قصة

التعريف 1

سُئل ليونارد أويلر السؤال التالي: هل من الممكن ، أثناء التجول في كونيغسبيرج ، تجاوز جميع جسور المدينة دون المرور بأي منها مرتين. تم إرفاق مخطط للمدينة مع سبعة جسور.

في رسالة إلى عالم رياضيات إيطالي كان يعرفه ، قدم أويلر حلاً قصيرًا وجميلًا لمشكلة جسور كونيجسبيرج: مع مثل هذا الترتيب ، تكون المشكلة غير قابلة للحل. في الوقت نفسه ، أشار إلى أن السؤال بدا مثيرًا للاهتمام بالنسبة له ، لأنه. "لا تكفي الهندسة ولا الجبر لحلها ...".

عند حل العديد من المشكلات ، رسم ل. أويلر مجموعات باستخدام الدوائر ، ولهذا السبب تم استدعاؤها دوائر أويلر. تم استخدام هذه الطريقة في وقت سابق من قبل الفيلسوف وعالم الرياضيات الألماني جوتفريد لايبنيز ، الذي استخدمها لشرح العلاقات المنطقية بين المفاهيم هندسيًا ، ولكنه استخدم في كثير من الأحيان المخططات الخطية. من ناحية أخرى ، طور أويلر الطريقة تمامًا. أصبحت الأساليب الرسومية مشهورة بشكل خاص بفضل المنطق والفيلسوف الإنجليزي جون فين ، الذي قدم مخططات فين وغالبًا ما يطلق على المخططات المماثلة مخططات أويلر فين. يتم استخدامها في العديد من المجالات ، على سبيل المثال ، في نظرية المجموعات ونظرية الاحتمالات والمنطق والإحصاء وعلوم الكمبيوتر.

مبدأ التخطيط

حتى الآن ، تُستخدم مخططات أويلر-فين على نطاق واسع لتصوير جميع التقاطعات الممكنة لمجموعات متعددة بشكل تخطيطي. تظهر الرسوم البيانية كل مجموعات $ 2 ^ n $ لخصائص n. على سبيل المثال ، إذا كان $ n = 3 $ ، فإن الرسم البياني يوضح ثلاث دوائر مع مراكز عند رءوس مثلث متساوي الأضلاع ونفس نصف القطر ، وهو ما يساوي تقريبًا طول ضلع المثلث.

العمليات المنطقية تحدد جداول الحقيقة. يوضح الرسم البياني دائرة باسم المجموعة التي يمثلها ، على سبيل المثال ، $ A $. ستظهر المنطقة الواقعة في منتصف الدائرة $ A $ حقيقة التعبير $ A $ ، والمساحة خارج الدائرة - false. لعرض عملية منطقية ، يتم تظليل تلك المناطق فقط حيث تكون قيم العملية المنطقية للمجموعتين $ A $ و $ B $ صحيحة.

على سبيل المثال ، لا يكون اقتران مجموعتين $ A $ و $ B $ صحيحًا إلا إذا تحققت المجموعتان. في هذه الحالة ، في الرسم التخطيطي ، ستكون نتيجة اقتران $ A $ و $ B $ هي المنطقة الموجودة في منتصف الدوائر ، والتي تنتمي في نفس الوقت إلى المجموعة $ A $ والمجموعة $ B $ (التقاطع من المجموعات).

الشكل 1. اقتران المجموعات $ A $ و $ B $

استخدام مخططات أويلر فين لإثبات المساواة المنطقية

ضع في اعتبارك كيفية استخدام طريقة إنشاء مخططات أويلر-فين لإثبات المساواة المنطقية.

دعونا نثبت قانون دي مورغان الذي وصفته المساواة:

دليل - إثبات:

الشكل 4. انعكاس $ A $

الشكل 5. انعكاس $ B $

الشكل 6. اقتران انقلابات $ A $ و $ B $

بعد مقارنة مساحة عرض الجزأين الأيمن والأيسر ، نرى أنهما متساويان. من هذا يتبع صحة المساواة المنطقية. تم إثبات قانون De Morgan باستخدام مخططات Euler-Venn.

حل مشكلة البحث عن المعلومات على الإنترنت باستخدام مخططات أويلر فين

للبحث عن معلومات على الإنترنت ، من الملائم استخدام استعلامات البحث ذات الوصلات المنطقية المشابهة في المعنى لأقتران "و" أو "اللغة الروسية. يصبح معنى الوصلات المنطقية أكثر وضوحًا إذا قمنا بتوضيحها بمساعدة مخططات أويلر فين.

مثال 1

يعرض الجدول أمثلة على الاستعلامات إلى خادم البحث. لكل طلب رمز خاص به - حرف من $ A $ إلى $ B $. تحتاج إلى ترتيب أكواد الطلب بترتيب تنازلي لعدد الصفحات الموجودة لكل طلب.

الشكل 7

المحلول:

لنقم ببناء مخطط Euler-Venn لكل استعلام:

الشكل 8

إجابه: BVA.

حل مشكلة منطقية ذات معنى باستخدام مخططات أويلر فين

مثال 2

خلال العطلة الشتوية ، لم يذهب الطلاب إلى السينما أو المسرح أو السيرك من أصل 36 دولارًا في فئة 2 دولار. 25 دولارًا للسينما ، 11 دولارًا للمسرح ، 17 دولارًا للسيرك ؛ في السينما والمسرح - 6 دولارات ؛ وفي السينما والسيرك - 10 دولارات ؛ وإلى المسرح والسيرك - 4 دولارات.

كم عدد الأشخاص الذين زاروا السينما والمسرح والسيرك؟

المحلول:

دعونا نشير إلى عدد الرجال الذين ذهبوا إلى السينما والمسرح والسيرك - $ x $.

لنقم ببناء رسم تخطيطي ومعرفة عدد الرجال في كل منطقة:

الشكل 9

لم تكن في المسرح ولا في السينما ولا في السيرك - 2 دولار للفرد.

إذًا 36 - 2 = 34 دولارًا أمريكيًا. حضور الأحداث.

ذهب الناس 6 دولارات إلى السينما والمسرح ، ما يعني أن (6 دولارات - س) دولار ذهب فقط إلى السينما والمسرح.

10 دولارات ذهب الناس للسينما والسيرك فقط للسينما والسيرك (10 دولارات - × دولار) الناس.

4 دولارات ذهب الناس إلى المسرح والسيرك ، مما يعني أن المسرح والسيرك فقط (4 دولارات - × دولار) ذهبوا إلى المسرح والسيرك.

ذهب 25 دولارًا إلى السينما ، مما يعني أن 25 دولارًا فقط - (10 - س) - (6 - س) - س = (9 + س) دولار ذهب إلى السينما.

وبالمثل ، ذهب فقط (1 دولار + × دولار) إلى المسرح.

فقط (3 دولارات + × دولار) ذهب إلى السيرك.

لذلك ذهبنا إلى المسرح والسينما والسيرك:

$ (9 + x) + (1 + x) + (3 + x) + (10-x) + (6-x) + (4-x) + x = 34 $ ؛

أولئك. ذهب شخص واحد فقط إلى المسرح والسينما والسيرك.

مخطط فين - طريقة رسومية لتعيين وتحليل النظريات الرياضية المنطقية وصيغها. يتم بناؤها عن طريق تقسيم جزء من الطائرة إلى خلايا (مجموعات فرعية) بخطوط مغلقة (منحنيات الأردن). توفر الخلايا المعلومات التي تميز النظرية أو الصيغة قيد الدراسة. الغرض من إنشاء المخططات ليس فقط التوضيح ، ولكن أيضًا المعالجة الخوارزمية للمعلومات. عادةً ما يتم استخدام جهاز مخططات Venn جنبًا إلى جنب مع المخطط التحليلي.

تعتمد طريقة التقسيم وعدد الخلايا وكذلك مشاكل كتابة المعلومات فيها على النظرية قيد الدراسة ، والتي يمكن أيضًا تقديمها (وصفها) بيانياً - من خلال بعض مخططات Venn ، المقدمة في البداية ، على وجه الخصوص ، مع خوارزميات التحويل الخاصة بهم ، عندما يمكن لبعض الرسوم البيانية أن تعمل كمشغلين يعملون على مخططات أخرى. على سبيل المثال ، في حالة الكلاسيكية المنطق الاقتراحي بالنسبة للصيغ المكونة من n متغيرات افتراضية مختلفة ، يتم تقسيم جزء من المستوى (الكون) إلى خليتين متطابقتين مع المكونات (في شكل متصل أو منفصل). مخطط Venn لكل صيغة هو مثل هذا المستوى ، في الخلايا التي يتم وضع علامة النجمة (أو لا يتم وضعها) * إذن ، الصيغة

(¬ a & ¬ b & c) V (a & ¬ b & c) V (¬ a & b & ¬ c)

مع ثلاثة متغيرات مقترحة a و b و c يحدد الرسم البياني الموضح في الشكل ، حيث تتوافق العلامات النجمية في الخلايا مع المكونات المرتبطة لهذه الصيغة المفككة العادية المثالية. إذا لم تكن هناك خلايا مميزة بنجمة ، فسيكون مخطط Venn مرتبطًا ، على سبيل المثال ، بصيغة خاطئة مماثلة ، على سبيل المثال (a & ¬ a).

تعود الطريقة الاستقرائية لتقسيم الطائرة إلى خليتين إلى أعمال المنطق الإنجليزي J. Venn ، وتسمى طريقة Venn وتتكون مما يلي:

1. بالنسبة لـ n = 1 ، 2 ، 3 يتم استخدام الدوائر بطريقة واضحة. (في الشكل ، ن = 3.)

2. افترض أنه بالنسبة إلى n = k (k ≥ 3) ، يشير هذا الترتيب لأشكال k إلى أن المستوى مقسم إلى خلايا 2k.

بعد ذلك ، لوضع أرقام k + 1 على هذا المستوى ، يكفي أولاً اختيار منحنى مفتوح (cp بدون نقاط تقاطع ذاتي ، أي منحنى الأردن المفتوح الذي ينتمي إلى حدود جميع الخلايا 2k وله واحد فقط قطعة مشتركة مع كل من هذه الحدود. ثانيًا ، دائرة φ منحنى الأردن المغلق Ψ ك + 1 بحيث يكون المنحنى Ψ مرت k + 1 عبر جميع الخلايا البالغ عددها 2k وعبرت حدود كل خلية مرتين فقط. سيؤدي ذلك إلى ترتيب أرقام n = k + 1 بحيث يتم تقسيم المستوى إلى 2k + 1 خلية.

لتمثيل النظريات المنطقية الرياضية الأخرى ، تم تمديد طريقة مخططات Venn. تتم كتابة النظرية نفسها بطريقة تسلط الضوء على عناصر لغتها في شكل مناسب للتمثيل الرسومي. على سبيل المثال ، تتم كتابة الصيغ الذرية للمنطق المسند الكلاسيكي ككلمات من النموذج P (Y1..Yr) ، حيث P هي المسند و Y1 ، ... ، Yr هي متغيرات كائن ، وليست بالضرورة مميزة ؛ كلمة Y1، ...، Yr هي جزء من موضوع. إن الطبيعة النظرية الواضحة لمخططات فين تجعل من الممكن تمثيل ودراسة بمساعدتهم ، على وجه الخصوص ، حسابات نظرية المجموعات ، على سبيل المثال ، حساب ZF لنظرية مجموعة Zermelo-Fraenkel. تم تطوير الأساليب الرسومية في المنطق والرياضيات لفترة طويلة. هذه ، على وجه الخصوص ، هي المربع المنطقي ودوائر أويلر والمخططات الأصلية لـ L. Carroll. ومع ذلك ، تختلف طريقة مخططات Venn اختلافًا كبيرًا عن الطريقة المعروفة لدوائر أويلر المستخدمة في علم القياس التقليدي. تستند مخططات فين على فكرة تحليل دالة منطقية إلى مكونات - الفكرة المركزية في جبر المنطق ، والتي تحدد طبيعتها التشغيلية. استخدم فين مخططاته بشكل أساسي لحل مشاكل منطق الصنف. يمكن أيضًا استخدام مخططاتها بشكل فعال لحل مشاكل المنطق الافتراضية والمسند ، ومراجعة النتائج من المباني ، وحل المعادلات المنطقية ، وغيرها من القضايا ، حتى مشكلة القابلية للحل. يتم استخدام جهاز مخططات Venn في تطبيقات المنطق الرياضي ونظرية الأوتوماتا ، على وجه الخصوص ، في حل المشكلات المتعلقة بالدوائر العصبية ومشكلة توليف الدوائر الموثوقة من عناصر غير موثوقة نسبيًا.

A. S. Kuzichev

موسوعة فلسفية جديدة. في أربعة مجلدات. / معهد الفلسفة RAS. الطبعة العلمية. نصيحة: V.S. ستيبين ، أ. حسينوف ، ج. سيميجين. م ، الفكر ، 2010 ، المجلد الأول ، أ - د ، ص. 645.

المؤلفات:

المنطق الرمزي. L. ، 1881. إد. 2 ، مراجعة. L. ، 1894 ؛

مخططات Kuzichev A. S. Venn. التاريخ والتطبيقات. م ، 1968 ؛

هو. حل بعض مسائل المنطق الرياضي باستخدام أشكال فين. - في كتاب: دراسة النظم المنطقية. م ، 1970.

ضع المساواة.

مجموعات لكنو فيتعتبر متساوية إذا كانت كذلك من نفس الشيءعناصر.

يتم تحديد المساواة على النحو التالي: أ = ب.

إذا كانت المجموعات غير متساوية ، فاكتب أ ¹ ب.

تسجيل المساواة من مجموعتين أ = بيعادل الكتابة لكنÌ في، أو فيÌ لكن.

على سبيل المثال ، مجموعة حلول المعادلة x 2 - 5x+ 6 = 0 يحتوي على نفس العناصر (الرقمان 2 و 3) مثل مجموعة الأعداد الأولية الأقل من خمسة. هاتان المجموعتان متساويتان. (الرقم الأولي هو رقم طبيعي لا يقبل القسمة إلا دون الباقي على 1 وعلى نفسه ؛ علاوة على ذلك ، 1 ليس عددًا أوليًا.)

تقاطع (ضرب) مجموعات.

الكثير من د، تتكون من جميع العناصر التي تنتمي إلى ومجموعة أ والمجموعة ب، يسمى تقاطع المجموعات لكنو فيوالمشار إليها د = أ في.

ضع في اعتبارك مجموعتين: X= (0 ، 1 ، 3 ، 5) و ص= (1، 2، 3، 4). الرقمان 1 و 3 ينتميان إلى كلتا المجموعتين في نفس الوقت Xو ص.المجموعة (1 ، 3) المكونة منهم تحتوي على كل المجموعات المشتركة Xو صعناصر. وبالتالي ، فإن المجموعة (1 ، 3) هي تقاطع المجموعات المدروسة Xو ص:

{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.

لشريحة [-1 ؛ 1] والفاصل] 0 ؛ 3 [التقاطع ، أي المجموعة التي تتكون من عناصر مشتركة ، هي الفاصل] 0 ؛ 1] (الشكل 1).

أرز. 1. تقاطع المقطع [-1 ؛ 1] والفاصل] 0 ؛ 3 [هو الفاصل] 0 ؛ واحد]

تقاطع مجموعة من المستطيلات ومجموعة المعينات هو مجموعة من المربعات.

تقاطع مجموعة طلاب الصف الثامن في مدرسة معينة ومجموعة أعضاء دائرة الكيمياء في نفس المدرسة هي مجموعة طلاب الصف الثامن الأعضاء في دائرة الكيمياء.

يتم توضيح تقاطع المجموعات (والعمليات الأخرى - انظر أدناه) بشكل جيد من خلال التمثيل المرئي للمجموعات على المستوى. اقترح أويلر استخدام الدوائر لهذا الغرض. صورة التقاطع (مميزة باللون الرمادي) للمجموعات لكنو فياستخدام دوائر أويلر في الشكل. 2.

أرز. 3. مخطط أويلر-فين للتقاطع (مظلل باللون الرمادي) للمجموعات لكنو في، وهي مجموعات فرعية لكون تم تصويره على شكل مستطيل

إذا كانت المجموعات لكنو فيليس لديهم عناصر مشتركة ، ثم يقولون أن هذه المجموعات لا تتقاطع أو أن تقاطعهم مجموعة فارغة ، ويكتبون لكن في = Æ.

على سبيل المثال ، تقاطع مجموعة الأرقام الزوجية مع مجموعة الأرقام الفردية فارغ.

تقاطع الفواصل العددية] -1 فارغ أيضًا ؛ 0] و -1 ؛ 0] و)