تعليمات
يرتبط الحساب المباشر للحدود ، أولاً وقبل كل شيء ، بحدود Qm (x) / Rn (x) ، حيث Q و R هما كثيرات الحدود. إذا تم حساب الحد عند x → a (a هو رقم) ، فقد ينشأ عدم اليقين ، على سبيل المثال. لحذفها ، اقسم البسط والمقام على (x-a). كرر العملية حتى يختفي عدم اليقين. يتم تقسيم كثيرات الحدود بنفس طريقة قسمة الأرقام تقريبًا. يعتمد على حقيقة أن القسمة والضرب عمليتان عكسيتان. ويرد مثال في الشكل. واحد.
تطبيق أول حد لافت للنظر. تظهر صيغة الحد الأول الرائع في الشكل. 2 أ. لاستخدامها ، أحضر تعبيرك كمثال إلى الشكل المناسب. يمكن دائمًا القيام بذلك جبريًا بحتًا أو عن طريق تغيير المتغير. الشيء الرئيسي - لا تنس أنه إذا كان الجيب من kx ، فإن المقام هو kx أيضًا. ويرد مثال في الشكل. 2 هـ بالإضافة إلى ذلك ، إذا أخذنا في الاعتبار أن tgx = sinx / cosx ، cos0 = 1 ، فسيظهر نتيجة لذلك (انظر الشكل 2 ب). arcsin (sinx) = x و arctg (tgx) = x. لذلك ، هناك نتيجتان أخريان (الشكل 2 ج و 2 د). ظهرت أيضًا مجموعة واسعة إلى حد ما من الأساليب.
تطبيق الحد الملحوظ الثاني (انظر الشكل 3 أ) تستخدم حدود من هذا النوع للتخلص من شكوك النوع. لحل المشكلات المقابلة ، قم ببساطة بتحويل الشرط إلى هيكل يتوافق مع نوع النهاية. تذكر أنه عند رفع تعبير موجود بالفعل في قوة إلى قوة ، يتم ضرب الأسس. يظهر المثال المقابل في الشكل. 2 هـ طبّق التعويض α = 1 / x واحصل على نتيجة الحد الملحوظ الثاني (الشكل 2 ب). بعد أخذ اللوغاريتم في القاعدة أ ، كلا الجزأين من هذه النتيجة الطبيعية ، ستصل إلى النتيجة الطبيعية الثانية ، بما في ذلك عندما أ = هـ (انظر الشكل 2 ج). اجعل التعويض a ^ x-1 = y. ثم x = log (a) (1 + y). عندما يقترب x من الصفر ، فإن y يميل أيضًا إلى الصفر. لذلك ، تظهر نتيجة ثالثة أيضًا (انظر الشكل 2 د).
تطبيق مكافئ لامتناهيات في الصغر: الدوال الصغيرة بلا حدود تعادل x → a إذا كان حد النسبة α (x) / γ (x) يساوي واحدًا. عند حساب الحدود باستخدام هذه اللامتناهيات في الصغر ، اكتب ببساطة γ (x) = α (x) + o (α (x)). o (α (x)) هي متناهية الصغر من مرتبة أعلى من الصغر من α (x). من أجلها lim (x → a) o (α (x)) / α (x) = 0. لتوضيح التكافؤ ، استخدم نفس الحدود الرائعة. تسمح هذه الطريقة بتبسيط عملية إيجاد الحدود بشكل كبير ، مما يجعلها أكثر شفافية.
حكم لوبيتال
التعريف 1
حكم لوبيتال:في ظل ظروف معينة ، فإن حد نسبة الوظائف التي يميل متغيرها إلى $ a $ يساوي حد نسبة مشتقاتها ، مع $ x $ يميل أيضًا إلى $ a $:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) \ frac (f (x)) (g (x)) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) \ frac (f "( x)) (g "(x)) $
تم اكتشاف قاعدة لوبيتال من قبل عالم الرياضيات السويدي يوهان برنولي ، الذي تحدث عنها بعد ذلك في رسالة إلى L'Hopital. نشر لوبيتال هذه القاعدة في أول كتاب مدرسي عن حساب التفاضل في عام 1696 بتأليفه الخاص.
تنطبق قاعدة L'Hopital على التعبيرات القابلة للاختزال إلى أوجه عدم اليقين بالشكل التالي:
$ \ frac (0) (0) \ start (array) (ccc) () & () & (\ frac (\ infty) (\ infty)) \ end (array) $
بدلاً من الصفر في التعبير الأول ، يمكن أن يكون هناك أي قيمة متناهية الصغر.
في الحالة العامة ، يمكن استخدام قاعدة لوبيتال إذا كان كل من البسط والمقام صفراً أو لا نهاية.
الشروط التي يمكن بموجبها تطبيق قاعدة لوبيتال:
- لوحظ الشرط الذي بموجبه تكون حدود الدالتين $ f (x) $ و $ g (x) $ حيث $ x $ يميل إلى $ a $ متساوية وتميل إلى الصفر أو اللانهاية: $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) f (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) g (x) = 0 $ أو $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) f (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) g (x) = \ infty $؛
- من الممكن الحصول على مشتقات $ f (x) $ و $ g (x) $ في منطقة $ a $؛
- مشتق الدالة $ g (x) $ ليس صفر $ g "(x) \ ne 0 $ في منطقة $ a $؛
- حد نسبة مشتقات الدالتين $ f (x) $ و $ g (x) $ ، مكتوبة كـ $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) \ frac (f "(x) ) (g "(x)) $ موجود.
دليل على قاعدة L'Hospital's:
- دع الدالات $ f (x) $ و $ g (x) $ معطاة ، والحدود متساوية:
- $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a + 0) f (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a + 0) g (x) = 0 $.
- دعونا نوسع الدوال عند النقطة $ a $. بالنسبة لهذه النقطة ، سيكون الشرط التالي صحيحًا:
- $ \ frac (f (x)) (g (x)) = \ frac (f (x) -f (a)) (g (x) -g (a)) = \ frac (f "(c)) (ز "(ج)) $.
- تعتمد قيمة $ c $ على $ x $ ، ولكن إذا كان $ x \ إلى a + 0 $ ، فعندئذٍ $ c \ إلى $.
- $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a + 0) \ frac (f (x)) (g (x)) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (c \ to a + 0) \ frac (f "(c)) (g" (c)) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a + 0) \ frac (f "(c)) (g" (c)) $.
خوارزمية لحساب الحل باستخدام قاعدة L'Hopital
- التحقق من التعبير الكامل لعدم اليقين.
- التحقق من جميع الشروط الموضحة أعلاه قبل الاستخدام الإضافي لقاعدة لوبيتال.
- التحقق مما إذا كانت مشتقة الدالة تميل إلى $ 0 $.
- إعادة الاختبار لعدم اليقين.
مثال 1:
البحث عن حد:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (x ^ (2) + 5x) (3x) $
قرار:
- حد الدالة $ f (x) $ يساوي الحد $ g (x) $ وكلاهما يساوي الصفر: $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) f (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) (x ^ (2) + 5x) = 0 $ ؛ $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) g (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) (3x) = 0 $
- $ g "(x) = 3 \ ne 0 $ في منطقة $ a $
- $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) \ frac (f "(x)) (g" (x)) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (2x +5) (3) دولار
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (x ^ (2) + 5x) (3x) = \ left \ langle \ frac (0) (0) \ right \ rangle = \ mathop ( \ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (\ left (x ^ (2) + 5x \ right) ") (\ left (3x \ right)") = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ إلى 0) \ frac (2x + 5) (3) = \ frac (0 + 5) (3) = \ frac (5) (3) $
المثال الثاني:
البحث عن حد:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x) (x ^ (3) -x) $
قرار:
دعنا نتحقق من شروط انطباق قاعدة لوبيتال:
- $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) f (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x) = \ infty $؛ $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) g (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) (x ^ (3) -x) = \ infty $
- $ f (x) $ و $ g (x) $ قابلين للتفاضل في منطقة $ a $
- $ g "(x) = 6 \ ne 0 $ في منطقة $ a $
- $ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to a) \ frac (f "(x)) (g" (x)) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac ( 3x ^ (2) -6x + 2) (3x ^ (2) -1) $
لنكتب المشتق ونجد نهاية الدالة:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x) (x ^ (3) -x) = \ left \ langle \ frac ( \ infty) (\ infty) \ right \ rangle = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (\ left (x ^ (3) -3x ^ (2) + 2x \ right) " ) (\ left (x ^ (3) -x \ right) ") = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (3x ^ (2) -6x + 2) (3x ^ ( 2) -1) = \ يسار \ لونل \ فارك (\ infty) (\ infty) \ يمين \ rangle $
نكرر حساب المشتق حتى نتخلص من اللايقين:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (\ left (3x ^ (2) -6x + 2 \ right) ") (\ left (3x ^ (2) -1 \ right) ") = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (6x-6) (6x) = \ left \ langle \ frac (\ infty) (\ infty) \ right \ rangle = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (\ left (6x-6 \ right) ") (\ left (6x \ right)") = \ frac (6) (6) = 1 $
المثال الثالث:
البحث عن حد:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (\ sin 5x) (x) $
قرار:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (\ sin 5x) (x) = \ left \ langle \ frac (0) (0) \ right \ rangle = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (\ left (\ sin 5x \ right) ") (\ left (x \ right)") = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ frac (5 \ cos 5x) (1) = 5 \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 0) \ cos 5x = 5 $
المثال الرابع:
البحث عن حد:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) (1 + x ^ (2)) ^ (1 / x) $
قرار:
دعنا نسجل الوظيفة:
$ \ ln y = \ frac (1) (x) \ ln (1 + x ^ (2)) = \ frac (\ ln (1 + x ^ (2))) (x) $
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (\ ln (1 + x ^ (2))) (x) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (\ left [\ ln (1 + x ^ (2)) \ right] ") (x") = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) \ frac (\ frac (2x) (1 + x ^ (2))) (1) = 0 دولار
نظرًا لأن الدالة $ ln (y) $ متصلة ، نحصل على:
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) (\ ln y) = \ ln (\ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) y) $
لذلك،
$ \ ln (\ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) y) = 0 $
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) y = 1 $
$ \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to \ infty) (1 + x ^ (2)) ^ (1 / x) = 1 $
قرار حدود الوظائف عبر الإنترنت. أوجد القيمة الحدية لدالة أو تسلسل وظيفي عند نقطة ، احسب يحدقيمة الوظيفة عند اللانهاية. تحديد تقارب سلسلة الأرقام ويمكن فعل الكثير بفضل خدمتنا عبر الإنترنت -. نسمح لك بالعثور على حدود الوظائف عبر الإنترنت بسرعة وبدقة. أنت نفسك تدخل متغير الوظيفة والحد الذي تطمح إليه ، تقوم خدمتنا بإجراء جميع الحسابات نيابة عنك ، مع إعطاء إجابة دقيقة وبسيطة. ولل إيجاد الحد على الإنترنتيمكنك إدخال كل من الدوال المتسلسلة العددية والتحليلية التي تحتوي على ثوابت في التعبير الحرفي. في هذه الحالة ، سيحتوي حد الوظيفة الذي تم العثور عليه على هذه الثوابت كوسيطات ثابتة في التعبير. خدمتنا تحل أي مشاكل معقدة في البحث حدود على الإنترنت، يكفي تحديد الوظيفة والنقطة التي يجب حسابها حد الوظيفة. الحوسبة حدود على الإنترنت، يمكنك استخدام طرق وقواعد مختلفة لحلها ، مع مقارنة النتيجة مع الحد من الحل على الإنترنتعلى موقع www.site ، مما سيؤدي إلى إكمال المهمة بنجاح - ستتجنب الأخطاء والأخطاء المطبعية. أو يمكنك الوثوق بنا تمامًا واستخدام نتيجتنا في عملك ، دون بذل جهد ووقت إضافي في حسابات مستقلة لحد الوظيفة. نسمح بإدخال قيم نهائية مثل اللانهاية. يجب إدخال مصطلح مشترك في التسلسل العددي و www.siteسيحسب القيمة تقييد على الإنترنتإلى ما لا نهاية زائد أو ناقص.
أحد المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي هو حد الوظيفةو حد التسلسلعند نقطة ما وعند اللانهاية ، من المهم أن تكون قادرًا على حلها بشكل صحيح حدود. مع خدمتنا لن يكون الأمر صعبًا. يتم اتخاذ قرار حدود على الإنترنتفي غضون ثوان ، الإجابة دقيقة وكاملة. تبدأ دراسة التفاضل والتكامل بـ المرور إلى الحد الأقصى, حدودتُستخدم في جميع أقسام الرياضيات العليا تقريبًا ، لذلك من المفيد أن يكون لديك خادم في متناول اليد تحديد الحلول عبر الإنترنت، وهو matematikam.ru.
يعد تطبيق قاعدة L'Hospital ضروريًا لحساب الحدود عند الحصول على شكوك من النموذج 0 0 و ∞ ∞.
هناك شكوك في الشكل 0 · ∞ و ∞ -.
أهم جزء في قاعدة لوبيتال هو التفريق بين دالة وإيجاد مشتقها.
حكم لوبيتال
التعريف 1عندما تكون lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 أو ∞ ∞ والوظائف f (x) ، g (x) قابلة للتفاضل داخل النقطة x 0 ، ثم lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f "(x) g" (x).
إذا لم يتم حل حالة عدم اليقين بعد تطبيق قاعدة L'Hopital ، فيجب إعادة تطبيقها مرة أخرى. لفهم كامل ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة.
مثال 1
قم بإجراء العمليات الحسابية باستخدام قاعدة L'Hopital lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x).
قرار
لحلها وفقًا لقاعدة L'Hopital ، تحتاج أولاً إلى إجراء تبديل. نحصل على lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = sin 2 (3 0) 0 cos (0) = 0 0.
الآن يمكنك المتابعة إلى حساب الحدود باستخدام القاعدة. لقد حصلنا على ذلك
lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) "x cos (x)" = lim x → 0 2 sin (3 x) (sin ( 3 x)) "x" cos (x) + x (cos (x)) "= lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x sin (x) = 6 sin (x) = 6 sin (3 x) (3 0) cos (3 0) cos (0) - 0 sin (0) = 0 1 = 0
إجابه: lim x → 0 sin 2 (3 x) x cos (x) = 0.
مثال 2
احسب نهاية الدالة المعطاة lim x → ∞ ln (x) x.
قرار
نجعل البيان ما لا نهاية. لقد حصلنا على ذلك
ليم س → ∞ السجل (س) س = السجل (∞) ∞ = ∞ ∞
يشير عدم اليقين الناتج إلى أنه من الضروري تطبيق قاعدة L'Hopital. لدينا هذا
lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) "x" = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0
الجواب: lim x → ∞ ln (x) x = 0
مثال 3
احسب نهاية الدالة المعطاة lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x))
قرار
نعوض بقيمة x. حصلنا على ذلك
ليم س → 0 + 0 (س 4 ln (س)) = (0 + 0) 4 ln (0 + 0) = 0 (-∞)
أدى الحل إلى عدم اليقين بالصيغة صفر مضروبًا في اللانهاية السالبة. يشير هذا إلى أنه من الضروري الرجوع إلى جدول أوجه عدم اليقين واتخاذ قرارات بشأن اختيار الطريقة لإيجاد هذا الحد. بعد التحول ، نطبق قاعدة لوبيتال. لقد حصلنا على ذلك
lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞ + ∞
يقترح نهج عدم اليقين أنه من الضروري إعادة تطبيق هذه القاعدة. لدينا هذا
lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln ( x)) "(x - 4)" = lim x → 0 + 0 1 x - 4-5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 1 (0 + 0) - 4 = = - 1 4 (0 + 0) 4 = 0
إجابه:ليم س → 0 + 0 (س 4 سجل (س)) = 0
مثال 4
احسب نهاية التابع lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2.
قرار
بعد الاستبدال نحصل عليه
lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞
يشير وجود عدم اليقين إلى أنه يجب استخدام قاعدة لوبيتال. لقد حصلنا على ذلك
lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - sin 2 (x) x 2 sin 2 (x) = lim x → 0 x cos x - sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = = 2 0 cos (0) - sin (0) 0 sin 2 (0) = 0 0
بالنسبة للانتقال الأخير ، تم استخدام أول حد رائع. ثم نصل إلى الحل وفقًا لـ L'Hopital. لقد حصلنا على ذلك
2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) "(x sin 2 (x))" = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0
نظرًا لأن حالة عدم اليقين لم تختف ، فمن الضروري تطبيق آخر لقاعدة L'Hopital. نحصل على حد النموذج
2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x "sin (x) + 2 x cos x" == 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x = - 2 1 3 cos (0) - 2 0 sin (0) = - 2 3
إجابه: lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
يتم تقديم طريقة لحل الحدود باستخدام قاعدة L'Hopital. يتم إعطاء بيانات من النظريات المقابلة. يتم تحليل أمثلة حل الحدود التي تحتوي على شكوك ∞ / ، 0/0 ، 0 إلى قوة 0 و ∞ - ∞ باستخدام قاعدة L'Hopital بالتفصيل.
المحتوىأنظر أيضا: قواعد حساب المشتقات
طريقة الحل
يعد استخدام قاعدة لوبيتال واحدة من أقوى الطرق للكشف عن أوجه عدم اليقين وحساب حدود الوظائف. يسمح لك بالكشف عن أوجه عدم اليقين في النموذج 0/0
أو ∞ / عند نقطة النهاية أو عند اللانهاية ، والتي سنشير إليها على أنها x 0
. قاعدة لوبيتال هي إيجاد مشتقات البسط والمقام في الكسر. إذا كان هناك حد ،.
إذا ، بعد التفاضل ، حصلنا مرة أخرى على عدم اليقين ، فيمكن تكرار العملية ، أي تطبيق قاعدة L'Hopital بالفعل إلى الحد الأقصى. وهكذا ، حتى يتم الكشف عن عدم اليقين.
لتطبيق هذه القاعدة ، يجب أن يكون هناك مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة x 0 ، حيث تكون الدوال الموجودة في البسط والمقام قابلة للاشتقاق ولا تختفي الوظيفة في المقام ومشتقاتها.
يتكون تطبيق قاعدة L'Hopital من الخطوات التالية.
1) نأتي بعدم اليقين إلى النموذج 0/0
أو ∞ / ∞. للقيام بذلك ، إذا لزم الأمر ، نقوم بإجراء تحويلات وإجراء تغيير في المتغير. نتيجة لذلك ، نحصل على حد النموذج.
2) نتأكد من وجود مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة x 0
، حيث تكون الدوال الموجودة في البسط والمقام قابلة للاشتقاق ولا يختفي المقام ومشتقاته.
3) أوجد مشتقات البسط والمقام.
4) إذا كان هناك حد محدود أو لانهائي فإن المشكلة تحل:.
5) إذا كان الحد غير موجود ، فهذا لا يعني أن الحد الأصلي غير موجود. هذا يعني أنه لا يمكن حل هذه المشكلة باستخدام قاعدة لوبيتال. تحتاج إلى تطبيق طريقة أخرى (انظر المثال أدناه).
6) إذا ظهر عدم اليقين مرة أخرى في الحد ، فيمكن أيضًا تطبيق قاعدة L'Hopital عليه ، بدءًا من النقطة 2).
كما هو مذكور أعلاه ، يمكن أن يؤدي تطبيق قاعدة لوبيتال إلى وظيفة لا يوجد حد لها. ومع ذلك ، هذا لا يعني أنه لا يوجد حد أصلي. تأمل المثال التالي.
.
نحن نطبق قاعدة لوبيتال. و.
ومع ذلك ، لا يوجد حد. على الرغم من ذلك ، فإن الوظيفة الأصلية لها حدود:
.
حكم لوبيتال. بيانات النظريات
نقدم هنا صيغًا للنظريات التي يستند إليها الكشف عن أوجه عدم اليقين وفقًا لقاعدة L'Hospital.
نظرية الإفصاح عن عدم اليقين 0/0
دع الدالتين f و g لهما مشتقات في حي مثقوب (من جانبين أو من جانب واحد) من نقطة منتهية أو عند نقطة اللانهاية () ، ولا تساوي الصفر في هذا الحي. دعها تذهب
.
,
ثم هناك حد مساو
.
نظرية الإفصاح عن عدم اليقين ∞ /
دع الدالتين f و g لهما مشتقات في منطقة مثقوبة (ثنائية أو من جانب واحد) من نقطة منتهية أو عند نقطة اللانهاية () ، ولا تساوي الصفر في هذا الحي. دعها تذهب
.
ثم إذا كان هناك حد محدود أو لانهائي
,
ثم هناك حد مساو
.
هنا لحي ذو اتجاهين. لحي من جانب واحد ، أو.
أمثلة
مثال 1
أظهر أن الأس ينمو أسرع من أي دالة طاقة ، بينما ينمو اللوغاريتم بشكل أبطأ. هذا هو ، لإظهار ذلك
لكن) ؛
ب) ،
أين .
النظر في الحد أ). في . هذا هو نوع عدم اليقين. للكشف عنها ، نطبق قاعدة L'Hopital. اسمحوا ان
.
نجد المشتقات. . ثم
.
إذا ، ثم يختفي عدم اليقين ، لأنه في. وفقًا لحكم لوبيتال ،
.
إذا ، فإننا نطبق قاعدة L'Hopital n مرات ، أين هو الجزء الصحيح من الرقم b.
;
.
لأنه عندها . على الرغم من أننا اعتدنا على القراءة من اليسار إلى اليمين ، إلا أنه يجب قراءة سلسلة المساواة هذه من اليمين إلى اليسار على النحو التالي. نظرًا لوجود حد ، فهناك حد مساوٍ له. نظرًا لوجود حد ، فهناك حد مساوٍ له. وهكذا ، حتى نصل إلى النهاية.
فكر الآن في الحد ب):
. لنقم بتغيير المتغير. ثم ؛ في ؛ .
مثال 2
أوجد الحد باستخدام قاعدة لوبيتال:
.
هذا هو عدم تحديد الشكل 0/0
. نجد من خلال حكم لوبيتال.
.
هنا ، بعد التطبيق الأول للقاعدة ، وصلنا مرة أخرى إلى عدم اليقين. لذلك ، تم تطبيق قاعدة L'Hopital مرة ثانية. يجب قراءة سلسلة المساواة هذه من اليمين إلى اليسار على النحو التالي. نظرًا لوجود حد ، فهناك حد مساوٍ له. نظرًا لوجود حد ، فهناك حد ابتدائي مساوٍ له.
مثال 3
احسب الحد باستخدام قاعدة لوبيتال.
.
لنجد قيم البسط والمقام في:
;
.
البسط والمقام صفر. لدينا شك في الشكل 0/0
. للكشف عنها ، نطبق قاعدة L'Hopital.
.
مثال 4
حل الحد باستخدام قاعدة لوبيتال.
.
هنا لدينا شك في الشكل (+0) +0
. دعنا نحولها إلى الشكل + / + ∞. للقيام بذلك ، نقوم بإجراء تحويلات.
.
نجد النهاية في الأس من خلال تطبيق قاعدة لوبيتال.
.
بما أن الأس دالة متصلة لجميع قيم الوسيطة ، إذن
.
مثال 5
أوجد الحد باستخدام قاعدة لوبيتال:
.
هنا لدينا شك في الشكل ∞ - ∞. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك ، فإننا نحضره إلى عدم اليقين في النموذج 0/0
:
.
نحن نطبق قاعدة لوبيتال.
;
;
.
هنا لدينا مرة أخرى عدم تحديد الشكل 0/0
. دعونا نطبق قاعدة لوبيتال مرة أخرى.
;
;
.
أخيرًا لدينا:
.
كما هو الحال مع جميع الحدود المحسوبة باستخدام قاعدة لوبيتال ، عليك أن تقرأ من النهاية. نظرًا لوجود حد ، فهناك حد مساوٍ له. نظرًا لوجود حد ، فهناك حد ابتدائي مساوٍ له.
ملحوظة. يمكن تبسيط العمليات الحسابية إذا استخدمنا نظرية استبدال الدوال بمكافئات في نهاية حاصل القسمة. وفقًا لهذه النظرية ، إذا كانت الوظيفة عبارة عن كسر أو منتج من العوامل ، فيمكن استبدال العوامل بوظائف مكافئة. منذ ذلك الحين في
.
مراجع:
L.D. كودريافتسيف ، م. كوتاسوف ، ف. تشيخلوف ، م. شابونين. مجموعة من المسائل في التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 2003.
