كل الناس يبحثون عن المعرفة بشكل طبيعي. (أرسطو. الميتافيزيقيا)

الطرق العددية: حل المعادلات غير الخطية

تظهر مشاكل حل المعادلات باستمرار في الممارسة العملية ، على سبيل المثال ، في الاقتصاد ، عند تطوير الأعمال التجارية ، فأنت تريد معرفة متى يصل الربح إلى قيمة معينة ، في الطب ، عند دراسة تأثير الأدوية ، من المهم معرفة متى يتم التركيز من مادة تصل إلى مستوى معين ، إلخ.

في مشاكل التحسين ، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد النقاط التي يصبح عندها مشتق الوظيفة 0 ، وهو شرط ضروري محليأقصى.

في الإحصاء ، عند بناء التقديرات باستخدام طريقة المربعات الصغرى أو طريقة الاحتمال الأقصى ، يتعين على المرء أيضًا حل المعادلات غير الخطية وأنظمة المعادلات.

لذلك ، هناك فئة كاملة من المشاكل المتعلقة بإيجاد الحلول غير خطيالمعادلات ، مثل المعادلات أو المعادلات ، إلخ.

في أبسط الحالات ، لدينا دالة محددة في المقطع ( أ, ب) وأخذ قيم معينة.

كل قيمة x من هذا الجزء يمكننا مطابقة الرقم ، هذا هو وظيفيالتبعية ، وهو مفهوم رئيسي للرياضيات.

نحتاج إلى إيجاد مثل هذه القيمة التي تسمى عندها جذور الدالة

بصريًا ، نحتاج إلى تحديد نقطة تقاطع الرسم البياني للدالةمع محور حدودي.

طريقة التنصيف

أبسط طريقة لإيجاد جذور المعادلة هي طريقة التقسيم ، أو تفرع ثنائي.

هذه الطريقة بديهية ويتصرف الجميع بطريقة مماثلة عند حل مشكلة ما.

الخوارزمية هي على النحو التالي.

لنفترض أننا وجدنا نقطتين وهذه هي النقطة التي لدينا مختلففبين هذه النقاط يوجد جذر واحد على الأقل للوظيفة.

قسّم المقطع إلى نصفين وادخل وسطنقطة .

ثم اما ، أو .

دعنا نترك نصف المقطع الذي يكون للقيم الموجودة في نهايته علامات مختلفة. الآن نقسم هذا الجزء مرة أخرى إلى نصفين ونترك ذلك الجزء منه ، حيث يوجد على حدود الوظيفة علامات مختلفة ، وهكذا ، لتحقيق الدقة المطلوبة.

من الواضح أننا سنقوم تدريجياً بتضييق المنطقة التي يوجد بها جذر الوظيفة ، وبالتالي ، سنحددها بدرجة معينة من الدقة.

لاحظ أن الخوارزمية الموصوفة قابلة للتطبيق على أي وظيفة مستمرة.

تشمل مزايا طريقة التنصيف موثوقيتها العالية وبساطتها.

عيب الطريقة هو حقيقة أنه قبل البدء في تطبيقها ، من الضروري إيجاد نقطتين ، قيم الوظيفة التي لها علامات مختلفة. من الواضح أن الطريقة لا تنطبق على جذور حتى من التعددية ولا يمكن تعميمها على حالة الجذور المعقدة وأنظمة المعادلات.

يكون ترتيب تقارب الطريقة خطيًا ، وفي كل خطوة تتضاعف الدقة ، وكلما زاد عدد التكرارات ، زادت دقة تحديد الجذر.

طريقة نيوتن: الأسس النظرية

طريقة نيوتن الكلاسيكيةأو الظلاليكمن في حقيقة أنه إذا كان هناك بعض التقريب لجذر المعادلة ، ثم يتم تعريف التقريب التالي على أنه جذر الظل للوظيفة المرسومة عند النقطة.

معادلة ظل الدالة عند نقطة ما لها الشكل:

في معادلة الظل ، دعنا نضع و.

ثم تكون خوارزمية الحسابات المتسلسلة بطريقة نيوتن كما يلي:

تقارب طريقة الظل تربيعي ، وترتيب التقارب هو 2.

وبالتالي ، فإن تقارب طريقة ظل نيوتن سريع جدًا.

تذكر هذه الحقيقة الرائعة!

بدون أي تغييرات ، يتم تعميم الطريقة على الحالة المعقدة.

إذا كان الجذر هو جذر التعددية الثانية أو أعلى ، فإن ترتيب التقارب ينخفض ​​ويصبح خطيًا.

التمرين 1. باستخدام طريقة الظل ، أوجد حل المعادلة في القطعة (0، 2).

تمرين 2.باستخدام طريقة الظل ، أوجد حل المعادلة في القطعة (1 ، 3).

تشمل عيوب طريقة نيوتن موقعها ، حيث إنها مضمونة لتتقارب من أجل تقريب بدء تعسفي فقط إذا كان الشرط ، وإلا سيكون هناك تقارب فقط في بعض جوار الجذر.

عيب طريقة نيوتن هو الحاجة إلى حساب المشتقات في كل خطوة.

تصور طريقة نيوتن

يتم تطبيق طريقة نيوتن (طريقة الظل) إذا كانت المعادلة F(x) = 0 له جذر ، ويتم استيفاء الشروط التالية:

1) وظيفة ذ= F(x) يتم تعريفه ومستمر لـ ؛

2) F(أ)· F(ب) < 0 (تأخذ الوظيفة قيمًا لعلامات مختلفة في نهايات المقطع [ أ; ب]);

3) المشتقات F"(x) و F""(x) احتفظ بالعلامة على المقطع [ أ; ب] (أي وظيفة F(x) إما يزيد أو ينقص في المقطع [ أ; ب] ، مع الحفاظ على اتجاه التحدب) ؛

الفكرة الرئيسية للطريقة هي كما يلي: على الفاصل الزمني [ أ; ب] يتم اختيار هذا الرقم x 0 , التي بموجبها F(x 0 ) له نفس علامة F"" (x 0 ), أي الشرط F(x 0 )· F"" (x) > 0 . وهكذا ، يتم اختيار نقطة مع حدودي x 0 ، حيث ظل المنحنى ذ= F(x) في الجزء [ أ; ب] يعبر المحور ثور. للحصول على نقطة x 0 أولاً ، من الملائم اختيار أحد أطراف المقطع.

تأمل طريقة نيوتن في مثال محدد.

دعونا نعطي وظيفة متزايدة ص \ u003d و (س) \ u003d × 2 -2 ،مستمر على الفترة الزمنية (0 ؛ 2) ، ولها F"(س) = 2 x > 0 و F "" (س) = 2 > 0 .

صورة1 . و (س) = س 2 -2

المعادلة المماس في الشكل العام لها التمثيل:

ص ص 0 = ص" (x 0) (x-x 0).

في حالتنا هذه: y-y 0 \ u003d 2x 0 (x-x 0).كنقطة × 0 اختر نقطة ب 1 (ب ؛ و (ب)) = (2،2).نرسم ظلًا للدالة ص = و (س)عند النقطة B 1 ، وتشير إلى نقطة تقاطع المماس والمحور ثورنقطة × 1. نحصل على معادلة المماس الأول: ص -2 = 2 2 (س -2) ، ص = 4 س -6.

الثور: × 1 =

صورة2. نتيجة التكرار الأول

ص = و (س) ثورمن خلال نقطة × 1، نحصل على نقطة ب 2 = (1.5 ؛ 0.25). ارسم ظلًا للدالة مرة أخرى ص = و (س)عند النقطة B 2 ، وتشير إلى نقطة تقاطع المماس والمحور ثورنقطة x2.

معادلة الظل الثاني: ذ-0.25=2*1.5(x-1.5), ذ = 3 x - 4.25.

نقطة تقاطع المماس والمحور الثور: × 2 =.

صورة3. التكرار الثاني لطريقة نيوتن

ثم نجد نقطة تقاطع الدالة ص = و (س)وعمودي على المحور ثورمن خلال النقطة x 2 ، نحصل على النقطة B 3 وهكذا.

صورة4. الخطوة الثالثة من طريقة الظل

يتم تحديد التقريب الأول للجذر بواسطة الصيغة:

= 1.5.

يتم تحديد التقريب الثاني للجذر بواسطة الصيغة:

=

يتم تحديد التقريب الثالث للجذر بواسطة الصيغة:

في هذا الطريق , أنايتم تحديد التقريب -th للجذر بالصيغة:

يتم تنفيذ العمليات الحسابية حتى المنازل العشرية المطلوبة في الإجابة المطابقة ، أو الوصول إلى الدقة المحددة e - حتى يتم استيفاء عدم المساواة | الحادي عشر- الحادي عشر-1 | < ه.

في حالتنا ، دعنا نقارن التقريب الذي تم الحصول عليه في الخطوة الثالثة بالإجابة الحقيقية المحسوبة على الآلة الحاسبة:

الشكل 5. جذر 2 محسوبة على الآلة الحاسبة

كما ترى ، حصلنا بالفعل في الخطوة الثالثة على خطأ أقل من 0.000002.

وبالتالي من الممكن حساب قيمة "الجذر التربيعي لـ 2" بأي درجة من الدقة. هذه الطريقة الرائعة اخترعها نيوتن وتسمح لك بإيجاد جذور المعادلات شديدة التعقيد.

طريقة نيوتن: تطبيق C ++

في هذه المقالة ، نقوم بأتمتة عملية حساب جذور المعادلات عن طريق كتابة تطبيق وحدة التحكم في C ++. سنقوم بتطويرها في Visual C ++ 2010 Express ، وهي بيئة تطوير C ++ مجانية ومريحة للغاية.

لنبدأ بـ Visual C ++ 2010 Express. ستظهر نافذة بدء البرنامج. في الزاوية اليسرى ، انقر فوق "إنشاء مشروع".

أرز. 1. Visual C ++ 2010 Express Start Page

في القائمة التي تظهر ، حدد "Win32 Console Application" ، أدخل اسم التطبيق "Newton_Method".

أرز. 2. إنشاء مشروع

// Newton_method.cpp: يحدد نقطة الدخول لتطبيق وحدة التحكم # تضمين "stdafx.h" #تضمن استخدام اسم للمحطة؛ float f (double x) // تُرجع قيمة الدالة f (x) = x ^ 2-2 float df (float x) // تُرجع قيمة المشتق float d2f (float x) // قيمة مشتقة ثانية int _tmain (int argc، _TCHAR * argv) int exit = 0 ، i = 0 ؛ // متغيرات الخروج والحلقة ضعف x0 ، xn ؛ // التقريبات المحسوبة للجذر مزدوج أ ، ب ، eps ؛ // حدود المقطع والدقة المطلوبة كوت<<"Please input \n=>"; سينما >> أ >> ب ؛ // أدخل حدود المقطع الذي سنبحث فيه عن الجذر كوت<<"\nPlease input epsilon\n=>"; سينما >> eps ؛ // أدخل دقة الحساب المطلوبة إذا (أ> ب) // إذا خلط المستخدم حدود المقطع ، فقم بتبديلها إذا (f (a) * f (b)> 0) // إذا كانت إشارات الوظيفة على حواف المقطع هي نفسها ، فلا يوجد جذر كوت<<"\nError! No roots in this interval\n"; إذا (f (a) * d2f (a)> 0) x0 = a ؛ // لتحديد نقطة البداية ، تحقق من f (x0) * d2f (x0)> 0؟ xn = x0-f (x0) / df (x0) ؛ // عد التقريب الأول كوت<<++i<<"-th iteration = "< بينما (fabs (x0-xn)> eps) // حتى نصل إلى الدقة المطلوبة ، سنواصل الحساب xn = x0-f (x0) / df (x0) ؛ // صيغة نيوتن مباشرة كوت<<++i<<"-th iteration = "< كوت<<"\nRoot = "< كوت<<"\nExit?=>"; ) بينما (خروج! = 1) ؛ // حتى يدخل المستخدم خروج = 1

دعونا نرى كيف يعمل. انقر فوق المثلث الأخضر في الزاوية اليسرى العليا من الشاشة ، أو اضغط على F5.

في حالة حدوث خطأ تجميع "خطأ خطأ LNK1123: فشل التحويل إلى COFF: الملف غير صالح أو تالف" ، تتم معالجة ذلك إما عن طريق تثبيت حزمة الخدمة الأولى 1 ، أو في إعدادات المشروع Properties -> Linker ، قم بتعطيل الارتباط المتزايد.

أرز. 4. حل خطأ تجميع المشروع

سنبحث عن جذور الدالة F(س) =x2-2.

أولاً ، دعنا نختبر التطبيق على بيانات الإدخال "الخاطئة". لا توجد جذور في المقطع ، يجب أن يعطي برنامجنا رسالة خطأ.

لدينا نافذة التطبيق:

أرز. 5. إدخال بيانات الإدخال

نقدم حدود المقطع 3 و 5 ، والدقة 0.05. البرنامج ، كما ينبغي ، أعطى رسالة خطأ مفادها أنه لا توجد جذور في هذا المقطع.

أرز. 6. خطأ "لا توجد جذور في هذا الجزء!"

لن نغادر بعد ، لذا فإن الرسالة "هل تريد الخروج؟" أدخل "0".

الآن دعنا نختبر التطبيق على بيانات الإدخال الصحيحة. دعنا نقدم شريحة ودقة 0.0001.

أرز. 7. حساب الجذر بالدقة المطلوبة

كما نرى ، تم تحقيق الدقة المطلوبة بالفعل في التكرار الرابع.

للخروج من التطبيق ، أدخل "خروج؟" => 1.

الطريقة القاطعة

لتجنب حساب المشتق ، يمكن تبسيط طريقة نيوتن عن طريق استبدال المشتق بقيمة تقريبية محسوبة من النقطتين السابقتين:

تبدو العملية التكرارية كما يلي:

هذه عملية تكرارية من خطوتين ، لأنها تستخدم المرحلتين السابقتين للعثور على التقريب التالي.

ترتيب تقارب طريقة القاطع أقل من ترتيب طريقة الظل ويكون متساويًا في حالة جذر واحد.

هذه القيمة الرائعة تسمى النسبة الذهبية:

نحن نتحقق من ذلك بافتراض ذلك للراحة.

وهكذا ، يصل إلى اللامتناهيات في الصغر من رتبة أعلى

بغض النظر عن المصطلح المتبقي ، نحصل على علاقة تكرار ، يتم البحث عن حل لها بشكل طبيعي في النموذج.

بعد الاستبدال ، لدينا: و

لذلك من الضروري أن يكون التقارب موجبًا.

نظرًا لأن معرفة المشتق غير مطلوبة ، فبالقدر نفسه من الحسابات في طريقة القاطع (على الرغم من الترتيب الأدنى للتقارب) ، يمكن للمرء تحقيق دقة أكبر من طريقة الظل.

لاحظ أنه بالقرب من الجذر ، يجب على المرء أن يقسم على عدد صغير ، وهذا يؤدي إلى فقدان الدقة (خاصة في حالة الجذور المتعددة) ، لذلك ، اختيار صغير نسبيًا ، يقوم بإجراء العمليات الحسابية حتى التنفيذ واستمر في ذلك حتى ينخفض ​​معامل الاختلاف بين التقريبات المتجاورة.

بمجرد أن يبدأ النمو ، تتوقف الحسابات ولا يتم استخدام التكرار الأخير.

يسمى هذا الإجراء لتحديد نهاية التكرارات التقنية هارفيك.

طريقة القطع المكافئ

ضع في اعتبارك طريقة من ثلاث خطوات يتم فيها تحديد التقريب بالنقاط الثلاث السابقة ، و.

للقيام بذلك ، نستبدل ، على غرار الطريقة القاطعة ، الوظيفة باستيفاء القطع المكافئ الذي يمر عبر النقاط ، و.

في شكل نيوتن ، يبدو كما يلي:

تُعرَّف النقطة بأنها نقطة جذور كثير الحدود هذا ، وهو أقرب في المعامل إلى النقطة.

ترتيب تقارب طريقة القطع المكافئ أعلى من ترتيب طريقة القاطع ، ولكنه أقل من طريقة نيوتن.

هناك اختلاف مهم عن الطرق التي تم النظر فيها سابقًا وهو حقيقة أنه حتى لو كانت حقيقية في الواقع وتم اختيار تقريب البداية لتكون حقيقية ، فإن طريقة القطع المكافئ يمكن أن تؤدي إلى جذر معقد للمشكلة الأصلية.

هذه الطريقة مفيدة جدًا لإيجاد جذور كثيرات الحدود من الدرجة العالية.

طريقة التكرار البسيطة

يمكن صياغة مشكلة إيجاد حلول للمعادلات كمشكلة إيجاد الجذور: أو كمشكلة إيجاد نقطة ثابتة.

يترك و - الضغط: (على وجه الخصوص ، حقيقة أن - الضغط ، كما يسهل رؤيته ، يعني ذلك).

من خلال نظرية باناخ ، هناك نقطة ثابتة فريدة

يمكن العثور عليها على أنها حد إجراء تكراري بسيط

حيث يكون التقريب الأولي نقطة اعتباطية في الفاصل الزمني.

إذا كانت الوظيفة قابلة للتفاضل ، فإن معيار الضغط المناسب هو الرقم. في الواقع ، من خلال نظرية لاغرانج

وبالتالي ، إذا كان المشتق أقل من واحد ، فهو تقلص.

حالة ضروري ، لأنه إذا كان ، على سبيل المثال ، on ، فلا توجد نقطة ثابتة ، على الرغم من أن المشتق يساوي صفرًا. معدل التقارب يعتمد على قيمة. أصغر ، كلما كان التقارب أسرع.

دع جذر المعادلة f (x) = 0 يُفصل على المقطع ، والمشتقات الأولى والثانية لـ f '(x) و و "(خ)هي مستمرة وذات علامة ثابتة لـ хн.

دع التقريب التالي للجذر x n يتم الحصول عليه (اختياره) في خطوة ما من تحسين الجذر . ثم افترض أن التقريب التالي تم الحصول عليه بمساعدة التصحيح h n , ينتج عنه القيمة الدقيقة للجذر

x \ u003d x n + h n. (1.2.3-6)

عد ح نقيمة صغيرة ، نحن نمثل f (x n + h n) كسلسلة تايلور ، ونقتصر على المصطلحات الخطية

f (x n + h n) "f (x n) + h n f '(x n). (1.2.3-7)

بالنظر إلى أن f (x) = f (х n + h n) = 0 ، نحصل على f (х n) + h n f '(х n) »0.

ومن ثم h n "- f (x n) / f '(x n). عوّض القيمة ح نفي (1.2.3-6) وبدلاً من القيمة الدقيقة للجذر xنحصل على تقريب آخر

تسمح لك الصيغة (1.2.3-8) بالحصول على تسلسل تقريبي × 1 ، × 2 ، × 3 ... ، والتي ، في ظل ظروف معينة ، تتقارب مع القيمة الدقيقة للجذر س ،هذا هو

التفسير الهندسي لطريقة نيوتنعلى النحو التالي
(الشكل 1.2.3-6). نأخذ الطرف الأيمن من المقطع b باعتباره التقريب الأولي x 0 وعند النقطة المقابلة B 0 على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) نقوم ببناء ظل. تؤخذ نقطة تقاطع المماس مع المحور السيني على أنها تقريب جديد أكثر دقة × 1. يتيح لك تكرار هذا الإجراء عدة مرات الحصول على سلسلة من التقديرات التقريبية × 0 ، × 1 ، × 2 , . . . ، والتي تميل إلى القيمة الدقيقة للجذر x.

يمكن الحصول على صيغة حساب طريقة نيوتن (1.2.3-8) من البناء الهندسي. إذن في المثلث القائم x 0 B 0 x 1
× 0 × 1 = × 0 فولت 0 / tga. بالنظر إلى أن النقطة B 0 موجودة على الرسم البياني للدالة و (خ) ،ويتكون الوتر من مماس للرسم البياني f (x) عند النقطة B 0 ، نحصل عليه

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

تتطابق هذه الصيغة مع (1.2.3-8) للتقريب التاسع.

من الشكل 1.2.3-6 يمكن ملاحظة أن اختيار النقطة a كتقريب أولي يمكن أن يؤدي إلى حقيقة أن التقريب التالي x 1 سيكون خارج المقطع الذي ينفصل فيه الجذر x. في هذه الحالة ، لا يتم ضمان تقارب العملية. في الحالة العامة ، يتم اختيار التقريب الأولي وفقًا للقاعدة التالية: للتقريب الأولي ، يجب على المرء أن يأخذ مثل هذه النقطة x 0 н ، حيث f (x 0) × f '' (x 0) > 0 ، أي إشارات الدالة ومطابقتها المشتقة الثانية.

تمت صياغة شروط التقارب لطريقة نيوتن في النظرية التالية.

إذا تم فصل جذر المعادلة على المقطع، و f '(x 0) و f' (x) تختلف عن الصفر وتحتفظ بإشاراتها عند xo، ثم إذا اخترنا نقطة مثل التقريب الأولي× 0 О ، ماذا او ما f (x 0) .f ¢¢ (x 0)> 0 ، ثم جذر المعادلةو (س) = 0 يمكن حسابها بأي درجة من الدقة.

يتم تحديد تقدير الخطأ لطريقة نيوتن بالتعبير التالي:

(1.2.3-11)

أين هي أصغر قيمة في

أعلى قيمة في

يتم إنهاء عملية الحساب إذا ,

أين هي الدقة المحددة.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أن تكون التعبيرات التالية بمثابة شرط لتحقيق دقة معينة عند تنقية الجذر بطريقة نيوتن:

يظهر مخطط خوارزمية طريقة نيوتن في الشكل. 1.2.3-7.

تم تصميم الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية f (x) ومشتقها f '(x) في الخوارزمية كوحدات برمجية منفصلة.

أرز. 1.2.3-7. مخطط خوارزمية لطريقة نيوتن

مثال 1.2.3-3. صقل جذور المعادلة x-ln (x + 2) = 0 باستخدام طريقة نيوتن ، بشرط أن يتم فصل جذور هذه المعادلة على المقاطع x 1 н [-1.9؛ -1.1] و x 2 н [-0.9؛ 2].

المشتق الأول f '(x) = 1 - 1 / (x + 2) يحتفظ بعلامته على كل مقطع:

و (س)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f '(x)> 0 عند xО [-0.9 ؛ 2].

المشتق الثاني f "(x) \ u003d 1 / (x + 2) 2 \ u003e 0 لأي x.

وبالتالي ، يتم استيفاء شروط التقارب. بما أن f "" (x)> 0 على النطاق الكامل للقيم المسموح بها ، إذن لتحسين الجذر للتقريب الأولي × 1اختر x 0 \ u003d -1.9 (منذ f (-1.9) × f ”(-1.9)> 0). نحصل على سلسلة من التقديرات التقريبية:

استمرارًا للحسابات ، نحصل على التسلسل التالي للتقديرات الأربعة الأولى: -1.9 ؛ –1.8552 ، -1.8421 ؛ -1.8414 . قيمة الدالة f (x) عند النقطة x = -1.8414 تساوي f (-1.8414) = - 0.00003 .

لتحسين الجذر x 2 н [-0.9؛ 2] ، نختار كتقديرات أولية 0 = 2 (f (2) × f ”(2)> 0). بناءً على x 0 = 2 ، نحصل على تسلسل تقريبي: 2.0 ؛ 1.1817 ؛ 1.1462 ؛ 1.1461. قيمة الدالة f (x) عند النقطة x = 1.1461 تساوي f (1.1461) = -0.00006.

تتميز طريقة نيوتن بمعدل تقارب مرتفع ، ولكنها تتطلب في كل خطوة حساب ليس فقط قيمة الوظيفة ، ولكن أيضًا مشتقها.

طريقة الوتر

التفسير الهندسي لطريقة الوترعلى النحو التالي
(الشكل 1.2.3-8).

لنرسم مقطعًا من خط مستقيم من خلال النقطتين A و B. التقريب التالي x 1 هو الحد الأقصى لنقطة تقاطع الوتر مع المحور 0x. لنقم ببناء معادلة المقطع المستقيم:

لنضع y = 0 ونجد القيمة x = x 1 (تقريب آخر):

نكرر عملية الحساب للحصول على التقريب التالي للجذر - x 2 :

في حالتنا (الشكل 1.2.11) وستبدو صيغة حساب طريقة الوتر

هذه الصيغة صالحة عندما تؤخذ النقطة ب كنقطة ثابتة ، والنقطة أ تعمل كتقريب أولي.

النظر في حالة أخرى (الشكل 1.2.3-9) ، متى .

معادلة الخط المستقيم لهذه الحالة لها الشكل

التقريب التالي x 1 عند y = 0

ثم الصيغة العودية لطريقة الأوتار لهذه الحالة لها الشكل

وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للنقطة الثابتة في طريقة الأوتار ، اختر نهاية المقطع الذي تحقق فيه الشرط f (x) ∙ f ¢¢ (x)> 0.

وبالتالي ، إذا تم أخذ النقطة أ كنقطة ثابتة , ثم x 0 = b تعمل كتقريب أولي ، والعكس صحيح.

الشروط الكافية التي تضمن حساب جذر المعادلة f (x) = 0 باستخدام صيغة الأوتار ستكون مماثلة لطريقة الظل (طريقة نيوتن) ، ولكن بدلاً من التقريب الأولي ، يتم اختيار نقطة ثابتة. طريقة الوتر هي تعديل لطريقة نيوتن. الفرق هو أن التقريب التالي في طريقة نيوتن هو نقطة تقاطع المماس مع المحور 0X ، وفي طريقة الأوتار - نقطة تقاطع الوتر مع المحور 0X - تتلاقى التقريبات مع الجذر من جوانب مختلفة.

يتم تحديد تقدير خطأ طريقة الوتر من خلال التعبير

(1.2.3-15)

شرط إنهاء عملية التكرار بطريقة الأوتار

(1.2.3-16)

إذا كان م 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£ه.

مثال 1.2.3-4. حدد جذر المعادلة e x - 3x = 0 ، مفصولاً على مقطع بدقة 10 -4.

دعنا نتحقق من حالة التقارب:

لذلك ، يجب اختيار a = 0 كنقطة ثابتة ، ويجب اعتبار x 0 \ u003d 1 بمثابة تقريب أولي ، حيث أن f (0) \ u003d 1> 0 و f (0) * f "(0)> 0 .

طريقة نيوتن (الظل) لإيجاد الجذور

هذه طريقة تكرارية تم اختراعها إسحاق نيوتن(إسحاق نيوتن) حوالي عام 1664. ومع ذلك ، في بعض الأحيان تسمى هذه الطريقة طريقة نيوتن رافسون (رافسون) ، حيث اخترع رافسون نفس الخوارزمية بعد سنوات قليلة من نيوتن ، ولكن تم نشر بحثه قبل ذلك بكثير.

المهمة على النحو التالي. بالنظر إلى المعادلة:

مطلوب حل هذه المعادلة ، بشكل أكثر دقة ، للعثور على أحد جذورها (من المفترض أن الجذر موجود). من المفترض أن تكون مستمرة وقابلة للتفاضل في المقطع.

الخوارزمية

معلمة الإدخال للخوارزمية ، بالإضافة إلى الوظيفة ، هي أيضًا التقريب الأولي- بعضها تبدأ منه الخوارزمية.

دعنا نحسب بالفعل ، احسب على النحو التالي. لنرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند النقطة ، ونجد نقطة تقاطع هذا المماس مع المحور x. اضبط النقطة التي تم العثور عليها ، وكرر العملية برمتها من البداية.

من السهل الحصول على الصيغة التالية:

من الواضح بشكل بديهي أنه إذا كانت الوظيفة "جيدة" (سلسة) بدرجة كافية ، وقريبة بدرجة كافية من الجذر ، فستكون أقرب إلى الجذر المطلوب.

معدل التقارب هو تربيعي، وهو ما يعني ، نسبيًا ، أن عدد البتات الدقيقة في القيمة التقريبية يتضاعف مع كل تكرار.

تطبيق لحساب الجذر التربيعي

فكر في طريقة نيوتن باستخدام مثال حساب الجذر التربيعي.

إذا عوضنا ، فبعد تبسيط التعبير نحصل على:

أول إصدار نموذجي من المشكلة هو عندما يتم إعطاء رقم كسري ، وتحتاج إلى حساب جذره ببعض الدقة:

مزدوج ن ؛ سينما >> ن ؛ ثابت EPS مزدوج = 1E-15 ؛ مزدوج x = 1 ؛ لـ (؛ ؛) (nx مزدوج = (x + n / x) / 2 ؛ إذا (abs (x - nx)< EPS) break ; x = nx; } printf ("%.15lf" , x) ;

إصدار شائع آخر من المشكلة هو عندما تحتاج إلى حساب جذر العدد الصحيح (بالنسبة إلى رقم معين ، ابحث عن أكبرها). هنا يتعين علينا تغيير حالة توقف الخوارزمية بشكل طفيف ، حيث قد يحدث أنها تبدأ في "القفز" بالقرب من الإجابة. لذلك ، نضيف شرطًا أنه إذا انخفضت القيمة في الخطوة السابقة ، وفي الخطوة الحالية تحاول الزيادة ، فيجب إيقاف الخوارزمية.

إنت. سينما >> ن ؛ كثافة العمليات س = 1 ؛ انخفض منطقي = خطأ ؛ من أجل (؛< x; x = nx; } cout << x;

أخيرًا ، نقدم خيارًا ثالثًا - في حالة الحساب الطويل. نظرًا لأن الرقم يمكن أن يكون كبيرًا جدًا ، فمن المنطقي الانتباه إلى التقريب الأولي. من الواضح أنه كلما اقتربنا من الجذر ، زادت سرعة تحقيق النتيجة. سيكون من السهل جدًا والفعال أخذ الرقم كتقريب أولي ، حيث هو عدد البتات في الرقم. إليك كود Java الذي يوضح هذا الخيار:

BigIntegern. // ادخال البيانات BigInteger a = BigInteger.ONE .shiftLeft (n.bitLength () / 2) ؛ منطقي p_dec = خطأ ؛ لـ (؛ ؛) (BigInteger b = n.divide (a) .add (a) .shiftRight (1) ؛ if (a.compareTo (b) == 0 || a.compareTo (b)< 0 && p_dec) break ; p_dec = a.compareTo (b) >0 ؛ أ = ب ؛ )

على سبيل المثال ، يتم تشغيل هذا النوع من الكود لعدد بالمللي ثانية ، وإذا قمت بإزالة الخيار المحسن للتقريب الأولي (فقط ابدأ بـ) ، فسيتم تشغيله في حوالي مللي ثانية.

غالبًا ما يكون العديد من الطلاب على يقين من أنهم يضيعون وقتهم في المدرسة بسبب حل المعادلات في دروس الرياضيات ، وفي الوقت نفسه ، ستكون هذه المهارة مفيدة في الحياة ليس فقط لأولئك الذين يقررون اتباع خطى ديكارت أو أويلر أو لوباتشيفسكي.

في الممارسة العملية ، على سبيل المثال ، في الطب أو الاقتصاد ، غالبًا ما تكون هناك مواقف يحتاج فيها الأخصائي إلى معرفة متى يصل تركيز المادة الفعالة لدواء معين إلى المستوى المطلوب في دم المريض ، أو عندما يكون من الضروري حساب الوقت مطلوب لعمل تجاري معين ليصبح مربحًا.

في أغلب الأحيان نتحدث عن حل المعادلات غير الخطية من أنواع مختلفة. للقيام بذلك في أسرع وقت ممكن ، خاصة مع استخدام أجهزة الكمبيوتر ، تسمح الطرق العددية بذلك. تمت دراستها جيدًا وقد أثبتت فعاليتها منذ فترة طويلة. من بينها طريقة نيوتن المماس ، والتي هي موضوع هذا المقال.

صياغة المشكلة

في هذه الحالة ، توجد وظيفة g ، والتي يتم تقديمها في المقطع (أ ، ب) وتأخذ قيمًا معينة عليها ، أي أنه من الممكن ربط رقم معين g (x) بكل x ينتمي إلى ( أ ، ب).

مطلوب تحديد جميع جذور المعادلة من الفترة الفاصلة بين النقطتين أ وب (بما في ذلك النهايات) ، والتي يتم تعيين الوظيفة على الصفر. من الواضح أن هذه ستكون نقاط تقاطع y = g (x) مع OX.

في بعض الحالات ، يكون من الأنسب استبدال g (x) = 0 بواحد مشابه ، g 1 (x) = g 2 (x). في هذه الحالة ، تعمل القيمة (x value) لنقاط تقاطع الرسوم البيانية g 1 (x) و g 2 (x) كجذور.

حل المعادلة غير الخطية مهم أيضًا لمشاكل التحسين ، حيث يكون الشرط المحلي الأقصى هو تحويل مشتق الوظيفة إلى 0. بعبارة أخرى ، يمكن اختزال مثل هذه المشكلة لإيجاد جذور المعادلة ص (س) = 0 ، حيث ص (س) مطابق لـ ز "(س).

طرق الحل

بالنسبة لبعض أنواع المعادلات غير الخطية ، مثل المعادلات المثلثية المربعة أو البسيطة ، يمكن إيجاد الجذور بطرق بسيطة إلى حد ما. على وجه الخصوص ، يعرف كل طالب الصيغ ، والتي من خلالها يمكنك بسهولة العثور على قيم وسيطة النقاط التي يكون فيها المربع ثلاثي الحدود صفرًا.

عادة ما يتم تقسيم طرق استخراج جذور المعادلات غير الخطية إلى تحليلية (مباشرة) وتكرارية. في الحالة الأولى ، يكون للحل المطلوب شكل صيغة ، يمكنك باستخدامها ، في عدد معين من العمليات الحسابية ، العثور على قيمة الجذور المرغوبة. تم تطوير طرق مماثلة للمعادلات الجبرية الأسية والمثلثية واللوغاريتمية والأولية. بالنسبة للباقي ، يتعين على المرء استخدام طرق عددية خاصة. يسهل تنفيذها بمساعدة أجهزة الكمبيوتر ، مما يتيح لك العثور على الجذور بالدقة المطلوبة.

من بينها ما يسمى بالطريقة العددية للظلال والتي اقترحها العالم العظيم إسحاق نيوتن في نهاية القرن السابع عشر. في القرون التالية ، تم تحسين الطريقة بشكل متكرر.

الموقع

عادة ما يتم تنفيذ الطرق العددية لحل المعادلات المعقدة التي لا تحتوي على حلول تحليلية على مرحلتين. تحتاج أولاً إلى توطينهم. تتمثل هذه العملية في العثور على مثل هذه المقاطع على OX التي يوجد بها جذر واحد للمعادلة التي يتم حلها.

لنفكر في المقطع. إذا كان g (x) لا يحتوي على أي انقطاع ويأخذ قيم علامات مختلفة عند نقاط النهاية ، فعندئذ يكون بين a و b في حد ذاته جذرًا واحدًا على الأقل للمعادلة g (x) = 0. من أجل ذلك كن فريدًا ، يجب أن يكون g (x) رتيبًا. كما هو معروف ، سيكون لها مثل هذه الخاصية بشرط أن تكون g '(x) ذات علامة ثابتة.

بمعنى آخر ، إذا لم يكن لدى g (x) أي انقطاع وزاد أو نقصان بشكل رتيب ، ولم يكن لقيمه عند نقاط النهاية نفس العلامات ، فسيكون هناك 1 وجذر واحد فقط g (x).

في هذه الحالة ، يجب أن تعلم أن هذا المعيار لن يصلح لجذور المعادلات المتعددة.

حل المعادلة بقسمة النصف

قبل التفكير في الظلال العددية الأكثر تعقيدًا وأنواعها) ، يجدر التعرف على أبسط طريقة لتحديد الجذور. يطلق عليه الانقسام ويشير إلى الاكتشاف البديهي للجذور استنادًا إلى النظرية القائلة بأنه إذا تم استيفاء حالة العلامات المختلفة لـ g (x) ، بشكل مستمر ، ثم في المقطع قيد النظر يوجد على الأقل 1 جذر g ( س) = 0.

للعثور عليه ، تحتاج إلى تقسيم المقطع إلى نصفين وتعيين نقطة المنتصف على أنها x 2. ثم هناك خياران ممكنان: g (x 0) * g (x 2) أو g (x 2) * g (x 1) تساوي أو تقل عن 0. نختار الخيار الذي يكون فيه أحد هذه المتباينات صحيحًا. نكرر الإجراء الموضح أعلاه حتى يصبح الطول أقل من قيمة معينة محددة مسبقًا تحدد دقة تحديد جذر المعادلة على.

تشمل مزايا الطريقة موثوقيتها وبساطتها ، والعيب هو الحاجة إلى تحديد النقاط التي تأخذ فيها g (x) علامات مختلفة ، لذلك لا يمكن استخدامها للجذور ذات التعددية الزوجية. بالإضافة إلى ذلك ، لا يتم التعميم في حالة نظام المعادلات أو عندما يتعلق الأمر بالجذور المعقدة.

مثال 1

دعنا نرغب في حل المعادلة g (x) = 2x 5 + x - 1 = 0. لكي لا نبحث عن مقطع مناسب لفترة طويلة ، نقوم ببناء رسم بياني باستخدام ، على سبيل المثال ، برنامج Excel المعروف . نرى أنه من الأفضل أخذ القيم من الفاصل الزمني كقطعة لتوطين الجذر. يمكننا التأكد من وجود جذر واحد على الأقل من المعادلة المطلوبة فيه.

g "(x) \ u003d 10x 4 + 1 ، أي أنها وظيفة زيادة رتيبة ، لذلك لا يوجد سوى جذر واحد في المقطع المحدد.

عوّض بنقاط النهاية في المعادلة. لدينا 0 و 1 على التوالي. في الخطوة الأولى ، نأخذ النقطة 0.5 كحل. ثم جم (0.5) = -0.4375. إذن ، المقطع التالي للقسمة إلى النصف سيكون. نقطة المنتصف هي 0.75. فيه قيمة الوظيفة 0.226. نأخذ في الاعتبار المقطع ونقطة الوسط الخاصة به ، والتي تقع عند النقطة 0.625. احسب قيمة g (x) حتى 0.625. إنه يساوي -0.11 ، أي سالب. بناءً على هذه النتيجة ، نختار المقطع. نحصل على x = 0.6875. ثم g (x) = -0.00532. إذا كانت دقة الحل 0.01 ، فيمكننا افتراض أن النتيجة المرجوة هي 0.6875.

القاعدة النظرية

هذه الطريقة لإيجاد الجذور باستخدام طريقة ظل نيوتن شائعة بسبب تقاربها السريع جدًا.

وهي تستند إلى حقيقة مثبتة وهي أنه إذا كانت x n عبارة عن تقريب لجذر f (x) = 0 مثل f "C 1 ، فسيكون التقريب التالي عند النقطة التي تختفي فيها معادلة الظل لـ f (x) ، بمعنى آخر.

عوّض x = x n + 1 وعيّن y بالصفر.

ثم يبدو الظل هكذا:

مثال 2

دعنا نحاول استخدام طريقة الظل الكلاسيكية لنيوتن وإيجاد حل لبعض المعادلات غير الخطية التي يصعب أو يستحيل إيجادها تحليليًا.

دع الأمر مطلوبًا للكشف عن الجذور لـ x 3 + 4x - 3 = 0 ببعض الدقة ، على سبيل المثال 0.001. كما تعلم ، يجب أن يعبر الرسم البياني لأي دالة في شكل متعدد الحدود من الدرجة الفردية محور OX مرة واحدة على الأقل ، أي لا يوجد سبب للشك في وجود الجذور.

قبل حل مثالنا باستخدام طريقة الظل ، نرسم f (x) \ u003d x 3 + 4x - 3 نقطة بنقطة. من السهل جدًا القيام بذلك ، على سبيل المثال ، باستخدام جدول بيانات Excel. من الرسم البياني الناتج ، سيتبين أنه يتقاطع مع محور OX وأن الوظيفة y \ u003d x 3 + 4x - 3 تزيد بشكل رتيب. يمكننا التأكد من أن المعادلة x 3 + 4x - 3 = 0 لها حل وأنها فريدة.

الخوارزمية

يبدأ أي حل للمعادلات بطريقة الظل بحساب f "(x) لدينا:

ثم سيبدو المشتق الثاني مثل x * 6.

باستخدام هذه التعبيرات ، يمكننا كتابة صيغة لتحديد جذور المعادلة باستخدام طريقة الظل في الصورة:

بعد ذلك ، يلزم اختيار تقريب أولي ، أي لتحديد النقطة التي يجب اعتبارها نقطة البداية (مراجعة × 0) للعملية التكرارية. نحن نعتبر نهايات الجزء. الحالة التي تكون فيها حالة الوظيفة ومشتقها الثاني عند x 0 مناسبة لنا. كما ترى ، عند استبدال x 0 = 0 ، يتم انتهاكها ، لكن x 0 = 1 مناسب تمامًا.

إذا كنا مهتمين بالحل بطريقة الظل بدقة e ، فيمكن اعتبار قيمة x n تلبي متطلبات المشكلة ، بشرط أن تكون المتباينة | f (x n) / f '(x n) |< e.

في الخطوة الأولى من الظلال لدينا:

• × 1 \ u003d × 0 - (× 0 3 + 4x 0-3) / (3x 0 2 + 4) \ u003d 1- 0.2857 \ u003d 0.71429 ؛
• نظرًا لعدم استيفاء الشرط ، نذهب إلى أبعد من ذلك ؛
• نحصل على قيمة جديدة لـ x 2 تساوي 0.674 ؛
• نلاحظ أن نسبة قيمة الوظيفة إلى مشتقها في x 2 أقل من 0.0063 ، نوقف العملية.

طريقة الظل في Excel

يمكنك حل المثال السابق بشكل أسهل وأسرع إذا لم تقم بإجراء العمليات الحسابية يدويًا (باستخدام الآلة الحاسبة) ، ولكنك تستخدم إمكانيات معالج جداول البيانات من Microsoft.

للقيام بذلك ، في Excel ، تحتاج إلى إنشاء صفحة جديدة وملء خلاياها بالصيغ التالية:

• في C7 نكتب "= POWER (B7 ؛ 3) + 4 * B7 - 3" ؛
• في D7 ندخل "= 4 + 3 * درجة (B7 ؛ 2)" ؛
• في E7 نكتب "= (POWER (B7 ؛ 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7 ؛ 2) + 4)" ؛
• في D7 نقوم بإدخال التعبير "= B7 - E7" ؛
• في B8 ، ندخل صيغة الشرط "= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

في مهمة محددة ، بالفعل في الخلية B10 ، سيظهر النقش "إكمال التكرارات" ، ولحل المشكلة ستحتاج إلى أخذ الرقم المكتوب في الخلية الموجودة في سطر واحد أعلاه. بالنسبة له ، يمكنك أيضًا تحديد عمود "قابل للتمدد" منفصل عن طريق إدخال صيغة شرطية هناك ، والتي وفقًا لها سيتم كتابة النتيجة هناك إذا كان المحتوى في خلية أو خلية أخرى من العمود B يأخذ شكل "إكمال التكرارات".

التنفيذ في باسكال

دعنا نحاول الحصول على حل المعادلة غير الخطية y = x 4 - 4 - 2 * x باستخدام طريقة الظل في باسكال.

نستخدم وظيفة مساعدة تساعد في إجراء حساب تقريبي f "(x) \ u003d (f (x + delta) - f (x)) / delta. كشرط لإكمال العملية التكرارية ، سنختار تحقيق المتباينة | x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

البرنامج مميز لأنه لا يتطلب الحساب اليدوي للمشتق.

طريقة الوتر

فكر في طريقة أخرى لتحديد جذور المعادلات غير الخطية. تتكون عملية التكرار من حقيقة أنه مع عمليات التقريب المتتالية للجذر المطلوب لـ f (x) = 0 ، يتم أخذ قيم نقاط تقاطع الوتر مع حدود نقطتي النهاية a و b مع OX ، يرمز لها x 1 ، ... ، x n. نملك:

بالنسبة للنقطة التي يتقاطع فيها الوتر مع محور OX ، سيتم كتابة التعبير على النحو التالي:

لنفترض أن المشتق الثاني موجب لـ x £ (يتم تقليل الحالة المعاكسة إلى الحالة قيد الدراسة إذا كتبنا f (x) = 0). في هذه الحالة ، الرسم البياني y \ u003d f (x) هو منحنى محدب في الأسفل ويقع أسفل الوتر AB. يمكن أن تكون هناك حالتان: عندما تكون الوظيفة موجبة عند النقطة أ أو تكون سالبة عند النقطة ب.

في الحالة الأولى ، نختار الطرف أ كطرف ثابت ، ونأخذ النقطة ب من أجل س 0. ثم تشكل التقديرات المتتالية وفقًا للصيغة المعروضة أعلاه تسلسلاً يتناقص بشكل رتيب.

في الحالة الثانية ، تكون النهاية b ثابتة عند x 0 = a. تشكل قيم x التي تم الحصول عليها في كل خطوة من خطوات التكرار تسلسلاً يتزايد بشكل رتيب.

وبالتالي ، يمكننا أن نقول:

• الثابت في طريقة الأوتار هو نهاية المقطع حيث لا تتطابق إشارات الوظيفة ومشتقها الثاني ؛
• تقريب الجذر x - x m - تقع منه على الجانب حيث تحتوي f (x) على علامة لا تتطابق مع علامة f "" (x).

يمكن أن تستمر التكرارات حتى يتم استيفاء شروط القرب من الجذور في هذا وخطوة التكرار السابقة (x m - x m - 1)< e.

الطريقة المعدلة

تتيح لك الطريقة المدمجة للأوتار والظلال تحديد جذور المعادلة ، والاقتراب منها من جوانب مختلفة. تتيح لك هذه القيمة ، التي يتقاطع فيها الرسم البياني f (x) مع OX ، تحسين الحل بشكل أسرع بكثير من استخدام كل طريقة على حدة.

افترض أننا نحتاج إلى إيجاد الجذور f (x) = 0 إذا كانت موجودة عليها. يمكنك استخدام أي من الطرق المذكورة أعلاه. ومع ذلك ، من الأفضل تجربة مزيج منها ، مما سيزيد بشكل كبير من دقة الجذر.

نحن نعتبر الحالة مع تقريب أولي يتوافق مع الشرط الذي مفاده أن للمشتقين الأول والثاني إشارات مختلفة عند نقطة معينة x.

في ظل هذه الظروف ، يسمح لك حل المعادلات غير الخطية بطريقة الظل بإيجاد جذر به فائض إذا كانت x 0 = b ، والطريقة التي تستخدم الحبال في نهاية ثابتة b تؤدي إلى إيجاد جذر تقريبي به عيب.

الصيغ المستخدمة:

الآن يجب البحث عن جذر x المطلوب في الفترة. في الخطوة التالية ، تحتاج إلى تطبيق الطريقة المدمجة بالفعل على هذا المقطع. بهذه الطريقة ، نحصل على صيغ من النموذج:

إذا كان هناك اختلاف في الإشارة بين المشتقات الأولى والثانية ، فعند الجدل بطريقة مماثلة ، لتحسين الجذر ، نحصل على الصيغ العودية التالية:

كشرط ، عدم المساواة المقدرة | ب ن +1 - أ ن +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

إذا كانت المتباينة أعلاه صحيحة ، فسيتم أخذ جذر المعادلة غير الخطية في فترة زمنية معينة كنقطة تقع بالضبط في المنتصف بين الحلول الموجودة في خطوة تكرارية معينة.

يتم تنفيذ الطريقة المدمجة بسهولة في بيئة TURBO PASCAL. برغبة قوية يمكنك محاولة إجراء جميع العمليات الحسابية باستخدام الطريقة الجدولية في برنامج Excel.

في الحالة الأخيرة ، يتم اختيار عدة أعمدة لحل المشكلة باستخدام الأوتار وبشكل منفصل للطريقة التي اقترحها إسحاق نيوتن.

في هذه الحالة ، يتم استخدام كل سطر لتسجيل العمليات الحسابية في خطوة تكرارية محددة لطريقتين. بعد ذلك ، في الجزء الأيسر من منطقة الحل ، في صفحة العمل النشطة ، يتم تمييز عمود يتم فيه إدخال نتيجة حساب الوحدة النمطية للاختلاف في قيم خطوة التكرار التالية لكل طريقة من الطرق. يمكن استخدام طريقة أخرى لإدخال نتائج العمليات الحسابية وفقًا لصيغة حساب البناء المنطقي "IF" ، وتستخدم لمعرفة ما إذا كان الشرط مستوفى أم لا.

الآن أنت تعرف كيفية حل المعادلات المعقدة. يتم تنفيذ طريقة الظل ، كما رأيت بالفعل ، بكل بساطة ، في كل من باسكال و Excel. لذلك ، يمكنك دائمًا تحديد جذور المعادلة التي يصعب أو يستحيل حلها باستخدام الصيغ.

نفس التقريب. يستخدم المصطلح P. أحيانًا بمعنى كائن تقريبي (على سبيل المثال ، الحرف الأولي P.) ... موسوعة رياضية

طريقة نيوتن- طريقة نيوتن ، خوارزمية نيوتن (المعروفة أيضًا باسم طريقة الظل) هي طريقة عددية تكرارية لإيجاد جذر (صفر) دالة معينة. تم اقتراح الطريقة لأول مرة من قبل الفيزيائي والرياضي والفلكي الإنجليزي إسحاق نيوتن ... ... ويكيبيديا

طريقة واحدة الظل

طريقة غاوس - نيوتن- طريقة نيوتن (المعروفة أيضًا باسم طريقة الظل) هي طريقة عددية تكرارية لإيجاد جذر (صفر) دالة معينة. تم اقتراح الطريقة لأول مرة من قبل الفيزيائي والرياضي والفلكي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643 1727) ، تحت اسم ... ... ويكيبيديا

طريقة نيوتن رافسون- طريقة نيوتن (المعروفة أيضًا باسم طريقة الظل) هي طريقة عددية تكرارية لإيجاد جذر (صفر) دالة معينة. تم اقتراح الطريقة لأول مرة من قبل الفيزيائي والرياضي والفلكي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643 1727) ، تحت اسم ... ... ويكيبيديا

طريقة نيوتن - رافسون- طريقة نيوتن (المعروفة أيضًا باسم طريقة الظل) هي طريقة عددية تكرارية لإيجاد جذر (صفر) دالة معينة. تم اقتراح الطريقة لأول مرة من قبل الفيزيائي والرياضي والفلكي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643 1727) ، تحت اسم ... ... ويكيبيديا

طريقة الظل- طريقة نيوتن (المعروفة أيضًا باسم طريقة الظل) هي طريقة عددية تكرارية لإيجاد جذر (صفر) دالة معينة. تم اقتراح الطريقة لأول مرة من قبل الفيزيائي والرياضي والفلكي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643 1727) ، تحت اسم ... ... ويكيبيديا

طريقة الظل (طريقة نيوتن)- طريقة نيوتن (المعروفة أيضًا باسم طريقة الظل) هي طريقة عددية تكرارية لإيجاد جذر (صفر) دالة معينة. تم اقتراح الطريقة لأول مرة من قبل الفيزيائي والرياضي والفلكي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643 1727) ، تحت اسم ... ... ويكيبيديا

طريقة الظل- طريقة نيوتن (المعروفة أيضًا باسم طريقة الظل) هي طريقة عددية تكرارية لإيجاد جذر (صفر) دالة معينة. تم اقتراح الطريقة لأول مرة من قبل الفيزيائي والرياضي والفلكي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643 1727) ، تحت اسم ... ... ويكيبيديا

الحل العددي للمعادلات- وأنظمتها تتكون من تحديد تقريبي لجذر أو جذور معادلة أو نظام معادلات وتستخدم في الحالات التي يكون فيها حساب القيمة الدقيقة مستحيلًا أو يستغرق وقتًا طويلاً للغاية. المحتويات 1 بيان المشكلة 2 الطرق العددية ... ويكيبيديا

طريقة التقريب المتسلسل- طريقة لحل المشكلات الرياضية باستخدام تسلسل من التقريبات يتقارب مع حل ويتم بناؤه بشكل متكرر (أي يتم حساب كل تقريب جديد بناءً على السابق ؛ يتم اختيار التقريب الأولي في ... ... الموسوعة السوفيتية العظمى