درس: كيف نبني مكافئًا أم دالة تربيعية؟

الجزء النظري

القطع المكافئ هو رسم بياني لوظيفة موصوفة بالصيغة ax 2 + bx + c = 0.
لبناء القطع المكافئ ، تحتاج إلى اتباع خوارزمية بسيطة من الإجراءات:

1) صيغة القطع المكافئ y = ax 2 + bx + c,
لو أ> 0ثم يتم توجيه فروع القطع المكافئ فوق,
ثم يتم توجيه فروع القطع المكافئ تحت.
عضو مجاني جتتقاطع هذه النقطة مع القطع المكافئ مع محور OY ؛

2) ، تم العثور عليها من خلال الصيغة س = (- ب) / 2 أ، نعوض بـ x الموجود في معادلة القطع المكافئ ونوجد ذ;

3)الأصفار الوظيفيةأو بعبارة أخرى ، نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور OX ، وتسمى أيضًا جذور المعادلة. لإيجاد الجذور ، نساوي المعادلة بالصفر الفأس 2 + ب س + ج = 0;

أنواع المعادلات:

أ) المعادلة التربيعية الكاملة هي الفأس 2 + ب س + ج = 0ويتم حلها بواسطة المميز ؛
ب) معادلة تربيعية غير كاملة للشكل الفأس 2 + ب س = 0.لحلها ، عليك إخراج x من الأقواس ، ثم مساواة كل عامل بـ 0:
الفأس 2 + ب س = 0 ،
س (فأس + ب) = 0 ،
س = 0 والفأس + ب = 0 ؛
ج) معادلة تربيعية غير كاملة للشكل الفأس 2 + ج = 0.لحلها ، تحتاج إلى تحريك المجهول إلى جانب والمعروف إلى الجانب الآخر. س = ± √ (ج / أ) ؛

4) ابحث عن بعض النقاط الإضافية لبناء الوظيفة.

الجزء العملي

والآن ، مع مثال ، سنقوم بتحليل كل شيء بالأفعال:
مثال 1:
ص = س 2 + 4 س + 3
c = 3 تعني أن القطع المكافئ يتقاطع مع OY عند النقطة x = 0 y = 3. يتم البحث عن فروع القطع المكافئ لأن أ = 1 1> 0.
أ = 1 ب = 4 ج = 3 س = (- ب) / 2 أ = (- 4) / (2 * 1) = - 2 ص = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 القمة عند النقطة (-2 ؛ -1)
أوجد جذور المعادلة x 2 + 4x + 3 = 0
نجد الجذور بواسطة المميز
أ = 1 ب = 4 ج = 3
د = ب 2 -4 أ = 16-12 = 4
س = (- ب ± √ (د)) / 2 أ
س 1 = (- 4 + 2) / 2 = -1
س 2 = (- 4-2) / 2 = -3

لنأخذ بعض النقاط العشوائية القريبة من القمة x = -2

× -4 -3 -1 0
ص 3 0 0 3

نعوض بدلاً من x في المعادلة y \ u003d x 2 + 4x + 3
ص = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
ص = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
ص = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
ص = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
يمكن أن نرى من قيم الدالة أن القطع المكافئ متماثل حول الخط المستقيم x \ u003d -2

المثال الثاني:
ص = -x 2 + 4x
c = 0 تعني أن القطع المكافئ يتقاطع مع OY عند النقطة x = 0 y = 0. تنظر فروع القطع المكافئ إلى الأسفل لأن a = -1 -1 أوجد جذور المعادلة -x 2 + 4x = 0
معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل ax 2 + bx = 0. لحلها ، عليك إخراج x من الأقواس ، ثم مساواة كل عامل بالصفر.
س (-س + 4) = 0 ، س = 0 ، س = 4.

لنأخذ بعض النقاط العشوائية القريبة من الرأس x = 2
× 0 1 3 4
ص 0 3 3 0
نعوض بدلاً من x في المعادلة y \ u003d -x 2 + 4x
ص = 0 2 + 4 * 0 = 0
ص = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
ص = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
ص = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
يمكن أن نرى من قيم الدالة أن القطع المكافئ متماثل حول الخط المستقيم x \ u003d 2

المثال رقم 3
ص = س 2 -4
c = 4 تعني أن القطع المكافئ يتقاطع مع OY عند النقطة x = 0 y = 4. يتم البحث عن فروع القطع المكافئ لأن أ = 1 1> 0.
أ = 1 ب = 0 ج = -4 س = (- ب) / 2 أ = 0 / (2 * (1)) = 0 ص = (0) 2 -4 = -4 رأس عند النقطة (0 ؛ -4 )
أوجد جذور المعادلة × 2 -4 = 0
معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل ax 2 + c = 0. لحلها ، تحتاج إلى تحريك المجهول إلى جانب والمعروف إلى الجانب الآخر. س = ± √ (ج / أ)
س 2 = 4
س 1 = 2
× 2 \ u003d -2

لنأخذ بعض النقاط العشوائية القريبة من القمة x = 0
س -2 -1 1 2
ص 0 -3 -3 0
نعوض بدلاً من x في المعادلة y \ u003d x 2-4
ص = (- 2) 2 -4 = 4-4 = 0
ص = (- 1) 2 -4 = 1-4 = -3
ص = 1 2 -4 = 1-4 = -3
ص = 2 2 -4 = 4-4 = 0
يمكن أن نرى من قيم الدالة أن القطع المكافئ متماثل حول الخط المستقيم x = 0

يشترك إلى القناة على YOUTUBEلمواكبة كل الأخبار والاستعداد معنا للامتحانات.

- - [] دالة تربيعية دالة على شكل y = ax2 + bx + c (a؟ 0). الرسم البياني K.f. هو قطع مكافئ له إحداثيات رأسه [b / 2a، (b2 4ac) / 4a] ، لـ> 0 فرع من القطع المكافئ ... ... ...

الدالة التربيعية ، دالة رياضية تعتمد قيمتها على مربع المتغير المستقل ، x ، وتُعطى ، على التوالي ، بواسطة متعدد القيم التربيعية ، على سبيل المثال: f (x) = 4x2 + 17 أو f (x) = x2 + 3x + 2. راجع أيضًا مربع المعادلة ... القاموس الموسوعي العلمي والتقني

وظيفة من الدرجة الثانية - وظيفة من الدرجة الثانيةهي دالة على الشكل y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). الرسم البياني K.f. هو القطع المكافئ الذي يحتوي رأسه على إحداثيات [b / 2a، (b2 4ac) / 4a] ، من أجل a> 0 يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى ، للحصول على< 0 –вниз… …

- (تربيعي) دالة لها الشكل التالي: y = ax2 + bx + c ، حيث a ≠ 0 و أعلى درجة x مربع. معادلة من الدرجة الثانية y = ax2 + bx + c = 0 يمكن أيضًا حلها باستخدام الصيغة التالية: x \ u003d -b + √ (b2-4ac) / 2a. هذه الجذور حقيقية ... القاموس الاقتصادي

دالة تربيعية أفينية على مساحة أفقية S هي أي دالة Q: S → K لها الشكل Q (x) = q (x) + l (x) + c في شكل متجه ، حيث q هي دالة تربيعية ، l هو دالة خطية ، و c ثابت. المحتويات 1 نقل الأصل 2 ...... ويكيبيديا

دالة تربيعية أفينية على مساحة أفينية هي أي دالة لها شكل في شكل متجه ، حيث تكون مصفوفة متماثلة ، دالة خطية ، ثابت. المحتويات ... ويكيبيديا

وظيفة على ناقلات الفضاء، تعطى بواسطة كثير حدود متجانسة من الدرجة الثانية في إحداثيات المتجه. المحتويات 1 التعريف 2 التعريفات ذات الصلة ... ويكيبيديا

- هي وظيفة تميز ، في نظرية القرارات الإحصائية ، الخسائر الناتجة عن اتخاذ قرار غير صحيح بناءً على البيانات المرصودة. إذا تم حل مشكلة تقدير معلمة الإشارة على خلفية التداخل ، فإن وظيفة الخسارة هي مقياس للتباين ... ... ويكيبيديا

دالة الهدف- - [Ya.N. Luginsky، MS Fezi Zhilinskaya، YuS Kabirov. القاموس الإنجليزي الروسي للهندسة الكهربائية وهندسة الطاقة ، موسكو ، 1999] الوظيفة المستهدفة في المشكلات القصوى ، الوظيفة التي يمكن إيجاد الحد الأدنى أو الحد الأقصى لها. هذا هو… … دليل المترجم الفني

دالة الهدف- في المشاكل القصوى ، الوظيفة ، الحد الأدنى أو الأقصى المطلوب العثور عليها. هذا هو المفهوم الأساسي للبرمجة المثلى. بعد أن وجدت الطرف الأقصى من C. وبالتالي ، من خلال تحديد قيم المتغيرات الخاضعة للرقابة التي تخصها ... ... القاموس الاقتصادي والرياضي

كتب

• مجموعة من الجداول. الرياضيات. الرسوم البيانية الوظيفية (10 جداول) ،. ألبوم تعليمي من 10 أوراق. دالة خطية. التخصيص الرسومي والتحليلي للوظائف. وظيفة من الدرجة الثانية. تحويل الرسم البياني للدالة التربيعية. الدالة y = sinx. الدالة y = cosx. ...
• أهم وظيفة في الرياضيات المدرسية - التربيعية في المسائل والحلول ، بيتروف ن. الوظيفة التربيعية هي الوظيفة الرئيسية دورة مدرسيةالرياضيات. لا عجب. من ناحية - بساطة هذه الوظيفة ، ومن ناحية أخرى - معنى عميق. مهام كثيرة للمدرسة ...

إذا كنت ترغب في المشاركة في الحياة الكبيرة ، فاملأ رأسك بالرياضيات بينما يمكنك ذلك. ستكون عونًا كبيرًا لك لاحقًا في جميع أعمالك.

م. كالينين

واحدة من الوظائف الرئيسية للرياضيات المدرسية ، والتي تم بناء نظرية كاملة لها وتم إثبات جميع الخصائص ، هي وظيفة من الدرجة الثانية. يجب على الطلاب فهم ومعرفة كل هذه الخصائص بوضوح. في الوقت نفسه ، هناك عدد كبير من المشكلات المتعلقة بالوظيفة التربيعية - بدءًا من المشكلات البسيطة جدًا ، والتي تتبع مباشرة من النظرية والصيغ ، إلى المشكلات الأكثر تعقيدًا ، والتي يتطلب حلها تحليلًا وفهمًا عميقًا لجميع الخصائص من الوظيفة.

عند حل مسائل دالة تربيعية ، يكون ملف قيمة عمليةلديه تطابق بين الوصف الجبري للمشكلة وتفسيرها الهندسي - الصورة على خطة تنسيقوظيفة الرسم البياني المصغر. بفضل هذه الميزة ، لديك دائمًا الفرصة للتحقق من صحة واتساق تفكيرك النظري.

دعنا نفكر في العديد من المهام حول موضوع "الوظيفة التربيعية" ونسهب في حلها التفصيلي.

مهمة 1.

أوجد مجموع القيم الصحيحة لـ p حيث رأس القطع المكافئ y = 1 / 3x 2 - 2px + 12p يقع فوق محور الثور.

قرار.

يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى (أ = 1/3> 0). نظرًا لأن رأس القطع المكافئ يقع فوق محور الثور ، فإن القطع المكافئ لا يتقاطع مع محور الإحداثية (الشكل 1). لذا فإن الوظيفة

y = 1 / 3x 2 - 2px + 12p ليس له أصفار ،

والمعادلة

1 / 3x 2 - 2px + 12p = 0 ليس له جذور.

هذا ممكن إذا كان المميز في المعادلة الأخيرة سالبًا.

دعونا نحسبها:

د / 4 \ u003d ص 2 - 1/3 12 ص \ u003d ص 2-4 ص ؛

ص2-4 ص< 0;

ع (ص - 4)< 0;

p ينتمي إلى الفاصل الزمني (0 ؛ 4).

مجموع القيم الصحيحة للرقم ص من الفاصل الزمني (0 ؛ 4): 1 + 2 + 3 = 6.

إجابه: 6.

لاحظ أنه للإجابة على سؤال المسألة كان من الممكن حل المتباينة

y in> 0 أو (4ac - b 2) / 4a> 0.

المهمة 2.

أوجد عدد قيم الأعداد الصحيحة لـ a التي يكون لها إحداثيات وإحداثيات رأس القطع المكافئ y = (x - 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 سالبة.

قرار.

إذا كان للدالة التربيعية الشكل

y = a (x - n) 2 + m ، ثم النقطة ذات الإحداثيات (m ؛ n) هي رأس القطع المكافئ.

في حالتنا هذه

س في = 9 أ ؛ ص في ​​\ u003d أ 2 + 7 أ + 6.

نظرًا لأن كلا من إحداثيات الجزء العلوي من القطع المكافئ يجب أن يكون سالبًا ، فسنقوم بتكوين نظام من عدم المساواة:

(9 أ< 0,
(أ 2 + 7 أ + 6< 0;

لنحل النظام الناتج:

(أ< 0,
((أ + 1) (أ + 6)< 0;

دعونا نصور حل المتباينات على خطوط الإحداثيات ونعطي الإجابة النهائية:

أ ينتمي إلى الفاصل الزمني (-6 ؛ -1).

القيم الصحيحة للرقم أ: -5 ؛ -4 ؛ -3 ؛ -2. عددهم: 4.

الجواب: 4.

المهمة 3.

أوجد أكبر قيمة عدد صحيح لـ m تستخدم دالة تربيعية لها
تقبل y = -2x 2 + 8x + 2m فقط القيم السالبة.

قرار.

يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى أسفل (أ = -2< 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.

2 س 2 + 8 س + 2 م = 0.

نقسم معاملات المعادلة على -2 ، ونحصل على:

× 2 - 4x - م = 0 ؛

د / 4 = 2 2-1 1 (م) = 4 + م ؛

أكبر قيمة صحيحة للرقم م: -5.

الجواب: -5.

للإجابة على سؤال المسألة ، كان من الممكن حل المتباينة y in< 0 или

(4ac-b 2) / 4a< 0.

المهمة 4.

لايجاد أصغر قيمةالدالة التربيعية y = ax 2 - (a + 6) x + 9 ، إذا كان معروفًا أن الخط المستقيم x = 2 هو محور تناظر الرسم البياني الخاص به.

قرار.

1) بما أن الخط x \ u003d 2 هو محور تناظر هذا الرسم البياني ، فإن x في \ u003d 2. نستخدم الصيغة

x في = -b / 2a ، ثم x in = (a + 6) / 2a. لكن س في = 2.

لنصنع معادلة:

(أ + 6) / 2 أ = 2 ؛

ثم تأخذ الوظيفة الشكل

ص = 2 س 2 - (2 + 6) س + 9 ؛

ص \ u003d 2x 2-8x + 9.

2) فروع Parabola

أصغر قيمة لهذه الدالة تساوي إحداثيات الجزء العلوي من القطع المكافئ (الصورة 2)، والذي يسهل العثور عليه باستخدام الصيغة

y in \ u003d (4ac - b 2) / 4a.

y in \ u003d (4 2 9-8 2) / 4 2 \ u003d (72-64) / 8 \ u003d 8/8 \ u003d 1.

أصغر قيمة للدالة المدروسة هي 1.

الجواب: 1.

المهمة 5.

ابحث عن أصغر قيمة عدد صحيح للرقم أ ، حيث لا تتقاطع مجموعات قيم الدالة y \ u003d x 2 - 2x + a و y \ u003d -x 2 + 4x - a.

قرار.

أوجد مجموعة القيم لكل دالة.

ط الطريق.

ص 1 \ u003d × 2 - 2 س + أ.

دعنا نطبق الصيغة

y in \ u003d (4ac - b 2) / 4a.

ص في ​​\ u003d (4 1 أ - 2 2) / 4 1 \ u003d (4 أ - 4) / 4 \ u003d 4 (أ - 1) / 4 \ u003d أ - 1.

بما أن فروع القطع المكافئ موجهة إلى الأعلى ، إذن

ه (ص) =.

ه (ص 2) = (-؛ 4 - أ].

دعونا نصور المجموعات التي تم الحصول عليها على خطوط الإحداثيات (تين. 3).

لن تتقاطع المجموعات الناتجة إذا كانت النقطة ذات الإحداثيات 4 - أ تقع على يسار النقطة بتنسيق a - 1 ، أي

4 ا< a – 1;

أصغر قيمة صحيحة لـ a: 3.

الجواب: 3.

تحظى المشاكل المتعلقة بموقع جذور دالة تربيعية ، ومشاكل المعلمات ، والمشكلات التي تختزل إلى وظائف تربيعية بشعبية كبيرة في الامتحان. لذلك ، عند التحضير للامتحانات ، يجب الانتباه إليها عن كثب.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيفية رسم دالة تربيعية؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.