحد الأول هو ثمانية و $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 دولارات.

مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تقدم هندسي ، حده الأول هو ثلاثة و $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $ b_ (1) ، b_ (2) ، ... ، b_ (n) ، ... $.
أ) من المعروف أن $ b_ (1) = 6 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (5) $.
ب) من المعروف أن $ b_ (1) = 6، q = 2، b_ (n) = 768 $. تجد n.
ج) من المعروف أن $ q = -2، b_ (6) = 96 $. ابحث عن $ b_ (1) $.
د) من المعروف أن $ b_ (1) = - 2، b_ (12) = 4096 $. ابحث عن q.

قرار.
أ) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 دولار.
ب) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 دولار.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ منذ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7 ؛ ن = 8 دولارات.
ج) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
د) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 دولار.

مثال. الفرق بين العضوين السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 192 ، ومجموع العضوين الخامس والسادس من التقدم هو 192. أوجد العضو العاشر في هذا التقدم.

قرار.
نعلم أن: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ و $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
نعلم أيضًا: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $ ؛ $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $ ؛ $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
ثم:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 دولار.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 دولار.
حصلنا على نظام المعادلات:
$ \ start (الحالات) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ end (الحالات) $.
معادلة ، تحصل معادلاتنا على:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 دولار.
حصلنا على حلين q: $ q_ (1) = 2، q_ (2) = - 1 $.
استبدل تباعا في المعادلة الثانية:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 دولارات.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $ b_ (1) = 4 ، q = 2 $.
لنجد المصطلح العاشر: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

افترض أن لدينا تقدمًا هندسيًا محدودًا. دعنا ، بالإضافة إلى التقدم الحسابي ، نحسب مجموع أعضائه.

لنفترض تقدمًا هندسيًا محدودًا: $ b_ (1)، b_ (2)، ...، b_ (n-1)، b_ (n) $.
دعنا نقدم الترميز لمجموع شروطه: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
في الحالة التي يكون فيها $ q = 1 $. جميع أعضاء التقدم الهندسي متساوون مع العضو الأول ، ومن ثم فمن الواضح أن $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
ضع في اعتبارك الآن الحالة $ q ≠ 1 $.
اضرب المبلغ أعلاه في q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
ملحوظة:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

مثال.
أوجد مجموع أول سبعة حدود للتقدم الهندسي الذي حده الأول 4 ومقامه 3.

قرار.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 دولار.

مثال.
أوجد العضو الخامس في التقدم الهندسي المعروف: $ b_ (1) = - 3 $؛ $ b_ (n) = - 3072 $ ؛ دولار أمريكي _ (ن) = - 4095 دولار أمريكي.

قرار.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 دولار.
$ q ^ (n-1) = 1024 دولارًا.
q ^ (ن) = 1024q دولار.

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 دولار.
-4095 دولارًا (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) دولار.
-4095 دولار (q-1) = - 3 * (1024q-1) دولار.
1365 ك -1365 دولارًا = 1024 ك -1 دولار.
341Q = 1364 دولارًا أمريكيًا.
q دولار = 4 دولارات.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 دولار.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

يا رفاق ، بالنظر إلى التقدم الهندسي. لنفكر في أعضائها الثلاثة المتتاليين: $ b_ (n-1) ، b_ (n) ، b_ (n + 1) $.
نحن نعرف ذلك:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
ثم:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
إذا كان التقدم محدودًا ، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع المصطلحات باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا نوع التسلسل الذي يحتويه التسلسل ، ولكن من المعروف أن: $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
ثم يمكننا القول بأمان أن هذا تقدم هندسي.

التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل من مصطلحاته مساويًا لمنتج الحدين المجاورين للتقدم. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود ، لا يتم استيفاء هذا الشرط للمصطلح الأول والأخير.

لنلقِ نظرة على هذه الهوية: $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $ يسمى المتوسط أرقام هندسيةأ و ب.

يساوي مقياس أي عضو في التقدم الهندسي المتوسط ​​الهندسي للعضوين المجاورين له.

مثال.
أوجد x مثل هذا $ x + 2 ؛ 2x + 2 ؛ 3x + 3 $ كانت عبارة عن ثلاثة أعضاء متتالية للتقدم الهندسي.

قرار.
دعنا نستخدم الخاصية المميزة:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
4 س ^ 2 + 8 س + 4 = 3 س ^ 2 + 3 س + 6 س + 6 دولار.
$ x ^ 2-x-2 = 0 دولار.
$ x_ (1) = 2 $ و $ x_ (2) = - 1 $.
عوض بالتسلسل في التعبير الأصلي ، حلولنا:
مع $ x = 2 $ ، حصلنا على التسلسل: 4 ؛ 6 ؛ 9 هو تقدم هندسي مع $ q = 1.5 $.
مع $ x = -1 $ ، حصلنا على التسلسل: 1 ؛ 0 ؛ 0.
الإجابة: $ x = 2. $

مهام الحل المستقل

1. ابحث عن العضو الثامن الأول في التقدم الهندسي 16 ؛ -8 ؛ 4 ؛ -2 ...
2. أوجد العضو العاشر للتقدم الهندسي 11،22،44….
3. من المعروف أن $ b_ (1) = 5 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (7) $.
4. من المعروف أن $ b_ (1) = 8، q = -2، b_ (n) = 512 $. تجد n.
5. أوجد مجموع أول 11 عضوًا للتقدم الهندسي 3 ؛ 12 ؛ 48….
6. أوجد x بحيث يكون $ 3x + 4؛ 2x + 4 ؛ x + 5 $ هي ثلاثة أعضاء متتالية للتقدم الهندسي.