تضع الحدود الكثير من المتاعب لجميع طلاب الرياضيات. لحل هذا الحد ، عليك أحيانًا استخدام الكثير من الحيل والاختيار من بين مجموعة متنوعة من الحلول الحل المناسب تمامًا لمثال معين.
في هذا المقال ، لن نساعدك على فهم حدود قدراتك أو فهم حدود التحكم ، لكننا سنحاول الإجابة على السؤال: كيف تفهم الحدود في الرياضيات العليا؟ يأتي الفهم مع الخبرة ، لذلك في نفس الوقت سنقدم القليل منها أمثلة مفصلةحدود الحل مع التفسيرات.
مفهوم الحد في الرياضيات
السؤال الأول: ما هو حد وماذا؟ يمكننا التحدث عن حدود المتتاليات والوظائف العددية. نحن مهتمون بمفهوم حد الوظيفة ، نظرًا لأن الطلاب غالبًا ما يواجهون معهم. لكن أولاً ، التعريف الأكثر عمومية للحد:
لنفترض أن هناك متغيرًا ما. إذا كانت هذه القيمة في عملية التغيير إلى أجل غير مسمى تقترب من رقم معين أ ، من ثم أ هو حد هذه القيمة.
لوظيفة محددة في بعض الفترات و (س) = ص الحد هو الرقم أ ، والتي تميل الوظيفة عندها X تميل إلى نقطة معينة أ . نقطة أ ينتمي إلى الفترة الزمنية التي يتم فيها تعريف الوظيفة.
يبدو الأمر مرهقًا ، لكنه مكتوب بكل بساطة:
ليم- من الانجليزية حد- حد.
يوجد أيضًا تفسير هندسي لتعريف الحد ، لكننا هنا لن ندخل في النظرية ، لأننا مهتمون بالجانب العملي أكثر من الجانب النظري للقضية. عندما نقول ذلك X يميل إلى بعض القيمة ، وهذا يعني أن المتغير لا يأخذ قيمة رقم ، ولكنه يقترب منه بشكل لا نهائي.
لنأخذ مثالًا ملموسًا. التحدي هو إيجاد الحد.
لحل هذا المثال ، نعوض بالقيمة س = 3 في وظيفة. نحن نحصل:
بالمناسبة ، إذا كنت مهتمًا بالعمليات الأساسية على المصفوفات ، فاقرأ مقالة منفصلة حول هذا الموضوع.
في الأمثلة X يمكن أن تميل إلى أي قيمة. يمكن أن يكون أي رقم أو ما لا نهاية. هنا مثال عندما X يميل إلى اللانهاية:
فمن الواضح أن رقم أكثرفي المقام ، كلما كانت القيمة أصغر ستأخذها الدالة. لذلك ، مع نمو غير محدود X المعنى 1 / س سوف تنخفض وتقترب من الصفر.
كما ترى ، من أجل حل الحد ، تحتاج فقط إلى استبدال القيمة التي تسعى جاهدًا من أجلها في الدالة X . ومع ذلك ، هذه أبسط حالة. غالبًا ما يكون العثور على الحد غير واضح. ضمن حدود هناك شكوك من النوع 0/0 أو اللانهاية / اللانهاية . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ استخدم الحيل!
عدم اليقين في الداخل
عدم اليقين من الشكل اللانهاية / اللانهاية
يجب ألا يكون هناك حد:
إذا حاولنا التعويض بما لا نهاية في الدالة ، فسنحصل على اللانهاية في كل من البسط والمقام. بشكل عام ، من الجدير بالقول أن هناك عنصرًا معينًا من الفن في حل حالات عدم اليقين هذه: عليك أن تلاحظ كيف يمكنك تحويل الوظيفة بطريقة تتخلص من عدم اليقين. في حالتنا ، نقسم البسط والمقام على X في الدرجة العليا. ماذا سيحدث؟
من المثال المذكور أعلاه ، نعلم أن الحدود التي تحتوي على x في المقام ستميل إلى الصفر. ثم الحل إلى الحد هو:
للكشف عن نوع الغموض اللانهاية / اللانهايةقسّم البسط والمقام على Xإلى أعلى درجة.
بالمناسبة! بالنسبة لقرائنا ، يوجد الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل
نوع آخر من عدم اليقين: 0/0
كالعادة ، التعويض في دالة القيمة س = -1 يعطي 0 في البسط والمقام. انظر بعناية أكثر وستلاحظ ذلك في البسط معادلة من الدرجة الثانية. لنجد الجذور ونكتب:
دعنا نخفض ونحصل على:
لذا ، إذا واجهت نوعًا من الغموض 0/0 - حلل البسط والمقام إلى عوامل.
لتسهيل حل الأمثلة ، إليك جدول بحدود بعض الوظائف:
حكم لوبيتال في الداخل
طريقة أخرى قوية للتخلص من كلا النوعين من عدم اليقين. ما هو جوهر الطريقة؟
إذا كان هناك عدم يقين في النهاية ، فإننا نأخذ مشتق البسط والمقام حتى يختفي عدم اليقين.
بصريًا ، تبدو قاعدة لوبيتال كما يلي:
نقطة مهمة : يجب أن توجد النهاية ، حيث تكون مشتقات البسط والمقام بدلاً من البسط والمقام.
والآن مثال حقيقي:
هناك عدم يقين نموذجي 0/0 . خذ مشتقات البسط والمقام:
Voila ، يتم التخلص من عدم اليقين بسرعة وبأناقة.
نأمل أن تتمكن من استخدام هذه المعلومات بشكل جيد في الممارسة والعثور على إجابة لسؤال "كيفية حل الحدود في الرياضيات العليا". إذا كنت بحاجة إلى حساب حد التسلسل أو حد الوظيفة في نقطة ما ، ولا يوجد وقت لهذا العمل من كلمة "مطلقًا" ، فاتصل بخدمة الطلاب المحترفين للحصول على حل سريع ومفصل.
يتم إعطاء تعريف الحد المنتهي للتسلسل. يتم النظر في الخصائص ذات الصلة وتعريف مكافئ. يوجد تعريف مفاده أن النقطة أ ليست حدًا للتسلسل. يتم النظر في الأمثلة التي يتم فيها إثبات وجود حد باستخدام التعريف.
المحتوىأنظر أيضا: حد التسلسل - النظريات والخصائص الأساسية
الأنواع الرئيسية لعدم المساواة وخصائصها
هنا ننظر في تعريف النهاية المحدودة للتسلسل. تتم مناقشة حالة التسلسل الذي يتقارب إلى ما لا نهاية في صفحة "تحديد تسلسل كبير لانهائي".
حد التسلسل هو رقم إذا لأي رقم موجب ε > 0 هناك من هذا القبيل عدد طبيعي N ε ، اعتمادًا على ε ، مثل كل الأعداد الطبيعية n> N المتباينة| x ن - أ |< ε .
هنا x n هو عنصر التسلسل بالرقم n. حد التسلسليرمز إلى مثل هذا:
.
او عند .
دعونا نحول عدم المساواة:
;
;
.
يستنتج من التعريف أنه إذا كان للتسلسل حد أ ، فبغض النظر عن - جوار النقطة أ التي نختارها ، يمكن أن يكون خارجها فقط عدد محدودعناصر التسلسل ، أو لا شيء على الإطلاق (مجموعة فارغة). وأي حي ε يحتوي على عدد لا حصر له من العناصر. في الواقع ، من خلال تعيين رقم معين ε ، يصبح لدينا رقم. لذا فإن جميع عناصر التسلسل التي تحتوي على أرقام ، بحكم التعريف ، تقع في محيط للنقطة أ. يمكن أن تكون العناصر الأولى في أي مكان. أي خارج - لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عناصر - أي عدد محدود.
نلاحظ أيضًا أن الفرق لا يجب أن يميل بشكل رتيب إلى الصفر ، أي أن يتناقص طوال الوقت. يمكن أن تميل إلى الصفر ليس بشكل رتيب: يمكن أن تزيد أو تنقص ، مع وجود حدود قصوى محلية. ومع ذلك ، يجب أن تميل هذه الحدود القصوى ، مع زيادة n ، إلى الصفر (ربما أيضًا ليس بشكل رتيب).
باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية ، يمكن كتابة تعريف النهاية على النحو التالي:
(1)
.
تحديد أن a ليس حدًا
الآن ضع في اعتبارك التأكيد العكسي بأن الرقم أ ليس حد التسلسل.
رقم أ ليس حد التسلسل، إذا كان هناك مثل هذا لأي n طبيعي يوجد مثل هذا طبيعي > ن، ماذا او ما
.
لنكتب هذا البيان باستخدام الرموز المنطقية.
(2)
.
التأكيد على أن الرقم أ ليس حد التسلسل، يعني أن
يمكنك اختيار ε - الحي للنقطة أ ، والذي سيكون خارجه عدد لا حصر له من عناصر التسلسل.
تأمل في مثال. دعونا نعطي تسلسل مع عنصر مشترك
(3)
يحتوي أي حي للنقطة على عدد لا حصر له من العناصر. ومع ذلك ، فإن هذه النقطة ليست حد التسلسل ، لأن أي حي للنقطة يحتوي أيضًا على عدد لا حصر له من العناصر. خذ ε - حي نقطة مع ε = 1
. سيكون هذا هو الفاصل الزمني (-1, +1)
. تنتمي جميع العناصر باستثناء العنصر الأول الذي يحتوي على n إلى هذه الفترة الزمنية. لكن كل العناصر ذات العدد الفردي n تقع خارج هذه الفترة لأنها تحقق المتباينة x n > 2
. نظرًا لأن عدد العناصر الفردية غير محدود ، سيكون هناك عدد لا حصر له من العناصر خارج الحي المحدد. لذلك ، فإن النقطة ليست حد التسلسل.
دعونا نظهر هذا الآن من خلال الالتزام الصارم بالتوكيد (2). النقطة ليست نهاية المتتالية (3) ، لأن هناك مثل هذا ، لذلك ، لأي n طبيعي ، هناك عدد فردي n حيث المتباينة
.
يمكن أيضًا إظهار أن أي نقطة لا يمكن أن تكون حد هذا التسلسل. يمكننا دائمًا اختيار ε - مجاورة للنقطة a لا تحتوي على النقطة 0 أو النقطة 2. وبعد ذلك سيكون هناك عدد لا حصر له من عناصر التسلسل خارج الحي المختار.
تعريف مكافئ لحد التسلسل
يمكننا إعطاء تعريف مكافئ لنهاية التسلسل إذا وسعنا مفهوم - الجوار. سنحصل على تعريف مكافئ إذا ظهر فيه أي حي من النقطة a بدلاً من-Neighborhood. جوار نقطة ما هو أي فاصل زمني مفتوح يحتوي على تلك النقطة. رياضيا جوار النقطةيتم تعريفه على النحو التالي: حيث ε 1 و ε 2 هي أرقام موجبة عشوائية.
ثم يكون التعريف المكافئ للحد كما يلي.
حد التسلسل هو مثل هذا الرقم إذا كان لأي من أحيائها مثل هذا الرقم الطبيعي N ، بحيث تنتمي جميع عناصر التسلسل ذات الأرقام إلى هذا الحي.
يمكن أيضًا تقديم هذا التعريف في شكل موسع.
حد المتسلسلة هو رقم إذا لأية أرقام موجبة ويوجد عدد طبيعي N يعتمد على بحيث تظل المتباينات لجميع الأعداد الطبيعية
.
إثبات تكافؤ التعاريف
دعنا نثبت أن التعريفين أعلاه لنهاية التسلسل متكافئان.
اجعل الرقم a هو حد التسلسل وفقًا للتعريف الأول. هذا يعني أن هناك دالة ، بحيث أن المتباينات التالية تبقى ثابتة لأي عدد موجب ε:
(4)
في .
دعنا نظهر أن الرقم أ هو حد التسلسل بالتعريف الثاني أيضًا. أي أننا نحتاج إلى إظهار وجود مثل هذه الدالة ، بحيث تكون لأي أعداد موجبة ε 1
و ε 2
التفاوتات التالية تحمل:
(5)
في .
لنحصل على رقمين موجبين: ε 1
و ε 2
. وليكن أصغرهم:. ثم ؛ ؛ . نستخدم هذا في (5):
.
لكن التفاوتات تصمد. ثم المتباينات (5) تنطبق أيضا.
أي أننا وجدنا دالة مثل المتباينات (5) تحمل أي أعداد موجبة ε 1
و ε 2
.
تم إثبات الجزء الأول.
الآن دع الرقم a هو حد التسلسل وفقًا للتعريف الثاني. هذا يعني أن هناك دالة ، أي أن أي أرقام موجبة ε 1
و ε 2
التفاوتات التالية تحمل:
(5)
في .
دعونا نظهر أن الرقم أ هو حد التسلسل وبالتعريف الأول. لهذا عليك أن تضع. ثم ، من أجل ، فإن التفاوتات التالية تصمد:
.
هذا يتوافق مع التعريف الأول مع.
تم إثبات تكافؤ التعاريف.
أمثلة
مثال 1
اثبت ذلك .
(1)
.
في حالتنا هذه ؛
.
.
دعونا نستخدم خصائص المتباينات. ثم إذا ، ثم
.
.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو حد التسلسل المحدد:
.
مثال 2
باستخدام تعريف حد التسلسل ، اثبت ذلك
.
نكتب تعريف حدود التسلسل:
(1)
.
في حالتنا هذه ، ؛
.
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
دعونا نستخدم خصائص المتباينات. ثم إذا ، ثم
.
أي ، لأي عدد موجب ، يمكننا أن نأخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
.
مثال 3
.
نقدم الترميز ،.
دعونا نحول الفرق:
.
ل n الطبيعية = 1, 2, 3, ...
نملك:
.
نكتب تعريف حدود التسلسل:
(1)
.
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ثم إذا ، ثم
.
أي ، لأي عدد موجب ، يمكننا أن نأخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
حيث
في .
هذا يعني أن الرقم هو حد التسلسل:
.
مثال 4
باستخدام تعريف حد التسلسل ، اثبت ذلك
.
نكتب تعريف حدود التسلسل:
(1)
.
في حالتنا هذه ، ؛
.
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ثم إذا ، ثم
.
أي ، لأي عدد موجب ، يمكننا أن نأخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو حد التسلسل:
.
مراجع:
L.D. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 1983.
يتم تقديم تعريفات حد الوظيفة وفقًا لـ Heine (من حيث المتواليات) ومن حيث Cauchy (من حيث أحياء epsilon و delta). يتم تقديم التعريفات في شكل عالمي ينطبق على كل من الحدود الثنائية والجانب الواحد في النقاط المحدودة وفي النقاط اللانهائية. يتم النظر في التعريف القائل بأن النقطة أ ليست حدًا لوظيفة ما. إثبات تكافؤ التعاريف وفقًا لـ Heine ووفقًا لـ Cauchy.
المحتوىأنظر أيضا: جوار نقطة
تحديد نهاية دالة عند نقطة النهاية
تحديد نهاية دالة عند ما لا نهاية
التعريف الأول لحد الوظيفة (حسب Heine)
(خ)عند النقطة س 0
:
,
لو
1) يوجد مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة س 0
2) لأي تسلسل (x ن)، تقارب x 0
:
التي تنتمي عناصرها إلى الحي ،
اللاحقة (F شن))يتقارب إلى:
.
هنا x 0 ويمكن أن يكون a إما أرقامًا محدودة أو نقاطًا في اللانهاية. يمكن أن يكون الحي من جانبين أو من جانب واحد.
.
التعريف الثاني لحد الوظيفة (حسب كوشي)
الرقم أ يسمى نهاية الدالة f (خ)عند النقطة س 0
:
,
لو
1) يوجد مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة س 0
التي يتم تحديد الوظيفة على أساسها ؛
2) لأي رقم موجب ε > 0
يوجد رقم δ ε > 0
، اعتمادًا على ε ، ذلك بالنسبة لجميع س المنتمين إلى جوار δ ε المثقوب للنقطة س 0
:
,
قيم الدالة f (خ)تنتمي إلى ε - أحياء النقطة أ:
.
نقاط x 0 ويمكن أن يكون a إما أرقامًا محدودة أو نقاطًا في اللانهاية. يمكن أن يكون الحي أيضًا من جانبين ومن جانب واحد.
نكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.
يستخدم هذا التعريف أحياء ذات نهايات متساوية البعد. يمكن أيضًا إعطاء تعريف مكافئ باستخدام الأحياء العشوائية للنقاط.
التعريف باستخدام الأحياء العشوائية
الرقم أ يسمى نهاية الدالة f (خ)عند النقطة س 0
:
,
لو
1) يوجد مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة س 0
التي يتم تحديد الوظيفة على أساسها ؛
2) عن اي حي ش (أ)النقطة أ يوجد مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة س 0
، هذا لكل x التي تنتمي إلى منطقة مثقوبة للنقطة x 0
:
,
قيم الدالة f (خ)تنتمي إلى حي U (أ)النقاط أ:
.
باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية ، يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي:
.
حدود أحادية وثنائية
التعريفات المذكورة أعلاه عالمية بمعنى أنه يمكن استخدامها لأي نوع من الأحياء. إذا ، كما نستخدم الجوار المثقوب باليد اليسرى من نقطة النهاية ، فإننا نحصل على تعريف حد اليد اليسرى. إذا استخدمنا جوار نقطة في اللانهاية كجوار ، فسنحصل على تعريف النهاية عند اللانهاية.
لتحديد حد Heine ، يتلخص هذا في حقيقة أنه يتم فرض قيود إضافية على تسلسل تعسفي يتقارب ، وأن عناصره يجب أن تنتمي إلى المنطقة المجاورة المثقوبة المقابلة للنقطة.
لتحديد حد Cauchy ، من الضروري في كل حالة تحويل التعبيرات إلى متباينات ، باستخدام التعاريف المقابلة لجوار نقطة ما.
انظر "جوار نقطة".
تحديد أن النقطة أ ليست نهاية دالة
غالبًا ما تكون هناك حاجة لاستخدام الشرط القائل بأن النقطة a ليست حد الوظيفة. دعونا نبني نفي التعاريف المذكورة أعلاه. في نفوسهم ، نفترض أن الدالة f (خ)يتم تعريفه في بعض الجوار المثقوب للنقطة x 0 . النقطتان أ و س 0 يمكن أن تكون أعدادًا محدودة وبعيدة بشكل لا نهائي. كل ما هو مذكور أدناه ينطبق على كل من الحدود الثنائية والجانب الواحد.
بحسب هاينه.
رقم أ ليسحد الوظيفة و (خ)عند النقطة س 0
:
,
إذا كان هناك مثل هذا التسلسل (x ن)، تقارب x 0
:
,
التي تنتمي عناصرها إلى الحي ،
ما التسلسل (F شن))لا تتقارب مع:
.
.
بحسب كوشي.
رقم أ ليسحد الوظيفة و (خ)عند النقطة س 0
:
,
إذا كان هناك مثل هذا الرقم الموجب ε > 0
، بحيث لأي رقم موجب δ > 0
، يوجد س ينتمي إلى منطقة مثقوبة للنقطة س 0
:
,
أن قيمة الوظيفة و (خ)لا تنتمي إلى الحي للنقطة أ:
.
.
بالطبع ، إذا لم تكن النقطة a هي حد الوظيفة عند ، فهذا لا يعني أنه لا يمكن أن يكون لها حد. ربما يوجد حد ، لكنه لا يساوي أ. من الممكن أيضًا أن يتم تحديد الوظيفة في منطقة مجاورة مثقوبة من النقطة ، ولكن ليس لها حد عند.
وظيفة و (س) = الخطيئة (1 / س)ليس له حدود مثل x → 0.
على سبيل المثال ، يتم تعريف الوظيفة عند ، ولكن لا يوجد حد. للإثبات ، نأخذ التسلسل. إنها تتقارب إلى حد ما 0
:. لأنه عندها .
لنأخذ تسلسل. كما أنه يتقارب مع هذه النقطة 0
:. لكن منذ ذلك الحين.
ثم لا يمكن أن يساوي الحد أي رقم أ. في الواقع ، ل ، هناك تسلسل مع الذي. لذلك ، أي رقم غير صفري ليس حدًا. لكنه أيضًا ليس حدًا ، حيث يوجد تسلسل به.
معادلة تعريفات الحد حسب هاينه ووفقًا لكوشي
نظرية
إن تعاريف Heine و Cauchy لحد الوظيفة متكافئة.
دليل - إثبات
في الإثبات ، نفترض أن الوظيفة محددة في بعض المناطق المجاورة للنقطة المثقوبة (محدودة أو في اللانهاية). يمكن أن تكون النقطة a أيضًا محدودة أو إلى ما لا نهاية.
دليل هاين ⇒ كوشي
دع الدالة لها حد عند نقطة ما وفقًا للتعريف الأول (وفقًا لـ Heine). أي ، لأي تسلسل ينتمي إلى منطقة مثقوبة للنقطة وله حد
(1)
,
حد التسلسل هو:
(2)
.
دعونا نظهر أن الوظيفة لها حد كوشي عند نقطة ما. هذا هو ، لأي شخص يوجد هذا للجميع.
لنفترض العكس. دع الشرطين (1) و (2) يتم استيفاءهما ، لكن الوظيفة ليس لها حد Cauchy. أي ، يوجد مثل هذا لأي موجود ، لذلك أن
.
خذ ، حيث n هو عدد طبيعي. ثم يوجد و
.
وهكذا قمنا ببناء تسلسل متقارب ، لكن حد التسلسل لا يساوي a. هذا يتعارض مع شرط النظرية.
تم إثبات الجزء الأول.
دليل كوشي ⇒ هاينه
دع وظيفة لها حد عند نقطة ما وفقًا للتعريف الثاني (وفقًا لـ Cauchy). هذا هو ، لأي وجود ذلك
(3)
للجميع.
دعونا نظهر أن الوظيفة لها حد في نقطة ما وفقًا لهاينه.
لنأخذ رقمًا عشوائيًا. وفقًا لتعريف كوشي ، يوجد رقم ، لذا (3) يحمل.
خذ تسلسلًا تعسفيًا ينتمي إلى الحي المثقوب ويتقارب معه. من خلال تعريف تسلسل متقارب ، لأي وجود مثل هذا
في .
ثم من (3) يتبع ذلك
في .
لأن هذا ينطبق على أي ، إذن
.
لقد تم إثبات النظرية.
مراجع:
L.D. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 2003.
اليوم في الدرس سوف نحلل التسلسل الصارمو تعريف صارم لحد الوظيفة، وكذلك تعلم كيفية حل المشكلات ذات الطبيعة النظرية. المقال مخصص في المقام الأول لطلاب السنة الأولى من تخصصات العلوم الطبيعية والهندسة الذين بدأوا في دراسة نظرية التحليل الرياضي وواجهوا صعوبات في فهم هذا القسم من الرياضيات العليا. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن الوصول إلى المواد بسهولة لطلاب المدارس الثانوية.
على مدار سنوات وجود الموقع ، تلقيت عشرات الرسائل غير اللطيفة مع المحتوى التالي تقريبًا: "أنا لا أفهم التحليل الرياضي جيدًا ، ماذا أفعل؟" ، "أنا لا أفهم matan على الإطلاق ، أنا" أفكر في ترك دراستي "، إلخ. في الواقع ، فإن المتان هو الذي غالبًا ما يخفف مجموعة الطلاب بعد الجلسة الأولى. لماذا مثل هذه الأشياء؟ لأن الموضوع معقد بشكل لا يمكن تصوره؟ مُطْلَقاً! نظرية التحليل الرياضي ليست صعبة بقدر ما هي غريبة. وعليك أن تقبلها وتحبها كما هي =)
لنبدأ بأصعب حالة. أولا وقبل كل شيء ، لا تترك المدرسة. افهم بشكل صحيح ، استقال ، سيكون لديك دائمًا وقت ؛-) بالطبع ، إذا كان ذلك سيجعلك مريضًا خلال عام أو عامين من التخصص المختار ، فعندئذ نعم - يجب أن تفكر في الأمر (ولا تصفع الحمى!)حول تغيير الأنشطة. لكن في الوقت الحالي ، الأمر يستحق الاستمرار. ويرجى أن تنسى عبارة "أنا لا أفهم شيئًا" - لا يحدث أنك لا تفهم شيئًا على الإطلاق.
ماذا تفعل إذا كانت النظرية سيئة؟ بالمناسبة ، هذا لا ينطبق فقط على التحليل الرياضي. إذا كانت النظرية سيئة ، فأنت بحاجة أولاً إلى الممارسة بجدية. في الوقت نفسه ، يتم حل مهمتين استراتيجيتين في وقت واحد:
- أولا ، نسبة كبيرة معرفة نظريةجاء من خلال الممارسة. والكثير من الناس يفهمون النظرية من خلال ... - هذا صحيح! لا ، لا ، لم تفكر في ذلك.
- وثانيًا ، من المرجح جدًا أن "تمدك" المهارات العملية في الامتحان ، حتى لو ... كل شيء حقيقي وكل شيء "يتم رفعه" حقًا في وقت قصير إلى حد ما. التحليل الرياضي هو القسم المفضل لدي في الرياضيات العليا ، وبالتالي لا يسعني سوى مساعدتك:
في بداية الفصل الدراسي الأول ، عادة ما تمر حدود التسلسل وحدود الوظيفة. لا تفهم ما هي ولا تعرف كيف تحلها؟ ابدأ بمقال حدود الوظيفة، حيث يتم اعتبار المفهوم نفسه "على الأصابع" ويتم تحليل أبسط الأمثلة. ثم اعمل من خلال دروس أخرى حول الموضوع ، بما في ذلك درس حول ضمن تسلسل، والتي قمت بالفعل بصياغة تعريف دقيق لها.
ما هي الرموز التي تعرفها إلى جانب علامات عدم المساواة والمعامل؟
- عصا عمودية طويلة تقرأ كالتالي: "من هذا القبيل" ، "هذا أن" ، "هذا أن" أو "هذا أن"، في حالتنا ، من الواضح أننا نتحدث عن رقم - وبالتالي "مثل هذا" ؛
- لكل "en" أكبر من ؛
– علامة الوحدة تعني المسافة، بمعنى آخر. يخبرنا هذا الإدخال أن المسافة بين القيم أقل من إبسيلون.
حسنًا ، هل هي قاتلة صعبة؟ =)
بعد إتقان هذه الممارسة ، أنتظرك في الفقرة التالية:
في الواقع ، دعنا نفكر قليلاً - كيف نصوغ تعريفًا صارمًا للتسلسل؟ ... أول ما يتبادر إلى الذهن في النور جلسة عملية: "حد التسلسل هو الرقم الذي يقترب منه أعضاء التسلسل بشكل لا نهائي."
حسنًا ، دعنا نكتب اللاحقة :
من السهل فهم ذلك اللاحقة 
تقترب بشكل لا نهائي من الحدود -1 ، وحتى الحدود الزوجية 
- إلى "وحدة".
ربما حدين؟ ولكن لماذا لا يمكن أن يحتوي تسلسل ما على عشرة أو عشرين منهم؟ بهذه الطريقة يمكنك الذهاب بعيدا. في هذا الصدد ، من المنطقي أن نفترض ذلك إذا كان للتسلسل حد ، فهو فريد.
ملحوظة : التسلسل ليس له حد ، ولكن يمكن التمييز بين اثنين من التتابعات التالية (انظر أعلاه) ، ولكل منهما حده الخاص.
وبالتالي ، فقد تبين أن التعريف أعلاه لا يمكن الدفاع عنه. نعم ، إنه يعمل في حالات مثل (التي لم أستخدمها بشكل صحيح في التفسيرات المبسطة للأمثلة العملية)، لكننا الآن بحاجة إلى إيجاد تعريف صارم.
المحاولة الثانية: "حد التسلسل هو الرقم الذي يقترب منه جميع أعضاء التسلسل ، باستثناء ، ربما ، نهائيكميات." هذا أقرب إلى الحقيقة ، لكنه لا يزال غير دقيق تمامًا. لذلك ، على سبيل المثال ، التسلسل 
نصف المصطلحات لا تقترب من الصفر على الإطلاق - إنها ببساطة تساويها =) بالمناسبة ، يأخذ "الضوء الوامض" عموماً قيمتين ثابتتين.
ليس من الصعب توضيح الصياغة ، ولكن بعد ذلك يطرح سؤال آخر: كيفية كتابة التعريف علامات رياضية? عالم علميكافح مع هذه المشكلة لفترة طويلة ، حتى تم حل الوضع المايسترو الشهير، والتي ، في جوهرها ، إضفاء الطابع الرسمي على التحليل الرياضي الكلاسيكي بكل صرامته. عرض كوشي العمل محيط مما أدى إلى تقدم النظرية بشكل كبير.
النظر في بعض النقاط و اعتباطيا-حي:
قيمة "إبسيلون" إيجابية دائمًا ، علاوة على ذلك ، لدينا الحق في اختياره بأنفسنا. افترض أن الحي المحدد يحتوي على مجموعة من المصطلحات (ليس بالضرورة الكل)بعض التسلسل. كيف تدون حقيقة أن المصطلح العاشر ، على سبيل المثال ، وقع في الحي؟ فليكن على الجانب الأيمن منه. ثم المسافة بين النقطتين ويجب أن تكون أقل من "إبسيلون":. ومع ذلك ، إذا كانت "x عشرة" تقع على يسار النقطة "a" ، فسيكون الفرق سالبًا ، وبالتالي يجب إضافة العلامة إليها وحدة: .
تعريف: رقم يسمى حد التسلسل إذا لأيمحيطها (محدد مسبقا)هناك عدد طبيعي - مثل هذا الكلأعضاء التسلسل بأرقام أعلى سيكونون داخل الحي:
أو أقصر: إذا
بعبارة أخرى ، بغض النظر عن صغر قيمة "إبسيلون" التي نأخذها ، عاجلاً أم آجلاً "الذيل اللانهائي" للتسلسل سيكون بالكامل في هذا الحي.
لذلك ، على سبيل المثال ، "الذيل اللانهائي" للتسلسل يذهب بالكامل إلى أي حي صغير تعسفي من النقطة. وبالتالي ، هذه القيمة هي حد التسلسل حسب التعريف. أذكرك أن التسلسل الذي يكون حده صفر يسمى متناهي الصغر.
وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للتسلسل ، لم يعد من الممكن قول "ذيل لانهائي" تأتي"- الأعضاء الذين لديهم أعداد فردية هم في الواقع مساوون للصفر و" لا تذهب إلى أي مكان "=) وهذا هو سبب استخدام الفعل" سوف ينتهي "في التعريف. وبطبيعة الحال ، فإن أعضاء مثل هذا التسلسل مثل "لا يذهبون إلى أي مكان". بالمناسبة ، تحقق مما إذا كان الرقم سيكون الحد الأقصى.
دعونا نظهر الآن أن التسلسل ليس له حدود. تأمل ، على سبيل المثال ، حي النقطة. من الواضح تمامًا أنه لا يوجد مثل هذا الرقم ، وبعد ذلك سيكون أعضاء ALL في الحي المحدد - فالأعضاء الفرديون سوف "يقفزون" دائمًا إلى "ناقص واحد". لسبب مماثل ، لا يوجد حد في هذه النقطة.
إصلاح المادة بالممارسة:
مثال 1
إثبات أن نهاية المتسلسلة هي صفر. حدد الرقم ، وبعد ذلك يتم ضمان وجود جميع أعضاء التسلسل داخل أي حي صغير تعسفي للنقطة.
ملحوظة : بالنسبة للعديد من المتواليات ، يعتمد العدد الطبيعي المطلوب على القيمة - ومن هنا جاءت التسمية.
قرار: يعتبر اعتباطيا سيكون هناكالرقم - بحيث يكون جميع الأعضاء ذوي الأرقام الأعلى داخل هذا الحي:
لإظهار وجود الرقم المطلوب ، نعبر عنه من حيث.
نظرًا لأنه لأي قيمة "en" ، يمكن إزالة علامة المقياس:
نحن نستخدم أفعال "المدرسة" مع عدم المساواة التي كررتها في الدروس المتباينات الخطيةو نطاق الوظيفة. في هذه الحالة ، هناك ظرف مهم وهو أن "epsilon" و "en" موجبتان:
نظرًا لأننا على اليسار نتحدث عن الأعداد الطبيعية ، والجانب الأيمن في الحالة العامةكسري ، فيجب تقريبه:
ملحوظة : في بعض الأحيان يتم إضافة وحدة إلى اليمين لإعادة التأمين ، ولكن هذا في الواقع يعتبر مبالغة. نسبيًا ، إذا أضعفنا النتيجة أيضًا بالتقريب لأسفل ، فسيظل أقرب رقم مناسب ("ثلاثة") يحقق المتباينة الأصلية.
والآن ننظر إلى عدم المساواة ونتذكر أننا أخذنا في الاعتبار في البداية اعتباطياالحي ، أي يمكن أن تكون "epsilon" مساوية لـ أي واحدرقم موجب، عدد إيجابي.
خاتمة: لأي حي صغير تعسفي من النقطة ، القيمة 
. وبالتالي ، فإن الرقم هو حد التسلسل بحكم التعريف. Q.E.D.
بالمناسبة من النتيجة 
يكون النمط الطبيعي مرئيًا بوضوح: فكلما كان الحي أصغر ، زاد العدد الذي سيكون بعده جميع أعضاء التسلسل في هذا الحي. ولكن بغض النظر عن مدى صغر حجم "إبسيلون" ، فسيكون هناك دائمًا "ذيل لانهائي" في الداخل والخارج - حتى لو كان كبيرًا ، ولكن نهائيعدد من أعضاء.
كيف هي الانطباعات؟ =) أوافق على أنه أمر غريب. لكن بدقة!يرجى إعادة القراءة والتفكير مرة أخرى.
فكر في مثال مشابه وتعرف على الآخرين التقنيات:
مثال 2
قرار: من خلال تعريف التسلسل ، من الضروري إثبات ذلك (التحدث بصوت عال!!!).
يعتبر اعتباطيا- حي النقطة وفحص. هل تتواجدالعدد الطبيعي - بحيث ينطبق المتباينة التالية على جميع الأعداد الأكبر:
لإظهار وجود مثل هذا ، تحتاج إلى التعبير عن "en" من خلال "epsilon". نبسط التعبير تحت علامة الوحدة: 
الوحدة تدمر علامة الطرح: 
يكون المقام موجبًا لأي "en" ، لذلك يمكن إزالة العصي:
خلط: 
الآن نحن بحاجة إلى استخراج الجذر التربيعي، ولكن المهم هو أنه بالنسبة لبعض إبسلون ، سيكون الجانب الأيمن سالبًا. لتجنب هذه المشكلة دعنا نقويمعامل عدم المساواة: 
لماذا يمكن القيام بذلك؟ إذا اتضح ، نسبيًا ، أن الشرط سيكون راضيًا أكثر. يمكن للوحدة فقط زيادةالرقم المطلوب ، وهذا سوف يناسبنا أيضًا! بشكل تقريبي ، إذا كانت المائة مناسبة ، فعندئذٍ المئتان ستفي بالغرض! وفقا للتعريف ، تحتاج إلى إظهار مجرد وجود الرقم(على الأقل بعضًا) ، وبعد ذلك سيكون جميع أعضاء التسلسل في حي واحد. بالمناسبة ، هذا هو السبب في أننا لا نخاف من التقريب النهائي للجانب الأيمن لأعلى.
استخراج الجذر: 
وتقريب النتيجة: 
خاتمة: لان تم اختيار قيمة "إبسيلون" بشكل تعسفي ، ثم بالنسبة لأي حي صغير تعسفيًا للنقطة ، فإن القيمة 
، مثل أن عدم المساواة 
. هكذا، 
الدير. Q.E.D.
انا انصح خصوصاًفهم تقوية وإضعاف عدم المساواة - هذه طرق نموذجية وشائعة جدًا للتحليل الرياضي. الشيء الوحيد الذي تحتاجه لمراقبة صحة هذا الإجراء أو ذاك. لذلك ، على سبيل المثال ، عدم المساواة 
بدون معني فكطرح ، قل ، واحد: 
مرة أخرى ، شرطي: إذا كان الرقم مناسبًا تمامًا ، فقد لا يعد الرقم السابق مناسبًا.
المثال التالي لحل مستقل:
مثال 3
باستخدام تعريف التسلسل ، اثبت ذلك 
حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.
إذا كان التسلسل عظيم بلا حدود، ثم يتم صياغة تعريف الحد بطريقة مماثلة: تسمى النقطة حد التسلسل إذا كان لأي منها ، كبير بشكل تعسفيهناك رقم بحيث أنه بالنسبة لجميع الأعداد الكبيرة ، سيتم استيفاء عدم المساواة. الرقم يسمى جوار النقطة "زائد اللانهاية":
وبعبارة أخرى ، أيا كان أهمية عظيمةبغض النظر عن أي شيء ، فإن "الذيل اللانهائي" من التسلسل سيذهب بالضرورة إلى الحي المجاور للنقطة ، تاركًا عددًا محدودًا من المصطلحات على اليسار.
مثال العمل:
وترميز مختصر: إذا
للحالة ، اكتب التعريف بنفسك. الإصدار الصحيح في نهاية الدرس.
بعد أن "تملأ" يدك بأمثلة عملية واكتشفت تعريف حدود التسلسل ، يمكنك اللجوء إلى الأدبيات المتعلقة بالتحليل الرياضي و / أو كتاب المحاضرات الخاص بك. أوصي بتنزيل المجلد الأول من Bohan (أسهل - للطلاب بدوام جزئي)و Fikhtengoltz (أكثر تفصيلاً وشمولاً). من بين المؤلفين الآخرين ، أنصح بيسكونوف ، الذي تركز دراسته على الجامعات التقنية.
حاول أن تدرس بضمير حي النظريات التي تتعلق بحد التسلسل ، وأدلةها ، وعواقبها. في البداية ، قد تبدو النظرية "غائمة" ، لكن هذا أمر طبيعي - لا يتطلب الأمر سوى بعض التعود. وسيتذوق الكثير منهم!
تعريف صارم لحد الوظيفة
لنبدأ بنفس الشيء - كيف نصوغ هذا المفهوم؟ تتم صياغة التعريف اللفظي لحدود الدالة بشكل أكثر بساطة: "الرقم هو نهاية دالة ، إذا كان مع" x "يميل إلى (على حد سواء اليسار واليمين)، تميل القيم المقابلة للدالة إلى » (إطلع على الرسم). يبدو أن كل شيء طبيعي ، لكن الكلمات هي كلمات ، والمعنى هو المعنى ، والأيقونة هي رمز ، والتدوين الرياضي الصارم لا يكفي. وفي الفقرة الثانية ، سنتعرف على نهجين لحل هذه المشكلة.
دع الوظيفة يتم تحديدها في بعض الفترات باستثناء ، ربما ، للنقطة. في الأدب التربويمن المقبول عمومًا أن الوظيفة موجودة ليسيعرف: 
يبرز هذا الاختيار جوهر حد الوظيفة: "x" قريب بلا حدودالنهج ، والقيم المقابلة للدالة هي قريب بلا حدودل . وبعبارة أخرى ، فإن مفهوم الحد لا يعني ضمنا "نهجا دقيقا" للنقاط ، أي تقريب قريب بلا حدود، لا يهم ما إذا كانت الوظيفة محددة عند النقطة أم لا.
ليس من المستغرب أن تتم صياغة التعريف الأول لنهاية الدالة باستخدام متتابعين. أولاً ، المفاهيم مرتبطة ، وثانيًا ، تتم دراسة حدود الوظائف عادةً بعد حدود التسلسلات.
ضع في اعتبارك التسلسل 
نقاط (ليس على الرسم), تنتمي إلى الفترةو غير ذلك، أيّ يتقاربل . ثم تشكل القيم المقابلة للوظيفة أيضًا تسلسلًا رقميًا ، يقع أعضائه على المحور ص.
حد وظيفة Heine لأيتسلسل نقطي 
(ينتمي إلى ويختلف عن)، التي تتقارب مع النقطة ، يتقارب التسلسل المقابل لقيم الوظيفة.
إدوارد هاينه عالم رياضيات ألماني. ... وليس هناك حاجة للتفكير في أي شيء من هذا القبيل ، لا يوجد سوى مثلي الجنس واحد في أوروبا - هذا هو Gay-Lussac =)
تم بناء التعريف الثاني للحد ... نعم ، نعم ، أنت على حق. لكن أولاً ، دعونا نلقي نظرة على تصميمه. ضع في اعتبارك حيًا تعسفيًا للنقطة (الحي "الأسود"). بناءً على الفقرة السابقة ، فإن التدوين يعني ذلك بعض القيمةتقع الوظيفة داخل بيئة "إبسيلون".
لنجد الآن حيًا يتوافق مع الحي المحدد (ارسم عقليًا خطوطًا منقطة سوداء من اليسار إلى اليمين ثم من أعلى إلى أسفل). لاحظ أنه تم اختيار القيمة على طول الجزء الأصغر ، في هذه الحالة ، بطول المقطع الأيسر الأقصر. علاوة على ذلك ، يمكن اختزال الحي "القرمزي" للنقطة ، كما في التعريف التالي حقيقة الوجود مهمةهذا الحي. وبالمثل ، فإن الإدخال يعني أن بعض القيمة موجودة داخل حي "دلتا".
حد كوشي للدالة: الرقم يسمى حد الدالة عند النقطة إذا لأي مختار مسبقاحي (صغير بشكل تعسفي), يوجد- حي النقطة ، مثلأن: كقيم فقط (مملوكة)المدرجة في هذه المنطقة: (السهام الحمراء)- لذلك على الفور يتم ضمان دخول القيم المقابلة للوظيفة إلى الحي السكني: (الأسهم الزرقاء).
يجب أن أحذرك من أنه لكي أكون أكثر وضوحًا ، فقد ارتجلت قليلاً ، لذا لا تسيء استخدامه =)
الاختزال: إذا
ما هو جوهر التعريف؟ من الناحية المجازية ، من خلال تقليل الأحياء المجاورة بشكل لا نهائي ، فإننا "نرافق" قيم الوظيفة إلى أقصى حد لها ، ولا نترك لها أي بديل للاقتراب من مكان آخر. غير عادي إلى حد ما ، ولكن مرة أخرى بدقة! للحصول على الفكرة بشكل صحيح ، أعد قراءة الصياغة مرة أخرى.
! انتباه: إذا كنت بحاجة إلى صياغة فقط التعريف حسب هاينهأو فقط تعريف كوشيمن فضلك لا تنسى كبيرتعليق أولي: "ضع في اعتبارك دالة تم تحديدها في فاصل زمني ما عدا نقطة ربما". لقد ذكرت هذا مرة واحدة في البداية ولم أكررها في كل مرة.
وفقًا للنظرية المقابلة للتحليل الرياضي ، فإن تعاريف Heine و Cauchy متكافئة ، لكن البديل الثاني هو الأكثر شهرة (لا يزال!)والتي تسمى أيضًا "حد اللسان":
مثال 4
باستخدام تعريف الحد ، اثبت ذلك 
قرار: يتم تحديد الوظيفة على خط الأعداد بالكامل باستثناء النقطة. باستخدام تعريف ، نثبت وجود حد عند نقطة معينة.
ملحوظة : يعتمد حجم حي "دلتا" على "إبسيلون" ، ومن هنا جاءت التسمية
يعتبر اعتباطيا-حي. المهمة هي استخدام هذه القيمة للتحقق مما إذا كان هل تتواجد- حي، مثل، والتي من عدم المساواة 
يتبع عدم المساواة 
.
بافتراض ذلك ، نقوم بتحويل آخر عدم مساواة: 
(تتحلل مربع ثلاثي الحدود)
تعريف 1. اسمحوا ه- عدد لا حصر له. إذا كان أي حي يحتوي على نقاط من المجموعة ه، يختلف عن النقطة أ، من ثم أاتصل هامش نقطة محددة ه.
تعريف 2. (هاينريش هاينه (1821-1881)). دع الوظيفة 
المحددة في المجموعة Xو 
لكناتصل حد
المهام 
في هذه النقطة 
(أو متى 
، إذا كان لأي تسلسل من قيم الوسيطة 
، تتقارب إلى 
، يتقارب التسلسل المقابل لقيم الوظيفة مع الرقم لكن. اكتب: 
.
أمثلة. 1) الوظيفة 
له حد يساوي مع، في أي وقت على خط الأعداد.
في الواقع ، لأي نقطة 
وأي تسلسل لقيم الوسيطة 
، تتقارب إلى 
وتتكون من أرقام بخلاف 
، التسلسل المقابل لقيم الوظيفة له الشكل 
، ونعلم أن هذا التسلسل يتقارب إلى مع. لذا 
.
2) للوظيفة 
.
هذا واضح ، لأنه إذا 
، ثم و 
.
3) وظيفة Dirichlet 
ليس له حدود في أي وقت.
في الواقع ، دعنا 
و 
، وكل 
هي أرقام منطقية. ثم 
للجميع ن، لهذا 
. لو 
وكل 
هي أرقام غير منطقية ، إذن 
للجميع ن، لهذا 
. لذلك نرى أن شروط التعريف 2 غير مستوفاة 
غير موجود.
4)
.
في الواقع ، خذ تسلسلًا عشوائيًا 
، تتقارب إلى
رقم 2. ثم. Q.E.D.
تعريف 3. (كوشي (1789-1857)). دع الوظيفة 
المحددة في المجموعة Xو 
هي نقطة نهاية هذه المجموعة. رقم لكناتصل حد
المهام 
في هذه النقطة 
(أو متى 
، إن وجدت 
سيكون هنالك 
، مثل كل قيم الحجة Xإرضاء عدم المساواة
,
عدم المساواة
.
اكتب: 
.
يمكن أيضًا تقديم تعريف كوشي بمساعدة الأحياء ، إذا لاحظت ذلك ، أ:
دع الوظيفة 
المحددة في المجموعة Xو 
هي نقطة نهاية هذه المجموعة. رقم لكنيسمى الحد
المهام 
في هذه النقطة 
، إن وجدت 
-جوار نقطة لكن 
هناك مثقوب 
- حي النقطة 
، مثل ذلك 
.
من المفيد توضيح هذا التعريف برقم.
مثال 5.
.
في الواقع ، لنأخذ 
بشكل تعسفي وتجد 
، مثل هذا للجميع Xإرضاء عدم المساواة 
عدم المساواة 
. آخر عدم المساواة يعادل عدم المساواة 
، لذلك نرى أنه يكفي أن تأخذ 
. تم إثبات التأكيد.
معرض
نظرية 1. تعاريف حد الوظيفة وفقًا لـ Heine ووفقًا لـ Cauchy متكافئة.
دليل - إثبات. 1) دع 
بواسطة كوشي. دعنا نثبت أن نفس الرقم هو أيضًا الحد الأقصى وفقًا لهينه.
لنأخذ 
على نحو إستبدادي. وفقًا للتعريف 3 ، يوجد 
، مثل هذا للجميع 
عدم المساواة 
. اسمحوا ان 
هو تسلسل تعسفي من هذا القبيل 
في 
. ثم هناك رقم نمثل هذا للجميع 
عدم المساواة 
، لهذا 
للجميع 
، بمعنى آخر. 
بحسب هاينه.
2) دع الآن 
بحسب هاينه. دعنا نثبت ذلك 
ووفقًا لكوشي.
افترض العكس ، أي ماذا او ما 
بواسطة كوشي. ثم هنالك 
مثل هذا لأي 
سيكون هنالك 
,
و 
. ضع في اعتبارك التسلسل 
. المحدد 
وأي نيوجد 
و 
. هذا يعني انه 
، برغم من 
، بمعنى آخر. رقم لكنليس هو الحد 
في هذه النقطة 
بحسب هاينه. لقد حصلنا على تناقض ، مما يثبت التأكيد. لقد تم إثبات النظرية.
نظرية 2 (على تفرد الحد). إذا كان هناك حد للدالة عند نقطة ما 
، إذن فهو الوحيد.
دليل - إثبات. إذا تم تعريف الحد بمعنى Heine ، فإن تفرده ينبع من تفرد حد التسلسل. إذا تم تحديد الحد بواسطة Cauchy ، فإن تفرده يتبع من تكافؤ تعريفات الحد بواسطة Cauchy و Heine. لقد تم إثبات النظرية.
على غرار معيار كوشي للتسلسلات ، هناك معيار كوشي لوجود حد للدالة. قبل صياغته ، نعطي
تعريف 4. يقولون أن الوظيفة 
يفي بشرط كوشي عند هذه النقطة 
، إن وجدت 
يوجد 
، مثل ذلك 
و 
، عدم المساواة 
.
نظرية 3 (معيار كوشي لوجود حد). من أجل الوظيفة 
كان عند هذه النقطة 
حد محدود ، من الضروري والكافي في هذه المرحلة أن تفي الوظيفة بشرط كوشي.
دليل - إثبات.بحاجة إلى. اسمحوا ان 
. علينا إثبات ذلك 
يرضي في هذه النقطة 
حالة كوشي.
لنأخذ 
بشكل تعسفي وطرح 
. من خلال تعريف الحد الأقصى ل 
يوجد 
، مثل أي قيم 
إرضاء عدم المساواة 
و 
، عدم المساواة 
و 
. ثم
تم إثبات الحاجة.
قدرة. دع الوظيفة 
يرضي في هذه النقطة 
حالة كوشي. يجب أن تثبت أن لديها وجهة نظر 
حد النهاية.
لنأخذ 
على نحو إستبدادي. بالتعريف 4 ، هناك 
، مثل ذلك من عدم المساواة 
,
يتبع ذلك 
- تعطى.
دعونا أولا نظهر ذلك لأي تسلسل 
، تتقارب إلى 
، اللاحق 
تتلاقى قيم الدالة. في الواقع ، إذا 
، إذن ، بحكم تعريف حدود التسلسل ، من أجل معين 
يوجد رقم ن، مثل هذا لأي 
و 
. بقدر ما 
في هذه النقطة 
يفي بشرط كوشي ، لدينا 
. ثم ، بمعيار كوشي للتسلسل ، التسلسل 
يتقارب. دعونا نظهر أن كل هذه التسلسلات 
تتلاقى إلى نفس الحد. افترض العكس ، أي ما هي التسلسلات 
و 
,
,
، مثل ذلك. لنفكر في التسلسل. من الواضح أنها تقترب من 
لذلك ، من خلال ما سبق ، يتقارب التسلسل ، وهو أمر مستحيل ، منذ التكرارات اللاحقة 
و 
لها حدود مختلفة 
و 
. التناقض الذي تم الحصول عليه يدل على ذلك 
=
. لذلك ، حسب تعريف هاين ، فإن الوظيفة لها نقطة ما 
حد النهاية. تم إثبات الكفاية ومن ثم النظرية.
