منصفات المثلث. منصفان aa1 و bb1 لمثلث

من المعروف من المدرسة أن ثلاثة مناصرات للزوايا الداخلية لمثلث تتقاطع عند نقطة واحدة - مركز دائرة منقوشة في هذا المثلث.

نظرية 1.زاوية منصف لكنمثلث ABCنقطة التقاطع للمنصرين قابلة للقسمة على عد من الجانب حيث أ ، ب ، ج- أطوال الأضلاع BC ، AC ، ABعلى التوالى.

دليل - إثبات.اسمحوا ان AA 1 و BB 1 - منصفات الزاوية لكنو فيعلى التوالي في مثلث ABC ، Lهي نقطة تقاطعهم ، أ ، ب ، ج- أطوال الأضلاع BC ، AC ، ABعلى التوالي (الشكل 62). ثم من خلال نظرية المنصف المطبقة على المثلث ABCسوف نحصل على

أو ب VA 1 = ac - مع VA 1 أو فيرجينيا 1 (ب + ج)= تيار متردد، يعني، فيرجينيا 1 = مع.بنفس النظرية المطبقة على المثلث AVA 1 نحصل عليه لكن 1 إل : لوس أنجلوس = : معأو = .

نظرية 2.اذا كان إل ABCدائرة ، إذن

Ð ALV= 90 درجة + ص ج.

دليل - إثبات.إذا كان مجموع زوايا المثلث 180 درجة وأن المركز إلالدائرة المنقوشة هي نقطة تقاطع منصف المثلث ، سيكون لدينا (شكل 62):

Ð ALV= 180 درجة - ( Ð ABL + BAL) = 180 درجة - ( Ð ABC + أنت) =

180 درجة - (180 درجة - Р С) = 180 درجة - 90 درجة + ص ج= 90 درجة + ص ج.

نظرية 3.اذا كان إل- أشر على منصف الزاوية معمثلث ABCمثل ذلك Ð ALV= 90 درجة + ص ج، من ثم إل- مركز مثلث منقوش ABCدائرة.

دليل - إثبات.دعونا نثبت أن أيا من النقاط إل 1 بين جو إللا يمكن أن يكون مركز دائرة منقوشة (الشكل 62 أ).

نملك R AL 1 مع 1 < Ð ALC 1 ، منذ الزاوية الخارجية للمثلث AL 1 إلأكبر من أي زاوية داخلية غير مجاورة لها. نفس الطريقة Р ВL 1 مع < Ð BLC 1 .

لذا R AL 1 في < Ð ALV= 90 درجة + ص ج. وسائل، إلالرقم 1 ليس مركز الدائرة المنقوشة ، لأن شرط علامة مركز الدائرة المنقوشة غير مستوفٍ (انظر النظرية 2).

إذا كانت النقطة إل 2 على المنصف SS 1 لا ينتمي إلى المقطع CL، من ثم R AL 2 في > Ð ALV= 90 درجة + ص جومرة أخرى لم يتم استيفاء حالة علامة مركز الدائرة المنقوشة. إذن ، مركز الدائرة المنقوشة هو النقطة إل.

نظرية 4.المسافة من رأس المثلث إلى نقطة التلامس في الدائرة المنقوشة مع الضلع الذي يمر عبر هذا الرأس تساوي نصف محيط هذا المثلث ، مقلصة من الضلع المقابل.

دليل - إثبات.اسمحوا ان لكن 1 , في 1 , مع 1 - نقاط تلامس الدائرة المنقوشة مع أضلاع المثلث ABC(الشكل 63) ، أ ، ب ، ج- أطوال الأضلاع BC ، AC ، ABعلى التوالى.

اسمحوا ان تيار متردد 1 = X، ثم AB 1 = العاشر ، الشمس 1 = ق - س = فيرجينيا 1 , في 1 مع = ب - س \ u003d CA 1 ,

أ = BC = BA 1 + SA 1 = (ج - س) + (ب - س) \ u003d ج + ب – 2 X.

ثم أ + أ = أ + ب + ج – 2 X، أو 2 أ = 2 ص – 2 X، أو س = ص - أ.

نظرية 5.في أي مثلث ABCمن خلال نقطة إليمر تقاطع منصف الزاويتين الخارجيتين بمنصف الزاوية الثالثة ، بينما تمر النقطة إلعلى مسافات متساوية من الخطوط التي تحتوي على جوانب المثلث.

دليل - إثبات.اسمحوا ان إل- نقطة تقاطع زاويتين خارجيتين فيو معالمثلث ABC(الشكل 64). بما أن كل نقطة في المنصف على نفس المسافة من جانبي الزاوية ، فإن النقطة إذن إل ABو شمس، لأنها تنتمي للمنصف BL. وهي أيضًا على نفس المسافة من الخطوط المستقيمة. شمسو تيار متردد، لأنها تنتمي للمنصف CL. لذلك ، فإن النقطة إلعلى نفس المسافة من الخطوط المستقيمة وأنتو شمس. منذ هذه النقطة إلعلى نفس المسافة من الخطين ABو تيار متردد، من ثم هيئة الأوراق المالية- زاوية منصف أنت.

الدائرة التي تلامس أحد أضلاع المثلث وامتدادات الضلعين الآخرين تسمى الدائرة المخططة في هذا المثلث.

النتيجة 1.تقع مراكز الدوائر الموصوفة في المثلث عند نقاط تقاطع أزواج من المنصّفات من زواياها الخارجية.

نظرية 6.نصف قطر الدائرة المحاطة بمثلث يساوي نسبة ضلع هذا المثلث وجيب تمام نصف الزاوية المقابلة ، مضروبًا في جيب نصفي الزاويتين الأخريين.

"أنواع المثلثات" - أنواع المثلثات. وفقًا للطول المقارن للأضلاع ، يتم تمييز أنواع المثلثات التالية. الأنواع التالية تتميز بحجم الزوايا. تسمى النقاط الرؤوس ، والمقاطع تسمى الأضلاع.

"زوايا المثلث" - مثلث حاد. هل يمكن أن يكون للمثلث زاويتان قائمتان؟ مثلث متساوي الاضلاع. مثلث متساوي الساقين. مثلث قائم. مثلث منفرج الزاوية. هل يمكن أن يكون للمثلث زاويتان منفرجتان؟ في مثلث متساوي الأضلاع ، الزوايا هي 600. في مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، الزوايا الحادة 450 لكل منهما.

"دروس الهندسة في الصف السابع" - حل المشكلات. الساقين قبل الميلاد و سا. العمل حسب الرسومات الجاهزة. مجموع زوايا المثلث. مواد جديدة. مثلث قائم. رقم المهمة 1. حل المشاكل حسب الرسومات الجاهزة. رقم 232 (شفهي) عدد 231. أثبت أن الزاوية ABC أقل من الزاوية ADC. اختبار شفوي. درس الهندسة في الصف السابع. الوتر AB.

"المثلث الأيمن" - المعلومات حول إقليدس نادرة للغاية. المثلث هو مضلع بثلاثة أضلاع (أو ثلاث زوايا). إقليدس هو مؤلف أعمال في علم الفلك ، البصريات ، الموسيقى ، إلخ. الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية غير المجاورة له. إقليدس هو أول عالم رياضيات في مدرسة الإسكندرية. تعريفات. اختبار السيطرة.

"مثلث متساوي الساقين وخصائصه" - قم بتسمية قاعدة وجوانب هذه المثلثات. أوجد قيمة الزاوية 1 إذا كانت قيمة الزاوية 2 تساوي 40 درجة؟ أ ، ج - زوايا قاعدة مثلث متساوي الساقين. هل المثلثات متساوية؟ أين توجد مثلثات متساوية الساقين في الحياة؟ AM هو الوسيط. يسمى المثلث الذي تتساوى أضلاعه جميعًا بمثلث متساوي الأضلاع.

"المثلث الأيمن الهندسي" - الأعداد المصرية: احسب مساحة قطعة الأرض ذات الشكل المثلث لفلاح مصري. مساحون. ماذا أطلق المصريون على المثلث الصحيح؟ البناة المصريون: الساق والوتر في مصر فيثاغورس: الساق والوتر في الهندسة. أسئلة المساحين: - الساق أكبر من الوتر. الضلع المقابل للزاوية 60 درجة يساوي نصف طول الوتر.

كرر وعمم النظريات المدروسة ؛
النظر في تطبيقها في حل عدد من المشاكل ؛
إعداد الطلاب لامتحانات القبول بالجامعة ؛
تعليم التنفيذ الجمالي لرسومات المهام.

المعدات: جهاز عرض الوسائط المتعددة. ملحق 1 .

خلال الفصول:

1. لحظة تنظيمية.

2. فحص الواجب المنزلي:

إثبات النظريات - طالبان + طالبان - مستشارون (محققون) ؛
حل مشاكل المنزل - 3 طلاب ؛
العمل مع الفصل - حل المشكلات الشفوي:

تقسم النقطة C 1 الضلع AB للمثلث ABC بالنسبة إلى 2: 1. النقطة B 1 تقع على استمرار الجانب AC بعد النقطة C ، و AC \ u003d CB 1. ما هي النسبة التي يقسمها الخط B 1 C 1 على الضلع BC؟ (في الشريحة 2).

الحل: وباستخدام نظرية مينيلوس نجد:.

في المثلث ABC AD هو الوسيط ، والنقطة O هي نقطة منتصف الوسيط. يتقاطع الخط BO مع الجانب AC عند النقطة K.

ما هي النسبة التي تقسمها النقطة K على AC ، بدءًا من النقطة A؟ (في الشريحة 3).

قرار:دع ВD = DC = a ، AO = ОD = m. يتقاطع الخط BK مع الجانبين ويمتد الضلع الثالث من المثلث ADC. بحسب نظرية مينلاوس .

في المثلث ABC على الجانب BC تؤخذ النقطة N بحيث تكون NC = 3BN ؛ على امتداد الجانب AC ، تؤخذ النقطة M كنقطة A بحيث يكون MA = AC. يتقاطع الخط MN مع الجانب AB عند النقطة F. أوجد النسبة. (في الشريحة 4).

الحل: حسب حالة المشكلة ، MA = AC، NC = 3 BN. دع MA = AC = b ، BN = k ، NC = 3k. يتقاطع الخط MN مع ضلعين من المثلث ABC وامتداد المثلث الثالث. بحسب نظرية مينلاوس

تؤخذ النقطة N على جانب PQ من المثلث PQR ، والنقطة L تؤخذ على الجانب PR ، و NQ = LR. تقسم نقطة تقاطع المقطعين QL و NR QR في النسبة m: n ، بدءًا من النقطة Q. ابحث عن PN: PR. (في الشريحة 5).

الحل: حسب الشرط NQ = LR ،. دع NA = LR = a ، QF = km ، LF = kn. يتقاطع الخط NR مع جانبي المثلث PQL وامتداد الضلع الثالث. بحسب نظرية مينلاوس

3. تنمية المهارات العملية.

1. حل المشكلات:

إثبات النظرية: تتقاطع وسطاء المثلث عند نقطة واحدة ؛ تقسم نقطة التقاطع كل منها بنسبة 2: 1 ، عد من الأعلى. (الشكل 1 الشريحة 6).

إثبات: لنفترض أن AM 1، VM 2، CM 3 هي متوسطات المثلث ABC. لإثبات أن هذه المقاطع تتقاطع عند نقطة واحدة ، يكفي إظهار ذلك بعد ذلك ، وفقًا لنظرية Ceva (معكوسًا) ، تتقاطع المقاطع AM 1 و VM 2 و CM 3 عند نقطة واحدة. نملك:

لذلك ، ثبت أن متوسطات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة.

دع O تكون نقطة تقاطع المتوسطات. يتقاطع الخط M 3 C مع ضلعين من المثلث AVM 2 واستمرارًا للجانب الثالث من هذا المثلث. بحسب نظرية مينلاوس

أو .

بالنظر إلى نظرية مينلاوس للمثلثات AM 1 C و AM 2 C ، نحصل على ذلك

. لقد تم إثبات النظرية.

إثبات النظرية: تتقاطع منصفات المثلث عند نقطة واحدة.(الشكل 2 الشريحة 6).

الدليل: يكفي إظهار ذلك . ثم ، من خلال (معكوس) نظرية Ceva ، يتقاطع AL 1 ، BL 2 ، CL 3 عند نقطة واحدة. حسب خاصية منصف المثلث:

. بضرب المساواة التي تم الحصول عليها بمصطلح ، نحصل على: . لذلك ، بالنسبة لمنصّفات المثلث ، فإن مساواة Ceva تتحقق ، وبالتالي ، تتقاطع عند نقطة واحدة. لقد تم إثبات النظرية.

المهمة 7

إثبات النظرية: تتقاطع ارتفاعات المثلث الحاد عند نقطة واحدة.(الشكل 3 الشريحة 6).

الإثبات: اجعل AH 1، AH 2، AH 3 هي ارتفاعات المثلث ABC بأضلاعه أ ، ب ، ج. من المثلثين بزاوية قائمة ABH 2 و BCH 2 ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، نعبر ، على التوالي ، عن مربع الضلع المشترك BH 2 ، للدلالة على AH 2 = x ، CH 2 = b - x.

(BH 2) 2 \ u003d c 2 - x 2 و (BH 2) 2 \ u003d a 2 - (b - x) 2. معادلة الأجزاء الصحيحة من المساواة التي تم الحصول عليها ، نحصل عليها بـ 2 - x 2 \ u003d a 2 - (b - x) 2 ، حيث x \ u003d.

ثم ب –x = ب - =.

إذن ، AH 2 = ، CH 2 =.

بالمثل عن المثلثات القائمة الزاوية ACH 2 و BCH 3 و VAN 1 و SAN 1 ، نحصل على AN 3 = و VN 3 = و VN 1 = ،

لإثبات النظرية ، يكفي إظهار ذلك . ثم ، من خلال نظرية Ceva (معكوس) ، تتقاطع المقاطع AN 1 و VN 2 و CH 3 عند نقطة واحدة. بالتعويض في الجانب الأيسر من المعادلة عن التعبيرات الخاصة بأطوال المقاطع AN 3 و VN 3 و VN 1 و CH 1 و CH 2 و AN 2 حتى a و b و c ، نتأكد من أن Ceva مساوية لارتفاعات تحقق المثلث. لقد تم إثبات النظرية.

المهام 5 - 7 قرار مستقل من 3 طلاب. (رسومات الشاشة).

2. أخرى:

إثبات النظرية: إذا كانت الدائرة منقوشة في مثلث ، فإن الأجزاء التي تربط رؤوس المثلث بنقاط التلامس بين الجانبين المتقابلين تتقاطع عند نقطة واحدة. (في الشكل 4 ، الشريحة 6).

إثبات: لنفترض أن A 1 و B 1 و C 1 هي نقاط الظل للدائرة المنقوشة للمثلث ABC. لإثبات أن المقاطع AA 1 و BB 1 و CC 1 تتقاطع عند نقطة واحدة ، يكفي إظهار أن مساواة Ceva راضية:

. باستخدام خاصية الظل المستمدة من نقطة واحدة ، نقدم الترميز: BC 1 = BA 1 = x ، CA 1 = CB 1 = y ، AB 1 = AC 1 = z.

. تم استيفاء مساواة Ceva ، مما يعني أن المقاطع المشار إليها (منصفات المثلث) تتقاطع عند نقطة واحدة. هذه النقطة تسمى نقطة جيرجون. لقد تم إثبات النظرية.

3. تحليل المهام 5 ، 6 ، 7.

المهمة 9

لنفترض أن AD هو متوسط المثلث ABC. تؤخذ النقطة K على الجانب AD بحيث أن AK: KD = 3: 1. الخط المستقيم BK يقسم المثلث ABC إلى قسمين. أوجد النسبة بين مساحات هذين المثلثين. (في الشريحة 7 الشكل 1)

الحل: دع AD = DC = a ، KD = m ، ثم AK = 3m. لنفترض أن P هي نقطة تقاطع الخط VC مع الجانب AC. أنت بحاجة إلى إيجاد علاقة. بما أن المثلثين ABP و PBC لهما ارتفاعات متساوية مأخوذة من الرأس B ، إذن =. وفقًا لنظرية مينلاوس ، بالنسبة للمثلث ADC والقطع PB لدينا: . هكذا =.

المهمة 10

في مثلث ABC محصور حول دائرة ، AB \ u003d 8 ، BC \ u003d 5 ، AC \ u003d 4. A 1 و C 1 هما نقطتا الاتصال التي تنتمي إلى الجانبين BC و BA ، على التوالي. ف - نقطة تقاطع مقطعي AA 1 و SS 1. النقطة P تقع على المنصف BB 1. ابحث عن AR: RA 1.

(في الشريحة 7 الشكل 2)

الحل: لا تتطابق نقطة تماس الدائرة مع الضلع AC مع B 1 ، لأن المثلث ABC هو مقياس. دع C 1 B \ u003d x ، إذن ، باستخدام خاصية الظلال المرسومة إلى الدائرة من نقطة واحدة ، نقدم الترميز (انظر الشكل) 8 - x + 5 - x \ u003d 4، x \ u003d.

ومن ثم ، C 1 B \ u003d VA 1 \ u003d ، A 1 C \ u003d 5 - \ u003d ، AC 1 \ u003d 8 - \ u003d.

في المثلث ABA 1 ، يتقاطع المستقيم C 1 C مع ضلعين من ضلعه وامتداد ضلع ثالث. بحسب نظرية مينلاوس .

الجواب: 70: 9.

أضلاع المثلث هي 5 و 6 و 7. أوجد نسبة الأجزاء التي يقسم فيها منصف الزاوية الأكبر لهذا المثلث على مركز الدائرة المدرجة في المثلث. (في الشريحة 7).

الحل: لنفترض أن AB = 5 ، BC = 7 ، AC = 6 في المثلث ABC ، الزاوية BAC تقع مقابل الضلع الأكبر في المثلث ABC ، مما يعني أن الزاوية BAC هي الزاوية الأكبر في المثلث. يقع مركز الدائرة المنقوشة للمثلث عند تقاطع المنصفين. دع O تكون نقطة تقاطع المنصفين. من الضروري العثور على AO: OD. بما أن AD هو منصف المثلث ABC ، إذن ، BD = 5k ، DC = 6k. بما أن BF هو منصف المثلث ABC ، إذن ، AF = 5m ، FC = 7m. يتقاطع الخط BF مع الجانبين ويمتد الضلع الثالث من المثلث ADC. بحسب نظرية مينلاوس .

4. حل مستقل للمشاكل 9 ، 10 ، 11.- 3 طلاب.

المهمة 12 (لجميع الطلاب المتبقين في الفصل):

يتقاطع المنصفان BE و AD للمثلث ABC عند النقطة Q. أوجد مساحة المثلث ABC إذا كانت مساحة المثلث BQD = 1 ، 2AC = 3 AB ، 3BC = 4 AB. (الشكل 4 في الشريحة 7).

الحل: دع AB = a ، ثم AC = ، BC =. إذن ، AD هو منصف المثلث ABC ، أي BD = 2p ، DC = 3p. إذن ، BE هو منصف المثلث ABC ، AE = 3 كيلو ، EC = 4 كيلو. في المثلث BEC ، يتقاطع الخط AD مع جانبين من ضلعه وامتداد الضلع الثالث. بحسب نظرية مينلاوس ، ، أي EQ = 9 م ، QB = 14 م. المثلثات QBD و EBC لها زاوية مشتركة ، لذلك ، S EBC = .

المثلثان ABC و BEC لهما ارتفاعات متساوية مأخوذة من الرأس B ، لذلك ، S ABC =.

5. تحليل المشاكل 9 ، 10 ، 11.

حل المشكلات - ورشة عمل:

أ. على الجانبين BC و CA و AB لمثلث متساوي الساقين ABC بقاعدة AB ، تؤخذ النقاط A 1 و B 1 و C 1 ، بحيث تكون الخطوط AA 1 و BB 1 و CC 1 منافسة.

اثبت ذلك

دليل - إثبات:

وفقًا لنظرية Ceva ، لدينا: (1).

بموجب قانون الجيب: ، حيث CA 1 = CA. ،

، من أين أ 1 ب = أب. و ,

من أين AB 1 = AB. و ، من أين ب 1 ج = ق. ، منذ CA = BC حسب الشرط. استبدال المساواة التي تم الحصول عليها بالمساواة (1) نحصل على:

Q.E.D.

ب. على الجانب AC من المثلث ABC ، تؤخذ النقطة M بحيث تكون AM = AC ، وعلى امتداد الضلع BC تؤخذ النقطة N بحيث تكون BN = CB. في أي علاقة تقسم النقطة P - نقطة تقاطع المقطعين AB و MN كل جزء من هذه الأجزاء؟

وفقًا لنظرية مينلاوس ، بالنسبة للمثلث ABC والقطع MN لدينا:

. حسب الشرط بالتالي ،

منذ 0.5. (-2). س \ u003d 1 ، - 2x \ u003d - 2 ، س \ u003d 1.

بالنسبة للمثلث MNC و secant AB ، وفقًا لنظرية Menelaus ، لدينا: حسب الشرط

يعني - ، من أين ،.

8. حل المشكلات بشكل مستقل: الخيار 1:

1. على امتداد الجوانب AB ، BC ، AC للمثلث ABC ، النقاط C 1 ، A 1 ، B 1 تؤخذ على التوالي ، بحيث AB \ u003d BC 1 ، BC \ u003d CA 1 ، CA \ u003d AB 1. أوجد النسبة التي يقسم بها الخط AB 1 الضلع 1 ج 1 في المثلث 1 ب 1 ج 1. (3 نقاط).

2. تؤخذ النقطة M على وسيط CC 1 للمثلث ABC. تتقاطع الخطوط المستقيمة AM و VM مع جانبي المثلث ، على التوالي ، عند النقطتين A 1 و B 1. برهن أن الخطين AB و A 1 B 1 متوازيان. (3 نقاط).

3. دع النقاط C 1 و A 1 و B 1 تؤخذ على التوالي في استمرار الأضلاع AB و BC و AC للمثلث ABC. أثبت أن النقاط A 1 و B 1 و C 1 تقع على خط مستقيم واحد إذا وفقط إذا كانت المساواة . (4 نقاط).

6. دع النقاط C 1 و A 1 و B 1 تؤخذ على الجوانب AB و BC و AC للمثلث ABC ، على التوالي ، بحيث تتقاطع الخطوط AA 1 و BB 1 و CC 1 عند النقطة O. أثبت أن المساواة . (5 نقاط).

7 . دع النقاط A 1، B 1، C 1، D 1 تؤخذ على الحواف AB و BC و CD و AD من رباعي السطوح ABCD ، على التوالي. أثبت أن النقاط A 1 ، B 1 ، C 1 ، D 1 تقع في نفس المستوى إذا وفقط عند المساواة (5 نقاط).

الخيار 2:

1. تقسم النقطتان A 1 و B 1 الضلع BC و AC للمثلث ABC بنسب 2: 1 و 1: 2. يتقاطع الخطان AA 1 و BB 1 عند النقطة O. مساحة المثلث ABC هي 1. أوجد منطقة مثلث OBC. (3 نقاط).

2. الجزء MN الذي يربط بين نقطتي منتصف الضلع AD و BC للرباع ABCD مقسم قطريًا إلى ثلاثة أجزاء متساوية. إثبات أن ABCD هو شبه منحرف ، أحد قواعد AB أو CD هو ضعف الآخر. (3 نقاط).

3. دع النقاط C 1 و A 1 و B 1 تؤخذ على التوالي على الضلع AB واستمرار الضلع BC و AC للمثلث ABC. إثبات أن الخطوط AA 1 و BB 1 و С 1 تتقاطع عند نقطة واحدة أو تكون متوازية إذا وفقط إذا كانت المساواة . (4 نقاط).

4. باستخدام نظرية Ceva ، أثبت أن ارتفاعات المثلث أو امتداداتهما تتقاطع عند نقطة واحدة. (4 نقاط).

5. إثبات أن الخطوط التي تمر عبر رؤوس المثلث ونقاط المماس للحواف تتقاطع عند نقطة واحدة (نقطة ناجل). (يُقال إن الدائرة مذكورة في مثلث إذا لامست أحد جانبي هذا المثلث وامتدادات ضلعيها الآخرين.) (5 نقاط).

7. دع النقاط A 1 و B 1 و C 1 و D 1 تؤخذ على الحواف AB و BC و CD و AD من رباعي السطوح ABCD ، على التوالي. أثبت أن النقاط A 1 ، B 1 ، C 1 ، D 1 استلق في نفس المستوى بعد ذلك وفقط عندما تتحقق المساواة (5 نقاط).

9. الواجب المنزلي: كتاب مدرسي § 3 ، رقم 855 ، رقم 861 ، رقم 859.