صيغة حل جيب التمام هي حالات خاصة. المعادلات المثلثية. التخصيم

عادة ما يتم حل أبسط المعادلات المثلثية بالصيغ. دعني أذكرك أن المعادلات المثلثية التالية تسمى الأبسط:

sinx = أ

كوسكس = أ

tgx = أ

ctgx = أ

x هي الزاوية المطلوب إيجادها ،
أ هو أي رقم.

وإليك المعادلات التي يمكنك من خلالها تدوين حلول أبسط المعادلات على الفور.

للجيوب الأنفية:

لجيب التمام:

س = ± arccos a + 2π n ، n ∈ Z

للظل:

س = arctg a + n ، n ∈ Z

بالنسبة إلى ظل التمام:

x = arcctg a + n، n ∈ Z

في الواقع ، هذا هو الجزء النظريأبسط الحلول المعادلات المثلثية. والكل!) لا شيء على الإطلاق. ومع ذلك ، فإن عدد الأخطاء في هذا الموضوع يتدحرج. خاصة ، مع انحراف طفيف للمثال عن النموذج. لماذا ا؟

نعم ، لأن الكثير من الأشخاص يكتبون هذه الرسائل ، دون فهم معناها على الإطلاق!يكتب بقلق ، بغض النظر عن كيفية حدوث شيء ما ...) هذا يحتاج إلى التعامل معه. علم المثلثات للناس ، أو الناس لحساب المثلثات ، بعد كل شيء !؟)

دعونا نكتشف ذلك؟

زاوية واحدة ستكون مساوية ل arccos a ، ثانيا: -اركوس أ.

وهذه هي الطريقة التي ستعمل بها دائمًا.لأي أ.

إذا كنت لا تصدقني ، حرك مؤشر الماوس فوق الصورة ، أو المس الصورة على الجهاز اللوحي.) لقد غيرت الرقم أ لبعض السلبية. على أي حال ، لدينا زاوية واحدة arccos a ، ثانيا: -اركوس أ.

لذلك ، يمكن دائمًا كتابة الإجابة على شكل سلسلتين من الجذور:

x 1 = arccos a + 2π n، n ∈ Z

س 2 = - arccos a + 2π n ، n ∈ Z

نجمع هاتين السلسلتين في سلسلة واحدة:

س = ± arccos a + 2π n ، n ∈ Z

وكل الاشياء. لقد حصلنا على صيغة عامة لحل أبسط معادلة مثلثية باستخدام جيب التمام.

إذا فهمت أن هذا ليس نوعًا من الحكمة العلمية الفائقة ، ولكن مجرد سجل مختصر لسلسلتين من الإجابات ،أنت والمهام "ج" ستكون على كتفك. مع المتباينات ، مع اختيار الجذور من فترة معينة ... هناك ، الإجابة التي تحتوي على موجب / ناقص لا تتدحرج. وإذا تعاملت مع الإجابة على أنها عملية ، وقسمتها إلى إجابتين منفصلتين ، فسيتم تحديد كل شيء.) في الواقع ، نحن نفهم هذا. ماذا وكيف واين.

في أبسط معادلة مثلثية

sinx = أ

احصل أيضًا على سلسلتين من الجذور. دائماً. ويمكن أيضًا تسجيل هاتين السلسلتين خط واحد. فقط هذا الخط سيكون أكثر ذكاءً:

س = (-1) ن قوسين أ + ن ، ن ∈ ع

لكن الجوهر يبقى كما هو. قام علماء الرياضيات ببساطة ببناء معادلة لإنشاء واحدة بدلاً من سجلين لسلسلة من الجذور. وهذا كل شيء!

دعونا نتحقق من علماء الرياضيات؟ وهذا لا يكفي ...)

في الدرس السابق ، تم تحليل الحل (بدون أي صيغ) للمعادلة المثلثية بجيب بالتفصيل:

تبين أن الإجابة هي مجموعتان من الجذور:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

إذا حللنا نفس المعادلة باستخدام الصيغة ، فسنحصل على الإجابة:

س = (-1) ن قوسين 0.5 + ن ، ن ∈ Z

في الواقع ، هذه إجابة نصف مكتملة.) يجب أن يعرف الطالب ذلك أركسين 0.5 = / 6.ستكون الإجابة الكاملة:

س = (-1) ن π / 6+ πn ، n ∈ Z

هنا يظهر سؤال مثير للاهتمام. الرد عبر × 1 ؛ × 2 (هذه هي الإجابة الصحيحة!) وذلك من خلال الوحدة X (وهذا هو الجواب الصحيح!) - نفس الشيء أم لا؟ دعنا نكتشف الآن.)

استبدل استجابة بـ × 1 القيم ن = 0 ؛ واحد؛ 2 ؛ إلخ ، فنحن نعتبر أننا نحصل على سلسلة من الجذور:

× 1 \ u003d π / 6 ؛ 13π / 6 ؛ 25π / 6 إلخ.

مع نفس الاستبدال ردا على × 2 ، نحن نحصل:

× 2 \ u003d 5π / 6 ؛ 17π / 6 ؛ 29π / 6 إلخ.

والآن نعوض بالقيم ن (0 ؛ 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ...) في الصيغة العامة للوحدة X . أي ، نرفع ناقص واحد إلى أس صفر ، ثم إلى الأول ، ثم الثاني ، وهكذا. وبالطبع ، نعوض بـ 0 في الحد الثاني ؛ واحد؛ 2 3 ؛ 4 إلخ. ونفكر. نحصل على سلسلة:

س = π / 6 ؛ 5π / 6 ؛ 13π / 6 ؛ 17π / 6 ؛ 25π / 6 إلخ.

هذا كل ما يمكنك رؤيته). تعطينا الصيغة العامة بالضبط نفس النتائجوهما الجوابان بشكل منفصل. كل مرة بالترتيب. علماء الرياضيات لم يخدعوا).

يمكن أيضًا التحقق من الصيغ الخاصة بحل المعادلات المثلثية ذات الظل والتظل. لكن دعونا لا.) هم متواضعون جدا.

لقد رسمت كل هذا الاستبدال والتحقق عن قصد. هنا من المهم أن نفهم واحد شيء بسيط: هناك صيغ لحل المعادلات المثلثية الأولية ، مجرد ملخص للإجابات.لهذا الإيجاز ، كان علي إدخال زائد / ناقص في محلول جيب التمام و (-1) ن في محلول الجيب.

لا تتدخل هذه الإدخالات بأي شكل من الأشكال في المهام حيث تحتاج فقط إلى كتابة إجابة معادلة أولية. ولكن إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة متباينة ، أو إذا كنت بحاجة إلى القيام بشيء ما بالإجابة: تحديد الجذور على فترة زمنية ، والتحقق من وجود ODZ ، وما إلى ذلك ، فإن هذه الإدخالات يمكن أن تزعج شخصًا بسهولة.

و ما العمل؟ نعم ، إما أن ترسم الإجابة في سلسلتين ، أو تحل المعادلة / المتباينة في دائرة مثلثية. ثم تختفي هذه الإدخالات وتصبح الحياة أسهل.)

يمكنك تلخيص.

لحل أبسط المعادلات المثلثية ، توجد صيغ إجابات جاهزة. أربع قطع. إنها جيدة لكتابة حل المعادلة على الفور. على سبيل المثال ، تحتاج إلى حل المعادلات:

sinx = 0.3

بسهولة: س = (-1) ن قوسين 0.3 + ن ، ن ∈ Z

كوسكس = 0.2

لا مشكلة: x = ± arccos 0.2 + 2π n ، n ∈ Z

tgx = 1.2

بسهولة: س = arctg 1،2 + n ، n ∈ Z

ctgx = 3.7

بقيت واحده: س = arcctg3،7 + n ، n ∈ Z

كوس س = 1.8

إذا كنت تتألق بالمعرفة ، فاكتب الإجابة على الفور:

x = ± arccos 1.8 + 2π n ، n ∈ Z

ثم تتألق بالفعل ، هذا ... من البركة.) الإجابة الصحيحة هي: لا توجد حلول. لا أفهم لماذا؟ اقرأ ما هو arccosine. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كانت هناك قيم جدولية للجيب وجيب التمام والظل والتظل - على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية 1; 0; √3; 1/2; √3/2 إلخ. - الجواب من خلال الأقواس سيكون غير مكتمل. يجب تحويل الأقواس إلى راديان.

وإذا صادفت بالفعل عدم مساواة ، مثل

ثم الجواب:

س πn ، ن ∈ Z

هناك هراء نادر ، نعم ...) هنا من الضروري الدائرة المثلثيةقرر. ماذا سنفعل في الموضوع المقابل.

بالنسبة لأولئك الذين قرأوا بشكل بطولي حتى هذه السطور. لا يسعني إلا أن أقدر جهودك العملاقة. لك مكافأة.)

علاوة:

عند كتابة الصيغ في موقف قتالي مقلق ، غالبًا ما يتم الخلط بين المهووسين المتعصبين pn ، و أين 2πn. إليك خدعة بسيطة لك. في الكلالصيغ ص. باستثناء الصيغة الوحيدة التي بها قوس جيب التمام. إنها تقف هناك 2πn. اثنين pien. الكلمة الرئيسية - اثنين.في نفس الصيغة الفردية اثنينالتوقيع في البداية. زائد وناقص. هنا وهناك - اثنين.

لذلك إذا كتبت اثنينأمام قوس جيب التمام ، يسهل تذكر ما سيحدث في النهاية اثنين pien. والعكس بالعكس يحدث. تخطي علامة الرجل ± ، حتى النهاية ، اكتب بشكل صحيح اثنين pien ، نعم ، واقبض عليه. قبل شيء اثنينوقع! سيعود الإنسان إلى البداية لكنه سيصحح الخطأ! مثله.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

أبسط المعادلات المثلثية هي المعادلات

Cos (x) = a، sin (x) = a، tg (x) = a، ctg (x) = a

المعادلة cos (x) = a

الشرح والمبررات

جذور المعادلة cosx = a. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | كوسكس |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

دع | أ |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. في الفترة الزمنية ، تقل الدالة y = cos x من 1 إلى -1. لكن دالة التناقص تأخذ كل من قيمها عند نقطة واحدة فقط في مجالها ، لذلك معادلة كوس x \ u003d a له جذر واحد فقط في هذا الفاصل الزمني ، والذي ، وفقًا لتعريف جيب التمام القوسي ، هو: x 1 \ u003d arccos a (ولهذا الجذر cos x \ u003d a).

جيب التمام - دالة زوجية، وهكذا في الفاصل الزمني [-n ؛ 0] المعادلة cos x = ولها أيضًا جذر واحد فقط - وهو الرقم المقابل لـ x 1 ، أي

× 2 = -اركوس أ.

وهكذا ، على الفاصل الزمني [-n ؛ n] (الطول 2n) المعادلة cos x = a لـ | أ |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

الدالة y = cos x دورية بفترة 2n ، لذلك تختلف كل الجذور الأخرى عن تلك الموجودة في 2np (n € Z). نحصل على الصيغة التالية لجذور المعادلة cos x = a عندما

س = ± arccos a + 2n ، n £ Z.

حالات خاصة لحل المعادلة cosx = a.

من المفيد تذكر الترميز الخاص لجذور المعادلة cos x = a عندما

أ \ u003d 0 ، أ \ u003d -1 ، أ \ u003d 1 ، والتي يمكن الحصول عليها بسهولة باستخدام دائرة الوحدة كدليل.

بما أن جيب التمام يساوي حدود النقطة المقابلة دائرة الوحدة، نحصل على cos x = 0 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة A أو النقطة B.

وبالمثل ، cos x = 1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة C ،

س = 2πp ، ك € Z.

أيضًا cos x \ u003d -1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة D ، وبالتالي x \ u003d n + 2n ،

المعادلة sin (x) = a

الشرح والمبررات

الجذور معادلات sinx= أ. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функции y = sinx).

تتضمن دورة الفيديو "احصل على أ" جميع الموضوعات التي تحتاج إليها تسليم ناجحاستخدم في الرياضيات لـ 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت تريد اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من اختبار الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. طرق سريعةحلول وأفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة 2.5 ساعة لكل منهما. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. نظرية، المواد المرجعيةوتحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد الالكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تم جمعها بواسطتنا معلومات شخصيةيتيح لنا الاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
في حالة إعادة التنظيم أو الاندماج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

الطرق الرئيسية لحل المعادلات المثلثية هي: تقليل المعادلات إلى أبسطها (باستخدام الصيغ المثلثية) ، إدخال متغيرات جديدة ، التحليل إلى عوامل. دعونا ننظر في تطبيقهم مع الأمثلة. انتبه إلى تسجيل حل المعادلات المثلثية.

شرط ضروري حل ناجحالمعادلات المثلثية هي معرفة الصيغ المثلثية (الموضوع 13 من العمل 6).

أمثلة.

1. معادلات الاختزال إلى أبسط.

1) حل المعادلة

قرار:

إجابه:

2) أوجد جذور المعادلة

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx ينتمي إلى المقطع.

قرار:

إجابه:

2. معادلات الاختزال إلى المعادلات التربيعية.

1) حل المعادلة 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.