يتم إعطاء النسب بين الدوال المثلثية الرئيسية - الجيب وجيب التمام والظل والظل - الصيغ المثلثية. ونظرًا لوجود عدد كبير جدًا من الروابط بين الدوال المثلثية ، فإن هذا يفسر أيضًا وفرة الصيغ المثلثية. بعض الصيغ تربط الدوال المثلثية لنفس الزاوية ، والبعض الآخر - وظائف الزاوية المتعددة ، والبعض الآخر - يسمح لك بخفض الدرجة ، والرابع - للتعبير عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف الزاوية ، إلخ.

في هذه المقالة ، سوف ندرج بالترتيب كل ما هو رئيسي الصيغ المثلثية، والتي تعتبر كافية لحل الغالبية العظمى من مشاكل علم المثلثات. لسهولة الحفظ والاستخدام ، سنقوم بتجميعها حسب الغرض منها ، وندخلها في جداول.

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

الهويات المثلثية الأساسيةضبط العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تتبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل ، بالإضافة إلى مفهوم دائرة الوحدة. أنها تسمح للشخص بالتعبير دالة مثلثيةمن خلال أي دولة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لهذه الصيغ في علم المثلثات ، وأمثلة على اشتقاقها وتطبيقها ، راجع المقالة.

صيغ الصب

صيغ الصبتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل والظل ، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية ، وخاصية التناظر ، وكذلك خاصية الانزياح بزاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ ، وقاعدة ذاكري لحفظها ، وأمثلة على تطبيقها في المقالة.

صيغ الجمع

صيغ الجمع المثلثيةأظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو فرق الزاويتين من حيث الدوال المثلثية لهذه الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. ركن

صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية (يطلق عليها أيضًا معادلات متعددة الزوايا) توضح كيف الدوال المثلثية لمضاعفة وثلاثية وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () من حيث الدوال المثلثية لزاوية واحدة. اشتقاقهم يعتمد على صيغ الجمع.

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في معادلات المقالات للثنائي أو الثلاثي ، إلخ. زاوية .

صيغ نصف زاوية

صيغ نصف زاويةاظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب التمام لزاوية عدد صحيح. تتبع هذه الصيغ المثلثية من صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ التخفيض

الصيغ المثلثية للدرجات المتناقصةمصممة لتسهيل الانتقال من درجات طبيعيةالدوال المثلثية للجيب وجيب التمام إلى الدرجة الأولى ، لكن الزوايا المتعددة. بعبارة أخرى ، تسمح للفرد بتقليل قوى الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ مجموع واختلاف الدوال المثلثية

الوجهة الرئيسية معادلات الجمع والفرق للوظائف المثلثيةهو التمرير إلى حاصل ضرب الدوال ، وهو أمر مفيد جدًا عند التبسيط التعبيرات المثلثية. تستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في الحل المعادلات المثلثية، لأنها تسمح بحساب مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.

الصيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بجيب التمام

يتم الانتقال من حاصل ضرب الدوال المثلثية إلى المجموع أو الاختلاف من خلال الصيغ الخاصة بمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام.

استبدال عالمي مثلثي

نكمل مراجعة الصيغ الأساسية لعلم المثلثات بالصيغ التي تعبر عن الدوال المثلثية بدلالة ظل نصف الزاوية. هذا الاستبدال يسمى استبدال عالمي مثلثي. تكمن الراحة في حقيقة أن جميع الدوال المثلثية يتم التعبير عنها بدلالة ظل نصف زاوية منطقيًا بدون جذور.

فهرس.

• الجبر:بروك. لـ 9 خلايا. متوسط المدرسة / Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، كي آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا ؛ إد. S.A Telyakovsky. - M: Enlightenment، 1990. - 272 p: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• باشماكوف م.الجبر وبداية التحليل: Proc. لـ 10-11 خلية. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 1993. - 351 ص: مريض. - ردمك 5-09-004617-4.
• الجبروبداية التحليل: Proc. لـ 10-11 خلية. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون ؛ إد. أ.ن.كولموغوروفا. - الطبعة 14. - م: التنوير ، 2004. - 384 ص: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
• جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.

حقوق التأليف والنشر من قبل الطلاب الأذكياء

كل الحقوق محفوظة.
محمي بقانون حقوق التأليف والنشر. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع ، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي ، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق النشر.

أمثلة:

\ (2 \ الخطيئة (⁡x) = \ الجذر التربيعي (3) \)
tg \ ((3x) = - \) \ (\ frac (1) (\ sqrt (3)) \)
\ (4 \ cos ^ 2⁡x + 4 \ sin⁡x-1 = 0 \)
\ (\ cos⁡4x + 3 \ cos⁡2x = 1 \)

كيفية حل المعادلات المثلثية:

يجب اختزال أي معادلة مثلثية إلى أحد الأنواع التالية:

\ (\ sin⁡t = أ \) ، \ (\ cos⁡t = أ \) ، tg \ (t = أ \) ، ctg \ (t = أ \)

حيث \ (t \) تعبير به x ، \ (a \) هو رقم. تسمى هذه المعادلات المثلثية الكائنات الاوليه. من السهل حلها باستخدام () أو الصيغ الخاصة:

شاهد الرسوم البيانية لحل المعادلات المثلثية البسيطة هنا: و و.

مثال . حل المعادلة المثلثية \ (\ sin⁡x = - \) \ (\ frac (1) (2) \).
المحلول:

إجابه: \ (\ يسار [\ البدء (مجمعة) س = - \ فارك (π) (6) + 2πk ، \\ x = - \ frac (5π) (6) + 2πn ، \ النهاية (مجمعة) \ يمين. \) \ (ك ، n∈Z \)

ماذا يعني كل رمز في صيغة جذور المعادلات المثلثية ، انظر.

انتباه!المعادلات \ (\ sin⁡x = a \) و \ (\ cos⁡x = a \) ليس لها حلول إذا \ (a ϵ (-∞ ؛ -1) ∪ (1 ؛ ∞) \). لأن الجيب وجيب التمام لأي x أكبر من أو يساوي \ (- 1 \) وأقل من أو يساوي \ (1 \):

\ (- 1≤ \ الخطيئة x≤1 \) \ (- 1≤ \ cos⁡x≤1 \)

مثال . حل المعادلة \ (\ cos⁡x = -1،1 \).
المحلول: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
إجابه : لا توجد حلول.

مثال . حل المعادلة المثلثية tg \ (⁡x = 1 \).
المحلول:

حل المعادلة باستخدام دائرة الأرقام. لهذا: 1) لنبني دائرة) 2) قم ببناء المحاور \ (س \) و \ (ص \) ومحور الظل (يمر عبر النقطة \ ((0 ؛ 1) \) الموازية للمحور \ (ص \)). 3) على محور الظل ، حدد النقطة \ (1 \). 4) قم بتوصيل هذه النقطة والأصل - بخط مستقيم. 5) لاحظ نقاط تقاطع هذا الخط ودائرة الأرقام. 6) لنوقع قيم هذه النقاط: \ (\ frac (π) (4) \) ، \ (\ frac (5π) (4) \) 7) اكتب كل قيم هذه النقاط. نظرًا لأنها بالضبط \ (π \) بصرف النظر عن بعضها البعض ، يمكن كتابة جميع القيم في صيغة واحدة:

إجابه: \ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ k \) ، \ (k∈Z \).

مثال . حل المعادلة المثلثية \ (\ cos⁡ (3x + \ frac (π) (4)) = 0 \).
المحلول:

دعنا نستخدم دائرة الأرقام مرة أخرى. 1) لنقم ببناء دائرة ومحاور (س) و (ص). 2) على محور جيب التمام (المحور \ (س \)) ضع علامة \ (0 \). 3) ارسم عموديًا على محور جيب التمام من خلال هذه النقطة. 4) حدد نقاط تقاطع العمودى والدائرة. 5) لنوقع قيم هذه النقاط: \ (- \) \ (\ frac (π) (2) \)، \ (\ frac (π) (2) \). 6) لنكتب القيمة الكاملة لهذه النقاط ونعادلها بجيب التمام (إلى ما بداخل جيب التمام). \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \)، \ (k∈Z \) \ (3x + \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) \ (3x + \) \ (\ frac ( π) (4) \) (= - \) \ (\ frac (π) (2) \) (+ 2πk \) 8) كالعادة سوف نعبر عن \ (س \) في المعادلات. تذكر معالجة الأرقام باستخدام \ (π \) وكذلك \ (1 \) ، \ (2 \) ، \ (\ frac (1) (4) \) ، إلخ. هذه هي نفس الأرقام مثل كل الآخرين. لا تمييز عددي! \ (3x = - \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) \ (3x = - \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \) \ (3x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ 2πk \) \ (|: 3 \) \ (3x = - \) \ (\ frac (3π) (4) \) \ (+ 2π ك \) \ (|: 3 \) \ (x = \) \ (\ frac (π) (12) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \) \ (x = - \) \ (\ frac (π) ( 4) \) (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \)

إجابه: \ (x = \) \ (\ frac (π) (12) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \) \ (x = - \) \ (\ frac (π) ( 4) \) \ (+ \) \ (\ frac (2πk) (3) \)، \ (k∈Z \).

يعد تقليل المعادلات المثلثية إلى أبسطها مهمة إبداعية ، وهنا تحتاج إلى استخدام كل من الأساليب الخاصة لحل المعادلات:
- الطريقة (الأكثر شيوعًا في الامتحان).
- طريقة.
- طريقة الحجج المساعدة.

ضع في اعتبارك مثالاً لحل معادلة مربعة مثلثية

مثال . حل المعادلة المثلثية \ (2 \ cos ^ 2⁡x-5 \ cos⁡x + 2 = 0 \)
المحلول:

\ (2 \ cos ^ 2⁡x-5 \ cos⁡x + 2 = 0 \)	لنقم بالتغيير \ (t = \ cos⁡x \).
	أصبحت معادلتنا نموذجية. يمكنك حلها مع.
\ (D = 25-4 \ cdot 2 \ cdot 2 = 25-16 = 9 \)
\ (t_1 = \) \ (\ frac (5-3) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (1) (2) \) ؛ \ (t_2 = \) \ (\ فارك (5 + 3) (4) \) (= 2 \)	نجعل الاستبدال.
\ (\ cos⁡x = \) \ (\ frac (1) (2) \) ؛ \ (\ cos⁡x = 2 \)	نحل المعادلة الأولى باستخدام دائرة الأرقام. المعادلة الثانية ليس لها حلول منذ ذلك الحين \ (\ cos⁡x∈ [-1؛ 1] \) ولا يمكن أن تكون مساوية لاثنين لأي x.
	دعونا نكتب كل الأرقام الموجودة في هذه النقاط.

إجابه: \ (x = ± \) \ (\ frac (π) (3) \) \ (+ 2πk \)، \ (k∈Z \).

مثال على حل المعادلة المثلثية بدراسة ODZ:

مثال (USE) . حل المعادلة المثلثية \ (= 0 \)

\ (\ frac (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin (2x)) (ctg x) \)\(=0\)	يوجد كسر ويوجد ظل ظل - لذا عليك تدوينه. دعني أذكرك أن ظل التمام هو في الواقع كسر: ctg \ (x = \) \ (\ frac (\ cos⁡x) (\ sin⁡x) \) لذلك ، DPV لـ ctg \ (x \): \ (\ sin⁡x ≠ 0 \).
ODZ: ctg \ (x ≠ 0 \) ؛ \ (\ sin⁡x ≠ 0 \) \ (س ≠ ± \) \ (\ فارك (π) (2) \) \ (+ 2π ك \) ؛ \ (س ≠ π ن \) ؛ \ (ك ، n∈Z \)	لاحظ "غير الحلول" على دائرة الرقم.
\ (\ frac (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin (2x)) (ctg x) \)\(=0\)	دعنا نتخلص من المقام في المعادلة بضربه في ctg \ (x \). يمكننا القيام بذلك لأننا كتبنا أعلاه ctg \ (x ≠ 0 \).
\ (2 \ cos ^ 2⁡x- \ sin⁡ (2x) = 0 \)	طبق صيغة الزاوية المزدوجة للجيب: \ (\ sin⁡ (2x) = 2 \ sin⁡x \ cos⁡x \).
\ (2 \ cos ^ 2⁡x-2 \ sin⁡x \ cos⁡x = 0 \)	إذا مدت يديك للقسمة على جيب التمام - اسحبهما للخلف! يمكنك القسمة على تعبير به متغير إذا كان بالتأكيد لا يساوي الصفر (على سبيل المثال ، مثل: \ (x ^ 2 + 1،5 ^ x \)). بدلاً من ذلك ، نأخذ \ (\ cos⁡x \) من الأقواس.
\ (\ cos⁡x (2 \ cos⁡x-2 \ sin⁡x) = 0 \)	دعنا نقسم المعادلة إلى قسمين.
\ (\ cos⁡x = 0 \) ؛ \ (2 \ cos⁡x-2 \ sin⁡x = 0 \)	نحل المعادلة الأولى باستخدام دائرة الأرقام. اقسم المعادلة الثانية على \ (2 \) وانقل \ (\ sin⁡x \) إلى الجانب الأيمن.
\ (x = ± \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πk \)، \ (k∈Z \). \ (\ cos⁡x = \ sin⁡x \)	لم يتم تضمين الجذور التي ظهرت في ODZ. لذلك ، لن نكتبها ردًا على ذلك. المعادلة الثانية نموذجية. قسّمها على \ (\ sin⁡x \) (\ (\ sin⁡x = 0 \) لا يمكن أن تكون حلاً للمعادلة لأنه في هذه الحالة \ (\ cos⁡x = 1 \) أو \ (\ cos⁡ x = -1 \)).
	مرة أخرى نستخدم الدائرة.
\ (س = \) \ (\ فارك (π) (4) \) \ (+ n \) ، \ (n∈Z \)	لا يتم استبعاد هذه الجذور بواسطة ODZ ، لذا يمكن كتابتها كرد.

إجابه: \ (x = \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (+ n \) ، \ (n∈Z \).

المعادلات المثلثية ليست الموضوع الأسهل. إنها متنوعة بشكل مؤلم.) على سبيل المثال ، هذه:

sin2x + cos3x = ctg5x

الخطيئة (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

إلخ...

لكن هذه الوحوش المثلثية (وجميع أخرى) لها ميزتان مشتركتان وإجباريتان. أولاً - لن تصدق ذلك - هناك دوال مثلثية في المعادلات.) ثانيًا: جميع التعبيرات التي تحتوي على x هي ضمن هذه الوظائف نفسها.وفقط هناك! إذا ظهر x في مكان ما الخارج،علي سبيل المثال، sin2x + 3x = 3 ،ستكون هذه معادلة من النوع المختلط. تتطلب مثل هذه المعادلات مقاربة فردية. هنا لن نعتبرهم.

لن نحل المعادلات الشريرة في هذا الدرس أيضًا.) هنا سنتعامل معها أبسط المعادلات المثلثية.لماذا ا؟ نعم لأن القرار أيتتكون المعادلات المثلثية من مرحلتين. في المرحلة الأولى ، يتم تقليل المعادلة الشريرة إلى معادلة بسيطة من خلال التحولات المختلفة. في الثانية - تم حل هذه المعادلة الأبسط. لا توجد طريقة أخرى.

لذا ، إذا كانت لديك مشاكل في المرحلة الثانية ، فإن المرحلة الأولى لا معنى لها.)

كيف تبدو المعادلات المثلثية الأولية؟

sinx = أ

كوسكس = أ

tgx = أ

ctgx = أ

هنا لكن لتقف على أي رقم. أي.

بالمناسبة ، قد لا يكون هناك علامة x نقية داخل الوظيفة ، ولكن هناك نوع من التعبير ، مثل:

كوس (3 س + π / 3) = 1/2

إلخ. هذا يعقد الحياة ، لكنه لا يؤثر على طريقة حل المعادلة المثلثية.

كيف تحل المعادلات المثلثية؟

يمكن حل المعادلات المثلثية بطريقتين. الطريقة الأولى: استخدام المنطق والدائرة المثلثية. سوف نستكشف هذا المسار هنا. الطريقة الثانية - باستخدام الذاكرة والصيغ - سيتم النظر فيها في الدرس التالي.

الطريقة الأولى واضحة وموثوقة ويصعب نسيانها.) وهي جيدة لحل المعادلات المثلثية وعدم المساواة وجميع أنواع الأمثلة غير القياسية الصعبة. المنطق أقوى من الذاكرة!

نحل المعادلات باستخدام دائرة مثلثية.

نقوم بتضمين المنطق الأولي والقدرة على استخدام الدائرة المثلثية. ألا يمكنك !؟ ومع ذلك ... سيكون من الصعب عليك في علم المثلثات ...) لكن هذا لا يهم. الق نظرة على الدروس "الدائرة المثلثية ...... ما هي؟" و "عد الزوايا على دائرة مثلثية." كل شيء بسيط هناك. على عكس الكتب المدرسية ...)

آه ، أنت تعلم !؟ وحتى يتقن "العمل العملي مع الدائرة المثلثية" !؟ تقبل التهاني. سيكون هذا الموضوع قريبًا ومفهومًا بالنسبة لك.) الأمر الممتع بشكل خاص هو أن الدائرة المثلثية لا تهتم بالمعادلة التي تحلها. الجيب وجيب التمام والظل والظل - كل شيء هو نفسه بالنسبة له. مبدأ الحل هو نفسه.

إذن ، نأخذ أي معادلة مثلثية أولية. على الأقل هذا:

كوسكس = 0.5

أحتاج أن أجد X. التحدث بلغة بشرية ، أنت بحاجة أوجد الزاوية (x) التي يساوي جيب تمامها 0.5.

كيف استخدمنا الدائرة من قبل؟ رسمنا زاوية عليها. بالدرجات أو بالتقدير الدائري. وعلى الفور رأيت الدوال المثلثية لهذه الزاوية. الآن دعونا نفعل العكس. ارسم جيب التمام يساوي 0.5 على الدائرة وعلى الفور سوف نرى حقنة. يبقى فقط كتابة الإجابة.) نعم ، نعم!

نرسم دائرة ونضع علامة على جيب التمام يساوي 0.5. على محور جيب التمام بالطبع. مثله:

لنرسم الآن الزاوية التي يعطينا جيب التمام هذا. حرك الماوس فوق الصورة (أو المس الصورة على الكمبيوتر اللوحي) ، و يرىهذه الزاوية نفسها X.

أي زاوية لها جيب تمام 0.5؟

س \ u003d π / 3

كوس 60 درجة= كوس ( π / 3) = 0,5

بعض الناس سوف يتذمرون متشككين ، نعم ... يقولون ، هل كان الأمر يستحق العناء لتسييج الدائرة ، عندما يكون كل شيء واضحًا على أي حال ... يمكنك ، بالطبع ، النخر ...) ولكن الحقيقة هي أن هذا خطأ إجابه. أو بالأحرى غير ملائم. يفهم خبراء الدائرة أنه لا تزال هناك مجموعة كاملة من الزوايا التي تعطي أيضًا جيب تمام يساوي 0.5.

إذا قمت بإدارة الجانب المتحرك OA لدور كامل، ستعود النقطة A إلى موضعها الأصلي. بنفس جيب التمام يساوي 0.5. أولئك. ستتغير الزاوية 360 درجة أو 2π راديان ، و جيب التمام ليس كذلك.ستكون الزاوية الجديدة 60 درجة + 360 درجة = 420 درجة أيضًا حلًا لمعادلتنا ، لأن

هناك عدد لا حصر له من هذه الدورات الكاملة ... وستكون كل هذه الزوايا الجديدة حلولاً لمعادلتنا المثلثية. وكلهم بحاجة إلى تدوينهم بطريقة ما. كل شئ.خلاف ذلك ، لا يتم النظر في القرار ، نعم ...)

يمكن للرياضيات أن تفعل هذا ببساطة وأنيقة. في إجابة قصيرة واحدة ، اكتب مجموعة لانهائيةحلول. إليك ما تبدو عليه معادلتنا:

س = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

سوف أفك. ما زلت أكتب بشكل هادفأجمل من رسم بعض الحروف الغامضة بغباء ، أليس كذلك؟)

π / 3 هي نفس الزاوية التي نحن منشارعلى الدائرة و المحددةوفقًا لجدول جيب التمام.

2π دورة كاملة بالتقدير الدائري.

ن - هذا هو عدد الاكتمال ، أي كاملالثورات. فمن الواضح أن ن يمكن أن يكون 0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 .... وهكذا. كما يتضح من الإدخال القصير:

ن ∈ Z

ن ينتمي ( ∈ ) إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ( ض ). بالمناسبة ، بدلا من الحرف ن يمكن استخدام الحروف ك ، م ، ر إلخ.

هذا الترميز يعني أنه يمكنك أخذ أي عدد صحيح ن . -3 على الأقل ، 0 على الأقل ، +55 على الأقل. ماذا تريد. إذا أدخلت هذا الرقم في إدخال الإجابة ، فستحصل على زاوية محددة ، والتي من المؤكد أنها ستكون الحل لمعادلتنا القاسية.)

أو بعبارة أخرى ، س \ u003d π / 3 هو الجذر الوحيد لمجموعة لانهائية. للحصول على جميع الجذور الأخرى ، يكفي إضافة أي عدد من الدورات الكاملة إلى π / 3 ( ن ) بالتقدير الدائري. أولئك. 2πn راديان.

كل شئ؟ رقم. أنا على وجه التحديد أمد المتعة. لنتذكر بشكل أفضل.) تلقينا جزءًا فقط من إجابات معادلتنا. سأكتب هذا الجزء الأول من الحل على النحو التالي:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

× 1 - ليس جذرًا واحدًا ، إنه سلسلة كاملة من الجذور ، مكتوبة بصيغة مختصرة.

لكن هناك زوايا أخرى تعطي جيب تمام يساوي 0.5!

دعنا نعود إلى صورتنا ، والتي بموجبها كتبنا الإجابة. ها هي:

حرك الماوس فوق الصورة و يرىزاوية أخرى يعطي أيضًا جيب تمام 0.5.ما رأيك أنه يساوي؟ المثلثات هي نفسها .. نعم! إنها تساوي الزاوية X ، فقط في الاتجاه السلبي. هذه هي الزاوية -X. لكننا قمنا بالفعل بحساب x. π / 3 أو 60 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:

× 2 \ u003d - π / 3

وبالطبع نضيف كل الزوايا التي تم الحصول عليها من خلال المنعطفات الكاملة:

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شيء الآن.) في الدائرة المثلثية ، نحن منشار(من يفهم طبعا)) الكلالزوايا التي تعطي جيب تمام يساوي 0.5. وكتبوا هذه الزوايا بصيغة رياضية قصيرة. الجواب هو مجموعتان لا حصر لهما من الجذور:

س 1 = π / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = - / 3 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا هو الجواب الصحيح.

آمل أن، المبدأ العام لحل المعادلات المثلثيةبمساعدة دائرة أمر مفهوم. نحدد جيب التمام (الجيب ، الظل ، ظل التمام) من المعادلة المعطاة على الدائرة ، ونرسم الزوايا المقابلة ونكتب الإجابة.بالطبع ، أنت بحاجة إلى معرفة أي نوع من الزوايا نحن منشارعلى الدائرة. في بعض الأحيان لا يكون الأمر واضحًا جدًا. حسنًا ، كما قلت ، المنطق مطلوب هنا.)

على سبيل المثال ، دعنا نحلل معادلة مثلثية أخرى:

يرجى ملاحظة أن الرقم 0.5 ليس الرقم الوحيد الممكن في المعادلات!) إنه مناسب لي أكثر من كتابته من الجذور والكسور.

نعمل وفق المبدأ العام. نرسم دائرة ، ونضع علامة (على محور الجيب ، بالطبع!) 0.5. نرسم مرة واحدة كل الزوايا المقابلة لهذا الجيب. نحصل على هذه الصورة:

دعونا نتعامل مع الزاوية أولاً. X في الربع الأول. نتذكر جدول الجيب ونحدد قيمة هذه الزاوية. الأمر بسيط:

س \ u003d π / 6

نتذكر المنعطفات الكاملة ، وبضمير مرتاح ، نكتب أول سلسلة من الإجابات:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

تم الانتهاء من نصف العمل. الآن نحن بحاجة إلى تحديد الزاوية الثانية ...هذا أصعب مما هو عليه في جيب التمام ، نعم ... لكن المنطق سينقذنا! كيفية تحديد الزاوية الثانية من خلال x؟ نعم سهل! المثلثات في الصورة هي نفسها ، والركن الأحمر هو نفسه X يساوي الزاوية X . فقط يُحسب من الزاوية π في الاتجاه السلبي. هذا هو السبب في أنها حمراء.) وللحصول على الإجابة ، نحتاج إلى قياس زاوية بشكل صحيح من المحور شبه الموجب OX ، أي بزاوية 0 درجة.

حرك المؤشر فوق الصورة وشاهد كل شيء. أزلت الزاوية الأولى حتى لا تعقد الصورة. ستكون الزاوية التي تهمنا (المرسومة باللون الأخضر) مساوية لـ:

π - س

س نحن نعرف ذلك π / 6 . إذن ستكون الزاوية الثانية:

π - / 6 = 5π / 6

مرة أخرى ، نتذكر إضافة الثورات الكاملة ونكتب السلسلة الثانية من الإجابات:

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

هذا كل شئ. تتكون الإجابة الكاملة من سلسلتين من الجذور:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

يمكن حل المعادلات ذات الظل والتظل بسهولة باستخدام نفس المبدأ العام لحل المعادلات المثلثية. ما لم تعرف ، بالطبع ، كيفية رسم الظل والظل على دائرة مثلثية.

في الأمثلة أعلاه ، استخدمت القيمة الجدولية للجيب وجيب التمام: 0.5. أولئك. أحد تلك المعاني التي يعرفها الطالب يجب.الآن دعونا نوسع قدراتنا إلى كل القيم الأخرى.قرر ، لذا قرر!)

لذلك ، لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة المثلثية التالية:

لا توجد مثل هذه القيمة لجيب التمام في الجداول القصيرة. نتجاهل ببرود هذه الحقيقة الرهيبة. نرسم دائرة ونضع علامة 2/3 على محور جيب التمام ونرسم الزوايا المقابلة. لقد حصلنا على هذه الصورة.

نحن نفهم ، بالنسبة للمبتدئين ، بزاوية في الربع الأول. لمعرفة ما يساوي x ، سيكتبون الإجابة على الفور! لا نعرف ... فشل !؟ هدوء! الرياضيات لا تترك نفسها في مأزق! اخترعت جيب التمام القوسي لهذه الحالة. لا أعلم؟ بلا فائدة. اكتشف. إنه أسهل بكثير مما تعتقد. وفقًا لهذا الرابط ، لا توجد تعويذة واحدة صعبة حول "الدوال المثلثية العكسية" ... إنها غير ضرورية في هذا الموضوع.

إذا كنت تعرف ، فقط قل لنفسك ، "X هي زاوية جيب تمامها 2/3." وعلى الفور ، من خلال تعريف قوس القوس ، يمكننا أن نكتب:

نتذكر الثورات الإضافية ونكتب بهدوء السلسلة الأولى من جذور معادلتنا المثلثية:

س 1 = arccos 2/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

يتم أيضًا كتابة السلسلة الثانية من الجذور تلقائيًا تقريبًا للزاوية الثانية. كل شيء هو نفسه ، فقط x (arccos 2/3) ستكون مع سالب:

س 2 = - arccos 2/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

وكل الاشياء! هذا هو الجواب الصحيح. حتى أسهل من القيم المجدولة. لا تحتاج إلى تذكر أي شيء.) بالمناسبة ، سيلاحظ الأكثر انتباهاً أن هذه الصورة مع الحل من خلال جيب التمام القوسي أساسا لا يختلف عن الصورة ل معادلات كوسس = 0.5.

بالضبط! المبدأ العام في ذلك والعام! لقد رسمت على وجه التحديد صورتين متطابقتين تقريبًا. تبين لنا الدائرة الزاوية X بجيب التمام. إنه جيب تمام جدولي ، أم لا - لا تعرف الدائرة. أي نوع من الزاوية هذه ، π / 3 ، أو أي نوع من قوس جيب التمام علينا أن نقرره.

مع نفس الأغنية. علي سبيل المثال:

مرة أخرى نرسم دائرة ، ونضع علامة على الجيب يساوي 1/3 ، ونرسم الزوايا. اتضح هذه الصورة:

ومرة أخرى ، فإن الصورة هي نفسها تقريبًا كما في المعادلة sinx = 0.5.مرة أخرى نبدأ من الزاوية في الربع الأول. ما الذي يساوي x إذا كان الجيب يساوي 1/3؟ لا مشكلة!

لذا فإن أول حزمة من الجذور جاهزة:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n، n ∈ Z

لنلق نظرة على الزاوية الثانية. في المثال ذي قيمة الجدول 0.5 ، كانت تساوي:

π - س

حتى هنا سيكون هو نفسه بالضبط! فقط x هي مختلفة ، arcsin 1/3. وماذا في ذلك!؟ يمكنك كتابة الحزمة الثانية من الجذور بأمان:

س 2 = - قوسين 1/3 + 2π ن ، ن ∈ Z

هذه إجابة صحيحة تمامًا. على الرغم من أنها لا تبدو مألوفة للغاية. لكن هذا مفهوم ، كما آمل.)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات المثلثية باستخدام الدائرة. هذا المسار واضح ومفهوم. هو الذي يحفظ المعادلات المثلثية باختيار الجذور في فترة زمنية معينة ، في عدم المساواة المثلثية - يتم حلها بشكل عام تقريبًا في دائرة. باختصار ، في أي مهام تكون أكثر تعقيدًا بقليل من المهام القياسية.

وضع المعرفة موضع التنفيذ؟

حل المعادلات المثلثية:

في البداية يكون الأمر أبسط ، مباشرة في هذا الدرس.

الآن الأمر أكثر صعوبة.

تلميح: هنا عليك التفكير في الدائرة. شخصيا.)

والآن متواضع ظاهريًا ... ويطلق عليهم أيضًا حالات خاصة.

sinx = 0

sinx = 1

كوسكس = 0

كوسكس = -1

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة في دائرة حيث توجد سلسلتان من الإجابات ، وأين توجد واحدة ... وكيفية كتابة سلسلة واحدة بدلاً من سلسلتين من الإجابات. نعم ، حتى لا يتم فقد جذر واحد من عدد لا نهائي!)

حسنًا ، بسيط جدًا):

sinx = 0,3

كوسكس = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة ما هو القوسين ، القوسين؟ ما هو قوس الظل ، قوس الظل؟ أبسط التعاريف. لكنك لست بحاجة إلى تذكر أي قيم جدولة!)

الإجابات ، بالطبع ، في حالة من الفوضى):

× 1= arcsin0،3 + 2πn، n ∈ Z
× 2= π - قوسين 0.3 + 2

لا يعمل كل شيء؟ يحدث ذلك. اقرأ الدرس مرة أخرى. فقط بعناية(هناك مثل هذه الكلمة التي عفا عليها الزمن ...) واتبع الروابط. الروابط الرئيسية تدور حول الدائرة. بدونها في علم المثلثات - كيفية عبور الطريق معصوب العينين. في بعض الأحيان يعمل.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

أبسط المعادلات المثلثية هي المعادلات

Cos (x) = a، sin (x) = a، tg (x) = a، ctg (x) = a

المعادلة cos (x) = a

الشرح والمبررات

1. الجذور معادلات كوكس= أ. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | كوسكس |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

دع | أ |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. في الفترة الزمنية ، تقل الدالة y = cos x من 1 إلى -1. لكن الدالة المتناقصة تأخذ كل من قيمها عند نقطة واحدة فقط من مجال تعريفها ، وبالتالي فإن المعادلة cos x \ u003d a لها جذر واحد فقط في هذه الفترة الزمنية ، والتي ، حسب تعريف قوس جيب التمام ، هي: x 1 \ u003d arccos a (ولهذا الجذر cos x \ u003d لكن).

جيب التمام - دالة زوجية، وهكذا في الفاصل الزمني [-n ؛ 0] المعادلة cos x = ولها أيضًا جذر واحد فقط - وهو الرقم المقابل لـ x 1 ، أي

× 2 = -اركوس أ.

وهكذا ، على الفاصل الزمني [-n ؛ n] (الطول 2n) المعادلة cos x = a لـ | أ |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

الدالة y = cos x دورية بفترة 2n ، لذلك تختلف كل الجذور الأخرى عن تلك الموجودة في 2np (n € Z). نحصل على الصيغة التالية لجذور المعادلة cos x = a عندما

س = ± arccos a + 2n ، n £ Z.

1. حالات خاصة لحل المعادلة cosx = a.

من المفيد تذكر الترميز الخاص لجذور المعادلة cos x = a عندما

أ \ u003d 0 ، أ \ u003d -1 ، أ \ u003d 1 ، والتي يمكن الحصول عليها بسهولة باستخدام دائرة الوحدة كدليل.

بما أن جيب التمام يساوي حدود النقطة المقابلة دائرة الوحدة، نحصل على cos x = 0 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة A أو النقطة B.

وبالمثل ، cos x = 1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة C ،

س = 2πp ، ك € Z.

أيضًا cos x \ u003d -1 إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة لدائرة الوحدة هي النقطة D ، وبالتالي x \ u003d n + 2n ،

المعادلة sin (x) = a

الشرح والمبررات

1. الجذور معادلات sinx= أ. متى | أ | > 1 المعادلة ليس لها جذور لأن | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 أو في أ< -1 не пересекает график функции y = sinx).

مفهوم حل المعادلات المثلثية.

• لحل المعادلة المثلثية ، قم بتحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. حل المعادلة المثلثية يأتي في النهاية إلى حل المعادلات المثلثية الأساسية الأربعة.

حل المعادلات المثلثية الأساسية.

• هناك 4 أنواع من المعادلات المثلثية الأساسية:
• الخطيئة س = أ ؛ كوس س = أ
• تان س = أ ؛ ctg x = أ
• يتضمن حل المعادلات المثلثية الأساسية النظر إلى مواضع x المختلفة على دائرة الوحدة ، بالإضافة إلى استخدام جدول تحويل (أو آلة حاسبة).
• مثال 1. sin x = 0.866. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = π / 3. دائرة الوحدة تعطي إجابة أخرى: 2π / 3. تذكر: جميع الدوال المثلثية دورية ، أي أن قيمها تتكرر. على سبيل المثال ، دورية كل من sin x و cos x هي 2πn ، ودورية tg x و ctg x هي πn. إذن الجواب مكتوب على النحو التالي:
• x1 = π / 3 + 2πn ؛ x2 = 2π / 3 + 2πn.
• مثال 2 cos x = -1/2. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = 2π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: -2π / 3.
• س 1 = 2π / 3 + 2π ؛ x2 = -2π / 3 + 2π.
• مثال 3. tg (x - π / 4) = 0.
• الجواب: س \ u003d π / 4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• الجواب: س \ u003d π / 12 + πn.

التحويلات المستخدمة في حل المعادلات المثلثية.

• لتحويل المعادلات المثلثية ، يتم استخدام التحويلات الجبرية (العوملة ، الاختزال أعضاء متجانسينالخ) والهويات المثلثية.
• مثال 5. باستخدام المتطابقات المثلثية ، يتم تحويل المعادلة sin x + sin 2x + sin 3x = 0 إلى المعادلة 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. وهكذا ، فإن المعادلات المثلثية الأساسية التالية تحتاج إلى حل: cos x = 0 ؛ الخطيئة (3x / 2) = 0 ؛ كوس (س / 2) = 0.

• إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف.

  • قبل أن تتعلم كيفية حل المعادلات المثلثية ، عليك أن تتعلم كيفية إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف. يمكن القيام بذلك باستخدام جدول تحويل أو آلة حاسبة.
  • مثال: cos x = 0.732. ستعطي الآلة الحاسبة الإجابة س = 42.95 درجة. ستعطي دائرة الوحدة زوايا إضافية ، وجيب تمامها يساوي أيضًا 0.732.

• ضع المحلول على دائرة الوحدة جانبًا.

  • يمكنك وضع حلول للمعادلة المثلثية على دائرة الوحدة. حلول المعادلة المثلثية على دائرة الوحدة هي رؤوس المضلع المنتظم.
  • مثال: الحلول x = π / 3 + n / 2 على دائرة الوحدة هي رؤوس المربع.
  • مثال: الحلول x = π / 4 + n / 3 على دائرة الوحدة هي رؤوس شكل سداسي منتظم.

• طرق حل المعادلات المثلثية.

  • إذا كانت المعادلة المثلثية تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط ، فقم بحل هذه المعادلة باعتبارها معادلة مثلثية أساسية. إذا تضمنت هذه المعادلة وظيفتين أو أكثر من الوظائف المثلثية ، فهناك طريقتان لحل هذه المعادلة (اعتمادًا على إمكانية تحويلها).
    • طريقة 1
  • حول هذه المعادلة إلى معادلة بالشكل: f (x) * g (x) * h (x) = 0 ، حيث f (x) ، g (x) ، h (x) هي المعادلات المثلثية الأساسية.
  • مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • المحلول. باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة sin 2x = 2 * sin x * cos x ، استبدل sin 2x.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: cos 2x (2cos x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8. sin x - sin 3x \ u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
    • الطريقة الثانية
  • حول المعادلة المثلثية المقدمة إلى معادلة تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط. ثم استبدل هذه الدالة المثلثية ببعضها غير المعروفة ، على سبيل المثال ، t (sin x = t ؛ cos x = t ؛ cos 2x = t ، tg x = t ؛ tg (x / 2) = t ، إلخ).
  • مثال 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • المحلول. في معادلة معينةاستبدل (cos ^ 2 x) بـ (1 - sin ^ 2 x) (حسب الهوية). تبدو المعادلة المحولة كما يلي:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. استبدل sin x بـ t. المعادلة الآن هي: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. هذا هو معادلة من الدرجة الثانية، الذي له جذران: t1 = -1 و t2 = 9/5. لا يفي الجذر الثاني t2 بنطاق الوظيفة (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • المحلول. استبدل tg x بـ t. أعد كتابة المعادلة الأصلية كما يلي: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. الآن أوجد t ثم أوجد x لـ t = tg x.