دائرة الأرقامهي دائرة وحدة تتوافق نقاطها مع أرقام حقيقية معينة.

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1.

الشكل العام دائرة العدد.

1) يؤخذ نصف قطرها كوحدة قياس.

2) يقسم القطران الأفقي والعمودي الدائرة العددية إلى أربعة أرباع. يطلق عليهم على التوالي الربع الأول والثاني والثالث والرابع.

3) القطر الأفقي هو AC ، مع كون A هو أقصى الصحيحنقطة.
يُشار إلى القطر الرأسي بـ BD ، مع كون النقطة B هي أعلى نقطة.
على التوالى:

الربع الأول هو القوس AB

الربع الثاني - القوس قبل الميلاد

الربع الثالث - قرص مضغوط القوس

الربع الرابع - قوس DA

4) نقطة بداية الدائرة العددية هي النقطة أ.

يمكن حساب دائرة الأرقام إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.

العد من النقطة أ ضدفي اتجاه عقارب الساعة يسمى اتجاه إيجابي.

العد من النقطة أ علىفي اتجاه عقارب الساعة يسمى اتجاه سلبي.

دائرة الأرقام في خطة تنسيق.

يقابل مركز نصف قطر الدائرة العددية الأصل (الرقم 0).

القطر الأفقي يتوافق مع المحور x، عمودي - محاور ذ.

نقطة البداية دائرة رقمti على المحورxولها إحداثيات (1 ؛ 0).

أسماء ومواقع النقاط الرئيسية لدائرة الأرقام:

كيف تتذكر أسماء دائرة الأرقام.

هناك بعض الأنماط البسيطة التي ستساعدك على تذكر الأسماء الأساسية لدائرة الأرقام بسهولة.

قبل أن نبدأ ، نتذكر: العد التنازلي في الاتجاه الإيجابي ، أي من النقطة أ (2π) عكس اتجاه عقارب الساعة.

1) لنبدأ بـ نقاط متطرفةعلى محاور الإحداثيات.

نقطة البداية هي 2π (أقصى اليمين على المحور Xيساوي 1).

كما تعلم ، 2π هو محيط الدائرة. إذن نصف الدائرة يساوي 1π أو π. محور Xيقسم الدائرة إلى نصفين. وفقًا لذلك ، أقصى اليسار على المحور Xيساوي -1 يسمى π.

أعلى نقطة على المحور في، يساوي 1 ، يشطر نصف الدائرة العلوي. لذلك إذا كان نصف الدائرة هو ، فإن نصف نصف الدائرة هو π / 2.

في نفس الوقت ، π / 2 هي أيضًا ربع دائرة. نحسب ثلاثة أرباع من الأول إلى الثالث - وسنصل إلى أدنى نقطة على المحور فييساوي -1. أما إذا كانت تحتوي على ثلاثة أرباع ، فيكون اسمها 3π / 2.

2) الآن دعنا ننتقل إلى بقية النقاط. لاحظ أن جميع النقاط المعاكسة لها نفس المقام- علاوة على ذلك ، فهذه نقاط معاكسة وتتعلق بالمحور فيونسبة إلى مركز المحاور ونسبة إلى المحور X. سيساعدنا هذا على معرفة قيمهم الأساسية دون حشر.

من الضروري تذكر قيمة نقاط الربع الأول فقط: π / 6 و π / 4 و π / 3. وبعد ذلك سوف "نرى" بعض الأنماط:

- نسبي المحور في عند نقاط الربع الثاني ، مقابل نقاط الربع الأول ، تكون الأرقام في البسط أقل بمقدار 1 من المقام. على سبيل المثال ، خذ النقطة / 6. النقطة المعاكسة حول المحور فييحتوي أيضًا على 6 في المقام و 5 في البسط (1 أقل). أي اسم هذه النقطة: 5π / 6. النقطة المقابلة لـ π / 4 بها أيضًا 4 في المقام ، و 3 في البسط (1 أقل من 4) - أي هذه هي النقطة 3π / 4.
النقطة المقابلة لـ π / 3 بها 3 أيضًا في المقام و 1 أقل في البسط: 2π / 3.

- نسبة إلى مركز محاور الإحداثياتالعكس هو الصحيح: الأرقام الموجودة في بسط النقاط المعاكسة (في الربع الثالث) تزيد بمقدار 1 عن قيم المقامات. خذ النقطة / 6 مرة أخرى. النقطة المقابلة لها بالنسبة للمركز تحتوي أيضًا على 6 في المقام ، وفي البسط الرقم 1 إضافي - أي 7π / 6.
النقطة المقابلة للنقطة π / 4 بها 4 أيضًا في المقام ، والرقم في البسط هو 1 إضافي: 5π / 4.
النقطة المقابلة للنقطة π / 3 بها 3 أيضًا في المقام ، والرقم في البسط هو 1 إضافي: 4π / 3.

- نسبي المحور X(الربع الرابع)الأمر أصعب. من الضروري هنا أن نضيف إلى قيمة المقام رقمًا أقل بمقدار 1 - سيكون هذا المجموع مساويًا للجزء العددي لبسط النقطة المعاكسة. لنبدأ مرة أخرى بـ / 6. دعنا نضيف إلى قيمة المقام ، التي تساوي 6 ، رقمًا أقل بمقدار 1 من هذا الرقم - أي 5. نحصل على: 6 + 5 = 11. وبالتالي ، مقابل ذلك بالنسبة إلى المحور Xسيكون للنقطة 6 في المقام و 11 في البسط - أي 11π / 6.

النقطة π / 4. نضيف إلى قيمة المقام عددًا أقل من 1: 4 + 3 = 7. وبالتالي ، مقابل ذلك بالنسبة إلى المحور Xالنقطة بها 4 في المقام و 7 في البسط ، أي 7π / 4.
النقطة π / 3. المقام هو 3. نضيف إلى 3 عددًا أقل - أي 2. نحصل على 5. وبالتالي ، فإن النقطة المقابلة لها 5 في البسط - وهذه هي النقطة 5π / 3.

3) انتظام آخر لنقاط منتصف الأرباع. من الواضح أن المقام هو 4. فلننتبه إلى البسط. بسط منتصف الربع الأول هو 1π (لكن 1 ليس من المعتاد الكتابة). بسط منتصف الربع الثاني هو 3π. بسط منتصف الربع الثالث هو 5π. بسط منتصف الربع الرابع هو 7π. اتضح أنه في بسط نقاط منتصف الأرباع توجد أول أربعة أعداد فردية بترتيب تصاعدي:
(1) ، 3π ، 5π ، 7π.
إنها أيضًا بسيطة جدًا. نظرًا لأن نقاط المنتصف لجميع الأرباع بها 4 في المقام ، فإننا نعرفها بالفعل الأسماء الكاملة: π / 4 ، 3π / 4 ، 5π / 4 ، 7π / 4.

ملامح دائرة الرقم. مقارنة بخط الأعداد.

كما تعلم ، على خط الأعداد ، كل نقطة تتوافق مع صيغة المفرد. على سبيل المثال ، إذا كانت النقطة A على خط مستقيم تساوي 3 ، فلا يمكن أن تساوي أي رقم آخر.

إنها مختلفة في دائرة الأرقام لأنها دائرة. على سبيل المثال ، من أجل الانتقال من النقطة A من الدائرة إلى النقطة M ، يمكنك القيام بذلك على شكل خط مستقيم (فقط بعد اجتياز القوس) ، أو يمكنك الالتفاف حول الدائرة بأكملها ، ثم الوصول إلى النقطة M. خاتمة:

دع النقطة M تساوي عددًا ما t. محيط الدائرة كما نعلم هو 2π. ومن ثم ، يمكننا كتابة نقطة الدائرة t بطريقتين: t أو t + 2π. هذه قيم مكافئة.
أي t = t + 2π. الاختلاف الوحيد هو أنه في الحالة الأولى ، أتيت إلى النقطة M على الفور دون إنشاء دائرة ، وفي الحالة الثانية قمت بعمل دائرة ، لكن انتهى الأمر عند نفس النقطة M. يمكنك إنشاء اثنين ، وثلاثة ، ومائتي الدوائر. إذا أشرنا إلى عدد الدوائر بالحرف ن، نحصل على تعبير جديد:
ر = ر + 2π ن.

ومن هنا جاءت الصيغة:

سنراجع في هذا الدرس خاصية مهمةرقم الدائرة ووضع دائرة رقم الوحدة في المستوى الإحداثي وفقًا لقواعد معينة. لنتذكر معادلة دائرة الوحدة العددية وبمساعدتها سنحل عدة مسائل لإيجاد إحداثيات نقطة على دائرة وحدة رقم. في نهاية الدرس ، سنقوم بتجميع جدول إحداثيات للنقاط التي هي مضاعفات π / 6 و π / 4.

موضوع الدرس التكرار

في وقت سابق ، درسنا دائرة الأرقام واكتشفنا خصائصها (الشكل 1).

كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة على الدائرة.

لا تتوافق كل نقطة في دائرة الأرقام مع رقم فحسب ، بل تتوافق مع جميع أرقام النموذج

دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي

دعونا نضع الدائرة خطة تنسيق. كما في السابق ، يتوافق كل رقم مع نقطة على الدائرة. الآن هذه النقطة على الدائرة تقابل إحداثيين ، مثل أي نقطة على مستوى الإحداثيات.

مهمتنا هي إيجاد ليس فقط نقطة ، ولكن أيضًا إحداثياتها برقم معين ، والعكس بالعكس ، إيجاد رقم أو أكثر من الأرقام المقابلة بالإحداثيات.

مثال 1. تم إعطاء نقطة - منتصف القوس ، والنقطة تتوافق مع أرقام النموذج

أوجد إحداثيات النقطة (الشكل 3).

يمكن العثور على الإحداثيات بطريقتين مختلفتين ، اعتبرها بدورها.

1. تقع النقطة على الدائرة ، R = 1 ، لذا فهي تحقق معادلة الدائرة

حسب الشرط. نتذكر أن قيمة الزاوية المركزية تساوي عدديًا طول القوس بالراديان ، مما يعني الزاوية.هذا يعني أيضًا أن الخط المستقيم يقسم الربع الأول إلى النصف تمامًا ، مما يعني أنه خط مستقيم

تقع النقطة على خط مستقيم ، وبالتالي تحقق معادلة هذا الخط المستقيم.

لنؤلف نظامًا من معادلتين.

بعد حل النظام ، نحصل على الإحداثيات المطلوبة.

2. اعتبر واحدة مستطيلة (الشكل 4).

لذلك ، قمنا بتعيين رقم ، ووجدنا نقطة وإحداثياتها. دعونا أيضًا نحدد إحداثيات النقاط المتناظرة معها (الشكل 5).

إيجاد إحداثيات مستطيلة للنقاط ذات إحداثيات منحنية الشكل مضاعفات

المهمة التالية هي تحديد إحداثيات النقاط التي هي من مضاعفات

دائرة نصف قطرها R = 1 موضوعة في مستوى الإحداثيات ، أوجد نقطة على الدائرة وإحداثياتها (الشكل 6).

النظر - مستطيل.

أي زاوية

لنجد إحداثيات النقاط المتماثلة (الشكل 7).

قمنا بتعيين رقم ، ووجدنا نقطة على الدائرة ، وهذه النقطة هي الوحيدة ، ووجدنا إحداثياتها.

حل المشاكل

مثال 1. بإعطاء نقطة أوجد إحداثيات المستطيل.

النقطة هي منتصف الربع الثالث (الشكل 8).

خاتمة ، خاتمة

وضعنا دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي ، وتعلمنا كيفية إيجاد نقطة على الدائرة وإحداثياتها بواسطة الرقم. هذه التقنية تكمن وراء تعريف الجيب وجيب التمام ، والتي ستتم مناقشتها لاحقًا.

فهرس

الجبر وبدايات التحليل ، الصف العاشر (قسمين). البرنامج التعليمي ل المؤسسات التعليمية(مستوى الملف الشخصي) / إد.

أ.موردكوفيتش. - م: Mnemosyne، 2009. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمان). كتاب المهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) / إد.

أ.موردكوفيتش. - M: Mnemozina، 2007. Vilenkin N. Ya.، Ivashev-Musatov O. S.، Shvartsburd S. I. الجبر والتحليل الرياضي للصف العاشر ( الدورة التعليميةلطلاب المدارس والصفوف مع دراسة متعمقة للرياضيات). - م: التربية والتعليم ، 1996. Galitsky M. L.، Moshkovich M. M.، Shvartsburd S. I. دراسة متعمقة للجبر والتحليل الرياضي. - م: التنوير ، 1997. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للجامعات التقنية (تحت إشراف M.I.Skanavi). - م: المدرسة العليا ، 1992. Merzlyak A. G. ، Polonsky V. B. ، Yakir M. S. Algebraic simulator. - K: A. S. K.، 1997. Saakyan S. M.، Goldman A. M.، Denisov D. V. المهام في الجبر وبدايات التحليل (دليل للطلاب في الصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام). - م: التربية ، 2003. كارب أ. ب. مجموعة مسائل الجبر ومبادئ التحليل: كتاب مدرسي. بدل 10-11 خلية. بعمق دراسة الرياضيات. - م: التربية والتعليم 2006.

الرياضيات. ru. مشاكل. ru. سأحل الامتحان.

واجب منزلي

الجبر وبدايات التحليل ، الصف العاشر (قسمين). كتاب المهام للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) / إد. أ.موردكوفيتش. - م: Mnemosyne ، 2007.

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي

دعنا نكرر: دائرة الوحدة- دائرة عدد نصف قطرها 1. R = 1 C = 2 π + - y x

إذا كانت النقطة M في الدائرة الرقمية تقابل الرقم t ، فإنها تتوافق أيضًا مع رقم النموذج t + 2 π k ، حيث k هي أي عدد صحيح (k ϵ Z). M (t) = M (t + 2 π k) ، حيث k ϵ Z

التخطيطات الأساسية التخطيط الأول 0 π y x التخطيط الثاني y x

x y 1 A (1، 0) B (0، 1) C (- 1، 0) D (0، -1) 0 x> 0 y> 0 x 0 x 0 y

أوجد إحداثيات النقطة م المقابلة للنقطة. 1) 2) x y M P 45 ° O A

إحداثيات النقاط الرئيسية للمخطط الأول 0 2 x 1 0-1 0 1 y 0 1 0-1 0 0 x 1 0-1 0 1 y 0 1 0-1 0 D y x

M P x y O A أوجد إحداثيات النقطة M المقابلة للنقطة. 1) 2) 30 درجة

M P أوجد إحداثيات النقطة م المقابلة للنقطة. 1) 2) 30 درجة × ص يا أ ب

باستخدام خاصية التناظر ، نجد إحداثيات النقاط التي هي مضاعفات y x

إحداثيات النقاط الرئيسية للمخطط الثاني x y x y y x

مثال أوجد إحداثيات نقطة على دائرة رقم. الحل: P y x

مثال أوجد نقاط ذات إحداثيات على دائرة عدد الحل: y x ​​x y x y

تمارين: أوجد إحداثيات نقاط الدائرة العددية: أ) ، ب). أوجد نقاطًا مع وجود حدودي على دائرة الأرقام.

إحداثيات النقاط الرئيسية 0 2 x 1 0-1 0 1 y 0 1 0-1 0 0 x 1 0-1 0 1 y 0 1 0-1 0 إحداثيات النقاط الرئيسية للتخطيط الأول x y x y إحداثيات النقاط الرئيسية للتخطيط الثاني

حول الموضوع: التطورات المنهجية والعروض التقديمية والملاحظات

مادة تعليمية حول الجبر وبدايات التحليل في الصف 10 (مستوى الملف الشخصي) "دائرة الأرقام على مستوى الإحداثيات"

الخيار 1.1. ابحث عن نقطة على دائرة الأرقام: A) -2∏ / 3B) 72. أي ربع دائرة الأرقام تنتمي النقطة إلى 16.3. ابحث عن ...

الهندسة التحليليةيعطي طرقًا موحدة لحل المشكلات الهندسية. للقيام بذلك ، تتم إحالة جميع النقاط والخطوط المحددة والمطلوبة إلى نفس نظام الإحداثيات.

في نظام الإحداثيات ، يمكن تمييز كل نقطة بإحداثياتها ، وكل خط بمعادلة ذات مجهولين ، وهذا الخط عبارة عن رسم بياني. في هذا الطريق مشكلة هندسيةإلى الجبرية ، حيث تم وضع جميع طرق الحساب بشكل جيد.

الدائرة هي موضع النقاط بخاصية واحدة محددة (كل نقطة في الدائرة على مسافة متساوية من نقطة واحدة تسمى المركز). يجب أن تعكس معادلة الدائرة هذه الخاصية ، تفي بهذا الشرط.

التفسير الهندسي لمعادلة الدائرة هو خط الدائرة.

إذا وضعنا دائرة في نظام إحداثيات ، فإن جميع نقاط الدائرة تفي بشرط واحد - يجب أن تكون المسافة بينها وبين مركز الدائرة متساوية مع الدائرة.

تتمحور الدائرة عند نقطة لكن ونصف القطر ص وضعت في مستوى الإحداثيات.

إذا كانت إحداثيات المركز (أ ؛ ب) ، وإحداثيات أي نقطة على الدائرة (س ؛ ص) ، فإن معادلة الدائرة لها الشكل:

إذا كان مربع نصف قطر الدائرة يساوي مجموع تربيع الاختلافات للإحداثيات المقابلة لأي نقطة في الدائرة ومركزها ، فإن هذه المعادلة هي معادلة الدائرة في نظام إحداثيات المستوى.

إذا تزامن مركز الدائرة مع نقطة الأصل ، فإن مربع نصف قطر الدائرة يساوي مجموع مربعات إحداثيات أي نقطة على الدائرة. في هذه الحالة ، تأخذ معادلة الدائرة الشكل:

لذلك ، أي الشكل الهندسيكيف يتم تحديد موضع النقاط بواسطة المعادلة المتعلقة بإحداثيات نقاطها. على العكس من ذلك ، فإن المعادلة المتعلقة بالإحداثيات X و في ، حدد الخط كموقع النقاط في المستوى الذي ترضي إحداثياته هذه المعادلة.

أمثلة على حل مسائل تتعلق بمعادلة الدائرة

مهمة. اكتب معادلة لدائرة معينة

اكتب معادلة لدائرة متمركزة عند النقطة O (2 ؛ -3) ونصف قطرها 4.

المحلول.
دعونا ننتقل إلى صيغة معادلة الدائرة:
R 2 \ u003d (x-a) 2 + (y-b) 2

عوّض بالقيم في الصيغة.
نصف قطر الدائرة R = 4
إحداثيات مركز الدائرة (حسب الحالة)
أ = 2
ب = -3

نحن نحصل:
(س - 2) 2 + (ص - (-3)) 2 = 4 2
أو
(س - 2) 2 + (ص + 3) 2 = 16.

مهمة. هل النقطة تنتمي إلى معادلة الدائرة

تحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي أ (2 ؛ 3)معادلة الدائرة (× - 2) 2 + (ص + 3) 2 = 16 .

المحلول.
إذا كانت نقطة ما تنتمي إلى دائرة ، فإن إحداثياتها تفي بمعادلة الدائرة.
للتحقق مما إذا كانت نقطة ذات إحداثيات معينة تنتمي إلى الدائرة ، نعوض بإحداثيات النقطة في معادلة الدائرة المحددة.

في المعادلة ( x - 2) 2 + (ذ + 3) 2 = 16
نعوض ، حسب الشرط ، بإحداثيات النقطة أ (2 ؛ 3) ، أي
س = 2
ص = 3

دعونا نتحقق من حقيقة المساواة التي تم الحصول عليها
(x - 2) 2 + (ذ + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 المساواة خاطئة

في هذا الطريق، نقطة معينة لا ينتمي معادلة معينةالدوائر.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد الالكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها بواسطتنا معلومات شخصيةيتيح لنا الاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات واتصالات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية للأغراض الداخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المتنوعة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• في حالة الضرورة - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات من الهيئات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
• في حالة إعادة التنظيم أو الاندماج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.