تفاضل كامل. المعنى الهندسي للتفاضل الكلي. مستوى ظل وسطح عادي. الزيادة الإجمالية والتفاضل الكلي أمثلة على حل المشكلات

حساب تفاضلي لوظائف المتغيرات المتعددة.

المفاهيم والتعاريف الأساسية.

عند النظر في وظائف العديد من المتغيرات ، فإننا نقصر أنفسنا على وصف مفصل لوظائف متغيرين ، منذ ذلك الحين ستكون جميع النتائج التي تم الحصول عليها صالحة لوظائف ذات عدد تعسفي من المتغيرات.

إذا تم تعيين قيمة واحدة أو أكثر من المتغير z لكل زوج من الأرقام المستقلة (س ، ص) من مجموعة معينة ، وفقًا لبعض القواعد ، فإن المتغير z يسمى دالة لمتغيرين.

إذا كان زوج من الأرقام (x ، y) يتوافق مع قيمة واحدة لـ z ، فسيتم استدعاء الوظيفة خالية من الغموض، وإذا كان أكثر من واحد ، إذن - غامض.

نطاق التعريفالوظيفة z هي مجموعة الأزواج (x ، y) التي توجد لها الوظيفة z.

نقطة الجوار M 0 (x 0، y 0) من نصف القطر r هي مجموعة كل النقاط (x، y) التي تحقق الشرط.

الرقم أ يسمى حدالدالة f (x ، y) حيث تميل النقطة M (x ، y) إلى النقطة M 0 (x 0 ، y 0) ، إذا كان لكل رقم e> 0 رقم r> 0 ذلك لأي نقطة M (س ، ص) التي الشرط

الشرط صحيح أيضا .

اكتب:

دع النقطة M 0 (x 0 ، y 0) تنتمي إلى مجال الوظيفة f (x، y). ثم يتم استدعاء الوظيفة z = f (x، y) مستمرعند النقطة م 0 (س 0 ، ص 0) ، إذا

(1)

علاوة على ذلك ، تميل النقطة M (x ، y) إلى النقطة M 0 (x 0 ، y 0) بطريقة عشوائية.

إذا لم يتم استيفاء الشرط (1) في أي وقت ، فسيتم استدعاء هذه النقطة نقطة الانهياروظائف و (س ، ص). قد يكون هذا في الحالات التالية:

1) الوظيفة z \ u003d f (x، y) غير محددة عند النقطة M 0 (x 0، y 0).

2) لا يوجد حد.

3) هذه النهاية موجودة لكنها لا تساوي f (x 0، y 0).

خصائص وظائف عدة متغيرات تتعلق باستمراريتها.

ملكية.إذا كانت الوظيفة f (x ، y ، ...) محددة ومستمرة في مجال D مغلق ومحدود ، فهناك نقطة واحدة على الأقل في هذا المجال

N (x 0، y 0، ...) بحيث تكون المتباينة

و (س 0 ، ص 0 ، ...) ³ و (س ، ص ، ...)

بالإضافة إلى النقطة N 1 (x 01، y 01، ...) ، بحيث تكون المتباينة صحيحة بالنسبة لجميع النقاط الأخرى

f (x 01 ، y 01 ، ...) £ f (x ، y ، ...)

ثم f (x 0 ، y 0 ، ...) = M - أعلى قيمةو f (x 01 ، y 01 ، ...) = m - أصغر قيمةوظائف f (x ، y ، ...) في المجال D.

تصل الوظيفة المستمرة في المجال D المغلق والمحدود مرة واحدة على الأقل إلى قيمتها القصوى ومرة واحدة على القيمة الدنيا.

ملكية.إذا كانت الوظيفة f (x ، y ، ...) محددة ومستمرة في مجال مغلق مغلق D ، و M و m هما أكبر وأصغر قيم للدالة في هذا المجال ، على التوالي ، إذن لأي نقطة م О هناك هي نقطة

N 0 (x 0، y 0، ...) مثل f (x 0، y 0، ...) = m.

ببساطة ، تأخذ الوظيفة المستمرة في المجال D جميع القيم الوسيطة بين M و m. قد تكون نتيجة هذه الخاصية هي الاستنتاج بأنه إذا كان للرقمين M و m علامات مختلفة ، فإن الوظيفة في المجال D تختفي مرة واحدة على الأقل.

ملكية.الدالة f (x ، y ، ...) ، متصلة في مجال مغلق مغلق D ، محدودفي هذه المنطقة ، إذا كان هناك رقم K بحيث تكون المتباينة صحيحة لجميع نقاط المنطقة .

ملكية.إذا تم تعريف دالة f (x ، y ، ...) ومستمرة في مجال مغلق D ، عندئذٍ بشكل مستمرفي هذا المجال ، أي لأي رقم موجب e ، يوجد رقم D> 0 بحيث لأي نقطتين (x 1، y 1) و (x 2، y 2) من المنطقة الواقعة على مسافة أقل من D ، المتباينة

2. المشتقات الجزئية. المشتقات الجزئية للطلبات الأعلى.

دع الدالة z = f (x، y) تعطى في بعض المجالات. خذ نقطة عشوائية M (x ، y) واضبط الزيادة Dx على المتغير x. ثم الكمية D x z = f (x + Dx، y) - f (x، y) تسمى الزيادة الجزئية للدالة في x.

يمكن أن تكون مكتوبة

ثم دعا اشتقاق جزئيالدوال z = f (x، y) في x.

تعيين:

يتم تعريف المشتق الجزئي للدالة بالنسبة إلى y بالمثل.

المعنى الهندسيالمشتق الجزئي (دعنا نقول) هو ظل منحدر الظل المرسوم عند النقطة N 0 (x 0 ، y 0 ، z 0) إلى قسم السطح بالمستوى y \ u003d y 0.

إذا كانت الوظيفة f (x ، y) محددة في بعض المجالات D ، فإن مشتقاتها الجزئية سيتم تعريفها أيضًا في نفس المجال أو جزء منه.

سوف نسمي هذه المشتقات المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

ستكون مشتقات هذه الوظائف المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية.

بالاستمرار في التفريق بين المساواة التي تم الحصول عليها ، نحصل على مشتقات جزئية للطلبات الأعلى.

المشتقات الجزئية للنموذج إلخ. اتصل المشتقات المختلطة.

نظرية. إذا تم تعريف الدالة f (x ، y) ومشتقاتها الجزئية ومستمرة عند النقطة M (x ، y) وجوارها ، فإن العلاقة تكون صحيحة:

هؤلاء. لا تعتمد المشتقات الجزئية للطلبات الأعلى على ترتيب التمايز.

يتم تعريف فروق الرتبة الأعلى بالمثل.

…………………

هنا n هي القوة الرمزية للمشتق ، والتي يتم استبدالها بالقوة الحقيقية بعد رفع التعبير بين قوسين إليها.

تفاضل كامل. المعنى الهندسي للتفاضل الكلي. مستوى ظل وسطح عادي.

التعبير يسمى زيادة كاملةالدالات f (x ، y) عند نقطة ما (x ، y) ، حيث يكون a 1 و a 2 وظائف متناهية الصغر مثل Dх ® 0 و Dу ® 0 ، على التوالي.

تفاضل كاملالدالة z = f (x، y) هي الجزء الخطي الرئيسي فيما يتعلق بـ Dx و Dy لزيادة الدالة Dz عند النقطة (x ، y).

لدالة لعدد تعسفي من المتغيرات:

مثال 3.1. أوجد التفاضل الكامل للتابع.

المعنى الهندسي للتفاضل الكلي لوظيفة من متغيرين f (x ، y) عند النقطة (x 0 ، y 0) هو زيادة التطبيق (إحداثيات z) لمستوى الظل إلى السطح أثناء الانتقال من النقطة (x 0، y 0) إلى النقطة (x 0 + Dx، y 0 + Dy).

المشتقات الجزئية للطلبات الأعلى. :إذا كانت الوظيفة f (x ، y) محددة في بعض المجالات D ، فإن مشتقاتها الجزئية سيتم تعريفها أيضًا في نفس المجال أو جزء منه. سوف نسمي هذه المشتقات المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

ستكون مشتقات هذه الوظائف مشتقات جزئية من الدرجة الثانية.

بالاستمرار في التفريق بين المساواة التي تم الحصول عليها ، نحصل على مشتقات جزئية للطلبات الأعلى. تعريف.المشتقات الجزئية للنموذج إلخ. تسمى المشتقات المختلطة. نظرية شوارتز:

إذا كانت المشتقات الجزئية للطلبيات الأعلى f.m.s. متواصلة ، ثم مشتقات مختلطة من نفس الترتيب ، تختلف فقط في ترتيب التفاضل = فيما بينها.

هنا n هي القوة الرمزية للمشتق ، والتي يتم استبدالها بالقوة الحقيقية بعد رفع التعبير بين قوسين إليها.

14. معادلة المستوى المماس والعادي للسطح!

لنفترض أن N و N 0 هما نقطتا السطح المحدد. لنرسم خطًا مستقيمًا NN 0. يسمى المستوى الذي يمر عبر النقطة N 0 طائرة تماسيةإلى السطح إذا كانت الزاوية بين القاطع NN 0 وهذا المستوى تميل إلى الصفر عندما تميل المسافة NN 0 إلى الصفر.

تعريف. عاديعلى السطح عند النقطة N 0 يسمى الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة N 0 المتعامدة مع المستوى المماس على هذا السطح.

في مرحلة ما ، يكون للسطح مستوى مماس واحد فقط ، أو لا يحتوي عليه على الإطلاق.

إذا تم إعطاء السطح بواسطة المعادلة z \ u003d f (x ، y) ، حيث f (x ، y) دالة قابلة للتفاضل عند النقطة M 0 (x 0 ، y 0) ، طائرة تماسيةعند النقطة N 0 (x 0، y 0، (x 0، y 0)) موجودة ولها المعادلة:

معادلة السطح العمودي عند هذه النقطة:

المعنى الهندسيمن التفاضل الكلي لدالة متغيرين f (x ، y) عند النقطة (x 0 ، y 0) هي زيادة التطبيق (إحداثيات z) لمستوى الظل إلى السطح أثناء الانتقال من النقطة (x 0، y 0) إلى النقطة (x 0 + Dx، y 0 + Dy).

كما ترى ، المعنى الهندسي للتفاضل الكلي لوظيفة لمتغيرين هو تناظرية مكانية للمعنى الهندسي لتفاضل دالة لمتغير واحد.

16. المجال القياسي وخصائصه ، خطوط المستوى ، المشتقات في الاتجاه ، تدرج المجال القياسي.

إذا تم تخصيص كمية قياسية لكل نقطة في الفضاء ، فسيظهر حقل قياسي (على سبيل المثال ، حقل درجة حرارة ، مجال جهد كهربائي). إذا تم إدخال الإحداثيات الديكارتية ، فاذكر أيضًا أو يمكن أن يكون الحقل مسطحًا إذا كان مركزيًا (كروية) إذا أسطواني ، إذا

مستوى الأسطح والخطوط: يمكن تصور خصائص الحقول العددية باستخدام الأسطح المستوية. هذه أسطح في الفضاء تأخذ عليها قيمة ثابتة. معادلتهم هي: . في الحقل القياسي المسطح ، تكون خطوط المستوى عبارة عن منحنيات يأخذ الحقل فيها قيمة ثابتة: في بعض الحالات ، يمكن أن تتدهور خطوط المستوى إلى نقاط ، وتسوية الأسطح إلى نقاط ومنحنيات.

مشتق اتجاهي وتدرج للحقل القياسي:

دع متجه الوحدة مع الإحداثيات يكون مجالًا قياسيًا. يميز المشتق الاتجاهي التغيير في الحقل في اتجاه معين ويتم حسابه بواسطة الصيغة. مشتق الاتجاه هو الناتج القياسي لمتجه ومتجه مع إحداثيات ، وهو ما يسمى بتدرج الوظيفة ويُرمز إليها بـ ، حيث تشير الزاوية بين و ، ثم المتجه إلى اتجاه أسرع زيادة في المجال ، ويكون معاملها مساويًا للمشتق في هذا الاتجاه. نظرًا لأن مكونات التدرج هي مشتقات جزئية ، فمن السهل الحصول على الخصائص التالية للتدرج:

17. FMP القيم القصوى المحلية لل fmp ، الشروط الضرورية والكافية لوجودها. أكبر وأصغر f.m.s. في حدود منطقة مغلقة.

دع الدالة z = ƒ (x ؛ y) تحدد في بعض المجالات D ، النقطة N (x0 ؛ y0)

النقطة (x0 ؛ y0) تسمى النقطة القصوى للدالة z = ƒ (x ؛ y) إذا كان هناك مثل هذا الجوار d للنقطة (x0 ؛ y0) لكل نقطة (x ؛ y) بخلاف (xo؛ yo) ، هذا الحي يلبي عدم المساواة ƒ (х ؛ у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ (х0 ؛ ذ 0). تسمى قيمة الوظيفة عند نقطة الحد الأقصى (الحد الأدنى) الحد الأقصى (الأدنى) للدالة. يُطلق على الحد الأقصى والأدنى للدالة اسمها الأقصى. لاحظ أنه بموجب التعريف ، تقع النقطة القصوى للدالة داخل مجال الوظيفة ؛ الحد الأقصى والحد الأدنى لهما طابع محلي (محلي): تتم مقارنة قيمة الوظيفة عند النقطة (x0 ؛ y0) بقيمها عند نقاط قريبة بدرجة كافية من (x0 ؛ y0). في المنطقة D ، قد تحتوي الوظيفة على عدة قيم قصوى أو لا شيء.

الشروط الضرورية (1) والكافية (2) للوجود:

(1) إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل z \ u003d ƒ (x؛ y) عند النقطة N (x0؛ y) لها حد أقصى ، فإن مشتقاتها الجزئية عند هذه النقطة تساوي الصفر: ƒ "x (x0 ؛ y0) \ u003d 0 ، ƒ "y (x0؛ y0) = 0. تعليق. يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند النقاط التي لا توجد فيها مشتقات جزئية واحدة على الأقل. النقطة التي عندها تكون المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة z ≈ ƒ (x ؛ y) مساوية للصفر ، أي f "x = 0 ، f" y = 0 ، تسمى النقطة الثابتة للدالة z.

تسمى النقاط والنقاط الثابتة التي لا يوجد فيها مشتق جزئي واحد على الأقل بالنقاط الحرجة.

(2) دع الوظيفة ƒ (x ؛ y) لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثانية متضمنة عند نقطة ثابتة (xo ؛ yo) وبعض المناطق المجاورة لها. دعونا نحسب عند النقطة (x0؛ y0) القيم A = f "" xx (x0؛ y0)، B = ƒ "" xy (x0؛ y0)، C = ƒ "" yy (x0؛ y0) . دل ثم:

1. إذا كانت> 0 ، فإن الوظيفة ƒ (x ؛ y) عند النقطة (x0 ؛ y0) لها حد أقصى: الحد الأقصى إذا كان A< 0; минимум, если А > 0;

2. إذا< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. في حالة Δ = 0 ، قد يكون هناك أو لا يوجد حد أقصى عند النقطة (x0 ؛ y0). هناك حاجة إلى مزيد من البحث.

مستوى ظل وسطح عادي.

طائرة تماسية

تعريف. عاديعلى السطح عند النقطة N 0 يسمى الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة N 0 المتعامدة مع المستوى المماس على هذا السطح.

في مرحلة ما ، يكون للسطح مستوى مماس واحد فقط ، أو لا يحتوي عليه على الإطلاق.

إذا تم إعطاء السطح بواسطة المعادلة z \ u003d f (x ، y) ، حيث f (x ، y) دالة قابلة للتفاضل عند النقطة M 0 (x 0 ، y 0) ، مستوى الظل عند النقطة N 0 (x 0، y 0، (x 0، y 0)) موجود وله المعادلة:

معادلة المعدل الطبيعي للسطح في هذه المرحلة هي:

المعنى الهندسيمن التفاضل الكلي لدالة متغيرين f (x ، y) عند النقطة (x 0 ، y 0) هي زيادة التطبيق (إحداثيات z) لمستوى الظل إلى السطح أثناء الانتقال من النقطة (x 0، y 0) إلى النقطة (x 0 + x، y 0 + y).

مثال.أوجد معادلات المستوى المماس والمستوى العمودي على السطح

عند النقطة م (1 ، 1 ، 1).

معادلة مستوى الظل:

معادلة عادية:

20.4. حسابات تقريبية باستخدام مجموع الفرق.

اجعل الدالة f (x، y) قابلة للاشتقاق عند النقطة (x، y). لنجد الزيادة الإجمالية لهذه الدالة:

إذا عوضنا بهذه الصيغة في التعبير

ثم نحصل على الصيغة التقريبية:

مثال.احسب تقريبًا قيمة ، بناءً على قيمة الدالة عند x = 1 ، y = 2 ، z = 1.

من التعبير المعطى ، نحدد x = 1.04 - 1 = 0.04 ، y = 1.99 - 2 = -0.01 ،

z = 1.02 - 1 = 0.02.

أوجد قيمة الدالة u (x ، y ، z) =

نجد المشتقات الجزئية:

التفاضل الكلي للدالة u هو:

القيمة الدقيقة لهذا التعبير هي 1.049275225687319176.

20.5. المشتقات الجزئية للطلبات الأعلى.

إذا تم تعريف الدالة f (x ، y) في بعض المجالات D ، فسيتم أيضًا تعريف مشتقاتها الجزئية في نفس المجال أو جزء منه.

سوف نسمي هذه المشتقات المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

ستكون مشتقات هذه الوظائف المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية.

بالاستمرار في التفريق بين المساواة التي تم الحصول عليها ، نحصل على مشتقات جزئية للطلبات الأعلى.

تعريف. المشتقات الجزئية للنموذج إلخ. اتصل المشتقات المختلطة.

هؤلاء. لا تعتمد المشتقات الجزئية للطلبات الأعلى على ترتيب التمايز.

يتم تعريف فروق الرتبة الأعلى بالمثل.

…………………

هنا n هي القوة الرمزية للمشتق ، والتي يتم استبدالها بالقوة الحقيقية بعد رفع التعبير بين قوسين إليها.

لدالة متغير واحد ذ = F(x) في هذه النقطة x 0 المعنى الهندسي للتفاضل يعني زيادة إحداثيات الظل المرسوم على الرسم البياني للوظيفة عند النقطة مع حدود الإحداثية x 0 عند الانتقال إلى نقطة x 0 +  x. وتفاضل دالة ذات متغيرين في هذا الصدد هي زيادة يزينظل طائرةمرسومة على السطح المعطى بواسطة المعادلة ض = F(x, ذ) ، في هذه النقطة م 0 (x 0 , ذ 0 ) عند الانتقال إلى نقطة م(x 0 +  x, ذ 0 +  ذ). نعطي تعريف المستوى المماس لبعض السطح:

مدافع . طائرة تمر عبر نقطة ص 0 الأسطح س، يسمى طائرة تماسيةعند نقطة معينة ، إذا كانت الزاوية بين هذا المستوى وقاطع يمر عبر نقطتين ص 0 و ص(أي نقطة على السطح س) ، يميل إلى الصفر عند النقطة صيميل على طول هذا السطح إلى حد ما ص 0 .

دع السطح ستعطى بالمعادلة ض = F(x, ذ). ثم يمكن إثبات أن هذا السطح له نقطة معينة ص 0 (x 0 , ذ 0 , ض 0 ) ظل الطائرة إذا وفقط إذا كانت الوظيفة ض = F(x, ذ) قابل للتفاضل في هذه المرحلة. في هذه الحالة ، يتم إعطاء مستوى الظل بالمعادلة:

ض – ض 0 = +
(6).

§5. المشتق الاتجاهي ، التدرج الوظيفي.

التوابع المشتقة الجزئية ذ= F(x 1 , x 2 .. x ن ) بالمتغيرات x 1 , x 2 . . . x نالتعبير عن معدل تغير الوظيفة في اتجاه محاور الإحداثيات. علي سبيل المثال، هو معدل تغير الوظيفة X 1 - أي ، من المفترض أن النقطة التي تنتمي إلى مجال تعريف الوظيفة تتحرك فقط بالتوازي مع المحور أوه 1 ، وتبقى جميع الإحداثيات الأخرى دون تغيير. ومع ذلك ، يمكن افتراض أن الوظيفة يمكن أن تتغير أيضًا في اتجاه آخر ، والذي لا يتطابق مع اتجاه أي من المحاور.

ضع في اعتبارك دالة من ثلاثة متغيرات: ش= F(x, ذ, ض).

إصلاح نقطة م 0 (x 0 , ذ 0 , ض 0 ) وبعض الخط المستقيم الموجه (المحور) ليمر بهذه النقطة. اسمحوا ان م (x, ذ, ض) - نقطة اعتباطية لهذا الخط و  م 0 م - المسافة من م 0 قبل م.

ش = F (x, ذ, ض) – F(x 0 , ذ 0 , ض 0 ) - زيادة دالة عند نقطة م 0 .

أوجد نسبة زيادة الدالة إلى طول المتجه
:

مدافع . دالة مشتقة ش = F (x, ذ, ض) تجاه ل في هذه النقطة م 0 يسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى طول المتجه  م 0 معندما يميل الأخير إلى الصفر (أو ، ما هو الشيء نفسه ، مع تقريب غير محدود مل م 0 ):

(1)

يميز هذا المشتق معدل تغير الوظيفة عند النقطة م 0 في الاتجاه ل.

دع المحور ل (المتجه م 0 م) أشكال ذات محاور ثور, س, أوقيةزوايا
على التوالى.

دلالة x-x 0 =
;

ص - ص 0 =
;

ض - ض 0 =
.

ثم المتجه م 0 م = (x - x 0 , ذ - ذ 0 , ض - ض 0 )=
وجيب التمام في اتجاهها:

;

(4).

(4) صيغة لحساب المشتق الاتجاهي.

ضع في اعتبارك متجهًا إحداثياته هي المشتقات الجزئية للدالة ش= F(x, ذ, ض) في هذه النقطة م 0 :

غراد ش - التدرج الوظيفي ش= F(x, ذ, ض) في هذه النقطة م (x, ذ, ض)

خصائص التدرج:

خاتمة: طول التدرج الوظيفي ش= F(x, ذ, ض) - هي أعلى قيمة ممكنة عند هذه النقطة م (x, ذ, ض) واتجاه المتجه غراد شيتزامن مع اتجاه المتجه الخارج من النقطة م، حيث تتغير الوظيفة بشكل أسرع. وهذا هو اتجاه التدرج الوظيفي غراد ش هو اتجاه أسرع زيادة للوظيفة.

$ E \ مجموعة فرعية \ mathbb (R) ^ (n) $. يقال أن $ f $ لديها الحد الأقصى المحليعند النقطة $ x_ (0) \ في E $ إذا كان هناك مجاورة $ U $ للنقطة $ x_ (0) $ مثل $ x \ في U $ المتباينة $ f \ left (x \ right) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

يسمى الحد الأقصى المحلي حازم ، إذا كان من الممكن اختيار الحي $ U $ بطريقة تجعل كل $ x \ in U $ مختلفًا عن $ x_ (0) $ هناك $ f \ left (x \ right)< f\left(x_{0}\right)$.

تعريف
لنفترض أن $ f $ وظيفة حقيقية في مجموعة مفتوحة $ E \ مجموعة فرعية \ mathbb (R) ^ (n) $. يقال أن $ f $ لديها الحد الأدنى المحليعند النقطة $ x_ (0) \ في E $ إذا كان هناك مجاورة $ U $ للنقطة $ x_ (0) $ مثل $ x \ في U $ المتباينة $ f \ left (x \ right) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

يُقال أن الحد الأدنى المحلي يكون صارمًا إذا كان من الممكن اختيار الحي $ U $ بحيث يكون لكل $ x \ in U $ مختلفًا عن $ x_ (0) $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) حق) $.

الحد الأقصى المحلي يجمع بين مفاهيم الحد الأدنى المحلي والحد الأقصى المحلي.

نظرية (شرط ضروري لدالة التفاضل القصوى)
لنفترض أن $ f $ وظيفة حقيقية في مجموعة مفتوحة $ E \ مجموعة فرعية \ mathbb (R) ^ (n) $. إذا كان عند النقطة $ x_ (0) \ في E $ ، فإن الوظيفة $ f $ لها حد أقصى محلي في هذه المرحلة أيضًا ، فإن $$ \ text (d) f \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$ المساواة إلى تفاضل صفر يكافئ حقيقة أن الكل يساوي صفرًا ، أي $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي x_ (i)) \ يسار (x_ (0) \ right) = 0. $$

في الحالة أحادية البعد ، هذا هو. دلالة $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $ ، حيث $ h $ متجه تعسفي. يتم تعريف الدالة $ \ phi $ لقيم نمطية صغيرة بما يكفي لـ $ t $. علاوة على ذلك ، بالنسبة إلى ، فإنه قابل للتفاضل ، و $ (\ phi) '\ left (t \ right) = \ text (d) f \ left (x_ (0) + th \ right) h $.
دع $ f $ لديه حد أقصى محلي عند x $ 0 $. ومن ثم ، فإن الدالة $ \ phi $ عند $ t = 0 $ لها حد أقصى محلي ، ووفقًا لنظرية فيرمات ، $ (\ phi) '\ left (0 \ right) = 0 $.
لذلك ، حصلنا على $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $ ، أي الدالة $ f $ عند النقطة $ x_ (0) $ تساوي صفرًا على أي متجه $ h $.

تعريف
النقاط التي يكون عندها التفاضل مساويا للصفر ، أي تسمى تلك التي تكون فيها جميع المشتقات الجزئية مساوية للصفر ثابتة. نقاط حرجةالدوال $ f $ هي تلك النقاط التي عندها $ f $ غير قابلة للاشتقاق ، أو تساوي الصفر. إذا كانت النقطة ثابتة ، فلا يتبع ذلك بعد أن الوظيفة لها حد أقصى في هذه المرحلة.

مثال 1
دع $ f \ left (x، y \ right) = x ^ (3) + y ^ (3) $. ثم $ \ displaystyle \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي x) = 3 \ cdot x ^ (2) $، $ \ displaystyle \ frac (\ ) $ ، لذا $ \ left (0،0 \ right) $ هي نقطة ثابتة ، لكن الوظيفة ليس لها حد أقصى في هذه المرحلة. في الواقع ، $ f \ left (0،0 \ right) = 0 $ ، لكن من السهل ملاحظة أنه في أي منطقة مجاورة للنقطة $ \ left (0،0 \ right) $ تأخذ الدالة قيمًا موجبة وسالبة.

مثال 2
الدالة $ f \ left (x، y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ لها أصل الإحداثيات كنقطة ثابتة ، لكن من الواضح أنه لا يوجد حد أقصى في هذه المرحلة.

Theorem (شرط كافٍ للحالة القصوى).
اجعل الدالة $ f $ قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر على مجموعة مفتوحة $ E \ مجموعة فرعية \ mathbb (R) ^ (n) $. اجعل $ x_ (0) \ in E $ نقطة ثابتة و $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ left (h \ right) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n sum_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x_ (i) \ جزئي x_ (j)) \ يسار (x_ (0) \ يمين) h ^ (i) h ^ (j). $ $ ثم

إذا كان $ Q_ (x_ (0)) $ - ، فإن الوظيفة $ f $ عند النقطة $ x_ (0) $ لها قيمة قصوى محلية ، أي الحد الأدنى إذا كان النموذج موجبًا - محددًا والحد الأقصى إذا كان النموذج هو سلبي محدد
إذا كانت الصيغة التربيعية $ Q_ (x_ (0)) $ غير محددة ، فإن الدالة $ f $ عند النقطة $ x_ (0) $ ليس لها قيمة قصوى.

دعنا نستخدم التمدد وفقًا لصيغة تايلور (12.7 ص. 292). مع الأخذ في الاعتبار أن المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى عند النقطة $ x_ (0) $ تساوي صفرًا ، نحصل على $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f left (x_ (0) ) \ right) = \ frac (1) (2) \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ^ n \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x_ (i) \ جزئية x_ (j)) \ يسار (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j) ، $$ حيث $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ و $ \ epsilon \ left (h \ right) \ rightarrow 0 $ مقابل $ h \ rightarrow 0 $ ، ثم يكون الجانب الأيمن موجبًا لأي متجه $ h $ بطول صغير بدرجة كافية.
وهكذا ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه في بعض المناطق المجاورة للنقطة $ x_ (0) $ فإن المتباينة $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $ تكون راضية إذا كان $ فقط x \ neq x_ (0) $ (نضع $ x = x_ (0) + h $ \ right). هذا يعني أنه عند النقطة $ x_ (0) $ يكون للوظيفة حد أدنى محلي صارم ، وبالتالي تم إثبات الجزء الأول من نظريتنا.
افترض الآن أن $ Q_ (x_ (0)) $ شكل غير محدد. ثم هناك المتجهات $ h_ (1) $، $ h_ (2) $ مثل $ Q_ (x_ (0)) \ left (h_ (1) \ right) = \ lambda_ (1)> 0 $، $ Q_ ( x_ (0)) \ يسار (h_ (2) \ يمين) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 دولار. ثم نحصل على $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ left [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right]. $$ لصغير $ t> 0 $ ، يكون الجانب الأيمن هو إيجابي. هذا يعني أنه في أي منطقة مجاورة للنقطة $ x_ (0) $ تأخذ الدالة $ f $ قيمًا $ f \ left (x \ right) $ أكبر من $ f \ left (x_ (0) \ right) $.
وبالمثل ، نحصل على ذلك في أي منطقة مجاورة للنقطة $ x_ (0) $ تأخذ الدالة $ f $ قيمًا أقل من $ f \ left (x_ (0) \ right) $. هذا ، مع السابق ، يعني أن الدالة $ f $ لا تحتوي على قيمة قصوى عند النقطة $ x_ (0) $.

دعونا نفكر في حالة خاصة لهذه النظرية للدالة $ f \ left (x، y \ right) $ لمتغيرين محددين في بعض المناطق المجاورة للنقطة $ \ left (x_ (0)، y_ (0) \ right) $ ولها مشتقات جزئية مستمرة من الأمرين الأول والثاني. لنفترض أن $ \ left (x_ (0)، y_ (0) \ right) $ نقطة ثابتة ودع $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x ^ ( 2)) \ يسار (x_ (0) ، y_ (0) \ يمين) ، a_ (12) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x \ جزئي y) \ يسار (x_ (0) ، y_ (0) \ right)، a_ (22) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي y ^ (2)) \ left (x_ (0)، y_ (0) \ right). $$ ثم تأخذ النظرية السابقة الشكل التالي.

نظرية
دع $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. ثم:

إذا كان $ \ Delta> 0 $ ، فإن الدالة $ f $ لها قيمة قصوى محلية عند النقطة $ \ left (x_ (0)، y_ (0) \ right) $ ، أي الحد الأدنى إذا $ a_ (11)> 0 دولار ، والحد الأقصى إذا كان $ a_ (11)<0$;
إذا $ \ دلتا<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

أمثلة على حل المشكلات

خوارزمية لإيجاد الحد الأقصى لدالة للعديد من المتغيرات:

نجد نقاط ثابتة.
نجد تفاضل الرتبة الثانية في جميع النقاط الثابتة
باستخدام الشرط الكافي للدالة القصوى لدالة متعددة المتغيرات ، فإننا نعتبر الفرق من الدرجة الثانية عند كل نقطة ثابتة

تحقق من الدالة إلى أقصى حد $ f \ left (x، y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
قرار
أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى: $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y؛ $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئي و) (\ جزئي y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ تكوين وحل النظام: $$ \ displaystyle \ begin (cases) \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي x ) = 0 \\\ frac (\ part f) (\ جزئي y) = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ start (cases) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ begin (cases) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (cases) $$ من المعادلة الثانية ، نعبر عن $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - استبدل في المعادلة الأولى: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ يمين) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $$ y \ left (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ right) = 0 $$ نتيجة لذلك ، تم الحصول على نقطتين ثابتتين:
1) $ y = 0 \ Rightarrow x = 0، M_ (1) = \ left (0، 0 \ right) $؛
2) $ displaystyle 8 cdot y ^ (3) -1 = 0 Rightarrow y ^ (3) = frac (1) (8) Rightarrow y = frac (1) (2) Rightarrow x = 1 ، M_ (2) = \ left (\ frac (1) (2)، 1 \ right) $
دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الأقصى الكافي:
$$ \ displaystyle \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x ^ (2)) = 6 \ cdot x ؛ \ فارك (\ جزئي ^ (2) و) (\ جزئي س \ جزئي ص) = - 6 ؛ \ frac (\ جزئي ^ (2) و) (\ جزئي y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
1) للنقطة $ M_ (1) = \ left (0،0 \ right) $:
$$ \ displaystyle A_ (1) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي × ^ (2)) \ يسار (0،0 \ يمين) = 0 ؛ B_ (1) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x \ جزئي y) \ يسار (0،0 \ يمين) = - 6 ؛ C_ (1) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي y ^ (2)) \ يسار (0،0 \ يمين) = 0 ؛ $$
$ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) للنقطة M_ (2) $:
$$ \ displaystyle A_ (2) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x ^ (2)) \ left (1، \ frac (1) (2) \ right) = 6؛ B_ (2) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x \ جزئي y) \ يسار (1، \ frac (1) (2) \ right) = - 6 ؛ C_ (2) = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي y ^ (2)) \ يسار (1، \ frac (1) (2) \ right) = 24؛ $$
$ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $ ، لذلك يوجد حد أقصى عند النقطة $ M_ (2) $ ، ومنذ $ A_ (2)> 0 $ ، فهذا هو الحد الأدنى.
الإجابة: النقطة $ \ displaystyle M_ (2) \ left (1، \ frac (1) (2) \ right) $ هي الحد الأدنى للدالة $ f $.
تحقق من دالة الحد الأقصى $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
قرار
ابحث عن نقاط ثابتة: $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي x) = 2 \ cdot y - 4؛ $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي y) = 2 \ cdot ص + 2 \ cdot س - 2. $$
قم بتكوين النظام وحلّه: $$ \ displaystyle \ start (cases) \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي x) = 0 \ frac (\ جزئي f) (\ جزئي y) = 0 \ end (cases) \ Rightarrow \ start (cases) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (cases) \ rightarrow \ start (cases) y = 2 \\ y + x = 1 \ نهاية (الحالات) \ Rightarrow x = -1 $$
$ M_ (0) \ left (-1، 2 \ right) $ نقطة ثابتة.
دعنا نتحقق من تحقيق الشرط الأقصى الكافي: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي x ^ (2)) \ left (-1،2 \ right) = 0؛ ب = \ فارك (\ جزئي ^ (2) و) (\ جزئي س \ جزئي ص) \ يسار (-1،2 \ يمين) = 2 ؛ C = \ frac (\ جزئي ^ (2) f) (\ جزئي y ^ (2)) \ يسار (-1،2 \ يمين) = 2 ؛ $$
$ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
الجواب: لا توجد قيمة قصوى.