خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

المهام C2 لامتحان الحالة الموحدة في الرياضيات لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى

كوليكوفا أناستاسيا يوريفنا

طالبة في السنة الخامسة قسم الرياضيات. التحليل والجبر والهندسة EI KFU ، الاتحاد الروسي ، جمهورية تتارستان ، Elabuga

جينيفا إيغول ريفوفنا

مشرف علمي ، دكتوراه. بيد. العلوم ، أستاذ مشارك ، EI KFU ، الاتحاد الروسي ، جمهورية تتارستان ، Elabuga

في السنوات الأخيرة ، ظهرت مهام لحساب المسافة من نقطة إلى مستوى في مهام الاستخدام في الرياضيات. في هذه المقالة ، باستخدام مثال مشكلة واحدة ، يتم النظر في طرق مختلفة لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى. لحل المشاكل المختلفة ، يمكنك استخدام الطريقة الأنسب. بعد حل المشكلة بإحدى الطرق ، يمكن لطريقة أخرى التحقق من صحة النتيجة.

تعريف.المسافة من نقطة إلى مستوى لا تحتوي على هذه النقطة هي طول مقطع العمود المتعامد الذي تم إسقاطه من هذه النقطة إلى المستوى المحدد.

مهمة.إعطاء متوازي مستطيل لكنبمعDA 1 ب 1 ج 1 د 1 مع الجوانب AB=2, قبل الميلاد=4, AA 1 = 6. أوجد المسافة من نقطة دحتى الطائرة تيار مترددد 1 .

1 الطريق. استخدام تعريف. أوجد المسافة r ( د, تيار مترددد 1) من نقطة دحتى الطائرة تيار مترددد 1 (الشكل 1).

الشكل 1. الطريقة الأولى

دعونا ننفق د.⊥تيار متردد، لذلك ، من خلال نظرية على ثلاثة خطوط متعامدة د 1 ح⊥تيار مترددو (DD 1 ح)⊥تيار متردد. دعونا ننفق مباشرة DTعمودي د 1 ح. مستقيم DTتقع في الطائرة DD 1 ح، بالتالي DT⊥تيار متردد. لذلك، DT⊥تيار مترددد 1.

لكنالعاصمةأوجد الوتر تيار مترددوالارتفاع د.

من مثلث قائم الزاوية د 1 د. أوجد الوتر د 1 حوالارتفاع DT

إجابه: .

2 طريقة.طريقة الحجم (استخدام الهرم المساعد). يمكن اختزال مشكلة من هذا النوع إلى مشكلة حساب ارتفاع الهرم ، حيث يكون ارتفاع الهرم هو المسافة المطلوبة من نقطة إلى مستوى. إثبات أن هذا الارتفاع هو المسافة المطلوبة ؛ أوجد حجم الهرم بطريقتين وعبر عن هذا الارتفاع.

لاحظ أنه مع هذه الطريقة ليست هناك حاجة لبناء عمودي من نقطة معينة إلى مستوى معين.

متوازي المستطيلات هو شبه متوازي المستطيلات كل وجوهها مستطيلات.

AB=قرص مضغوط=2, قبل الميلاد=ميلادي=4, AA 1 =6.

ستكون المسافة المطلوبة هي الارتفاع حالاهرام ACD 1 د، من الأعلى دعلى الأرض ACD 1 (الشكل 2).

احسب حجم الهرم ACD 1 دبطريقتين.

بالحساب ، بالطريقة الأولى ، نأخذ ∆ كأساس ACD 1 ، إذن

بالطريقة الثانية ، نحسب ∆ كأساس ACD، من ثم

ساوي الضلعين الأيمن من آخر مساوتين ، نحصل عليهما

الشكل 2. الطريقة الثانية

من المثلثات القائمة تيار مترددد, يضيف 1 , CDD 1 أوجد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس

ACD

احسب مساحة المثلث تيار مترددد 1 باستخدام صيغة هيرون

إجابه: .

3 طريقة. طريقة التنسيق.

دعونا نعطي نقطة م(x 0 ,ذ 0 ,ض 0) والطائرة α من المعادلة فأس+بواسطة+تشيكوسلوفاكيا+د= 0 في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل. المسافة من النقطة مإلى المستوى α يمكن حسابه بالصيغة:

دعنا نقدم نظام إحداثيات (الشكل 3). الأصل عند النقطة في;

مستقيم AB- المحور X، مباشرة شمس- المحور ذ، مباشرة BB 1 - المحور ض.

الشكل 3. الطريقة الثالثة

ب(0,0,0), لكن(2,0,0), مع(0,4,0), د(2,4,0), د 1 (2,4,6).

اسمحوا ان أx +بواسطة+ تشيكوسلوفاكيا+ د= 0 - معادلة المستوى ACDواحد . استبدال إحداثيات النقاط فيه أ, ج, د 1 نحصل على:

معادلة الطائرة ACD 1 سوف يأخذ النموذج

إجابه: .

4 طريقة. طريقة ناقلات.

نقدم الأساس (الشكل 4) ،.

الشكل 4. الطريقة الرابعة

, مسابقة "عرض الدرس"

فصل: 11

عرض الدرس

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشريحة للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

الأهداف:

• تعميم وتنظيم معارف ومهارات الطلاب ؛
• تنمية مهارات التحليل والمقارنة واستخلاص النتائج.

معدات:

• جهاز عرض الوسائط المتعددة
• كمبيوتر؛
• أوراق المهام

عملية الدراسة

I. لحظة تنظيمية

ثانيًا. مرحلة تحديث المعرفة(الشريحة 2)

نكرر كيف يتم تحديد المسافة من نقطة إلى مستوى

ثالثا. محاضرة(الشرائح 3-15)

في هذا الدرس ، سننظر في طرق مختلفة لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.

الطريقة الأولى: خطوة بخطوة الحسابية

المسافة من النقطة M إلى المستوى α:
تساوي المسافة إلى المستوى α من نقطة اعتباطية P ملقاة على الخط a ، والتي تمر عبر النقطة M وتكون موازية للمستوى α ؛
- تساوي المسافة إلى المستوى α من نقطة اعتباطية P ملقاة على المستوى β ، والتي تمر عبر النقطة M وتكون موازية للمستوى α.

سنحل المهام التالية:

№1. في المكعب أ ... د 1 أوجد المسافة من النقطة ج 1 إلى المستوى أب 1 ج.

يبقى حساب قيمة طول المقطع O 1 N.

№2. في منشور سداسي منتظم A ... F 1 ، كل حوافه تساوي 1 ، أوجد المسافة من النقطة A إلى المستوى DEA 1.

الطريقة التالية: طريقة الحجم.

إذا كان حجم الهرم ABCM هو V ، فسيتم حساب المسافة من النقطة M إلى المستوى α الذي يحتوي على ∆ABC بالصيغة ρ (M ؛ α) = ρ (M ؛ ABC) =
عند حل المشكلات ، نستخدم مساواة أحجام شكل واحد ، معبرًا عنها بطريقتين مختلفتين.

لنحل المشكلة التالية:

№3. الحافة AD للهرم DABC متعامدة على مستوى القاعدة ABC. أوجد المسافة من A إلى المستوى الذي يمر عبر نقاط المنتصف للأطراف AB و AC و AD ، إذا.

عند حل المشاكل طريقة التنسيقيمكن حساب المسافة من النقطة M إلى المستوى α بالصيغة ρ (M ؛ α) = ، حيث M (x 0 ؛ y 0 ؛ z 0) ، والمستوى بواسطة المعادلة ax + by + cz + d = 0

لنحل المشكلة التالية:

№4. في مكعب الوحدة A… D 1 أوجد المسافة من النقطة A 1 إلى المستوى BDC 1.

دعنا نقدم نظام إحداثيات مع الأصل عند النقطة A ، سيمر المحور y على طول الحافة AB ، المحور x - على طول الحافة AD ، المحور z - على طول الحافة AA 1. ثم إحداثيات النقاط ب (0 ؛ 1 ؛ 0) د (1 ؛ 0 ؛ 0 ؛) ج 1 (1 ؛ 1 ؛ 1)
دعونا نكوّن معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط B ، D ، C 1.

ثم - dx - dy + dz + d = 0 x + y - z - 1 = 0. لذلك ، ρ =

الطريقة التالية والتي يمكن استخدامها في حل مشاكل من هذا النوع - طريقة المهام المرجعية.

يتمثل تطبيق هذه الطريقة في تطبيق المشكلات المرجعية المعروفة ، والتي تتم صياغتها على أنها نظريات.

لنحل المشكلة التالية:

№5. في وحدة مكعب أ ... د 1 أوجد المسافة من النقطة د 1 إلى المستوى أب 1 ج.

النظر في التطبيق طريقة ناقلات.

№6. في وحدة مكعب A ... D 1 أوجد المسافة من النقطة A 1 إلى المستوى BDC 1.

لذلك ، فقد درسنا طرقًا مختلفة يمكن استخدامها في حل هذا النوع من المشكلات. يعتمد اختيار طريقة أو أخرى على المهمة المحددة وتفضيلاتك.

رابعا. مجموعة عمل

حاول حل المشكلة بطرق مختلفة.

№1. حافة المكعب А… D 1 تساوي. أوجد المسافة من الرأس C إلى المستوى BDC 1.

№2. في رباعي الوجوه ABCD منتظم بحافة ، أوجد المسافة من النقطة A إلى المستوى BDC

№3. في منشور مثلثي منتظم ABCA 1 B 1 C 1 ، كل حوافه تساوي 1 ، أوجد المسافة من A إلى المستوى BCA 1.

№4. في هرم رباعي الزوايا منتظم SABCD ، كل حوافه تساوي 1 ، أوجد المسافة من A إلى المستوى SCD.

V. ملخص الدرس ، الواجب المنزلي ، التفكير

ضع في اعتبارك مستوى π ونقطة عشوائية M 0 في الفضاء. دعنا نختار الطائرة وحدة ناقل عادين الصورة البدايةعند نقطة ما M 1 ∈ π ، وليكن p (M 0، π) هي المسافة من النقطة M 0 إلى المستوى π. ثم (الشكل 5.5)

ص (م 0 ، π) = | العلاقات العامة ن M 1 م 0 | = | نانومتر 1 م 0 | ، (5.8)

منذ | n | = 1.

إذا كانت الطائرة π معطاة نظام إحداثيات مستطيل مع معادلته العامة Ax + By + Cz + D = 0 ، ثم المتجه الطبيعي هو المتجه مع الإحداثيات (A ؛ B ؛ C) وكوحدة متجه عادي يمكننا اختيار

لنفترض أن (x 0؛ y 0؛ z 0) و (x 1؛ y 1؛ z 1) هما إحداثيات النقطتين M 0 و M 1. ثم يتم استيفاء المساواة Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 ، نظرًا لأن النقطة M 1 تنتمي إلى المستوى ، ويمكنك العثور على إحداثيات المتجه M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 -x 1 ؛ y 0 -y 1 ؛ z 0 -z 1). تدوين منتج عددينانومتر 1 م 0 في شكل إحداثيات وتحويل (5.8) ، نحصل عليها

منذ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. لذا ، لحساب المسافة من نقطة إلى مستوى ، تحتاج إلى استبدال إحداثيات النقطة في المعادلة العامة للمستوى ، ثم قسمة القيمة المطلقة لـ النتيجة بواسطة عامل تطبيع يساوي طول المتجه الطبيعي المقابل.

تتناول هذه المقالة تحديد المسافة من نقطة إلى طائرة. دعنا نحلل طريقة الإحداثيات ، والتي ستسمح لنا بإيجاد المسافة من نقطة معينة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. للدمج ، ضع في اعتبارك أمثلة للعديد من المهام.

تُحسب المسافة من نقطة إلى مستوى عن طريق مسافة معروفة من نقطة إلى نقطة ، حيث يُعطى أحدهما والآخر إسقاط على مستوى معين.

عندما تُعطى نقطة M 1 بمستوى χ في الفضاء ، فيمكن عندئذٍ رسم خط مستقيم عمودي على المستوى عبر النقطة. H 1 هي نقطة مشتركة لتقاطعهم. من هنا نحصل على أن المقطع M 1 H 1 عمودي ، تم رسمه من النقطة M 1 إلى المستوى χ ، حيث النقطة H 1 هي قاعدة العمود العمودي.

التعريف 1

يسمون المسافة من نقطة معينة إلى قاعدة العمود العمودي ، والتي تم رسمها من نقطة معينة إلى مستوى معين.

يمكن كتابة التعريف في صيغ مختلفة.

التعريف 2

المسافة من نقطة إلى طائرةيسمى طول العمودي ، والذي تم رسمه من نقطة معينة إلى مستوى معين.

يتم تحديد المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ على النحو التالي: ستكون المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ هي الأصغر من نقطة معينة إلى أي نقطة في المستوى. إذا كانت النقطة H 2 تقع في المستوى χ ولا تساوي النقطة H 2 ، فإننا نحصل على مثلث قائم الزاوية على الشكل M 2 H 1 H 2 ، وهي مستطيلة ، حيث يوجد ساق M 2 H 1 ، M 2 H 2 - وتر. ومن ثم ، فإن هذا يعني أن M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 يعتبر مائلًا ، يتم رسمه من النقطة M 1 إلى المستوى χ. لدينا أن الخط العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى أقل من الخط المائل المرسوم من نقطة إلى مستوى معين. ضع في اعتبارك هذه الحالة في الشكل أدناه.

المسافة من نقطة إلى مستو - نظرية ، أمثلة ، حلول

هناك عدد من المسائل الهندسية التي يجب أن تحتوي حلولها على المسافة من نقطة إلى مستوى. قد تكون طرق الكشف عن هذا مختلفة. لحل هذه المشكلة ، استخدم نظرية فيثاغورس أو تشابه المثلثات. عندما يكون من الضروري ، وفقًا للشرط ، حساب المسافة من نقطة إلى مستوى ، المعطاة في نظام إحداثيات مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد ، يتم حلها باستخدام طريقة الإحداثيات. هذه الفقرة تتناول هذه الطريقة.

وفقًا لظروف المشكلة ، لدينا نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بإحداثيات M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) مع المستوى χ ، من الضروري تحديد المسافة من M 1 إلى الطائرة χ. يتم استخدام العديد من الحلول لحلها.

اول طريق

تعتمد هذه الطريقة على إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى باستخدام إحداثيات النقطة H 1 ، وهي قاعدة العمود العمودي من النقطة M 1 إلى المستوى χ. بعد ذلك ، تحتاج إلى حساب المسافة بين M 1 و H 1.

لحل المشكلة بالطريقة الثانية ، يتم استخدام المعادلة العادية لمستوى معين.

الطريقة الثانية

بشرط أن H 1 هي قاعدة العمود العمودي ، والتي تم تخفيضها من النقطة M 1 إلى المستوى χ. ثم نحدد إحداثيات (x 2، y 2، z 2) للنقطة H 1. تم العثور على المسافة المرغوبة من M 1 إلى المستوى χ بالصيغة M 1 H 1 \ u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 ، حيث M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و H 1 (x 2 ، y 2 ، z 2). لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطة H 1.

لدينا أن H 1 هي نقطة تقاطع المستوى χ مع المستقيم a ، الذي يمر بالنقطة M 1 المتعامدة مع المستوى χ. ويترتب على ذلك أنه من الضروري صياغة معادلة لخط مستقيم يمر عبر نقطة معينة عمودية على مستوى معين. عندها يمكننا تحديد إحداثيات النقطة H 1. من الضروري حساب إحداثيات نقطة تقاطع الخط والمستوى.

خوارزمية لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى المستوى:

التعريف 3

• يؤلف معادلة الخط المستقيم أ الذي يمر بالنقطة م 1 وفي نفس الوقت
• عمودي على المستوى χ ؛
• أوجد وحساب إحداثيات (x 2، y 2، z 2) للنقطة H 1 وهي نقاط
• تقاطع الخط أ مع المستوى χ ؛
• احسب المسافة من M 1 إلى χ باستخدام الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

الطريق الثالث

في نظام إحداثيات مستطيل معين O x y z يوجد مستوى χ ، ثم نحصل على معادلة عادية للمستوى بالصيغة cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. من هنا نحصل على أن المسافة M 1 H 1 مع النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) مرسومة إلى المستوى χ ، محسوبة بالصيغة M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ ض - ص. هذه الصيغة صحيحة ، حيث تم تأسيسها بفضل النظرية.

نظرية

إذا كانت النقطة M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) معطاة في فضاء ثلاثي الأبعاد ، لها معادلة عادية للمستوى بالصيغة cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 ، ثم حساب المسافة من النقطة إلى المستوى M 1 H 1 مشتق من الصيغة M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p ، بما أن x = x 1 ، y = y 1 ، ض = ض 1.

دليل - إثبات

يتم تقليل إثبات النظرية لإيجاد المسافة من نقطة إلى خط. من هنا نحصل على أن المسافة من M 1 إلى المستوى هي مقياس الفرق بين الإسقاط العددي لمتجه نصف القطر M 1 مع المسافة من الأصل إلى المستوى. ثم نحصل على التعبير M 1 H 1 = n p n → O M → - p. المتجه العادي للمستوى χ له الشكل n → = cos α ، cos β ، cos γ ، وطوله يساوي واحدًا ، n p n → O M → هو الإسقاط العددي للمتجه O M → = (x 1، y 1 ، z 1) في الاتجاه الذي يحدده المتجه n →.

دعنا نطبق صيغة حساب المتجهات العددية. ثم نحصل على تعبير لإيجاد متجه للصيغة n → ، O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → ، منذ n → = cos α ، cos β ، cos γ z و O M → = (x 1، y 1، z 1). سيأخذ شكل إحداثيات التدوين الشكل n → ، O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1 ، ثم M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - ص. لقد تم إثبات النظرية.

من هنا نحصل على المسافة من النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) إلى المستوى χ بالتعويض في الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 بدلاً من إحداثيات x و y و z x 1 و y 1 و z1فيما يتعلق بالنقطة M 1 ، مع أخذ القيمة المطلقة للقيمة التي تم الحصول عليها.

ضع في اعتبارك أمثلة لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات إلى مستوى معين.

مثال 1

احسب المسافة من النقطة ذات الإحداثيات م ١ (٥ ، - ٣ ، ١٠) إلى المستوى ٢ س - ص + ٥ ع - ٣ = ٠.

قرار

لنحل المشكلة بطريقتين.

ستبدأ الطريقة الأولى بحساب متجه الاتجاه للخط أ. حسب الشرط ، لدينا المعادلة المعطاة 2 x - y + 5 z - 3 = 0 هي معادلة مستوى عامة ، و n → = (2 ، - 1 ، 5) هي المتجه الطبيعي للمستوى المحدد. يتم استخدامه كمتجه توجيه للخط المستقيم أ ، وهو عمودي على المستوى المحدد. يجب أن تكتب المعادلة الأساسية لخط مستقيم في الفراغ يمر عبر M 1 (5 ، - 3 ، 10) مع متجه اتجاه بإحداثيات 2 ، - 1 ، 5.

ستبدو المعادلة كالتالي x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

يجب تحديد نقاط التقاطع. للقيام بذلك ، اجمع المعادلات برفق في نظام للانتقال من المعادلات الأساسية إلى معادلات خطين متقاطعين. لنأخذ هذه النقطة على أنها H 1. لقد حصلنا على ذلك

س - 5 2 = ص + 3-1 = ض - 10 5 ⇔ - 1 (س - 5) = 2 (ص + 3) 5 (س - 5) = 2 (ض - 10) 5 (ص + 3) = - 1 (ض - 10) ⇔ ⇔ س + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0 5 ص + ع + 5 = 0 س + 2 ص + 1 = 0 5 س - 2 ع - 5 = 0

فأنت بحاجة إلى تمكين النظام

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

دعنا ننتقل إلى قاعدة حل النظام وفقًا لـ Gauss:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ض = 0 6 = 0 ، ص = - 1 10 10 + 2 ع = - 1 ، س = - 1 - 2 ص = 1

نحصل على H 1 (1 ، - 1 ، 0).

نحسب المسافة من نقطة معينة إلى المستوى. نأخذ النقاط M 1 (5 ، - 3 ، 10) و H 1 (1 ، - 1 ، 0) ونحصل عليها

م 1 س 1 \ u003d (1-5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0-10) 2 \ u003d 2 30

الحل الثاني هو إحضار المعادلة المعطاة 2 x - y + 5 z - 3 = 0 للصورة العادية أولاً. نحدد عامل التطبيع ونحصل على 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. من هنا نشتق معادلة المستوى 2 30 · س - 1 30 · ص + 5 30 · ع - 3 30 = 0. يتم حساب الجانب الأيسر من المعادلة عن طريق استبدال x \ u003d 5 ، y \ u003d - 3 ، z \ u003d 10 ، وتحتاج إلى أخذ المسافة من M 1 (5 ، - 3 ، 10) إلى 2 x - y + 5 ض - 3 = 0 معيار. نحصل على التعبير:

م 1 س 1 \ u003d 2 30 5 - 1 30-3 + 5 30 10-3 30 \ u003d 60 30 \ u003d 2 30

الجواب: 2 30.

عندما يتم تحديد المستوى بإحدى طرق طرق القسم لتحديد المستوى ، فأنت بحاجة أولاً إلى الحصول على معادلة المستوى وحساب المسافة المطلوبة باستخدام أي طريقة.

مثال 2

النقاط ذات الإحداثيات M 1 (5 ، - 3 ، 10) ، A (0 ، 2 ، 1) ، B (2 ، 6 ، 1) ، C (4 ، 0 ، - 1) يتم وضعها في مساحة ثلاثية الأبعاد. احسب المسافة من م ١ إلى المستوى ب ج.

قرار

تحتاج أولاً إلى كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط الثلاث المحددة بالإحداثيات M 1 (5 ، - 3 ، 10) ، A (0 ، 2 ، 1) ، B (2 ، 6 ، 1) ، C ( 4 ، 0 ، - واحد).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ - 8 س + 4 ص - 20 ع + 12 = 0 2 س - ص + 5 ع - 3 = 0

ويترتب على ذلك أن المشكلة لها حل مشابه للحل السابق. ومن ثم ، فإن المسافة من النقطة م 1 إلى المستوى ب ج تساوي 30 2.

الجواب: 2 30.

يعد إيجاد المسافة من نقطة معينة على مستوى أو إلى مستوى موازٍ لهما أكثر ملاءمة من خلال تطبيق الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . من هنا نحصل على المعادلات العادية للطائرات في عدة خطوات.

مثال 3

أوجد المسافة من نقطة معطاة بإحداثياتها M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى الإحداثي O x y z والمستوى المعطى بالمعادلة 2 y - 5 = 0.

قرار

يتوافق المستوى الإحداثي O y z مع معادلة بالصيغة x = 0. بالنسبة للمستوى O y z ، فمن الطبيعي. لذلك ، من الضروري استبدال القيم x \ u003d - 3 في الجانب الأيسر من التعبير واتخاذ القيمة المطلقة للمسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى . نحصل على القيمة - 3 = 3.

بعد التحويل ، ستأخذ المعادلة العادية للمستوى 2 y - 5 = 0 الصيغة y - 5 2 = 0. ثم يمكنك إيجاد المسافة المطلوبة من النقطة ذات الإحداثيات م 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى المستوى 2 ص - 5 = 0. بالتعويض والحساب ، نحصل على 2-5 2 = 5 2 - 2.

إجابه:المسافة المرغوبة من M 1 (- 3 ، 2 ، - 7) إلى O y z لها قيمة 3 ، و 2 y - 5 = 0 لها قيمة 5 2 - 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter