وبالمثل ، بالنسبة إلى نقطة مادية واحدة ، فإننا نشتق نظرية حول التغيير في زخم النظام في أشكال مختلفة.

نقوم بتحويل المعادلة (نظرية حول حركة مركز الكتلة لنظام ميكانيكي)

بالطريقة الآتية:

;

تعبر المعادلة الناتجة عن نظرية التغيير في زخم النظام الميكانيكي في شكل تفاضلي: مشتق الوقت من زخم النظام الميكانيكي يساوي المتجه الرئيسي للقوى الخارجية المؤثرة على النظام .

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات الديكارتية:

; ; .

بأخذ تكاملات كلا الجزأين من المعادلات الأخيرة في الوقت المناسب ، نحصل على نظرية حول التغيير في زخم النظام الميكانيكي في شكل متكامل: التغيير في زخم النظام الميكانيكي يساوي زخم المتجه الرئيسي لـ القوى الخارجية التي تعمل على النظام .

.

أو في الإسقاطات على محاور الإحداثيات الديكارتية:

; ; .

النتائج من النظرية (قوانين حفظ الزخم)

يتم الحصول على قانون حفظ الزخم كحالات خاصة للنظرية حول التغيير في الزخم لنظام اعتمادًا على ميزات نظام القوى الخارجية. يمكن أن تكون القوى الداخلية أي شيء ، لأنها لا تؤثر على التغيرات في الزخم.

حالتان ممكنتان:

1. إذا كان مجموع المتجه لجميع القوى الخارجية المطبقة على النظام يساوي صفرًا ، فإن زخم النظام يكون ثابتًا في الحجم والاتجاه

2. إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية على أي محور إحداثي و / أو و / أو يساوي صفرًا ، فإن إسقاط مقدار الحركة على نفس المحاور هو قيمة ثابتة ، أي و / أو و / أو على التوالي.

يمكن عمل سجلات مماثلة لنقطة مادية ونقطة مادية.

المهمة. من بندقية كتلتها م، قذيفة كتلة تطير في اتجاه أفقي مبسرعة الخامس. ابحث عن السرعة الخامسالبنادق بعد إطلاق النار.

المحلول. جميع القوى الخارجية التي تعمل على النظام الميكانيكي للقذيفة هي عمودية. ومن ثم ، بناءً على النتيجة الطبيعية للنظرية حول التغيير في زخم النظام ، لدينا:.

مقدار حركة النظام الميكانيكي قبل اللقطة:

مقدار حركة النظام الميكانيكي بعد الطلقة:

.

معادلة الأجزاء الصحيحة من التعبيرات ، نحصل على ذلك

.

تشير علامة "-" في الصيغة الناتجة إلى أنه بعد الطلقة ، فإن البندقية سوف تتراجع في الاتجاه المعاكس للمحور ثور.

مثال 2. تتدفق نفاثة من السائل كثافته بسرعة V من أنبوب بمنطقة مقطع عرضي F ويصطدم بجدار عمودي بزاوية. حدد ضغط السائل على الحائط.

المحلول. نطبق نظرية التغيير في الزخم بشكل متكامل على حجم السائل مع الكتلة ماصطدامه بجدار على مدى فترة من الزمن ر.

معادلة ميششيرسكي

(المعادلة الأساسية لديناميات جسم ذي كتلة متغيرة)

في التكنولوجيا الحديثة ، تنشأ الحالات عندما لا تظل كتلة نقطة ونظام ثابتًا في عملية الحركة ، بل يتغيران. لذلك ، على سبيل المثال ، أثناء تحليق الصواريخ الفضائية ، بسبب طرد نواتج الاحتراق والأجزاء الفردية غير الضرورية من الصواريخ ، يصل التغير في الكتلة إلى 90-95٪ من القيمة الأولية الإجمالية. ولكن ليس فقط تكنولوجيا الفضاء يمكن أن تكون مثالاً على ديناميكيات حركة كتلة متغيرة. في صناعة النسيج ، هناك تغيير كبير في كتلة مختلف المغازل ، والمكبات ، واللفائف في سرعات الماكينات والآلات الحديثة.

ضع في اعتبارك السمات الرئيسية المرتبطة بتغيير الكتلة ، باستخدام مثال الحركة الانتقالية لجسم ذي كتلة متغيرة. لا يمكن تطبيق القانون الأساسي للديناميكيات بشكل مباشر على جسم ذي كتلة متغيرة. لذلك ، نحصل على معادلات تفاضلية للحركة لنقطة ذات كتلة متغيرة ، ونطبق النظرية على التغيير في زخم النظام.

دع نقطة الكتلة م + دي ميتحرك بسرعة. ثم هناك انفصال عن نقطة بعض الجسيمات ذات الكتلة د متتحرك بسرعة.

مقدار حركة الجسم قبل انفصال الجسيم:

مقدار حركة نظام يتكون من جسم وجسيم منفصل بعد انفصاله:

ثم التغيير في الزخم هو:

بناءً على نظرية التغيير في زخم النظام:

دعونا نشير إلى القيمة - السرعة النسبية للجسيم:

دل

القيمة صتسمى القوة التفاعلية. القوة النفاثة هي قوة دفع المحرك ، بسبب إطلاق الغاز من الفوهة.

أخيرا نحصل

-

تعبر هذه الصيغة عن المعادلة الأساسية لديناميات جسم ذي كتلة متغيرة (صيغة ميشيرسكي). يستنتج من الصيغة الأخيرة أن المعادلات التفاضلية للحركة لنقطة ذات كتلة متغيرة لها نفس شكل نقطة ذات كتلة ثابتة ، باستثناء القوة التفاعلية الإضافية المطبقة على النقطة بسبب التغيير في الكتلة.

تشير المعادلة الأساسية لديناميكيات الجسم ذي الكتلة المتغيرة إلى أن تسارع هذا الجسم لا يتشكل فقط بسبب القوى الخارجية ، ولكن أيضًا بسبب القوة التفاعلية.

القوة التفاعلية هي قوة مماثلة لتلك التي يشعر بها الشخص الذي يطلق النار - عند إطلاق النار من مسدس ، تشعر بها اليد ؛ عند إطلاق النار من بندقية ينظر إليها من خلال الكتف.

الصيغة الأولى لتسيولكوفسكي (لصاروخ أحادي المرحلة)

دع نقطة ذات كتلة متغيرة أو صاروخ يتحرك في خط مستقيم تحت تأثير قوة رد فعل واحدة فقط. منذ للعديد من المحركات النفاثة الحديثة ، أين هي أقصى قوة رد فعل يسمح بها تصميم المحرك (دفع المحرك) ؛ - قوة الجاذبية المؤثرة على المحرك والموجودة على سطح الأرض. أولئك. يسمح ما سبق بإهمال المكون في معادلة ميششيرسكي ولإجراء مزيد من التحليل لقبول هذه المعادلة بالشكل: ،

دل:

احتياطي الوقود (للمحركات النفاثة التي تعمل بالوقود السائل - الكتلة الجافة للصاروخ (كتلته المتبقية بعد احتراق الوقود بالكامل) ؛

كتلة الجسيمات المفصولة عن الصاروخ ؛ تعتبر متغير متغير من إلى.

دعونا نكتب معادلة الحركة المستقيمة لنقطة ذات كتلة متغيرة بالشكل التالي:

.

منذ صيغة تحديد الكتلة المتغيرة للصاروخ

لذلك ، معادلات حركة نقطة بأخذ تكاملات كلا الجزأين ، نحصل على

أين - السرعة المميزة- هذه هي السرعة التي يكتسبها الصاروخ تحت تأثير الدفع بعد انفجار جميع الجسيمات من الصاروخ (مع المحركات النفاثة التي تعمل بالوقود السائل - بعد حرق الوقود بالكامل).

المأخوذة من علامة التكامل (والتي يمكن إجراؤها على أساس نظرية القيمة المتوسطة المعروفة من الرياضيات العليا) هي متوسط ​​سرعة الجسيمات المقذوفة من الصاروخ.

تتكون من ننقاط مادية. دعونا نفرد بعض النقاط من هذا النظام إم جيمع الكتلة إم جي. من المعروف أن القوى الخارجية والداخلية تعمل على هذه النقطة.

تنطبق على نقطة إم جينتيجة كل القوى الداخلية و ي طونتيجة كل القوى الخارجية و ي ه(الشكل 2.2). لنقطة مادية مختارة إم جي(بالنسبة للنقطة الحرة) نكتب النظرية حول التغيير في الزخم في الشكل التفاضلي (2.3):

نكتب معادلات متشابهة لجميع نقاط النظام الميكانيكي (ي = 1،2،3 ، ... ، ن).

الشكل 2.2

دعونا نجمع كل شيء معًا نالمعادلات:

∑d (m j × V j) / dt = ∑F j e + F j i, (2.9)

د∑ (م ي × ف ج) / دت = ∑ ف ج ه + ∑ و ج ط. (2.10)

هنا ∑mj × Vj = Qهو زخم النظام الميكانيكي ؛
∑ F j e = R eهو الناقل الرئيسي لجميع القوى الخارجية التي تعمل على النظام الميكانيكي ؛
∑ F j i = R i = 0- المتجه الرئيسي للقوى الداخلية للنظام (وفقًا لخاصية القوى الداخلية ، فهو يساوي صفرًا).

أخيرًا ، بالنسبة للنظام الميكانيكي ، نحصل عليه

دق / دت = إعادة. (2.11)

التعبير (2.11) هو نظرية حول التغيير في زخم النظام الميكانيكي في شكل تفاضلي (في التعبير المتجه): المشتق الزمني لمتجه الزخم لنظام ميكانيكي يساوي المتجه الرئيسي لجميع القوى الخارجية التي تعمل على النظام.

بإسقاط مساواة المتجه (2.11) على محاور الإحداثيات الديكارتية ، نحصل على تعبيرات للنظرية حول التغيير في زخم النظام الميكانيكي في تعبير إحداثي (عددي):

dQ x / dt = R x e;

dQ y / dt = R y e;

dQ z / dt = R z e, (2.12)

أولئك. المشتق الزمني لإسقاط زخم النظام الميكانيكي على أي محور يساوي الإسقاط على هذا المحور للمتجه الرئيسي لجميع القوى الخارجية التي تعمل على هذا النظام الميكانيكي.

ضرب طرفي المساواة (2.12) د، نحصل على النظرية في شكل تفاضلي آخر:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

أولئك. يساوي تفاضل زخم النظام الميكانيكي الدافع الأولي للناقل الرئيسي (مجموع النبضات الأولية) لجميع القوى الخارجية التي تعمل على النظام.

تكامل المساواة (2.13) ضمن النطاق الزمني من 0 إلى ر، نحصل على نظرية حول التغيير في زخم النظام الميكانيكي في شكل محدود (متكامل) (في التعبير المتجه):

س - س 0 \ u003d س ه,

أولئك. التغيير في مقدار حركة النظام الميكانيكي على مدى فترة زمنية محدودة يساوي الدافع الكلي للمتجه الرئيسي (مجموع النبضات الإجمالية) لجميع القوى الخارجية التي تعمل على النظام خلال نفس الفترة الزمنية.

بإسقاط مساواة المتجه (2.14) على محاور الإحداثيات الديكارتية ، نحصل على تعبيرات للنظرية في الإسقاطات (في تعبير قياسي):

أولئك. التغيير في إسقاط زخم النظام الميكانيكي على أي محور خلال فترة زمنية محددة يساوي الإسقاط على نفس المحور للدفع الكلي للناقل الرئيسي (مجموع النبضات الإجمالية) لجميع القوى الخارجية يعمل على النظام الميكانيكي لنفس الفترة الزمنية.

من النظرية المدروسة (2.11) - (2.15) اتبع النتائج الطبيعية التالية:

1. اذا كان R e = ∑ F j e = 0، ومن بعد س = ثابت- لدينا قانون حفظ متجه الزخم للنظام الميكانيكي: إذا كان المتجه الرئيسي يكررمن بين جميع القوى الخارجية التي تعمل على نظام ميكانيكي تساوي الصفر ، ثم يظل متجه الزخم لهذا النظام ثابتًا في الحجم والاتجاه ويساوي قيمته الأولية س 0، بمعنى آخر. س = س 0.
2. اذا كان ص س ه = ∑X ج ه = 0 (ص ه 0)، ومن بعد س س = ثابت- لدينا قانون حفظ الإسقاط على محور زخم النظام الميكانيكي: إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي لجميع القوى المؤثرة على النظام الميكانيكي على أي محور صفرًا ، فإن الإسقاط على نفس محور سيكون متجه الزخم لهذا النظام قيمة ثابتة ويساوي الإسقاط على هذا المحور الزخم الأولي المتجه ، أي Qx = Q0x.

الشكل التفاضلي لنظرية التغيير في زخم نظام مادي له تطبيقات مهمة ومثيرة للاهتمام في ميكانيكا الاستمرارية. من (2.11) يمكن الحصول على نظرية أويلر.

مقدار حركة النقطة الماديةتسمى كمية متجه ميساوي حاصل ضرب كتلة النقطة ومتجه سرعتها. المتجه بالسياراتتعلق على نقطة متحركة.

كمية حركة النظامتسمى كمية متجه س، يساوي المجموع الهندسي (المتجه الرئيسي) لزخم جميع نقاط النظام:

المتجه سهو ناقل مجاني. في نظام الوحدات الدولي للوحدات ، يقاس معامل الزخم بالكيلو جرام م / ث أو نيوتن ث.

كقاعدة عامة ، تختلف سرعات جميع نقاط النظام (انظر ، على سبيل المثال ، توزيع سرعات نقاط العجلة الدوارة الموضحة في الشكل 6.21) ، وبالتالي التجميع المباشر للمتجهات على الجانب الأيمن من المساواة (17.2) صعب. دعونا نجد صيغة تساعد من خلالها الكمية سأسهل بكثير في الحساب. ويترتب على المساواة (16.4) أن

بأخذ مشتق الوقت لكلا الجزأين ، نحصل على ومن ثم ، مع مراعاة المساواة (17.2) ، نجد ذلك

أي مقدار حركة النظام يساوي ناتج كتلة النظام بأكمله وسرعة مركز كتلته.

لاحظ أن المتجه سمثل المتجه الرئيسي للقوى في الإحصائيات ، هناك بعض الخصائص المتجهية المعممة لحركة النظام الميكانيكي بأكمله. في الحالة العامة لحركة النظام ، يكون الزخم هو سيمكن اعتباره خاصية للجزء متعدية من حركة النظام مع مركز كتلته. إذا كان مركز الكتلة ثابتًا أثناء حركة النظام (الجسم) ، فسيكون زخم النظام مساويًا للصفر. هذا ، على سبيل المثال ، هو زخم الجسم الذي يدور حول محور ثابت يمر عبر مركز كتلته.

مثال.حدد مقدار حركة النظام الميكانيكي (الشكل 17.1 ، أ)،تتكون من البضائع لكنوزن ر أ - 2 كجم كتلة متجانسة فيوزنها 1 كيلو وعجلات دوزن مد -4كلغ. شحن لكنتتحرك بسرعة V أ - 2 م / ث ، عجلة دلفات بدون انزلاق ، الخيط غير قابل للتمدد وعديم الوزن. المحلول. مقدار حركة نظام الجسم

الجسم لكنالمضي قدما و س أ \ u003d م أ الخامس أ(عدديا س أ= 4 كجم م / ث ، اتجاه متجه س أيتزامن مع الاتجاه VA).حاجز فييقوم بحركة دورانية حول محور ثابت يمر عبر مركز كتلته ؛ بالتالي، QB- 0. عجلة ديجعل الطائرة موازية

حركة المرور؛ يقع مركز سرعاته اللحظية عند النقطة إلى، وبالتالي فإن سرعة مركز كتلته (نقاط ه)مساوي ل V E = V A / 2 = 1 م / ث. عدد حركة العجلة Q D - m D V E - 4 كجم م / ث ؛ المتجه س دموجه أفقيا إلى اليسار.

تصوير النواقل س أو س دفي التين. 17.1 ، ب، ابحث عن الزخم سأنظمة وفقًا للصيغة (أ). مع مراعاة الاتجاهات والقيم العددية للكميات نحصل عليها س ~ ^ س أ + س ه= 4l / 2 ~ kg m / s ، اتجاه الاتجاه سهو مبين في الشكل. 17.1 ، ب.

بشرط a-dV / dt ،يمكن تمثيل المعادلة (13.4) من القانون الأساسي للديناميات على أنها

تعبر المعادلة (17.4) عن نظرية التغيير في زخم نقطة ما في الشكل التفاضلي: في كل لحظة زمنية ، يكون المشتق الزمني لزخم نقطة ما مساويًا للقوة المؤثرة على النقطة. (من حيث الجوهر ، هذه صياغة أخرى للقانون الأساسي للديناميكيات ، قريبة من تلك التي قدمها نيوتن.) إذا عملت عدة قوى على نقطة ما ، فعندئذٍ على الجانب الأيمن من المساواة (17.4) ستكون هناك نتيجة للقوى تطبق على النقطة المادية.

إذا تم ضرب طرفي المعادلة في dtثم نحصل

قيمة المتجه على الجانب الأيمن من هذه المساواة تميز الإجراء الذي يمارس على الجسم بالقوة في فترة زمنية أولية ديتم الإشارة إلى هذه القيمة دي اسو اتصل الدافع الأولي للقوة ،بمعنى آخر.

نبض سقوة Fخلال فترة زمنية محدودة / ، - / 0 يتم تعريفه على أنه حد المجموع المتكامل للنبضات الأولية المقابلة ، أي

في حالة معينة ، إذا كانت القوة Fثابت في المعامل والاتجاه ، إذن S = F (ر| - / 0) و S- F (t l -/ 0). في الحالة العامة ، يمكن حساب معامل دافع القوة من إسقاطاته على محاور الإحداثيات:

الآن ، دمج جزأي المساواة (17.5) مع ر= const ، نحصل على

المعادلة (17.9) تعبر عن نظرية تغيير زخم نقطة في شكل محدود (متكامل): التغيير في زخم نقطة ما خلال فترة زمنية معينة يساوي زخم القوة المؤثرة على النقطة (أو زخم الناتج لجميع القوى المطبقة عليها) لنفس الفترة الزمنية.

عند حل المشكلات ، تُستخدم معادلات هذه النظرية في الإسقاطات على محاور الإحداثيات

فكر الآن في نظام ميكانيكي يتكون من صنقاط مادية. بعد ذلك ، لكل نقطة يمكننا تطبيق نظرية تغيير الزخم بالشكل (17.4) ، مع مراعاة القوى الخارجية والداخلية المطبقة على النقاط:

بتلخيص هذه المساواة مع الأخذ في الاعتبار أن مجموع المشتقات يساوي مشتق المجموع ، نحصل على

منذ ذلك الحين بممتلكات القوى الداخلية إتش إف ك= 0 وبحسب تعريف الزخم ^ fn k V / c = س، ثم وجدنا في النهاية

تعبر المعادلة (17.11) عن نظرية التغيير في زخم النظام في شكل تفاضلي: في كل لحظة من الزمن ، المشتق الزمني لقوة الدفع للنظام يساوي المجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام.

إسقاط المساواة (17.11) على محاور الإحداثيات ، نحصل عليها

ضرب طرفي الرقم (١٧.١١) في دوالتكامل ، نحصل عليه

حيث 0 ، س 0 -مقدار حركة النظام في بعض الأحيان ، على التوالي ، و / 0.

تعبر المعادلة (17.13) عن نظرية التغيير في زخم النظام في شكل متكامل: التغيير في زخم النظام في أي وقت يساوي مجموع نبضات جميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام خلال نفس الوقت.

نحصل على الإسقاطات على محاور الإحداثيات

من نظرية التغيير في زخم النظام ، يمكن الحصول على النتائج المهمة التالية ، والتي تعبر عن قانون الحفاظ على زخم النظام.

• 1. إذا كان المجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا (LF ك= 0) ، ثم من المعادلة (17.11) يتبع ذلك في هذه الحالة س= const ، أي أن متجه الزخم للنظام سيكون ثابتًا في الحجم والاتجاه.
• 2. إذا كانت القوى الخارجية المؤثرة على النظام بحيث يكون مجموع إسقاطاتها على أي محور صفرًا (على سبيل المثال ، أنا ه ككس = 0) ، ثم من المعادلات (17.12) يتبع ذلك في هذه الحالة س س = const ، أي أن إسقاط زخم النظام على هذا المحور يظل دون تغيير.

لاحظ أن القوى الداخلية للنظام لا تشارك في معادلة نظرية التغيير في زخم النظام. هذه القوى ، على الرغم من أنها تؤثر على زخم النقاط الفردية للنظام ، لا يمكنها تغيير زخم النظام ككل. بالنظر إلى هذا الظرف ، عند حل المشكلات ، من المناسب اختيار النظام قيد الدراسة بحيث تكون القوى المجهولة (كلها أو جزء منها) داخلية.

يعد قانون حفظ الزخم مناسبًا للتطبيق في الحالات التي يكون فيها التغيير في سرعة جزء من النظام ضروريًا لتحديد سرعة جزء آخر منه.

المشكلة 17.1. إلىوزن العربة ر س- 12 كجم تتحرك على مستوى أفقي ناعم عند نقطة ما لكنيتم إرفاق قضيب عديم الوزن بمساعدة مفصلة أسطوانية ميلاديالطول / = 0.6 متر مع الحمولة دوزن ر 2 - 6 كجم في النهاية (الشكل 17.2). في الوقت / 0 = 0 ، عندما تكون سرعة العربة و () - 0.5 م / ث ، قضيب ميلادييبدأ بالدوران حول المحور لكن،عموديًا على مستوى الرسم ، وفقًا للقانون φ \ u003d (tg / 6) (3 ^ 2-1) rad (/ - بالثواني). حدد: ش = و.

§ 17.3. نظرية حول حركة مركز الكتلة

يمكن التعبير عن نظرية التغيير في زخم النظام الميكانيكي في شكل آخر ، يسمى نظرية حركة مركز الكتلة.

الاستبدال بالمعادلة (17.11) المساواة س = MV C ،نحن نحصل

إذا كانت الكتلة مالنظام ثابت ، نحصل عليه

أين ومع -تسارع مركز كتلة النظام.

تعبر المعادلة (17.15) عن نظرية حركة مركز كتلة النظام: ناتج كتلة النظام وتسارع مركز كتلته يساوي المجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام.

إسقاط المساواة (17.15) على محاور الإحداثيات ، نحصل عليها

أين س ج ، ص ج ، ض ج -إحداثيات مركز كتلة النظام.

هذه المعادلات هي معادلات تفاضلية لحركة مركز الكتلة في الإسقاطات على محاور نظام الإحداثيات الديكارتية.

دعونا نناقش النتائج. دعونا نتذكر مبدئيًا أن مركز كتلة النظام هو نقطة هندسية ، تقع أحيانًا خارج الحدود الهندسية للجسم. يتم تطبيق القوى المؤثرة على النظام الميكانيكي (الخارجي والداخلي) على جميع النقاط المادية للنظام. تجعل المعادلات (17.15) من الممكن تحديد حركة مركز كتلة النظام دون تحديد حركة نقاطه الفردية. بمقارنة المعادلات (17.15) للنظرية حول حركة مركز الكتلة والمعادلة (13.5) من قانون نيوتن الثاني لنقطة مادية ، نصل إلى الاستنتاج: يتحرك مركز كتلة النظام الميكانيكي كنقطة مادية ، تكون كتلتها مساوية لكتلة النظام بأكمله ، كما لو تم تطبيق جميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام على هذه النقطة.وبالتالي ، فإن الحلول التي نحصل عليها من خلال اعتبار جسم معين كنقطة مادية تحدد قانون حركة مركز كتلة هذا الجسم.

على وجه الخصوص ، إذا تحرك الجسم إلى الأمام ، فإن الخصائص الحركية لجميع نقاط الجسم ومركز كتلته هي نفسها. لهذا يمكن دائمًا اعتبار الجسم المتحرك تدريجيًا كنقطة مادية لها كتلة مساوية لكتلة الجسم بأكمله.

كما يتضح من (17.15) ، فإن القوى الداخلية التي تعمل على نقاط النظام لا تؤثر على حركة مركز كتلة النظام. يمكن للقوى الداخلية أن تؤثر على حركة مركز الكتلة في تلك الحالات عندما تتغير القوى الخارجية تحت تأثيرها. سيتم إعطاء أمثلة على ذلك أدناه.

من النظرية الخاصة بحركة مركز الكتلة ، يمكن الحصول على النتائج المهمة التالية ، والتي تعبر عن قانون الحفاظ على حركة مركز كتلة النظام.

1. إذا كان المجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام هو صفر (LF ك= 0) ، ثم يتبع من المعادلة (17.15) ،

ماذا عن أ ج = 0 أو الخامس ج = const ، أي مركز كتلة هذا النظام

يتحرك بسرعة ثابتة في الحجم والاتجاه (خلاف ذلك ، بشكل موحد ومستقيم). في حالة خاصة ، إذا كان مركز الكتلة في البداية في حالة راحة ( Vc= 0) ، ثم ستبقى في حالة سكون ؛ أين

مسار يتوقع أن موقعه في الفضاء لن يتغير ، أي RC =مقدار ثابت.

2. إذا كانت القوى الخارجية المؤثرة على النظام بحيث يكون مجموع إسقاطاتها على بعض المحاور (على سبيل المثال ، المحور X)صفر (؟ F e kx= 0) ، ثم من المعادلة (17.16) يتبع ذلك في هذه الحالة س س= 0 أو V Cx \ u003d x c \ u003d const ، أي أن إسقاط سرعة مركز كتلة النظام على هذا المحور هو قيمة ثابتة. في حالة خاصة ، إذا كان في اللحظة الأولى نكد= 0 ، ثم في أي وقت لاحق سيتم الحفاظ على هذه القيمة ، وبالتالي يتبع ذلك الإحداثي س سلن يتغير مركز كتلة النظام ، أي x ق -مقدار ثابت.

تأمل أمثلة توضح قانون حركة مركز الكتلة.

أمثلة. 1. كما لوحظ ، فإن حركة مركز الكتلة تعتمد فقط على القوى الخارجية ؛ لا يمكن للقوى الداخلية تغيير موقع مركز الكتلة. لكن القوى الداخلية للنظام يمكن أن تسبب تأثيرات خارجية. لذلك ، فإن حركة الإنسان على سطح أفقي تحدث تحت تأثير قوى الاحتكاك بين نعل حذائه وسطح الطريق. بقوة عضلاته (القوى الداخلية) ، يدفع الإنسان عن سطح الطريق بقدميه ، مما يتسبب في قوة احتكاك (خارجية للإنسان) عند نقاط التلامس مع الطريق ، موجهة في اتجاه حركته.

• 2. تتحرك السيارة بنفس الطريقة. تعمل قوى الضغط الداخلية في محركها على جعل العجلات تدور ، ولكن نظرًا لأن الأخير لها قوة جر ، فإن قوى الاحتكاك التي تنشأ "تدفع" السيارة إلى الأمام (نتيجة لذلك ، لا تدور العجلات ، بل تتحرك بطريقة موازية للطائرة) . إذا كان الطريق سلسًا تمامًا ، فسيكون مركز كتلة السيارة ثابتًا (عند سرعة ابتدائية صفرية) وسوف تنزلق العجلات ، في حالة عدم وجود احتكاك ، أي تدور.
• 3. تحدث الحركة بمساعدة المروحة ، المروحة ، المجاذيف بسبب رفض كتلة معينة من الهواء (أو الماء). إذا اعتبرنا الكتلة المهملة والجسم المتحرك نظامًا واحدًا ، فإن قوى التفاعل بينهما ، باعتبارها داخلية ، لا يمكن أن تغير الزخم الكلي لهذا النظام. ومع ذلك ، سيتحرك كل جزء من أجزاء هذا النظام ، على سبيل المثال ، القارب للأمام ، والماء الذي تتخلص منه المجاذيف.
• 4. في الفضاء الخالي من الهواء ، عندما يتحرك الصاروخ ، يجب أن تؤخذ "الكتلة المهملة" معك: يقوم المحرك النفاث بإبلاغ الصاروخ بالحركة عن طريق إعادة نواتج احتراق الوقود الذي يمتلئ به الصاروخ.
• 5. عند النزول على مظلة ، يمكنك التحكم في حركة مركز كتلة نظام رجل المظلة. إذا قام الشخص بجهد عضلي بسحب خطوط المظلة بحيث يتغير شكل المظلة أو زاوية هجوم تدفق الهواء ، فإن هذا سيؤدي إلى تغيير في التأثير الخارجي لتدفق الهواء ، وبالتالي يؤثر على حركة النظام بأكمله.

المشكلة 17.2. فيحدد المهمة 17.1 (انظر الشكل 17.2): 1) قانون حركة العربة X (= /) (/) ، إذا عرف ذلك في اللحظة الأولى من الزمن ر 0 =حول النظام كان في حالة سكون والإحداثيات × 10 = 0 ؛ 2) قانون التغيير مع الزمن للقيمة الإجمالية للتفاعل الطبيعي ن (ن = N "+ N")المستوى الأفقي ، أي ن = و 2 (ر).

المحلول. هنا ، كما في المشكلة 17.1 ، نعتبر نظامًا يتكون من عربة وحمولة د،في وضع تعسفي تحت تأثير القوى الخارجية المطبقة عليه (انظر الشكل 17.2). تنسيق المحاور أوهوارسم بحيث يكون المحور x أفقيًا والمحور x فيمرت من خلال النقطة أ 0 ،أي موقع النقطة لكنفي الوقت t-t 0 - 0.

1. تحديد قانون حركة العربة. لتحديد x ، = / ، (0 ، نستخدم النظرية الخاصة بحركة مركز كتلة النظام. دعونا نؤلف معادلة تفاضلية لحركته في الإسقاط على المحور x:

بما أن جميع القوى الخارجية عمودية ، إذن T، F e kx = 0 ، وبالتالي

بدمج هذه المعادلة ، نجد ذلك Mx ج \ u003d ب ،أي أن إسقاط سرعة مركز كتلة النظام على المحور x هو قيمة ثابتة. منذ اللحظة الأولى من الزمن

تكامل المعادلة ام اكس اس= 0 ، نحصل عليه

أي تنسيق س سمركز كتلة النظام ثابت.

لنكتب التعبير ام اكس اسللحصول على موقف تعسفي للنظام (انظر الشكل 17.2) ، مع مراعاة ذلك س أ - س { , × العمق - × 2و × 2 - × ( - أناخطيئة و. وفقًا للصيغة (16.5) ، التي تحدد إحداثيات مركز كتلة النظام ، في هذه الحالة مكس - تي (س ( + ر 2 × 2 ".

لنقطة زمنية اعتباطية

للنقطة الزمنية / () = 0 ، X (= 0 و

وفقا للمساواة (ب) ، تنسيق س سيظل مركز كتلة النظام بأكمله دون تغيير ، أي س ج (ر).لذلك ، من خلال معادلة التعبيرات (ج) و (د) ، نحصل على اعتماد إحداثي x في الوقت المناسب.

إجابه: X - 0.2 م ، أين ر-في ثوان.

2. تعريف رد الفعل ن.لتحديد ن = و 2 (ر) نقوم بتكوين المعادلة التفاضلية لحركة مركز كتلة النظام في الإسقاط على المحور الرأسي في(انظر الشكل 17.2):

ومن ثم ، دلالة N = N + N "،نحن نحصل

وفقًا للصيغة التي تحدد الإحداثي نحنمركز كتلة النظام ، مو اس = ر (ذ س + ر 2 ص 2 ،حيث y = في C1 ،في 2= ياردة = فيأ ~ 1 كوس Ф »نحصل عليه

التفريق بين هذه المساواة مرتين بالنسبة للوقت (مع مراعاة ذلك في C1و في أالكميات ثابتة ، وبالتالي مشتقاتها تساوي صفرًا) ، نجد

باستبدال هذا التعبير في المعادلة (هـ) ، نحدد الاعتماد المطلوب نمن ر.

إجابه: ن- 176,4 + 1,13,

حيث φ \ u003d (i / 6) (3 / -1) ، ر- في ثوان ن- نيوتن.

المشكلة 17.3.كتلة المحرك الكهربائي ر س تعلق على السطح الأفقي للمؤسسة بمسامير (الشكل 17.3). على عمود المحرك بزاوية قائمة على محور الدوران ، يتم تثبيت قضيب عديم الوزن بطول / في أحد طرفيه ، ويتم تثبيت حمولة نقطية على الطرف الآخر من القضيب لكن وزن ر 2. يدور العمود بشكل موحد بسرعة زاوية o. أوجد الضغط الأفقي للمحرك على البراغي. المحلول. ضع في اعتبارك نظامًا ميكانيكيًا يتكون من محرك ونقطة وزن لكن، في موقف تعسفي. دعونا نصور القوى الخارجية المؤثرة على النظام: الجاذبية ص ، ص 2 ، رد فعل الأساس في شكل قوة عمودية ن والقوة الأفقية تم العثور على R. ارسم المحور السيني أفقيًا.

لتحديد الضغط الأفقي للمحرك على البراغي (وسيكون مساويًا عدديًا للتفاعل ص وموجهة عكس المتجه ص ) ، نؤلف معادلة النظرية حول التغيير في زخم النظام في الإسقاط على المحور الأفقي x:

بالنسبة للنظام قيد الدراسة في وضعه التعسفي ، نظرًا لأن مقدار حركة مبيت المحرك يساوي صفرًا ، نحصل عليه س س = - ر 2 يو أ كول. مع الأخذ بعين الاعتبار أن الخامس أ = أ ق / ، φ = ω / (دوران موحد للمحرك) ، نحصل عليها س س - - م 2 كو / كوس /. التفريق س س في الوقت المناسب والاستعاضة عن المساواة (أ) ، نجد ص- م 2 كو 2 / سين كو /.

لاحظ أن هذه القوى بالتحديد هي التي تفرض (انظر الفقرة 14.3) ، عندما تعمل ، تحدث اهتزازات قسرية للبنى.

تمارين للعمل المستقل

• 1. ما يسمى زخم النقطة والنظام الميكانيكي؟
• 2. كيف يتغير زخم نقطة تتحرك بشكل موحد حول دائرة؟
• 3. ما الذي يميز اندفاع القوة؟
• 4. هل تؤثر القوى الداخلية للنظام على زخمه؟ على حركة مركز كتلتها؟
• 5. كيف تؤثر أزواج القوى المطبقة عليها على حركة مركز كتلة النظام؟
• 6. في أي ظروف يكون مركز كتلة النظام في حالة سكون؟ تتحرك بشكل موحد وخط مستقيم؟

7. في قارب ثابت ، في حالة عدم وجود تدفق للمياه ، يجلس شخص بالغ في مؤخرة القارب ، ويجلس طفل على مقدمة القارب. في أي اتجاه سيتحرك القارب إذا غيروا الأماكن؟

في هذه الحالة ، ستكون وحدة الإزاحة للقارب كبيرة: 1) إذا ذهب الطفل إلى الشخص البالغ في المؤخرة ؛ 2) إذا ذهب شخص بالغ إلى الطفل على قوس المركب؟ ماذا سيكون تهجير مركز كتلة نظام "القارب والشخصين" خلال هذه الحركات؟

دع النقطة المادية تتحرك تحت تأثير القوة F. مطلوب لتحديد حركة هذه النقطة فيما يتعلق بالنظام المتحرك Oxyz(انظر الحركة المعقدة لنقطة مادية) ، والتي تتحرك بطريقة معروفة فيما يتعلق بنظام ثابت ا 1 x 1 ذ 1 ض 1 .

المعادلة الأساسية للديناميات في نظام ثابت

نكتب العجلة المطلقة لنقطة ما وفقًا لنظرية كوريوليس

أين أ عضلات المعدة- تسارع مطلق

أ rel- تسارع نسبي

أ خط- تسريع محمول

أ جوهرهو تسارع كوريوليس.

دعونا نعيد كتابة (25) مع مراعاة (26)

دعونا نقدم التدوين
- القوة المحمولة من القصور الذاتي ،
هي قوة كوريوليس من القصور الذاتي. ثم تأخذ المعادلة (27) الشكل

تمت كتابة المعادلة الأساسية للديناميكيات لدراسة الحركة النسبية (28) بنفس طريقة كتابة الحركة المطلقة ، ويجب فقط إضافة قوى القصور الانتقالي وقوى كوريوليس للقوى المؤثرة على النقطة.

النظريات العامة لديناميات النقطة المادية

عند حل العديد من المشكلات ، يمكنك استخدام الفراغات المعدة مسبقًا التي تم الحصول عليها على أساس قانون نيوتن الثاني. يتم الجمع بين طرق حل المشكلات هذه في هذا القسم.

نظرية التغيير في زخم نقطة مادية

دعونا نقدم الخصائص الديناميكية التالية:

1. كمية حركة النقطة الماديةهي كمية متجهة تساوي حاصل ضرب كتلة نقطة ومتجه سرعتها

. (29)

2. اندفاع القوة

دفعة قوة عنصري- كمية متجهية تساوي حاصل ضرب متجه القوة بفاصل زمني أولي

(30).

ثم الدافع الكامل

. (31)

في F= const نحصل عليها س=قدم.

يمكن حساب النبضة الكلية على مدى فترة زمنية محدودة فقط في حالتين ، عندما تكون القوة المؤثرة على النقطة ثابتة أو تعتمد على الوقت. في حالات أخرى ، من الضروري التعبير عن القوة كدالة زمنية.

إن المساواة بين أبعاد الزخم (29) والزخم (30) تجعل من الممكن إقامة علاقة كمية بينهما.

ضع في اعتبارك حركة نقطة مادية م تحت تأثير قوة اعتباطية Fعلى طول مسار تعسفي.

ا UD:
. (32)

نقوم بفصل المتغيرات في (32) ودمجها

. (33)

نتيجة لذلك ، مع مراعاة (31) ، نحصل عليها

. (34)

المعادلة (34) تعبر عن النظرية التالية.

نظرية: التغيير في زخم نقطة مادية خلال فترة زمنية معينة يساوي دفعة القوة المؤثرة على النقطة خلال نفس الفترة الزمنية.

عند حل المشكلات ، يجب إسقاط المعادلة (34) على محاور الإحداثيات

من الملائم استخدام هذه النظرية عندما تكون هناك كتلة نقطية وسرعتها الأولية والنهائية وقوى ووقت الحركة من بين الكميات المعطاة وغير المعروفة.

نظرية التغيير في الزخم الزاوي لنقطة مادية

م
لحظة الزخم لنقطة ماديةبالنسبة إلى المركز يساوي حاصل ضرب معامل الزخم للنقطة والذراع ، أي أقصر مسافة (عمودية) من المركز إلى خط تتزامن مع متجه السرعة

, (36)

. (37)

يتم تحديد العلاقة بين لحظة القوة (السبب) ولحظة الزخم (التأثير) من خلال النظرية التالية.

دع النقطة M للكتلة المعطاة متتحرك تحت تأثير القوة F.

,
,

, (38)

. (39)

دعونا نحسب مشتق (39)

. (40)

بدمج (40) و (38) نحصل أخيرًا

. (41)

المعادلة (41) تعبر عن النظرية التالية.

نظرية: المشتق الزمني لمتجه الزخم الزاوي لنقطة مادية بالنسبة إلى مركز ما يساوي لحظة القوة المؤثرة على النقطة بالنسبة إلى نفس المركز.

عند حل المشكلات ، يجب إسقاط المعادلة (41) على محاور الإحداثيات

في المعادلات (42) ، يتم حساب لحظات الزخم والقوة بالنسبة إلى محاور الإحداثيات.

من (41) يتبع قانون الحفاظ على الزخم الزاوي (قانون كبلر).

إذا كانت لحظة القوة المؤثرة على نقطة مادية بالنسبة إلى أي مركز تساوي الصفر ، فإن الزخم الزاوي للنقطة بالنسبة لهذا المركز يحتفظ بحجمها واتجاهها.

اذا كان
، ومن بعد
.

يتم استخدام النظرية وقانون الحفظ في مشاكل الحركة المنحنية ، خاصةً تحت تأثير القوى المركزية.

بالنسبة إلى نقطة مادية ، يمكن تمثيل القانون الأساسي للديناميكيات كـ

بضرب كلا الجزأين من هذه العلاقة على الاتجاه الأيسر في متجه نصف القطر (الشكل 3.9) ، نحصل عليه

(3.32)

على الجانب الأيمن من هذه الصيغة ، لدينا لحظة القوة بالنسبة للنقطة O. فلنحول الجانب الأيسر من خلال تطبيق صيغة مشتق حاصل الضرب المتجه

ولكن كمنتج عرضي لمتجهات متوازية. بعد ذلك نحصل

(3.33)

مشتق المرة الأولى من لحظة زخم نقطة بالنسبة إلى أي مركز يساوي لحظة القوة بالنسبة إلى نفس المركز.

مثال على حساب الزخم الزاوي للنظام. احسب الزخم الزاوي بالنسبة للنقطة O لنظام يتكون من عمود أسطواني كتلته M = 20 كجم ونصف قطر R = 0.5 م وحمل تنازلي كتلته م = 60 كجم (الشكل 3.12). يدور العمود حول محور Oz بسرعة زاوية ω = 10 s -1.

الشكل 3.12

; ;

لبيانات الإدخال المعينة ، الزخم الزاوي للنظام

نظرية التغيير في اللحظة الحركية للنظام.نطبق القوى الخارجية والداخلية الناتجة على كل نقطة من النظام. لكل نقطة في النظام ، يمكنك تطبيق النظرية على التغيير في الزخم الزاوي ، على سبيل المثال ، في الشكل (3.33)

تلخيصًا لجميع نقاط النظام ومراعاة أن مجموع المشتقات يساوي مشتق المجموع ، نحصل على

من خلال تعريف اللحظة الحركية للنظام وخاصية القوى الخارجية والداخلية

لذلك ، يمكن تمثيل النسبة الناتجة كـ

مشتق المرة الأولى من اللحظة الحركية للنظام فيما يتعلق بأي نقطة يساوي اللحظة الرئيسية للقوى الخارجية التي تعمل على النظام فيما يتعلق بنفس النقطة.

3.3.5. قوة العمل

1) الشغل الأولي للقوة يساوي الناتج القياسي للقوة ونصف القطر التفاضلي لمتجه نقطة تطبيق القوة (الشكل 3.13)

الشكل 3.13

يمكن أيضًا كتابة التعبير (3.36) في الأشكال المكافئة التالية

أين هو إسقاط القوة على اتجاه سرعة نقطة تطبيق القوة.

2) عمل القوة على الإزاحة النهائية

بدمج العمل الأولي للقوة ، نحصل على التعبيرات التالية لشغل القوة على الإزاحة النهائية من النقطة أ إلى النقطة ب

3) عمل قوة ثابتة

إذا كانت القوة ثابتة ، تتبع من (3.38)

لا يعتمد عمل القوة الثابتة على شكل المسار ، ولكنه يعتمد فقط على متجه الإزاحة لنقطة تطبيق القوة.

4) وزن قوة العمل

لقوة الوزن (الشكل 3.14) ومن (3.39) نحصل عليها

الشكل 3.14

إذا كانت الحركة من النقطة B إلى النقطة A ، إذن

على العموم

تشير علامة "+" إلى حركة نقطة تطبيق القوة "لأسفل" ، علامة "-" - أعلى.

4) عمل قوة المرونة

دع محور الزنبرك يوجه على طول المحور س (الشكل 3.15) ، ونهاية الزنبرك تتحرك من النقطة 1 إلى النقطة 2 ، ثم من (3.38) نحصل عليها

إذا كان ثابت الربيع هو مع، وماذا بعد

لكن (3.41)

إذا تحركت نهاية الزنبرك من النقطة 0 إلى النقطة 1 ، فعندئذٍ في هذا التعبير نستبدل ، ثم يأخذ عمل القوة المرنة الشكل

(3.42)

اين امتداد الربيع.

الشكل 3.15

5) عمل القوة المطبقة على جسم دوار. عمل اللحظة.

على التين. يوضح الشكل 3.16 جسمًا دوارًا يتم تطبيق قوة تعسفية عليه. أثناء الدوران ، تتحرك نقطة تطبيق هذه القوة في دائرة.