نظرية التغيير في زخم نقطة

نظرًا لأن كتلة النقطة ثابتة ، وتسارعها ، يمكن تمثيل المعادلة التي تعبر عن القانون الأساسي للديناميكيات على أنها

تعبر المعادلة في نفس الوقت عن نظرية التغيير في زخم نقطة ما في الشكل التفاضلي: مشتق الوقت من زخم نقطة ما يساوي المجموع الهندسي للقوى المؤثرة على النقطة.

لندمج هذه المعادلة. دع الكتلة تشير م، تتحرك تحت تأثير قوة (الشكل 15) ، لديها في الوقت الحالي ر\ u003d 0 السرعة ، وفي الوقت الحالي ر 1 - السرعة.

الشكل 15

دعونا بعد ذلك نضرب طرفي المساواة ونأخذ تكاملات محددة منهما. في هذه الحالة ، على اليمين ، حيث يكون التكامل في الوقت المناسب ، ستكون حدود التكاملات 0 و ر 1 ، وعلى اليسار ، حيث تتكامل السرعة ، ستكون حدود التكامل هي القيم المقابلة للسرعة و . منذ تكامل يساوي , ثم نتيجة لذلك نحصل على:

.

التكاملات على اليمين هي نبضات القوى المؤثرة. لذلك ننتهي بـ:

.

تعبر المعادلة عن نظرية التغيير في زخم نقطة في الشكل النهائي: التغيير في زخم نقطة ما خلال فترة زمنية معينة يساوي المجموع الهندسي لنبضات جميع القوى المؤثرة على النقطة خلال نفس الفترة الزمنية (أرز. خمسة عشر).

عند حل المشكلات ، غالبًا ما تستخدم المعادلات في الإسقاطات بدلاً من المعادلات المتجهية.

في حالة الحركة المستقيمة على طول المحور أوهيتم التعبير عن النظرية بأول هذه المعادلات.

المثال 9أوجد قانون حركة نقطة مادية للكتلة متتحرك على طول المحور Xتحت تأثير قوة ثابتة في المعامل F(الشكل 16) في ظل الظروف الأولية: ، في .

الشكل 16

المحلول.دعونا نؤلف معادلة تفاضلية لحركة نقطة في الإسقاط على المحور X:. بدمج هذه المعادلة نجد: . يتحدد الثابت من الحالة الأولية للسرعة ويساوي. أخيراً

.

علاوة على ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار أن v = DX /دنصل إلى المعادلة التفاضلية: ، التكامل الذي نحصل عليه

يتم تحديد الثابت من الشرط الأولي لإحداثيات النقطة. هي متساوية. لذلك ، فإن قانون حركة النقطة له الشكل

المثال 10. وزن الحمولة ص(الشكل 17) يبدأ في التحرك من السكون على طول مستوى أفقي ناعم تحت تأثير قوة F = كيلوطن. أوجد قانون حركة الحمولة.

الشكل 17

المحلول.نختار أصل نظام الإحداثيات افي الموضع الأولي للحمل وتوجيه المحور Xفي اتجاه الحركة (الشكل 17). ثم تبدو الشروط الأولية كما يلي: x(ر = 0) = 0 ، الخامس ( ر = 0) = 0. تعمل القوات على الحمل F،صوقوة رد فعل الطائرة ن. إسقاطات هذه القوى على المحور Xقضيه Fx = F = كيلو طن, صx = 0, N x= 0 ، لذلك يمكن كتابة معادلة الحركة المقابلة على النحو التالي:. فصل المتغيرات في هذه المعادلة التفاضلية ثم التكامل ، نحصل على: v = زكيلو طن 2 /2ص + جواحد . استبدال البيانات الأولية ( الخامس(0) = 0) نجد ذلك ج 1 = 0 ، ونحصل على قانون تغيير السرعة .

التعبير الأخير ، بدوره ، هو معادلة تفاضلية ، سنجد فيها قانون الحركة لنقطة مادية: . يتم تحديد ثابت الدخول هنا من الشرط الأولي الثاني X(0) = 0. من السهل رؤية ذلك. أخيراً

المثال 11.على حمولة في حالة سكون على مستوى أفقي أملس (انظر الشكل 17) على مسافة أمن الأصل ، يبدأ العمل في الاتجاه الإيجابي للمحور xقوة F = ك 2 (ص/ز)x, أين ص -وزن البضائع. أوجد قانون حركة الحمولة.

المحلول.معادلة حركة الحمل المدروس (نقطة المادة) في الإسقاط على المحور X

الشروط الأولية للمعادلة (1) لها الشكل: x(ر = 0) = أ، الخامس( ر = 0) = 0.

نمثل المشتق الزمني للسرعة التي تدخل المعادلة (1) على النحو التالي:

.

استبدال هذا التعبير في المعادلة (1) والاختزال بـ ( ص/ز)، نحن نحصل

بفصل المتغيرات في المعادلة الأخيرة ، نجد ذلك. دمج الأخير لدينا:. باستخدام الشروط الأولية نحصل عليه ، وبالتالي

, . (2)

لأن القوة تعمل على الحمل في الاتجاه الإيجابي للمحور X، فمن الواضح أنه يجب أيضًا أن يتحرك في نفس الاتجاه. لذلك ، في الحل (2) ، يجب اختيار علامة الجمع. عند الاستبدال أكثر في التعبير الثاني (2) ، نحصل على معادلة تفاضلية لتحديد قانون حركة الحمل. ومن أين ، فصل المتغيرات ، لدينا

.

بدمج الأخير نجد: . بعد إيجاد الثابت ، وصلنا أخيرًا

المثال 12.كرة مالجماهير م(الشكل 18) يقع بدون سرعة ابتدائية تحت تأثير الجاذبية. عندما تسقط الكرة ، تتعرض للمقاومة ، أين – معامل السحب المستمر. أوجد قانون حركة الكرة.

الشكل 18

المحلول.دعونا نقدم نظام إحداثيات مع الأصل عند النقطة التي تقع فيها الكرة ر = 0 توجيه المحور فيعموديا لأسفل (الشكل 18). المعادلة التفاضلية لحركة الكرة في الإسقاط على المحور فيثم لديه الشكل

الشروط الأولية للكرة مكتوبة على النحو التالي: ذ(ر = 0) = 0 ، الخامس ( ر = 0) = 0.

فصل المتغيرات في المعادلة (1)

والتكامل ، نجد: ، أين. أو بعد إيجاد ثابت

أو . (2)

ويترتب على ذلك أن السرعة المحددة ، أي السرعة في يساوي.

لإيجاد قانون الحركة ، نستبدل v في المعادلة (2) بـ دى /د. بعد ذلك ، بدمج المعادلة الناتجة مع بدل الشرط الأولي ، وجدنا أخيرًا

.

المثال 13غواصة البحث كروية الشكل والكتلة م= = 1.5 × 10 5 كلغيبدأ في الغرق مع إيقاف تشغيل المحركات ، بسرعة أفقية v X 0 = 30 تصلب متعددوالطفو السلبي ص 1 = 0.01ملغ، أين هو مجموع متجه لقوة الطفو أرخميدس سوالجاذبية ملغيتصرف على القارب (الشكل 20). قوة مقاومة الماء , كجم / ثانية. أوجد معادلات حركة القارب ومساره.

يمكن أن يكون النظام المشار إليه في النظرية أي نظام ميكانيكي يتكون من أي أجسام.

بيان النظرية

مقدار الحركة (الزخم) للنظام الميكانيكي هو قيمة مساوية لمجموع كميات الحركة (الزخم) لجميع الأجسام المدرجة في النظام. إن اندفاع القوى الخارجية التي تعمل على أجسام النظام هو مجموع نبضات جميع القوى الخارجية التي تعمل على أجسام النظام.

( كجم م / ث)

نظرية التغيير في زخم حالات النظام

التغيير في زخم النظام خلال فترة زمنية معينة يساوي اندفاع القوى الخارجية التي تعمل على النظام خلال نفس الفترة الزمنية.

قانون الحفاظ على زخم النظام

إذا كان مجموع كل القوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا ، فإن الزخم (الزخم) للنظام هو قيمة ثابتة.

, نحصل على التعبير عن النظرية حول التغيير في زخم النظام في شكل تفاضلي:

بعد دمج كلا الجزأين من المساواة الناتجة خلال فترة زمنية تم أخذها بشكل تعسفي بين بعض و ، نحصل على تعبير النظرية حول التغيير في زخم النظام في شكل متكامل:

قانون الحفاظ على الزخم (قانون الحفاظ على الزخم) ينص على أن مجموع المتجه لنبضات جميع أجسام النظام هو قيمة ثابتة إذا كان مجموع المتجه للقوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا.

(لحظة الزخم م 2 كجم ث -1)

نظرية التغيير في الزخم الزاوي حول المركز

المشتق الزمني لعزم الزخم (العزم الحركي) لنقطة مادية بالنسبة إلى أي مركز ثابت يساوي لحظة القوة المؤثرة على النقطة بالنسبة إلى نفس المركز.

dk 0 /دت = م 0 (F ) .

نظرية التغيير في الزخم الزاوي حول المحور

المشتق الزمني لعزم الزخم (العزم الحركي) لنقطة مادية فيما يتعلق بأي محور ثابت يساوي لحظة القوة المؤثرة على هذه النقطة فيما يتعلق بالمحور نفسه.

dk x /دت = م x (F ); dk ذ /دت = م ذ (F ); dk ض /دت = م ض (F ) .

ضع في اعتبارك نقطة جوهرية م وزن م تتحرك تحت تأثير قوة F (الشكل 3.1). دعونا نكتب ونبني متجه الزخم الزاوي (الزخم الحركي) م 0 نقطة مادية بالنسبة للمركز ا :

اشتق التعبير عن لحظة الزخم (اللحظة الحركية ك 0) حسب الوقت:

لان الدكتور /د = الخامس ، ثم المنتج المتجه الخامس ⊗ م ⋅ الخامس (ناقلات خطية الخامس و م ⋅ الخامس ) تساوي صفرًا. في نفس الوقت د (م ⋅ الخامس) /دت = واو وفقًا لنظرية زخم نقطة مادية. لذلك ، حصلنا على ذلك

dk 0 /د = ص ⊗F , (3.3)

أين ص ⊗F = م 0 (F ) - عزم القوة المتجه F نسبة إلى المركز الثابت ا . المتجه ك 0 ⊥ طائرة ( ص , م ⊗الخامس ) والمتجه م 0 (F ) ⊥ طائرة ( ص ,F ) ، لدينا أخيرًا

dk 0 /دت = م 0 (F ) . (3.4)

تعبر المعادلة (3.4) عن نظرية التغيير في الزخم الزاوي (الزخم الحركي) لنقطة مادية بالنسبة للمركز: المشتق الزمني لعزم الزخم (العزم الحركي) لنقطة مادية بالنسبة إلى أي مركز ثابت يساوي لحظة القوة المؤثرة على النقطة بالنسبة إلى نفس المركز.

إسقاط المساواة (3.4) على محاور الإحداثيات الديكارتية ، نحصل عليها

dk x /دت = م x (F ); dk ذ /دت = م ذ (F ); dk ض /دت = م ض (F ) . (3.5)

تعبر المعادلات (3.5) عن نظرية التغيير في الزخم الزاوي (العزم الحركي) لنقطة مادية حول المحور: المشتق الزمني لعزم الزخم (العزم الحركي) لنقطة مادية فيما يتعلق بأي محور ثابت يساوي لحظة القوة المؤثرة على هذه النقطة فيما يتعلق بالمحور نفسه.

دعونا ننظر في النتائج التالية من النظريات (3.4) و (3.5).

النتيجة 1.النظر في حالة القوة F خلال الحركة الكاملة للنقطة تمر عبر المركز الثابت ا (حالة القوة المركزية) ، أي متى م 0 (F ) = 0. ثم يتبع من نظرية (3.4) ذلك ك 0 = مقدار ثابت ,

أولئك. في حالة القوة المركزية ، تظل لحظة الزخم (العزم الحركي) لنقطة مادية بالنسبة إلى مركز هذه القوة ثابتة في الحجم والاتجاه (الشكل 3.2).

الشكل 3.2

من الشرط ك 0 = مقدار ثابت ويترتب على ذلك أن مسار النقطة المتحركة هو منحنى مستوٍ يمر مستواه عبر مركز هذه القوة.

النتيجة 2.يترك م ض (F ) = 0 ، أي القوة تعبر المحور ض أو موازية لها. في هذه الحالة ، كما يتضح من ثالث المعادلات (3.5) ، ك ض = مقدار ثابت ,

أولئك. إذا كانت لحظة القوة المؤثرة على نقطة بالنسبة إلى أي محور ثابت تساوي دائمًا صفرًا ، فإن الزخم الزاوي (العزم الحركي) للنقطة بالنسبة إلى هذا المحور يظل ثابتًا.

إثبات نظرية تغيير الزخم

دع النظام يتكون من نقاط مادية ذات كتل وتسارعات. يمكن تقسيم جميع القوى المؤثرة على أجسام النظام إلى نوعين:

القوى الخارجية - القوى التي تعمل من هيئات غير مدرجة في النظام قيد الدراسة. ناتج القوى الخارجية التي تعمل على نقطة مادية مع الرقم أنادلالة.

القوى الداخلية هي القوى التي تتفاعل معها أجسام النظام نفسه مع بعضها البعض. القوة التي بها النقطة مع الرقم أنارقم النقطة صالح ك، وسوف نشير ، وقوة التأثير أناالنقطة رقم كالنقطة رقم -. من الواضح ، إذن

باستخدام الترميز المقدم ، نكتب قانون نيوتن الثاني لكل من النقاط المادية المعتبرة في النموذج

بشرط وتلخيصًا لكل معادلات قانون نيوتن الثاني ، نحصل على:

التعبير هو مجموع كل القوى الداخلية المؤثرة في النظام. وفقًا لقانون نيوتن الثالث ، في هذا المجموع ، تتوافق كل قوة مع قوة من هذا القبيل ، وبالتالي ، تتحقق نظرًا لأن المجموع الكلي يتكون من هذه الأزواج ، فإن المجموع نفسه يساوي صفرًا. وهكذا ، يمكن للمرء أن يكتب

باستخدام تسمية زخم النظام ، نحصل عليها

الأخذ بعين الاعتبار التغيير في زخم القوى الخارجية ، نحصل على تعبير النظرية حول التغيير في زخم النظام في شكل تفاضلي:

وهكذا ، تسمح لنا كل من المعادلات الأخيرة التي تم الحصول عليها أن نؤكد: التغيير في زخم النظام يحدث فقط نتيجة لعمل القوى الخارجية ، ولا يمكن للقوى الداخلية أن يكون لها أي تأثير على هذه القيمة.

بعد دمج كلا الجزأين من المساواة التي تم الحصول عليها خلال فترة زمنية تم أخذها بشكل تعسفي بين البعض ، نحصل على تعبير عن النظرية حول التغيير في زخم النظام في شكل متكامل:

أين و هي قيم مقدار حركة النظام في لحظات من الزمن و ، على التوالي ، و هي الدافع للقوى الخارجية على مدى فترة من الزمن. وفقًا لما ورد أعلاه والترميز المقدم ،

معادلة تفاضلية لحركة نقطة مادية تحت تأثير القوة Fيمكن تمثيلها في شكل المتجه التالي:

منذ كتلة نقطة ممن المفترض أن تكون ثابتة ، ثم يمكن تقديمها تحت علامة المشتق. ثم

تعبر الصيغة (1) عن نظرية التغيير في زخم نقطة ما في شكل تفاضلي: مشتق المرة الأولى من الزخم لنقطة ما يساوي القوة المؤثرة على النقطة.

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات (1) يمكن تمثيلها كـ

إذا تم ضرب طرفي (1) في د، ثم نحصل على شكل آخر من نفس النظرية - نظرية الزخم في الشكل التفاضلي:

أولئك. التفاضل في زخم نقطة ما يساوي الدافع الأولي للقوة المؤثرة على النقطة.

نحصل على إسقاط كلا الجزأين من (2) على محاور الإحداثيات

بدمج جزأي (2) من صفر إلى t (الشكل 1) ، لدينا

أين سرعة النقطة في الوقت الراهن ر؛ - السرعة في ر = 0;

س- زخم القوة بمرور الوقت ر.

غالبًا ما يُطلق على التعبير في النموذج (3) نظرية الزخم في شكل محدود (أو متكامل): التغيير في زخم نقطة ما خلال أي فترة زمنية يساوي زخم القوة خلال نفس الفترة الزمنية.

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات ، يمكن تمثيل هذه النظرية بالشكل التالي:

بالنسبة لنقطة مادية ، فإن نظرية التغيير في الزخم في أي من الأشكال ، في جوهرها ، لا تختلف عن المعادلات التفاضلية لحركة نقطة ما.

نظرية التغيير في زخم النظام

سيطلق على مقدار حركة النظام كمية المتجه س، يساوي المجموع الهندسي (المتجه الرئيسي) لزخم جميع نقاط النظام.

ضع في اعتبارك نظامًا يتكون من ن نقاط مادية. دعونا نؤلف معادلات تفاضلية للحركة لهذا النظام ونضيفها مصطلحًا تلو الآخر. ثم نحصل على:

المجموع الأخير من خاصية القوى الداخلية يساوي الصفر. بجانب،

وجدنا أخيرًا:

المعادلة (4) تعبر عن نظرية التغيير في زخم النظام في شكل تفاضلي: المشتق الزمني لزخم النظام يساوي المجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام.

لنجد طريقة أخرى للنظرية. دعونا في هذه اللحظة ر= 0 زخم النظام س 0، وفي الوقت الحالي t1يصبح متساويا س 1.ثم يتم ضرب طرفي المساواة (4) في دوندمج ، نحصل على:

او اين:

(S- قوة الدافع)

لأن التكاملات على اليمين تعطي نبضات القوى الخارجية ،

المعادلة (5) تعبر عن نظرية التغيير في زخم النظام في شكل متكامل: التغيير في مقدار حركة النظام خلال فترة زمنية معينة يساوي مجموع نبضات القوى الخارجية التي تعمل على النظام خلال نفس الفترة الزمنية.

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات ، سيكون لدينا:

قانون الحفاظ على الزخم

من نظرية التغيير في زخم النظام ، يمكن الحصول على النتائج المهمة التالية:

1. اجعل مجموع كل القوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا:

ثم يتبين من المعادلة (4) أنه في هذه الحالة ، س = ثابت.

في هذا الطريق، إذا كان مجموع كل القوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا ، فسيكون متجه الزخم للنظام ثابتًا في المعامل والاتجاه.

2. دع القوى الخارجية التي تعمل على النظام بحيث يكون مجموع توقعاتها على محور ما (على سبيل المثال ، Ox) مساويًا للصفر:

ثم يتبع من المعادلات (4`) ذلك في هذه الحالة س = ثابت.

في هذا الطريق، إذا كان مجموع إسقاطات جميع القوى الخارجية المؤثرة على بعض المحاور يساوي صفرًا ، فإن إسقاط زخم النظام على هذا المحور هو قيمة ثابتة.

تعبر هذه النتائج قانون الحفاظ على زخم النظام.يترتب على ذلك أن القوى الداخلية لا تستطيع تغيير الزخم الكلي للنظام.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة:

· إرتداد أو إرتداد. إذا اعتبرنا البندقية والرصاصة نظامًا واحدًا ، فإن ضغط غازات المسحوق عند إطلاقها سيكون قوة داخلية. هذه القوة لا يمكن أن تغير الزخم الكلي للنظام. ولكن نظرًا لأن الغازات الدافعة ، التي تعمل على الرصاصة ، تمنحها قدرًا معينًا من الحركة الموجهة للأمام ، فيجب عليهم في نفس الوقت إخبار البندقية بنفس مقدار الحركة في الاتجاه المعاكس. سيؤدي هذا إلى تحريك البندقية للخلف ، أي. عودة ما يسمى. تحدث ظاهرة مماثلة عند إطلاق النار من بندقية (ارتداد).

· تشغيل المروحة (المروحة). تقوم المروحة بإبلاغ كتلة معينة من الهواء (أو الماء) بالحركة على طول محور المروحة ، مما يؤدي إلى إرجاع هذه الكتلة إلى الخلف. إذا اعتبرنا الكتلة المهملة والطائرة (أو السفينة) نظامًا واحدًا ، فإن قوى التفاعل بين المروحة والوسط كداخلي لا يمكن أن تغير الزخم الكلي لهذا النظام. لذلك ، عندما يتم إلقاء كتلة من الهواء (الماء) للخلف ، تحصل الطائرة (أو السفينة) على السرعة الأمامية المقابلة ، بحيث يظل الزخم الكلي للنظام قيد الدراسة مساويًا للصفر ، حيث كان صفرًا قبل بدء الحركة .

يتم تحقيق تأثير مماثل من خلال عمل المجاذيف أو عجلات المجذاف.

· الدفع الصاروخي: في قذيفة صاروخية (صاروخ) ، تنطلق المنتجات الغازية لاحتراق الوقود بسرعة عالية من ثقب في ذيل الصاروخ (من فوهة المحرك النفاث). ستكون قوى الضغط المؤثرة في هذه الحالة قوى داخلية ولا يمكنها تغيير الزخم الكلي لنظام غازات مسحوق الصواريخ. ولكن نظرًا لأن الغازات الخارجة لها قدر معين من الحركة موجهة للخلف ، فإن الصاروخ يستقبل في هذه الحالة السرعة الأمامية المقابلة.

نظرية اللحظات حول المحور.

ضع في اعتبارك نقطة كتلة مادية متتحرك تحت تأثير قوة F. دعونا نجد له التبعية بين لحظة المتجهات بالسياراتو Fحول بعض المحور Z الثابت.

م ض (و) = س - ص (7)

وبالمثل بالنسبة للكمية م (بالسيارات)، إذا أخرجت مسيكون القوس

م ض (بالسيارات) \ u003d م (xV - يف)(7`)

بأخذ مشتقات الوقت لكلا الجانبين من هذه المساواة ، نجد

على الجانب الأيمن من التعبير الناتج ، يكون القوس الأول هو 0 ، منذ ذلك الحين dx / dt = V و dу / dt = V.، بينما القوس الثاني وفقًا للصيغة (7) يساوي

م ض (ف)، لأنه وفقًا للقانون الأساسي للديناميكيات:

أخيرًا سيكون لدينا (8)

تعبر المعادلة الناتجة عن نظرية اللحظات حول المحور: المشتق الزمني للزخم الزاوي لنقطة حول بعض المحاور يساوي لحظة القوة المؤثرة حول نفس المحور.تنطبق نظرية مماثلة أيضًا على لحظات حول أي مركز O.

(شظايا سيمفونية رياضية)

يتم التعبير عن ارتباط قوة الدفع بالمعادلة الأساسية لديناميات نيوتن من خلال نظرية التغيير في زخم نقطة مادية.

نظرية.التغيير في مقدار حركة نقطة مادية لفترة معينة من الوقت يساوي دافع القوة () التي تعمل على النقطة المادية لنفس الفترة الزمنية.يمكن تسمية الدليل الرياضي لهذه النظرية بجزء من سيمفونية رياضية. ها هو.

الزخم التفاضلي لنقطة مادية يساوي الدافع الأولي للقوة المؤثرة على النقطة المادية. دمج التعبير (128) لتفاضل الزخم لنقطة مادية ، لدينا

(129)

تم إثبات النظرية واعتبر علماء الرياضيات أن مهمتهم قد اكتملت ، ولدى المهندسين ، الذين مصيرهم تصديق علماء الرياضيات تقوى ، أسئلة عند استخدام المعادلة المثبتة (129). لكنها محجوبة بشدة من خلال تسلسل وجمال الإجراءات الرياضية (128 و 129) ، والتي تبهرنا وتشجعنا على تسميتها جزء من سيمفونية رياضية. كم من أجيال من المهندسين اتفقت مع علماء الرياضيات وارتعدت من لغز رموزهم الرياضية! ولكن بعد ذلك كان هناك مهندس اختلف مع علماء الرياضيات وطرح عليهم أسئلة.

علماء الرياضيات الأعزاء!لماذا لا يناقش أي من كتبك المدرسية عن الميكانيكا النظرية عملية تطبيق نتيجتك السمفونية (129) عمليًا ، على سبيل المثال ، عند وصف عملية تسريع السيارة؟ الجانب الأيسر من المعادلة (129) واضح للغاية. تبدأ السيارة في التسارع من سرعة وتنتهي ، على سبيل المثال ، بسرعة. من الطبيعي أن تصبح المعادلة (129)

والسؤال الأول يطرح نفسه على الفور: كيف يمكننا تحديد القوة من المعادلة (130) ، والتي تحت تأثيرها يتم تسريع السيارة إلى سرعة 10 م / ث؟ لا توجد إجابة على هذا السؤال في أي من الكتب المدرسية التي لا حصر لها حول الميكانيكا النظرية. لنذهب أبعد من ذلك. بعد التسارع ، تبدأ السيارة في التحرك بشكل موحد بسرعة 10 م / ث. ما هي القوة التي تقود السيارة؟ ليس لدي خيار سوى أن أخجل مع علماء الرياضيات. ينص القانون الأول للديناميكيات النيوتونية على أنه عندما تتحرك السيارة بشكل موحد ، لا تؤثر عليها أي قوى ، والسيارة ، بالمعنى المجازي ، تعطس على هذا القانون ، وتستهلك البنزين وتعمل ، وتتحرك ، على سبيل المثال ، مسافة 100 كيلومتر. وأين القوة التي بذلت الشغل لتحريك السيارة 100 كم؟ المعادلة الرياضية السمفونية (130) صامتة ، لكن الحياة تستمر وتتطلب إجابة. نبدأ في البحث عنه.

نظرًا لأن السيارة تتحرك في خط مستقيم وبشكل موحد ، فإن القوة التي تحركها ثابتة في الحجم والاتجاه ، وتصبح المعادلة (130)

(131)

إذن ، المعادلة (131) في هذه الحالة تصف الحركة المتسارعة للجسم. ما هي القوة التي تساوي؟ كيف يعبر عن تغيره بمرور الوقت؟ يفضل علماء الرياضيات تجنب هذا السؤال وتركه للمهندسين ، معتقدين أنه يجب عليهم البحث عن إجابة لهذا السؤال. لدى المهندسين إمكانية واحدة متبقية - أن يأخذوا في الاعتبار أنه بعد اكتمال الحركة المتسارعة للجسم ، تبدأ مرحلة من الحركة المنتظمة ، مصحوبة بقوة ثابتة ، تمثل المعادلة (131) للحظة الانتقال من تسارع إلى حركة موحدة في هذا الشكل

(132)

لا يعني السهم في هذه المعادلة نتيجة دمج هذه المعادلة ، بل يعني عملية الانتقال من شكلها المتكامل إلى شكل مبسط. القوة في هذه المعادلة تعادل متوسط ​​القوة التي غيرت زخم الجسم من صفر إلى القيمة النهائية. لذا ، أعزائي علماء الرياضيات وعلماء الفيزياء النظرية ، فإن عدم وجود طريقتك في تحديد حجم الزخم الخاص بك يجبرنا على تبسيط إجراءات تحديد القوة ، وعدم وجود طريقة لتحديد مدة هذه القوة بشكل عام يضعنا في حالة ميؤوس منها. الوضع ونضطر لاستخدام التعبير لتحليل عملية تغيير زخم الجسم. ونتيجة لذلك ، كلما طالت مدة عمل القوة ، زاد زخمها. من الواضح أن هذا يتناقض مع الأفكار الراسخة بأن دافع القوة أكبر ، وكلما أقصر وقت عملها.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أن التغيير في زخم نقطة مادية (نبضة القوة) أثناء حركتها المتسارعة يحدث تحت تأثير القوة النيوتونية وقوى المقاومة للحركة ، في شكل قوى تشكلها المقاومة الميكانيكية وقوة الجمود. لكن الديناميكيات النيوتونية في الغالبية العظمى من المشاكل تتجاهل قوة القصور الذاتي ، وتؤكد الديناميكا الميكانيكية أن التغيير في زخم الجسم أثناء حركته المتسارعة يحدث بسبب زيادة القوة النيوتونية على قوى مقاومة الحركة ، بما في ذلك قوة الجمود.

عندما يتحرك الجسم في حركة بطيئة ، على سبيل المثال ، سيارة مع ترس ، لا توجد قوة نيوتونية ، ويحدث التغيير في زخم السيارة بسبب زيادة قوى المقاومة للحركة على قوة القصور الذاتي الذي يحرك السيارة أثناء حركتها البطيئة.

كيف يتم الآن إعادة نتائج العمليات الرياضية "السمفونية" الملحوظة (128) إلى قناة علاقات السبب والنتيجة؟ لا يوجد سوى مخرج واحد - لإيجاد تعريف جديد لمفهومي "اندفاع القوة" و "قوة التأثير". للقيام بذلك ، نقسم طرفي المعادلة (132) على الوقت t. نتيجة لذلك ، سيكون لدينا

. (133)

دعنا ننتبه إلى حقيقة أن التعبير mV / t هو معدل التغير في الزخم (mV / t) لنقطة أو جسم مادي. إذا أخذنا في الاعتبار أن V / t عبارة عن تسارع ، فإن mV / t هي القوة التي تغير زخم الجسم. يمنحنا نفس البعد على يسار ويمين علامة المساواة الحق في استدعاء القوة F قوة التأثير وتعيينها بالرمز ، والاندفاع S - دافع التأثير وتعيينه بالرمز. من هذا يتبع تعريف جديد لقوة التأثير. قوة التأثير ، التي تعمل على نقطة أو جسم مادي ، تساوي نسبة التغيير في زخم نقطة المادة أو الجسم إلى وقت هذا التغيير.

دعونا نولي اهتمامًا خاصًا لحقيقة أن القوة النيوتونية فقط هي التي تشارك في تكوين نبضة الصدمة (134) ، والتي غيرت سرعة السيارة من الصفر إلى القيمة القصوى - وبالتالي ، فإن المعادلة (134) تنتمي بالكامل إلى ديناميات نيوتن. نظرًا لأنه من الأسهل بكثير إصلاح قيمة السرعة بشكل تجريبي من التسريع ، فإن الصيغة (134) ملائمة جدًا للحسابات.

تشير المعادلة (134) إلى مثل هذه النتيجة غير العادية.

دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه وفقًا للقوانين الجديدة للديناميكا الميكانيكية ، فإن مولد دافع القوة أثناء الحركة المتسارعة لنقطة أو جسم مادي هو القوة النيوتونية. إنه يولد تسارعًا لحركة نقطة أو جسم ، حيث تنشأ قوة القصور الذاتي تلقائيًا ، موجهة عكس القوة النيوتونية ، ويجب أن يتغلب التأثير على القوة النيوتونية على عمل قوة القصور الذاتي ، لذلك يجب تمثيل قوة القصور الذاتي في ميزان القوى على الجانب الأيسر من المعادلة (134). نظرًا لأن قوة القصور الذاتي تساوي كتلة نقطة أو جسم ، مضروبة في التباطؤ ، الذي تشكله ، فإن المعادلة (134) تصبح

(136)

علماء الرياضيات الأعزاء!يمكنك أن ترى الشكل الذي اتخذه النموذج الرياضي ، ووصف نبضة الصدمة ، والتي تسرع حركة الجسم المصاب من الصفر إلى السرعة القصوى V (11). الآن دعنا نتحقق من عملها في تحديد دافع التأثير ، والذي يساوي قوة التأثير التي أطلقت وحدة الطاقة الثانية UGS (الشكل 120) ، وسنترك لك معادلتك غير المجدية (132). من أجل عدم تعقيد العرض ، سنترك الصيغة (134) بمفردها في الوقت الحالي ونستخدم الصيغ التي تعطي القيم المتوسطة للقوى. ترى في أي منصب تضع فيه مهندسًا يسعى لحل مشكلة معينة.

لنبدأ بالديناميات النيوتونية. وجد الخبراء أن وحدة الطاقة الثانية ارتفعت إلى ارتفاع 14 مترًا. نظرًا لأنه كان يرتفع في مجال الجاذبية ، فعند ارتفاع h = 14 م ، تبين أن طاقته الكامنة تساوي

وكان متوسط ​​الطاقة الحركية

أرز. 120. صورة لغرفة المحرك قبل الكارثة

من المساواة بين الطاقات الحركية (138) والطاقات المحتملة (137) ، يتبع متوسط ​​سرعة الرفع لوحدة الطاقة (الشكل 121 ، 122)

أرز. 121. فوتون من غرفة الآلة بعد الكارثة

وفقًا للقوانين الجديدة للديناميكا الميكانيكية ، يتكون صعود وحدة الطاقة من مرحلتين (الشكل 123): المرحلة الأولى OA - الارتفاع المتسارع والمرحلة الثانية AB - الارتفاع البطيء ، ،.

الوقت والمسافة من عملهم يساوي تقريبًا (). ثم ستتم كتابة المعادلة الحركية لمرحلة الرفع المتسارع لوحدة الطاقة على شكل

. (140)

أرز. 122. منظر لبئر وحدة الطاقة ووحدة الطاقة نفسها بعد الكارثة

قانون التغيير في سرعة الرفع لوحدة الطاقة في المرحلة الأولى له الشكل

. (141)

أرز. 123. نمط التغيير في السرعة V لرحلة وحدة الطاقة

التعويض بالوقت من المعادلة (140) إلى المعادلة (141) ، لدينا

. (142)

يتم تحديد وقت رفع الكتلة في المرحلة الأولى من الصيغة (140)

. (143)

ثم إجمالي الوقت لرفع وحدة الطاقة إلى ارتفاع 14 م سوف يساوي. كتلة وحدة الطاقة والغطاء 2580 طن. وفقًا لديناميكيات نيوتن ، القوة التي رفعت وحدة الطاقة تساوي

علماء الرياضيات الأعزاء!نحن نتبع نتائجك الرياضية السمفونية ونقوم بتدوين المعادلة (129) ، التي تتبع ديناميكيات نيوتن ، لتحديد نبضة الصدمة التي أطلقت وحدة الطاقة الثانية

وطرح سؤال أولي: كيف تحدد مدة نبضة الصدمة التي أطلقت وحدة الطاقة الثانية ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

عزيزي!!!تذكر مقدار الطباشير الذي كتبته أجيال زملائك على اللوحات التعليمية ، حيث قام بتعليم الطلاب كيفية تحديد دافع التأثير ولم يشرح أحد كيفية تحديد مدة اندفاع التأثير في كل حالة محددة. ستقول أن مدة نبضة التأثير تساوي الفاصل الزمني لتغيير سرعة وحدة الطاقة من صفر إلى ، سنفترض ، القيمة القصوى البالغة 16.75 م / ث (139). وهي بالصيغة (143) وتساوي 0.84 ثانية. نحن نتفق معك في الوقت الحالي ونحدد متوسط ​​قيمة اندفاع الصدمة

السؤال الذي يطرح نفسه على الفور: لماذا حجم نبضة الصدمة (146) أقل من القوة النيوتونية البالغة 50600 طن؟ الجواب يا علماء الرياضيات الأعزاء لا. لنذهب أبعد من ذلك.

وفقًا لديناميكيات نيوتن ، القوة الرئيسية التي قاومت رفع وحدة الطاقة هي الجاذبية. نظرًا لأن هذه القوة موجهة ضد حركة وحدة الطاقة ، فإنها تولد تباطؤًا يساوي تسارع السقوط الحر. ثم قوة الجاذبية المؤثرة على وحدة الطاقة التي تطير لأعلى تساوي

لا تأخذ ديناميكيات نيوتن في الاعتبار القوى الأخرى التي حالت دون عمل القوة النيوتونية البالغة 50600 طن (144) ، وتدعي الديناميكا الميكانيكية أن قوة القصور الذاتي تساوي

السؤال الذي يطرح نفسه على الفور: كيف تجد حجم تباطؤ حركة وحدة الطاقة؟ ديناميكيات نيوتن صامتة ، والديناميكا الميكانيكية تجيب: في لحظة عمل القوة النيوتونية التي رفعت وحدة الطاقة ، تمت مقاومتها: الجاذبية والقصور الذاتي ، لذا فإن معادلة القوى المؤثرة على وحدة الطاقة في تلك اللحظة مكتوبة على النحو التالي.

ضع في اعتبارك نظامًا يتكون من نقاط مادية. دعونا نؤلف معادلات تفاضلية للحركة (13) لهذا النظام ونضيفها مصطلحًا تلو الآخر. ثم نحصل

المجموع الأخير من خاصية القوى الداخلية يساوي الصفر. بجانب،

أخيرا نجد

تعبر المعادلة (20) عن نظرية التغيير في زخم النظام في شكل تفاضلي: المشتق الزمني لزخم النظام يساوي المجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام. في الإسقاطات على محاور الإحداثيات سيكون:

دعونا نجد تعبيرا آخر للنظرية. دع في الوقت الحالي يكون زخم النظام مساويًا له وفي الوقت الحالي يصبح مساويًا له. ثم نضرب طرفي المساواة (20) بالتكامل ونحصل

لأن التكاملات على اليمين تعطي نبضات القوى الخارجية.

تعبر المعادلة (21) عن نظرية التغيير في زخم النظام في شكل متكامل: التغيير في زخم النظام خلال فترة زمنية معينة يساوي مجموع النبضات التي تعمل على نظام القوى الخارجية على نفس الفترة الزمنية.

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات سيكون:

دعونا نشير إلى العلاقة بين النظرية المثبتة والنظرية حول حركة مركز الكتلة. منذ ذلك الحين ، استبدال هذه القيمة بالمساواة (20) ومراعاة ما نحصل عليه ، أي المعادلة (16).

لذلك ، فإن النظرية الخاصة بحركة مركز الكتلة ونظرية التغيير في زخم النظام هما ، في جوهرهما ، شكلين مختلفين من نفس النظرية. في الحالات التي يتم فيها دراسة حركة الجسم الصلب (أو نظام الأجسام) ، يمكن استخدام أي من هذه الأشكال بالتساوي ، وعادة ما تكون المعادلة (16) أكثر ملاءمة للاستخدام. بالنسبة لوسط مستمر (سائل ، غاز) ، عند حل المشكلات ، يستخدمون عادةً النظرية حول التغيير في زخم النظام. لهذه النظرية أيضًا تطبيقات مهمة في نظرية التأثير (انظر الفصل الحادي والثلاثين) وفي دراسة الدفع النفاث (انظر الفقرة 114).