ضع في اعتبارك مستوى π ونقطة عشوائية M 0 في الفضاء. دعنا نختار الطائرة وحدة ناقل عادين الصورة البدايةعند نقطة ما M 1 ∈ π ، وليكن p (M 0، π) هي المسافة من النقطة M 0 إلى المستوى π. ثم (الشكل 5.5)
ص (م 0 ، π) = | العلاقات العامة ن M 1 م 0 | = | نانومتر 1 م 0 | ، (5.8)
منذ | n | = 1.
إذا كانت الطائرة π معطاة نظام إحداثيات مستطيل مع معادلته العامة Ax + By + Cz + D = 0 ، ثم المتجه الطبيعي هو المتجه مع الإحداثيات (A ؛ B ؛ C) وكوحدة متجه عادي يمكننا اختيار
لنفترض أن (x 0؛ y 0؛ z 0) و (x 1؛ y 1؛ z 1) هما إحداثيات النقطتين M 0 و M 1. ثم يتم استيفاء المساواة Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 ، نظرًا لأن النقطة M 1 تنتمي إلى المستوى ، ويمكنك العثور على إحداثيات المتجه M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 -x 1 ؛ y 0 -y 1 ؛ z 0 -z 1). تدوين منتج عددينانومتر 1 م 0 في شكل إحداثيات وتحويل (5.8) ، نحصل عليها
منذ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. لذا ، لحساب المسافة من نقطة إلى مستوى ، تحتاج إلى استبدال إحداثيات النقطة في المعادلة العامة للمستوى ، ثم قسمة القيمة المطلقة لـ النتيجة بواسطة عامل تطبيع يساوي طول المتجه الطبيعي المقابل.
, مسابقة "عرض الدرس"
فصل: 11
عرض الدرس
إلى الأمام
انتباه! تعد معاينة الشريحة للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.
الأهداف:
- تعميم وتنظيم معارف ومهارات الطلاب ؛
- تنمية مهارات التحليل والمقارنة واستخلاص النتائج.
معدات:
- جهاز عرض الوسائط المتعددة
- كمبيوتر؛
- أوراق المهام
عملية الدراسة
I. لحظة تنظيمية
ثانيًا. مرحلة تحديث المعرفة(الشريحة 2)
نكرر كيف يتم تحديد المسافة من نقطة إلى مستوى
ثالثا. محاضرة(الشرائح 3-15)
في هذا الدرس ، سننظر في طرق مختلفة لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.
الطريقة الأولى: خطوة بخطوة الحسابية
المسافة من النقطة M إلى المستوى α:
تساوي المسافة إلى المستوى α من نقطة اعتباطية P ملقاة على الخط a ، والتي تمر عبر النقطة M وتكون موازية للمستوى α ؛
- تساوي المسافة إلى المستوى α من نقطة اعتباطية P ملقاة على المستوى β ، والتي تمر عبر النقطة M وتكون موازية للمستوى α.
سنحل المهام التالية:
№1. في المكعب أ ... د 1 أوجد المسافة من النقطة ج 1 إلى المستوى أب 1 ج.
يبقى حساب قيمة طول المقطع O 1 N.
№2. في منشور سداسي منتظم A ... F 1 ، كل حوافه تساوي 1 ، أوجد المسافة من النقطة A إلى المستوى DEA 1.
الطريقة التالية: طريقة الحجم.
إذا كان حجم الهرم ABCM هو V ، فسيتم حساب المسافة من النقطة M إلى المستوى α الذي يحتوي على ∆ABC بالصيغة ρ (M ؛ α) = ρ (M ؛ ABC) =
عند حل المشكلات ، نستخدم مساواة أحجام شكل واحد ، معبرًا عنها بطريقتين مختلفتين.
لنحل المشكلة التالية:
№3. الحافة AD للهرم DABC متعامدة على مستوى القاعدة ABC. أوجد المسافة من A إلى المستوى الذي يمر عبر نقاط المنتصف للأطراف AB و AC و AD ، إذا.
عند حل المشاكل طريقة التنسيقيمكن حساب المسافة من النقطة M إلى المستوى α بالصيغة ρ (M ؛ α) = 
، حيث M (x 0 ؛ y 0 ؛ z 0) ، والمستوى بواسطة المعادلة ax + by + cz + d = 0
لنحل المشكلة التالية:
№4. في مكعب الوحدة A… D 1 أوجد المسافة من النقطة A 1 إلى المستوى BDC 1.
دعنا نقدم نظام إحداثيات مع الأصل عند النقطة A ، سيمر المحور y على طول الحافة AB ، المحور x - على طول الحافة AD ، المحور z - على طول الحافة AA 1. ثم إحداثيات النقاط ب (0 ؛ 1 ؛ 0) د (1 ؛ 0 ؛ 0 ؛) ج 1 (1 ؛ 1 ؛ 1)
دعونا نكوّن معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط B ، D ، C 1.
ثم - dx - dy + dz + d = 0 x + y - z - 1 = 0. لذلك ، ρ = 
الطريقة التالية والتي يمكن استخدامها في حل مشاكل من هذا النوع - طريقة المهام المرجعية.
يتمثل تطبيق هذه الطريقة في تطبيق المشكلات المرجعية المعروفة ، والتي تتم صياغتها على أنها نظريات.
لنحل المشكلة التالية:
№5. في وحدة مكعب أ ... د 1 أوجد المسافة من النقطة د 1 إلى المستوى أب 1 ج.
النظر في التطبيق طريقة ناقلات.
№6. في وحدة مكعب A ... D 1 أوجد المسافة من النقطة A 1 إلى المستوى BDC 1.
لذلك ، فقد درسنا طرقًا مختلفة يمكن استخدامها في حل هذا النوع من المشكلات. يعتمد اختيار طريقة أو أخرى على المهمة المحددة وتفضيلاتك.
رابعا. مجموعة عمل
حاول حل المشكلة بطرق مختلفة.
№1. حافة المكعب А… D 1 تساوي. أوجد المسافة من الرأس C إلى المستوى BDC 1.
№2. في رباعي الوجوه ABCD منتظم بحافة ، أوجد المسافة من النقطة A إلى المستوى BDC
№3. في منشور مثلثي منتظم ABCA 1 B 1 C 1 ، كل حوافه تساوي 1 ، أوجد المسافة من A إلى المستوى BCA 1.
№4. في هرم رباعي الزوايا منتظم SABCD ، كل حوافه تساوي 1 ، أوجد المسافة من A إلى المستوى SCD.
V. ملخص الدرس ، الواجب المنزلي ، التفكير
يجب ألا تكون هناك طائرة 
. دعونا نرسم عادي 
من خلال الأصل O. Let 
هي الزوايا التي شكلتها العادي 
مع محاور تنسيق. 
. اسمحوا ان 
هو طول المقطع العادي 
قبل عبور الطائرة. بافتراض أن اتجاه جيب التمام للخط العمودي معروف 
، نشتق معادلة المستوى 
.
اسمحوا ان 
) نقطة اعتباطية في الطائرة. متجه الوحدة العادية له إحداثيات. لنجد إسقاط المتجه 
الى وضعها الطبيعي.
منذ هذه النقطة مينتمي إلى الطائرة ، إذن
.
هذه هي معادلة مستوى معين ، تسمى عادي .
المسافة من نقطة إلى طائرة
دع الطائرة تعطى 
,م*
- نقطة في الفضاء د
هي المسافة من الطائرة.
تعريف.
انحراف
نقاط م *من الطائرة يسمى الرقم ( +
د),
لو م*
تقع على الجانب الآخر من المستوى حيث الاتجاه الإيجابي للنقاط العادية 
و الرقم (- د) إذا كانت النقطة تقع على الجانب الآخر من المستوى:
.
نظرية.
دع الطائرة 
مع وحدة عادية 
تعطى بالمعادلة العادية:
اسمحوا ان م*
- نقطة انحراف الفضاء ت. م* من المستوى يُعطى بالتعبير
دليل - إثبات.الإسقاط ر. 
* تدل على الوضع الطبيعي س.
نقطة الانحراف م *من الطائرة
.
القاعدة.لايجاد انحراف
ر. م* من المستوى ، تحتاج إلى استبدال الإحداثيات t في المعادلة العادية للمستوى. م*
. المسافة من نقطة إلى مستوى 
.
اختزال المعادلة العامة للمستوى إلى الشكل العادي
دع نفس المستوى يعطى بمعادلتين:
معادلة عامة
معادلة عادية.
نظرًا لأن كلا المعادلتين تحددان المستوى نفسه ، فإن معاملاتهما متناسبة:
نقوم بتربيع المعادلات الثلاث الأولى ونضيف:
من هنا نجد 
هو عامل التطبيع:
. (10)
بضرب المعادلة العامة للمستوى في عامل التطبيع ، نحصل على المعادلة العادية للمستوى:
أمثلة على المهام في موضوع "الطائرة".
مثال 1يؤلف معادلة المستوى 
يمر عبر نقطة معينة 
(2،1 ، -1) ومتوازية مع المستوى.
قرار. عادي للطائرة 
:
. بما أن الطائرات متوازية ، فهي طبيعية 
هو أيضًا المستوى الطبيعي للمستوى المطلوب 
. باستخدام معادلة مستوى يمر عبر نقطة معينة (3) ، نحصل عليها للمستوى 
المعادلة:
إجابه:
مثال 2سقطت قاعدة العمود العمودي من الأصل إلى المستوى 
، هي نقطة 
. أوجد معادلة المستوى 
.
قرار. المتجه 
هو الوضع الطبيعي للطائرة 
. نقطة م 0
ينتمي إلى الطائرة. يمكنك استخدام معادلة مستوى يمر عبر نقطة معينة (3):
إجابه:
مثال 3بناء الطائرة 
يمر من خلال النقاط 
وعمودي على المستوى 
:.
لذلك ، بالنسبة لبعض النقاط م
(x,
ذ,
ض) تنتمي إلى الطائرة 
، فمن الضروري أن ثلاثة نواقل 
كانت متحد المستوى:
=0.
يبقى لفتح المحدد وإحضار التعبير الناتج إلى شكل المعادلة العامة (1).
مثال 4طائرة 
تعطى بالمعادلة العامة:
ابحث عن نقطة الانحراف 
من طائرة معينة.
قرار. نحول معادلة المستوى إلى الصورة العادية.
,
.
عوّض إحداثيات النقطة في المعادلة العادية الناتجة م *.
.
إجابه: 
.
مثال 5ما إذا كان المقطع يتقاطع مع المستوى.
قرار. لقطع ABعبرت الطائرة ، الانحرافات 
و 
من الطائرة 
يجب أن يكون لها علامات مختلفة:
.
مثال 6تقاطع ثلاث طائرات عند نقطة واحدة.
.
يتمتع النظام بحل فريد ، ومن ثم فإن للطائرات الثلاث نقطة مشتركة واحدة.
مثال 7إيجاد منصفات زاوية ثنائية الأضلاع مكونة من مستويين.
اسمحوا ان 
و 
- انحراف نقطة ما 
من الطائرات الأولى والثانية.
على أحد المستويات ثنائية القطاعات (المقابلة للزاوية التي يقع فيها أصل الإحداثيات) ، تكون هذه الانحرافات متساوية في الحجم والإشارة ، ومن ناحية أخرى ، فهي متساوية في الحجم ومعاكسة في الإشارة.
هذه هي معادلة المستوى الأول ثنائي القطاعات.
هذه هي معادلة المستوى الثاني ثنائي القطاعات.
المثال 8البحث عن موقع نقطتي بيانات 
و 
بالنسبة إلى الزوايا ثنائية الأضلاع التي تشكلها هذه الطائرات.
اسمحوا ان 
. تحديد: في واحد ، في الزوايا المجاورة أو الرأسية هناك نقاط 
و 
.
أ). اذا كان 
و 
تقع على جانب واحد من 
و من 
، ثم تقع في نفس الزاوية ثنائية الأضلاع.
ب). اذا كان 
و 
تقع على جانب واحد من 
ومختلف عن 
، ثم تقع في الزوايا المجاورة.
في). اذا كان 
و 
الاستلقاء على جانبي 
و 
، ثم تقع في زوايا عمودية.
نظم التنسيق 3
خطوط على متن الطائرة 8
خطوط من الدرجة الأولى. خطوط مستقيمة على مستوى. عشرة
الزاوية بين السطور 12
المعادلة العامة للخط المستقيم 13
معادلة غير كاملة من الدرجة الأولى 14
معادلة خط مستقيم "على أجزاء" 14
دراسة مشتركة لمعادلات سطرين 15
عادي إلى السطر 15
الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين 16
المعادلة الأساسية للخط المستقيم 16
المعادلات البارامترية للخط المستقيم 17
المعادلة العادية (المقيسة) للخط المستقيم 18
المسافة من النقطة إلى السطر 19
معادلة الحزمة الخطية 20
أمثلة على المسائل المتعلقة بموضوع "الخط المستقيم على مستوى" 22
حاصل الضرب الاتجاهي للناقلات 24
خصائص المنتجات المتقاطعة 24
الخصائص الهندسية 24
الخصائص الجبرية 25
التعبير عن حاصل الضرب الاتجاهي بدلالة إحداثيات العوامل 26
حاصل ضرب مختلط من ثلاثة نواقل 28
المعنى الهندسي للمنتج المختلط 28
29- التعبير عن حاصل الضرب المختلط بدلالة إحداثيات المتجه
أمثلة على حل المشكلات
تتناول هذه المقالة تحديد المسافة من نقطة إلى طائرة. دعنا نحلل طريقة الإحداثيات ، والتي ستسمح لنا بإيجاد المسافة من نقطة معينة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. للدمج ، ضع في اعتبارك أمثلة للعديد من المهام.
تُحسب المسافة من نقطة إلى مستوى عن طريق مسافة معروفة من نقطة إلى نقطة ، حيث يُعطى أحدهما والآخر إسقاط على مستوى معين.
عندما تُعطى نقطة M 1 بمستوى χ في الفضاء ، فيمكن عندئذٍ رسم خط مستقيم عمودي على المستوى عبر النقطة. H 1 هي نقطة مشتركة لتقاطعهم. من هنا نحصل على أن المقطع M 1 H 1 عمودي ، تم رسمه من النقطة M 1 إلى المستوى χ ، حيث النقطة H 1 هي قاعدة العمود العمودي.
التعريف 1
يسمون المسافة من نقطة معينة إلى قاعدة العمود العمودي ، والتي تم رسمها من نقطة معينة إلى مستوى معين.
يمكن كتابة التعريف في صيغ مختلفة.
التعريف 2
المسافة من نقطة إلى طائرةيسمى طول العمودي ، والذي تم رسمه من نقطة معينة إلى مستوى معين.
يتم تحديد المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ على النحو التالي: ستكون المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ هي الأصغر من نقطة معينة إلى أي نقطة في المستوى. إذا كانت النقطة H 2 تقع في المستوى χ ولا تساوي النقطة H 2 ، فإننا نحصل على مثلث قائم الزاوية على الشكل M 2 H 1 H 2 ، وهي مستطيلة ، حيث يوجد ساق M 2 H 1 ، M 2 H 2 - وتر. ومن ثم ، فإن هذا يعني أن M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 يعتبر مائلًا ، يتم رسمه من النقطة M 1 إلى المستوى χ. لدينا أن الخط العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى أقل من الخط المائل المرسوم من نقطة إلى مستوى معين. ضع في اعتبارك هذه الحالة في الشكل أدناه.
المسافة من نقطة إلى مستو - نظرية ، أمثلة ، حلول
هناك عدد من المسائل الهندسية التي يجب أن تحتوي حلولها على المسافة من نقطة إلى مستوى. قد تكون طرق الكشف عن هذا مختلفة. لحل هذه المشكلة ، استخدم نظرية فيثاغورس أو تشابه المثلثات. عندما يكون من الضروري ، وفقًا للشرط ، حساب المسافة من نقطة إلى مستوى ، المعطاة في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد ، يتم حلها باستخدام طريقة الإحداثيات. هذه الفقرة تتناول هذه الطريقة.
وفقًا لظروف المشكلة ، لدينا نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بإحداثيات M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) مع المستوى χ ، من الضروري تحديد المسافة من M 1 إلى الطائرة χ. يتم استخدام العديد من الحلول لحلها.
اول طريق
تعتمد هذه الطريقة على إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى باستخدام إحداثيات النقطة H 1 ، وهي قاعدة العمود العمودي من النقطة M 1 إلى المستوى χ. بعد ذلك ، تحتاج إلى حساب المسافة بين M 1 و H 1.
لحل المشكلة بالطريقة الثانية ، يتم استخدام المعادلة العادية لمستوى معين.
الطريقة الثانية
بشرط أن H 1 هي قاعدة العمود العمودي ، والتي تم تخفيضها من النقطة M 1 إلى المستوى χ. ثم نحدد إحداثيات (x 2، y 2، z 2) للنقطة H 1. تم العثور على المسافة المرغوبة من M 1 إلى المستوى χ بالصيغة M 1 H 1 \ u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 ، حيث M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و H 1 (x 2 ، y 2 ، z 2). لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطة H 1.
لدينا أن H 1 هي نقطة تقاطع المستوى χ مع المستقيم a ، الذي يمر بالنقطة M 1 المتعامدة مع المستوى χ. ويترتب على ذلك أنه من الضروري صياغة معادلة لخط مستقيم يمر عبر نقطة معينة عمودية على مستوى معين. عندها يمكننا تحديد إحداثيات النقطة H 1. من الضروري حساب إحداثيات نقطة تقاطع الخط والمستوى.
خوارزمية لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى المستوى:
التعريف 3
- يؤلف معادلة الخط المستقيم أ الذي يمر بالنقطة م 1 وفي نفس الوقت
- عمودي على المستوى χ ؛
- أوجد وحساب إحداثيات (x 2، y 2، z 2) للنقطة H 1 وهي نقاط
- تقاطع الخط أ مع المستوى χ ؛
- احسب المسافة من M 1 إلى χ باستخدام الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.
الطريق الثالث
في نظام إحداثيات مستطيل معين O x y z يوجد مستوى χ ، ثم نحصل على معادلة عادية للمستوى بالصيغة cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. من هنا نحصل على أن المسافة M 1 H 1 مع النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) مرسومة إلى المستوى χ ، محسوبة بالصيغة M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ ض - ص. هذه الصيغة صحيحة ، حيث تم تأسيسها بفضل النظرية.
نظرية
إذا كانت النقطة M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) معطاة في فضاء ثلاثي الأبعاد ، لها معادلة عادية للمستوى بالصيغة cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 ، ثم حساب المسافة من النقطة إلى المستوى M 1 H 1 مشتق من الصيغة M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p ، بما أن x = x 1 ، y = y 1 ، ض = ض 1.
دليل - إثبات
يتم تقليل إثبات النظرية لإيجاد المسافة من نقطة إلى خط. من هنا نحصل على أن المسافة من M 1 إلى المستوى هي مقياس الفرق بين الإسقاط العددي لمتجه نصف القطر M 1 مع المسافة من الأصل إلى المستوى. ثم نحصل على التعبير M 1 H 1 = n p n → O M → - p. المتجه العادي للمستوى χ له الشكل n → = cos α ، cos β ، cos γ ، وطوله يساوي واحدًا ، n p n → O M → هو الإسقاط العددي للمتجه O M → = (x 1، y 1 ، z 1) في الاتجاه الذي يحدده المتجه n →.
دعنا نطبق صيغة حساب المتجهات العددية. ثم نحصل على تعبير لإيجاد متجه للصيغة n → ، O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → ، منذ n → = cos α ، cos β ، cos γ z و O M → = (x 1، y 1، z 1). سيأخذ شكل إحداثيات التدوين الشكل n → ، O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1 ، ثم M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - ص. لقد تم إثبات النظرية.
من هنا نحصل على المسافة من النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى المستوى χ بالتعويض في الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 بدلاً من إحداثيات x و y و z x 1 و y 1 و z1فيما يتعلق بالنقطة M 1 ، مع أخذ القيمة المطلقة للقيمة التي تم الحصول عليها.
ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات إلى مستوى معين.
مثال 1
احسب المسافة من النقطة ذات الإحداثيات م ١ (٥ ، - ٣ ، ١٠) إلى المستوى ٢ س - ص + ٥ ع - ٣ = ٠.
قرار
لنحل المشكلة بطريقتين.
ستبدأ الطريقة الأولى بحساب متجه الاتجاه للخط أ. حسب الشرط ، لدينا المعادلة المعطاة 2 x - y + 5 z - 3 = 0 هي معادلة مستوى عامة ، و n → = (2 ، - 1 ، 5) هي المتجه الطبيعي للمستوى المحدد. يتم استخدامه كمتجه توجيه للخط المستقيم أ ، وهو عمودي على المستوى المحدد. يجب أن تكتب المعادلة الأساسية لخط مستقيم في الفراغ يمر عبر M 1 (5 ، - 3 ، 10) مع متجه اتجاه بإحداثيات 2 ، - 1 ، 5.
ستبدو المعادلة كالتالي x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.
يجب تحديد نقاط التقاطع. للقيام بذلك ، اجمع المعادلات برفق في نظام للانتقال من المعادلات الأساسية إلى معادلات خطين متقاطعين. لنأخذ هذه النقطة على أنها H 1. لقد حصلنا على ذلك
س - 5 2 = ص + 3-1 = ض - 10 5 ⇔ - 1 (س - 5) = 2 (ص + 3) 5 (س - 5) = 2 (ض - 10) 5 (ص + 3) = - 1 (ض - 10) ⇔ ⇔ س + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0 5 ص + ع + 5 = 0 س + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0
فأنت بحاجة إلى تمكين النظام
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
دعنا ننتقل إلى قاعدة حل النظام وفقًا لـ Gauss:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ض = 0 6 = 0 ، ص = - 1 10 10 + 2 ع = - 1 ، س = - 1 - 2 ص = 1
نحصل على H 1 (1 ، - 1 ، 0).
نحسب المسافة من نقطة معينة إلى المستوى. نأخذ النقاط M 1 (5 ، - 3 ، 10) و H 1 (1 ، - 1 ، 0) ونحصل عليها
م 1 س 1 \ u003d (1-5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0-10) 2 \ u003d 2 30
الحل الثاني هو إحضار المعادلة المعطاة 2 x - y + 5 z - 3 = 0 للصورة العادية أولاً. نحدد عامل التطبيع ونحصل على 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. من هنا نشتق معادلة المستوى 2 30 · س - 1 30 · ص + 5 30 · ع - 3 30 = 0. يتم حساب الجانب الأيسر من المعادلة عن طريق استبدال x \ u003d 5 ، y \ u003d - 3 ، z \ u003d 10 ، وتحتاج إلى أخذ المسافة من M 1 (5 ، - 3 ، 10) إلى 2 x - y + 5 ض - 3 = 0 معيار. نحصل على التعبير:
م 1 س 1 \ u003d 2 30 5 - 1 30-3 + 5 30 10-3 30 \ u003d 60 30 \ u003d 2 30
الجواب: 2 30.
عندما يتم تحديد المستوى بإحدى طرق طرق القسم لتحديد المستوى ، فأنت بحاجة أولاً إلى الحصول على معادلة المستوى وحساب المسافة المطلوبة باستخدام أي طريقة.
مثال 2
النقاط ذات الإحداثيات M 1 (5 ، - 3 ، 10) ، A (0 ، 2 ، 1) ، B (2 ، 6 ، 1) ، C (4 ، 0 ، - 1) يتم وضعها في مساحة ثلاثية الأبعاد. احسب المسافة من م ١ إلى المستوى ب ج.
قرار
تحتاج أولاً إلى كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط الثلاث المحددة بالإحداثيات M 1 (5 ، - 3 ، 10) ، A (0 ، 2 ، 1) ، B (2 ، 6 ، 1) ، C ( 4 ، 0 ، - واحد).
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ - 8 س + 4 ص - 20 ع + 12 = 0 2 س - ص + 5 ع - 3 = 0
ويترتب على ذلك أن المشكلة لها حل مشابه للحل السابق. ومن ثم ، فإن المسافة من النقطة م 1 إلى المستوى ب ج تساوي 30 2.
الجواب: 2 30.
يعد إيجاد المسافة من نقطة معينة على مستوى أو إلى مستوى موازٍ لهما أكثر ملاءمة من خلال تطبيق الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . من هنا نحصل على المعادلات العادية للطائرات في عدة خطوات.
مثال 3
أوجد المسافة من نقطة معطاة بإحداثياتها M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى الإحداثي O x y z والمستوى المعطى بالمعادلة 2 y - 5 = 0.
قرار
يتوافق المستوى الإحداثي O y z مع معادلة بالصيغة x = 0. بالنسبة للمستوى O y z ، فمن الطبيعي. لذلك ، من الضروري استبدال القيم x \ u003d - 3 في الجانب الأيسر من التعبير واتخاذ القيمة المطلقة للمسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى . نحصل على القيمة - 3 = 3.
بعد التحويل ، ستأخذ المعادلة العادية للمستوى 2 y - 5 = 0 الصيغة y - 5 2 = 0. ثم يمكنك إيجاد المسافة المطلوبة من النقطة ذات الإحداثيات م 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى 2 ص - 5 = 0. بالتعويض والحساب ، نحصل على 2-5 2 = 5 2 - 2.
إجابه:المسافة المرغوبة من M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى O y z لها قيمة 3 ، و 2 y - 5 = 0 لها قيمة 5 2 - 2.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
يعد العثور على المسافة من نقطة إلى مستو مشكلة متكررة تنشأ عند حل العديد من مشاكل الهندسة التحليلية ، على سبيل المثال ، يمكن اختزال المسافة بين خطين متقاطعين أو بين خط ومستوى موازٍ له إلى هذه المشكلة.
ضع في اعتبارك المستوى $ β $ والنقطة $ M_0 $ ذات الإحداثيات $ (x_0 ؛ y_0 ؛ z_0) $ ، والتي لا تنتمي إلى المستوى $ β $.
التعريف 1
أقصر مسافة بين نقطة ومستوى هي النقطة العمودية التي تم إسقاطها من النقطة $ M_0 $ إلى المستوى $ β $.
الشكل 1. المسافة من نقطة إلى مستوى. المؤلف 24 - تبادل أوراق الطلاب عبر الإنترنت
فيما يلي كيفية إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى باستخدام طريقة الإحداثيات.
اشتقاق صيغة طريقة الإحداثيات لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى في الفضاء
العمودي من النقطة $ M_0 $ ، التي تتقاطع مع المستوى $ β $ عند النقطة $ M_1 $ مع إحداثيات $ (x_1 ؛ y_1 ؛ z_1) $ ، تقع على خط مستقيم يكون متجه اتجاهه هو المتجه الطبيعي للمستوى $ β $. في هذه الحالة ، طول متجه الوحدة $ n $ يساوي واحدًا. وفقًا لذلك ، ستكون المسافة من $ β $ إلى النقطة $ M_0 $ كما يلي:
$ ρ = | \ vec (n) \ cdot \ vec (M_1M_0) | \ left (1 \ right) $ ، حيث $ \ vec (M_1M_0) $ هو المتجه العادي لـ $ β $ و $ \ vec (n) $ - وحدة المتجه الطبيعي للطائرة المدروسة.
في حالة تقديم معادلة المستوى بشكل عام $ Ax + By + Cz + D = 0 $ ، فإن إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى هي معاملات المعادلة $ \ (A؛ B؛ C \ ) $ ، والمتجه الطبيعي في هذه الحالة له إحداثيات محسوبة وفقًا للمعادلة التالية:
$ \ vec (n) = \ frac (\ (A؛ B؛ C \)) (\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \ left (2 \ right) $.
الآن يمكننا إيجاد إحداثيات المتجه العادي $ \ vec (M_1M_0) $:
$ \ vec (M_0M_1) = \ (x_0 - x_1 ؛ y_0-y_1 ؛ z_0-z_1 \) \ يسار (3 \ يمين) $.
نعبر أيضًا عن المعامل $ D $ باستخدام إحداثيات نقطة تقع في المستوى $ β $:
$ D = Ax_1 + By_1 + Cz_1 $
يمكن استبدال إحداثيات المتجه العادي للوحدة من المساواة $ (2) $ في معادلة المستوى $ β $ ، ثم لدينا:
$ ρ = \ frac (| A (x_0 -x_1) + B (y_0-y_1) + C (z_0-z_1) |) (\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) = \ frac ( | Ax_0 + By_0 + Cz_0- (Ax_1 + By_1 + Cz_1) |) (\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) = \ frac (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) (\ sqrt (A ^ 2) + B ^ 2 + C ^ 2)) \ يسار (4 \ يمين) $
المساواة $ (4) $ هي صيغة لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى في الفضاء.
خوارزمية عامة لإيجاد المسافة من النقطة $ M_0 $ إلى المستوى
- إذا لم يتم إعطاء معادلة المستوى بشكل عام ، فأنت بحاجة أولاً إلى إحضارها إلى معادلة عامة.
- بعد ذلك ، من الضروري التعبير عن المتجه الطبيعي للمستوى المحدد من المعادلة العامة للمستوى من حيث النقطة $ M_0 $ والنقطة التي تنتمي إلى المستوى المحدد ، لذلك تحتاج إلى استخدام المساواة $ (3 ) $.
- المرحلة التالية هي البحث عن إحداثيات متجه الوحدة العادية للمستوى باستخدام الصيغة $ (2) $.
- أخيرًا ، يمكنك البدء في البحث عن المسافة من نقطة إلى مستوى ، ويتم ذلك عن طريق حساب المنتج القياسي للمتجهات $ \ vec (n) $ و $ \ vec (M_1M_0) $.
