تعريفات كوشي للحدود المنتهية واللانهائية لوظيفة ما عند اللانهاية. تعريفات الحدود ذات الوجهين والأحادية الجانب (يسار ويمين). أمثلة على حلول المشكلات التي تتطلب ، باستخدام تعريف كوشي ، إظهار أن النهاية عند اللانهاية تساوي قيمة معينة ،.

المحتوى

أنظر أيضا: جوار نقطة
تعريف عالمي لحد الوظيفة وفقًا لـ Heine و Cauchy

نهاية دالة عند ما لا نهاية

حد الوظيفة عند اللانهاية:
| و (س) - أ |< ε при |x| >ن

تعريف حد كوشي
الرقم أ يسمى حد الوظيفة F (خ)لأن x يميل إلى اللانهاية () ، إذا
1) يوجد مثل هذا | x | >
2) لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفي ε > 0 ، يوجد رقم N ε > ك، اعتمادًا على ε ، مثل كل x ، | x | > N ε ، تنتمي قيم الوظيفة إلى جوار النقطة a:
| و (x) - أ |< ε .
يتم الإشارة إلى حد الدالة عند اللانهاية على النحو التالي:
.
او عند .

غالبًا ما يتم استخدام الترميز التالي:
.

نكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.
من المفترض هنا أن القيم تنتمي إلى نطاق الوظيفة.

حدود من جانب واحد

الحد الأيسر للدالة عند اللانهاية:
| و (س) - أ |< ε при x < -N

غالبًا ما تكون هناك حالات يتم فيها تعريف الوظيفة فقط للقيم الموجبة أو السالبة للمتغير x (بتعبير أدق ، بالقرب من النقطة أو). أيضًا ، يمكن أن يكون للحدود اللانهائية للقيم الموجبة والسالبة لـ x قيم مختلفة. ثم يتم استخدام الحدود من جانب واحد.

الحد الأيسر عند اللانهايةأو الحد عندما يميل x إلى سالب ما لا نهاية () يتم تعريفه على النحو التالي:
.
الحد الأيمن عند اللانهايةأو الحد كما يميل x إلى زائد اللانهاية ():
.
غالبًا ما تتم كتابة الحدود أحادية الجانب عند اللانهاية على النحو التالي:
; .

حد وظيفة لانهائية عند اللانهاية

حد الوظيفة اللانهائية عند اللانهاية:
| و (س) | > M لـ | x | > ن

تعريف النهاية اللانهائية حسب كوشي
حد الوظيفة و (خ)عندما يقترب x من اللانهاية () ، يساوي اللانهاية، لو
1) يوجد مثل هذا الجوار للنقطة عند اللانهاية | x | > K ، حيث يتم تعريف الوظيفة (هنا K هو رقم موجب) ؛
2) لأي عدد كبير بشكل تعسفي م > 0 ، يوجد رقم N M > ك، اعتمادًا على M ، مثل كل x ، | x | > N M ، تنتمي قيم الوظيفة إلى جوار النقطة عند اللانهاية:
| و (خ) | > م.
يتم الإشارة إلى الحد اللانهائي حيث يميل x إلى اللانهاية على النحو التالي:
.
او عند .

باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية ، يمكن كتابة تعريف الحد اللانهائي لوظيفة ما على النحو التالي:
.

تعاريف الحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي ويتم تقديمها بالمثل:
.
.

تعاريف الحدود من جانب واحد في اللانهاية.
حدود اليسار.
.
.
.
حدود الحق.
.
.
.

تعريف حد الوظيفة حسب هاينه

الرقم أ (محدود أو ما لا نهاية) يسمى نهاية الدالة f (خ)عند النقطة س 0 :
,
لو
1) يوجد مثل هذا الجوار للنقطة عند اللانهاية س 0 ، حيث يتم تحديد الوظيفة (هنا أو أو) ؛
2) لأي تسلسل (x ن)، تقارب x 0 : ,
التي تنتمي عناصرها إلى الجوار ، التسلسل (F شن))يتقارب إلى:
.

إذا أخذنا الحي المجاور لنقطة غير موقعة في اللانهاية كجوار: فسنحصل على تعريف نهاية الدالة عندما يميل x إلى اللانهاية. إذا أخذنا الحي الأيسر أو الأيمن للنقطة عند ما لا نهاية x 0 : أو ، ثم نحصل على تعريف النهاية لأن x يميل إلى سالب ما لا نهاية و زائد ما لا نهاية ، على التوالي.

تعاريف هاين وكوشي للحد متكافئة.

أمثلة

مثال 1

أظهر ذلك باستخدام تعريف كوشي
.

دعونا نقدم التدوين:
.
أوجد مجال الوظيفة. نظرًا لأن بسط الكسر ومقامه عبارة عن كثيرات حدود ، يتم تحديد الوظيفة لكل x باستثناء النقاط التي يختفي فيها المقام. لنجد هذه النقاط. نحل معادلة تربيعية. ؛
.
جذور المعادلة:
; .
منذ ذلك الحين و.
لذلك ، يتم تعريف الوظيفة لـ. هذا سوف نستخدمه في المستقبل.

نكتب تعريف الحد المنتهي للدالة عند اللانهاية وفقًا لـ Cauchy:
.
دعونا نحول الفرق:
.
اقسم البسط والمقام على واضرب في -1 :
.

اسمحوا ان .
ثم
;
;
;
.

لذلك ، وجدنا أنه في
.
.
ومن ثم يتبع ذلك
في و و.

نظرًا لأنه من الممكن دائمًا الزيادة ، فإننا نأخذ. ثم لأي
في .
هذا يعني انه .

مثال 2

اسمحوا ان .
باستخدام تعريف حد كوشي ، أظهر ما يلي:
1) ;
2) .

1) حل لـ x تميل إلى سالب ما لا نهاية

منذ ذلك الحين ، تم تحديد الوظيفة لجميع x.
دعونا نكتب تعريف نهاية الدالة عند سالب اللانهاية:
.

اسمحوا ان . ثم
;
.

لذلك ، وجدنا أنه في
.
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لأي رقم موجب M ، يوجد رقم ، لذلك ،
.

هذا يعني انه .

2) حل x تميل إلى زائد اللانهاية

دعنا نحول الوظيفة الأصلية. اضرب بسط الكسر ومقامه وطبق صيغة فرق المربعات:
.
نملك:

.
دعونا نكتب تعريف الحد الصحيح للدالة من أجل:
.

دعنا نقدم التدوين:.
دعونا نحول الفرق:
.
اضرب البسط والمقام في:
.

اسمحوا ان
.
ثم
;
.

لذلك ، وجدنا أنه في
.
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ومن ثم يتبع ذلك
في و.

بما أن هذا ينطبق على أي رقم موجب ، إذن
.

مراجع:
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 1983.

أنظر أيضا:

بالنسبة لأولئك الذين يريدون معرفة كيفية العثور على الحدود في هذه المقالة سنتحدث عنها. لن نتعمق في النظرية ، وعادة ما يتم تقديمها في محاضرات من قبل المعلمين. لذا يجب تحديد "النظرية المملة" في دفاتر ملاحظاتك. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكنك قراءة الكتب المدرسية المأخوذة من مكتبة المؤسسة التعليمية أو من مصادر الإنترنت الأخرى.

لذا ، فإن مفهوم النهاية مهم جدًا في دراسة مسار الرياضيات العليا ، خاصةً عندما تصادف حساب التفاضل والتكامل وتفهم العلاقة بين النهاية والتكامل. في المادة الحالية ، سيتم النظر في أمثلة بسيطة ، وكذلك طرق لحلها.

أمثلة الحل

مثال 1

احسب أ) $ \ lim_ (x \ to 0) \ frac (1) (x) $؛ ب) $ \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (x) $

قرار

أ) $$ \ lim \ limits_ (x \ to 0) \ frac (1) (x) = \ infty $$ ب) $$ \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (x) = 0 $$ غالبًا ما يتم إرسال هذه الحدود إلينا لطلب المساعدة في حلها. قررنا إبرازها كمثال منفصل وشرح أن هذه الحدود تحتاج ببساطة إلى تذكرها ، كقاعدة عامة. إذا لم تتمكن من حل مشكلتك ، فأرسلها إلينا. سوف نقدم حلا مفصلا. ستكون قادرًا على التعرف على تقدم الحساب وجمع المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على رصيد من المعلم في الوقت المناسب!

إجابه

$$ \ text (a)) \ lim \ limits_ (x \ to \ to 0) \ frac (1) (x) = \ infty \ text (b)) \ ​​lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (x) = 0 $$

ما يجب فعله مع عدم اليقين في النموذج: $ \ bigg [\ frac (0) (0) \ bigg] $

مثال 3

حل $ \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

قرار

كما هو الحال دائمًا ، نبدأ بالتعويض عن قيمة $ x $ في التعبير الموجود أسفل علامة النهاية. $$ \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) = \ frac ( 0) (0) $$ ماذا بعد؟ ماذا يجب أن تكون النتيجة؟ نظرًا لأن هذا أمر غير مؤكد ، فهذه ليست إجابة بعد ونستمر في الحساب. نظرًا لأن لدينا كثير حدود في البسط ، فإننا نحللها إلى عوامل باستخدام الصيغة المألوفة $$ a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) $$. تذكرت؟ بخير! الآن انطلق وقم بتطبيقها مع الأغنية :) نحصل على البسط $ x ^ 2-1 = (x-1) (x + 1) $ نواصل الحل في ضوء التحول أعلاه: $$ \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac ((x-1) (x + 1 )) (x + 1) = $$ $$ = \ lim \ limits_ (x \ to -1) (x-1) = - 1-1 = -2 $$

إجابه

$$ \ lim \ limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = -2 $$

لنأخذ الحد في المثالين الأخيرين إلى ما لا نهاية ونفكر في عدم اليقين: $ \ bigg [\ frac (\ infty) (\ infty) \ bigg] $

مثال 5

احسب $ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $

قرار

$ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac (\ infty) (\ infty) $ ما يجب القيام به؟ كيف تكون؟ لا داعي للذعر ، لأن المستحيل ممكن. من الضروري إخراج الأقواس في كل من البسط والمقام X ، ثم تصغيرها. بعد ذلك ، حاول حساب الحد. محاولة... $$ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2 (1- \ frac (1) (x ^ 2))) (x (1+ \ frac (1) (x))) = $$ $$ = \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x (1- \ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \ frac (1) (x))) = $$ باستخدام التعريف من المثال 2 واستبدال x بما لا نهاية ، نحصل على: $$ = \ frac (\ infty (1- \ frac (1) (\ infty))) ((1+ \ frac (1) (\ infty))) = \ frac (\ infty \ cdot 1) (1+ 0) = \ frac (\ infty) (1) = \ infty $$

إجابه

$$ \ Lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ infty $$

خوارزمية لحساب الحدود

لذا ، دعونا نلخص بإيجاز الأمثلة التي تم تحليلها ونصنع خوارزمية لحل الحدود:

1. عوّض بالنقطة x في التعبير الذي يلي علامة النهاية. إذا تم الحصول على رقم معين ، أو ما لا نهاية ، فسيتم حل الحد تمامًا. خلاف ذلك ، لدينا عدم اليقين: "صفر مقسومًا على صفر" أو "ما لا نهاية مقسومًا على ما لا نهاية" وانتقل إلى الفقرات التالية من التعليمات.
2. للقضاء على عدم اليقين "صفر قسمة على صفر" تحتاج إلى تحليل البسط والمقام إلى عوامل. تقليل مماثل. عوّض بالنقطة x في التعبير تحت علامة النهاية.
3. إذا كان اللايقين هو "اللانهاية مقسومة على ما لا نهاية" ، فإننا نخرج في كل من البسط والمقام x من الدرجة الأكبر. نحن نقصر x's. نعوض بقيم x من أسفل النهاية في المقدار المتبقي.

في هذه المقالة ، تعرفت على أساسيات حل الحدود ، وغالبًا ما تستخدم في دورة حساب التفاضل والتكامل. بالطبع ، هذه ليست كل أنواع المشاكل التي يقدمها الممتحنون ، لكنها فقط أبسط الحدود. سنتحدث عن أنواع أخرى من المهام في المقالات المستقبلية ، ولكن عليك أولاً تعلم هذا الدرس من أجل المضي قدمًا. سنناقش ما يجب فعله إذا كانت هناك جذور ، درجات ، سوف ندرس وظائف مكافئة متناهية الصغر ، حدود رائعة ، قاعدة L'Hopital.

إذا كنت لا تستطيع معرفة الحدود بنفسك ، فلا داعي للذعر. نحن دائما سعداء للمساعدة!

عند حل المسائل لإيجاد الحدود ، يجب تذكر بعض الحدود بحيث لا يتم حسابها مجددًا في كل مرة. بدمج هذه الحدود المعروفة ، سنستخدم الخصائص المشار إليها في الفقرة 4 لإيجاد حدود جديدة. للراحة ، نقدم الحدود الأكثر شيوعًا: الحدود l X -o X 6 lim f (x) = f (a) ، إذا كانت f (x) متصلة x a إذا كان معروفًا أن الوظيفة متصلة ، فبدلاً من إيجادها الحد ، نحسب قيمة الدالة. مثال 1. أوجد lim (x * -6n: + 8). منذ كثير- X-> 2

دالة المدى متصلة ، ثم lim (x * -6x4-8) = 2 * -6-2 + 8 = 4. x- + 2 x * _2x 4-1 مثال 2. ابحث عن lim -r. . أولاً ، نجد أجزاء المقام قبل X- + 1 x ~ rx: lim [xr - \ - bx) = 12 + 5-1 = 6 ؛ إنه لا يساوي صفر X-Y1 ، مما يعني أنه يمكن تطبيق الخاصية 4 من الفقرة 4 ، ثم x ™ i * "+ & * ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1" "6 1. نهاية المقام X X هي صفر ، لذلك ، لا يمكن تطبيق الخاصية 4 من § 4. بما أن البسط رقم ثابت ، والمقام [x2x) -> -0 مثل x - - 1 ، فإن الكسر بأكمله يزيد بشكل مطلق قيمة بلا حدود ، أي lim "1 X - * - - 1 x * + x مثال 4. أوجد lim \ -ll *"! "" "حد المقام هو صفر: lim (xr-6lg + 8) \ u003d 2 * -6-2 + 8 \ u003d 0 ، وبالتالي فإن خاصية X 4 § 4 غير قابلة للتطبيق. لكن حد البسط يساوي صفرًا أيضًا: lim (2 - 5d ؛ + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. إذن ، حدا البسط والمقام يساوي صفرًا في نفس الوقت. ومع ذلك ، فإن الرقم 2 هو جذر كل من البسط والمقام ، لذلك يمكن اختزال الكسر بالفرق x-2 (بواسطة نظرية بيزوت). في الواقع ، x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8 ~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" لذلك ، xr- -f - 6 r x-3 -1 1 مثال 5. أوجد lim xn (n عدد صحيح ، موجب). X مع لدينا xn \ u003d X * X. . X ، n مرة نظرًا لأن كل عامل ينمو إلى أجل غير مسمى ، فإن المنتج ينمو أيضًا إلى أجل غير مسمى ، أي lim xn = oo. مثال 6. أوجد lim xn (n عدد صحيح ، موجب). X -> - CO لدينا xn = x x ... x. نظرًا لأن كل عامل ينمو في القيمة المطلقة ، ويبقى سالبًا ، ثم في حالة الدرجة الزوجية ، سينمو المنتج إلى أجل غير مسمى ، ويبقى موجبًا ، أي lim * n = + oo (حتى n). * - * -co في حالة الدرجة الفردية ، تزداد القيمة المطلقة للمنتج ، لكنها تظل سالبة ، أي lim xn = - oo (لـ nd الفردي). n - 00 مثال 7. أوجد lim. x x - * - co * إذا كانت m> ny يمكنك كتابة: m = n + kt حيث k> 0. لذلك xm b lim - = - = lim - = - = lim x. yP Yn x -x> A x yu أتيت إلى المثال 6. إذا كانت ti uTL xm I lim lim m. X - O x- * u L X - \ u003e w هنا يبقى البسط ثابتًا ، ويزداد المقام في القيمة المطلقة ، لذلك lim -b = 0. X- * oo X * يوصى بتذكر نتيجة هذا المثال بالشكل التالي: تنمو وظيفة الطاقة بشكل أسرع ، وكلما زاد الأس. $ хв_Зхг + 7

أمثلة

مثال 8. ابحث عن lim g L -r- \ u003d. في هذا المثال ، تزيد x- * ® "J *" G bX -ox-o والبسط والمقام إلى أجل غير مسمى. اقسم كلًا من البسط والمقام على أعلى قوة لـ x ، أي على xv ، ثم 3 7_ مثال 9. ابحث عن الليرة ... عند إجراء التحويلات ، نحصل على الليرة ... ^ = lim X CO + 3 7 3 بما أن lim -5 = 0 ، lim - ، = 0 ، ثم حد المقام rade- * ® X X - + - CD X عروق صفرية ، بينما حد البسط هو 1. لذلك ، يزداد الكسر بالكامل بدون حدود ، أي t.7x hm X- + u مثال 10. ابحث عن مقام محدود ، تذكر أن دالة cos * مستمرة: lira (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. ثم x -> - S lim (l-fsin *) مثال 15. ابحث عن lim *<*-e>2 و lim e "(X" a) \ قمنا بتعيين X- + ± co X ± CO نضغط (l: - a) 2 \ u003d z ؛ بما أن (س - أ) 2 تنمو دائمًا بشكل غير سلبي وإلى أجل غير مسمى مع x ، ثم مثل x - ± oo المتغير الجديد z - * oc. لذلك ، نحصل على u جنيه إسترليني<*-«)* = X ->± 00 s = lim eg = oo (انظر الملاحظة على §5). r - ** co. وبالمثل ، lim e ~ (X-a) 2 = lim e ~ z = Q ، حيث أن x ± oo r m - (x-a) r تتناقص بدون قيود مثل x -> ± oo (انظر الملاحظة على §

تعريف حدود التسلسل والوظيفة ، خصائص النهايات ، الحدين الملحوظ الأول والثاني ، أمثلة.

رقم ثابت أاتصل حد تسلسل(x ن) إذا كان لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفي ε> 0 يوجد رقم N بحيث تكون جميع القيم x ن، حيث n> N ، تحقق عدم المساواة

اكتبها على النحو التالي: أو x n → a.

اللامساواة (6.1) تعادل عدم المساواة المزدوجة

أ - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x ن، بدءًا من عدد n> N ، تقع داخل الفاصل الزمني (a-ε ، a + ε) ، أي تقع في أي حي ε صغير من النقطة أ.

يتم استدعاء التسلسل الذي له حد متقاربة، غير ذلك - متشعب.

مفهوم حد الوظيفة هو تعميم لمفهوم حد التسلسل ، حيث يمكن اعتبار حد التسلسل حدًا للدالة x n = f (n) لحجة عدد صحيح ن.

دع الدالة f (x) تُعطى والسماح لها أ - نقطة محدودةمجال تعريف هذه الوظيفة D (f) ، أي مثل هذه النقطة ، أي حي يحتوي على نقاط من المجموعة D (f) تختلف عن أ. نقطة أقد تنتمي أو لا تنتمي إلى المجموعة D (f).

التعريف 1.الرقم الثابت أ يسمى حد المهامو (خ) في x → a إذا لأي تسلسل (x n) لقيم الوسيطة التي تميل إلى أ، التسلسلات المقابلة (f (x n)) لها نفس الحد A.

هذا التعريف يسمى تحديد حدود الوظيفة وفقًا لهينه ،أو " بلغة التسلسلات”.

التعريف 2. الرقم الثابت أ يسمى حد المهامو (خ) في x → a إذا ، بالنظر إلى رقم موجب تعسفي صغير تعسفيًا ε ، يمكن للمرء أن يجد δ> 0 (اعتمادًا على ε) بحيث يكون للجميع x، الكذب في حي ε من العدد أ، بمعنى آخر. ل xإرضاء عدم المساواة
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

هذا التعريف يسمى تحديد حدود الوظيفة وفقًا لـ Cauchy ،أو "في اللغة ε - δ"

التعريفان 1 و 2 متكافئان. إذا كانت الوظيفة f (x) كـ x → a لها حديساوي أ ، هذا مكتوب على هيئة

في حالة زيادة التسلسل (f (x n)) (أو النقصان) إلى أجل غير مسمى لأي طريقة تقريب xإلى الحد الخاص بك أ، ثم سنقول أن الوظيفة f (x) لها حد لانهائي ،واكتبها على النحو التالي:

يسمى المتغير (أي تسلسل أو وظيفة) الذي يكون حده صفر صغير بلا حدود.

يسمى المتغير الذي يساوي حده اللانهاية كبيرة بشكل لا نهائي.

للعثور على الحد في الممارسة العملية ، استخدم النظريات التالية.

نظرية 1 . إذا كان كل حد موجود

(6.4)

(6.5)

(6.6)

تعليق. التعبيرات ذات الشكل 0/0 ، ∞ / ، ∞-∞ 0 * غير محددة ، على سبيل المثال ، نسبة كميتين متناهيتين في الصغر أو بكميات كبيرة بشكل لانهائي ، وإيجاد حد من هذا النوع يسمى "الكشف عن عدم اليقين".

نظرية 2.

هؤلاء. من الممكن المرور إلى الحد عند قاعدة الدرجة عند أس ثابت ، على وجه الخصوص ،

نظرية 3.

(6.11)

أين ه» 2.7 هو أساس اللوغاريتم الطبيعي. تسمى الصيغتان (6.10) و (6.11) الحد الملحوظ الأول والحد الملحوظ الثاني.

تُستخدم النتائج الطبيعية للصيغة (6.11) أيضًا في الممارسة:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

على وجه الخصوص الحد

إذا كانت x → a وفي نفس الوقت x> a ، فاكتب x → a + 0. إذا كان ، على وجه الخصوص ، a = 0 ، فاكتب +0 بدلاً من الرمز 0 + 0. وبالمثل ، إذا كانت x → a وفي نفس الوقت x ويتم تسميتها وفقًا لذلك. الحد الصحيحو الحد الأيسر المهامو (خ) في هذه النقطة أ. من أجل أن يكون حد الوظيفة f (x) موجودًا كـ x → a ، من الضروري والكافي . الوظيفة f (x) تسمى مستمر في هذه النقطة× 0 إذا كان الحد

(6.15)

يمكن إعادة كتابة الشرط (6.15) على النحو التالي:

أي أن المرور إلى النهاية تحت علامة الدالة ممكن إذا كانت متصلة عند نقطة معينة.

إذا انتهكت المساواة (6.15) نقول ذلك فيس = xo وظيفةو (خ) لديها الفارق.ضع في اعتبارك الدالة y = 1 / x. مجال هذه الوظيفة هو المجموعة ص، باستثناء x = 0. النقطة x = 0 هي نقطة حد للمجموعة D (f) ، لأنه في أي من الأحياء المجاورة لها ، على سبيل المثال ، أي فاصل زمني مفتوح يحتوي على النقطة 0 يحتوي على نقاط من D (f) ، لكنه لا ينتمي إلى هذه المجموعة. لم يتم تحديد القيمة f (x o) = f (0) ، لذلك فإن الوظيفة لها انقطاع عند النقطة x o = 0.

الوظيفة f (x) تسمى مستمر على اليمين عند نقطةس س إذا حد

و مستمر على اليسار عند نقطةس س إذا حد

استمرارية دالة عند نقطة س سيكافئ استمراريتها في هذه المرحلة على كل من اليمين واليسار.

لكي تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما س س، على سبيل المثال ، على اليمين ، من الضروري ، أولاً ، أن يكون هناك حد منتهي ، وثانيًا ، أن تكون هذه النهاية مساوية لـ f (x o). لذلك ، إذا لم يتم استيفاء أحد هذين الشرطين على الأقل ، فستكون للدالة فجوة.

1. إذا كانت النهاية موجودة ولا تساوي f (x o) ، فيقولون ذلك وظيفةو (خ) في هذه النقطة xo لديها كسر من النوع الأول ،أو القفز.

2. إذا كان الحد + أو-أو غير موجود ، فيقولون ذلك في نقطةس س الوظيفة لها فاصل النوع الثاني.

على سبيل المثال ، الدالة y = ctg x مثل x → +0 لها حد يساوي + ، مما يعني أنه عند النقطة x = 0 يكون لها انقطاع من النوع الثاني. الوظيفة y = E (x) (جزء صحيح من x) عند النقاط التي تحتوي على عدد صحيح من الحروف الأبجدية ، بها انقطاعات من النوع الأول ، أو قفزات.

يتم استدعاء الوظيفة المستمرة في كل نقطة من الفاصل الزمني مستمرفي . يتم تمثيل الدالة المستمرة بمنحنى صلب.

تؤدي العديد من المشكلات المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكميات إلى الحد الثاني الملحوظ. مثل هذه المهام ، على سبيل المثال ، تشمل: نمو المساهمة وفقًا لقانون الفائدة المركبة ، ونمو سكان البلاد ، واضمحلال مادة مشعة ، وتكاثر البكتيريا ، وما إلى ذلك.

يعتبر مثال يا أنا بيرلمانالذي يعطي تفسير الرقم هفي مشكلة الفائدة المركبة. رقم ههناك حد . في بنوك الادخار ، يتم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويًا. إذا تم الاتصال في كثير من الأحيان ، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع ، حيث يشارك مبلغ كبير في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية. دع البنك يضع 100 دن. الوحدات بمعدل 100٪ سنويا. إذا تمت إضافة الأموال ذات الفائدة إلى رأس المال الثابت بعد عام فقط ، فعندئذٍ بحلول هذا الوقت ، 100 دن. الوحدات سوف يتحول إلى 200 دن. لنرى الآن ما سيتحول إلى 100 دن. الوحدات ، إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. بعد نصف عام 100 دن. الوحدات ستنمو بمقدار 100 × 1.5 = 150 ، وفي ستة أشهر أخرى - 150 × 1.5 = 225 (وحدات نقدية). إذا تم الانضمام كل 1/3 من السنة ، ثم بعد عام 100 دن. الوحدات سيتحول إلى 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (وحدة دن). سنزيد الإطار الزمني لإضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة و 0.01 سنة و 0.001 سنة وهكذا. ثم من أصل 100 دن. الوحدات بعد سنة:

100 × (1 +1/10) 10 ≈ 259 (وحدة عرين) ،

100 × (1 + 1/100) 100 270 (دن. وحدة) ،

100 × (1 + 1/1000) 1000 271 (وحدة عرين).

مع التخفيض غير المحدود في شروط ضم الفائدة ، لا ينمو رأس المال المتراكم إلى أجل غير مسمى ، ولكنه يقترب من حد معين يساوي حوالي 271. يضاف إلى رأس المال كل ثانية لأن الحد

مثال 3.1. باستخدام تعريف حد التسلسل الرقمي ، أثبت أن المتتابعة x n = (n-1) / n لها حد يساوي 1.

قرار.نحتاج إلى إثبات أنه مهما كانت قيمة ε> 0 التي نأخذها ، فهناك عدد طبيعي N لها ، مثل المتباينة لجميع n> N | x n -1 |< ε

خذ أي ε> 0. بما أن x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n ، إذن لإيجاد N يكفي حل المتباينة 1 / n<ε. Отсюда n>1 / ε ، وبالتالي ، يمكن اعتبار N جزءًا صحيحًا من 1 / ε N = E (1 / ε). وهكذا أثبتنا أن الحد.

مثال 3.2.أوجد نهاية تسلسل محدد بمصطلح مشترك .

قرار. طبق نظرية مجموع النهايات وأوجد نهاية كل حد. نظرًا لأن n → ∞ ، يميل البسط والمقام لكل حد إلى اللانهاية ، ولا يمكننا تطبيق نظرية حد خارج القسمة مباشرةً. لذلك ، نقوم بالتحويل أولاً x ن، قسمة البسط والمقام في الحد الأول على ن 2، والثانية ن. بعد ذلك ، بتطبيق نظرية حد خارج القسمة ونظرية حد المجموع ، نجد:

مثال 3.3. . لايجاد .

قرار.

استخدمنا هنا نظرية حد الدرجة: نهاية الدرجة تساوي درجة حد القاعدة.

مثال 3.4. لايجاد ( ).

قرار. من المستحيل تطبيق نظرية حد الاختلاف ، حيث لدينا شك في الشكل ∞-∞. دعنا نحول صيغة المصطلح العام:

مثال 3.5. بالنظر إلى الدالة f (x) = 2 1 / x. إثبات أن الحد غير موجود.

قرار.نستخدم تعريف 1 لنهاية الدالة بدلالة التسلسل. خذ تسلسل (x n) متقارب إلى 0 ، أي دعنا نوضح أن القيمة f (x n) = تتصرف بشكل مختلف مع التسلسلات المختلفة. دع x n = 1 / n. من الواضح ، ثم الحد دعنا نختار الآن كـ x نتسلسل بمصطلح مشترك x n = -1 / n ، يميل أيضًا إلى الصفر. لذلك ، لا يوجد حد.

مثال 3.6. إثبات أن الحد غير موجود.

قرار.لنفترض أن x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، ... تسلسل من أجله
. كيف تتصرف المتتالية (f (x n)) = (sin x n) لمختلف x n → ∞

إذا كانت x n \ u003d p n ، إذن الخطيئة x n \ u003d sin (p ن) = 0 للجميع نوتحد إذا
س = 2 p n + p / 2 ، ثم sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 للجميع نومن هنا الحد. وبالتالي لا وجود لها.

تضع الحدود الكثير من المتاعب لجميع طلاب الرياضيات. لحل هذا الحد ، عليك أحيانًا استخدام الكثير من الحيل والاختيار من بين مجموعة متنوعة من الحلول الحل المناسب تمامًا لمثال معين.

في هذا المقال ، لن نساعدك على فهم حدود قدراتك أو فهم حدود التحكم ، لكننا سنحاول الإجابة على السؤال: كيف تفهم الحدود في الرياضيات العليا؟ يأتي الفهم مع الخبرة ، لذلك في نفس الوقت سنقدم بعض الأمثلة التفصيلية لحل الحدود مع التفسيرات.

مفهوم الحد في الرياضيات

السؤال الأول: ما هو حد وماذا؟ يمكننا التحدث عن حدود المتتاليات والوظائف العددية. نحن مهتمون بمفهوم حد الوظيفة ، نظرًا لأن الطلاب غالبًا ما يواجهون معهم. لكن أولاً ، التعريف الأكثر عمومية للحد:

لنفترض أن هناك متغيرًا ما. إذا كانت هذه القيمة في عملية التغيير إلى أجل غير مسمى تقترب من رقم معين أ ، من ثم أ هو حد هذه القيمة.

لوظيفة محددة في بعض الفترات و (س) = ص الحد هو الرقم أ ، والتي تميل الوظيفة عندها X تميل إلى نقطة معينة أ . نقطة أ ينتمي إلى الفترة الزمنية التي يتم فيها تعريف الوظيفة.

يبدو الأمر مرهقًا ، لكنه مكتوب بكل بساطة:

ليم- من الانجليزية حد- حد.

يوجد أيضًا تفسير هندسي لتعريف الحد ، لكننا هنا لن ندخل في النظرية ، لأننا مهتمون بالجانب العملي أكثر من الجانب النظري للقضية. عندما نقول ذلك X يميل إلى بعض القيمة ، وهذا يعني أن المتغير لا يأخذ قيمة رقم ، ولكنه يقترب منه بشكل لا نهائي.

لنأخذ مثالًا ملموسًا. التحدي هو إيجاد الحد.

لحل هذا المثال ، نعوض بالقيمة س = 3 في وظيفة. نحن نحصل:

بالمناسبة ، إذا كنت مهتمًا بالعمليات الأساسية على المصفوفات ، فاقرأ مقالة منفصلة حول هذا الموضوع.

في الأمثلة X يمكن أن تميل إلى أي قيمة. يمكن أن يكون أي رقم أو ما لا نهاية. هنا مثال عندما X يميل إلى اللانهاية:

من الواضح بشكل بديهي أنه كلما زاد الرقم في المقام ، كلما قلت القيمة التي ستأخذها الوظيفة. لذلك ، مع نمو غير محدود X المعنى 1 / س سوف تنخفض وتقترب من الصفر.

كما ترى ، من أجل حل الحد ، تحتاج فقط إلى استبدال القيمة التي تسعى جاهدًا من أجلها في الدالة X . ومع ذلك ، هذه أبسط حالة. غالبًا ما يكون العثور على الحد غير واضح. ضمن حدود هناك شكوك من النوع 0/0 أو اللانهاية / اللانهاية . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ استخدم الحيل!

عدم اليقين في الداخل

عدم اليقين من الشكل اللانهاية / اللانهاية

يجب ألا يكون هناك حد:

إذا حاولنا التعويض بما لا نهاية في الدالة ، فسنحصل على اللانهاية في كل من البسط والمقام. بشكل عام ، من الجدير بالقول أن هناك عنصرًا معينًا من الفن في حل حالات عدم اليقين هذه: عليك أن تلاحظ كيف يمكنك تحويل الوظيفة بطريقة تتخلص من عدم اليقين. في حالتنا ، نقسم البسط والمقام على X في الدرجة العليا. ماذا سيحدث؟

من المثال المذكور أعلاه ، نعلم أن الحدود التي تحتوي على x في المقام ستميل إلى الصفر. ثم الحل إلى الحد هو:

للكشف عن نوع الغموض اللانهاية / اللانهايةقسّم البسط والمقام على Xإلى أعلى درجة.

بالمناسبة! بالنسبة لقرائنا ، يوجد الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل

نوع آخر من عدم اليقين: 0/0

كالعادة ، التعويض في دالة القيمة س = -1 يعطي 0 في البسط والمقام. انظر عن كثب قليلاً وستلاحظ أن لدينا معادلة تربيعية في البسط. لنجد الجذور ونكتب:

دعنا نخفض ونحصل على:

لذا ، إذا واجهت نوعًا من الغموض 0/0 - حلل البسط والمقام إلى عوامل.

لتسهيل حل الأمثلة ، إليك جدول بحدود بعض الوظائف:

حكم لوبيتال في الداخل

طريقة أخرى قوية للتخلص من كلا النوعين من عدم اليقين. ما هو جوهر الطريقة؟

إذا كان هناك عدم يقين في النهاية ، فإننا نأخذ مشتق البسط والمقام حتى يختفي عدم اليقين.

بصريًا ، تبدو قاعدة لوبيتال كما يلي:

نقطة مهمة : يجب أن توجد النهاية التي تكون فيها مشتقات البسط والمقام بدلاً من البسط والمقام.

والآن مثال حقيقي:

هناك عدم يقين نموذجي 0/0 . خذ مشتقات البسط والمقام:

Voila ، يتم التخلص من عدم اليقين بسرعة وبأناقة.

نأمل أن تتمكن من استخدام هذه المعلومات بشكل جيد في الممارسة والعثور على إجابة للسؤال "كيفية حل الحدود في الرياضيات العليا". إذا كنت بحاجة إلى حساب حد التسلسل أو حد الوظيفة في نقطة ما ، ولا يوجد وقت لهذا العمل من كلمة "مطلقًا" ، فاتصل بخدمة الطلاب المحترفين للحصول على حل سريع ومفصل.