\ (\ blacktriangleright \) للعثور على أكبر / أصغر قيمةوظيفة في المقطع \ (\) ، من الضروري تصوير الرسم البياني للوظيفة بشكل تخطيطي في هذا المقطع.
في المسائل من هذا الموضوع الفرعي ، يمكن القيام بذلك باستخدام المشتق: أوجد فترات الزيادة (\ (f "> 0 \)) والنقصان (\ (f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\ (\ blacktriangleright \) لا تنس أن الوظيفة يمكن أن تأخذ القيمة القصوى / الأصغر ليس فقط في النقاط الداخلية للقطاع \ (\) ، ولكن أيضًا في نهاياتها.

\ (\ blacktriangleright \) أكبر / أصغر قيمة للدالة هي قيمة الإحداثي \ (y = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) يتم البحث عن مشتق دالة معقدة \ (f (t (x)) \) وفقًا للقاعدة: \ [(\ كبير (f "(x) = f" (t) \ cdot t "(x))) \]
\ [\ start (array) (| r | c | c |) \ hline & \ text (Function) f (x) & \ text (مشتق) f "(x) \\ \ hline \ textbf (1) & c & 0 \\ && \\ \ textbf (2) & x ^ a & a \ cdot x ^ (a-1) \\ && \\ \ textbf (3) & \ ln x & \ dfrac1x \\ && \\ \ textbf (4) & \ log_ax & \ dfrac1 (x \ cdot \ ln a) \\ && \\ \ textbf (5) & e ^ x & e ^ x \\ && \\ \ textbf (6) & a ^ x & a ^ x \ cdot \ ln a \\ && \\ \ textbf (7) & \ sin x & \ cos x \\ && \\ \ textbf (8) & \ cos x & - \ sin x \\ \ hline \ end (array) \ quad \ quad \ quad \ quad \ start (array) (| r | c | c |) \ hline & \ text (Function) f (x) & \ text (Derivative) f "(x) \\ \ hline \ textbf (9) & \ mathrm (tg) \، x & \ dfrac1 (\ cos ^ 2 x) \\ && \\ \ textbf (10) & \ mathrm (ctg) \، x & - \ ، \ dfrac1 (\ sin ^ 2 x) \\ && \\ \ textbf (11) & \ arcsin x & \ dfrac1 (\ sqrt (1-x ^ 2)) \\ && \\ \ textbf (12) & \ arccos x & - \، \ dfrac1 (\ sqrt (1-x ^ 2)) \\ && \\ \ textbf (13) & \ mathrm (arctg) \، x & \ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\ && \\ \ textbf (14) & \ mathrm (arcctg) \، x & - \، \ dfrac1 (1 + x ^ 2) \\ \ hline \ end (array) \]

المهمة 1 # 2357

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أصغر قيمة للدالة \ (y = e ^ (x ^ 2-4) \) في الفاصل \ ([- 10؛ -2] \).

ODZ: \ (x \) - تعسفي.

1) \

\ لذا \ (y "= 0 \) عندما \ (x = 0 \).

3) لنجد فواصل زمنية للعلامة الثابتة \ (y "\) على المقطع المدروس \ ([- 10 ؛ -2] \):

4) رسم تخطيطي للرسم البياني على المقطع \ ([- 10 ؛ -2] \):

وبالتالي ، تصل الدالة إلى أصغر قيمة لها في \ ([- 10 ؛ -2] \) في \ (س = -2 \).

\ المجموع: \ (1 \) هو أصغر قيمة للدالة \ (ص \) في \ ([- 10 ؛ -2] \).

الجواب: 1

المهمة 2 # 2355

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

\ (y = \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (x ^ 2 + 1) \)على المقطع \ ([- 1 ؛ 1] \).

ODZ: \ (x \) - تعسفي.

1) \

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [\ sqrt (2) \ cdot \ dfrac (x) (\ sqrt (x ^ 2 + 1)) = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad x = 0 \،. \]المشتق موجود لأي \ (س \).

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

3) لنجد فواصل زمنية للعلامة الثابتة \ (y "\) على المقطع المدروس \ ([- 1 ؛ 1] \):

4) رسم تخطيطي للرسم البياني على المقطع \ ([- 1 ؛ 1] \):

وبالتالي ، تصل الوظيفة إلى قيمتها القصوى في \ ([- 1 ؛ 1] \) في \ (س = -1 \) أو في \ (س = 1 \). دعونا نقارن قيم الدالة في هذه النقاط.

\ الإجمالي: \ (2 \) هو أكبر قيمة للدالة \ (ص \) في \ ([- 1 ؛ 1] \).

الجواب: 2

المهمة 3 # 2356

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أصغر قيمة للدالة \ (y = \ cos 2x \) على الفاصل \ (\).

ODZ: \ (x \) - تعسفي.

1) \

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [- 2 \ cdot \ sin 2x = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad 2x = \ pi n، n \ in \ mathbb (Z) \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad x = \ dfrac (\ pi n) (2)، n \ in \ mathbb (Z) \،. \]المشتق موجود لأي \ (س \).

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

(يوجد هنا عدد لا حصر له من الفواصل الزمنية التي توجد فيها علامات البديل المشتق).

3) لنجد فترات من الثبات \ (y "\) على المقطع المدروس \ (\):

4) رسم تخطيطي للرسم البياني على المقطع \ (\):

وبالتالي ، تصل الوظيفة إلى أصغر قيمة لها في \ (\) في \ (x = \ dfrac (\ pi) (2) \).

\ المجموع: \ (- 1 \) هو أصغر قيمة للدالة \ (ص \) في \ (\).

الجواب: -1

المهمة 4 # 915

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أكبر قيمة لدالة

\ (y = - \ log_ (17) (2x ^ 2 - 2 \ sqrt (2) x + 2) \).

ODZ: \ (2x ^ 2 - 2 \ sqrt (2) x + 2> 0 \). دعنا نقرر بشأن ODZ:

1) دلالة \ (2x ^ 2-2 \ sqrt (2) x + 2 = t (x) \) ، ثم \ (y (t) = - \ log_ (17) t \).

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [- \ dfrac (1) (\ ln 17) \ cdot \ dfrac (4x-2 \ sqrt (2)) (2x ^ 2-2 \ sqrt (2) x + 2) = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad 4x-2 \ sqrt (2) = 0 \]- في ODZ ، حيث نجد الجذر \ (x = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \). مشتق الدالة \ (y \) غير موجود لـ \ (2x ^ 2-2 \ sqrt (2) x + 2 = 0 \) ، لكن معادلة معينةمميز سلبي ، وبالتالي ليس له حلول. من أجل العثور على أكبر / أصغر قيمة للدالة ، عليك أن تفهم كيف يبدو الرسم البياني الخاص بها تخطيطيًا.

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

3) رسم تخطيطي:

وبالتالي ، تصل الوظيفة إلى قيمتها القصوى عند \ (x = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \):

\ (y \ left (\ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \ right) = - \ log_ (17) 1 = 0 \),

الإجمالي: \ (0 \) هو أكبر قيمة للدالة \ (ص \).

الجواب: 0

المهمة 5 # 2344

مستوى المهمة: مساوٍ لامتحان الدولة الموحد

أوجد أصغر قيمة للدالة

\ (ص = \ سجل_ (3) (س ^ 2 + 8 س + 19) \).

ODZ: \ (x ^ 2 + 8x + 19> 0 \). دعنا نقرر بشأن ODZ:

1) دلالة \ (x ^ 2 + 8x + 19 = t (x) \) ، ثم \ (y (t) = \ log_ (3) t \).

لنجد النقاط الحرجة (أي ، النقاط الداخلية لمجال الوظيفة ، حيث يكون مشتقها مساويًا لـ \ (0 \) أو غير موجود): \ [\ dfrac (1) (\ ln 3) \ cdot \ dfrac (2x + 8) (x ^ 2 + 8x + 19) = 0 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad 2x + 8 = 0 \]- في ODZ ، حيث نجد الجذر \ (x \ u003d -4 \). مشتق الدالة \ (y \) غير موجود لـ \ (x ^ 2 + 8x + 19 = 0 \) ، لكن هذه المعادلة لها مميز سالب ، لذلك ليس لها حلول. من أجل العثور على أكبر / أصغر قيمة للدالة ، عليك أن تفهم كيف يبدو الرسم البياني الخاص بها تخطيطيًا.

2) أوجد فترات الإشارة الثابتة \ (y "\):

3) رسم تخطيطي:

وبالتالي ، فإن \ (x = -4 \) هي النقطة الدنيا للدالة \ (y \) ويتم الوصول إلى أصغر قيمة فيها:

\ (y (-4) = \ log_ (3) 3 = 1 \).

المجموع: \ (1 \) هو أصغر قيمة للدالة \ (ص \).

الجواب: 1

المهمة 6 # 917

مستوى المهمة: أصعب من الامتحان

أوجد أكبر قيمة لدالة

\ (y = -e ^ ((x ^ 2-12x + 36 + 2 \ ln 2)) \).

من وجهة نظر عملية ، الأكثر إثارة للاهتمام هو استخدام المشتق لإيجاد أكبر وأصغر قيمة للدالة. بماذا ترتبط؟ تعظيم الأرباح ، وتقليل التكاليف ، وتحديد الحمل الأمثل للمعدات ... بمعنى آخر ، في العديد من مجالات الحياة ، يتعين على المرء حل مشكلة تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مشكلة إيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة.

وتجدر الإشارة إلى أن أكبر وأصغر قيمة لوظيفة ما يتم البحث عنها عادة في بعض الفترات X ، والتي تكون إما المجال الكامل للوظيفة أو جزء من المجال. يمكن أن يكون الفاصل الزمني X نفسه مقطعًا خطيًا ، أي فاصل زمني مفتوح ، فاصل زمني لانهائي.

في هذا المقال سنتحدث عن إيجاد القيم الأكبر والأصغر صراحة. وظيفة معينةمتغير واحد y = f (x).

التنقل في الصفحة.

أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات ، الرسوم التوضيحية.

دعونا نتناول بإيجاز التعاريف الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة ، لأي عدم المساواة هو الصحيح.

أصغر قيمة للدالة y = f (x) في الفترة الزمنية X تسمى هذه القيمة ، لأي عدم المساواة هو الصحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر مع الإحداثي السيني.

نقاط ثابتةهي قيم الحجة التي يختفي عندها مشتق الوظيفة.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد أكبر وأصغر القيم؟ الإجابة على هذا السؤال مقدمة من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كان للدالة القابلة للتفاضل حد أقصى (الحد الأدنى المحلي أو الحد الأقصى المحلي) عند نقطة ما ، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي ، غالبًا ما تأخذ الوظيفة الحد الأقصى (الأصغر) لقيمتها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

أيضًا ، يمكن أن تأخذ الوظيفة في كثير من الأحيان أكبر وأصغر القيم عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الوظيفة ، ويتم تعريف الوظيفة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد أكبر (أصغر) قيمة للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان ، تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال الوظيفة ، أو يكون الفاصل الزمني X غير محدود. ويمكن لبعض الدوال في اللانهاية وعلى حدود مجال التعريف أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيم صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات ، لا يمكن قول أي شيء عن أكبر وأصغر قيمة للدالة.

من أجل الوضوح ، نقدم توضيحًا بيانيًا. انظر إلى الصور - وسيتضح الكثير.

في الجزء

في الشكل الأول ، تأخذ الدالة أكبر قيم (max y) وأصغر (min y) عند نقاط ثابتة داخل المقطع [-6 ؛ 6].

تأمل الحالة الموضحة في الشكل الثاني. قم بتغيير المقطع إلى. في هذا المثال ، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة ، والأكبر - عند نقطة مع إحداثية تتطابق مع الحد الأيمن للفاصل الزمني.

في الشكل رقم 3 ، النقاط الحدودية للقطاع [-3 ؛ 2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.

في النطاق المفتوح

في الشكل الرابع ، تأخذ الدالة أكبر قيم (max y) وأصغر (min y) عند نقاط ثابتة ضمن الفاصل الزمني المفتوح (-6 ؛ 6).

في الفاصل الزمني ، لا يمكن استخلاص استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال الموضح في الشكل السابع ، تأخذ الوظيفة أكبر قيمة (الحد الأقصى y) عند نقطة ثابتة مع إحداثيات x = 1 ، ويتم الوصول إلى أصغر قيمة (min y) عند الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند سالب اللانهاية ، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y = 3.

في الفاصل الزمني ، لا تصل الوظيفة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. نظرًا لأن x = 2 تميل إلى اليمين ، فإن قيم الدالة تميل إلى سالب ما لا نهاية (الخط المستقيم x = 2 خط مقارب عمودي) ، وبما أن الحد الفاصل يميل إلى زائد اللانهاية ، فإن قيم الدالة تقترب من y = 3 . يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة في المقطع.

نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيمة لدالة في مقطع ما.

1. نجد مجال الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والمضمنة في المقطع (عادةً ما تحدث هذه النقاط في وظائف ذات وسيطة تحت علامة الوحدة النمطية وفي وظائف الطاقةمع الأس المنطقي الكسري). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط ، فانتقل إلى النقطة التالية.
3. نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع في المقطع. للقيام بذلك ، نساويها بالصفر ، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع ، فانتقل إلى الخطوة التالية.
4. نحسب قيم الوظيفة عند النقاط الثابتة المحددة (إن وجدت) ، عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الأول (إن وجد) ، وأيضًا عند x = a و x = b.
5. من القيم التي تم الحصول عليها للوظيفة ، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم القصوى والأصغر المرغوبة للوظيفة ، على التوالي.

دعنا نحلل الخوارزمية عند حل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم لدالة في مقطع ما.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

• في الجزء
• على الفاصل الزمني [-4 ؛ -1].

المحلول.

مجال الوظيفة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها ، باستثناء الصفر ، أي. كلا الجزأين يقعان ضمن مجال التعريف.

نجد مشتق الوظيفة فيما يتعلق:

من الواضح أن مشتق الوظيفة موجود في جميع نقاط المقاطع و [-4 ؛ -1].

يتم تحديد النقاط الثابتة من المعادلة. الوحيد جذر حقيقيهو x = 2. تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

بالنسبة للحالة الأولى ، نحسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند نقطة ثابتة ، أي بالنسبة إلى x = 1 و x = 2 و x = 4:

لذلك ، أكبر قيمة للدالة يتم الوصول إليها عند x = 1 ، وأصغر قيمة - عند x = 2.

بالنسبة للحالة الثانية ، نحسب قيم الوظيفة فقط في نهايات المقطع [-4 ؛ -1] (لأنها لا تحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

المحلول.

لنبدأ بنطاق الوظيفة. ثلاثي الحدود المربعيجب ألا يختفي مقام الكسر:

من السهل التحقق من أن جميع الفترات الزمنية من حالة المشكلة تنتمي إلى مجال الوظيفة.

دعونا نفرق بين الوظيفة:

من الواضح أن المشتق موجود في مجال الوظيفة بأكمله.

دعونا نجد نقاط ثابتة. المشتق يختفي عند. تقع هذه النقطة الثابتة ضمن الفواصل الزمنية (-3 ؛ 1] و (-3 ؛ 2).

والآن يمكنك مقارنة النتائج التي تم الحصول عليها في كل نقطة بالرسم البياني للدالة. تشير الخطوط المنقطة الزرقاء إلى الخطوط المقاربة.

يمكن أن ينتهي هذا بإيجاد أكبر وأصغر قيمة للدالة. تسمح لك الخوارزميات التي تمت مناقشتها في هذه المقالة بالحصول على نتائج بحد أدنى من الإجراءات. ومع ذلك ، قد يكون من المفيد تحديد فترات الزيادة والنقصان للوظيفة أولاً وبعد ذلك فقط استخلاص استنتاجات حول أكبر وأصغر قيمة للدالة في أي فترة زمنية. وهذا يعطي صورة أوضح وتبريرًا صارمًا للنتائج.

الخيار 1. في

1. رسم بياني للدالة ص =F(x) هو مبين في الشكل.

حدد أكبر قيمة لهذه الوظيفة 1

في الجزء [ أ; ب]. أ 0 1 ب س

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif "width =" 242 "height =" 133 src = "> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. وظائف ص =F(x) مجموعة على الجزء [ أ; ب]. في

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقها

ص =F ´(x). استكشف للأمور المتطرفة 1 ب

وظيفة ص =F(x). يرجى الإشارة إلى الكمية في إجابتك. أ 0 1 x

الحد الأدنى من النقاط.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. أوجد أكبر قيمة للدالة ص \ u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. أوجد أصغر قيمة للدالة في الجزء .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif "width =" 17 "height =" 48 src = ">.

7. أوجد أصغر قيمة للدالة ص =|2x + 3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif "width =" 17 "height =" 47 "> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif "width =" 144 "height =" 33 src = "> له حد أدنى عند النقطة xo = 1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.في

9. حدد أكبر قيمة للدالة ص =F(x) ,

1 ×

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

ص =إل جي(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. أوجد أصغر قيمة للدالة ص = 2الخطيئة-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

اختبار 14 أكبر (أصغر) قيمة للدالة.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif "width =" 130 "height =" 115 src = "> 1. رسم بياني للوظيفة ص =F(x) هو مبين في الشكل.

حدد أصغر قيمة لهذه الوظيفة 1

في الجزء [ أ; ب]. أ ب

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. في يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة ص =F(x).

كم عدد النقاط القصوى التي تمتلكها الوظيفة؟

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. في أي نقطة هي وظيفة ص \ u003d 2x2 + 24x -25يأخذ على أصغر قيمة؟

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif "width =" 76 "height =" 48 "> على المقطع [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif "width =" 17 "height =" 47 src = "> ؛ 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif "width =" 135 "height =" 33 src = "> له حد أدنى عند النقطة xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.في

9. حدد أصغر قيمة للدالة ص =F(x) ,

الذي يظهر الرسم البياني في الشكل. 1 ×

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. أوجد أكبر قيمة للدالة ص =سجل11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. أوجد أكبر قيمة للدالة ص = 2كوس+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

الإجابات :

في هذا المقال سوف أتحدث عنه خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيمةالوظيفة ، الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط.

من الناحية النظرية ، سنحتاج بالتأكيد جدول مشتقو قواعد التمايز. كل شيء في هذا المنتدى:

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر القيم.

أجد أنه من الأسهل أن أشرح بمثال ملموس. انصح:

مثال:أوجد أكبر قيمة للدالة y = x ^ 5 + 20x ^ 3–65x في المقطع [–4 ؛ 0].

الخطوة 1.نأخذ المشتق.

ص "= (x ^ 5 + 20x ^ 3–65x)" = 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 = 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65

الخطوة 2إيجاد النقاط القصوى.

النقطة القصوىنقوم بتسمية النقاط التي تصل عندها الوظيفة إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمتها.

للعثور على النقاط القصوى ، من الضروري مساواة مشتق الدالة بالصفر (y "= 0)

5x ^ 4 + 60x ^ 2-65 = 0

الآن نحل هذه المعادلة البيكادراتية والجذور التي تم إيجادها هي النقاط القصوى.

لقد قمت بحل هذه المعادلات عن طريق استبدال t = x ^ 2 ، ثم 5t ^ 2 + 60t - 65 = 0.

قلل المعادلة بمقدار 5 ، نحصل على: t ^ 2 + 12t - 13 = 0

د = 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) = 196

T_ (1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1

T_ (2) = (-12 - الجذر التربيعي (196)) / 2 = (-12-14) / 2 = -13

نجري الاستبدال العكسي x ^ 2 = t:

X_ (1 و 2) = ± sqrt (1) = ± 1
x_ (3 و 4) = ± sqrt (-13) (نستبعد ، لا يمكن أن يكون الجذر تحت الجذر أرقام سالبة(ما لم نتحدث بالطبع عن الأعداد المركبة)

المجموع: x_ (1) = 1 و x_ (2) = -1 - هذه هي نقاطنا القصوى.

الخطوه 3حدد أكبر وأصغر قيمة.

طريقة الاستبدال.

في الحالة ، حصلنا على المقطع [ب] [- 4 ؛ 0]. لم يتم تضمين النقطة x = 1 في هذا المقطع. لذلك نحن لا نعتبرها. لكن بالإضافة إلى النقطة x = -1 ، نحتاج أيضًا إلى النظر في الحدود اليمنى واليسرى للقطاع ، أي النقطتين -4 و 0. للقيام بذلك ، نعوض بكل هذه النقاط الثلاث في الدالة الأصلية. لاحظ أن الأصل هو المعطى في الشرط (y = x ^ 5 + 20x ^ 3–65x) ، يبدأ البعض بالتعويض في المشتق ...

ص (-1) = (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) = -1 - 20 + 65 = [ب] 44
ص (0) = (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3-65 * (0) = 0
ص (-4) = (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3-65 * (- 4) = -1024-1280 + 260 = -2044

هذا يعني أن القيمة القصوى للدالة هي [b] 44 ويتم الوصول إليها عند النقاط [b] -1 ، والتي تسمى النقطة القصوى للدالة في المقطع [-4 ؛ 0].

قررنا وحصلنا على إجابة ، نحن رائعون ، يمكنك الاسترخاء. لكن توقف! ألا تعتقد أن عد ص (-4) معقد جدًا بطريقة ما؟ في ظروف زمنية محدودة يفضل استخدام طريقة أخرى أسميها كالتالي:

من خلال فترات الثبات.

تم العثور على هذه الفجوات لمشتق الدالة ، أي لمعادلتنا البيكوادر.

أفعل ذلك بالطريقة التالية. أرسم خط اتجاه. لقد قمت بتعيين النقاط: -4 ، -1 ، 0 ، 1. على الرغم من حقيقة أن 1 لم يتم تضمينه في المقطع المحدد ، إلا أنه لا يزال يتعين ملاحظته من أجل تحديد فترات الثبات بشكل صحيح. لنأخذ عددًا أكبر من 1 عدة مرات ، دعنا نقول 100 ، استبدلها ذهنيًا في معادلتنا ثنائية التكافؤ 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. حتى بدون احتساب أي شيء ، يصبح من الواضح أنه عند النقطة 100 الوظيفة لها علامة زائد. هذا يعني أنه بالنسبة للفترات من 1 إلى 100 ، فإنه يحتوي على علامة زائد. عند المرور من خلال 1 (ننتقل من اليمين إلى اليسار) ، ستتغير الوظيفة إلى علامة ناقص. عند المرور عبر النقطة 0 ، ستحتفظ الوظيفة بعلامتها ، لأن هذه ليست سوى حدود المقطع ، وليس جذر المعادلة. عند المرور عبر -1 ، ستتغير الوظيفة مرة أخرى إلى علامة الجمع.

من الناحية النظرية ، نعلم أن مكان اشتقاق الوظيفة (وقد رسمنا هذا من أجلها) يغير علامة من زائد إلى ناقص (النقطة -1 في حالتنا)تصل الوظيفة الحد الأقصى المحلي (ص (-1) = 44 كما تم حسابه سابقًا)في هذا الجزء (هذا واضح جدًا من الناحية المنطقية ، توقفت الوظيفة عن الزيادة ، حيث وصلت إلى الحد الأقصى وبدأت في الانخفاض).

تبعا لذلك ، حيث يكون مشتق الوظيفة علامة التغييرات من ناقص إلى زائد، حقق الحد الأدنى المحلي للدالة. نعم ، نعم ، وجدنا أيضًا النقطة الدنيا المحلية ، وهي 1 ، و y (1) هي الحد الأدنى لقيمة الوظيفة في المقطع ، دعنا نقول من -1 إلى +. يرجى ملاحظة أن هذا ليس سوى حد أدنى محلي ، أي حد أدنى في جزء معين. نظرًا لأن الحد الأدنى الفعلي (العالمي) للدالة سيصل إلى مكان ما هناك ، في-.

في رأيي ، الطريقة الأولى أبسط من الناحية النظرية ، والطريقة الثانية أبسط من حيث العمليات الحسابية ، ولكنها أكثر صعوبة من الناحية النظرية. بعد كل شيء ، في بعض الأحيان هناك حالات لا تتغير فيها الوظيفة عند المرور بجذر المعادلة ، وفي الواقع يمكنك الخلط بين هذه الحدود القصوى والدنيا المحلية والعالمية ، على الرغم من أنه سيتعين عليك إتقان ذلك جيدًا على أي حال إذا كنت تخطط للدخول جامعة فنية(ولماذا عليك إجراء اختبار الملف الشخصي وحل هذه المهمة). لكن الممارسة والممارسة فقط ستعلمك كيفية حل هذه المشكلات مرة واحدة وإلى الأبد. ويمكنك التدريب على موقعنا. هنا .

إذا كان لديك أي أسئلة ، أو كان هناك شيء غير واضح ، فتأكد من طرحه. يسعدني الرد عليكم وإجراء التغييرات والإضافات على المقال. تذكر أننا نصنع هذا الموقع معًا!

دعونا نرى كيفية استكشاف دالة باستخدام الرسم البياني. اتضح أنه بالنظر إلى الرسم البياني ، يمكنك معرفة كل ما يثير اهتمامنا ، وهو:

• نطاق الوظيفة
• نطاق الوظيفة
• وظيفة الأصفار
• فترات الزيادة والنقصان
• النقاط العالية والمنخفضة
• أكبر وأصغر قيمة للدالة في المقطع.

دعنا نوضح المصطلحات:

الإحداثي السينيهو التنسيق الأفقي للنقطة.
تنسيق- تنسيق عمودي.
الإحداثي السيني- المحور الأفقي ، وغالبًا ما يسمى المحور.
المحور ص- المحور الرأسي أو المحور.

جدال حادهو متغير مستقل تعتمد عليه قيم الوظيفة. غالبا ما يشار.
بمعنى آخر ، نحن أنفسنا نختار ونستبدل في صيغة الدالة ونحصل على.

اِختِصاصالدوال - مجموعة قيم الوسيطة التي توجد لها الوظيفة (وتلك فقط).
يشار إليه: أو.

في الشكل لدينا ، مجال الوظيفة هو قطعة. يتم رسم الرسم البياني للوظيفة في هذا الجزء. هنا فقط توجد هذه الوظيفة.

نطاق الوظيفةهي مجموعة القيم التي يأخذها المتغير. في الشكل الخاص بنا ، هذه شريحة - من أدنى قيمة إلى أعلى قيمة.

الأصفار الوظيفية- النقاط التي تكون فيها قيمة الوظيفة مساوية للصفر ، أي. في الشكل لدينا ، هذه هي النقاط و.

قيم الدالة موجبةأين . في الشكل لدينا ، هذه هي الفترات و.
قيم الدالة سالبةأين . لدينا هذه الفترة (أو الفترة) من إلى.

أهم المفاهيم - زيادة وتناقص وظيفةفي بعض مجموعة. كمجموعة ، يمكنك أن تأخذ مقطعًا أو فاصلًا زمنيًا أو اتحادًا للفواصل الزمنية أو خط الأعداد بالكامل.

دور يزيد

بمعنى آخر ، كلما انتقل الرسم البياني إلى اليمين وأعلى.

دور تناقصفي المجموعة إن وجدت وتنتمي إلى المجموعة ، فإن عدم المساواة تعني عدم المساواة.

بالنسبة لدالة متناقصة ، تقابل القيمة الأكبر قيمة أصغر. يتجه الرسم البياني لليمين ولأسفل.

في الشكل الخاص بنا ، تزداد الدالة في الفترة الزمنية وتنقص في الفترات الزمنية و.

دعونا نحدد ما هو الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

أقصى نقطة- هذه نقطة داخلية في مجال التعريف ، بحيث تكون قيمة الوظيفة فيها أكبر من جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
بمعنى آخر ، النقطة القصوى هي نقطة ، قيمة الوظيفة التي عندها أكثرمما كانت عليه في الجوار. هذا "تل" محلي على الرسم البياني.

في الشكل لدينا - الحد الأقصى للنقطة.

نقطة منخفضة- نقطة داخلية في مجال التعريف ، بحيث تكون قيمة الوظيفة فيها أقل من جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
أي أن الحد الأدنى للنقطة هو أن قيمة الوظيفة فيها أقل من القيم المجاورة. على الرسم البياني ، هذه "حفرة" محلية.

في الشكل لدينا - النقطة الدنيا.

النقطة هي الحدود. إنها ليست نقطة داخلية في مجال التعريف وبالتالي فهي لا تتناسب مع تعريف النقطة القصوى. بعد كل شيء ، ليس لديها جيران على اليسار. بنفس الطريقة ، لا يمكن أن يكون هناك حد أدنى على الرسم البياني الخاص بنا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط بشكل جماعي النقاط القصوى للدالة. في حالتنا ، هذا هو و.

ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى البحث ، على سبيل المثال ، وظيفة الحد الأدنىعلى الخفض؟ في هذه الحالة الجواب: لان وظيفة الحد الأدنىهي قيمتها عند الحد الأدنى.

وبالمثل ، فإن الحد الأقصى للدالة هو. يتم الوصول إليه عند هذه النقطة.

يمكننا القول أن القيم القصوى للدالة تساوي و.

في بعض الأحيان في المهام التي تحتاج إلى البحث عنها أكبر وأصغر قيم للدالةعلى جزء معين. لا تتطابق بالضرورة مع التطرف.

في حالتنا هذه أصغر قيمة للدالةفي الفترة الزمنية يساوي الحد الأدنى للدالة ويتزامن معه. لكن أكبر قيمة لها في هذا الجزء تساوي. يتم الوصول إليه في الطرف الأيسر من المقطع.

على أي حال ، يتم تحقيق أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على مقطع ما إما عند النقاط القصوى أو في نهايات المقطع.