دعونا نوضح إمكانيات نظرية Ostrogradsky-Gauss باستخدام عدة أمثلة.

مجال طائرة مشحونة بشكل موحد لانهائي

يتم تحديد كثافة شحنة السطح على مستوى تعسفي بمساحة S بواسطة الصيغة:

حيث dq هي الشحنة المركزة على المنطقة dS ؛ dS هي مساحة صغيرة بشكل لا نهائي من السطح.

لنكن σ كما هو في جميع نقاط المستوى S. الشحنة q موجبة. سيكون للتوتر عند جميع النقاط اتجاه عمودي على المستوى س(الشكل 2.11).

من الواضح أنه عند النقاط المتماثلة بالنسبة للمستوى ، سيكون الشد متساويًا في الحجم ومعاكسًا في الاتجاه.

تخيل أسطوانة بها مولدات متعامدة على المستوى والقاعدتين س، تقع بشكل متماثل بالنسبة للمستوى (الشكل 2.12).

	أرز. 2.11	أرز. 2.12

نطبق نظرية أوستروجرادسكي-جاوس. التدفق FE عبر جانب سطح الأسطوانة يساوي صفرًا ، لأن قاعدة الأسطوانة

إجمالي التدفق عبر سطح مغلق (أسطوانة) سيكون مساويًا لـ:

يوجد شحنة داخل السطح. لذلك ، من نظرية Ostrogradsky-Gauss نحصل على:

;

من أين يمكن ملاحظة أن شدة المجال للمستوى S تساوي:

(2.5.1)

النتيجة التي تم الحصول عليها لا تعتمد على طول الاسطوانة. هذا يعني أنه في أي مسافة من المستوى

مجال طائرتين مشحونة بشكل موحد

دع طائرتين لا نهائيتين يتم شحنهما بشحنات متقابلة بنفس الكثافة (الشكل 2.13).

تم العثور على الحقل الناتج ، كما هو مذكور أعلاه ، كتراكب للحقول التي أنشأتها كل من المستويات.

ثم داخل الطائرات

(2.5.2)

خارج الطائراتشدة المجال

تكون النتيجة التي تم الحصول عليها صالحة أيضًا للمستويات ذات الأبعاد المحدودة ، إذا كانت المسافة بين المستويات أقل بكثير من الأبعاد الخطية للمستويات (مكثف مسطح).

بين ألواح المكثف تعمل قوة الجذب المتبادل (لكل وحدة مساحة من الصفائح):

حيث S هي مساحة ألواح المكثف. لان ، من ثم

.

(2.5.5)

هذه هي صيغة حساب القوة الحركية للعقل.

مجال أسطوانة مشحونة طويلة بلا حدود (خيط)

دع المجال يتم إنشاؤه بواسطة سطح أسطواني لانهائي نصف قطره R ، مشحون بكثافة خطية ثابتة ، حيث dq هي الشحنة المركزة على قطعة من الاسطوانة (الشكل 2.14).

من اعتبارات التناظر ، يترتب على ذلك أن E في أي نقطة سيتم توجيهها على طول نصف القطر ، عموديًا على محور الأسطوانة.

تخيل حول اسطوانة (خيط) متحد المحورسطح مغلق ( اسطوانة داخل الاسطوانة) نصف القطر صوالطول l (قواعد الأسطوانات متعامدة على المحور). لقواعد الأسطوانة للسطح الجانبي أي يعتمد على المسافة ص.

لذلك ، فإن التدفق المتجه عبر السطح المدروس يساوي

متى سيكون هناك شحنة على السطح وفقًا لنظرية Ostrogradsky-Gauss ، إذن

.

(2.5.6)

إذا ، بسبب لا توجد شحنات داخل سطح مغلق (الشكل 2.15).

إذا تم تقليل نصف قطر الأسطوانة R (عند) ، فيمكن الحصول على حقل ذي قوة عالية جدًا بالقرب من السطح ، وعندها يمكن الحصول على خيوط.

مجال مكون من أسطوانتين متحدتين المحور بنفس الكثافة الخطية λ ولكن بإشارة مختلفة

لن يكون هناك مجال داخل الاسطوانة الصغيرة وخارج الاسطوانة الكبيرة (الشكل 2.16).

في الفجوة بين الأسطوانات ، يتم تحديد المجال بنفس الطريقة كما في الحالة السابقة:

هذا صحيح بالنسبة للأسطوانة الطويلة بشكل غير محدود ، وللأسطوانات ذات الطول المحدد ، إذا كانت الفجوة بين الأسطوانات أقل بكثير من طول الأسطوانات (مكثف أسطواني).

مجال الكرة المجوفة المشحونة

كرة مجوفة (أو كرة) نصف قطرها R مشحونة بشحنة موجبة مع كثافة سطح σ. سيكون المجال في هذه الحالة متماثلًا مركزيًا - في أي نقطة يمر عبر مركز الكرة. ، وخطوط القوة متعامدة مع السطح عند أي نقطة. تخيل حول الكرة - كرة نصف قطرها r (الشكل 2.17).

الإمكانات الميدانية

الإمكانات الميدانية

الإمكانات الميدانية

الإمكانات الميدانية

جهد المجال الكهربائينقطة تهمة Q عند نقطة:

مجال أسطوانة مشحونة طويلة بلا حدود (خيط)

دع الحقل يتم إنشاؤه بواسطة أسطواني لانهائي سطح دائرة نصف قطرها R.، مشحونة بكثافة خطية ثابتة ، حيث د ف- الشحنة المركزة على قطعة من الاسطوانة (الشكل 2.14).

ويترتب على ذلك من اعتبارات التماثل هفي أي نقطة سيتم توجيهها على طول نصف القطر ، عموديًا على محور الأسطوانة.

تخيل حول اسطوانة (خيط) متحد المحورسطح مغلق ( اسطوانة داخل الاسطوانة) نصف القطر صوطول ل(قواعد الاسطوانات متعامدة مع المحور). لقواعد الأسطوانة للسطح الجانبي أي يعتمد على المسافة ص.

لذلك ، فإن التدفق المتجه عبر السطح المدروس يساوي

متى سيكون هناك شحنة على السطح وفقًا لنظرية Ostrogradsky-Gauss ، إذن

.

(2.5.6)

إذا ، بسبب لا توجد شحنات داخل سطح مغلق (الشكل 2.15).

إذا قللنا نصف قطر الأسطوانة ص(في) ، فمن الممكن الحصول على مجال بقوة عالية جدًا بالقرب من السطح والحصول على خيوط.

27. إمكانات المجال الذي تم إنشاؤه بواسطة مستوى لانهائي مشحون بشكل موحد.

الإمكانات الميدانية- هذه هي خاصية الطاقة الخاصة بالمجال ، وتميز الطاقة الكامنة التي يمكن أن تحتويها شحنة وحدة موجبة ، عند نقطة معينة في المجال.

وحدة الجهد الكهربائي هي الفولت (V).

الإمكانات الميدانيةيساوي نسبة الطاقة الكامنة للشحنة إلى هذه الشحنة:

الإمكانات الميدانيةهي خاصية الطاقة للمجال الكهربائي وكمية قياسية يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة أو سالبة.

المعنى المادي هو الفرق الإمكانات الميدانيةحيث يتم التعبير عن عمل القوات الميدانية على حركة الشحنة من خلالها.

مجال طائرة لانهائية مشحونة بشكل موحد.

دعونا نقدم مفهوم كثافة الشحنة السطحية> 0 ، التي تساوي عدديًا الشحنة لكل وحدة مساحة:

بسبب التجانس والتناحية في الفضاء ، يجب أن تكون خطوط المجال في مستوى لانهائي مشحون بشكل موحد متعامدة معها ولها كثافة موحدة ، والتي تتوافق مع تعريف تجانس المجال ه= ثابت. كسطح مغلق "مناسب" ، نختار أسطوانة مستقيمة ، يكون سطحها الجانبي موازيًا لخطوط القوة (في كل مكان يكون 0 ، وبالتالي التدفق من خلاله يساوي 0) ، والأسطح النهائية للمنطقة S موازية للمستوى المشحون (بحيث في كل مكان عليها 1):

تدفق مجال موحد همن خلال كلا السطحين النهائيين المتعامدين عليه ، يكون S ببساطة ه 2S ، والشحنة المركزة على المنطقة S من السطح المشحون تساوي S:

كثافة شحنة السطحعلى متن طائرة عشوائية بمساحة سيتم تحديده من خلال الصيغة:

أين د فهي الشحنة المركزة على المنطقة د س؛ د سهي مساحة متناهية الصغر فعليًا من السطح.

اسمحوا σ في جميع نقاط الطائرة سهو نفسه. الشحنة ف- إيجابي. سيكون للتوتر عند جميع النقاط اتجاه عمودي على المستوى س(الشكل 2.11).

من الواضح أنه عند النقاط المتماثلة بالنسبة للمستوى ، سيكون الشد متساويًا في الحجم ومعاكسًا في الاتجاه.

تخيل أسطوانة بها مولدات متعامدة على المستوى والقاعدتين س، تقع بشكل متماثل بالنسبة للمستوى (الشكل 2.12).

	أرز. 2.11	أرز. 2.12

نطبق نظرية أوستروجرادسكي-جاوس. تدفق و همن خلال الجزء الجانبي من سطح الاسطوانة هو صفر ، لأن . لقاعدة الاسطوانة

إجمالي التدفق عبر سطح مغلق (أسطوانة) سيكون مساويًا لـ:

يوجد شحنة داخل السطح. لذلك ، من نظرية Ostrogradsky-Gauss نحصل على:

;

من أين يمكن أن نرى أن شدة مجال الطائرة سيساوي:

للحقل الكهروستاتيكي خاصية مهمة: لا يعتمد عمل قوى المجال الكهروستاتيكي عند تحريك شحنة من نقطة في الحقل إلى أخرى على شكل المسار ، ولكن يتم تحديده فقط من خلال موضع البداية و نقاط النهاية وحجم الشحنة. مجال الجاذبية له خاصية مماثلة ، ولا يوجد ما يثير الدهشة في هذا ، حيث أن الجاذبية وقوى كولوم موصوفة بنفس النسب. نتيجة استقلال العمل عن شكل المسار هي العبارة التالية: عمل قوى المجال الكهروستاتيكي عند تحريك الشحنة على طول أي مسار مغلق يساوي صفرًا. يتم استدعاء حقول القوة مع هذه الخاصية القدرهأو تحفظا. على التين. يوضح الشكل 1.4.2 خطوط القوة في حقل كولوم لشحنة نقطية سواثنين من مسارات شحن اختبار مختلفة فمن نقطة البداية (1) إلى نقطة النهاية (2). في أحد المسارات ، يتم تمييز الإزاحة الصغيرة Work Δ أقوى كولوم على هذا الإزاحة تساوي النتيجة التي تم الحصول عليها لا تعتمد على شكل المسار. على المسارين الأول والثاني الموضحين في التين. 1.4.2 ، عمل قوى كولوم هو نفسه. إذا قمنا بتغيير اتجاه حركة الشحنة في أحد المسارات فعلى العكس ، ثم العمل سوف تتغير العلامة. هذا يعني أن عمل قوى كولوم على مسار مغلق يساوي صفرًا. إذا تم إنشاء المجال الكهروستاتيكي بواسطة مجموعة من الشحنات النقطية ، فعند تحريك شحنة الاختبار فوظيفة أسيتكون الحقل الناتج وفقًا لمبدأ التراكب من عمل حقول كولوم لشحنات النقاط: نظرًا لأن كل مصطلح من المجموع لا يعتمد على شكل المسار ، فإن إجمالي العمل أالحقل الناتج مستقل عن المسار ويتم تحديده فقط من خلال موضع نقطتي البداية والنهاية. تتيح لنا خاصية احتمالية المجال الكهروستاتيكي تقديم المفهوم الطاقة الكامنة الشحن في مجال كهربائي. للقيام بذلك ، يتم تحديد نقطة معينة (0) في الفضاء ، والطاقة الكامنة للشحنة فالموضوعة عند هذه النقطة تؤخذ مساوية للصفر. طاقة الشحنة المحتملة ف، الموضوعة في أي نقطة (1) من الفضاء ، فيما يتعلق بنقطة ثابتة (0) تساوي العمل أ 10 ، الذي سيجعله المجال الكهروستاتيكي عند تحريك الشحنة فمن النقطة (1) إلى النقطة (0): دبليو p1 = أ 10 . (في الكهرباء الساكنة ، تُرمز الطاقة عادةً بالحرف دبليومنذ الرسالة هتشير إلى شدة المجال.) كما هو الحال في الميكانيكا ، يتم تحديد الطاقة الكامنة حتى قيمة ثابتة ، اعتمادًا على اختيار النقطة المرجعية (0). مثل هذا الغموض في تعريف الطاقة الكامنة لا يؤدي إلى أي سوء فهم ، حيث إنها ليست الطاقة الكامنة نفسها التي لها معنى فيزيائي ، ولكن الاختلاف في قيمها عند نقطتين في الفضاء. رأيك مهم لنا!هل كانت المادة المنشورة مفيدة؟ نعم | لا بحث الموقع:

Zhidkevich V. I. المجال الكهربائي للطائرة // الفيزياء: مشاكل التمديد. - 2009. - رقم 6. - س 19-23.

يمكن تقسيم المشاكل في الكهرباء الساكنة إلى مجموعتين: مشاكل حول الشحنات النقطية والمشكلات المتعلقة بالأجسام المشحونة ، والتي لا يمكن تجاهل أبعادها.

يعتمد حل مشاكل حساب المجالات الكهربائية وتفاعلات الرسوم النقطية على تطبيق قانون كولوم ولا يسبب أي صعوبات معينة. الأمر الأكثر صعوبة هو تحديد شدة المجال وتفاعل الأجسام المشحونة ذات الأبعاد المحدودة: الكرات ، الأسطوانات ، الطائرات. عند حساب قوة المجالات الكهروستاتيكية للتكوينات المختلفة ، يجب التأكيد على أهمية مبدأ التراكب واستخدامه عند النظر في المجالات التي تم إنشاؤها ليس فقط عن طريق الشحنات النقطية ، ولكن أيضًا عن طريق الشحنات الموزعة على السطح والحجم. عند النظر في عمل الحقل على الشحنة ، الصيغة F = qE في الحالة العامة ، يكون صالحًا للأجسام المشحونة بالنقطة وفقط في حقل موحد ينطبق على الأجسام من أي حجم وشكل يحمل شحنةف.

يتم الحصول على المجال الكهربائي للمكثف عن طريق تراكب المجالين اللذين تم إنشاؤهما بواسطة كل لوحة.

في المكثف المسطح ، يمكن اعتبار اللوح الواحد جسمًا مشحونًاف 1وضعت في مجال كهربائي للقوةه 2 ، تم إنشاؤها بواسطة لوحة أخرى.

لنأخذ في الاعتبار عدة مهام.

1. مستوى لانهائي مشحون بكثافة السطح σ > 0. أوجد قوة المجال هوالإمكانات ϕ على كلا جانبي المستوى ، بافتراض أن احتمالية المستوى تساوي صفرًا. مؤامرات التبعية المؤامرةالسابق)، ϕ (X). المحور السيني عمودي على المستوى ، والنقطة x = 0 تقع على المستوى.

قرار. المجال الكهربائي للمستوى اللانهائي موحد ومتماثل بالنسبة للمستوى. لهعلاقة التوتر بين يتم التعبير عن الشدة وفرق الجهد بين نقطتين في مجال إلكتروستاتيكي متجانس بواسطة الصيغةأين س - المسافة بين النقطتين مقاسة على طول خط القوة.ثم ϕ 2 = ϕ 1 -السابق. في x<0 при х>0 التبعيات Е (х) و ϕ (x) موضحة في الشكل 1.

2. لوحان رفيعان متوازيان مستويان يقعان على مسافة صغيرةد من بعضها البعض ، مشحونة بشكل موحد بشحنة كثافة السطحσ 1 و σ 2. أوجد شدة المجال عند النقاط الواقعة بين الألواح وفي الخارج. ارسم تبعية التوتر E (x) والإمكانات ϕ (خ) ، العد ϕ (0) = 0. ضع في اعتبارك الحالات التي: أ)σ 1 \ u003d-σ 2 ؛ ب) σ 1 = σ 2 ؛ ج) σ 1 \ u003d 3 σ 2 -

قرار.نظرًا لأن المسافة بين الألواح صغيرة ، فيمكن اعتبارها طائرات لا نهائية.

شدة المجال لمستوى موجب الشحنة هيوإخراجها منها؛ شدة المجال للطائرة سالبة الشحنة موجهة نحوها.

وفقًا لمبدأ التراكب ، سيتم إنشاء الحقل في أي نقطة معتبرة بواسطة كل من الشحنات على حدة.

أ) تضاف مجالات طائرتين مشحنتين بشحنات متساوية ومتقابلة (مكثف مسطح) في المنطقة بين المستويين وتلغي بعضهما البعض في المناطق الخارجية (الشكل 2 ،أ).

في X<0 ه= 0, ϕ = 0 ؛ عند 0 د E = 0 ، الرسوم البيانية اعتماد التوتر والجهد على المسافة X هو مبين في الشكل 2 ،ب ، ج.

إذا كانت المستويات ذات أبعاد محدودة ، فلن يكون الحقل بين الطائرات موحدًا بدقة ، ولن يكون الحقل خارج المستويات صفرًا تمامًا.

ب) مجالات الطائرات المشحونة بشحنات متساوية في الحجم وعلامة (σ1 = -2 ) ، يعوضون بعضهم البعض في الفراغ بين الطائرات ويضيفون في المناطق الخارجية (الشكل 3 ،أ). في x<0 при 0د

باستخدام الرسم البيانيالسابق) (الشكل 3 ، ب) ، نبني رسمًا بيانيًا نوعيًا للاعتماد ϕ (خ) (الشكل 3 ، ج).

ج) إذا كانت 1 = σ 2 ، إذن ، مع الأخذ في الاعتبار اتجاهات الحقول واختيار الاتجاه إلى اليمين على أنه إيجابي ، نجد:

يظهر اعتماد الشد E على المسافة في الشكل 4.

3. على إحدى لوحات مكثف مسطح بسعةمع هناك تهمةف 1=+3فومن ناحية أخرى q2 =+ ف. أوجد فرق الجهد بين ألواح المكثف.

قرار.الطريقة الأولى. دع مساحة لوحة المكثفس، والمسافة بينهماد. المجال داخل المكثف منتظم ، لذلك يمكن تحديد فرق الجهد (الجهد) عبر المكثف بواسطة الصيغة U = E * d ، حيث E. هي شدة المجال داخل المكثف.

حيث E 1، E 2 - شدة المجال الناتجة عن لوحات المكثف.

ثم

الطريقة الثانية. أضف شحنة لكل لوحةثم يتم تكثيف الألواح سيتعين على ساتورا فرض رسوم + فو -Q. مجالات الشحنات المتطابقة للوحات داخل المكثف تلغي بعضها البعض. الشحنات المضافة لا تغير المجال بين الصفائح ، ومن ثم فرق الجهد بواسطةمكثف. يو = س / ج .

4. يتم إدخال صفيحة معدنية رفيعة بشحنة + في الفراغ بين ألواح مكثف مسطح غير مشحون. ف. أوجد فرق الجهد بين ألواح المكثف.

قرار.نظرًا لعدم شحن المكثف ، يتم إنشاء المجال الكهربائي فقط بواسطة لوحة بها شحنةف (الشكل 5). هذا المجال موحد ومتماثل بالنسبة للصفيحة وشدتهادع إمكانات اللوحة المعدنية تكون ϕ . ثم إمكانات اللوحات لكنوفي المكثفات ستكون متساوية ϕ- ϕ أ = ϕ إل 1 ؛ ϕ أ = ϕ-El 1 ; ϕ- ϕ ب = ϕ-El 2 ; ϕ ب = ϕ-El 2 .

الفرق المحتمل بين ألواح المكثفإذا كانت اللوحة على نفس المسافة من ألواح المكثف ، فإن فرق الجهد بين اللوحين هو صفر.

5. في مجال كهربائي موحد بقوةه 0 يتم وضع صفيحة معدنية مشحونة بشكل عمودي على خطوط القوة مع كثافة شحنة على سطح كل جانب من جوانب اللوحة σ (الشكل 6). حدد شدة المجال ه "داخل وخارج اللوحة وكثافة شحنة السطحσ 1 و 2 ، والتي ستظهر على الجانبين الأيمن والأيسر من اللوحة.

قرار.الحقل الموجود داخل اللوحة هو صفر وهو تراكب لثلاثة حقول: المجال الخارجيه 0 ، المجال الناتج عن الشحنات على الجانب الأيسر من اللوحة والمجال الناتج عن الشحنات على الجانب الأيمن من اللوحة. لذلك،حيث σ 1 و σ 2 - كثافة الشحنة السطحية على الجانبين الأيمن والأيسر من اللوحة ، والتي تحدث بعد دخول الصفيحة إلى المجاله 0. لن يتغير إجمالي شحنة اللوحة ، لذلكσ 1 + 2 = 2 ، ومن أين σ 1 = σ- ε 0 ج 0 ، σ 2 = σ + ε 0 ج 0 . الحقل خارج الصفيحة هو تراكب للحقله 0 وحقول اللوحة المشحونة ه. على يسارلوحات على يمين اللوحة

6. في مكثف الهواء المسطح ، تكون شدة المجال E \ u003d 10 4 V / m. المسافة بين اللوحاتد = 2 سم ما سيكون فرق الجهد إذا كان صفيحة معدنية بسمكد 0= 0.5 سم (الشكل 7)؟

قرار.بما أن المجال الكهربائي بين الألواح منتظم ، إذن U = Ed ، U = 200 فولت.

إذا تم تمييز صفيحة معدنية بين الألواح ، فسيتم الحصول على نظام من مكثفتين متصلتين بالسلسلة بمسافة بين الألواحد 1و d2. سعات هذه المكثفاتقدرتها الإجمالية

نظرًا لانفصال المكثف عن المصدر الحالي ، لا تتغير شحنة المكثف عند إدخال الصفيحة المعدنية: q "= CU = C" U 1 ؛ أين السعة ساتور قبل إدخال صفيحة معدنية فيه. نحن نحصل:

يو 1= 150 فولت.

7. على الأطباقلكن و C ، تقع بالتوازي على مسافةد = بمسافة 8 سم ، تم الحفاظ على الإمكانات φ 1= 60 فولت و φ 2 =- 60 فولت على التوالي. تم وضع صفيحة أرضية بينهما.د على مسافة د 1 = 2 سم من اللوحة أ. إلى أي مدى تغيرت شدة المجال في القسمين AD وقرص مضغوط؟ مؤامرات التبعية المؤامرة ϕ (x) و E (x).

مستوى لانهائي مشحون بكثافة شحنة سطحية: لحساب قوة المجال الكهربائي الناتج عن مستوى لانهائي ، نختار أسطوانة في الفضاء ، يكون محورها عموديًا على المستوى المشحون ، وتكون القواعد موازية لها و تمر إحدى القواعد من خلال النقطة الميدانية التي تهمنا. وفقًا لنظرية غاوس ، فإن تدفق متجه شدة المجال الكهربائي عبر سطح مغلق هو:

Ф = ، من ناحية أخرى فهي: Ф = E

قم بمساواة الأجزاء الصحيحة من المعادلات:

نعبر عن = - من خلال كثافة الشحنة السطحية ونجد شدة المجال الكهربائي:

أوجد شدة المجال الكهربائي بين الألواح المشحونة بشكل معاكس بنفس كثافة السطح:

(3)

ابحث عن الحقل خارج اللوحات:

; ; (4)

شدة المجال للكرة المشحونة

(1)

Ф = (2) ر غاوس

ل ص< R

؛ ، لان (لا توجد رسوم داخل المجال)

لـ r = R.

( ; ; )

بالنسبة لـ r> R.

شدة المجال الناتج عن كرة مشحونة بشكل موحد في جميع أنحاء الحجم

كثافة الشحنة الحجمية ،

موزعة على الكرة:

بالنسبة لـ r< R

(؛ Ф =)

لـ r = R.

بالنسبة لـ r> R.

عمل المجال الكهروستاتيكي على حركة المسؤول

مجال الكهرباء الساكنة- البريد الإلكتروني مجال الشحن الثابت.
Fel ، يتصرف بناءً على التهمة ، يحركها ، ويقوم بالعمل.
في مجال كهربائي موحد ، Fel = qE هي قيمة ثابتة

العمل الميداني (القوة الإلكترونية) لا تعتمدعلى شكل المسار وعلى مسار مغلق = صفر.

إذا تحركت شحنة نقطة أخرى Q 0 على طول أي مسار (الشكل 1) في المجال الكهروستاتيكي لشحنة نقطية Q من النقطة 1 إلى النقطة 2 ، فإن القوة المطبقة على الشحنة تقوم ببعض العمل. إن عمل القوة F على الإزاحة الأولية dl هو منذ d ل/ cosα = د ، إذن لا يعتمد العمل عند تحريك الشحنة Q 0 من النقطة 1 إلى النقطة 2 (1) على مسار الحركة ، ولكن يتم تحديده فقط من خلال مواضع النقطة الأولى والنقطتين الأخيرتين. هذا يعني أن المجال الكهروستاتيكي لشحنة نقطية هو جهد ، وأن القوى الكهروستاتيكية متحفظة. من الصيغة (1) ، يمكن ملاحظة أن الشغل الذي يتم القيام به عندما تتحرك شحنة كهربائية في مجال إلكتروستاتيكي خارجي على طول تعسفي مغلق المسار L يساوي الصفر ، أي (2) إذا أخذنا شحنة موجبة أحادية النقطة كشحنة تتحرك في مجال إلكتروستاتيكي ، فإن العمل الأولي لقوى المجال على المسار dl يساوي Еdl = E لد لحيث E ل= Ecosα - إسقاط المتجه E في اتجاه الإزاحة الأولية. ثم يمكن تمثيل الصيغة (2) كـ (3) متكامل يسمى دوران ناقل التوتر. هذا يعني أن دوران متجه شدة المجال الكهروستاتيكي على طول أي حلقة مغلقة يساوي صفرًا. يسمى مجال القوة الذي له خاصية (3) بالاحتمال. من المساواة إلى الصفر لدوران المتجه E ، يترتب على ذلك أنه لا يمكن إغلاق خطوط المجال الكهروستاتيكي ، فهي تبدأ بالضرورة وتنتهي عند الشحنات (موجبة أو سالبة) أو تنتقل إلى ما لا نهاية. الصيغة (3) صالحة فقط للمجال الكهروستاتيكي. فيما يلي ، سيظهر أن الشرط (3) غير صحيح في حالة مجال الشحنات المتحركة (بالنسبة له ، يكون دوران متجه الكثافة غير صفري).

نظرية الدوران للمجال الكهروستاتيكي.

نظرًا لأن المجال الكهروستاتيكي مركزي ، فإن القوى التي تعمل على شحنة في مثل هذا المجال تكون متحفظة. نظرًا لأنه يمثل العمل الأولي الذي تنتجه القوى الميدانية على شحنة وحدة ، فإن عمل القوى المحافظة في حلقة مغلقة يساوي

القدره

يحتوي نظام "الشحنة - الحقل الكهروستاتيكي" أو نظام "الشحنة - الشحنة" على طاقة كامنة ، تمامًا كما يحتوي نظام "مجال الجاذبية - الجسم" على طاقة كامنة.

يتم استدعاء الكمية العددية المادية التي تميز حالة الطاقة في الحقل القدرهنقطة معينة في الميدان. يتم وضع شحنة q في الحقل ، ولها طاقة كامنة W. المحتملة هي إحدى خصائص المجال الكهروستاتيكي.

ضع في اعتبارك الطاقة الكامنة في الميكانيكا. الطاقة الكامنة هي صفر عندما يكون الجسم على الأرض. وعندما يرتفع الجسم إلى ارتفاع معين ، يقال إن الجسم يمتلك طاقة كامنة.

فيما يتعلق بالطاقة الكامنة في الكهرباء ، لا يوجد مستوى صفر للطاقة الكامنة. تم اختياره عشوائيا. لذلك ، فإن الإمكانات هي كمية مادية نسبية.

الطاقة الكامنة للحقل هي الشغل الذي تقوم به القوة الكهروستاتيكية عندما تنتقل الشحنة من نقطة معينة في الحقل إلى نقطة ذات جهد صفري.

دعونا ننظر في حالة خاصة عندما يتم إنشاء مجال إلكتروستاتيكي بواسطة شحنة كهربائية Q. لدراسة إمكانات مثل هذا المجال ، ليست هناك حاجة لإدخال شحنة q فيه. يمكنك حساب إمكانات أي نقطة في هذا المجال ، وتقع على مسافة r من الشحنة Q.

ثابت العزل للوسيط له قيمة معروفة (جدول) ، وهو يميز الوسيط الذي يوجد فيه الحقل. للهواء يساوي واحد.

التباينات المحتملة

يسمى عمل المجال لتحريك الشحنة من نقطة إلى أخرى بفرق الجهد

يمكن تقديم هذه الصيغة في شكل مختلف

مبدأ التراكب

إن إمكانات المجال الذي تم إنشاؤه بواسطة عدة رسوم تساوي المجموع الجبري (مع مراعاة علامة الإمكانات) لإمكانات حقول كل حقل على حدة

هذه هي طاقة نظام الشحنات ذات النقاط الثابتة ، وطاقة الموصل المشحون الانفرادي وطاقة المكثف المشحون.

إذا كان هناك نظام من موصلين مشحونين (مكثف) ، فإن الطاقة الإجمالية للنظام تساوي مجموع الطاقات الكامنة الجوهرية للموصلات وطاقة تفاعلها:

طاقة المجال الكهروستاتيكينظام رسوم النقاط يساوي:

طائرة مشحونة بشكل موحد.
يمكن حساب شدة المجال الكهربائي الناتجة عن مستوى لانهائي مشحون بكثافة شحنة سطحية باستخدام نظرية غاوس.

ويترتب على شروط التناظر أن المتجه هعمودي على المستوى في كل مكان. بالإضافة إلى ذلك ، عند نقاط متناظرة بالنسبة للمستوى ، المتجه هستكون هي نفسها في الحجم والعكس في الاتجاه.
كسطح مغلق ، نختار أسطوانة يكون محورها عموديًا على المستوى ، وتقع القواعد بشكل متماثل بالنسبة للمستوى ، كما هو موضح في الشكل.
نظرًا لأن خطوط التوتر موازية لمولدات السطح الجانبي للأسطوانة ، فإن التدفق عبر السطح الجانبي يساوي صفرًا. لذلك ، تدفق المتجه همن خلال سطح الاسطوانة

,

أين مساحة قاعدة الاسطوانة. تقطع الاسطوانة الشحنة من الطائرة. إذا كان المستوى في وسط متناحي متجانس مع سماحية نسبية ، إذن

عندما لا تعتمد شدة المجال على المسافة بين المستويين ، يسمى هذا المجال متجانس. الرسم البياني التبعية ه (x) لطائرة.

الفرق المحتمل بين نقطتين تقعان على مسافات ص 1 و ص 2 من الطائرة المشحونة يساوي

مثال 2. طائرتان مشحونة بشكل موحد.
دعونا نحسب قوة المجال الكهربائي الناتج عن طائرتين غير متناهيتين. يتم توزيع الشحنة الكهربائية بشكل موحد مع كثافات السطح و. نجد شدة المجال كتراكب لشدة المجال لكل طائرة. يختلف المجال الكهربي عن الصفر فقط في المسافة بين المستويين ويساوي.

الفرق المحتمل بين الطائرات ، أين د-المسافة بين الطائرات.
يمكن استخدام النتائج التي تم الحصول عليها لحساب تقريبي للحقول التي تم إنشاؤها بواسطة ألواح مسطحة ذات أبعاد محدودة ، إذا كانت المسافات بينها أقل بكثير من أبعادها الخطية. تظهر أخطاء ملحوظة في مثل هذه الحسابات عند النظر في الحقول بالقرب من حواف اللوحات. الرسم البياني التبعية ه (x) لطائرتين.

مثال 3. قضيب رفيع مشحون.
لحساب قوة المجال الكهربائي الناتج عن قضيب طويل جدًا مشحون بكثافة شحنة خطية ، نستخدم نظرية غاوس.
على مسافات كبيرة بما فيه الكفاية من نهايات القضيب ، يتم توجيه خطوط المجال الكهربائي شعاعيًا من محور القضيب وتقع في مستويات متعامدة مع هذا المحور. في جميع النقاط على مسافة متساوية من محور القضيب ، تكون القيم العددية للقوة هي نفسها إذا كان القضيب في وسط متناحي متجانس مع عازل نسبي
نفاذية.

لحساب شدة المجال عند نقطة اعتباطية تقع على مسافة صمن محور القضيب ، ارسم سطحًا أسطوانيًا من خلال هذه النقطة
(انظر الصورة). نصف قطر هذه الاسطوانة ص، وارتفاعه ح.
ستكون تدفقات ناقل الشد عبر القاعدة العلوية والسفلية للأسطوانة مساوية للصفر ، لأن خطوط القوة لا تحتوي على مكونات طبيعية لأسطح هذه القواعد. في جميع النقاط على السطح الجانبي للأسطوانة
ه= ثابت.
لذلك ، التدفق الكلي للمتجه همن خلال سطح الاسطوانة سوف يساوي

,

بواسطة نظرية غاوس ، تدفق المتجه هيساوي المجموع الجبري للشحنات الكهربائية الموجودة داخل السطح (في هذه الحالة ، الأسطوانة) مقسومًا على ناتج الثابت الكهربائي والسماحية النسبية للوسط

أين شحنة ذلك الجزء من القضيب الموجود داخل الاسطوانة. لذلك ، شدة المجال الكهربائي

فرق جهد المجال الكهربائي بين نقطتين تقعان على مسافات ص 1 و ص 2 من محور القضيب ، سنجد باستخدام العلاقة بين قوة وإمكانات المجال الكهربائي. نظرًا لأن شدة المجال لا تتغير إلا في الاتجاه الشعاعي ، إذن

مثال 4. سطح كروي مشحون.
المجال الكهربائي الناتج عن سطح كروي ، حيث يتم توزيع شحنة كهربائية ذات كثافة سطحية بشكل موحد ، له طابع متماثل مركزيًا.

يتم توجيه خطوط التوتر على طول نصف القطر من مركز الكرة ، ومعامل المتجه هيعتمد فقط على المسافة صمن مركز الكرة. لحساب المجال ، نختار سطحًا كرويًا مغلقًا من نصف القطر ص.
عندما ص ه = 0.
شدة المجال هي صفر ، حيث لا توجد شحنة داخل الكرة.
بالنسبة إلى r> R (خارج الكرة) ، وفقًا لنظرية غاوس

,

أين السماحية النسبية للوسط المحيط بالكرة.

.

تنخفض الشدة وفقًا لنفس القانون مثل شدة المجال لشحنة نقطية ، أي وفقًا للقانون.
عندما ص .
لـ r> R (خارج الكرة) .
الرسم البياني التبعية ه (ص) للكرة.

مثال 5. كرة عازلة مشحونة بالحجم.
إذا كانت الكرة ذات نصف قطر صمن عازل متناحي متجانس مع نفاذية نسبية يتم شحنه بشكل موحد على الحجم بكثافة ، ثم يكون المجال الكهربائي الذي يخلقه أيضًا متماثلًا مركزيًا.
كما في الحالة السابقة ، نختار سطحًا مغلقًا لحساب تدفق المتجه هعلى شكل كرة متحدة المركز نصف قطرها صيمكن أن تختلف من 0 إلى.
في ص < صناقلات التدفق همن خلال هذا السطح سوف تحدده الشحنة

لهذا السبب

في ص < ص(داخل الكرة) .
داخل الكرة ، يزيد الشد بالتناسب المباشر مع المسافة من مركز الكرة. خارج الكرة (عند ص > ص) في وسط ذو سماحية ، متجه التدفق هعبر السطح ستحدده الشحنة.
عندما r o> R o (خارج الكرة) .
عند حدود "الكرة - البيئة" ، تتغير شدة المجال الكهربائي بشكل مفاجئ ، وتعتمد قيمتها على نسبة سماح الكرة والوسيط. الرسم البياني التبعية ه (ص) للكرة ().

خارج الكرة ( ص > ص) تختلف إمكانات المجال الكهربائي وفقًا للقانون

.

داخل الكرة ( ص < ص) يتم وصف الإمكانات من خلال التعبير

في الختام ، نعطي تعبيرات لحساب شدة المجال للأجسام المشحونة ذات الأشكال المختلفة

التباينات المحتملة
الجهد االكهربى- الفرق بين قيم الإمكانات عند النقطتين الأولية والنهائية للمسار. الجهد االكهربىيساوي عدديًا عمل المجال الكهروستاتيكي عند تحريك وحدة شحنة موجبة على طول خطوط القوة في هذا المجال. لا يعتمد الاختلاف المحتمل (الجهد) على الاختيار نظم الإحداثيات!
وحدة فرق الجهد الجهد هو 1 فولت إذا تحركت شحنة موجبة مقدارها 1 ج على طول خطوط القوة ، فإن المجال يعمل بمقدار 1 ج.

موصلهو جسم صلب توجد فيه "إلكترونات حرة" تتحرك داخل الجسم.

تكون الموصلات المعدنية محايدة بشكل عام: فهي تحتوي على عدد متساوٍ من الشحنات السالبة والموجبة. الأيونات المشحونة إيجابياً هي الأيونات الموجودة في عقد الشبكة البلورية ، والسلبية هي الإلكترونات التي تتحرك بحرية على طول الموصل. عندما يُعطى الموصل عددًا زائدًا من الإلكترونات ، يتم شحنه سالبًا ، ولكن إذا تم "سحب" كمية معينة من الإلكترونات من الموصل ، يتم شحنها بشكل إيجابي.

يتم توزيع الشحنة الزائدة فقط على السطح الخارجي للموصل.

1 . شدة المجال في أي نقطة داخل الموصل تساوي صفرًا.

2 . يتم توجيه المتجه الموجود على سطح الموصل على طول الخط العمودي إلى كل نقطة على سطح الموصل.

من حقيقة أن سطح الموصل متساوي الجهد ، يترتب على ذلك أنه مباشرة عند هذا السطح يتم توجيه المجال على طول الخط الطبيعي إليه عند كل نقطة (الحالة 2 ). إذا لم يكن الأمر كذلك ، فعند عمل المكون المماسي ، ستتحرك الشحنات على طول سطح الموصل. هؤلاء. سيكون توازن الشحنات على الموصل مستحيلًا.

من عند 1 يتبع ذلك منذ ذلك الحين

لا توجد رسوم زائدة داخل الموصل.

يتم توزيع الشحنات فقط على سطح الموصل بكثافة معينة سوتقع في طبقة سطحية رقيقة جدًا (يبلغ سمكها حوالي واحد أو مسافتين بين الذرات).

كثافة الشحنة- هذا هو مقدار الشحنة لكل وحدة طول أو مساحة أو حجم ، وبالتالي تحديد كثافة الشحنة الخطية والسطح والحجم ، والتي يتم قياسها في نظام SI: كولوم لكل متر [C / م] ، كولوم لكل متر مربع [ C / m²] وكولوم لكل متر مكعب [C / m³] ، على التوالي. على عكس كثافة المادة ، يمكن أن يكون لكثافة الشحنة قيم موجبة وسالبة ، ويرجع ذلك إلى حقيقة وجود شحنة موجبة وسالبة.

مشكلة الكهرباء الساكنة العامة

ناقلات التوتر

وفقًا لنظرية غاوس

- معادلة بواسون.

في حالة - لا توجد رسوم بين الموصلات ، نحصل عليها

- معادلة لابلاس.

دع الشروط الحدية على أسطح الموصلات معروفة: القيم ؛ إذن هذه المشكلة لها حل فريد وفقًا لـ نظرية التفرد.

عند حل المشكلة ، يتم تحديد القيمة ثم يتم تحديد المجال بين الموصلات من خلال توزيع الشحنات على الموصلات (وفقًا لمتجه الكثافة بالقرب من السطح).

تأمل في مثال. أوجد الشد في التجويف الفارغ للموصل.

الإمكانات في التجويف ترضي معادلة لابلاس ؛

المحتملة على جدران الموصل.

حل معادلة لابلاس في هذه الحالة تافه ، وبنظرية التفرد لا توجد حلول أخرى

، بمعنى آخر. لا يوجد مجال في تجويف الموصل.

معادلة بواسونهي معادلة تفاضلية جزئية بيضاوية تصف ، من بين أشياء أخرى

المجال الكهربائي

مجال درجة حرارة ثابتة ،

مجال الضغط

· مجال جهد السرعة في الديناميكا المائية.

سمي على اسم عالم الفيزياء والرياضيات الفرنسي الشهير سيميون دينيس بواسون.

تبدو هذه المعادلة كما يلي:

أين هو عامل لابلاس أو لابلاس ، وهى وظيفة حقيقية أو معقدة في بعض المشعب.

في نظام إحداثيات ديكارت ثلاثي الأبعاد ، تأخذ المعادلة الشكل:

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، تتم كتابة عامل لابلاس بالشكل وتأخذ معادلة بواسون الشكل:

اذا كان Fيميل إلى الصفر ، ثم تتحول معادلة بواسون إلى معادلة لابلاس (معادلة لابلاس هي حالة خاصة من معادلة بواسون):

يمكن حل معادلة بواسون باستخدام وظيفة جرين. انظر ، على سبيل المثال ، المقالة التي تم فحصها معادلة بواسون. هناك طرق مختلفة للحصول على الحلول العددية. على سبيل المثال ، يتم استخدام خوارزمية تكرارية - "طريقة الاسترخاء".

سننظر في الموصل الانفرادي ، أي موصل تمت إزالته بشكل كبير من الموصلات والهيئات والشحنات الأخرى. إمكاناته ، كما تعلم ، تتناسب طرديا مع شحنة الموصل. من المعروف من التجربة أن الموصلات المختلفة ، كونها مشحونة بشكل متساوٍ ، لها إمكانات مختلفة. لذلك ، بالنسبة للموصل الانفرادي ، يمكنك كتابة القيمة (1) تسمى السعة الكهربائية (أو ببساطة السعة) للموصل الانفرادي. تُعطى سعة الموصل الانفرادي بواسطة شحنة ، يغير توصيلها للموصل إمكاناته بمقدار واحد. تعتمد سعة الموصل الانفرادي على حجمه وشكله ، ولكنها لا تعتمد على مادة وشكل وحجم التجاويف داخل الموصل ، فضلاً عن حالة التجميع. والسبب في ذلك هو أن الشحنات الزائدة تتوزع على السطح الخارجي للموصل. لا تعتمد السعة أيضًا على شحنة الموصل ولا على إمكاناته. وحدة السعة الكهربائية هي farad (F): 1 F هي السعة لمثل هذا الموصل الانفرادي ، حيث يتغير الجهد بمقدار 1 فولت عندما يتم نقل شحنة 1 درجة مئوية إليه. وفقًا للصيغة الخاصة بإمكانية الشحنة النقطية ، فإن إمكانات الكرة المنفردة التي يبلغ نصف قطرها R ، والتي تقع في وسط متجانس مع سماحية ε ، تساوي تطبيق الصيغة (1) ، نحصل على سعة الكرة (2) يترتب على ذلك أن الكرة المنفردة سيكون لها سعة 1 فهرنهايت ، وتقع في فراغ ولها نصف قطر R = C / (4πε 0) ≈9 10 6 كم ، وهو ما يقرب من 1400 مرة أكبر من نصف قطر الأرض (السعة الكهربائية للأرض C≈0.7 mF). وبالتالي ، فإن الفاراد قيمة كبيرة إلى حد ما ، لذلك ، في الممارسة العملية ، يتم استخدام وحدات فرعية - ميلي فاراد (mF) ، ميكروفاراد (μF) ، نانوفاراد (nF) ، بيكوفاراد (pF). ويترتب على ذلك أيضًا من الصيغة (2) أن وحدة الثابت الكهربائي 0 هي فاراد لكل متر (F / m) (انظر (78.3)).

مكثف(من اللات. مكثف- "مدمجة" ، "سميكة") - شبكة ذات طرفين ذات قيمة معينة من السعة وموصلية أوم منخفضة ؛ جهاز لتجميع شحنة وطاقة مجال كهربائي. المكثف مكون إلكتروني سلبي. يتكون عادة من قطبين كهربائيين على شكل لوحة (يسمى واجهات) ، مفصولة بعزل ، سمكها صغير مقارنة بأبعاد الألواح.

سعة

السمة الرئيسية للمكثف هي سعةيميز قدرة المكثف على تخزين شحنة كهربائية. تظهر قيمة السعة الاسمية في تعيين المكثف ، بينما يمكن أن تختلف السعة الفعلية بشكل كبير اعتمادًا على العديد من العوامل. تحدد السعة الفعلية للمكثف خواصه الكهربائية. لذلك ، من خلال تعريف السعة ، فإن الشحنة الموجودة على اللوحة تتناسب مع الجهد بين الألواح ( ف = CU). تتراوح قيم السعة النموذجية من بيكوفاراد إلى آلاف الميكروفاراد. ومع ذلك ، توجد مكثفات (مؤينون) بسعة تصل إلى عشرات الفاراد.

سعة مكثف مسطح ، تتكون من لوحين معدنيين متوازيين بمساحة سيقع كل منها على مسافة دمن بعضها البعض ، في نظام SI يتم التعبير عنها بالصيغة: هذه الصيغة صالحة فقط عندما دأصغر بكثير من الأبعاد الخطية للوحات.

للحصول على سعات كبيرة ، يتم توصيل المكثفات بشكل متوازٍ. في هذه الحالة ، يكون الجهد بين لوحات جميع المكثفات هو نفسه. سعة البطارية الإجمالية موازىالمكثفات المتصلة تساوي مجموع السعات لجميع المكثفات المضمنة في البطارية.

إذا كانت جميع المكثفات المتصلة بالتوازي لها نفس المسافة بين الألواح وخصائص العازل ، فيمكن تمثيل هذه المكثفات كمكثف واحد كبير ، مقسم إلى أجزاء من منطقة أصغر.

عندما يتم توصيل المكثفات في سلسلة ، فإن شحنات جميع المكثفات هي نفسها ، حيث يتم توفيرها من مصدر الطاقة للأقطاب الكهربائية الخارجية فقط ، وعلى الأقطاب الكهربائية الداخلية يتم الحصول عليها فقط بسبب فصل الشحنات التي كانت تحيد بعضها سابقًا . سعة البطارية الإجمالية على التواليالمكثفات المتصلة

أو

تكون هذه السعة دائمًا أقل من السعة الدنيا للمكثف المتضمن في البطارية. ومع ذلك ، عند التوصيل على التوالي ، تقل احتمالية انهيار المكثفات ، لأن كل مكثف يمثل جزءًا فقط من الاختلاف المحتمل لمصدر الجهد.

إذا كانت مساحة الألواح لجميع المكثفات المتصلة على التوالي هي نفسها ، فيمكن تمثيل هذه المكثفات كمكثف واحد كبير ، بين الألواح التي يوجد بها كومة من الألواح العازلة لجميع المكثفات التي تتكون منها.

[عدل] القدرة النوعية

تتميز المكثفات أيضًا بسعة محددة - نسبة السعة إلى حجم (أو كتلة) العازل. يتم تحقيق الحد الأقصى لقيمة السعة المحددة عند الحد الأدنى لسمك العازل ، ومع ذلك ، ينخفض ​​جهد الانهيار.

الدوائر الكهربائية تستخدم مجموعة متنوعة من طرق توصيل المكثفات. توصيل المكثفاتيمكن صنعه: على التوالي, موازىو سلسلة متوازية(يسمى الأخير أحيانًا اتصال مكثف مختلط). يتم عرض الأنواع الحالية لتوصيل المكثفات في الشكل 1.

الشكل 1. طرق توصيل المكثفات.

في المجال الكهربائي المنتظم ، تكون القوة المؤثرة على الجسيم المشحون ثابتة من حيث الحجم والاتجاه. لذلك ، فإن حركة مثل هذا الجسيم مماثلة تمامًا لحركة الجسم في مجال الجاذبية الأرضية دون مراعاة مقاومة الهواء. يكون مسار الجسيم في هذه الحالة مسطحًا ، ويقع في المستوى الذي يحتوي على متجهات السرعة الابتدائية للجسيم وشدة المجال الكهربائي

إمكانات المجال الكهروستاتيكي. تعبير عام يتعلق باحتمالية التوتر.

الإمكانات φ في أي نقطة من المجال الكهروستاتيكي هي كمية فيزيائية تحددها الطاقة الكامنة لشحنة موجبة واحدة موضوعة في هذه النقطة. إمكانات المجال الذي تم إنشاؤه بواسطة نقطة شحنة Q هي

المحتملة - كمية مادية ، يتم تحديدها من خلال عمل تحريك شحنة كهربائية موجبة واحدة عند إزالتها من نقطة معينة في المجال إلى اللانهاية. هذا العمل يساوي عدديًا الشغل الذي تقوم به القوى الخارجية (ضد قوى المجال الكهروستاتيكي) في تحريك وحدة شحنة موجبة من اللانهاية إلى نقطة معينة في المجال.

وحدة الجهد هي الفولت (V): 1 فولت تساوي إمكانات مثل هذه النقطة في الحقل حيث تكون الطاقة الكامنة لشحنة مقدارها 1 ج 1 (1 فولت = 1 ج / ج). بالنظر إلى أبعاد الفولت ، يمكن إظهار أن وحدة شدة المجال الكهروستاتيكي التي تم تقديمها مسبقًا هي بالفعل 1 V / m: 1 N / Cl = 1 N · m / (Cl · m) = 1 J / (Cl · m) = 1 V / م.

من الصيغتين (3) و (4) ، يترتب على ذلك أنه إذا تم إنشاء الحقل بواسطة عدة شحنات ، فإن إمكانات المجال المعين لنظام الشحنات تساوي المجموع الجبري لإمكانيات مجالات كل هذه الرسوم:

القوة في أي نقطة من المجال الكهربائي تساوي التدرج المحتمل عند هذه النقطة ، مع الإشارة المعاكسة. تشير علامة الطرح إلى أن الكثافة E موجهة في اتجاه تناقص الجهد.

E = - grad phi = - N phi.

لإنشاء اتصال بين خاصية القدرة المميزة للمجال الكهربائي - القوة وخاصية الطاقة الخاصة به - الإمكانات ، ضع في اعتبارك العمل الأولي لقوى المجال الكهربائي على إزاحة صغيرة بلا حدود لشحنة نقطية q: dA = q E dl ، نفس الشغل يساوي الانخفاض في الطاقة الكامنة للشحنة q: dA = - dWп = - q dphi ، حيث d phi هو التغير في جهد المجال الكهربائي على طول السفر dl. معادلة الأجزاء الصحيحة من التعبيرات ، نحصل على: E dl = -d phi أو في نظام الإحداثيات الديكارتية

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

حيث Ex ، Ey ، Ez هي إسقاطات متجه الكثافة على محاور نظام الإحداثيات. نظرًا لأن التعبير هو تفاضل كلي ، فعندئذٍ بالنسبة لإسقاطات متجه الكثافة لدينا

التعبير الموجود بين قوسين هو التدرج اللوني لجهد فاي.

مبدأ التراكب كخاصية أساسية للحقول. التعبيرات العامة لقوة وإمكانات المجال الذي تم إنشاؤه في نقطة مع متجه نصف قطر بواسطة نظام رسوم نقطية يقع في نقاط ذات إحداثيات. (انظر البند 4)

إذا أخذنا في الاعتبار مبدأ التراكب بالمعنى الأكثر عمومية ، فوفقًا له ، سيكون مجموع تأثير القوى الخارجية المؤثرة على الجسيم هو مجموع القيم الفردية لكل منها. ينطبق هذا المبدأ على أنظمة خطية مختلفة ، أي الأنظمة التي يمكن وصف سلوكها بالعلاقات الخطية. مثال على ذلك هو موقف بسيط عندما تنتشر موجة خطية في وسط معين ، وفي هذه الحالة سيتم الحفاظ على خصائصها حتى تحت تأثير الاضطرابات الناشئة عن الموجة نفسها. يتم تعريف هذه الخصائص على أنها مجموع محدد من تأثيرات كل من المكونات التوافقية.

يمكن لمبدأ التراكب أيضًا أن يأخذ صيغًا أخرى مكافئة تمامًا للصيغة المذكورة أعلاه:

· لا يتغير التفاعل بين جسيمين عند إدخال جسيم ثالث ، والذي يتفاعل أيضًا مع الجسيمين الأولين.

· طاقة التفاعل لجميع الجسيمات في نظام متعدد الجسيمات هي ببساطة مجموع طاقات التفاعلات الزوجية بين جميع أزواج الجسيمات الممكنة. لا توجد تفاعلات متعددة الجسيمات في النظام.

· المعادلات التي تصف سلوك نظام متعدد الجسيمات تكون خطية في عدد الجسيمات.

6 دوران ناقل التوتر هو الشغل الذي تقوم به القوى الكهربائية عند تحريك شحنة موجبة واحدة على طول مسار مغلق L

نظرًا لأن عمل قوى المجال الكهروستاتيكي في حلقة مغلقة هو صفر (عمل قوى المجال المحتملة) ، فإن دوران شدة المجال الكهروستاتيكي في حلقة مغلقة يساوي صفرًا.

الإمكانات الميدانية. كما أن عمل أي مجال إلكتروستاتيكي عند تحريك جسم مشحون فيه من نقطة إلى أخرى لا يعتمد أيضًا على شكل المسار ، وكذلك على عمل المجال المنتظم. في مسار مغلق ، يكون عمل المجال الكهروستاتيكي صفرًا دائمًا. الحقول التي تحتوي على هذه الخاصية تسمى الحقول المحتملة. على وجه الخصوص ، المجال الكهروستاتيكي لشحنة نقطية له خاصية محتملة.
يمكن التعبير عن عمل مجال محتمل من حيث التغيير في الطاقة الكامنة. الصيغة صالحة لأي مجال إلكتروستاتيكي.

7-11 إذا كانت خطوط القوة لمجال كهربائي موحد للقوة تخترق بعض المنطقة S ، فسيتم تحديد تدفق متجه الكثافة (الذي استخدمناه لاستدعاء عدد خطوط القوة عبر المنطقة) بواسطة الصيغة:

حيث En هو ناتج المتجه والعادي لمنطقة معينة (الشكل 2.5).

أرز. 2.5

العدد الإجمالي لخطوط القوة التي تمر عبر السطح S يسمى تدفق متجه الكثافة FU عبر هذا السطح.

في شكل متجه ، يمكنك أن تكتب - الناتج القياسي لمتجهين ، حيث يكون المتجه.

وبالتالي ، فإن التدفق المتجه هو عدد قياسي ، والذي ، اعتمادًا على الزاوية α ، يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا.

ضع في اعتبارك الأمثلة الموضحة في الشكلين 2.6 و 2.7.

	أرز. 2.6	أرز. 2.7

بالنسبة للشكل 2.6 ، السطح A1 محاط بشحنة موجبة ويتم توجيه التدفق هنا للخارج ، أي السطح A2- محاط بشحنة سالبة ، وهنا يتم توجيهه إلى الداخل. إجمالي التدفق عبر السطح A يساوي صفرًا.

بالنسبة للشكل 2.7 ، سيكون التدفق غير صفري إذا كانت الشحنة الكلية داخل السطح غير صفرية. بالنسبة لهذا التكوين ، يكون التدفق عبر السطح A سالبًا (حساب عدد خطوط الحقل).

وبالتالي ، يعتمد تدفق متجه الشدة على الشحنة. هذا هو معنى نظرية أوستروجرادسكي-غاوس.

نظرية جاوس

يتيح قانون كولوم المعمول به تجريبياً ومبدأ التراكب إمكانية وصف المجال الكهروستاتيكي لنظام معين من الشحنات في الفراغ. ومع ذلك ، يمكن التعبير عن خصائص المجال الكهروستاتيكي في شكل مختلف وأكثر عمومية ، دون اللجوء إلى مفهوم حقل كولوم لشحنة نقطية.

دعونا نقدم كمية فيزيائية جديدة تميز المجال الكهربائي - التدفق Φ لمتجه شدة المجال الكهربائي. دع بعض المساحة الصغيرة بما فيه الكفاية ΔS تقع في الفضاء حيث يتم إنشاء المجال الكهربائي. يُطلق على ناتج وحدة المتجه والمنطقة S وجيب الزاوية α بين المتجه والطبيعي للموقع اسم التدفق الأولي لمتجه الكثافة عبر الموقع ΔS (الشكل 1.3.1):

دعونا الآن نفكر في بعض الأسطح المغلقة التعسفية S. إذا قسمنا هذا السطح إلى مساحات صغيرة ΔSi ، حدد التدفقات الأولية i للحقل من خلال هذه المساحات الصغيرة ، ثم نلخصها ، ونتيجة لذلك نحصل على التدفق Φ من متجه عبر السطح المغلق S (الشكل 1.3.2):

تنص نظرية جاوس:

تدفق متجه شدة المجال الكهروستاتيكي عبر سطح مغلق عشوائي يساوي المجموع الجبري للشحنات الموجودة داخل هذا السطح ، مقسومًا على الثابت الكهربائي ε0.

حيث R هو نصف قطر الكرة. سيكون التدفق Φ عبر السطح الكروي مساويًا لمنتج E ومساحة الكرة 4πR2. لذلك،

دعونا الآن نحيط شحنة النقطة بسطح مغلق تعسفيًا S وننظر في كرة مساعدة نصف قطرها R0 (الشكل 1.3.3).

اعتبر مخروطًا بزاوية صلبة صغيرة ΔΩ عند الرأس. يحدد هذا المخروط مساحة صغيرة ΔS0 على الكرة ومساحة S على السطح S. التدفقات الأولية ΔΦ0 و عبر هذه المناطق هي نفسها. هل حقا،

بطريقة مماثلة ، يمكن للمرء أن يوضح أنه إذا كان السطح المغلق S لا يحتوي على شحنة نقطية q ، فإن التدفق Φ = 0. مثل هذه الحالة موضحة في الشكل. 1.3.2. جميع خطوط القوة للمجال الكهربائي لشحنة نقطية تخترق السطح المغلق S من خلاله. لا توجد شحنات داخل السطح S ، وبالتالي ، في هذه المنطقة ، لا تنكسر خطوط القوة ولا تنشأ.

ينبع تعميم نظرية غاوس في حالة التوزيع التعسفي للشحنات من مبدأ التراكب. يمكن تمثيل مجال أي توزيع شحنة كمجموع متجه للمجالات الكهربائية لشحنات النقاط. سيكون تدفق Φ لنظام الشحنات عبر سطح مغلق عشوائي S هو مجموع التدفقات Φi للمجالات الكهربائية للشحنات الفردية. إذا تبين أن الشحنة qi موجودة داخل السطح S ، فإنها تقدم مساهمة في التدفق تساوي ما إذا كانت هذه الشحنة خارج السطح ، فإن مساهمة مجالها الكهربائي في التدفق ستكون صفرًا.

وهكذا ، تم إثبات نظرية جاوس.

نظرية جاوس هي نتيجة لقانون كولوم ومبدأ التراكب. ولكن إذا قبلنا العبارة الواردة في هذه النظرية كبديهية أولية ، فسيكون قانون كولوم هو نتيجتها. لذلك ، تسمى نظرية غاوس أحيانًا بصيغة بديلة لقانون كولوم.

باستخدام نظرية غاوس ، في عدد من الحالات يكون من السهل حساب شدة المجال الكهربائي حول جسم مشحون إذا كان لتوزيع الشحنة المعطى نوع من التناظر ويمكن تخمين الهيكل العام للمجال مسبقًا.

مثال على ذلك هو مشكلة حساب مجال أسطوانة طويلة رقيقة الجدران ، مجوفة ، مشحونة بشكل موحد نصف قطرها R. هذه المشكلة لها تناظر محوري. لأسباب تتعلق بالتناظر ، يجب توجيه المجال الكهربائي على طول نصف القطر. لذلك ، لتطبيق نظرية غاوس ، يُنصح باختيار سطح مغلق S على شكل أسطوانة متحدة المحور نصف قطرها ص وطول ل ، مغلق عند كلا الطرفين (الشكل 1.3.4).

بالنسبة لـ r ≥ R ، سيمر التدفق الكامل لمتجه الكثافة عبر السطح الجانبي للأسطوانة ، مساحته تساوي 2πrl ، نظرًا لأن التدفق عبر كلا القاعدتين يساوي صفرًا. يعطي تطبيق نظرية غاوس:

لا تعتمد هذه النتيجة على نصف القطر R للأسطوانة المشحونة ، لذا فهي تنطبق أيضًا على مجال خيوط طويلة مشحونة بشكل منتظم.

لتحديد شدة المجال داخل أسطوانة مشحونة ، من الضروري إنشاء سطح مغلق للحالة r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

وبالمثل ، يمكن تطبيق نظرية غاوس لتحديد المجال الكهربائي في عدد من الحالات الأخرى حيث يكون لتوزيع الشحنة نوع من التناظر ، على سبيل المثال ، التناظر حول المركز أو المستوى أو المحور. في كل حالة من هذه الحالات ، من الضروري اختيار سطح غاوسي مغلق بشكل مناسب. على سبيل المثال ، في حالة التناظر المركزي ، من الملائم اختيار سطح غاوسي في شكل كرة تتمحور حول نقطة تناظر. مع التناظر المحوري ، يجب اختيار سطح مغلق على شكل أسطوانة متحدة المحور مغلقة عند كلا الطرفين (كما في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه). إذا لم يكن لتوزيع الشحنات أي تناظر ولا يمكن تخمين الهيكل العام للمجال الكهربائي ، فإن تطبيق نظرية غاوس لا يمكن أن يبسط مشكلة تحديد شدة المجال.

تأمل مثالًا آخر للتوزيع المتماثل للشحنات - تعريف مجال المستوى المنتظم الشحنة (الشكل 1.3.5).

في هذه الحالة ، يُنصح باختيار السطح الغاوسي S على شكل أسطوانة بطول معين ، ومغلقة عند كلا الطرفين. يتم توجيه محور الأسطوانة بشكل عمودي على المستوى المشحون ، وتقع نهاياته على نفس المسافة منه. بسبب التناظر ، يجب توجيه مجال المستوى المشحون بشكل موحد على طول المستوى الطبيعي في كل مكان. يعطي تطبيق نظرية غاوس:

حيث σ هي كثافة شحنة السطح ، أي الشحنة لكل وحدة مساحة.

التعبير الناتج عن المجال الكهربائي لمستوى مشحون بشكل موحد قابل للتطبيق أيضًا في حالة المساحات المشحونة المسطحة ذات الحجم المحدود. في هذه الحالة ، يجب أن تكون المسافة من النقطة التي يتم فيها تحديد شدة المجال إلى المنطقة المشحونة أقل بكثير من حجم المنطقة.

وجداول 7-11

1. شدة المجال الكهربائي الناتج عن سطح كروي مشحون بشكل موحد.

دع سطحًا كرويًا نصف قطره R (الشكل 13.7) يتحمل شحنة موزعة بشكل موحد q ، أي ستكون كثافة شحنة السطح في أي نقطة على الكرة هي نفسها.

أ. نضع السطح الكروي في سطح متماثل S نصف قطره r> R. شدة متجه التدفق عبر السطح S ستكون مساوية

وفقًا لنظرية غاوس

لذلك

ج. دعونا نرسم من خلال النقطة B ، الواقعة داخل السطح الكروي المشحون ، الكرة S التي يبلغ نصف قطرها r

2. المجال الالكتروستاتيكي للكرة.

دعنا نحصل على كرة نصف قطرها R ، مشحونة بشكل موحد مع الكثافة الظاهرية.

في أي نقطة A ، مستلقية خارج الكرة على مسافة r من مركزها (r> R) ، يكون مجالها مشابهًا لمجال النقطة المشحونة الموجودة في مركز الكرة. ثم خارج الكرة

(13.10)

وعلى سطحه (ص = ص)

(13.11)

عند النقطة B ، داخل الكرة على مسافات r من مركزها (r> R) ، يتم تحديد المجال فقط من خلال الشحنة الموجودة داخل كرة نصف القطر r. شدة متجه التدفق عبر هذا المجال يساوي

من ناحية أخرى ، وفقًا لنظرية غاوس

وفقًا لنظرية غاوس

من التعبيرين الأخيرين ، نحدد شدة المجال التي تم إنشاؤها بواسطة مؤشر ترابط مشحون بشكل موحد:

(13.13)

دع المستوى يكون له مدى لانهائي وتكون الشحنة لكل وحدة مساحة تساوي σ. يترتب على قوانين التناظر أن المجال موجه في كل مكان بشكل عمودي على المستوى ، وإذا لم تكن هناك رسوم خارجية أخرى ، فيجب أن تكون الحقول على جانبي المستوى هي نفسها. لنقصر جزءًا من المستوى المشحون على صندوق أسطواني وهمي ، بحيث يتم قطع الصندوق إلى نصفين وتكون مولداته متعامدة ، وقاعدتان ، كل منهما منطقة S ، موازية للمستوى المشحون (الشكل 1.10).

12. مجال كرة مشحونة بشكل موحد.

دع المجال الكهربائي يتم إنشاؤه بواسطة الشحنة س، موزعة بشكل موحد على سطح كرة نصف قطرها ص(الشكل 190). لحساب جهد المجال عند نقطة عشوائية تقع على مسافة صمن مركز الكرة ، من الضروري حساب الشغل الذي يقوم به المجال عند تحريك وحدة شحنة موجبة من نقطة معينة إلى ما لا نهاية. لقد أثبتنا سابقًا أن شدة مجال كرة مشحونة بشكل موحد خارجه تعادل مجال شحنة نقطية تقع في مركز الكرة. لذلك ، خارج الكرة ، ستتزامن إمكانات مجال الكرة مع إمكانات مجال الشحنة النقطية

φ (ص)=س 4πε 0ص . (1)

على وجه الخصوص ، على سطح الكرة ، فإن الإمكانات تساوي φ 0=س 4πε 0ص. لا يوجد مجال إلكتروستاتيكي داخل الكرة ، لذا فإن العمل على تحريك الشحنة من نقطة اعتباطية داخل الكرة إلى سطحها يساوي صفرًا أ= 0 ، إذن ، الفرق المحتمل بين هذه النقاط يساوي أيضًا صفر φ = -أ= 0. لذلك ، فإن كل النقاط الموجودة داخل الكرة لها نفس الإمكانات ، والتي تتطابق مع إمكانات سطحها φ 0=س 4πε 0ص .

إذن ، توزيع الجهد المجال للكرة ذات الشحنة المنتظمة له الشكل (الشكل 191)

φ (ص)=⎧⎩⎨س 4πε 0ص، npu ص<RQ 4πε 0ص، npu ص>ص . (2)

يرجى ملاحظة أنه لا يوجد مجال داخل الكرة ، والإمكانات تختلف عن الصفر! هذا المثال هو توضيح حي لحقيقة أن الإمكانات يتم تحديدها من خلال قيمة المجال من نقطة معينة إلى ما لا نهاية.