هذا الدرس مخصص للدراسة الذاتية لموضوع "الزاوية ثنائية السطوح". خلال هذا الدرس ، سيتعرف الطلاب على أحد أهم الأشكال الهندسية ، الزاوية ثنائية السطوح. في الدرس أيضًا ، علينا أن نتعلم كيفية تحديد الزاوية الخطية للشكل الهندسي قيد الدراسة وما هي الزاوية ثنائية السطوح عند قاعدة الشكل.

لنكرر ما هي الزاوية على مستوى وكيف يتم قياسها.

أرز. 1. الطائرة

ضع في اعتبارك المستوى α (الشكل 1). من وجهة نظر اشعاعان يخرجان OVو OA.

تعريف. الشكل الذي يتكون من شعاعين ينبثقان من نفس النقطة يسمى الزاوية.

تُقاس الزاوية بالدرجات والراديان.

لنتذكر ما هو راديان.

أرز. 2. راديان

إذا كانت لدينا زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف القطر ، فإن هذه الزاوية المركزية تسمى زاوية 1 راديان. ، ∠ AOB= 1 راد (الشكل 2).

العلاقة بين الراديان والدرجات.

مسرور.

نحن نحصل عليه ، سعداء. (). ثم،

تعريف. زاوية زوجيةيسمى الشكل المكون من خط مستقيم أوأنصاف طائرتين بحد مشترك ألا ينتمون إلى نفس الطائرة.

أرز. 3. نصف طائرات

ضع في اعتبارك أنصاف طائرتين α و (الشكل 3). الحدود المشتركة بينهما هي أ. يسمى هذا الرقم بزاوية ثنائية السطوح.

المصطلح

أنصاف المستويات α و هي وجوه الزاوية ثنائية السطوح.

مستقيم أهي حافة الزاوية ثنائية الأضلاع.

على حافة مشتركة أزاوية ثنائية السطوح اختر نقطة عشوائية ا(الشكل 4). في نصف المستوى α من النقطة ااستعادة العمودي OAإلى خط مستقيم أ. من نفس النقطة افي نصف المستوى الثاني نبني العمود العمودي OVعلى الضلع أ. حصلت على زاوية AOB، والتي تسمى الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

أرز. 4. قياس زاوية ثنائي السطوح

دعونا نثبت المساواة بين جميع الزوايا الخطية لزاوية ثنائية السطوح معينة.

دعونا نحصل على زاوية ثنائية الأضلاع (الشكل 5). اختر نقطة او نقطة حوالي 1على خط مستقيم أ. لنقم ببناء زاوية خطية مقابلة للنقطة ا، أي نرسم عمودين OAو OVفي المستويين α و ، على التوالي ، إلى الحافة أ. نحصل على الزاوية AOBهي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

أرز. 5. توضيح للإثبات

من وجهة نظر حوالي 1ارسم عمودين الزراعة العضوية 1و OB 1على الضلع أفي المستويين α و ، على التوالي ، نحصل على الزاوية الخطية الثانية أ 1 س 1 ب 1.

أشعة س 1 أ 1و OAذات الاتجاه المشترك ، حيث أنها تقع في نفس نصف المستوى ومتوازية مع بعضها البعض كعموديين متعامدين على نفس الخط أ.

وبالمثل ، الأشعة حوالي 1 في 1و OVمحاذاة ، مما يعني ∠ AOB =∠ أ 1 س 1 ب 1كزوايا ذات جوانب توجيهية ، والتي كان من المقرر إثباتها.

مستوى الزاوية الخطية عمودي على حافة الزاوية ثنائية السطوح.

إثبات: أ ⊥ AOW.

أرز. 6. توضيح للإثبات

دليل - إثبات:

OA ⊥ أعن طريق البناء ، OV ⊥ أعن طريق البناء (الشكل 6).

لقد حصلنا على هذا الخط أعمودي على خطين متقاطعين OAو OVخارج الطائرة AOB، وهو ما يعني مستقيم أعمودي على المستوى OABالتي كان من المقرر إثباتها.

تُقاس الزاوية ثنائية السطوح بزاوية خطية. هذا يعني أنه يتم احتواء العديد من درجات الراديان في زاوية خطية ، حيث يتم احتواء العديد من درجات الراديان في زاوية ثنائية السطوح. وفقًا لهذا ، يتم تمييز الأنواع التالية من الزوايا ثنائية الأضلاع.

شارب (الشكل 6)

تكون الزاوية ثنائية الأضلاع حادة إذا كانت الزاوية الخطية حادة ، أي .

مستقيم (الشكل 7)

تكون الزاوية ثنائية السطوح صحيحة عندما تكون الزاوية الخطية 90 درجة - منفرج (الشكل 8)

الزاوية ثنائية الأضلاع منفرجة عندما تكون الزاوية الخطية منفرجة ، أي .

أرز. 7. الزاوية اليمنى

أرز. 8. زاوية منفرجة

أمثلة على بناء الزوايا الخطية بأرقام حقيقية

ABCد- رباعي السطوح.

1. أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة AB.

أرز. 9. توضيح للمشكلة

مبنى:

نحن نتحدث عن زاوية ثنائية السطوح تتكون من حافة ABووجوه ABدو ABC(الشكل 9).

لنرسم خطًا مستقيمًا دحعمودي على المستوى ABC, حهي قاعدة العمود العمودي. دعونا نرسم منحرف دمعمودي على الخط AB ،م- قاعدة مائلة. من خلال نظرية العمودي الثلاثة ، نستنتج أن إسقاط المائل NMعمودي أيضًا على الخط AB.

هذا هو ، من وجهة نظر ماستعادة عمودين متعامدين على الحافة ABعلى الجانبين ABدو ABC. لدينا زاوية خطية دMN.

لاحظ أن AB، حافة الزاوية ثنائية السطوح ، عموديًا على مستوى الزاوية الخطية ، أي المستوى دMN. تم حل المشكلة.

تعليق. يمكن الإشارة إلى الزاوية ثنائية السطوح على النحو التالي: دABC، أين

AB- الحافة والنقاط دو معالاستلقاء على جوانب مختلفة من الزاوية.

2. أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة تيار متردد.

لنرسم عموديًا دحالى الطائرة ABCومائل دنعمودي على الخط مثل.من خلال نظرية العمودي الثلاثة ، نحصل على ذلك HN- الإسقاط المائل دنالى الطائرة ABC ،عمودي أيضًا على الخط مثل.دنيو هامبشاير- الزاوية الخطية لزاوية ثنائية الأضلاع مع ضلع تيار متردد.

في رباعي الوجوه دABCكل الحواف متساوية. نقطة م- وسط الضلع تيار متردد. إثبات أن الزاوية دMV- الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح أنتد، أي زاوية ثنائية الأضلاع بحافة تيار متردد. أحد حوافه تيار مترددد، ثانيا - DIA(الشكل 10).

أرز. 10. توضيح المشكلة

قرار:

مثلث ADC- متساوي الاضلاع، DMهو الوسيط ومن ثم الارتفاع. وسائل، دم ⊥ مثل.وبالمثل ، المثلث أفيج- متساوي الاضلاع، فيمهو الوسيط ، ومن ثم الارتفاع. وسائل، VM ⊥ مثل.

إذن من هذه النقطة مضلوع تيار مترددأعادت الزاوية ثنائية السطوح عمودين DMو VMإلى هذه الحافة في وجوه الزاوية ثنائية السطوح.

إذن ∠ DMفيهي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح ، والتي كان من المقرر إثباتها.

لذلك ، حددنا الزاوية ثنائية السطوح ، الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

في الدرس التالي ، سننظر في عمودية الخطوط والمستويات ، ثم نتعلم ماهية الزاوية ثنائية الأضلاع في قاعدة الأشكال.

مراجع حول موضوع "الزاوية ثنائية السطوح" ، "الزاوية ثنائية السطوح عند قاعدة الأشكال الهندسية"

1. الهندسة. الصف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / Sharygin I. F. - M: Bustard، 1999. - 208 p.: ill.
2. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة وملف تعريف للرياضيات / E. في بوتوسكويف ، إل آي زفاليتش. - الطبعة السادسة ، الصورة النمطية. - م: بوستارد ، 2008. - 233 ص: م.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

عمل منزلي حول موضوع "الزاوية ثنائية السطوح" ، وتحديد الزاوية ثنائية السطوح عند قاعدة الأشكال

الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية (المستويات الأساسية والملف الشخصي) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة مصححة ومكملة - م: Mnemozina، 2008. - 288 ص: مريضة.

المهام 2 ، 3 ص .67.

ما هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح؟ كيف نبنيها؟

ABCد- رباعي السطوح. أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة:

أ) فيدب) دمع.

ABCDA 1 ب 1 ج 1 د 1 - مكعب زاوية الرسم الخطي للزاوية ثنائية السطوح أ 1 أ ب جمع ضلع AB. تحديد مقياس درجته.

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشريحة للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

أهداف الدرس: تقديم مفهوم الزاوية ثنائية السطوح وزاويتها الخطية ؛

النظر في مهام لتطبيق هذه المفاهيم ؛

لتكوين مهارة بناءة لإيجاد الزاوية بين المستويات ؛

النظر في مهام لتطبيق هذه المفاهيم.

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية.

أبلغ موضوع الدرس ، وشكل أهداف الدرس.

ثانيًا. تفعيل معرفة الطلاب (الشريحة 2 ، 3).

1. التحضير لدراسة المواد الجديدة.

ما يسمى الزاوية على المستوى؟

ما هي الزاوية بين الخطوط في الفضاء تسمى؟

ما هي الزاوية بين الخط والمستوى تسمى؟

صِغ نظرية العمودي الثلاثة

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

• مفهوم الزاوية ثنائية السطوح.

الشكل المكون من طائرتين نصفيتين تمران عبر الخط MN يسمى الزاوية ثنائية السطوح (الشريحة 4).

نصف المستويات هي وجوه ، والخط المستقيم MN هو حافة زاوية ثنائية السطوح.

ما الأشياء في الحياة اليومية التي لها شكل زاوية ثنائية الأضلاع؟ (الشريحة 5)

• الزاوية بين المستويين ACH و CHD هي الزاوية ثنائية السطوح ACND ، حيث CH هي حافة. تقع النقطتان A و D على وجهي هذه الزاوية. الزاوية AFD هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية الأضلاع ACHD (الشريحة 6).

• خوارزمية لتكوين زاوية خطية (الشريحة 7).

1 الطريق. على الحافة ، خذ أي نقطة O وارسم خطوط عمودية على هذه النقطة (PO DE ، KO DE) واحصل على الزاوية ROCK - الخطية.

2 طريقة. خذ نقطة K في نصف مستوى وقم بإسقاط عمودين منه على نصف المستوى الآخر وحافة (KO و KR) ، ثم بواسطة نظرية TTP العكسية PODE

• جميع الزوايا الخطية للزاوية ثنائية الأضلاع متساوية (الشريحة 8). الإثبات: الأشعة OA و O 1 A 1 موجهة بشكل مشترك ، والأشعة OB و O 1 B 1 موجهة أيضًا بشكل مشترك ، وزاويتا BOA و B 1 O 1 A 1 متساويتان كزوايا ذات جوانب مشتركة.

• قياس درجة الزاوية ثنائية السطوح هو قياس درجة الزاوية الخطية (الشريحة 9).

رابعا. توحيد المواد المدروسة.

• حل المشكلات (شفهيًا وفقًا للرسومات الجاهزة). (الشرائح 10-12)

1. RAVS - الهرم. الزاوية ACB تساوي 90 درجة ، والخط المستقيم PB عمودي على المستوى ABC. إثبات أن الزاوية PCB هي زاوية خطية لزاوية ثنائية السطوح مع

2. RAVS - الهرم. AB \ u003d BC ، D هي نقطة منتصف المقطع AC ، والخط المستقيم PB عمودي على المستوى ABC. إثبات أن الزاوية PDB هي زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع مع حافة AC.

3. PABCD - الهرم. المستقيم PB عمودي على المستوى ABC ، ​​BC متعامد على DC. إثبات أن الزاوية PKB هي زاوية خطية لزاوية ثنائية السطوح مع قرص مضغوط حافة.

• مهام بناء زاوية خطية (الشريحتان 13-14).

1. أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة AC ، إذا كان الوجه ABC في الهرم RABC هو مثلث منتظم ، O هو نقطة تقاطع المتوسطات ، والخط المستقيم RO عمودي على المستوى ABC

2. المعين ABCD معطى ، الخط المستقيم PC متعامد مع المستوي ABCD.

أنشئ زاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع بحافة BD وزاوية خطية لزاوية ثنائية الأضلاع مع حافة AD.

• مهمة حسابية. (الشريحة 15)

في متوازي الأضلاع ABCD ، الزاوية ADC تساوي 120 0 ، AD = 8 سم ،

DC = 6 سم ، الكمبيوتر بخط مستقيم عمودي على المستوى ABC ، ​​PC = 9 سم.

أوجد قيمة الزاوية ثنائية الأضلاع مع الحافة AD ومساحة متوازي الأضلاع.

خامساً - الواجب المنزلي (الشريحة 16).

ص 22 ، رقم 168 ، 171.

كتب مستخدمة:

1. الهندسة 10-11 L.S Atanasyan.
2. نظام المهام حول موضوع "الزوايا ثنائية السطوح" بقلم إم في سيفوستيانوفا (مورمانسك) ، مجلة الرياضيات في المدرسة 198 ...

بين الخطوط العمودية على حافة الزاوية ثنائية السطوح ، استعادة في كلا الوجهين من نفس النقطة.

الموسوعة الرياضية. - م: الموسوعة السوفيتية. آي إم فينوغرادوف. 1977-1985.

شاهد ما هو "LINEAR ANGLE" في القواميس الأخرى:

Moltke Cruiser "Moltke" في نيويورك عام 1912 نوع المعلومات الأساسية ... ويكيبيديا

الزوج. كسر أو كسر أو ركبة أو كوع أو نتوء أو شق (حوض) على وجه واحد. الزاوية خطية ، أي ضربتين متعاكستين والفاصل الزمني بينهما ؛ زاوية مستوية أو في طائرات ، التقاء طائرتين أو جدارين ؛ زاوية سميكة ، سمين ، لقاء في واحد ... قاموس دال التوضيحي

بارجة ... ويكيبيديا

من ناحية أخرى ، في مساحة المتجه L ، خريطة تخصص لكل متجه e القرن من المجموعة D (الواردة في L وتسمى مجال تعريف L. o.) مع متجه آخر ، يُشار إليه بواسطة Ae (وتسمى قيمة L. o. على المتجه e). اكتمل بعد ذلك. الظروف … موسوعة فيزيائية

هذا المصطلح له معاني أخرى ، انظر حربية (معاني). سلف "المدرعة" لفئة البوارج ... ويكيبيديا

من الضروري نقل محتويات هذه المقالة إلى المادة "المجد (أرماديلو)". يمكنك مساعدة المشروع من خلال دمج المقالات. إذا كنت بحاجة إلى مناقشة مدى استصواب الدمج ، فاستبدل هذا القالب بالقالب ((للدمج)) ... ويكيبيديا

"زاوية ثنائية السطوح" - أوجد المسافة من النقطة ب إلى المستوى. الزاوية C حادة. المثلث ABC مثلث منفرج. الزاوية C منفرجة. المسافة من نقطة إلى خط. في DABC رباعي السطوح جميع الحواف متساوية. الزاوية بين المنحدرات. المسافة بين قاعدتي المائل. الزوايا الخطية للزاوية ثنائية السطوح متساوية. خوارزمية لبناء زاوية خطية.

"هندسة الزاوية ثنائية السطوح" - الزاوية RSV - خطي لزاوية ثنائية السطوح مع حافة AC. ابحث عن (انظر) حافة ووجوه الزاوية ثنائية الأضلاع. يمكن أن يكون النموذج ثلاثي الأبعاد وقابل للطي. مقطع من زاوية ثنائية الأضلاع بمستوى عمودي على الحافة. جوانب. الخط CP عمودي على الحافة CA (بواسطة نظرية العمودي الثلاثة). زاوية RKV - خطية لزاوية ثنائية السطوح مع RSAV.

"زاوية ثلاثية السطوح" - علامات تساوي الزوايا ثلاثية السطوح. معطى: Оabc - زاوية ثلاثية السطوح ؛ ؟ (ب ؛ ج) =؟ ؛ ؟ (أ ؛ ج) =؟ ؛ ؟ (أ ؛ ب) =؟. الدرس 6 1) لحساب الزاوية بين خط مستقيم ومستوى ، الصيغة قابلة للتطبيق: صيغة ثلاثة جيب تمام. . نظرا لزاوية ثلاثية السطوح Oabc. زاوية مثلثة. نظرية. في الهرم الثلاثي العادي ، تكون الزاوية المسطحة عند القمة أقل من 120 درجة.

"الزوايا ثلاثية السطوح ومتعددة السطوح" - الزوايا ثلاثية السطوح للثني عشر السطوح. الزوايا ثلاثية السطوح ورباعية السطوح للثنائي الوجوه المعيني. زوايا رباعية السطوح من ثماني السطوح. زوايا ثلاثية السطوح من رباعي السطوح. قياس الزوايا متعددة السطوح. مهمة. زوايا متعددة الأوجه. الزوايا الخماسية للعشروني الوجوه. الزوايا العمودية متعددة السطوح. ركن ثلاثي السطوح للهرم. دع SA1 ... تكون زاوية محدبة ذات وجه n.

"الزاوية بين الخط والمستوى" - في المنشور السادس العادي A ... F1 ، التي تساوي حوافها 1 ، أوجد الزاوية بين الخط AC1 والمستوى ADE1. في المنشور السادس الصحيح A ... F1 ، الذي تساوي حوافه 1 ، أوجد الزاوية بين الخط AA1 والمستوى ACE1. الزاوية بين الخط والمستوى. في المنشور السادس العادي A ... F1 ، الذي تساوي حوافه 1 ، أوجد الزاوية بين الخط AB1 والمستوى ADE1.

"الزاوية متعددة السطوح" - زوايا محدبة متعددة السطوح. زوايا متعددة الأوجه. اعتمادًا على عدد الوجوه ، تكون الزوايا متعددة السطوح ثلاثية السطوح ، ورباعية السطوح ، وخماسية السطوح ، وما إلى ذلك. الزاويتان المستويتان لزاوية ثلاثية السطوح هما 70 درجة و 80 درجة. لذلك، ؟ ASB +؟ BSC +؟ ASC< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

في المجموع هناك 9 عروض في الموضوع

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

DOUBLE ANGLE مدرس الرياضيات مدرسة GOU الثانوية №10 Eremenko M.A.

الأهداف الرئيسية للدرس: تقديم مفهوم الزاوية ثنائية الأضلاع وزاويتها الخطية ، والنظر في مهام لتطبيق هذه المفاهيم

التعريف: الزاوية ثنائية الأضلاع عبارة عن شكل يتكون من نصف مستويين بخط حد مشترك.

قيمة الزاوية ثنائية الأضلاع هي قيمة الزاوية الخطية. AF CD BF ⊥ CD AFB هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح ACD B

دعنا نثبت أن جميع الزوايا الخطية للزاوية ثنائية الأضلاع متساوية مع بعضها البعض. ضع في اعتبارك زاويتين خطيتين AOB و A 1 OB 1. تقع الأشعة OA و OA 1 على نفس الوجه وتكون متعامدة مع OO 1 ، لذلك يتم توجيههما بشكل مشترك. يتم توجيه الأشعة OB و OB 1 أيضًا. لذلك ، ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (كزوايا ذات جوانب تحويلية).

أمثلة على الزوايا ثنائية الأضلاع:

التعريف: الزاوية بين مستويين متقاطعين هي أصغر زوايا ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات.

المهمة 1: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ABC و CDD 1. الجواب: 90 درجة.

المهمة 2: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ABC و CDA 1. الجواب: 45 درجة.

المهمة 3: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ABC و BDD 1. الجواب: 90 درجة.

المهمة 4: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين ACC 1 و BDD 1. الجواب: 90 درجة.

المهمة 5: في المكعب A ... D 1 أوجد الزاوية بين المستويين BC 1 D و BA 1 D. الحل: لنفترض أن O هي نقطة منتصف B D. A 1 OC 1 هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح A 1 B D C 1.

المشكلة 6: في رباعي الوجوه DABC جميع الحواف متساوية ، النقطة M هي نقطة المنتصف للحافة AC. أثبت أن ∠ DMB هي زاوية خطية للزاوية ثنائية السطوح BACD.

الحل: المثلثات ABC و ADC منتظمة ، لذا فإن BM AC و DM ⊥ AC وبالتالي ∠ DMB هي زاوية خطية للزاوية ثنائية السطوح DACB.

المهمة 7: من الرأس B للمثلث ABC ، ​​الذي يقع جانبه AC في المستوى α ، يتم رسم BB 1 عموديًا على هذا المستوى. أوجد المسافة من النقطة B إلى الخط AC وإلى المستوى αif AB = 2 ، ∠BAC = 150 0 والزاوية ثنائية السطوح BACB 1 تساوي 45 0.

الحل: ABC مثلث منفرج بزاوية منفرجة A ، لذا فإن قاعدة ارتفاع BK تقع على امتداد الضلع AC. VC هي المسافة من النقطة B إلى AC. BB 1 - المسافة من النقطة B إلى المستوى α

2) منذ AS ⊥VK ، ثم AS⊥KV 1 (حسب النظرية عكس نظرية العمودي الثلاثة). لذلك ، ∠VKV 1 هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح BACB 1 و ∠VKV 1 = 45 0. 3) ∆VAK: ∠A = 30 0 ، VK = VA sin 30 0 ، VK = 1. ∆VKV 1: VV 1 \ u003d VK sin 45 0 ، VV 1 \ u003d