في هذا الدرس ، سنشتق صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي المحدود ونحل بعض المسائل باستخدام هذه الصيغة.

الموضوع: التعاقب

الدرس: صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي المحدود

1 المقدمة

تأمل المشكلة: أوجد المجموع الأعداد الطبيعيةمن 1 إلى 100 ضمناً.

معطى: 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 98 ، 99 ، 100.

البحث: S100 = 1 + 2 + 3… +98 + 99 + 100.

الحل: S100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + 101 + ... + 101 = 101 × 50 = 5050.

الجواب: 5050.

تسلسل الأعداد الطبيعية ١ ، ٢ ، ٣ ، ... ، ٩٨ ، ٩٩ ، ١٠٠ هو المتوالية العددية: أ 1 = 1 ، د = 1.

لقد وجدنا مجموع أول مائة عدد طبيعي ، أي مجموع أول ن أعضاء التقدم الحسابي.

اقترح الحل المدروس عالم الرياضيات العظيم كارل فريدريش جاوس ، الذي عاش في القرن التاسع عشر. تم حل المشكلة من قبله في سن 5 سنوات.

مرجع التاريخ:يوهان كارل فريدريش جاوس (1777-1855) - عالم رياضيات وميكانيكي وفيزيائي وفلكي ألماني. يعتبر أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات". حائز على ميدالية كوبلي (1838) وعضو أجنبي في أكاديميات العلوم السويدية (1821) والروسية (1824) للجمعية الملكية الإنجليزية. وفقًا للأسطورة ، اقترح مدرس الرياضيات بالمدرسة ، من أجل إبقاء الأطفال مشغولين لفترة طويلة ، أن يحسبوا مجموع الأرقام من 1 إلى 100. لاحظ يونغ جاوس أن المبالغ الزوجية من الأضداد إلى الأضداد هي نفسها: 1 + 100 = 101 ، 2 + 99 = 101 ، وما إلى ذلك ، وحصلت على النتيجة على الفور: 101 × 50 = 5050.

2. اشتقاق الصيغة لمجموع أول n من التقدم الحسابي

ضع في اعتبارك مشكلة مماثلة للتقدم الحسابي التعسفي.

البحث: مجموع أول n من الأعضاء للتقدم الحسابي.

دعونا نوضح أن جميع التعبيرات الموجودة بين قوسين متساوية مع بعضها البعض ، أي التعبير. اسمحوا د أن يكون الفرق في التقدم الحسابي. ثم:

وهكذا ، يمكننا أن نكتب:

من أين نحصل على صيغة مجموع أول n من الأعضاء للتقدم الحسابي:

.

3. حل المشكلات عند تطبيق المعادلة لمجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي

1. حل مشكلة مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 باستخدام الصيغة الخاصة بمجموع أول n من الأعضاء للتقدم الحسابي:

الحل: a1 = 1 ، d = 1 ، n = 100.

الصيغة العامة:

.

في حالتنا هذه: .

الجواب: 5050.

الصيغة العامة:

. لنجد من خلال صيغة العضو رقم n للتقدم الحسابي: .

في حالتنا هذه: .

لتجد ، عليك أولاً أن تجد.

يمكن القيام بذلك باستخدام الصيغة العامة أولاً ، قم بتطبيق هذه الصيغة لإيجاد الفرق في التقدم الحسابي.

بمعنى آخر. . وسائل .

الآن يمكننا أن نجد.

استخدام صيغة مجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي

فلنجد.

4. اشتقاق الصيغة الثانية لمجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي

نحصل على الصيغة الثانية لمجموع أول n من التقدم الحسابي ، وهي: نثبت ذلك .

دليل - إثبات:

في صيغة مجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي دعونا نستبدل التعبير عن ، أي . نحصل على: ، أي . Q.E.D.

دعنا نحلل الصيغ التي تم الحصول عليها. للحسابات بالصيغة الأولى تحتاج إلى معرفة الحد الأول والحد الأخير و n بالصيغة الثانية - عليك أن تعرف المصطلح الأول ، الفرق و n.

وفي الختام ، نلاحظ أن Sn على أي حال هو وظيفة من الدرجة الثانيةمن n بسبب .

5. حل المشكلات عند تطبيق المعادلة الثانية لمجموع أول n من التقدم الحسابي

الصيغة العامة:

.

في حالتنا هذه:.

الجواب: 403.

2. أوجد مجموع الكل أرقام من رقمين، مضاعفات العدد 4.

(12 ؛ 16 ؛ 20 ؛ ... ؛ 96) - مجموعة من الأرقام التي تفي بشرط المشكلة.

لذلك لدينا تقدم حسابي.

ن نجد من صيغة:.

بمعنى آخر. . وسائل .

استخدام الصيغة الثانية لمجموع أول n حد من التقدم الحسابي

فلنجد.

مطلوب إيجاد مجموع كل المصطلحات من العاشر إلى الخامس والعشرين.

طريقة واحدة لحلها كما يلي:

بالتالي، .

6. ملخص الدرس

لذلك ، قمنا باشتقاق صيغ لمجموع أعضاء التقدم الحسابي المحدود. تم استخدام هذه الصيغ لحل بعض المشاكل.

في الدرس التالي ، سوف نتعرف على الخاصية المميزة للتقدم الحسابي.

1. Makarychev Yu. N. et al. الجبر الصف 9 (كتاب مدرسي للمدرسة الثانوية). - م: التعليم ، 1992.

2. Makarychev Yu. N. ، Mindyuk N. G. ، Neshkov ، K. I. الجبر للصف 9 مع التعميق. دراسة رياضيات .- M: Mnemozina ، 2003.

3. Makarychev Yu. N.، Mindyuk N.G. فصول إضافية في الكتاب المدرسي للجبر للصف التاسع - M: التعليم ، 2002.

4. Galitsky M. L.، Goldman A. M.، Zvavich L. I. مجموعة من المسائل في الجبر للصفوف 8-9 ( الدورة التعليميةلطلاب المدارس والصفوف مع التعميق. دراسة رياضيات). - م: التربية والتعليم ، 1996.

5. موردكوفيتش A. G. الجبر الصف 9 ، كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام. - م: Mnemosyne، 2002.

6. Mordkovich A. G. ، Mishutina T. N. ، Tulchinskaya E. E.. الجبر الصف 9 ، كتاب المشكلة للمؤسسات التعليمية. - م: Mnemosyne، 2002.

7. Glazer G. I. تاريخ الرياضيات في المدرسة. الصفوف 7-8 (دليل للمعلمين) .- م: التنوير 1983.

1. قسم الكلية. ru في الرياضيات.

2. بوابة العلوم الطبيعية.

3. أسي. موقع ru للتربية الرياضية.

1. رقم 362 ، 371 ، 377 ، 382 (Makarychev Yu. N. et al. الجبر الصف 9).

2. رقم 12.96 (Galitsky M. L.، Goldman A. M.، Zvavich L. I.) مجموعة من المسائل في الجبر للصفوف 8-9).

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. لكن هناك كل أنواع المهام في هذا الموضوع. من الابتدائية إلى الصلبة تماما.

أولاً ، دعنا نتعامل مع معنى وصيغة المجموع. وبعد ذلك سنقرر. من أجل سعادتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل الخفض. للعثور على مجموع التقدم الحسابي ، ما عليك سوى إضافة جميع أعضائه بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة ، يمكنك إضافتها بدون أي معادلات. ولكن إذا كان هناك الكثير أو الكثير ... الإضافة مزعجة.) في هذه الحالة ، يتم حفظ الصيغة.

صيغة المجموع بسيطة:

دعنا نتعرف على نوع الأحرف المضمنة في الصيغة. هذا سوف يوضح الكثير.

S n هو مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الجمع الكلأعضاء مع أولعلى الاخير.انه مهم. أضف ما يصل بالضبط الكلأعضاء على التوالي ، دون ثغرات ويقفز. وبالضبط ، بدءًا من أول.في مسائل مثل إيجاد مجموع المصطلحين الثالث والثامن ، أو مجموع المصطلحات من خمسة إلى عشرين ، سيكون التطبيق المباشر للصيغة مخيبًا للآمال.)

أ 1 - الأولعضو في التقدم. كل شيء واضح هنا ، إنه بسيط أولرقم الصف.

أ- الاخيرعضو في التقدم. الرقم الأخيرصف. ليس اسمًا مألوفًا جدًا ، ولكن عند تطبيقه على المبلغ ، يكون مناسبًا جدًا. ثم سترى بنفسك.

ن هو رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم في الصيغة يتطابق مع عدد المصطلحات المضافة.

دعنا نحدد المفهوم الاخيرعضو أ. ملء السؤال: أي نوع من الأعضاء سوف الاخير،إذا أعطيت بلا نهايةالمتوالية العددية؟

للحصول على إجابة موثوقة ، تحتاج إلى فهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و ... قراءة المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي ، يظهر المصطلح الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر) ، والتي يجب أن تكون محدودة.خلاف ذلك ، كمية محددة ومحددة فقط غير موجود.بالنسبة للحل ، لا يهم نوع التقدم المعطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف تُعطى: بسلسلة من الأرقام ، أو بصيغة العضو التاسع.

الشيء الأكثر أهمية هو فهم أن الصيغة تعمل من أول مصطلح للتقدم إلى المصطلح مع الرقم ن.في الواقع ، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي ن، يتم تحديده من خلال المهمة فقط. في المهمة ، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة ، نعم ... لكن لا شيء ، في الأمثلة أدناه سنكشف هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام لمجموع التقدم الحسابي.

بالدرجة الأولى، معلومات مفيدة:

تتمثل الصعوبة الرئيسية في مهام مجموع التقدم الحسابي في التحديد الصحيح لعناصر الصيغة.

يقوم مؤلفو التخصيصات بتشفير هذه العناصر بالذات بخيال لا حدود له). الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. فهم جوهر العناصر ، يكفي مجرد فك رموزها. دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تستند إلى GIA حقيقي.

1. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ ن = 2 ن -3.5. أوجد مجموع أول 10 حدود.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ وفقًا للصيغة ، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ أول عضو أ 1، الموسم الماضي أ، نعم رقم الفصل الأخير ن.

من أين تحصل على رقم العضو الأخير ن؟ نعم هناك بشرط! تقول تجد المجموع أول 10 أعضاء.حسنًا ، ما هو الرقم الذي سيكون الاخير،العضو العاشر؟) لن تصدقوا ، رقمه هو العاشر!) لذلك ، بدلا من أسنقوم بالتعويض في الصيغة أ 10، ولكن بدلا من ذلك ن- عشرة. مرة أخرى ، يكون عدد العضو الأخير هو نفسه عدد الأعضاء.

يبقى أن يتحدد أ 1و أ 10. يتم حساب ذلك بسهولة من خلال صيغة المصطلح n ، والذي يتم تقديمه في بيان المشكلة. لا أعرف كيف نفعل ذلك؟ قم بزيارة الدرس السابق ، بدون هذا - لا شيء.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

أ 10= 2 10 - 3.5 = 16.5

S n = ق 10.

اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. يبقى استبدالهم ، ويحسب:

هذا كل ما في الامر. الجواب: 75.

مهمة أخرى على أساس الجماعة الإسلامية المسلحة. أكثر تعقيدًا:

2. بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن) ، يكون الفرق بينهما 3.7 ؛ أ 1 \ u003d 2.3. أوجد مجموع أول 15 حدًا.

نكتب فورًا صيغة الجمع:

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور على قيمة أي عضو برقمه. نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

يبقى استبدال جميع العناصر في الصيغة بمجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة ، إذا كان في صيغة الجمع بدلاً من أفقط استبدل صيغة الحد n ، نحصل على:

نعطي معادلات مماثلة ، نحصل على صيغة جديدة لمجموع أعضاء التقدم الحسابي:

كما ترى ، ليست هناك حاجة العضو ال n أ. في بعض المهام ، تساعد هذه الصيغة كثيرًا ، نعم ... يمكنك تذكر هذه الصيغة. ويمكنك ببساطة سحبها في الوقت المناسب ، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء ، يجب تذكر صيغة المجموع وصيغة الحد التاسع بكل طريقة.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع كل الأعداد الموجبة المكونة من رقمين والتي تكون مضاعفات العدد ثلاثة.

كيف! لا يوجد عضو أول ، لا أخير ، لا تقدم إطلاقا ... كيف تعيش !؟

سيكون عليك أن تفكر برأسك وتخرج من الشرط جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي. ما هي الأعداد المكونة من رقمين - نعلم. إنها تتكون من رقمين.) ما العدد المكون من رقمين أول؟ 10 ، يفترض.) آخر شيءرقم مكون من رقمين؟ 99 بالطبع! ستتبعه الثلاثة أرقام ...

مضاعفات الثلاثة ... حسنًا ... هذه هي الأعداد التي تقبل القسمة على ثلاثة بالتساوي ، هنا! عشرة لا يقبل القسمة على ثلاثة ، و 11 لا يقبل القسمة ... 12 ... يقبل القسمة! لذا ، هناك شيء ما آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة حسب حالة المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه السلسلة تقدمًا حسابيًا؟ بالطبع! يختلف كل مصطلح عن السابق بدقة بمقدار ثلاثة. إذا تمت إضافة 2 أو 4 إلى المصطلح ، على سبيل المثال ، النتيجة ، أي لن يتم تقسيم الرقم الجديد على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي إلى الكومة: د = 3.مفيد!)

لذلك ، يمكننا كتابة بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم ناخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن الرقم 99 هو خطأ قاتل ... الأرقام - دائمًا ما تكون متتالية ، ويقفز أعضاؤنا فوق المراكز الثلاثة الأولى. لا تتطابق.

هناك حلان هنا. طريقة واحدة هي للعمل الدؤوب الفائق. يمكنك رسم التقدم ، سلسلة كاملة من الأرقام ، وحساب عدد المصطلحات بإصبعك.) الطريقة الثانية هي للمدروس. عليك أن تتذكر صيغة الحد التاسع. إذا تم تطبيق الصيغة على مشكلتنا ، فسنحصل على أن 99 هو العضو الثلاثين في التقدم. أولئك. ن = 30.

ننظر إلى صيغة مجموع التقدم الحسابي:

ننظر ونبتهج.] سحبنا كل ما هو ضروري لحساب المبلغ من حالة المشكلة:

أ 1= 12.

أ 30= 99.

S n = ق 30.

ما تبقى هو الحساب الأولي. استبدل الأرقام الموجودة في الصيغة واحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز المشهورة:

4. يتم إعطاء تقدم حسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.

نحن ننظر إلى صيغة الجمع و ... نحن مستاءون.) الصيغة ، دعني أذكرك ، تحسب المجموع من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المجموع منذ العشرين ...الصيغة لن تعمل.

يمكنك ، بالطبع ، رسم التقدم بأكمله على التوالي ، ووضع الأعضاء من 20 إلى 34. لكن ... بطريقة ما اتضح بغباء ولفترة طويلة ، أليس كذلك؟)

هناك حل أكثر أناقة. دعنا نقسم المتسلسلة إلى جزأين. الجزء الأول سوف من الفصل الأول إلى التاسع عشر.الجزء الثاني - عشرين إلى أربعة وثلاثين.من الواضح أننا إذا قمنا بحساب مجموع شروط الجزء الأول ق 1-19دعنا نضيفه إلى مجموع أعضاء الجزء الثاني ق 20-34، نحصل على مجموع التقدم من الحد الأول إلى الرابع والثلاثين ق 1-34. مثله:

ق 1-19 + ق 20-34 = ق 1-34

هذا يدل على أن للعثور على المجموع ق 20-34يمكن أن يتم عن طريق الطرح البسيط

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19

يتم النظر في كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو ، أي صيغة المجموع القياسية تنطبق عليهم تمامًا. هل نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من شرط المهمة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 حدًا وأول 34 حدًا ، سنحتاج إلى الحد التاسع عشر والرابع والثلاثين. نحسبهم وفقًا لصيغة الحد التاسع ، كما في المشكلة 2:

أ 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

أ 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

لم يتبقى شيء. اطرح مجموع 19 مصطلحًا من مجموع 34 مصطلحًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة مهمة واحدة! هناك ميزة مفيدة للغاية في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ماذا تحتاج (س 20-34) ،حسبنا ما يبدو أنه ليس مطلوبًا - S 1-19.ثم قرروا ق 20-34، تجاهل غير الضروري من النتيجة الكاملة. غالبًا ما تنقذ مثل هذه "الخدعة بالأذنين" في الألغاز الشريرة).

في هذا الدرس ، قمنا بفحص المشكلات التي يكفيها فهم معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا ، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصائح عملية:

عند حل أي مشكلة لمجموع التقدم الحسابي ، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين على الفور من هذا الموضوع.

صيغة المصطلح التاسع:

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما تبحث عنه ، وفي أي اتجاه تفكر من أجل حل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع كل الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في الملاحظة إلى المشكلة 4. حسنًا ، ستساعد المشكلة 3.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ 1 = -5.5 ؛ أ ن + 1 = أ ن +0.5. أوجد مجموع أول 24 حدًا.

غير عادي؟) هذه صيغة متكررة. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط ، فغالبًا ما توجد مثل هذه الألغاز في GIA.

7. ادخر Vasya المال للعطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المحبوب (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول ، وأنفق 50 روبل في كل يوم تالٍ أكثر من اليوم السابق! حتى ينفد المال. كم يوما من السعادة امتلكها فاسيا؟

صعب؟) سوف يساعد صيغة إضافيةمن المهمة 2.

الإجابات (في حالة فوضى): 7 ، 3240 ، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

المتتاليات العددية VI

§ 144. مجموع أعضاء التقدم الحسابي

يقولون ذلك مرة مدرس مدرسة ابتدائية، الرغبة في شغل الفصل لفترة طويلة بعمل مستقل ، أعطت الأطفال مهمة "صعبة" - لحساب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

اقترح أحد الطلاب على الفور حلاً. ها هو.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 مرة

كان كارل جاوس ، الذي أصبح لاحقًا أحد أشهر علماء الرياضيات في العالم *.

* حدثت حالة مماثلة مع Gauss بالفعل. ومع ذلك ، هنا هو مبسط إلى حد كبير. كانت الأرقام التي اقترحها المعلم مكونة من خمسة أرقام وشكلت تقدمًا حسابيًا بفارق ثلاثة أرقام.

يمكن استخدام فكرة مثل هذا الحل لإيجاد مجموع شروط أي تقدم حسابي.

ليما.مجموع فترتين من التقدم الحسابي المحدود ، على مسافة متساوية من النهايات ، يساوي مجموع الحدود القصوى.

على سبيل المثال ، في تقدم حسابي محدود

1, 2, 3.....98, 99, 100

المصطلحات 2 و 99 و 3 و 98 و 4 و 97 وما إلى ذلك هي على مسافة متساوية من نهايات هذا التقدم. لذلك ، فإن مجموعهم 2 + 99 ، 3 + 98 ، 4 + 97 يساوي مجموع الحدود القصوى 1 + 100.

إثبات اللمة. اسمح بتقدم حسابي محدود

أ 1 , أ 2 , ..., أ ن - 1 , أ ن

أي عضوين على مسافة متساوية من النهايات. لنفترض أن أحدهم هو ك - المدى من اليسار ، هذا هو أ ك ، والآخر - ك ال مصطلح من اليمين ، أي أ ن -ك + واحد . ثم

أ ك + أ ن -ك + 1 =[أ 1 + (ك - 1)د ] + [أ 1 + (ن - ك )د ] = 2أ 1 + (ن - 1)د .

مجموع الشروط القصوى لهذا التقدم يساوي

أ 1 + أ ن = أ 1 + [أ 1 + (ن - 1)د ] = 2أ 1 + (ن - 1)د .

في هذا الطريق،

أ ك + أ ن -ك + 1 = أ 1 + أ ن

Q.E.D.

باستخدام lemma الذي تم إثباته للتو ، من السهل الحصول على صيغة عامة للمبلغ ص أعضاء أي تقدم حسابي.

س ن = أ 1 +أ 2 + ...+ أ ن - 1 + أ ن

س ن = أ ن + أ ن - 1 + ... + أ 2 + أ 1 .

بجمع هاتين المتساويتين مصطلحًا حسب المصطلح ، نحصل على:

2S ن = (أ 1 +أ ن ) + (أ 2 +أ ن - 1)+...+(أ ن - 1 +أ 2) + (أ ن +أ 1)

أ 1 +أ ن = أ 2 +أ ن - 1 = أ 3 +أ ن - 2 =... .

2S ن = ن (أ 1 +أ ن ),

مجموع أعضاء التقدم الحسابي المحدود يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الأعضاء المتطرفين وعدد كل الأعضاء.

خاصه،

تمارين

971. أوجد مجموع الأعداد الفردية المكونة من ثلاثة أرقام.

972. كم عدد ضربات ساعة ما خلال اليوم إذا كانت تضرب فقط عدد الساعات الكاملة؟

973. ما هو مجموع الأول ص الأعداد الطبيعية؟

974- اشتق معادلة طول المسار الذي يقطعه الجسم أثناء الحركة المتسارعة بشكل منتظم:

أين الخامس 0 - السرعة الأولية في م / ثانية , أ - تسارع في م / ثانية 2 , ر - وقت السفر ثانية.

975. أوجد مجموع كل الكسور غير القابلة للاختزال ذات المقام 3 بين الأعداد الصحيحة الموجبة ر و ص (ر< п ).

976- يقوم العامل بصيانة 16 نولاً تعمل أوتوماتيكياً. الأداء لكل آلة أ م / ساعة. قام العامل بتشغيل الآلة الأولى في الساعة 7 ح، وكل بعد ذلك بمقدار 5 دقيقةفي وقت لاحق من السابق. اكتشف الناتج بالأمتار لأول 2 حالشغل.

977- حل المعادلات:

أ) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

ب) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. في الفترة من 1 يوليو إلى 12 يوليو ، ارتفعت درجة حرارة الهواء يوميًا بمعدل 1/2 درجة. مع العلم أن متوسط ​​درجة الحرارة خلال هذا الوقت كان 18 3/4 درجة ، حدد درجة حرارة الهواء في 1 يوليو.

979. ابحث عن تقدم حسابي يعنيه الحسابي ص الشروط الأولى لأي ص يساوي عددهم.

980. أوجد مجموع أول عشرين حدًا من التقدم الحسابي الذي فيه

أ 6 + أ 9 + أ 12 + أ 15 = 20.

نوع الدرس:تعلم مواد جديدة.

أهداف الدرس:

• توسيع وتعميق أفكار الطلاب حول المهام التي تم حلها باستخدام التقدم الحسابي ؛ منظمة نشاط البحثالطلاب عند اشتقاق الصيغة لمجموع أول ن أعضاء من التقدم الحسابي ؛
• تنمية المهارات لاكتساب المعرفة الجديدة بشكل مستقل ، واستخدام المعرفة المكتسبة بالفعل لتحقيق المهمة ؛
• تنمية الرغبة والحاجة إلى تعميم الحقائق التي تم الحصول عليها ، وتطوير الاستقلال.

مهام:

• تعميم وتنظيم المعرفة الموجودة حول موضوع "التقدم الحسابي" ؛
• اشتقاق الصيغ لحساب مجموع أول ن أعضاء من التقدم الحسابي ؛
• تعليم كيفية تطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها في حل المشكلات المختلفة ؛
• لفت انتباه الطلاب إلى الإجراء الخاص بإيجاد قيمة التعبير العددي.

معدات:

• بطاقات مع مهام للعمل في مجموعات وأزواج ؛
• ورقة التقييم
• عرض تقديمي"المتوالية العددية".

أولا - تفعيل المعرفة الأساسية.

1. عمل مستقلفي باريس.

الخيار الأول:

تحديد التقدم الحسابي. اكتب الصيغة العودية التي تحدد التقدم الحسابي. أعط مثالا على التقدم الحسابي وضح الفرق بينهما.

الخيار الثاني:

اكتب صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي. أوجد الحد 100 من التقدم الحسابي ( أ}: 2, 5, 8 …
في هذا الوقت ، يقوم طالبان على ظهر اللوحة بإعداد إجابات لنفس الأسئلة.
يقوم الطلاب بتقييم عمل الشريك من خلال مقارنته باللوحة. (يتم تسليم المنشورات مع الإجابات).

2. لعبة لحظة.

التمرين 1.

معلم.تصورت بعض التقدم الحسابي. اطرح عليّ سؤالين فقط حتى يمكنك بعد الإجابات تسمية العضو السابع في هذا التقدم بسرعة. (1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ...)

أسئلة من الطلاب.

1. ما هي المدة السادسة للتقدم وما الفرق؟
2. ما هو الحد الثامن للتقدم وما الفرق؟

إذا لم يكن هناك المزيد من الأسئلة ، فيمكن للمدرس تحفيزها - "حظر" على (الاختلاف) ، أي أنه لا يُسمح بسؤال ما هو الفرق. يمكنك طرح أسئلة: ما هو الفصل السادس من التقدم وما هو الفصل الثامن من التقدم؟

المهمة 2.

يوجد 20 رقمًا مكتوبًا على السبورة: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

يقف المعلم وظهره إلى السبورة. يقول الطلاب رقم الرقم ، ويقوم المعلم على الفور بالاتصال بالرقم نفسه. اشرح كيف يمكنني القيام بذلك؟

يتذكر المعلم صيغة الفصل التاسع أ n \ u003d 3n - 2وباستبدال القيم المعطاة لـ n ، يجد القيم المقابلة أ

ثانيًا. بيان بالمهمة التعليمية.

أقترح حل مشكلة قديمة تعود إلى الألفية الثانية قبل الميلاد ، وجدت في البرديات المصرية.

مهمة:"ليقال لكم: اقسموا 10 مقاييس من الشعير على 10 أشخاص ، والفرق بين كل شخص وجاره هو 1/8 من القياس."

• كيف ترتبط هذه المشكلة بموضوع التدرج الحسابي؟ (يحصل كل شخص تالٍ على 1/8 من المقياس أكثر ، لذا فإن الاختلاف هو د = 1/8 ، 10 أشخاص ، لذا ن = 10).
• ما رأيك يعني الرقم 10؟ (مجموع كل أعضاء التقدم.)
• ما الذي تحتاج إلى معرفته أيضًا لتسهيل تقسيم الشعير وفقًا لحالة المشكلة؟ (المصطلح الأول من التقدم.)

هدف الدرس- الحصول على اعتماد مجموع شروط التقدم على عددها ، المصطلح الأول والفرق ، ومعرفة ما إذا كانت المشكلة قد تم حلها بشكل صحيح في العصور القديمة.

قبل اشتقاق الصيغة ، دعونا نرى كيف حل المصريون القدماء المشكلة.

وقاموا بحلها على النحو التالي:

1) 10 مقاييس: 10 = مقياس واحد - متوسط ​​الحصة ؛
2) قياس واحد ∙ = مقياسين - مضاعفة معدلشارك.
تضاعف معدلالحصة هي مجموع أسهم الشخص الخامس والسادس.
3) مقياسين - 1/8 قياس = 1 7/8 قياس - ضعف حصة الشخص الخامس.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - نصيب الخامس ؛ وهكذا ، يمكنك العثور على نصيب كل شخص سابق ولاحق.

نحصل على التسلسل:

ثالثا. حل المهمة.

1. العمل في مجموعات

المجموعة الأولى:أوجد مجموع 20 عددًا طبيعيًا متتاليًا: S 20 \ u003d (20 + 1) ∙ 10 \ u003d 210.

على العموم

المجموعة الثانية:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \ u003d (1 + 100) ∙ 50 = 5050

استنتاج:

المجموعة الثالثة:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 21.

الحل: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

استنتاج:

المجموعة الرابعة:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 101.

استنتاج:

هذه الطريقة في حل المشاكل المدروسة تسمى "طريقة غاوس".

2. تقدم كل مجموعة حل المشكلة على السبورة.

3. تعميم الحلول المقترحة للتقدم الحسابي التعسفي:

أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ... ، أ ن -2 ، أ ن -1 ، أ ن.
S n \ u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

نجد هذا المجموع بالجدل بالمثل:

4. هل قمنا بحل المهمة؟(نعم.)

رابعا. الفهم الأساسي وتطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها في حل المشكلات.

1. التحقق من حل مشكلة قديمة بالصيغة.

2. تطبيق الصيغة في حل المشاكل المختلفة.

3. تمارين لتكوين القدرة على تطبيق الصيغة في حل المشكلات.

أ) برقم 613

معطى :( و ن) -المتوالية العددية؛

(أ ن): 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 1500

تجد: ق 1500

المحلول: , و 1 = 1 ، و 1500 = 1500 ،

ب) معطى: ( و ن) -المتوالية العددية؛
(و ن): 1 ، 2 ، 3 ، ...
S ن = 210

تجد: ن
المحلول:

خامسا - العمل المستقل مع التحقق المتبادل.

ذهب دينيس للعمل كساعي. في الشهر الأول ، كان راتبه 200 روبل ، وفي كل شهر لاحق زاد بمقدار 30 روبل. كم ربح في السنة؟

معطى :( و ن) -المتوالية العددية؛
أ 1 = 200 ، د = 30 ، ن = 12
تجد: ق 12
المحلول:

الجواب: تلقى دينيس 4380 روبل للسنة.

السادس. تعليمات الواجبات المنزلية.

1. ص 4.3 - تعلم اشتقاق الصيغة.
2. №№ 585, 623 .
3. قم بتكوين مشكلة سيتم حلها باستخدام صيغة مجموع أول n من الحدود للتقدم الحسابي.

سابعا. تلخيص الدرس.

1. ورقة النتيجة

2. تواصل الجمل

• اليوم في الفصل تعلمت ...
• الصيغ التي تم تعلمها ...
• اعتقد انه …

3. هل يمكنك إيجاد مجموع الأعداد من 1 إلى 500؟ ما الطريقة التي ستستخدمها لحل هذه المشكلة؟

فهرس.

1. الجبر الصف التاسع. البرنامج التعليمي ل المؤسسات التعليمية. إد. ج. دوروفيفا.موسكو: التنوير ، 2009.

عند دراسة الجبر في مدرسة التعليم العام(الصف 9) من الموضوعات المهمة دراسة التسلسلات العددية ، والتي تشمل التعاقب - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة ، سننظر في التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم هذا ، من الضروري إعطاء تعريف للتقدم قيد النظر ، وكذلك إعطاء الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها بشكل أكبر في حل المشكلات.

التقدم الحسابي أو الجبري عبارة عن مجموعة من الأرقام المنطقية المرتبة ، يختلف كل عضو فيها عن السابق ببعض القيمة الثابتة. هذه القيمة تسمى الفرق. بمعنى ، معرفة أي عضو في سلسلة مرتبة من الأرقام والفرق ، يمكنك استعادة التقدم الحسابي بأكمله.

لنأخذ مثالا. سيكون التسلسل التالي للأرقام تسلسلاً حسابيًا: 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، ... ، لأن الاختلاف في هذه الحالة هو 4 (8-4 = 12-8 = 16-12). لكن مجموعة الأرقام 3 ، 5 ، 8 ، 12 ، 17 لم يعد من الممكن أن تُعزى إلى نوع التقدم قيد الدراسة ، لأن الاختلاف فيها ليس كذلك قيمة ثابتة (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

صيغ مهمة

نقدم الآن الصيغ الأساسية اللازمة لحل المشكلات باستخدام التقدم الحسابي. لنفترض أن n تشير إلى العضو n من التسلسل ، حيث n هي عدد صحيح. يتم الإشارة إلى الاختلاف بالحرف اللاتيني d. ثم تكون العبارات التالية صحيحة:

1. لتحديد قيمة المصطلح n ، تكون الصيغة مناسبة: a n \ u003d (n-1) * d + a 1.
2. لتحديد مجموع مصطلحات n الأولى: S n = (a n + a 1) * n / 2.

لفهم أي أمثلة للتقدم الحسابي مع حل في الصف 9 ، يكفي تذكر هاتين الصيغتين ، لأن أي مشاكل من النوع المعني مبنية على استخدامها. أيضًا ، لا تنس أن اختلاف التقدم يتحدد بالصيغة: d = a n - a n-1.

المثال 1: البحث عن عضو غير معروف

نعطي مثالًا بسيطًا للتقدم الحسابي والصيغ التي يجب استخدامها لحلها.

دع المتتالية 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، ... ، من الضروري إيجاد خمسة حدود فيها.

يتبع بالفعل من شروط المشكلة أن المصطلحات الأربعة الأولى معروفة. يمكن تعريف الخامس بطريقتين:

1. دعنا نحسب الفرق أولا. لدينا: د = 8-10 = -2. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يأخذ أي مصطلحين آخرين يقفان بجانب بعضهما البعض. على سبيل المثال ، د = 4 - 6 = -2. بما أنه من المعروف أن d \ u003d a n - a n-1 ، ثم d \ u003d a 5 - a 4 ، حيث نحصل على: a 5 \ u003d a 4 + d. نعوض بالقيم المعروفة: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. تتطلب الطريقة الثانية أيضًا معرفة اختلاف التقدم المعني ، لذلك عليك أولاً تحديده ، كما هو موضح أعلاه (د = -2). مع العلم أن الحد الأول أ 1 = 10 ، نستخدم صيغة العدد n من المتسلسلة. لدينا: a n \ u003d (n - 1) * d + a 1 \ u003d (n - 1) * (-2) + 10 \ u003d 12-2 * n. بالتعويض عن n = 5 في التعبير الأخير ، نحصل على: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

كما ترى ، كلا الحلين يؤديان إلى نفس النتيجة. لاحظ أن الفرق d في التقدم في هذا المثال سلبي. تسمى هذه التسلسلات بالتناقص لأن كل مصطلح متتالي أقل من السابق.

المثال الثاني: فرق التقدم

الآن دعنا نعقد المهمة قليلاً ، أعط مثالاً عن كيفية القيام بذلك

من المعروف أن الحد الأول في بعض الحالات يساوي 6 ، والحد السابع يساوي 18. من الضروري إيجاد الفرق وإعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعنا نستخدم الصيغة لتحديد المصطلح غير المعروف: a n = (n - 1) * d + a 1. نستبدل البيانات المعروفة من الشرط فيها ، أي الأرقام أ 1 و 7 ، لدينا: 18 \ u003d 6 + 6 * د. من هذا التعبير ، يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18-6) / 6 = 2. وبالتالي ، تمت الإجابة على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل للعضو السابع ، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري ، أي أ 2 = أ 1 + د ، أ 3 = أ 2 + د ، وهكذا. نتيجة لذلك ، نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6 ، أ 2 = 6 + 2 = 8 ، أ 3 = 8 + 2 = 10 ، أ 4 = 10 + 2 = 12 ، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16 و 7 = 18.

المثال رقم 3: إحراز تقدم

دعونا نعقد حالة المشكلة أكثر. أنت الآن بحاجة للإجابة على سؤال حول كيفية إيجاد التقدم الحسابي. يمكن إعطاء المثال التالي: يتم إعطاء رقمين ، على سبيل المثال ، 4 و 5. من الضروري إجراء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة ، من الضروري فهم المكان الذي ستشغله الأرقام المعينة في التقدم المستقبلي. نظرًا لأنه سيكون هناك ثلاثة مصطلحات أخرى بينهما ، فسيكون هناك 1 \ u003d -4 و 5 \ u003d 5. بعد إثبات ذلك ، ننتقل إلى مهمة مشابهة لتلك السابقة. مرة أخرى ، بالنسبة للمصطلح n ، نستخدم الصيغة ، نحصل على: a 5 \ u003d a 1 + 4 * d. من: د \ u003d (أ 5 - أ 1) / 4 \ u003d (5 - (-4)) / 4 \ u003d 2.25. هنا لم نحصل على قيمة عددية للفرق ، لكنها كذلك رقم منطقي، لذلك تظل معادلات التقدم الجبري كما هي.

الآن دعنا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الأعضاء المفقودين من التقدم. نحصل على: أ 1 = - 4 ، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75 ، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5 ، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75 ، أ 5 \ u003d 2.75 + 2.25 \ u003d 5 ، التي تزامنت مع حالة المشكلة.

مثال رقم 4: العضو الأول في التقدم

نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحل. في جميع المشاكل السابقة ، كان الرقم الأول للتقدم الجبري معروفًا. فكر الآن في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين ، حيث 15 = 50 و 43 = 37. من الضروري أن نجد من أي رقم يبدأ هذا التسلسل.

الصيغ التي تم استخدامها حتى الآن تفترض معرفة 1 و د. لا شيء معروف عن هذه الأرقام في حالة المشكلة. ومع ذلك ، دعنا نكتب التعبيرات لكل حد لدينا معلومات عنه: أ 15 = أ 1 + 14 * د و 43 = أ 1 + 42 * د. حصلنا على معادلتين فيهما كميتين غير معروفين (أ 1 ود). هذا يعني أن المشكلة تختصر في حل نظام المعادلات الخطية.

يسهل حل النظام المحدد إذا عبرت عن 1 في كل معادلة ، ثم قارنت التعابير الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15-14 * د = 50-14 * د ؛ المعادلة الثانية: أ 1 \ u003d أ 43-42 * د \ u003d 37-42 * د. معادلة هذه التعبيرات ، نحصل على: 50 - 14 * د \ u003d 37-42 * د ، ومن هنا الفرق د \ u003d (37-50) / (42-14) \ u003d - 0.464 (تم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).

بمعرفة d ، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه لـ 1. على سبيل المثال ، أولاً: أ 1 \ u003d 50-14 * د \ u003d 50-14 * (- 0.464) \ u003d 56.496.

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة ، فيمكنك التحقق منها ، على سبيل المثال ، تحديد العضو 43 من التقدم المحدد في الشرط. نحصل على: a 43 \ u003d a 1 + 42 * d \ u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \ u003d 37.008. يرجع الخطأ الصغير إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى جزء من الألف في الحسابات.

المثال الخامس: المجموع

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة ذات الحلول لمجموع التقدم الحسابي.

دع التقدم العددي للشكل التالي يعطى: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ... ،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل التطور تكنولوجيا الكمبيوتريمكنك حل هذه المشكلة ، أي جمع جميع الأرقام بالتسلسل ، وهو ما سيفعله الكمبيوتر على الفور ، بمجرد أن يضغط الشخص على مفتاح Enter. ومع ذلك ، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المقدمة هي تقدم جبري ، وفرقها هو 1. بتطبيق صيغة الجمع ، نحصل على: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

من الغريب أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "Gaussian" لأن in الثامن عشر في وقت مبكرمن القرن الماضي ، تمكن الألماني الشهير ، الذي كان عمره 10 سنوات فقط ، من حلها في ذهنه في بضع ثوان. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع التقدم الجبري ، لكنه لاحظ أنه إذا أضفت أزواجًا من الأرقام الموجودة عند أطراف المتسلسلة ، فستحصل دائمًا على نفس النتيجة ، أي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ، وبما أن هذه المبالغ ستكون بالضبط 50 (100/2) ، إذن للحصول على الإجابة الصحيحة ، يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع المصطلحات من n إلى m

مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... ، تحتاج إلى إيجاد مجموع شروطه من 8 إلى 14.

تم حل المشكلة بطريقتين. يتضمن أولهما إيجاد حدود غير معروفة من 8 إلى 14 ، ثم تلخيصها بالتتابع. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات ، فإن هذه الطريقة ليست مرهقة بدرجة كافية. ومع ذلك ، يُقترح حل هذه المشكلة بالطريقة الثانية ، وهي أكثر عالمية.

الفكرة هي الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين المصطلحين m و n ، حيث n> m هي أعداد صحيحة. في كلتا الحالتين ، نكتب تعبيرين للمجمع:

1. S م \ u003d م * (أ م + أ 1) / 2.
2. S n \ u003d n * (a n + a 1) / 2.

بما أن n> m ، فمن الواضح أن مجموع 2 يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المبالغ ، وأضفنا المصطلح a m إليها (في حالة أخذ الفرق ، يتم طرحه من مجموع S n) ، فإننا نحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn \ u003d S n - S m + a m \ u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \ u003d a 1 * (n - m) / 2 + أ ن * ن / 2 + أ م * (1- م / 2). من الضروري استبدال الصيغتين a n و a m في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د * (3 * م - م 2-2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما ، ومع ذلك ، فإن مجموع S mn يعتمد فقط على n و m و a 1 و d. في حالتنا ، a 1 = 3 ، d = 4 ، n = 14 ، m = 8. بالتعويض عن هذه الأرقام ، نحصل على: S mn = 301.

كما يتضح من الحلول المذكورة أعلاه ، تستند جميع المشكلات إلى معرفة التعبير عن المصطلح n ومعادلة مجموع مجموعة المصطلحات الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات ، يوصى بقراءة الحالة بعناية ، وفهم ما تريد البحث عنه بوضوح ، وبعد ذلك فقط المضي قدمًا في الحل.

نصيحة أخرى هي أن تسعى جاهدًا إلى البساطة ، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على السؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة ، فأنت بحاجة إلى فعل ذلك بالضبط ، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب خطأ أقل. على سبيل المثال ، في مثال التقدم الحسابي مع الحل رقم 6 ، يمكن للمرء أن يتوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ، و قسّم المهمة العامة إلى مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة ، أوجد أولاً المصطلحين a n و a m).

إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها ، فمن المستحسن التحقق منها ، كما حدث في بعض الأمثلة المقدمة. كيف تجد التقدم الحسابي ، اكتشف. بمجرد اكتشاف ذلك ، لن يكون الأمر بهذه الصعوبة.