حساب التفاضل والتكامل من اللامتناهيات في الصغر والكبيرة

حساب متناهي الصغر- العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها بقيم متناهية الصغر ، حيث يتم اعتبار النتيجة المشتقة كمجموع لا نهائي من القيم اللامتناهية في الصغر. حساب التفاضل والتكامل هو مفهوم عام لحساب التفاضل والتكامل ، والذي يشكل أساس الرياضيات الحديثة العليا. يرتبط مفهوم الكمية المتناهية الصغر ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الحد.

متناهي الصغر

اللاحقة أ ناتصل متناهي الصغر، إذا . على سبيل المثال ، تسلسل الأرقام صغير للغاية.

الوظيفة تسمى متناهية الصغر في منطقة مجاورة لنقطة ما x 0 إذا .

الوظيفة تسمى متناهية الصغر عند اللانهاية، إذا أو .

كما أن الدالة الصغيرة بلا حدود هي الفرق بين الدالة ونهايتها ، أي إذا ، ومن بعد F(x) − أ = α( x) , .

كبيرة بشكل لا نهائي

اللاحقة أ ناتصل كبيرة بشكل لا نهائي، إذا .

الوظيفة تسمى كبيرة بشكل لا نهائي في حي نقطة ما x 0 إذا .

الوظيفة تسمى كبيرة بشكل لانهائي، إذا أو .

في جميع الحالات ، يُفترض أن اللانهاية إلى الحق في المساواة لها علامة معينة (إما "زائد" أو "ناقص"). هذا هو ، على سبيل المثال ، الوظيفة xالخطيئة xليس كبيرًا بشكل لا نهائي لـ.

خصائص اللامتناهيات في الصغر واللامتناهيات في الصغر

مقارنة بين اللامتناهيات في الصغر

كيف تقارن الكميات متناهية الصغر؟
تشكل نسبة الكميات متناهية الصغر ما يسمى بعدم اليقين.

تعريفات

لنفترض أن لدينا عددًا لا نهائيًا من الصغر لنفس القيمة α ( x) و β ( x) (أو ، وهو أمر غير مهم بالنسبة للتعريف ، التسلسلات متناهية الصغر).

لحساب مثل هذه الحدود ، من الملائم استخدام قاعدة لوبيتال.

أمثلة المقارنة

استخدام ا- يمكن كتابة رموز النتائج التي تم الحصول عليها بالشكل التالي x 5 = ا(x 3). في هذه الحالة ، الإدخالات 2x 2 + 6x = ا(x) و x = ا(2x 2 + 6x).

كميات متكافئة

تعريف

إذا ، ثم الكميات متناهية الصغر α و تسمى ما يعادل ().
من الواضح أن الكميات المكافئة هي حالة خاصة للكميات متناهية الصغر من نفس ترتيب الصغر.

لأن علاقات التكافؤ التالية صحيحة: .

نظرية

لن يتغير حد حاصل (نسبة) كميتين متناهيتين في الصغر إذا تم استبدال أحدهما (أو كليهما) بقيمة معادلة.

هذه النظرية لها أهمية عملية في إيجاد الحدود (انظر المثال).

مثال على الاستخدام

استبدال سأنان 2x قيمة مكافئة 2 x، نحن نحصل

مخطط تاريخي

نوقش مفهوم "الصغر اللامتناهي" في العصور القديمة فيما يتعلق بمفهوم الذرات غير القابلة للتجزئة ، لكنه لم يدخل في الرياضيات الكلاسيكية. مرة أخرى ، تم إحياؤه مع ظهور "طريقة غير قابلة للتجزئة" في القرن السادس عشر - تقسيم الشكل قيد الدراسة إلى أقسام متناهية الصغر.

جبر حساب التفاضل والتكامل في متناهية الصغر حدث في القرن السابع عشر. بدأ تعريفها على أنها قيم عددية أقل من أي قيمة محدودة (غير صفرية) ومع ذلك لا تساوي الصفر. يتألف فن التحليل من تكوين علاقة تحتوي على اللامتناهيات في الصغر (تفاضلات) ، ثم دمجها.

عرض علماء الرياضيات في المدرسة القديمة هذا المفهوم متناهي الصغرانتقادات لاذعة. كتب ميشيل رول أن حساب التفاضل والتكامل الجديد هو " مجموعة من الأخطاء الرائعة»؛ أشار فولتير بفظاظة إلى أن هذا الحساب هو فن حساب وقياس الأشياء بدقة التي لا يمكن إثبات وجودها. حتى Huygens اعترف بأنه لم يفهم معنى الفروق العليا.

أصبحت الخلافات في أكاديمية باريس للعلوم حول قضايا تبرير التحليل فاضحة للغاية لدرجة أن الأكاديمية منعت أعضائها ذات مرة من التحدث عن هذا الموضوع على الإطلاق (هذا يتعلق بشكل أساسي بـ Rolle و Varignon). في عام 1706 ، سحب رول اعتراضاته علنًا ، لكن المناقشات استمرت.

في عام 1734 ، نشر الفيلسوف الإنجليزي الشهير ، الأسقف جورج بيركلي ، كتيبًا مثيرًا ، عُرف باسمه المختصر " المحلل". اسمها الكامل هو: محلل أو خطاب موجه إلى عالم رياضيات غير مؤمن ، يبحث فيما إذا كان موضوع ومبادئ واستنتاجات التحليل الحديث أكثر وضوحًا أو استنتاجًا بشكل أوضح من الأسرار الدينية وبنود الإيمان».

احتوى المحلل على نقد ذكي ومن نواحٍ عديدة لحساب التفاضل والتكامل متناهي الصغر. اعتبر بيركلي أن طريقة التحليل غير متوافقة مع المنطق وكتب ذلك ، " مهما كانت مفيدة ، لا يمكن اعتبارها إلا نوعًا من التخمين ؛ البراعة ، أو الفن ، أو بالأحرى الحيلة ، ولكن ليس كوسيلة من وسائل الإثبات العلمي". نقلاً عن عبارة نيوتن عن زيادة الكميات الحالية "في بداية ولادتها أو اختفائها" ، من المفارقات أن بيركلي: " فهي ليست منتهية ولا متناهية الصغر ولا حتى لا شيء. ألا يمكن أن نطلق عليها أشباح الأقدار الميتة؟ ... وكيف يمكن للمرء أن يتحدث على الإطلاق عن العلاقة بين الأشياء التي ليس لها حجم؟ .. من يستطيع هضم التدفق الثاني أو الثالث [المشتق] ، الثاني أو الثالث يبدو لي أن أجد خطأ في شيء ما في اللاهوت».

كتب بيركلي أنه من المستحيل تخيل السرعة اللحظية ، أي السرعة في لحظة معينة وفي نقطة معينة ، لأن مفهوم الحركة يتضمن مفاهيم (غير محددة صفرية) المكان والزمان.

كيف يحصل التحليل على النتائج الصحيحة؟ توصل بيركلي إلى استنتاج مفاده أن هذا يرجع إلى وجود العديد من الأخطاء في الاستنتاجات التحليلية للتعويض المتبادل ، وأوضح ذلك بمثال القطع المكافئ. ومن المثير للاهتمام ، أن بعض علماء الرياضيات الرئيسيين (على سبيل المثال ، لاغرانج) اتفقوا معه.

كان هناك موقف متناقض عندما تدخلت الصرامة والإثمار في الرياضيات مع بعضها البعض. على الرغم من استخدام أفعال غير قانونية ذات مفاهيم سيئة التحديد ، كان عدد الأخطاء المباشرة صغيرًا بشكل مدهش - وقد ساعد الحدس. ومع ذلك ، خلال القرن الثامن عشر ، تطور التحليل الرياضي بسرعة ، دون أي مبرر جوهريًا. كانت فعاليتها مذهلة وتحدثت عن نفسها ، لكن معنى التفاضل لا يزال غير واضح. غالبًا ما يتم الخلط بين الزيادة المتناهية في الصغر لوظيفة ما وجزءها الخطي.

طوال القرن الثامن عشر ، بُذلت جهود هائلة لتصحيح الوضع ، وشارك فيها أفضل علماء الرياضيات في القرن ، لكن كوشي فقط كان قادرًا على بناء أساس التحليل بشكل مقنع في بداية القرن التاسع عشر. لقد حدد بدقة المفاهيم الأساسية - الحد ، والتقارب ، والاستمرارية ، والتفاضل ، وما إلى ذلك ، وبعد ذلك اختفت اللامتناهيات في الصغر الفعلية من العلم. وأوضح بعض التفاصيل الدقيقة المتبقية في وقت لاحق

وظائف صغيرة بلا حدود

تم استدعاء الوظيفة ٪٪ f (x) ٪٪ متناهي الصغر(b.m.) لـ ٪٪ x \ to a \ in \ overline (\ mathbb (R)) ٪٪ ، إذا كان حد الوظيفة يساوي صفرًا عندما تميل الوسيطة إلى هذا.

مفهوم بي ام. ترتبط الوظيفة ارتباطًا وثيقًا بإشارة إلى حدوث تغيير في حجتها. يمكننا التحدث عن بي ام. وظائف لـ ٪٪ a \ to a + 0 ٪٪ و ٪٪ a \ to a - 0 ٪٪. عادة b.m يتم الإشارة إلى الدوال بالأحرف الأولى من الأبجدية اليونانية ٪٪ \ alpha، \ beta، \ gamma، \ ldots ٪٪

أمثلة

1. الوظيفة ٪٪ f (x) = x ٪٪ هي b.m عند ٪٪ x \ إلى 0 ٪٪ ، لأن حده عند ٪٪ a = 0 ٪٪ هو صفر. وفقًا للنظرية حول الاتصال بين حد الوجهين والحد من جانب واحد ، فإن هذه الوظيفة هي b.m. كلاهما مع ٪٪ x \ to + 0 ٪٪ ومع ٪٪ x \ to -0 ٪٪.
2. الوظيفة ٪٪ f (x) = 1 / (x ^ 2) ٪٪ - b.m. مع ٪٪ x \ to \ infty ٪٪ (وكذلك مع ٪٪ x \ to + \ infty ٪٪ ومع ٪٪ x \ to - \ infty ٪٪).

الرقم الثابت غير الصفري ، مهما كان صغيراً في القيمة المطلقة ، ليس b.m. وظيفة. بالنسبة للأرقام الثابتة ، الاستثناء الوحيد هو الصفر ، لأن الوظيفة ٪٪ f (x) \ equiv 0 ٪٪ لها حد صفري.

نظرية

الوظيفة ٪٪ f (x) ٪٪ لها حد نهاية عند النقطة ٪٪ a \ in \ overline (\ mathbb (R)) ٪٪ من السطر الرقمي الممتد يساوي الرقم ٪٪ b ٪٪ إذا وفقط إذا كانت هذه الوظيفة تساوي مجموع هذا الرقم ٪٪ b ٪٪ و b.m الدالات ٪٪ \ alpha (x) ٪٪ مع ٪٪ x \ to a ٪٪ ، أو $$ \ موجود ~ \ lim \ limits_ (x \ to a) (f (x)) = b \ in \ mathbb (R ) \ Leftrightarrow \ left (f (x) = b + \ alpha (x) \ right) \ land \ left (\ lim \ limits_ (x \ to a) (\ alpha (x) = 0) \ right). $$

خصائص الوظائف المتناهية الصغر

وفقًا لقواعد التمرير إلى الحد الأقصى ، بالنسبة لـ ٪٪ c_k = 1 ~ \ forall k = \ overline (1، m) ، m \ in \ mathbb (N) ٪٪ ، تتبع العبارات التالية:

1. مجموع الرقم النهائي ب. وظائف من أجل ٪٪ x \ إلى ٪٪ هي fm مع ٪٪ x \ إلى ٪٪.
2. حاصل ضرب أي عدد من بي ام. وظائف من أجل ٪٪ x \ إلى ٪٪ هي fm مع ٪٪ x \ إلى ٪٪.

منتج بي إم الدالات في ٪٪ x \ إلى ٪٪ والدالة محدودة في بعض الجوار المثقوب ٪٪ \ stackrel (\ circ) (\ text (U)) (a) ٪٪ من النقطة a ، هي b.m. مع ٪٪ x \ إلى دالة ٪٪.

من الواضح أن حاصل ضرب دالة ثابتة و b.m. في ٪٪ x \ إلى ٪٪ هناك b.m تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪.

وظائف متناهية الصغر مكافئة

يتم استدعاء الوظائف الصغيرة بلا حدود ٪٪ \ alpha (x)، \ beta (x) ٪٪ for ٪٪ x \ to a ٪٪ ما يعادلويتم كتابتها ٪٪ \ alpha (x) \ sim \ beta (x) ٪٪ إذا

$$ \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ beta (x)) ) (\ alpha (x))) = 1. $$

نظرية استبدال BM وظائف مكافئة

دع ٪٪ \ alpha (x)، \ alpha_1 (x)، \ beta (x)، \ beta_1 (x) ٪٪ يكون b.m. يعمل في ٪٪ x \ إلى ٪٪ ، و ٪٪ \ alpha (x) \ sim \ alpha_1 (x) ؛ \ beta (x) \ sim \ beta_1 (x) ٪٪ ، ثم $$ \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ alpha (x)) (\ beta (x))) = \ lim \ limits_ (x \ to a) (\ frac (\ alpha_1 (x)) (\ beta_1 (x))). $$

ما يعادل م. المهام.

دع ٪٪ \ alpha (x) ٪٪ يكون b.m تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪ ، ثم

1. ٪٪ \ sin (\ alpha (x)) \ sim \ alpha (x) ٪٪
2. ٪٪ displaystyle 1 - cos (alpha (x)) sim frac (alpha ^ 2 (x)) (2) ٪٪
3. ٪٪ \ tan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) ٪٪
4. ٪٪ \ arcsin \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) ٪٪
5. ٪٪ \ arctan \ alpha (x) \ sim \ alpha (x) ٪٪
6. ٪٪ \ ln (1 + \ alpha (x)) \ sim \ alpha (x) ٪٪
7. ٪٪ displaystyle sqrt [n] (1 + alpha (x)) - 1 sim frac (alpha (x)) (n) ٪٪
8. ٪٪ displaystyle a ^ (alpha (x)) - 1 sim alpha (x) ln (a) ٪٪

مثال

$$ \ start (array) (ll) \ lim \ limits_ (x \ to 0) (\ frac (\ ln \ cos x) (\ sqrt (1 + x ^ 2) - 1)) & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (\ frac (\ ln (1 + (\ cos x - 1))) (\ frac (x ^ 2) (4))) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (\ frac (4 (\ cos x - 1)) (x ^ 2)) = \\ & = \ lim \ limits_ (x \ to 0) (- \ frac (4 x ^ 2) (2 x ^ 2)) = -2 \ نهاية (مجموعة) $$

وظائف كبيرة بلا حدود

تم استدعاء الوظيفة ٪٪ f (x) ٪٪ كبيرة بشكل لا نهائي(b.b.) لـ ٪٪ x \ to a \ in \ overline (\ mathbb (R)) ٪٪ ، إذا كانت الوظيفة لها حد لانهائي حيث تميل الوسيطة إلى القيام بذلك.

مثل بي ام وظائف مفهوم ب ب. ترتبط الوظيفة ارتباطًا وثيقًا بإشارة إلى حدوث تغيير في حجتها. يمكننا التحدث عن b.b. يعمل عند ٪٪ x \ إلى + 0 ٪٪ و ٪٪ x \ إلى a - 0 ٪٪. لا يعني المصطلح "كبير بشكل غير محدود" القيمة المطلقة للدالة ، ولكن طبيعة تغييرها في جوار النقطة المدروسة. لا يوجد رقم ثابت ، مهما كان كبيرًا في القيمة المطلقة ، فهو كبير بشكل لا نهائي.

أمثلة

1. الوظيفة ٪٪ f (x) = 1 / x ٪٪ - b.b. في ٪٪ x \ إلى 0 ٪٪.
2. الوظيفة ٪٪ f (x) = x ٪٪ - b.b. عند ٪٪ x \ to \ infty ٪٪.

إذا كانت شروط التعريفات $$ \ start (array) (l) \ lim \ limits_ (x \ to a) (f (x)) = + \ infty، \\ \ lim \ limits_ (x \ to a) ( f (x)) = - \ infty، \ end (array) $$

ثم يتحدثون عنه إيجابيأو نفيب. في دالة ٪٪ a ٪٪.

مثال

الدالة ٪٪ 1 / (x ^ 2) ٪٪ هي دالة b.b. في ٪٪ x \ إلى 0 ٪٪.

العلاقة بين ب. و ب. المهام

إذا كانت ٪٪ f (x) ٪٪ هي b.b. إذا كانت ٪٪ x \ to a ٪٪ دالة ، فإن ٪٪ 1 / f (x) ٪٪ تكون b.m.

مع ٪٪ x \ إلى ٪٪. إذا كانت ٪٪ \ alpha (x) ٪٪ بي إم لـ ٪٪ x \ to a ٪٪ هي دالة غير صفرية في بعض المناطق المجاورة المثقوبة للنقطة ٪٪ a ٪٪ ، ثم ٪٪ 1 / \ alpha (x) ٪٪ هي b.b. مع ٪٪ x \ إلى ٪٪.

خواص الوظائف اللانهائية

دعونا نقدم العديد من خصائص b.b. المهام. هذه الخصائص تتبع مباشرة من تعريف b.b. دوال وخصائص الوظائف التي لها حدود منتهية ، وكذلك من نظرية الاتصال بين b.b. و ب. المهام.

1. حاصل ضرب عدد محدود b.b. الوظائف لـ ٪٪ x \ to a ٪٪ هي b.b. تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪. في الواقع ، إذا كانت ٪٪ f_k (x) ، k = \ overline (1، n) ٪٪ هي b.b. يعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪ ، ثم في بعض الجوار المثقوب للنقطة ٪٪ a ٪٪ ٪٪ f_k (x) \ ne 0 ٪٪ ، و من خلال نظرية الاتصال ب. و ب.الدالات ٪٪ 1 / f_k (x) ٪٪ - b.m. تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪. اتضح أن ٪٪ \ displaystyle \ prod ^ (n) _ (k = 1) 1 / f_k (x) ٪٪ هي دالة b.m لـ ٪٪ x إلى ٪٪ و ٪٪ displaystyle prod ^ ( ن) _ (ك = 1) f_k (x) ٪٪ - ب.ب. تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪.
2. نتاج b.b. الدالات عند ٪٪ x \ إلى ٪٪ والدالة التي تكون قيمتها المطلقة أكبر من ثابت موجب في بعض المناطق المجاورة المثقوبة للنقطة ٪٪ a ٪٪ هي b.b. تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪. على وجه الخصوص ، منتج b.b. الدوال عند ٪٪ x \ إلى ٪٪ والدالة التي لها حد غير صفري محدد عند النقطة ٪٪ a ٪٪ ستكون b.b. تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪.

مجموع دالة محددة في بعض المناطق المجاورة المثقوبة للنقطة ٪٪ a ٪٪ و b.b. الدالات في ٪٪ x \ إلى ٪٪ هي b.b. تعمل عند ٪٪ x \ إلى ٪٪.

على سبيل المثال ، الدالتان ٪٪ x - \ sin x ٪٪ و ٪٪ x + \ cos x ٪٪ هما b.b. عند ٪٪ x \ to \ infty ٪٪.

3. مجموع اثنين ب. وظائف في ٪٪ x \ إلى ٪٪ هناك عدم يقين. اعتمادًا على علامة الشروط ، يمكن أن تكون طبيعة التغيير في هذا المبلغ مختلفة تمامًا.

   مثال

   دع الدالات ٪٪ f (x) = x، g (x) = 2x، h (x) = -x، v (x) = x + \ sin x ٪٪ - b.b. يعمل عند ٪٪ x \ to \ infty ٪٪. ثم:

   • ٪٪ f (x) + g (x) = 3x ٪٪ - b.b. تعمل عند ٪٪ x \ to \ infty ٪٪ ؛
   • ٪٪ f (x) + h (x) = 0 ٪٪ - b م تعمل عند ٪٪ x \ to \ infty ٪٪ ؛
   • ٪٪ h (x) + v (x) = \ sin x ٪٪ ليس له حد في ٪٪ x \ to infty ٪٪.

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

متناهي الصغر- دالة رقمية أو تسلسل يميل إلى الصفر.

كبيرة بشكل لا نهائي- دالة رقمية أو تسلسل يميل إلى ما لا نهايةعلامة معينة.

حساب التفاضل والتكامل من اللامتناهيات في الصغر والكبيرة

حساب متناهي الصغر- الحسابات التي يتم إجراؤها بقيم متناهية الصغر ، حيث تعتبر النتيجة المشتقة غير محدودة مجموعصغير بلا حدود. حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر مفهوم عام لـ التفاضليهو حساب متكاملالتي تشكل أساس الحديث رياضيات أعلى. يرتبط مفهوم الكمية المتناهية الصغر ارتباطًا وثيقًا بالمفهوم حد.

متناهي الصغر

اللاحقة $م$اتصل متناهي الصغر، إذا $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty)\; a\_n\; =\; 0$. على سبيل المثال ، تسلسل الأرقام $أ\_n\; =\; \backslash \; dfrac\; (1)\; (ن)$- صغير بلا حدود.

الوظيفة تسمى متناهية الصغر في منطقة مجاورة لنقطة ما $x\_0$، إذا $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; x\_0)\; f\; (x)\; =\; 0$.

الوظيفة تسمى متناهية الصغر عند اللانهاية، إذا $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty)\; f\; (x)\; =\; 0$أو $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to-\; \backslash \; infty)\; f\; (x)\; =\; 0$.

كما أن الدالة الصغيرة بلا حدود هي الفرق بين الدالة ونهايتها ، أي إذا $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty)\; f\; (x)\; =\; a$، ومن بعد $و\; (س)\; -أ\; =\; \backslash \; ألفا\; (س)$, $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty)\; (f\; (x)\; -a)\; =\; 0$.

نؤكد أنه يجب فهم الكمية المتناهية الصغر على أنها عامل(وظيفة) ، وهي فقط في عملية التغيير[عند الجهاد $x$إلى $أ$(من $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; a)\; f\; (x)\; =\; 0$)] يتكون أقل من رقم عشوائي ( $\backslash \; varepsilon$). لذلك ، على سبيل المثال ، عبارة مثل "واحد على مليون هو كمية متناهية الصغر" غير صحيح: o بما فيها[القيمة المطلقة] ليس من المنطقي أن نقول إنها متناهية الصغر.

كبيرة بشكل لا نهائي

في جميع الصيغ أدناه ، يُفترض أن اللانهاية إلى حق المساواة لها علامة معينة (إما "زائد" أو "ناقص"). هذا هو ، على سبيل المثال ، الوظيفة $س\; \backslash \; الخطيئة\; x$، غير المحدود على كلا الجانبين ، ليس كبيرًا بشكل لا نهائي لـ $x\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty$.

اللاحقة $م$اتصل كبيرة بشكل لا نهائي، إذا $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty)\; a\_n\; =\; \backslash \; infty$.

الوظيفة تسمى كبيرة بشكل لا نهائي في حي نقطة ما $x\_0$، إذا $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; x\_0)\; f\; (x)\; =\; \backslash \; infty$.

الوظيفة تسمى كبيرة بشكل لانهائي، إذا $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty)\; f\; (x)\; =\; \backslash \; infty$أو $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to-\; \backslash \; infty)\; f\; (x)\; =\; \backslash \; infty$.

كما في حالة اللامتناهيات في الصغر ، تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تسمية أي قيمة مفردة لكمية كبيرة بشكل لانهائي "كبيرة بلا حدود" - فالكمية الكبيرة بلا حدود هي وظيفة، وهو فقط في عملية التغييريمكن أن يكون أكبر من رقم عشوائي.

خصائص اللامتناهيات في الصغر

• المجموع الجبري لعدد محدود من الدوال الصغيرة اللانهائية هو دالة صغيرة بلا حدود.
• حاصل ضرب اللامتناهيات في الصغر هو متناهي الصغر.
• حاصل ضرب تسلسل متناهٍ في الصغر من خلال متسلسل محدود هو متناهي الصغر. نتيجة لذلك ، يكون حاصل ضرب متناهٍ في الصغر بواسطة ثابت متناهٍ في الصغر.
• اذا كان $م$هو تسلسل متناهي الصغر لحفظ الإشارات $b\_n\; =\; \backslash \; dfrac\; (1)\; (a\_n)$هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي.

مقارنة بين اللامتناهيات في الصغر

تعريفات

افترض أن لدينا متناهيات الصغر لنفس الشيء $س\; \backslash \; إلى\; أ$كميات $\backslash \; ألفا\; (س)$و $\backslash \; بيتا\; (س)$(أو ، وهو أمر غير مهم بالنسبة للتعريف ، التسلسلات متناهية الصغر).

• اذا كان $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; a)\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; beta)\; (\backslash \; alpha)\; =\; 0$، ومن بعد $\backslash \; بيتا$- صغير بلا حدود مرتبة أعلى من الصغر، كيف $\backslash ألفا$. عين $بيتا\; =\; س\; (ألفا)$أو $\backslash \; بيتا\; \backslash \; بريف\; \backslash \; ألفا$.
• اذا كان $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; a)\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; beta)\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; infty$، ومن بعد $\backslash \; بيتا$- صغير بلا حدود أدنى ترتيب للصغر، كيف $\backslash ألفا$. على التوالى $\backslash \; ألفا\; =\; س\; (\backslash \; بيتا)$أو $\backslash \; alpha\; \backslash \; prec\; \backslash \; beta$.
• اذا كان $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; a)\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; beta)\; (\backslash \; alpha)\; =\; c$(النهاية منتهية ولا تساوي 0) ، إذن $\backslash ألفا$و $\backslash \; بيتا$هي كميات متناهية الصغر ترتيب واحد من حيث الحجم. هذا هو المشار إليه على أنه $\backslash \; alpha\; \backslash \; asymp\; \backslash \; beta$أو كتنفيذ متزامن للعلاقات $بيتا\; =\; س\; (ألفا)$و $\backslash \; alpha\; =\; O\; (\backslash \; beta)$. وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض المصادر يمكن للمرء أن يصادف تعيينًا عندما تتم كتابة تشابه الأوامر في شكل نسبة "كبيرة" واحدة فقط ، وهي استخدام مجاني لهذا الرمز.
• اذا كان $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; a)\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; beta)\; (\backslash \; alpha\; ^\; m)\; =\; c$(الحد منتهي ولا يساوي 0) ، ثم الكمية اللامتناهية $\backslash \; بيتا$لديها $م$الترتيب الثالث للصغرمتناهية الصغر نسبيًا $\backslash ألفا$.

لحساب مثل هذه الحدود ، من السهل استخدامها حكم لوبيتال.

أمثلة المقارنة

• في $(x\; \backslash \; إلى\; 0)$ضخامة $س\; ^\; 5$لديه أعلى ترتيب من الصغر فيما يتعلق $س\; ^\; 3$، لان $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (x\; ^\; 5)\; (x\; ^\; 3)\; =\; 0$. من ناحية أخرى، $س\; ^\; 3$لديه أدنى ترتيب للصغر فيما يتعلق $س\; ^\; 5$، لان $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (x\; ^\; 3)\; (x\; ^\; 5)\; =\; \backslash \; infty$.

استخدام ا-حرف او رمزيمكن كتابة النتائج التي تم الحصول عليها في النموذج التالي $س\; ^\; 5\; =\; س\; (س\; ^\; 3)$.

• $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (2x\; ^\; 2\; +\; 6x)\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (2x\; +\; 6)\; (1)\; =\; \backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; إلى\; 0)\; (2x\; +\; 6)\; =\; 6\; ،$ذلك حين $x\; \backslash \; إلى\; 0$المهام $و\; (س)\; =\; 2\; س\; ^\; 2\; +\; 6\; س$و $ز\; (س)\; =\; س$هي كميات متناهية الصغر من نفس الترتيب.

في هذه الحالة ، الإدخالات $2\; س\; ^\; 2\; +\; 6\; س\; =\; س\; (س)$و $س\; =\; س\; (2\; س\; ^\; 2\; +\; 6\; س).$

• في $(x\; \backslash \; إلى\; 0)$متناهي الصغر $2x\; ^\; 3$الترتيب الثالث من الصغر فيما يتعلق $x$، بسبب ال $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (2x\; ^\; 3)\; (x\; ^\; 3)\; =\; 2$، متناهي الصغر $0\; (،)\; 7x\; ^\; 2$- المرتبة الثانية ، متناهية الصغر $\backslash \; الجذر\; التربيعي\; (س)$- اطلب 0.5.

كميات متكافئة

تعريف

اذا كان $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; a)\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; beta)\; (\backslash \; alpha)\; =\; 1$، ثم الكميات المتناهية الصغر أو الكبيرة بشكل لانهائي $\backslash ألفا$و $\backslash \; بيتا$اتصل ما يعادل(كما تدل $\backslash \; alpha\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; beta$).

من الواضح أن الكميات المتكافئة هي حالة خاصة للكميات الصغيرة اللانهائية (الكبيرة بلا حدود) من نفس ترتيب الصغر.

في $$علاقات التكافؤ التالية صحيحة (كنتيجة لما يسمى ب حدود رائعة):

• $\backslash \; sin\; \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; ؛$
• $\backslash \; mathrm\; (tg)\; \backslash \; ،\; \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; ؛$
• $\backslash \; arcsin\; (\backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; ؛$
• $\backslash \; mathrm\; (arctg)\; \backslash \; ،\; \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; ؛$
• $\backslash \; log\_a\; (1+\; \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; (1)\; (\backslash \; ln\; (a))$، أين $أ>\; 0$;
• $\backslash \; ln\; (1+\; \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; ؛$
• $أ\; ^\; (\backslash \; alpha\; (x))\; -\; 1\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; (a)$، أين $أ>\; 0$;
• $ه\; ^\; (\backslash \; alpha\; (x))\; -\; 1\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; alpha\; (x)\; ؛$
• $1-\; \backslash \; cos\; (\backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; frac\; (\backslash \; alpha\; ^\; 2\; (x))\; (2)\; ؛$
• $(1+\; \backslash \; alpha\; (x))\; ^\; \backslash \; mu-1\; \backslash \; thicksim\; \backslash \; mu\; \backslash \; cdot\; \backslash \; alpha\; (x)\; ،\; \backslash \; quad\; \backslash \; mu\; \backslash \; in\; \backslash \; R$، لذا استخدم التعبير:

$\backslash \; sqrt\; [n]\; (1+\; \backslash \; alpha\; (x))\; \backslash \; almost\; \backslash \; frac\; (\backslash \; alpha\; (x))\; (n)\; +1$، أين $\backslash \; alpha\; (x)\; \backslash \; xrightarrow\; ()\; 0$.

نظرية

لن يتغير حد حاصل القسمة (النسبة) لكميتين متناهيتين في الصغر أو بكميات كبيرة بشكل غير محدود إذا تم استبدال أحدهما (أو كليهما) بقيمة مكافئة.

هذه النظرية لها أهمية عملية في إيجاد الحدود (انظر المثال).

أمثلة على استخدام ملفات

• تجد $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; sin\; 2x)\; (x).$

استبدال $\backslash \; الخطيئة\; 2x$قيمة معادلة $2x$، نحن نحصل $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; sin\; 2x)\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; 0)\; \backslash \; dfrac\; (2x)\; (x)\; =\; 2.$

• تجد $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (2))\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; sin\; (4\; \backslash \; cos\; x))\; (\backslash \; cos\; x).$

لان $\backslash \; خطيئة\; (4\; \backslash \; كوس\; س)\; \backslash \; سميك\; (4\; \backslash \; كوس\; س).$في $س\; \backslash \; إلى\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; بي)\; (2)$نحن نحصل $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (2))\; \backslash \; dfrac\; (\backslash \; sin\; (4\; \backslash \; cos\; x))\; (\backslash \; cos\; x)\; =\; \backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; (x\; \backslash \; to\; \backslash \; frac\; (\backslash \; pi)\; (2))\; \backslash \; dfrac\; (4\; \backslash \; cos\; x)\; (\backslash \; cos\; x)\; =\; 4.$

• احسب $\backslash \; مربع\; (1\; (،)\; 2)$.

باستخدام الصيغة : $\backslash \; الجذر\; التربيعي\; (1\; (،)\; 2)\; \backslash \; تقريبًا\; 1+\; \backslash \; فارك\; (0\; (،)\; 2)\; (2)\; =\; 1\; (،)\; 1$، أثناء استخدام آلة حاسبة(حسابات أكثر دقة) ، حصلنا على: $\backslash \; الجذر\; التربيعي\; (1\; (،)\; 2)\; \backslash \; تقريبًا\; 1\; (،)\; 095$، وبالتالي كان الخطأ 0.005 (أقل من 1٪) ، أي أن الطريقة مفيدة ، بسبب بساطتها ، مع تقدير تقريبي الجذور الحسابيةقريب من الوحدة.

قصة

عرض علماء الرياضيات في المدرسة القديمة هذا المفهوم متناهي الصغرانتقادات لاذعة. ميشيل رولكتب أن حساب التفاضل والتكامل الجديد هو " مجموعة من الأخطاء الرائعة»; فولتيرأشار بسموم إلى أن هذا الحساب هو فن حساب وقياس الأشياء بدقة التي لا يمكن إثبات وجودها. حتى هيغنزاعترف بأنه لا يفهم المعنى فروق ترتيب أعلى.

كمفارقة للقدر ، يمكن للمرء أن ينظر إلى المظهر في المنتصف القرن العشرين تحليل غير قياسي، الذي أثبت أن وجهة النظر الأصلية - اللامتناهيات في الصغر الفعلية - متسقة أيضًا ويمكن أن تكون أساس التحليل. مع ظهور التحليل غير القياسي ، أصبح من الواضح لماذا حصل علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر ، الذين يؤدون أعمالًا غير قانونية من وجهة نظر النظرية الكلاسيكية ، على نتائج صحيحة.

أنظر أيضا

اكتب مراجعة عن المقالة "متناهية الصغر وكبيرة بشكل غير محدود"

ملحوظات

المؤلفات

• // القاموس الموسوعي لبروكهاوس وإيفرون: 86 طنا (82 طنا و 4 طنا إضافية). - سان بطرسبرج. ، 1890-1907.

مقتطف يميز اللامتناهي والكبير بلا حدود

قال الأمير أندريه ساخرًا ، ولكن بمودة: "حسنًا ، يا صديقي ، أخشى أن تهدر أنت والراهب البارود".
- آه! صديقى. [لكن! صديقي.] أنا فقط أدعو الله وآمل أن يسمعني. أندريه ، "قالت بخجل بعد دقيقة من الصمت ،" لدي طلب كبير لك.
- ماذا يا صديقي؟
لا ، عدني أنك لن ترفض. لن يكلفك أي عمل ولن يكون فيه شيء لا يليق بك. أنت فقط تستطيع أن تريحني. وعد ، أندريوشا ، - قالت ، وهي تضع يدها في المحفظة وتحمل شيئًا بداخلها ، لكنها لم تظهر بعد ، كما لو كان ما كانت تحمله هو موضوع الطلب ، كما لو كانت قبل تلقي الوعد تنفيذًا للطلب هي لا يمكن إزالته من المحفظة إنه شيء.
نظرت بخجل إلى أخيها.
أجاب الأمير أندريه ، "إذا كان سيكلفني الكثير من العمل ..." ، وكأنه يخمن ما هو الأمر.
- كل ما تريد ، فكر! أعلم أنك مثل مون بيري. فكر في ما تريد ، لكن افعل ذلك من أجلي. افعلها من فضلك! ارتداها والد والدي ، جدنا ، في جميع الحروب ... - ما زالت لم تحصل على ما كانت تحتفظ به من حقيبتها. "إذن أنت وعدني؟"
"بالطبع ، ما الأمر؟"
- أندريه ، سأباركك بالصورة ، وأنت تعدني بأنك لن تخلعها أبدًا. يعد؟
قال الأمير أندريه: "إذا لم يجر رقبته إلى رطلين ... لإرضائك ..." ، لكن في نفس اللحظة ، ملاحظًا التعبير الحزين الذي يفترضه وجه أخته في هذه النكتة ، تاب. وأضاف: "سعيد جدًا ، حقًا سعيد جدًا يا صديقي".
قالت بصوت مرتعش من الإثارة: "رغم إرادتك ، سيخلصك ويرحمك ويرحمك ، لأنه فيه وحده هو الحق والسلام". الأخ ، أيقونة قديمة بيضاوية للمخلص بوجه أسود في مطاردة فضية على سلسلة فضية من الصنعة الرائعة.
عبرت نفسها وقبلت الأيقونة وسلمتها لأندري.
- من فضلك ، أندريه ، بالنسبة لي ...
أشرق شعاع من الرقة والضوء الخجول من عينيها الكبيرتين. أضاءت هذه العيون الوجه كله المريض ، رقيقة وجعلها جميلة. أراد الأخ أن يأخذ الكتف ، لكنها منعته. فهم أندريه وعبر نفسه وقبل الأيقونة. كان وجهه في نفس الوقت رقيقًا (متأثرًا) ويسخر.
- ميرسي ، مون عامي. [اشكرك صديقي.]
قبلته على جبهته وجلست على الأريكة. كانوا صامتين.
- لذلك أخبرتك ، أندريه ، كن لطيفًا وكريمًا ، كما كنت دائمًا. بدأت لا تحكم على ليز بقسوة. - إنها لطيفة جدًا ، لطيفة جدًا ، وموقفها صعب جدًا الآن.
- يبدو أنني لم أخبرك بشيء يا ماشا حتى أنوم زوجتي على أي شيء أو أكون غير راضية عنها. لماذا تخبرني بكل هذا؟
خجلت الاميرة ماري في بعض البقع واصمت الصمت وكأنها شعرت بالذنب.
"لم أقل لك أي شيء ، ولكن تم إخبارك بالفعل. و هذا جعلني حزينا.
ظهرت البقع الحمراء بقوة أكبر على جبين ورقبة وخدين الأميرة ماريا. أرادت أن تقول شيئًا ولم تستطع نطقه. خمن الأخ صحيحًا: بكت الأميرة الصغيرة بعد العشاء ، وقالت إنها توقعت ولادة مؤسفة ، وكانت خائفة منهم ، واشتكت من مصيرها ووالد زوجها وزوجها. بعد البكاء ، سقطت في النوم. شعر الأمير أندريه بالأسف على أخته.
"اعرف شيئًا واحدًا ، يا ماشا ، لا أستطيع أن ألومها ، ولم ألوم زوجتي أبدًا على أي شيء ، وأنا نفسي لا أستطيع أن أنوب نفسي بأي شيء يتعلق بها ؛ وسيكون الأمر كذلك دائمًا ، مهما كانت الظروف. لكن إذا كنت تريد معرفة الحقيقة ... تريد أن تعرف ما إذا كنت سعيدًا؟ رقم. هل هي سعيدة؟ رقم. لماذا هذا؟ لا أعرف ...
قال هذا ، وقف وتوجه إلى أخته وانحنى وقبلها على جبهتها. كانت عيناه الجميلتان تتألقان بتألق ذكي ولطيف وغير معتاد ، لكنه لم ينظر إلى أخته ، بل نظر إلى ظلام الباب المفتوح ، من خلال رأسها.
- دعنا نذهب إليها ، يجب أن نقول وداعا. أو اذهب بمفردك ، أيقظها ، وسآتي الآن. بَقدونس! صرخ في الخادم ، "تعال إلى هنا ، نظفه." إنه في المقعد ، إنه على الجانب الأيمن.
نهضت الأميرة ماريا وذهبت إلى الباب. توقفت.
Andre، si vous avez. la foi، vous vous seriez adresse a Dieu، pour qu "il vous donne l" amour، que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [إذا كان لديك إيمان ، لجأت إلى الله بالصلاة ، فيعطيك حبًا لا تشعر به ، وتسمع صلاتك.]
- نعم هي كذلك! - قال الأمير أندرو. - اذهب ، ماشا ، سآتي على الفور.
في الطريق إلى غرفة أخته ، في المعرض الذي يربط منزلًا بآخر ، التقى الأمير أندريه بوريان المبتسم بلطف ، للمرة الثالثة في ذلك اليوم بابتسامة حماسية وساذجة صادفها في ممرات منعزلة.
- آه! قالت ، [آه ، اعتقدت أنك في غرفتك] ، تحمر خجلاً لسبب ما وتخفض عينيها.
نظر الأمير أندريه إليها بصرامة. ظهر الغضب فجأة على وجه الأمير أندريه. لم يقل لها شيئًا ، لكنه نظر إلى جبهتها وشعرها ، دون أن ينظر إلى عينيها ، بازدراء شديد لدرجة أن السيدة الفرنسية احمر خجلا وغادرت دون أن تقول أي شيء.
عندما اقترب من غرفة أخته ، كانت الأميرة قد استيقظت بالفعل ، وسمع صوتها المبتهج ، المتسارع كلمة تلو الأخرى ، من الباب المفتوح. تحدثت كما لو كانت ، بعد فترة طويلة من الامتناع عن ممارسة الجنس ، تريد تعويض الوقت الضائع.
- Non، mais figurez vous، la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents، comme si elle voulait defier les annees ... [لا ، تخيل ، الكونتيسة زوبوفا العجوز ، مع تجعيد الشعر المزيف ، بأسنان مزيفة ، وكأنه يسخر من السنين ...] Xa، xa، xa، Marieie!
بالضبط نفس العبارة عن الكونتيسة زوبوفا ونفس الضحكة قد سمعت خمس مرات أمام الغرباء من قبل الأمير أندريه من زوجته.
دخل الغرفة بهدوء. جلست الأميرة ، الممتلئة الجسم ، الوردية ، مع العمل في يديها ، على كرسي بذراعين وتحدثت بلا انقطاع ، وفرزت ذكريات بطرسبرغ وحتى العبارات. صعد الأمير أندريه وضرب رأسها وسألها عما إذا كانت قد استقرت من الرحلة. أجابت وواصلت نفس المحادثة.
وقفت العربة في ستة عند المدخل. كانت ليلة خريفية مظلمة بالخارج. لم يرى المدرب قضيب الجر للعربة. الناس مع الفوانيس تعج بالحركة على الشرفة. احترق المنزل الضخم بالأضواء من خلال نوافذه الكبيرة. في القاعة مزدحمة بساحات الفناء ، الذي أراد أن يودع الأمير الشاب ؛ كان كل أفراد الأسرة يقفون في القاعة: ميخائيل إيفانوفيتش ، وميل بوريان ، والأميرة ماري والأميرة.
تم استدعاء الأمير أندريه إلى مكتب والده الذي أراد أن يودعه وجهًا لوجه. كان الجميع ينتظرهم للخروج.
عندما دخل الأمير أندريه المكتب ، كان الأمير العجوز ، مرتديًا نظارات الرجل العجوز ومعطفه الأبيض ، الذي لم يستقبل فيه أحدًا سوى ابنه ، جالسًا على الطاولة ويكتب. نظر إلى الوراء.
- هل انت ذاهب؟ وبدأ يكتب مرة أخرى.
- جئت لأقول وداعا.
- قبلة هنا ، - أظهر خده - شكرا لك ، شكرا لك!
- على ماذا تشكرني؟
- لأنك لا تبالغ ، فأنت لا تتمسك بتنورة نسائية. الخدمة أولا. شكرا شكرا! واستمر في الكتابة ، حتى انبعث الرذاذ من قلم طقطقة. - إذا أردت أن تقول شيئًا ، فقله. يمكن أن أفعل هذين الشيئين معًا ".
"بخصوص زوجتي ... أشعر بالخجل لأنني أتركها بين ذراعيك ..."
- ماذا تكذب؟ قل ما تريد.
- عندما يكون لدى زوجتك وقت للولادة ، أرسل إلى موسكو لطبيب التوليد ... حتى يكون هنا.
توقف الأمير العجوز ، وكأنه لا يفهم ، يحدق بعيون صارمة في ابنه.
قال الأمير أندريه الذي يبدو أنه محرج: "أعلم أنه لا أحد يستطيع المساعدة إذا لم تساعد الطبيعة". "أوافق على أنه من بين مليون حالة ، هناك واحدة مؤسفة ، لكن هذا خيالها وخيالي. قالوا لها ، لقد رأتها في المنام وهي خائفة.
قال الأمير العجوز في نفسه ، "حسنًا ... حسنًا ..." ، تابعًا لإنهاء الكتابة. - أنا سوف.
شطب التوقيع ، والتفت بسرعة إلى ابنه فجأة وضحك.
- إنه سيء ​​، أليس كذلك؟
- ما بك يا أبي؟
- زوجة! قال الأمير العجوز باختصار وبشكل ملحوظ.
قال الأمير أندريه: "أنا لا أفهم".
قال الأمير: "نعم ، ليس هناك ما أفعله يا صديقي ، كلهم ​​هكذا ، لن تتزوجوا". لا تخافوا؛ لن أخبر أحدا. وأنت تعلم بنفسك.
أمسك بيده بيده الصغيرة العظمية ، وصافحها ​​، ونظر مباشرة إلى وجه ابنه بعينيه الخاطفتين ، التي بدت وكأنها ترى من خلال الرجل ، وضحك مرة أخرى ضحكته الباردة.
تنهد الابن ، معترفا بتنهيدة أن والده فهمه. استمر الرجل العجوز في طي الحروف وطبعها بسرعته المعتادة ، وأمسك بالشمع والختم والورق.
- ماذا أفعل؟ جميلة! سأفعل كل شيء. قال باقتضاب أثناء الكتابة.
كان أندريه صامتًا: لقد كان أمرًا ممتعًا وغير سار بالنسبة له أن يفهمه والده. نهض الرجل العجوز وسلم الرسالة لابنه.
قال: "اسمع ، لا تقلق بشأن زوجتك: ما يمكن عمله سيحدث". استمع الآن: أعط الرسالة لميخائيل إيلاريونوفيتش. أكتب أنه سيستخدمك في أماكن جيدة ولن يبقيك مساعدًا لفترة طويلة: منشور سيء! أخبره أنني أتذكره وأحبه. نعم ، اكتب كيف سيقبلك. إذا كان جيدًا ، قم بتقديمه. ابن نيكولاي أندريتش بولكونسكي ، بدافع الرحمة ، لن يخدم أحداً. حسنًا ، تعال الآن إلى هنا.
تحدث بطريقة سريعة لدرجة أنه لم يكمل نصف الكلمات ، لكن الابن كان معتادًا على فهمه. قاد ابنه إلى المكتب ، وألقى الغطاء ، وسحب الدرج ، وأخرج دفترًا مغطى بخط يده الكبير والطويل والموجز.
"يجب أن أموت قبلك". اعلم أن هذه هي ملاحظاتي ، لنقلها إلى الملك بعد موتي. الآن هنا - هنا تذكرة بيدق ورسالة: هذه جائزة لمن يكتب تاريخ حروب سوفوروف. قدم إلى الأكاديمية. ها هي ملاحظاتي ، بعد أن أقرأ لنفسك ، ستجد شيئًا مفيدًا.
لم يخبر أندريه والده أنه من المحتمل أن يعيش لفترة طويلة. كان يعلم أنه لا يحتاج إلى قول ذلك.
قال: "سأفعل كل شيء يا أبي".
- حسنا الآن وداعا! ترك ابنه يقبّل يده وعانقه. "تذكر شيئًا واحدًا ، الأمير أندريه: إذا قتلوك ، فسوف يؤذيني الرجل العجوز ..." فجأة صمت واستمر فجأة بصوت عالٍ: "وإذا اكتشفت أنك لم تتصرف مثل ابن نيكولاي بولكونسكي ، سأشعر بالخجل ... صرخ.
قال الابن مبتسما: "لا يمكنك إخباري بذلك يا أبي".
كان الرجل العجوز صامتا.
وتابع الأمير أندريه: "أردت أيضًا أن أسألك ، إذا قتلواني وإذا كان لدي ابن ، فلا تدعه يبتعد عنك ، كما أخبرتك بالأمس ، حتى يكبر معك ... رجاء.
- لا تعطيه لزوجتك؟ قال العجوز وضحك.
وقفوا بصمت في مواجهة بعضهم البعض. تم تثبيت العيون السريعة للرجل العجوز مباشرة على عيني ابنه. ارتجف شيء ما في الجزء السفلي من وجه الأمير العجوز.
- وداعا ... انطلق! قال فجأة. - استيقظ! صرخ بصوت عالٍ وغاضبًا ، وفتح باب المكتب.
- ما هو ماذا؟ - سألت الأميرة والأميرة ، ورأتا الأمير أندريه ولحظة شخصية رجل عجوز يرتدي معطفًا أبيض ، بدون باروكة وبنظارات رجل عجوز ، ينحني وهو يصرخ بصوت غاضب.
تنهد الأمير أندريه ولم يجب.
قال وهو يتجه نحو زوجته: "حسنًا".
وبدا هذا "حسنًا" وكأنه استهزاء بارد ، كما لو كان يقول: "الآن تفعل حيلك."
أندريه ، ديجا! [أندريه ، بالفعل!] - قالت الأميرة الصغيرة ، شاحبة وتنظر إلى زوجها بخوف.
عانقها. صرخت وسقطت مغشياً على كتفه.
سحب برفق كتفها الذي كانت مستلقية عليه ، ونظر إلى وجهها ، وجلسها بعناية على كرسي.
- أديو ، ماري ، [وداعًا ، ماشا ،] - قال لأخته بهدوء ، وقبل يدها بيدها وغادر الغرفة بسرعة.
كانت الأميرة مستلقية على كرسي ، وكانت الملكة بوريان تفرك صدغيها. الأميرة ماري ، التي تدعم زوجة ابنها ، بعيون جميلة دامعة ، كانت لا تزال تنظر إلى الباب الذي خرج من خلاله الأمير أندريه ، وعمده. من الدراسة سمعت ، مثل الطلقات ، الأصوات الغاضبة المتكررة للرجل العجوز وهو ينفخ أنفه. بمجرد مغادرة الأمير أندريه ، فتح باب المكتب بسرعة ونظر إلى الخارج شخصية صارمة لرجل عجوز يرتدي معطفًا أبيض.
- اليسار؟ جيد جدا! قال ، وهو ينظر بغضب إلى الأميرة الصغيرة غير الحسّاسة ، هز رأسه موبخًا وضرب الباب.

في أكتوبر 1805 ، احتلت القوات الروسية قرى ومدن أرشيدوقية النمسا ، وجاء المزيد من الأفواج الجديدة من روسيا ، وأثقل كاهل السكان ، كانت تقع بالقرب من قلعة براونو. في براونو كانت الشقة الرئيسية للقائد العام للقوات المسلحة كوتوزوف.
في 11 أكتوبر 1805 ، كانت إحدى أفواج المشاة التي وصلت لتوها إلى براونو ، في انتظار مراجعة القائد العام للقوات المسلحة ، على بعد نصف ميل من المدينة. على الرغم من التضاريس والوضع غير الروسي (البساتين ، والأسوار الحجرية ، والأسقف المكسوة بالبلاط ، والجبال المرئية من بعيد) ، فإن الأشخاص غير الروس ، الذين نظروا إلى الجنود بفضول ، كان للفوج نفس المظهر تمامًا مثل أي فوج روسي يستعد لعرض في مكان ما في وسط روسيا.

تعريفات وخصائص الوظائف اللانهائية الصغيرة والكبيرة في نقطة ما. براهين الخواص والنظريات. العلاقة بين الدوال اللامتناهية في الصغر والكبيرة بلا حدود.

محتوى

أنظر أيضا: متواليات صغيرة بلا حدود - التعريف والخصائص
خصائص التسلسلات الكبيرة اللانهائية

تعريف الوظيفة اللانهائية والمتناهية الصغر

اسمحوا x 0 هي نقطة منتهية أو عند نقطة اللانهاية: ∞ أو-أو +.

تعريف دالة متناهية الصغر
الوظيفة α (خ)اتصل متناهي الصغركما يميل x إلى x 0 0 ، وهي تساوي الصفر:
.

تعريف دالة لانهائية
وظيفة و (خ)اتصل كبيرة بشكل لا نهائيكما يميل x إلى x 0 ، إذا كانت الوظيفة لها حدود x → x 0 ، وهي تساوي اللانهاية:
.

خصائص الوظائف المتناهية الصغر

خاصية الجمع والاختلاف وحاصل ضرب الدوال المتناهية الصغر

المجموع والفرق والمنتجعدد محدود من الوظائف اللانهائية مثل x → x 0 هي دالة لامتناهية في الصغر مثل x → x 0 .

هذه الخاصية هي نتيجة مباشرة للخصائص الحسابية لحدود الدالة.

نظرية حول حاصل ضرب دالة مقيدة بواسطة متناهٍ في الصغر

حاصل ضرب دالة محدودةعلى بعض الجوار المثقوب للنقطة س 0 ، إلى متناهٍ في الصغر ، مثل x → x 0 ، هي دالة لامتناهية في الصغر مثل x → x 0 .

خاصية تمثيل دالة كمجموع لدالة ثابتة ومتناهية الصغر

من أجل وظيفة f (خ)له حدود محدودة ، فمن الضروري والكافي
,
أين هي دالة لامتناهية في الصغر مثل x → x 0 .

خواص الوظائف اللانهائية

نظرية في مجموع دالة محدودة وواحدة كبيرة بشكل لا نهائي

مجموع أو فرق دالة محددة ، في بعض الجوار المثقوب للنقطة x 0 ، ودالة كبيرة بشكل لا نهائي ، مثل x → x 0 ، هي وظيفة لا نهائية مثل x → x 0 .

نظرية خارج القسمة لوظيفة محددة بواسطة دالة كبيرة بشكل لانهائي

إذا كانت الوظيفة f (خ)لانهائية مثل x → x 0 ، والوظيفة ز (خ)- يحده بعض الثقوب المجاورة للنقطة x 0 ، ومن بعد
.

نظرية في حاصل قسمة دالة يحدها أدناه واحد متناهٍ في الصغر

إذا كانت الوظيفة ، في بعض المناطق المجاورة للنقطة المثقوبة ، مقيدة من أسفل برقم موجب بالقيمة المطلقة:
,
والدالة متناهية الصغر مثل x → x 0 :
,
وهناك منطقة مثقوبة من النقطة التي عندها
.

خاصية عدم المساواة للوظائف الكبيرة اللانهائية

إذا كانت الوظيفة كبيرة بشكل لا نهائي من أجل:
,
والوظائف ، وفي بعض الجوار المثقوب للنقطة يلبي عدم المساواة:
,
ثم تكون الوظيفة أيضًا كبيرة بشكل لا نهائي من أجل:
.

هذه الخاصية لها حالتان خاصتان.

دعنا ، في بعض الجوار المثقوب للنقطة ، يعمل ويحقق عدم المساواة:
.
ثم إذا ، ثم و.
إذا ، ثم و.

العلاقة بين الدوال الكبيرة بلا حدود والوظائف اللانهائية الصغيرة

العلاقة بين الوظائف الكبيرة بلا حدود والوظائف الصغيرة بشكل لا نهائي يتبع الخاصيتين السابقتين.

إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي ، فإن الوظيفة تكون صغيرة بشكل لا نهائي عند.

إذا كانت الوظيفة صغيرة بشكل لا نهائي لـ ، ثم الوظيفة كبيرة بشكل لا نهائي لـ.

يمكن التعبير عن العلاقة بين دالة كبيرة ومتناهية الصغر بشكل رمزي:
, .

إذا كانت الدالة اللامتناهية في الصغر لها علامة محددة ، أي أنها موجبة (أو سلبية) في بعض المناطق المجاورة للنقطة ، فيمكن كتابتها على النحو التالي:
.
وبالمثل ، إذا كانت دالة كبيرة بلا حدود لها علامة معينة في ، فإنهم يكتبون:
، أو .

ثم يمكن تكملة الارتباط الرمزي بين الوظائف الصغيرة بلا حدود والوظائف الكبيرة بلا حدود بالعلاقات التالية:
, ,
, .

يمكن العثور على الصيغ الإضافية المتعلقة برموز اللانهاية على الصفحة
"النقاط في اللانهاية وخصائصها".

إثبات الخصائص والنظريات

إثبات النظرية على حاصل ضرب دالة مقيدة بواسطة متناهٍ في الصغر

لإثبات هذه النظرية ، سوف نستخدم. نستخدم أيضًا خاصية التسلسلات اللامتناهية في الصغر ، وفقًا لذلك

دع الدالة تكون متناهية الصغر في ، وتكون الوظيفة محدودة في بعض المناطق المثقوبة من النقطة:
في .

نظرًا لوجود حد ، يوجد حي مثقوب للنقطة التي يتم تحديد الوظيفة عليها. يجب ألا يكون هناك تقاطع بين الأحياء و. ثم الوظائف ويتم تعريفها على ذلك.

.
,
التسلسل متناهي الصغر:
.

نستخدم حقيقة أن حاصل ضرب متسلسلة محدودة بواسطة متناهية الصغر هو تسلسل متناهي الصغر:
.
.

لقد تم إثبات النظرية.

دليل على خاصية تمثيل دالة كمجموع لدالة ثابتة ومتناهية الصغر

بحاجة إلى. دع الوظيفة لها حدود محدودة عند نقطة ما
.
ضع في اعتبارك وظيفة:
.
باستخدام خاصية حد فرق الوظائف ، لدينا:
.
وهذا يعني أن هناك دالة لامتناهية في الصغر لـ.

قدرة. اسمحوا و. دعنا نطبق الخاصية المحددة لمجموع الوظائف:
.

تم إثبات الملكية.

إثبات النظرية على مجموع دالة محددة وواحدة كبيرة بشكل لا نهائي

لإثبات النظرية ، سنستخدم تعريف Heine لنهاية الدالة

في .

نظرًا لوجود حد ، إذن هناك منطقة مثقوبة للنقطة التي يتم تحديد الوظيفة عليها. يجب ألا يكون هناك تقاطع بين الأحياء و. ثم الوظائف ويتم تعريفها على ذلك.

يجب ألا يكون هناك تسلسل تعسفي يتقارب ، تنتمي عناصره إلى الحي:
.
ثم يتم تحديد التسلسلات. والتسلسل محدود:
,
التسلسل لانهائي:
.

منذ مجموع أو فرق متتالية محدودة وكبيرة بشكل لا نهائي
.
ثم ، وفقًا لتعريف هاينه لحدود التسلسل ،
.

لقد تم إثبات النظرية.

إثبات نظرية خارج القسمة لوظيفة محددة بواسطة دالة كبيرة بشكل لا نهائي

للإثبات ، سوف نستخدم تعريف هاين لنهاية الدالة. نستخدم أيضًا خاصية التسلسلات الكبيرة اللانهائية ، والتي وفقًا لها هي عبارة عن تسلسل صغير بشكل لا نهائي.

دع الدالة تكون كبيرة بشكل لا نهائي ، ويتم تقييد الوظيفة في بعض المناطق المثقوبة من النقطة:
في .

نظرًا لأن الوظيفة كبيرة بشكل لا نهائي ، فهناك منطقة مثقوبة للنقطة التي تم تعريفها عليها ولا تتلاشى:
في .
يجب ألا يكون هناك تقاطع بين الأحياء و. ثم الوظائف ويتم تعريفها على ذلك.

يجب ألا يكون هناك تسلسل تعسفي يتقارب ، تنتمي عناصره إلى الحي:
.
ثم يتم تحديد التسلسلات. والتسلسل محدود:
,
التسلسل لا نهائي بشروط غير صفرية:
, .

بما أن حاصل قسمة متتالية محدودة على متوالية كبيرة بشكل لا نهائي هو متوالية متناهية الصغر
.
ثم ، وفقًا لتعريف هاينه لحدود التسلسل ،
.

لقد تم إثبات النظرية.

إثبات النظرية على حاصل قسمة دالة مقيدة أدناه بواحد متناهٍ في الصغر

لإثبات هذه الخاصية ، سنستخدم تعريف Heine لنهاية الدالة. نستخدم أيضًا خاصية التسلسلات الكبيرة اللانهائية ، والتي وفقًا لها هي عبارة عن تسلسل كبير بشكل لا نهائي.

دع الدالة تكون متناهية الصغر عند ، وتكون الوظيفة مقيدة بالقيمة المطلقة من الأسفل برقم موجب ، في بعض الجوار المثقوب للنقطة:
في .

من خلال الافتراض ، يوجد حي مثقوب للنقطة التي يتم فيها تحديد الوظيفة ولا تختفي:
في .
يجب ألا يكون هناك تقاطع بين الأحياء و. ثم الوظائف ويتم تعريفها على ذلك. و و.

يجب ألا يكون هناك تسلسل تعسفي يتقارب ، تنتمي عناصره إلى الحي:
.
ثم يتم تحديد التسلسلات. علاوة على ذلك ، فإن التسلسل مقيد من الأسفل:
,
والتسلسل متناهي الصغر بشروط غير صفرية:
, .

بما أن حاصل قسمة تسلسل يحده أدناه متسلسل متناهي الصغر هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي ، إذن
.
وليكن هناك مثقوب في الجوار من النقطة التي عليها
في .

خذ تسلسلًا عشوائيًا تتقارب فيه. بعد ذلك ، بدءًا من رقم N ، ستنتمي عناصر التسلسل إلى هذا الحي:
في .
ثم
في .

وفقًا لتعريف هاين لحدود الوظيفة ،
.
ثم ، من خلال خاصية عدم المساواة ذات التسلسلات الكبيرة اللانهائية ،
.
نظرًا لأن التسلسل تعسفي ، فإنه يتقارب ، إذن ، من خلال تعريف حد الوظيفة وفقًا لـ Heine ،
.

تم إثبات الملكية.

مراجع:
L.D. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 2003.

أنظر أيضا: