دعونا نعطي نظام إحداثيات مستطيل.

نظرية 1.1.لأي نقطتين M 1 (x 1 ؛ y 1) و M 2 (x 2 ؛ y 2) من المستوى ، يتم التعبير عن المسافة d بينهما بواسطة الصيغة

دليل - إثبات.دعونا نسقط من النقطتين M 1 و M 2 العمودين M 1 B و M 2 A ، على التوالي

على محوري Oy و Ox وقم بالإشارة بواسطة K نقطة تقاطع الخطين M 1 B و M 2 A (الشكل 1.4). الحالات التالية ممكنة:

1) النقاط M 1 و M 2 و K مختلفة. من الواضح أن إحداثيات النقطة K هي (x 2 ؛ y 1). من السهل ملاحظة أن M 1 K = ôx 2 - x 1 ô، M 2 K = ôy 2 - y 1 ô. لان ∆M 1 KM 2 مستطيل ، ثم بواسطة نظرية فيثاغورس d = M 1 M 2 = = .

2) النقطة K تتطابق مع النقطة M 2 ، لكنها تختلف عن النقطة M 1 (الشكل 1.5). في هذه الحالة ص 2 = ص 1

و د \ u003d M 1 M 2 \ u003d M 1 K \ u003d ôx 2 - x 1 ô \ u003d =

3) النقطة K تتطابق مع النقطة M 1 ، لكنها تختلف عن النقطة M 2. في هذه الحالة x 2 = x 1 و d =

M 1 M 2 \ u003d KM 2 \ u003d ôy 2 - y 1 ô \ u003d = .

4) النقطة M 2 تتطابق مع النقطة M 1. ثم x 1 \ u003d x 2 و y 1 \ u003d y 2 و

د \ u003d M 1 M 2 \ u003d O \ u003d.

تقسيم الجزء في هذا الصدد.

دع الجزء التعسفي M 1 M 2 يُعطى على المستوى والسماح لـ M أن تكون أي نقطة من هذا

غير النقطة M 2 (الشكل 1.6). الرقم l المحدد بواسطة المساواة l = ، يسمى سلوك،حيث تقسم النقطة M المقطع M 1 M 2.

نظرية 1.2.إذا كانت النقطة M (x ؛ y) تقسم المقطع M 1 M 2 بالنسبة إلى l ، فإن إحداثيات هذا يتم تحديدها بواسطة الصيغ

س = ، ص = , (4)

حيث (x 1 ؛ y 1) هي إحداثيات النقطة M 1 ، (x 2 ؛ y 2) هي إحداثيات النقطة M 2.

دليل - إثبات.دعونا نثبت أول الصيغ (4). تم إثبات الصيغة الثانية بالمثل. هناك حالتان ممكنتان.

س = س 1 = = = .

2) الخط المستقيم M 1 M 2 ليس عموديًا على محور الثور (الشكل 1.6). دعنا نسقط الخطوط العمودية من النقاط M 1 ، M ، M 2 على المحور Ox ونشير إلى نقاط تقاطعها مع المحور Ox على التوالي P 1 ، P ، P 2. حسب نظرية المقاطع المتناسبة = ل.

لان P 1 P \ u003d ôx - x 1 ô ، PP 2 \ u003d ôx 2 - xô والأرقام (x - x 1) و (x 2 - x) لها نفس العلامة (لـ x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >× 2 سالبة) ، إذن

ل == ,

x - x 1 \ u003d l (x 2 - x) ، x + lx \ u003d x 1 + lx 2 ،

س = .

النتيجة الطبيعية 1.2.1.إذا كانت M 1 (x 1 ؛ y 1) و M 2 (x 2 ؛ y 2) نقطتان تعسفيتان والنقطة M (x ؛ y) هي نقطة منتصف المقطع M 1 M 2 ، إذن

س = ، ص = (5)

دليل - إثبات.منذ M 1 M = M 2 M ، ثم l = 1 وبالصيغ (4) نحصل على الصيغ (5).

مساحة المثلث.

نظرية 1.3.لأية نقاط A (x 1؛ y 1)، B (x 2؛ y 2) and C (x 3؛ y 3) التي لا تقع على نفس الشيء

الخط المستقيم ، يتم التعبير عن المساحة S للمثلث ABC بالصيغة

S \ u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

دليل - إثبات.المنطقة ∆ ABC موضحة في الشكل. 1.7 ، نحسب على النحو التالي

S ABC \ u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

احسب مساحة شبه المنحرف:

S-ADEC =
,

SBCEF =

S ABFD =

الآن لدينا

S ABC \ u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \ u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \ u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \ u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \ u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \ u003d ((x 1 - x 3) (ص 2 - ص 1) + (س 1 - س 2) (ص 1 - ص 3)) \ u003d ((س 2 - س 1) (ص 3 - ص 1) -

- (× 3 - × 1) (ص 2 - ص 1)).

بالنسبة لموقع آخر ABC ، ​​تم إثبات الصيغة (6) بالمثل ، ولكن يمكن الحصول عليها بعلامة "-". لذلك ، في الصيغة (6) ضع علامة المقياس.

محاضرة 2

معادلة الخط المستقيم على المستوى: معادلة الخط المستقيم بالمعامل الرئيسي ، المعادلة العامة للخط المستقيم ، معادلة الخط المستقيم في القطع ، معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين. الزاوية بين الخطوط وشروط التوازي وعمودية الخطوط على المستوى.

2.1. دع نظام إحداثيات مستطيل وبعض الخط L على المستوى.

التعريف 2.1.يتم استدعاء معادلة من النموذج F (x ؛ y) = 0 تتعلق بالمتغيرين x و y معادلة الخط L(في نظام إحداثيات معين) إذا تم استيفاء هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة ملقاة على الخط L ، وليس بإحداثيات أي نقطة غير ملقاة على هذا الخط.

أمثلة على معادلات الخطوط على المستوى.

1) النظر في خط مستقيم مواز للمحور Oy لنظام إحداثيات مستطيل (الشكل 2.1). دعونا نشير بالحرف A نقطة تقاطع هذا الخط مع المحور Ox ، (a ؛ o) ─ الخاص به أو-

دينات. المعادلة س = أ هي معادلة الخط المعطى. في الواقع ، يتم تلبية هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة م (أ ؛ ص) من هذا الخط وليس بإحداثيات أي نقطة لا تقع على الخط. إذا كانت a = 0 ، فإن الخط يتطابق مع محور Oy ، الذي يحتوي على المعادلة x = 0.

2) تحدد المعادلة x - y \ u003d 0 مجموعة النقاط في المستوى التي تشكل منصف زوايا الإحداثيات I و III.

3) المعادلة x 2 - y 2 \ u003d 0 هي معادلة اثنين من منصف زوايا الإحداثيات.

4) المعادلة x 2 + y 2 = 0 تحدد نقطة واحدة O (0 ؛ 0) على المستوى.

5) المعادلة x 2 + y 2 \ u003d 25 هي معادلة دائرة نصف قطرها 5 متمركزة في الأصل.

تتميز كل نقطة أ من المستوي بإحداثياتها (س ، ص). تتطابق مع إحداثيات المتجه 0A ، الخارجة من النقطة 0 - الأصل.

لنفترض أن A و B نقطتان تعسفيتان للطائرة ذات إحداثيات (x 1 y 1) و (x 2، y 2) على التوالي.

ثم من الواضح أن المتجه AB له الإحداثيات (× 2 - × 1 ، ص 2 - ص 1). من المعروف أن مربع طول المتجه يساوي مجموع مربعات إحداثياته. لذلك ، المسافة d بين النقطتين A و B ، أو ما هو نفسه ، طول المتجه AB ، يتم تحديدها من الحالة

د 2 \ u003d (س 2 - س 1) 2 + (ص 2 - ص 1) 2.

$$ d = \ sqrt ((x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2) $$

تسمح لك الصيغة الناتجة بإيجاد المسافة بين أي نقطتين على المستوى ، إذا كانت إحداثيات هذه النقاط معروفة فقط

في كل مرة ، عند الحديث عن إحداثيات نقطة واحدة أو أخرى على المستوى ، فإننا نفكر في نظام إحداثيات محدد جيدًا x0y. بشكل عام ، يمكن اختيار نظام الإحداثيات على المستوى بطرق مختلفة. لذلك ، بدلاً من نظام الإحداثيات x0y ، يمكننا اعتبار نظام إحداثيات x y ، والذي يتم الحصول عليه من خلال تدوير محاور الإحداثيات القديمة حول نقطة البداية 0 عكس عقارب الساعهالسهام في الزاوية α .

إذا كانت نقطة ما من المستوى في نظام الإحداثيات x0y تحتوي على إحداثيات (x ، y) ، ففي نظام الإحداثيات الجديد x-y "سيكون لها إحداثيات أخرى (x"، y ").

كمثال ، ضع في اعتبارك النقطة M الواقعة على المحور 0x 'والمتباعدة من النقطة 0 على مسافة تساوي 1.

من الواضح أن إحداثيات هذه النقطة في نظام الإحداثيات x0y (cos α ، خطيئة α ), and in the coordinate system хִу’ the coordinates are (1,0).

تعتمد إحداثيات أي نقطتين في المستوى A و B على كيفية ضبط نظام الإحداثيات في هذا المستوى. و هنا لا تعتمد المسافة بين هذه النقاط على كيفية تحديد نظام الإحداثيات .

مواد اخرى

الرياضيات

§2. إحداثيات النقطة على المستوى

3. المسافة بين نقطتين.

نحن نعرف الآن كيف نتحدث عن النقاط بلغة الأرقام. على سبيل المثال ، لم نعد بحاجة إلى التوضيح: خذ نقطة ثلاث وحدات على يمين المحور وخمس وحدات أسفل المحور. يكفي أن نقول ببساطة: خذ نقطة.

لقد قلنا بالفعل أن هذا يخلق مزايا معينة. لذلك ، يمكننا إرسال رسم مكون من نقاط عن طريق التلغراف ، ونقله إلى جهاز كمبيوتر لا يفهم الرسومات على الإطلاق ، ولكنه يفهم الأرقام جيدًا.

في الفقرة السابقة ، حددنا بعض مجموعات النقاط على المستوى باستخدام العلاقات بين الأرقام. الآن دعونا نحاول أن نترجم باستمرار المفاهيم والحقائق الهندسية الأخرى إلى لغة الأرقام.

سنبدأ بمهمة بسيطة ومشتركة.

أوجد المسافة بين نقطتين على المستوى.

قرار:
كالعادة ، نفترض أن النقاط مأخوذة من إحداثياتها ، ومن ثم تتمثل مهمتنا في إيجاد قاعدة يمكننا بواسطتها حساب المسافة بين النقطتين ، مع معرفة إحداثياتها. عند اشتقاق هذه القاعدة ، بالطبع ، يُسمح باللجوء إلى الرسم ، لكن القاعدة نفسها يجب ألا تحتوي على أي إشارات إلى الرسم ، ولكن يجب أن تُظهر فقط الإجراءات والترتيب الذي يجب تنفيذه على الأرقام المعينة - الإحداثيات من النقاط للحصول على الرقم المطلوب - المسافة بين النقاط.

ربما سيجد بعض القراء هذا النهج لحل المشكلة غريبًا وبعيد المنال. سيقولون ما هو أبسط ، يتم إعطاء النقاط ، حتى لو كانت إحداثيات. ارسم هذه النقاط ، خذ مسطرة وقس المسافة بينهما.

هذه الطريقة في بعض الأحيان ليست سيئة للغاية. ومع ذلك ، تخيل مرة أخرى أنك تتعامل مع جهاز كمبيوتر. ليس لديها مسطرة ولا ترسم ، لكنها تستطيع العد بسرعة بحيث لا يمثل ذلك مشكلة بالنسبة لها على الإطلاق. لاحظ أنه تم إعداد مهمتنا بحيث تتكون قاعدة حساب المسافة بين نقطتين من أوامر يمكن للجهاز تنفيذها.

من الأفضل حل المشكلة في البداية للحالة المعينة عندما تكمن إحدى النقاط المعطاة في الأصل. ابدأ ببعض الأمثلة العددية: ابحث عن المسافة من أصل النقاط ؛ و .

تعليمات. استخدم نظرية فيثاغورس.

اكتب الآن صيغة عامة لحساب مسافة نقطة من الأصل.

يتم تحديد مسافة النقطة من الأصل بواسطة الصيغة:

من الواضح أن القاعدة المعبر عنها بهذه الصيغة تفي بالشروط المذكورة أعلاه. على وجه الخصوص ، يمكن استخدامه في الحوسبة على الأجهزة التي يمكنها مضاعفة الأرقام وإضافتها وأخذ جذور تربيعية.

الآن دعونا نحل المشكلة العامة

أعطيت نقطتين على مستوى وأوجد المسافة بينهما.

قرار:
قم بالإشارة بواسطة ، ، ، إسقاطات النقاط وعلى محاور الإحداثيات.

سيتم الإشارة إلى نقطة تقاطع الخطوط بالحرف. من مثلث قائم الزاوية ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، نحصل على:

لكن طول المقطع يساوي طول المقطع. النقاط و ، تقع على المحور ولها إحداثيات و ، على التوالي. وفقًا للصيغة التي تم الحصول عليها في الفقرة 3 من الفقرة 2 ، تكون المسافة بينهما.

وبالمثل ، نجد أن طول القطعة يساوي. استبدال القيم الموجودة في الصيغة التي نحصل عليها.

غالبًا ما يكون حل المشكلات في الرياضيات للطلاب مصحوبًا بالعديد من الصعوبات. لمساعدة الطالب على التغلب على هذه الصعوبات ، وكذلك لتعليمه كيفية تطبيق معرفته النظرية في حل مشاكل معينة في جميع أقسام مقرر موضوع "الرياضيات" هو الغرض الأساسي من موقعنا.

عند البدء في حل المشكلات المتعلقة بالموضوع ، يجب أن يكون الطلاب قادرين على بناء نقطة على مستوى وفقًا لإحداثياتها ، وكذلك العثور على إحداثيات نقطة معينة.

يتم حساب المسافة بين نقطتين مأخوذتين على المستوى A (x A ؛ y A) و B (x B ؛ y B) بواسطة الصيغة د \ u003d √ ((س أ - س ب) 2 + (ص أ - ص ب) 2)، حيث d هو طول المقطع الذي يربط هذه النقاط على المستوى.

إذا تزامن أحد طرفي المقطع مع الأصل ، والآخر له إحداثيات M (x M ؛ y M) ، فإن صيغة حساب d ستأخذ الصيغة OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. حساب المسافة بين نقطتين بإحداثيات هذه النقاط

مثال 1.

أوجد طول القطعة التي تربط النقطتين A (2 ؛ -5) و B (-4 ؛ 3) على مستوى الإحداثيات (الشكل 1).

قرار.

حالة المشكلة معطاة: x A = 2؛ س ب \ u003d -4 ؛ y A = -5 و y B = 3. أوجد d.

بتطبيق الصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) ، نحصل على:

د \ u003d AB \ u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \ u003d 10.

2. حساب إحداثيات نقطة متساوية البعد عن ثلاث نقاط معينة

مثال 2

أوجد إحداثيات النقطة O 1 ، التي تقع على مسافة متساوية من النقاط الثلاث A (7 ؛ -1) و B (-2 ؛ 2) و C (-1 ؛ -5).

قرار.

من صياغة حالة المشكلة ، يتبع ذلك O 1 A \ u003d O 1 B \ u003d O 1 C. دع النقطة المرغوبة O 1 لها إحداثيات (أ ؛ ب). وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

O 1 A \ u003d √ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) ؛

O 1 V \ u003d √ ((أ + 2) 2 + (ب - 2) 2) ؛

O 1 C \ u003d √ ((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

نؤلف نظامًا من معادلتين:

(√ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) = √ ((أ + 2) 2 + (ب - 2) 2) ،
(√ ((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2) = √ ((أ + 1) 2 + (ب + 5) 2).

بعد تربيع الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلات نكتب:

((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2 \ u003d (أ + 2) 2 + (ب - 2) 2 ،
((أ - 7) 2 + (ب + 1) 2 = (أ + 1) 2 + (ب + 5) 2.

التبسيط نكتب

(-3 أ + ب + 7 = 0 ،
(-2 أ - ب + 3 = 0.

بعد حل النظام ، نحصل على: أ = 2 ؛ ب = -1.

النقطة O 1 (2 ؛ -1) هي على مسافة متساوية من النقاط الثلاث الواردة في الحالة التي لا تقع على خط مستقيم واحد. هذه النقطة هي مركز دائرة تمر عبر ثلاث نقاط معينة. (الصورة 2).

3. حساب الحد الفاصل (الإحداثي) لنقطة تقع على المحور (الإحداثي) وتكون على مسافة معينة من هذه النقطة

مثال 3

المسافة من النقطة B (-5 ؛ 6) إلى النقطة A الواقعة على المحور x هي 10. أوجد النقطة A.

قرار.

ينتج عن صياغة حالة المشكلة أن إحداثي النقطة A هو صفر و AB = 10.

للدلالة على إحداثي النقطة من النقطة أ إلى أ ، نكتب أ (أ ؛ 0).

AB = √ ((أ + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d √ ((أ + 5) 2 + 36).

نحصل على المعادلة √ ((أ + 5) 2 + 36) = 10. تبسيطها ، لدينا

أ 2 + 10 أ - 39 = 0.

جذور هذه المعادلة أ 1 = -13 ؛ و 2 = 3.

نحصل على نقطتين A 1 (-13 ؛ 0) و A 2 (3 ؛ 0).

فحص:

أ 1 ب \ u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d 10.

أ 2 ب \ u003d √ ((3 + 5) 2 + (0-6) 2) \ u003d 10.

كلا النقاط التي تم الحصول عليها تتناسب مع حالة المشكلة (تين. 3).

4. حساب الحد الفاصل (الإحداثي) لنقطة تقع على محور (إحداثيات) وتكون على نفس المسافة من نقطتين معينتين

مثال 4

ابحث عن نقطة على محور Oy على نفس المسافة من النقطتين A (6 ؛ 12) و B (-8 ؛ 10).

قرار.

دع إحداثيات النقطة التي تتطلبها حالة المشكلة ، الواقعة على محور Oy ، تكون O 1 (0 ؛ ب) (عند النقطة الواقعة على محور Oy ، فإن الإحداثي يساوي صفرًا). ويترتب على الشرط أن O 1 A \ u003d O 1 V.

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

O 1 A \ u003d √ ((0-6) 2 + (b - 12) 2) \ u003d √ (36 + (b - 12) 2) ؛

O 1 V \ u003d √ ((أ + 8) 2 + (ب - 10) 2) \ u003d √ (64 + (ب - 10) 2).

لدينا المعادلة √ (36 + (ب - 12) 2) = √ (64 + (ب - 10) 2) أو 36 + (ب - 12) 2 = 64 + (ب - 10) 2.

بعد التبسيط نحصل على: ب - 4 = 0 ، ب = 4.

مطلوب حسب حالة نقطة المشكلة O 1 (0 ؛ 4) (الشكل 4).

5. حساب إحداثيات نقطة على نفس المسافة من محاور الإحداثيات وبعض النقاط المعطاة

مثال 5

ابحث عن النقطة M الموجودة على مستوى الإحداثيات على نفس المسافة من محاور الإحداثيات ومن النقطة A (-2 ؛ 1).

قرار.

تقع النقطة المطلوبة M ، مثل النقطة A (-2 ؛ 1) ، في ركن الإحداثيات الثاني ، حيث إنها على مسافة متساوية من النقاط A و P 1 و P 2 (الشكل 5). مسافات النقطة M من محاور الإحداثيات هي نفسها ، لذلك ستكون إحداثياتها (-a ؛ أ) ، حيث أ> 0.

ويترتب على ظروف المشكلة أن MA = MP 1 = MP 2، MP 1 = a؛ MP 2 = | -a | ،

هؤلاء. | -a | = أ.

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) نجد:

MA \ u003d √ ((-a + 2) 2 + (أ - 1) 2).

لنصنع معادلة:

√ ((-a + 2) 2 + (أ - 1) 2) = أ.

بعد التربيع والتبسيط ، لدينا: أ 2 - 6 أ + 5 = 0. نحل المعادلة ، نجد 1 = 1 ؛ و 2 = 5.

نحصل على نقطتين M 1 (-1 ؛ 1) و M 2 (-5 ؛ 5) ، مما يرضي حالة المشكلة.

6. حساب إحداثيات نقطة على نفس المسافة المحددة من محور (إحداثيات) ومن هذه النقطة

مثال 6

أوجد نقطة M بحيث تكون المسافة التي تفصلها عن المحور y ومن النقطة A (8 ؛ 6) مساوية لـ 5.

قرار.

ويترتب على حالة المشكلة أن MA = 5 وقيمة الإحداثي للنقطة M تساوي 5. دع إحداثي النقطة M يساوي b ، ثم M (5 ؛ ب) (الشكل 6).

وفقًا للصيغة d \ u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) لدينا:

MA \ u003d √ ((5-8) 2 + (ب - 6) 2).

لنصنع معادلة:

√ ((5 - 8) 2 + (ب - 6) 2) = 5. وبتبسيطها نحصل على: ب 2 - 12 ب + 20 = 0. جذور هذه المعادلة هي ب 1 = 2 ؛ ب 2 \ u003d 10. لذلك ، هناك نقطتان تفيان بشرط المشكلة: م 1 (5 ؛ 2) وم 2 (5 ؛ 10).

من المعروف أن العديد من الطلاب ، عند حل المشكلات بأنفسهم ، يحتاجون إلى استشارات مستمرة حول التقنيات والأساليب لحلها. في كثير من الأحيان ، لا يستطيع الطالب إيجاد طريقة لحل مشكلة دون مساعدة المعلم. يمكن للطالب الحصول على النصائح اللازمة لحل المشاكل على موقعنا.

هل لديك اسئلة؟ ألست متأكدًا من كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين على المستوى؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

في هذه المقالة ، سننظر في طرق لتحديد المسافة من نقطة إلى نقطة نظريًا وعلى مثال مهام محددة. لنبدأ ببعض التعاريف.

التعريف 1

المسافة بين النقاط- هذا هو طول المقطع الذي يربط بينهما ، في المقياس الحالي. من الضروري ضبط المقياس من أجل الحصول على وحدة طول للقياس. لذلك ، يتم حل مشكلة إيجاد المسافة بين النقاط باستخدام إحداثياتها على خط الإحداثيات ، في مستوى الإحداثيات أو الفضاء ثلاثي الأبعاد.

البيانات الأولية: خط الإحداثيات O x والنقطة العشوائية A الملقاة عليه. رقم حقيقي واحد متأصل في أي نقطة من الخط: اجعل هذا رقمًا معينًا للنقطة A xAإنه تنسيق النقطة أ.

بشكل عام ، يمكننا القول أن تقدير طول مقطع معين يحدث مقارنةً بالمقطع المأخوذ كوحدة طول على مقياس معين.

إذا كانت النقطة A تقابل عددًا حقيقيًا صحيحًا ، بعد أن وضعت جانبًا على التوالي من النقطة O إلى نقطة على طول خط مستقيم O A - وحدات الطول ، يمكننا تحديد طول المقطع O A من خلال العدد الإجمالي للقطاعات المفردة المعلقة.

على سبيل المثال ، النقطة A تقابل الرقم 3 - للوصول إليها من النقطة O ، سيكون من الضروري تخصيص ثلاث أجزاء من الوحدات. إذا كان إحداثي النقطة A يساوي - 4 ، فسيتم رسم المقاطع الفردية بطريقة مماثلة ، ولكن في اتجاه سلبي مختلف. وبالتالي ، في الحالة الأولى ، تكون المسافة O A هي 3 ؛ في الحالة الثانية ، O A = 4.

إذا كانت النقطة A تحتوي على رقم منطقي كإحداثي ، فعندئذٍ من الأصل (النقطة O) نخصص عددًا صحيحًا من أجزاء الوحدة ، ثم الجزء الضروري منها. لكن هندسيًا ليس من الممكن دائمًا إجراء قياس. على سبيل المثال ، يبدو أنه من الصعب تنحية الكسر الإحداثي المباشر جانبًا 4111.

بالطريقة المذكورة أعلاه ، من المستحيل تمامًا تأجيل رقم غير منطقي على خط مستقيم. على سبيل المثال ، عندما يكون إحداثي النقطة A هو 11. في هذه الحالة ، من الممكن التحول إلى التجريد: إذا كان الإحداثي المحدد للنقطة A أكبر من الصفر ، فعندئذٍ O A \ u003d x A (يتم أخذ الرقم على أنه مسافة) ؛ إذا كان الإحداثي أقل من الصفر ، إذن O A = - x A. بشكل عام ، هذه العبارات صحيحة لأي رقم حقيقي x A.

التلخيص: المسافة من الأصل إلى النقطة ، والتي تتوافق مع رقم حقيقي على خط الإحداثيات ، تساوي:

• 0 إذا كانت النقطة هي نفس الأصل ؛

• x A إذا x A> 0 ؛

• - س أ إذا س أ< 0 .

في هذه الحالة ، من الواضح أن طول المقطع نفسه لا يمكن أن يكون سالبًا ، لذلك ، باستخدام علامة المقياس ، نكتب المسافة من النقطة O إلى النقطة A مع الإحداثي x أ: O A = x A

البيان الصحيح سيكون: المسافة من نقطة إلى أخرى ستكون مساوية لمقياس الفرق في الإحداثيات.هؤلاء. للنقطتين A و B الواقعة على نفس خط الإحداثيات في أي مكان ولها إحداثيات على التوالي x أو س ب: أ ب = س ب - س أ.

البيانات الأولية: النقطتان A و B الواقعة على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل O x y بإحداثيات معطاة: A (x A، y A) و B (x B، y B).

لنرسم عموديًا على محوري الإحداثيات O x و O y من خلال النقطتين A و B ونحصل على نقاط الإسقاط نتيجة لذلك: A x ، A y ، B x ، B y. بناءً على موقع النقطتين A و B ، فإن الخيارات التالية ممكنة بشكل أكبر:

إذا تزامنت النقطتان A و B ، فإن المسافة بينهما تساوي صفرًا ؛

إذا كانت النقطتان A و B تقعان على خط مستقيم عمودي على المحور O x (محور الإحداثي السيني) ، فإن النقطتين تتطابقان ، و | أ ب | = | أ ذ ب ص | . بما أن المسافة بين النقطتين تساوي مقياس الاختلاف بين إحداثياتهما ، إذن ، A y B y = y B - y A ، وبالتالي ، A B = A y B y = y B - y A.

إذا كانت النقطتان A و B تقعان على خط مستقيم عمودي على المحور O y (المحور y) - بالقياس مع الفقرة السابقة: A B = A x B x = x B - x A

إذا كانت النقطتان A و B لا تقعان على خط مستقيم عمودي على أحد محوري الإحداثيات ، فإننا نحسب المسافة بينهما من خلال اشتقاق صيغة الحساب:

نرى أن المثلث ب ج قائم الزاوية بالتركيب. في هذه الحالة ، أ ج = أ س ب س ، ب ج = أ ص ب ص. باستخدام نظرية فيثاغورس ، نؤلف المساواة: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ، ثم نحولها: A B = A x B x 2 + A y B ص 2 = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

دعنا نشكل استنتاجًا من النتيجة التي تم الحصول عليها: يتم تحديد المسافة من النقطة A إلى النقطة B على المستوى من خلال الحساب بواسطة الصيغة باستخدام إحداثيات هذه النقاط

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

تؤكد الصيغة الناتجة أيضًا العبارات التي تم تكوينها مسبقًا لحالات تطابق النقاط أو المواقف عندما تقع النقاط على خطوط مستقيمة متعامدة مع المحاور. لذلك ، في حالة تطابق النقطتين A و B ، ستكون المساواة صحيحة: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

للموقف الذي تقع فيه النقطتان A و B على خط مستقيم عمودي على المحور x:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = 0 2 + (ص ب - ص أ) 2 = ص ب - ص أ

بالنسبة للحالة التي تقع فيها النقطتان A و B على خط مستقيم عمودي على المحور y:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = (س ب - س أ) 2 + 0 2 = س ب - س أ

البيانات الأولية: نظام الإحداثيات المستطيل O x y z مع وجود نقاط عشوائية ملقاة عليه بإحداثيات معينة A (x A ، y A ، z A) و B (x B ، y B ، z B). من الضروري تحديد المسافة بين هذه النقاط.

ضع في اعتبارك الحالة العامة عندما لا تقع النقطتان A و B في مستوى موازٍ لأحد مستويات الإحداثيات. ارسم من خلال النقطتين A و B المستويين المتعامدين على محاور الإحداثيات ، واحصل على نقاط الإسقاط المقابلة: A x ، A y ، A z ، B x ، B y ، B z

المسافة بين النقطتين A و B هي قطري الصندوق الناتج. بناءً على قياس هذا المربع: A x B x و A y B y و A z B z

من مجرى الهندسة ، من المعروف أن مربع قطري خط متوازي يساوي مجموع مربعات أبعاده. بناءً على هذا البيان ، نحصل على المساواة: A B 2 \ u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

باستخدام الاستنتاجات التي تم الحصول عليها سابقًا ، نكتب ما يلي:

أ س ب س = س ب - س أ ، أ ص ب ص = ص ب - ص أ ، أ ض ب ع = ع ب - ض أ

دعنا نحول التعبير:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

نهائي صيغة لتحديد المسافة بين النقاط في الفضاءسيبدو مثل هذا:

أ ب = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 + (ض ب - ض أ) 2

الصيغة الناتجة صالحة أيضًا للحالات التي:

مباراة النقاط

تقع على نفس محور الإحداثيات أو على خط مستقيم موازٍ لأحد محاور الإحداثيات.

أمثلة على حل مسائل إيجاد المسافة بين النقطتين

مثال 1

البيانات الأولية: خط إحداثيات ونقاط ملقاة عليه بإحداثيات معينة A (1-2) و B (11 + 2). من الضروري إيجاد المسافة من النقطة المرجعية O إلى النقطة A وبين النقطتين A و B.

قرار

1. المسافة من النقطة المرجعية إلى النقطة تساوي الوحدة النمطية لإحداثيات هذه النقطة ، على التوالي O A \ u003d 1-2 \ u003d 2-1
2. تُعرَّف المسافة بين النقطتين A و B على أنها معامل الاختلاف بين إحداثيات هاتين النقطتين: أ ب = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

الجواب: س أ = ٢ - ١ ، أ ب = ١٠ + ٢ ٢

مثال 2

البيانات الأولية: بإعطاء نظام إحداثيات مستطيل ونقطتين ملقاة عليه A (1 ، - 1) و B (λ + 1 ، 3). λ هو عدد حقيقي. من الضروري إيجاد جميع قيم هذا الرقم والتي ستكون المسافة أ ب فيها مساوية لـ 5.

قرار

لإيجاد المسافة بين النقطتين A و B ، يجب عليك استخدام الصيغة A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

باستبدال القيم الحقيقية للإحداثيات ، نحصل على: A B = (λ + 1-1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

وأيضًا نستخدم الشرط الموجود وهو A B = 5 ثم المساواة ستكون صحيحة:

λ 2 + 16 = 5 2 + 16 = 25 = ± 3

الجواب: أ ب \ u003d 5 إذا λ \ u003d ± 3.

مثال 3

البيانات الأولية: مساحة ثلاثية الأبعاد في نظام إحداثيات مستطيل O x y z والنقاط A (1 ، 2 ، 3) و B - 7 ، - 2 ، 4 موجودة فيه.

قرار

لحل المسألة ، نستخدم الصيغة A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

باستبدال القيم الحقيقية ، نحصل على: A B = (- 7-1) 2 + (- 2-2) 2 + (4-3) 2 = 81 = 9

الجواب: | أ ب | = 9

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter