اقرأ موضوع الدرس: "القسمة مع الباقي". ماذا تعرف بالفعل عن هذا الموضوع؟

هل يمكنك تقسيم 8 خوخات بالتساوي على طبقين (شكل 1)؟

أرز. 1. التوضيح على سبيل المثال

يمكنك وضع 4 خوخات في كل طبق (الشكل 2).

أرز. 2. التوضيح على سبيل المثال

يمكن كتابة الإجراء الذي قمنا به على النحو التالي.

8: 2 = 4

ما رأيك ، هل من الممكن تقسيم 8 خوخات بالتساوي إلى 3 لوحات (الشكل 3)؟

أرز. 3. التوضيح على سبيل المثال

دعونا نتصرف مثل هذا. أولاً ، ضع حبة برقوق واحدة في كل طبق ، ثم ضع البرقوق الثاني. سيكون لدينا 2 خوخ متبقي ، لكن 3 أطباق. لذلك لا يمكننا تقسيمها بالتساوي. نضع 2 حبة برقوق في كل طبق ، ويتبقى لدينا 2 برقوق (الشكل 4).

أرز. 4. التوضيح على سبيل المثال

دعونا نواصل المراقبة.

اقرأ الأرقام. من بين الأعداد المعطاة ، أوجد تلك التي تقبل القسمة على 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

اختبر نفسك.

الأعداد المتبقية (11 ، 13 ، 14 ، 16 ، 17 ، 19) غير قابلة للقسمة على 3 ، أو يقولون "اقسم مع الباقي".

دعونا نجد قيمة الخاص.

لنكتشف عدد المرات التي يحتوي فيها الرقم 17 على 3 (الشكل 5).

أرز. 5. التوضيح على سبيل المثال

نرى أن 3 أشكال بيضاوية تتلاءم 5 مرات وبقي 2 أشكال بيضاوية.

يمكن كتابة الإجراء المتخذ على النحو التالي.

17: 3 = 5 (راحة. 2)

يمكن كتابتها أيضًا في عمود (الشكل 6)

أرز. 6. التوضيح على سبيل المثال

راجع الرسومات. اشرح التسميات التوضيحية لهذه الأشكال (الشكل 7).

أرز. 7. التوضيح على سبيل المثال

تأمل الشكل الأول (الشكل 8).

أرز. 8. التوضيح على سبيل المثال

نرى أن تم تقسيم 15 شكل بيضاوي بمقدار 2. 2 تكررت 7 مرات ، في الباقي - 1 بيضاوي.

تأمل الشكل الثاني (الشكل 9).

أرز. 9. التوضيح على سبيل المثال

في هذا الشكل ، تم تقسيم 15 مربعًا على 4. تكررت 4 مرات 3 ، وفي الباقي - 3 مربعات.

تأمل الشكل الثالث (الشكل 10).

أرز. 10. التوضيح على سبيل المثال

يمكننا القول أنه تم تقسيم 15 شكل بيضاوي إلى 3. 3 تكررت 5 مرات بالتساوي. في مثل هذه الحالات ، يُقال أن الباقي هو 0.

لنقم بالقسمة.

نقسم المربعات السبعة إلى ثلاثة. نحصل على مجموعتين ، ويبقى مربع واحد. دعنا نكتب الحل (الشكل 11).

أرز. 11. التوضيح على سبيل المثال

لنقم بالقسمة.

نكتشف عدد مرات العدد أربعة في العدد 10. نلاحظ أنه في العدد 10 ، تم احتواء أربعة مرتين في العدد ويتبقى مربعا 2. دعنا نكتب الحل (الشكل 12).

أرز. 12. التوضيح على سبيل المثال

لنقم بالقسمة.

نكتشف عدد مرات احتواء الرقمين على اثنين في الرقم 11. ونلاحظ أنه في العدد 11 ، تم احتواء الرقمين 5 مرات وبقايا مربع واحد. دعنا نكتب الحل (الشكل 13).

أرز. 13. التوضيح على سبيل المثال

دعونا نستنتج. يعني القسمة على الباقي معرفة عدد مرات احتواء المقسوم عليه في المقسوم وعدد الوحدات المتبقية.

يمكن أيضًا إجراء القسمة مع الباقي على خط الأعداد.

على خط الأعداد ، نحدد أجزاء من 3 أقسام وسنرى أن ثلاثة أقسام تحولت إلى ثلاث مرات وبقي قسم واحد (الشكل 14).

أرز. 14. التوضيح على سبيل المثال

دعنا نكتب الحل.

10: 3 = 3 (راحة 1)

لنقم بالقسمة.

على الحزمة العددية ، نضع علامة على أجزاء من 3 أقسام وسنرى أن ثلاثة أقسام تحولت إلى ثلاثة أضعاف وبقي قسمان (الشكل 15).

أرز. 15. التوضيح على سبيل المثال

دعنا نكتب الحل.

11: 3 = 3 (راحة 2)

لنقم بالقسمة.

على الشعاع العددي ، نحدد مقاطع من 3 أقسام وسنرى أننا حصلنا على 4 مرات بالضبط ، ولم يتبق منها (الشكل 16).

أرز. 16. التوضيح على سبيل المثال

دعنا نكتب الحل.

12: 3 = 4

اليوم في الدرس تعرفنا على القسمة مع الباقي ، وتعلمنا كيفية تنفيذ الإجراء المحدد باستخدام صورة وحزمة أرقام ، وتمرننا على حل أمثلة حول موضوع الدرس.

فهرس

1. م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 1. - م: "التنوير" ، 2012.
2. م. مورو ، م. بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف 3: في جزأين ، الجزء 2. - م: "التنوير" ، 2012.
3. م. مورو. دروس الرياضيات: إرشادات للمعلمين. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
4. وثيقة تنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. - م: التنوير 2011.
5. "مدرسة روسيا": برامج للمدارس الابتدائية. - م: التنوير 2011.
6. S.I. فولكوف. الرياضيات: اختبار العمل. الصف 3 - م: التعليم ، 2012.
7. في. رودنيتسكايا. الاختبارات. - م: "امتحان" 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

واجب منزلي

1. اكتب الأرقام التي تقبل القسمة على 2 بدون الباقي.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. قم بإجراء القسمة على الباقي باستخدام الرسم.

3. قم بالقسمة على الباقي باستخدام خط الأعداد.

4. قم بعمل مهمة لرفاقك حول موضوع الدرس.

في هذه المقالة سوف نحلل قسمة عدد صحيح مع الباقي. لنبدأ بالمبدأ العام لقسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي ، وصياغة وإثبات نظرية حول تقسيم الأعداد الصحيحة مع الباقي ، وتتبع الروابط بين المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة الجزئي والباقي. بعد ذلك ، سنعلن عن القواعد التي يتم من خلالها تقسيم الأعداد الصحيحة مع الباقي ، وننظر في تطبيق هذه القواعد عند حل الأمثلة. بعد ذلك ، سوف نتعلم كيفية التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي.

التنقل في الصفحة.

فكرة عامة عن قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي

وسيتم النظر في تقسيم الأعداد الصحيحة مع باقي كتعميم الانقسام مع ما تبقى من الأعداد الطبيعية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الأعداد الطبيعية هي عنصر من الأعداد الصحيحة هذا.

بداية دعونا للشروط وتدوين التي تستخدم في الوصف.

قياسا على تقسيم الأعداد الطبيعية مع ما تبقى، ونحن نفترض أن نتيجة الانقسام مع ما تبقى من عددين a و b (ب لا تساوي صفر) هي عددين C و D. ويطلق على الأرقام أ و ب قابل للقسمةو مقسمعلى التوالي، وعدد د هو بقيةمن تقسيم كتبها ب، ويسمى صحيح ج القطاع الخاص غير مكتملة(أو ببساطة نشرإذا كان الباقي صفر).

دعونا نتفق على أن ما تبقى هو عدد صحيح غير سالب، ولا تتجاوز قيمتها ب، وهذا هو، (التقينا سلاسل مماثلة من عدم المساواة عندما تحدثنا عن المقارنة بين ثلاثة أو أكثر من الأعداد الصحيحة).

إذا كان رقم ج هو حاصل الجزئي، وعدد د هي ما تبقى من قسمة عدد صحيح على عدد صحيح من قبل ب، فإننا سوف أكتب بإيجاز هذه الحقيقة باعتبارها المساواة في شكل و: ب = ج (د المتبقية).

لاحظ أنه عندما ينقسم إلى عدد صحيح من قبل عدد صحيح ب، يمكن أن تبقى يكون صفرا. في هذه الحالة، ونحن نقول أن يقبل القسمة على ب دون أن يترك أثرا(أو بالكامل). وهكذا، وتقسيم الأعداد الصحيحة دون الباقي هو حالة خاصة من تقسيم الأعداد الصحيحة مع الباقي.

ومن الجدير قائلا أنه عندما تقسيم الصفر من قبل بعض صحيحا، ونحن نتعامل دائما مع تقسيم دون الباقي، لأنه في هذه الحالة سوف حاصل مساويا لصفر (راجع المقطع على نظرية تقسيم الصفر بحلول عدد صحيح)، والباقي سيكون أيضا تساوي الصفر.

قررنا على المصطلحات والرموز، الآن دعونا الرقم للخروج معنى تقسيم الأعداد الصحيحة مع الباقي.

يمكن تقسيم سلبية صحيحا جراء عدد صحيح ب إيجابية أيضا معنى. للقيام بذلك، والنظر في عدد صحيح سالب كدين. دعونا نتصور مثل هذا الوضع. الديون التي تشكل البنود يجب أن يتم سدادها من قبل الناس ب، مما يجعل مساهمة نفسه. فإن القيمة المطلقة لعدم اكتمال حاصل ج في هذه الحالة تحديد مقدار الدين من كل هؤلاء الناس، وسوف تبقى د تظهر عدد العناصر التي تبقى بعد سداد الديون. دعونا نأخذ مثالا على ذلك. وتقول دعونا 2 الناس مدينون 7 التفاح. وإذا افترضنا أن كل واحد منهم مدين 4 التفاح، ثم بعد سداد الديون سيكون لديهم 1 تفاحة اليسار. هذا الموقف يتوافق مع المساواة (-7): 2 = -4 (المتبقية 1).

ونحن لن نعلق أي معنى لتقسيم مع ما تبقى من التعسفي عدد صحيح على عدد صحيح من قبل سلبية، ولكننا لن نترك الامر الحق في الوجود.

نظرية القسمة للأعداد الصحيحة مع الباقي

عندما تحدثنا عن قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي ، وجدنا أن المقسوم أ ، والمقسوم عليه ب ، والحاصل غير الكامل ج والباقي د مرتبطان بالمساواة أ = ب ج + د. تشترك الأعداد الصحيحة a و b و c و d في نفس العلاقة. تم تأكيد هذا الاتصال من خلال ما يلي نظرية القسمة مع الباقي.

نظرية.

يمكن تمثيل أي عدد صحيح أ بطريقة فريدة من خلال عدد صحيح ورقم غير صفري ب في الشكل أ = ب q + ص ، حيث q و r بعض الأعداد الصحيحة ، و.

دليل.

دعونا أولاً نثبت إمكانية تمثيل a = b · q + r.

إذا كانت الأعداد الصحيحة a و b قابلة للقسمة بالتساوي على b ، فعندئذٍ يوجد بالتعريف عدد صحيح q بحيث يكون a = b q. في هذه الحالة ، فإن المساواة a = b q + r تنطبق على r = 0.

الآن سنفترض أن b عدد صحيح موجب. نختار عددًا صحيحًا q بحيث لا يتجاوز المنتج b · q الرقم a ، والمنتج b · (q + 1) أكبر بالفعل من a. أي نأخذ q بحيث تكون المتباينات ب q

يبقى إثبات إمكانية تمثيل a = b q + r لسالب b.

نظرًا لأن معامل الرقم ب في هذه الحالة هو رقم موجب ، فهناك تمثيل لـ ، حيث q 1 عدد صحيح ، و r عدد صحيح يلبي الشروط. بعد ذلك ، بافتراض q = −q 1 ، نحصل على التمثيل المرغوب a = b q + r للسالب b.

ننتقل إلى إثبات التفرد.

افترض أنه بالإضافة إلى التمثيل a = b q + r ، فإن q و r أعداد صحيحة ، وهناك تمثيل آخر a = b q 1 + r 1 ، حيث q 1 و r 1 عبارة عن بعض الأعداد الصحيحة ، و q 1 ≠ q و.

بعد الطرح من الجزأين الأيسر والأيمن للمساواة الأولى ، على التوالي ، الأجزاء اليمنى واليسرى من المساواة الثانية ، نحصل على 0 = ب (q − q 1) + r − r 1 ، وهو ما يعادل المساواة r− ص 1 = ب (ف 1 - ف). ثم المساواة في الشكل ، وبسبب خصائص معامل العدد - والمساواة .

من الشروط ويمكننا أن نستنتج ذلك. نظرًا لأن q و q 1 عددان صحيحان و q ≠ q 1 ، فمن أين نستنتج ذلك . من عدم المساواة التي تم الحصول عليها و ويترتب على ذلك المساواة في الشكل مستحيل في ظل افتراضنا. لذلك ، لا يوجد تمثيل آخر للرقم a ، باستثناء a = b · q + r.

العلاقات بين المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة الجزئي والباقي

تسمح لك المساواة أ = ب ج + د بإيجاد عائد غير معروف أ إذا كان القاسم ب ، والحاصل الجزئي ج والباقي د معروفين. تأمل في مثال.

مثال.

ما هو العائد إذا نتج عن القسمة على العدد الصحيح −21 حاصل قسمة غير كامل من 5 والباقي من 12؟

المحلول.

نحتاج إلى حساب المقسوم أ عندما نعرف المقسوم عليه ب = −21 ، والحاصل الجزئي ج = 5 والباقي د = 12. بالانتقال إلى المساواة أ = ب ج + د ، نحصل على أ = (- 21) 5 + 12. ملاحظة ، نقوم أولاً بضرب الأعداد الصحيحة 21 و 5 وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة بعلامات مختلفة ، وبعد ذلك نقوم بجمع الأعداد الصحيحة بعلامات مختلفة: (−21) 5 + 12 = −105 + 12 = −93.

إجابه:

−93 .

يتم التعبير عن العلاقات بين المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة الجزئي والباقي أيضًا من خلال المساواة في الشكل ب = (أ − د): ج ، ج = (أ − د): ب ود = أ − ب · ج. تسمح لنا هذه المعادلات بحساب المقسوم عليه ، وحاصل القسمة الجزئي ، والباقي على التوالي. نحتاج غالبًا إلى إيجاد باقي قسمة عدد صحيح أ على عدد صحيح ب عند معرفة المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة الجزئي ، باستخدام الصيغة د = أ − ب · ج. لتجنب المزيد من الأسئلة ، سنقوم بتحليل مثال لحساب الباقي.

مثال.

أوجد باقي قسمة العدد الصحيح 19 على العدد الصحيح 3 إذا كان حاصل القسمة الجزئي معروفًا أنه −7.

المحلول.

لحساب باقي القسمة ، نستخدم صيغة بالصيغة d = a − b · c. من الحالة لدينا جميع البيانات الضرورية أ = 19 ، ب = 3 ، ج = −7. نحصل على d = a − bc = −19−3 (−7) = −19 - (- 21) = - 19 + 21 = 2 (الفرق −19 - (- 21) حسبنا بقاعدة طرح سالب عدد صحيح).

إجابه:

القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة الموجبة والأمثلة

كما لاحظنا بالفعل أكثر من مرة ، فإن الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد طبيعية. لذلك ، يتم القسمة على باقي الأعداد الصحيحة الموجبة وفقًا لجميع قواعد القسمة على باقي الأعداد الطبيعية. من المهم جدًا أن تكون قادرًا على إجراء القسمة بسهولة مع باقي الأعداد الطبيعية ، حيث أن هذا هو الأساس الذي يقوم عليه تقسيم ليس فقط الأعداد الصحيحة الموجبة ، ولكن أيضًا أساس جميع قواعد القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة التعسفية.

من وجهة نظرنا ، من الأنسب إجراء القسمة على عمود ، تتيح لك هذه الطريقة الحصول على كل من حاصل القسمة غير الكامل (أو مجرد حاصل القسمة) والباقي. ضع في اعتبارك مثالاً على القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة الموجبة.

مثال.

نفذ قسمة مع باقي 14671 على 54.

المحلول.

لنقم بقسمة هذه الأعداد الصحيحة الموجبة على عمود:

تبين أن الحاصل غير المكتمل هو 271 ، والباقي هو 37.

إجابه:

14671: 54 = 271 (الباقي 37).

قاعدة القسمة مع باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب ، أمثلة

دعنا نصيغ قاعدة تسمح لك بإجراء قسمة على باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب.

حاصل القسمة الجزئي لقسمة عدد صحيح موجب أ على عدد صحيح سالب ب هو عكس حاصل القسمة الجزئي لقسمة أ على معامل ب ، والباقي من قسمة أ على ب هو باقي القسمة على.

ويترتب على هذه القاعدة أن حاصل القسمة الجزئي لقسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب هو عدد صحيح غير موجب.

دعنا نعيد تشكيل القاعدة الصوتية في خوارزمية للقسمة على باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب:

• نقسم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه ، نحصل على حاصل القسمة غير الكامل والباقي. (إذا تبين في هذه الحالة أن الباقي يساوي صفرًا ، فسيتم تقسيم الأرقام الأصلية بدون باقي ، ووفقًا لقاعدة قسمة الأعداد الصحيحة بعلامات معاكسة ، فإن حاصل القسمة المطلوب يساوي الرقم المقابل للحاصل من تقسيم الوحدات.)
• نكتب الرقم المقابل لحاصل القسمة غير المكتمل المستلم ، والباقي. هذه الأرقام هي ، على التوالي ، حاصل القسمة المرغوب والباقي من قسمة العدد الصحيح الموجب الأصلي على عدد صحيح سالب.

دعونا نعطي مثالاً على استخدام الخوارزمية لقسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب.

مثال.

اقسم على باقي عدد صحيح موجب 17 على عدد صحيح سالب −5.

المحلول.

دعونا نستخدم خوارزمية القسمة مع باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب.

الفاصل

العدد المقابل لـ 3 هو −3. وبالتالي ، فإن حاصل القسمة الجزئي المطلوب لقسمة 17 على 5 هو −3 والباقي هو 2.

إجابه:

17: (- 5) = - 3 (الراحة 2).

مثال.

يقسم 45 في -15.

المحلول.

وحدات المقسوم والمقسوم عليها 45 و 15 على التوالي. العدد 45 يقبل القسمة على 15 بدون باقي ، بينما حاصل القسمة 3. لذلك ، العدد الصحيح الموجب 45 يقبل القسمة على العدد الصحيح السالب 15 بدون باقي ، بينما حاصل القسمة يساوي الرقم المقابل لـ 3 ، أي −3. في الواقع ، وفقًا لقاعدة قسمة الأعداد الصحيحة بعلامات مختلفة ، لدينا.

إجابه:

45:(−15)=−3 .

القسمة مع باقي عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب ، أمثلة

دعونا نصيغ قاعدة القسمة مع باقي عدد صحيح سالب بعدد صحيح موجب.

للحصول على حاصل قسمة غير مكتمل c من قسمة عدد صحيح سالب أ على عدد صحيح موجب ب ، تحتاج إلى أخذ الرقم المقابل للحاصل غير الكامل من قسمة الوحدات النمطية للأرقام الأصلية وطرح واحدًا منه ، وبعد ذلك يتم حساب الباقي د باستخدام الصيغة د = أ − قبل الميلاد.

من قاعدة القسمة هذه مع الباقي ، يترتب على ذلك أن حاصل القسمة غير الكامل لقسمة عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب هو عدد صحيح سالب.

من القاعدة التي تم التعبير عنها تتبع خوارزمية القسمة مع باقي العدد الصحيح السالب أ بعدد صحيح موجب ب:

• نجد وحدات المقسوم والمقسوم عليه.
• نقسم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه ، نحصل على حاصل القسمة غير الكامل والباقي. (إذا كان الباقي صفراً ، فإن الأعداد الصحيحة الأصلية قابلة للقسمة بدون باقي ، والحاصل المطلوب يساوي الرقم المقابل لحاصل قسمة الوحدات.)
• نكتب الرقم المقابل لحاصل القسمة غير المكتمل المستلم ونطرح الرقم 1 منه. الرقم المحسوب هو حاصل القسمة الجزئي المطلوب c من قسمة العدد الصحيح السالب الأصلي على عدد صحيح موجب.

دعنا نحلل حل المثال الذي نستخدم فيه خوارزمية القسمة المكتوبة مع الباقي.

مثال.

أوجد حاصل القسمة الجزئي وباقي العدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على العدد الصحيح الموجب 5.

المحلول.

مقياس المقسوم 17 هو 17 ، ومقياس المقسوم عليه 5 هو 5.

الفاصل 17 في 5 ، نحصل على حاصل غير مكتمل 3 والباقي 2.

عكس 3 هو −3. اطرح واحدًا من −3: −3−1 = −4. لذا ، فإن حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب هو −4.

يبقى لحساب الباقي. في مثالنا أ = −17 ، ب = 5 ، ج = −4 ، ثم د = أ − ب ج = 17−5 (−4) = −17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3.

وبالتالي ، فإن حاصل القسمة الجزئي للعدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على عدد صحيح موجب 5 هو −4 والباقي هو 3.

إجابه:

(17): 5 = −4 (بقية 3).

مثال.

اقسم العدد الصحيح السالب −1 404 على العدد الصحيح الموجب 26.

المحلول.

معامل المقسوم هو 1404 ، مقياس المقسوم عليه هو 26.

قسّم 1404 على 26 في عمود:

نظرًا لأن مقياس المقسوم قد تم قسومه على مقياس المقسوم عليه بدون باقي ، يتم تقسيم الأعداد الصحيحة الأصلية بدون باقي ، والحاصل المطلوب يساوي الرقم المقابل لـ 54 ، أي −54.

إجابه:

(−1 404):26=−54 .

حكم القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة السالبة ، أمثلة

دعونا نصيغ قاعدة القسمة مع باقي الأعداد الصحيحة السالبة.

للحصول على حاصل قسمة غير مكتمل c من قسمة عدد صحيح سالب a على عدد صحيح سالب b ، تحتاج إلى حساب حاصل القسمة غير المكتمل من قسمة الوحدات النمطية للأرقام الأصلية وإضافة واحد إليها ، وبعد ذلك ، احسب الباقي d باستخدام الصيغة d = أ − قبل الميلاد.

من هذه القاعدة يترتب على ذلك أن حاصل القسمة غير المكتمل لقسمة الأعداد الصحيحة السالبة هو عدد صحيح موجب.

دعونا نعيد كتابة القاعدة الصوتية في شكل خوارزمية لقسمة الأعداد الصحيحة السالبة:

• نجد وحدات المقسوم والمقسوم عليه.
• نقسم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه ، نحصل على حاصل القسمة غير الكامل والباقي. (إذا كان الباقي صفراً ، فإن الأعداد الصحيحة الأصلية قابلة للقسمة بدون باقي ، والحاصل المطلوب يساوي حاصل قسمة معامل القسمة على معامل المقسوم عليه.)
• نضيف واحدًا إلى حاصل القسمة غير المكتمل الناتج ، وهذا الرقم هو حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب من قسمة الأعداد الصحيحة السلبية الأصلية.
• احسب الباقي باستخدام الصيغة د = أ − ب ج.

ضع في اعتبارك تطبيق الخوارزمية لقسمة الأعداد الصحيحة السالبة عند حل مثال.

مثال.

أوجد حاصل القسمة الجزئي وباقي العدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على العدد الصحيح السالب −5.

المحلول.

نستخدم خوارزمية القسمة المناسبة مع الباقي.

معامل المقسوم هو 17 ، مقياس المقسوم عليه هو 5.

قسم 17 ضرب 5 يعطي حاصل القسمة غير المكتمل 3 والباقي 2.

نضيف واحدًا إلى حاصل القسمة غير المكتمل 3: 3 + 1 = 4. لذلك ، فإن حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب لقسمة 17 على −5 هو 4.

يبقى لحساب الباقي. في هذا المثال أ = −17 ، ب = 5 ، ج = 4 ، ثم د = أ − ب ج = −17 - (- 5) 4 = −17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3.

إذن ، حاصل القسمة الجزئي للعدد الصحيح السالب 17 مقسومًا على عدد صحيح سالب −5 هو 4 ، والباقي هو 3.

إجابه:

(17): (- 5) = 4 (الراحة 3).

التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي

بعد إجراء قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي ، من المفيد التحقق من النتيجة. يتم التحقق على مرحلتين. في المرحلة الأولى ، يتم التحقق مما إذا كان الباقي d عددًا غير سالب ، وكذلك التحقق من الشرط. إذا تم استيفاء جميع شروط المرحلة الأولى من التحقق ، فيمكنك المتابعة إلى المرحلة الثانية من التحقق ، وإلا يمكن القول بأن خطأ ما حدث في مكان ما عند القسمة على الباقي. في المرحلة الثانية ، يتم التحقق من صحة المساواة أ = ب ؛ ج + د. إذا كانت هذه المساواة صحيحة ، فقد تم تنفيذ القسمة مع الباقي بشكل صحيح ، وإلا حدث خطأ في مكان ما.

لنفكر في حلول الأمثلة التي يتم فيها التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الصحيحة مع الباقي.

مثال.

عند قسمة الرقم -521 على -12 ، كان حاصل القسمة الجزئي 44 والباقي 7 ، تحقق من النتيجة.

المحلول. −2 لـ b = −3 ، c = 7 ، d = 1. لدينا ب ج + د = −3 7 + 1 = −21 + 1 = 20. وبالتالي ، فإن المساواة أ = ب ج + د غير صحيحة (في مثالنا أ = −19).

لذلك ، تم إجراء القسمة مع الباقي بشكل غير صحيح.

القسمة مع الباقيهي قسمة رقم على آخر بحيث لا يكون الباقي صفراً.

ليس من الممكن دائمًا إجراء القسمة ، حيث توجد حالات لا يقبل فيها رقم واحد القسمة على رقم آخر. على سبيل المثال ، الرقم 11 غير قابل للقسمة على 3 ، لأنه لا يوجد رقم طبيعي من هذا القبيل ، عند ضربه في 3 ، سيعطي 11.

عندما يتعذر إجراء القسمة ، تم الاتفاق على تقسيم ليس كل ما هو قابل للقسمة ، ولكن فقط الجزء الأكبر منه ، والذي لا يمكن تقسيمه إلا إلى قاسم. في هذا المثال ، الجزء الأكبر من المقسوم الذي يمكن تقسيمه على 3 هو 9 (نتيجة لذلك نحصل على 3) ، ولن يتم تقسيم الجزء الأصغر المتبقي من المقسوم - 2 على 3.

بالحديث عن قسمة 11 على 3 ، فإن 11 لا تزال تسمى القسمة ، و 3 هي القاسم ، ونتيجة القسمة هي الرقم 3 ، يسمونها القطاع الخاص غير مكتملة، والرقم 2 - ما تبقى من الانقسام. يسمى القسمة نفسها في هذه الحالة القسمة مع الباقي.

حاصل القسمة غير المكتمل هو أكبر رقم ، عند ضربه في القاسم ، يعطي منتجًا لا يتجاوز القسمة. الفرق بين المقسوم وهذا المنتج يسمى الباقي. دائمًا ما يكون الباقي أقل من المقسوم عليه ، وإلا يمكن أيضًا تقسيمه على المقسوم عليه.

يمكن كتابة القسمة مع الباقي على النحو التالي:

11: 3 = 3 (الباقي 2)

إذا تم قسمة عدد طبيعي على آخر ، فإن الباقي يساوي 0 ، يقال أن الرقم الأول قابل للقسمة بالتساوي على الثاني. على سبيل المثال ، 4 يقبل القسمة على 2. الرقم 5 لا يقبل القسمة على 2. عادةً ما تُحذف الكلمة بأكملها للإيجاز ويقولون: كذا وكذا رقم يقبل القسمة على آخر ، على سبيل المثال: 4 يقبل القسمة على 2 ، و 5 لا يقبل القسمة على 2.

التحقق من القسمة مع الباقي

يمكنك التحقق من نتيجة القسمة مع الباقي بالطريقة التالية: اضرب حاصل القسمة غير المكتمل في القاسم (أو العكس) وأضف الباقي إلى الناتج الناتج. إذا كانت النتيجة رقمًا يساوي المقسوم ، فإن القسمة على الباقي تتم بشكل صحيح:

11: 3 = 3 (الباقي 2)

في هذه المقالة ، سوف نلقي نظرة فاحصة على قسمة مع الباقي. لنبدأ بفكرة عامة حول هذا الإجراء ، ثم اكتشف معنى قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي، وتقديم الشروط اللازمة. ثم نحدد نطاق المشكلات التي تم حلها بقسمة الأعداد الطبيعية على الباقي. في الختام ، دعونا نتناول جميع أنواع الوصلات بين المقسوم والمقسوم عليه والحاصل غير المكتمل وبقية القسمة.

التنقل في الصفحة.

إجابه:

المقسوم هو 79.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الطبيعية مع الباقي يتم عن طريق التحقق من صحة المساواة الناتجة a = b · c + d.

إيجاد الباقي إذا كان المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة غير المكتمل معروفين

في معناه ، الباقي d هو عدد العناصر التي تظل في المجموعة الأصلية بعد الاستبعاد من عناصرها a b في c عناصر كل منها. لذلك ، بحكم الإحساس بضرب الأعداد الطبيعية والشعور بطرح الأعداد الطبيعية ، فإن المساواة د = أ − ب ج. في هذا الطريق، الباقي د من قسمة عدد طبيعي أ على رقم طبيعي ب يساوي الفرق بين المقسوم أ وحاصل ضرب المقسوم عليه ب وحاصل القسمة الجزئي ج.

يتيح لك الاتصال الناتج d = a − b · c العثور على الباقي عند معرفة المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة غير المكتمل. لنفكر في مثال للحل.

من الفكرة العامة لقسمة الأعداد الطبيعية على الباقي ، سننتقل ، وفي هذه المقالة سنتعامل مع المبادئ التي يتم من خلالها تنفيذ هذا الإجراء. على الاطلاق قسمة مع الباقيله الكثير من القواسم المشتركة مع قسمة الأعداد الطبيعية دون باقي ، لذلك سنشير غالبًا إلى مادة هذه المقالة.

أولاً ، لنتعامل مع قسمة الأعداد الطبيعية مع وجود الباقي في عمود. بعد ذلك ، سنوضح كيف يمكنك إيجاد نتيجة قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي بالطرح المتسلسل. بعد ذلك ننتقل إلى طريقة اختيار حاصل قسمة غير مكتمل ، مع عدم نسيان إعطاء أمثلة مع وصف مفصل للحل. بعد ذلك ، نكتب خوارزمية تسمح لنا بقسمة الأعداد الطبيعية على باقي الأعداد في الحالة العامة. في نهاية المقال ، سنبين كيف يتم التحقق من نتيجة قسمة الأعداد الطبيعية مع الباقي.

التنقل في الصفحة.

قسمة الأعداد الطبيعية في عمود مع الباقي

إحدى الطرق الأكثر ملاءمة لقسمة الأعداد الطبيعية مع الباقي هي القسمة على عمود. في مقالة قسمة الأعداد الطبيعية على عمود ، قمنا بتحليل طريقة القسمة هذه بتفصيل كبير. لن نكرر أنفسنا هنا ، لكن ببساطة نعطي حلاً لمثال واحد.

مثال.

نفذ القسمة على باقي العدد الطبيعي 273844 على العدد الطبيعي 97.

المحلول.

دعنا نقسم على عمود:

إذن حاصل قسمة 273844 الجزئي على 97 هو 2823 والباقي 13.

إجابه:

273844: 97 = 2823 (الباقي 13).

قسمة الأعداد الطبيعية مع الباقي من خلال الطرح المتتالي

يمكنك إيجاد حاصل القسمة غير الكامل وباقي قسمة الأعداد الطبيعية عن طريق طرح المقسوم عليه على التوالي.

جوهر هذا النهج بسيط: من عناصر المجموعة الحالية ، يتم تشكيل المجموعات بالتسلسل مع العدد المطلوب من العناصر حتى يصبح ذلك ممكنًا ، ويعطي عدد المجموعات التي تم الحصول عليها حاصل قسمة غير مكتمل ، وعدد العناصر المتبقية في الأصل المجموعة هي باقي القسمة.

لنأخذ مثالا.

مثال.

لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة 7 على 3.

المحلول.

تخيل أننا بحاجة إلى وضع 7 تفاحات في أكياس من 3 تفاحات. من العدد الأولي من التفاح ، نأخذ 3 قطع ونضعها في الكيس الأول. في هذه الحالة ، نظرًا لمعنى طرح الأعداد الطبيعية ، يتبقى لنا 7−3 = 4 تفاحات. من هذه ، نأخذ 3 قطع مرة أخرى ، ونضعها في الكيس الثاني. بعد ذلك ، يتبقى لنا 4−3 = 1 تفاحة. من الواضح أن العملية تنتهي هنا (لا يمكننا تشكيل حزمة أخرى بالعدد المطلوب من التفاح ، لأن العدد المتبقي من التفاح 1 أقل من العدد الذي نحتاجه 3). نتيجة لذلك ، لدينا حزمتان بالعدد المطلوب من التفاح وتفاحة واحدة في الميزان.

بعد ذلك ، بحكم معنى قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي ، يمكن القول بأننا حصلنا على النتيجة التالية 7: 3 = 2 (الباقي 1).

إجابه:

7: 3 = 2 (راحة. 1).

ضع في اعتبارك حل مثال آخر ، بينما نقدم الحسابات الرياضية فقط.

مثال.

اقسم العدد الطبيعي 145 على 46 بطرحه تباعا.

المحلول.

145-46 = 99 (إذا لزم الأمر ، راجع مقالة طرح الأعداد الطبيعية). بما أن 99 أكبر من 46 ، فإننا نطرح المقسوم عليه مرة ثانية: 99-46 = 53. بما أن 53> 46 ، فإننا نطرح المقسوم عليه للمرة الثالثة: 53−46 = 7. نظرًا لأن 7 أقل من 46 ، فلن نتمكن من الطرح مرة أخرى ، وهذا هو المكان الذي تنتهي فيه عملية الطرح المتسلسل.

نتيجة لذلك ، احتجنا إلى طرح المقسوم عليه 46 من المقسوم عليه 145 3 مرات ، وبعد ذلك حصلنا على الباقي 7. وهكذا 145: 46 = 3 (الدقة 7).

إجابه:

145: 46 = 3 (راحة. 7).

وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كان المقسوم أقل من المقسوم عليه ، فلن نتمكن من إجراء عملية طرح متسلسلة. نعم ، هذا ليس ضروريًا ، لأنه في هذه الحالة يمكننا كتابة الإجابة على الفور. في هذه الحالة ، حاصل القسمة غير المكتمل يساوي صفرًا ، والباقي يساوي المقسوم. هذا هو ، إذا كان ملف

يجب أيضًا أن يقال أنه من الجيد إجراء تقسيم للأعداد الطبيعية مع الباقي بالطريقة المدروسة فقط عندما يتطلب الأمر عددًا صغيرًا من عمليات الطرح المتتالية للحصول على النتيجة.

اختيار حاصل قسمة غير مكتمل

عند قسمة الأعداد الطبيعية المعطاة أ و ب مع الباقي ، يمكن اختيار حاصل القسمة غير المكتمل ج. الآن سوف نعرض ما تقوم عليه عملية الاختيار وكيف يجب أن تعمل.

أولاً ، دعنا نقرر من بين الأرقام التي نبحث عن حاصل قسمة غير مكتمل. عندما تحدثنا عن معنى قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي ، وجدنا أن حاصل القسمة غير المكتمل يمكن أن يكون إما صفرًا أو رقمًا طبيعيًا ، أي أحد الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... وهكذا ، حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب هو أحد الأرقام المكتوبة ، ويبقى لنا أن نفرز بينها لتحديد أي رقم هو حاصل القسمة غير المكتمل.

بعد ذلك ، نحتاج إلى معادلة بالصيغة d = a − bc ، مع تحديد حقيقة أن الباقي دائمًا أقل من المقسوم عليه (ذكرنا هذا أيضًا عندما تحدثنا عن معنى قسمة الأعداد الطبيعية على الباقي) .

الآن يمكننا المتابعة مباشرة إلى وصف عملية اختيار حاصل قسمة غير مكتمل. القسمة a والمقسوم عليه b معروفان لنا منذ البداية ، كحاصل قسمة غير مكتمل c ، نأخذ على التوالي الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... ، في كل مرة نحسب القيمة d = a − b · c ومقارنتها بالمقسوم عليه. تنتهي هذه العملية بمجرد أن تكون القيمة الناتجة أقل من المقسوم عليه. علاوة على ذلك ، فإن الرقم c في هذه الخطوة هو حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب ، والقيمة d = a − b · c هي باقي القسمة.

يبقى تحليل عملية اختيار حاصل غير مكتمل باستخدام مثال.

مثال.

نفذ قسمة باقي العدد الطبيعي 267 على 21.

المحلول.

دعنا نختار حاصل قسمة غير مكتمل. في مثالنا ، أ = 267 ، ب = 21. سنعطي c بالتتابع القيم 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... ، بحساب القيمة d = a − b · c في كل خطوة ومقارنتها بالمقسوم عليه 21.

في ج = 0 لدينا د = أ − ب ج = 267−21 0 = 267−0 = 267(يتم تنفيذ الضرب الأول للأعداد الطبيعية ، ثم الطرح ، وهذا مكتوب في المقالة). العدد الناتج أكبر من 21 (إذا لزم الأمر ، قم بدراسة مقارنة المادة المادية للأعداد الطبيعية). لذلك ، نواصل عملية الاختيار.

في ج = 1 لدينا د = أ − ب ج = 267−21 1 = 267−21 = 246. منذ 246> 21 ، نواصل العملية.

في ج = 2 نحصل عليها د = أ − ب ج = 267−21 2 = 267−42 = 225. منذ 225> 21 ، ننتقل.

في ج = 3 لدينا د = أ − ب ج = 267−21 3 = 267−63 = 204. منذ 204> 21 ، نواصل الاختيار.

في ج = 12 نحصل عليها د = أ − ب ج = 267−21 12 = 267−252 = 15. حصلنا على الرقم 15 ، وهو أقل من 21 ، لذلك يمكن اعتبار العملية مكتملة. اخترنا حاصل قسمة غير مكتمل c = 12 ، بينما تبين أن الباقي d هو 15.

إجابه:

267: 21 = 12 (بقية 15).

خوارزمية لقسمة الأعداد الطبيعية مع باقي الأمثلة والحلول

في هذا القسم الفرعي ، سننظر في خوارزمية تسمح لنا بتنفيذ القسمة مع باقي الرقم الطبيعي أ بالرقم الطبيعي ب في الحالات التي تتطلب فيها طريقة الطرح المتتالي (وطريقة اختيار حاصل القسمة غير المكتمل) الكثير العمليات الحسابية.

نلاحظ على الفور أنه إذا كان المقسوم أ أقل من المقسوم عليه ب ، فإننا نعرف حاصل القسمة غير الكامل والباقي: ل ب.

قبل أن نصف بالتفصيل جميع خطوات الخوارزمية لقسمة الأعداد الطبيعية على الباقي ، سنجيب على ثلاثة أسئلة: ما الذي نعرفه في البداية ، وما الذي نحتاج إلى إيجاده ، وبناءً على الاعتبارات التي سنفعلها؟ في البداية ، نعرف المقسوم أ والمقسوم عليه ب. نحتاج إلى إيجاد حاصل القسمة غير الكامل c والباقي d. تحدد المساواة أ = ب ج + د العلاقة بين المقسوم والمقسوم عليه والحاصل الجزئي والباقي. ويترتب على المساواة المكتوبة أننا إذا قمنا بتمثيل المقسوم a كمجموع bc + d ، حيث تكون d أقل من b (نظرًا لأن الباقي دائمًا أقل من المقسوم عليه) ، فسنرى كلاً من حاصل القسمة غير المكتمل c و الباقي د.

يبقى فقط معرفة كيفية تمثيل المقسوم أ كمجموع ب ج + د. تشبه خوارزمية القيام بذلك إلى حد كبير خوارزمية قسمة الأعداد الطبيعية دون الباقي. سنصف جميع الخطوات ، وفي نفس الوقت سننفذ حل المثال لمزيد من الوضوح. قسّم 899 على 47 لتحصل على.

ستتيح لك النقاط الخمس الأولى من الخوارزمية تمثيل المقسوم كمجموع لعدة شروط. تجدر الإشارة إلى أن الإجراءات من هذه النقاط تتكرر دوريًا مرارًا وتكرارًا حتى يتم العثور على جميع الشروط التي تضيف ما يصل إلى المقسوم. في الفقرة السادسة الأخيرة ، يتم تحويل المجموع الناتج إلى النموذج ب ج + د (إذا لم يعد المجموع الناتج يحتوي على هذا النموذج) ، والذي من خلاله يصبح حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب والباقي مرئيًا.

لذلك ، ننتقل إلى تمثيل المقسوم 899 كمجموع لعدة شروط.

أولاً ، نحسب مقدار عدد الأحرف في إدخال المقسوم أكبر من عدد الأحرف في إدخال المقسوم عليه ، ونتذكر هذا الرقم.

في مثالنا ، هناك 3 أرقام في تسجيلة المقسوم (899 هو رقم مكون من ثلاثة أرقام) ، وفي تسجيلة المقسوم عليه هناك رقمان (47 هو رقم مكون من رقمين) ، وبالتالي ، هناك علامة أخرى في سجل توزيعات الأرباح ، ونتذكر الرقم 1.

الآن ، في إدخال القاسم على اليمين ، نضيف الأرقام 0 بالمبلغ المحدد بواسطة الرقم الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة. علاوة على ذلك ، إذا كان الرقم المكتوب أكبر من المقسوم ، فقم بطرح 1 من الرقم المحفوظ في الفقرة السابقة.

لنعد إلى مثالنا. في تسجيلة المقسوم عليه 47 ، نضيف رقمًا واحدًا إلى اليمين 0 ، ونحصل على الرقم 470. منذ 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

بعد ذلك ، إلى الرقم 1 على اليمين ، ننسب الأرقام 0 بالمقدار الذي يحدده الرقم المحفوظ في الفقرة السابقة. في هذه الحالة ، نحصل على وحدة تفريغ ، وسنعمل معها بشكل أكبر.

في مثالنا ، نخصص 1 للرقم 0 ، في هذه الحالة نحصل على الرقم 10 ، أي سنعمل مع رقم العشرات.

الآن نقوم بضرب المقسوم عليه على التوالي في 1 ، 2 ، 3 ، ... وحدات رقم العمل حتى نحصل على رقم أكبر من أو يساوي القسمة.

اكتشفنا أنه في مثالنا ، رقم العمل هو رقم العشرات. لذلك ، نضرب أولًا المقسوم عليه في وحدة واحدة من خانة العشرات ، أي نضرب 47 في 10 ، ونحصل على 47 10 \ u003d 470. الرقم الناتج 470 أقل من المقسوم 899 ، لذلك نضرب المقسوم عليه في وحدتين من رقم العشرات ، أي نضرب 47 في 20. لدينا 47 20 = 940. حصلنا على رقم أكبر من 899.

الرقم الذي تم الحصول عليه في الخطوة قبل الأخيرة في الضرب المتسلسل هو أول المصطلحات المطلوبة.

في المثال الذي يتم تحليله ، المصطلح المطلوب هو الرقم 470 (هذا الرقم يساوي المنتج 47100 ، سنستخدم هذه المساواة لاحقًا).

بعد ذلك ، نجد الفرق بين المقسوم وأول حد تم إيجاده. إذا كان الرقم الناتج أكبر من المقسوم عليه ، فتابع لإيجاد الحد الثاني. للقيام بذلك ، نكرر جميع الخطوات الموضحة للخوارزمية ، لكننا بالفعل نأخذ الرقم الذي تم الحصول عليه هنا كأرباح. إذا تم الحصول على رقم أكبر من المقسوم عليه مرة أخرى في هذه المرحلة ، فإننا ننتقل إلى إيجاد الحد الثالث ، مرة أخرى نكرر خطوات الخوارزمية ، مع أخذ الرقم الناتج كمقسوم. ومن ثم ننتقل إلى أبعد من ذلك ، بإيجاد الحدود الرابعة والخامسة واللاحقة ، حتى يصبح الرقم الذي تم الحصول عليه عند هذه النقطة أقل من المقسوم عليه. بمجرد حدوث ذلك ، نأخذ الرقم الذي تم الحصول عليه هنا باعتباره آخر مصطلح مطلوب (بالنظر إلى الأمام ، دعنا نقول أنه يساوي الباقي) ، وانتقل إلى المرحلة النهائية.

لنعد إلى مثالنا. في هذه الخطوة ، لدينا 899−470 = 429. منذ 429> 47 ، نأخذ هذا الرقم كأرباح ونكرر جميع خطوات الخوارزمية معه.

في إدخال الرقم 429 توجد علامة واحدة أكثر من إدخال الرقم 47 ، لذلك تذكر الرقم 1.

الآن ، في سجل المقسوم على اليمين ، نضيف رقمًا واحدًا 0 ، ونحصل على الرقم 470 ، وهو أكبر من الرقم 429. لذلك ، من الرقم 1 المحفوظ في الفقرة السابقة ، نطرح 1 ونحصل على الرقم 0 الذي نتذكره.

نظرًا لأننا في الفقرة السابقة تذكرنا الرقم 0 ، فلن تحتاج إلى تعيين رقم واحد إلى اليمين للرقم 1. في هذه الحالة ، لدينا الرقم 1 ، أي أن رقم العمل هو رقم الوحدات.

الآن نضرب المقسوم عليه 47 على التوالي في 1 ، 2 ، 3 ، ... لن نتطرق إلى هذا بالتفصيل. لنفترض فقط أن 47 9 = 423<429 , а 47·10=470>429. المصطلح الثاني المطلوب هو الرقم 423 (الذي يساوي 47 9 ، والذي سنستخدمه أكثر).

الفرق بين 429 و 423 هو 6. هذا الرقم أقل من المقسوم عليه 47 ، لذا فهو الحد الثالث (والأخير) الذي نبحث عنه. الآن يمكننا الانتقال إلى الخطوة الأخيرة.

حسنًا ، ها نحن نصل إلى المرحلة النهائية. كانت جميع الإجراءات السابقة تهدف إلى تقديم الأرباح كمجموع لعدة شروط. الآن يبقى تحويل المجموع الناتج إلى الشكل ب · ج + د. ستساعدنا خاصية التوزيع الخاصة بالضرب فيما يتعلق بالجمع في التعامل مع هذه المهمة. بعد ذلك ، سيصبح حاصل القسمة غير المكتمل المطلوب والباقي مرئيًا.

في مثالنا ، المقسوم 899 يساوي مجموع المصطلحات الثلاثة 470 و 423 و 6. يمكن إعادة كتابة المجموع 470 + 423 + 6 على أنه 47 10 + 47 9 + 6 (تذكر ، لقد انتبهنا إلى المساواة 470 = 47 10 و 423 = 47 9). نطبق الآن خاصية ضرب عدد طبيعي في مجموع ، ونحصل على 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6 = 47 19 + 6. وهكذا ، تم تحويل المقسوم إلى الشكل الذي نحتاجه 899 = 47 19 + 6 ، ومن السهل العثور على حاصل القسمة غير المكتمل 19 والباقي 6.

لذلك ، 899:47 = 19 (الدقة .6).

بالطبع ، عند حل الأمثلة ، لن تصف عملية القسمة مع الباقي بمثل هذه التفاصيل.