3) رقم
دعونا نطابق النقطة.
سيتم استدعاء دائرة الوحدة مع المراسلات المحددة
دائرة العدد.
هذا هو النموذج الهندسي الثاني لمجموعة الحقيقي
أعداد. النموذج الأول - خط الأعداد - يعرف الطلاب بالفعل. هنالك
القياس: لخط الأعداد ، قاعدة المراسلات (من رقم إلى نقطة)
تقريبا نفس الشيء حرفيا. لكن هناك أيضًا اختلاف جوهري - المصدر
الصعوبات الرئيسية في العمل مع دائرة الأرقام: على خط مستقيم ، كل منهما
تقابل النقطة الوحيدرقم ، في دائرة ليس كذلك. اذا كان
الدائرة تقابل رقمًا ، ثم تتوافق مع الجميع
أرقام النموذج
أين هو طول دائرة الوحدة ، وهو عدد صحيح
أرز. واحد
رقم يشير إلى عدد الجولات الكاملة للدائرة في اتجاه أو آخر
الجانب.
هذه اللحظة صعبة على الطلاب. يجب أن تعرض عليهم
فهم جوهر المهمة الحقيقية:
يبلغ طول مضمار الجري في الملعب 400 متر ، ويبعد العداء مسافة 100 متر
من نقطة البداية. ما المسار الذي سلكه؟ إذا بدأ للتو في الجري ، إذن
ركض 100 م ؛ إذا تمكنت من تشغيل لفة واحدة ، إذن - (
دائرتان - () ؛ إذا كنت تستطيع الركض
الدوائر ، ثم المسار سيكون (
). الآن يمكنك المقارنة
النتيجة التي تم الحصول عليها مع التعبير
مثال 1ما هي الأرقام التي تقابلها النقطة
دائرة العدد
قرار. منذ طول الدائرة بأكملها
هذا هو طول ربعها
لذلك ، لجميع أرقام النموذج
وبالمثل ، يتم تحديد الأرقام التي تتوافق مع النقاط
تسمى على التوالي الأول ، الثاني ، الثالث ،
الأرباع الرابعة من دائرة الأرقام.
يعتمد علم المثلثات في جميع المدارس على نموذج عددي
الدوائر. تظهر التجربة أن أوجه القصور في هذا النموذج هي أيضا
إدخال متسرع للوظائف المثلثية لا يسمح للخلق
أساس متين لاستيعاب المواد بنجاح. لذلك لا
تحتاج إلى الإسراع ، وخذ بعض الوقت للنظر في ما يلي
خمسة أنواع مختلفة من المشاكل مع دائرة الأرقام.
النوع الأول من المهام. إيجاد النقاط على الدائرة العددية ،
المقابلة لأرقام معينة ، معبرًا عنها في كسور الرقم
مثال 2
أعداد
قرار. دعونا نقسم القوس
في النصف بنقطة إلى ثلاثة أجزاء متساوية -
النقاط
(الصورة 2). ثم
إذن الرقم
النقطة المقابلة
رقم
مثال
3.
على ال
عددي
الدوائر
نقاط،
الأرقام المقابلة:
قرار. سوف نبني
أ) تأجيل القوس
(طوله
) خمس مرات
من وجهة
في الاتجاه السلبي
الحصول على نقطة
ب) تأجيل القوس
(طوله
) سبع مرات من
في الاتجاه الإيجابي ، نحصل على فصل نقطة
الجزء الثالث من القوس
سوف يتوافق مع الرقم
ج) تأجيل القوس
(طوله
) خمس مرات من النقطة
إيجابي
الاتجاه ، نحصل على نقطة
فصل الجزء الثالث من القوس. هي و
سوف يتطابق مع الرقم
(تظهر التجربة أنه من الأفضل عدم التأجيل
خمس مرات
و 10 مرات
بعد هذا المثال ، من المناسب إعطاء تخطيطين رئيسيين للرقم
الدوائر: في أولها (الشكل 3) جميع الأرباع مقسمة إلى نصفين ، فوق
الثاني (الشكل 4) - إلى ثلاثة أجزاء متساوية. هذه المخططات مفيدة في المكتب
الرياضيات.
أرز. 2
أرز. 3 أرز. 4
تأكد من مناقشة السؤال مع الطلاب: ماذا سيحدث إذا
لا يتحرك كل تخطيط بشكل إيجابي ، بل يتحرك بشكل سلبي
اتجاه؟ في التخطيط الأول ، يجب تعيين النقاط المحددة
"أسماء" أخرى: على التوالي
إلخ.؛ في التخطيط الثاني:
النوع الثاني من المهام. إيجاد النقاط على الدائرة العددية ،
المقابلة لأرقام معينة ، غير معبر عنها في كسور من رقم
مثال 4ابحث عن نقاط على دائرة الأرقام المقابلة لـ
الأرقام 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ -5.
قرار.
هنا علينا الاعتماد على حقيقة ذلك
لذلك النقطة 1
تقع على القوس
أقرب إلى النقطة
النقطتان 2 و 3 على القوس ، والنقطة الأولى هي
والثاني أقرب إلى (الشكل 5).
دعونا نلقي نظرة فاحصة
لإيجاد النقطة المقابلة للرقم - 5.
تحرك من نقطة
في الاتجاه السلبي ، أي في اتجاه عقارب الساعة
أرز. 5
سهم. إذا ذهبنا في هذا الاتجاه إلى النقطة
يحصل
هذا يعني أن النقطة المقابلة للرقم - 5 تقع
على يمين النقطة قليلاً
(انظر الشكل 5).
النوع الثالث من المهام. اعداد السجلات التحليلية (مزدوج
المتباينات) لأقواس دائرة عددية.
في الواقع ، نحن نتصرف بناءً على ذلك
نفس الخطة التي تم استخدامها في 5-8
فصول لدراسة خط الأعداد:
أولاً ، ابحث عن نقطة برقم ، ثم بواسطة
نقطة - رقم ، ثم استخدم ضعف
عدم المساواة في الكتابة على الفجوات
رقم الخط.
النظر ، على سبيل المثال ، مفتوحة
أين هو منتصف الأول
أرباع دائرة العدد و
- وسطها
الربع الثاني (الشكل 6).
عدم المساواة التي تميز القوس ، أي يمثل
تم اقتراح نموذج تحليلي للقوس على مرحلتين. في الأول
المرحلة تشكل جوهر سجل تحليلي(هذا هو الشيء الرئيسي الذي يجب اتباعه
تعليم الطلاب) لقوس معين
في الثاني
المرحلة تشكل سجلا عاما:
إذا كنا نتحدث عن القوس
ثم ، عند كتابة النواة ، عليك أن تأخذ ذلك في الحسبان
() تقع داخل القوس ، وبالتالي عليك الانتقال إلى بداية القوس
في الاتجاه السلبي. ومن ثم ، نواة التدوين التحليلي للقوس
لديه الشكل
أرز. 6
إن مصطلحات "نواة التحليلي
سجلات القوس "،" سجل تحليلي
أقواس "غير مقبولة بشكل عام ،
الاعتبارات.
الرابعة
مهام.
العثور على
ديكارتي
إحداثيات
عدد نقاط الدائرة ، المركز
الذي يتم دمجه مع بداية النظام
إحداثيات.
دعونا أولاً نفكر في نقطة واحدة دقيقة إلى حد ما ، حتى الآن
عمليا غير مذكور في الكتب المدرسية الحالية.
البدء بدراسة نموذج "الدائرة العددية على إحداثيات"
الطائرة "، يجب أن يدرك المعلمون بوضوح الصعوبات التي تنتظرهم
الطلاب هنا. ترتبط هذه الصعوبات بحقيقة أنه في دراسة هذا
يُطلب من النماذج من تلاميذ المدارس الحصول على مستوى عالٍ بدرجة كافية
الثقافة الرياضية ، لأنه يتعين عليهم العمل في وقت واحد
نظامي إحداثيات - في "منحني الأضلاع" ، عندما تكون المعلومات حول
يتم أخذ موضع النقطة على طول الدائرة (رقم
يتوافق مع
نقطة الدائرة
() ؛ هو "إحداثيات منحنية" للنقطة) ، وفي
نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي (عند النقطة
مثل كل نقطة
تنسيق الطائرة ، هناك إحداثية وإحداثية). مهمة المعلم هي المساعدة
تلاميذ المدارس في التغلب على هذه الصعوبات الطبيعية. للأسف،
عادة في الكتب المدرسية هم لا ينتبهون لهذا ومن ذاته
الدروس الأولى تستخدم الملاحظات
لا تعتبر أن الرسالة في
في ذهن تلميذ المدرسة يرتبط بشكل واضح بالإحداثية في الديكارتي
نظام إحداثيات مستطيل الشكل ، وليس بالطول المنتقل على طول العددي
دوائر المسار. لذلك ، عند العمل مع دائرة الأرقام ، لا ينبغي للمرء أن يفعل ذلك
استخدم الرموز
أرز. 7
دعنا نعود إلى النوع الرابع من المهام. حولحول الانتقال من التسجيل
السجلات
()، بمعنى آخر. من الإحداثيات المنحنية إلى الإحداثيات الديكارتية.
متوافق دائرة العددبنظام المستطيل الديكارتي
إحداثيات كما هو مبين في الشكل. 7. ثم النقاط
سوف نحصل على
الإحداثيات التالية:
() () () (). مهم جدا
تعليم الطلاب تحديد إحداثيات كل تلك النقاط
تم وضع علامة على تخطيطين رئيسيين (انظر الشكل 3.4). للنقطة
كل ذلك يعود إلى
النظر في متساوي الساقين مثلث قائممع وتر
ساقيه متساويتان
إذن الإحداثيات
). نفس الشيء صحيح بالنسبة للنقاط.
لكن الاختلاف الوحيد هو أنك تحتاج إلى أن تأخذ في الاعتبار
الاحداثيات وعلامات الاحداثيات. على وجه التحديد:
ما الذي يجب أن يتذكره الطلاب؟ فقط تلك الوحدات من حدود الإحداثية و
الإحداثيات عند نقاط المنتصف لجميع الأرباع متساوية
ويجب أن يعرفوا العلامات
تحديد كل نقطة مباشرة من الرسم.
للنقطة
كل هذا يعود إلى التفكير في المستطيل
مثلث بالوتر 1 وزاوية
(الشكل 9). ثم القسطرة
الزاوية المقابلة
ستكون متساوية
المجاور
√
وسائل،
إحداثيات النقطة
نفس الشيء صحيح بالنسبة لهذه النقطة
فقط الساقين "تغيير الأماكن" ، وبالتالي
أرز. ثمانية
أرز. تسع
نحن نحصل
). إنها المعاني
(ما يصل إلى علامات) وسوف يكون
"تخدم" جميع نقاط التخطيط الثاني (انظر الشكل 4) ، باستثناء النقاط
كما الإحداثي والإحداثيات. طريقة التذكر المقترحة: "أين أقصر ،
؛ حيث هو أطول
مثال 5ابحث عن إحداثيات نقطة
(انظر الشكل 4).
قرار. نقطة
أقرب إلى المحور الرأسي من
أفقي ، أي معامل إحداثياته أقل من معامل إحداثيته.
إذن ، مقياس الحد الأقصى هو
وحدة الإحداثي هي
في كليهما
الحالات سلبية (الربع الثالث). الخلاصة: نقطة
إحداثيات
في النوع الرابع من المشاكل ، يجد المرء الإحداثيات الديكارتيةالكل
النقاط المعروضة على التخطيطات الأولى والثانية المذكورة
في الواقع ، في سياق هذا النوع من المهام ، نقوم بإعداد الطلاب لها
حساب قيم التوابع المثلثية. إذا كان كل شيء هنا
عملت بشكل موثوق تمامًا ، ثم الانتقال إلى مستوى جديد من التجريد
(التنسيق - الجيب ، الإحداثي السيني - جيب التمام) سيكون أقل إيلامًا من
النوع الرابع يتضمن مهام من هذا النوع: للحصول على نقطة
العثور على علامات الإحداثيات الديكارتية
يجب ألا يسبب القرار صعوبات للطلاب: العدد
نقطة تلاقي
الربع الرابع يعني.
النوع الخامس من المهام.إيجاد النقاط على الدائرة العددية بواسطة
إحداثيات معينة.
مثال 6ابحث عن نقاط مع إحداثيات على دائرة العدد
اكتب الأرقام التي تتوافق معها.
قرار. مستقيم
يقطع دائرة الرقم عند النقاط
(الشكل 11). بمساعدة التخطيط الثاني (انظر الشكل 4) حددنا هذه النقطة
يتوافق مع الرقم
اذا هى
يطابق جميع أرقام النموذج
يتوافق مع الرقم
وهذا يعني
كل أرقام النموذج
إجابه:
مثال 7البحث عن الرقمية
نقطة دائرة مع حدودي
اكتب الأرقام التي تتوافق معها.
قرار.
مستقيم
√
يتقاطع مع دائرة الأرقام عند نقاط
- في منتصف الربع الثاني والثالث (شكل 10). بمساعدة الأول
وضع تخطيط تلك النقطة
يتوافق مع الرقم
وهذا يعني الجميع
أرقام النموذج
يتوافق مع الرقم
وهذا يعني الجميع
أرقام النموذج
إجابه:
يجب عليك إظهار الخيار الثاني.
سجل الجواب على سبيل المثال 7. بعد كل شيء ، النقطة
يتوافق مع الرقم
هؤلاء. كل أرقام النموذج
نحن نحصل:
أرز. عشرة
الشكل 11
التأكيد على الأهمية التي لا يمكن إنكارها
النوع الخامس من المهام. في الحقيقة ، نحن نعلم
تلاميذ المدارس
قرار
الكائنات الاوليه
المعادلات المثلثية: في المثال 6
يتعلق الأمر بالمعادلة
وفي المثال
- حول المعادلة
فهم جوهر الأمر مهم للتدريس
تلاميذ المدارس حل المعادلات من الأنواع
على طول دائرة الأرقام
لا تتسرع في استخدام الصيغ
تظهر التجربة أنه إذا كانت المرحلة الأولى (العمل على
الدائرة العددية) بشكل موثوق بما فيه الكفاية ، ثم المرحلة الثانية
(العمل على الصيغ) ينظر إليه تلاميذ المدارس رسميًا ،
بطبيعة الحال ، يجب التغلب عليها.
على غرار المثالين 6 و 7 يجب العثور عليهما في دائرة الأرقام
النقاط مع جميع الاحداثيات والخطابات "الرئيسية"
كمواضيع خاصة ، من المناسب تحديد ما يلي:
ملاحظة 1.من الناحية التمهيدية ، الإعدادية
العمل على موضوع "طول الدائرة" في مقرر هندسة الصف التاسع. الأهمية
النصيحة: يجب أن يشتمل نظام التمارين على مهام من النوع المقترح
أقل. دائرة الوحدة مقسمة إلى أربعة أجزاء متساوية بالنقاط
القوس ينقسم بنقطة وينقسم القوس بالنقاط
إلى ثلاثة أجزاء متساوية (الشكل 12). ما أطوال الأقواس
(من المفترض أن الإبحار حول الدائرة يتم بشكل إيجابي
اتجاه)؟
أرز. 12
النوع الخامس من المهام يتضمن العمل بشروط مثل
يعني
ل
قرار
الكائنات الاوليه
عدم المساواة المثلثية ، نحن أيضًا "نلائم" بشكل تدريجي.
خمسة دروس وفقط في الدرس السادس يجب أن تعاريف الجيب و
جيب التمام باعتباره إحداثيات نقطة على دائرة عددية. حيث
من المستحسن حل جميع أنواع المشاكل مع تلاميذ المدارس مرة أخرى ، ولكن مع
باستخدام الترميز المقدم ، يعرض أداء ذلك
على سبيل المثال ، المهام: احسب
حل المعادلة
عدم المساواة
إلخ. نؤكد ذلك في الدروس الأولى
البروتوزوا حساب المثلثات المعادلات المثلثيةوعدم المساواة
غير صحيح غايةالتدريب ، لكنها تستخدم خدماتل
إتقان الشيء الرئيسي - تعريفات الجيب وجيب التمام كإحداثيات للنقاط
دائرة العدد.
دع الرقم
نقطة تلاقي
دائرة العدد. ثم السداسية
اتصل جيب التمام لعدد
والمشار إليها
ويسمى إحداثياتها جيب الرقم
ويتم وضع علامة. (الشكل 13).
من هذا التعريف يمكن للمرء على الفور
ضبط علامات الجيب وجيب التمام وفقًا لـ
أرباع: الجيب
لجيب التمام
خصص درسًا كاملاً لهذا (كما هو
مقبول) غير مناسب. لاتفعل ذلك
يجبر تلاميذ المدارس على حفظ هذه العلامات: أي ميكانيكية
الحفظ ، الحفظ هو أسلوب عنيف للطلاب ،
عند دراسة علم المثلثات في المدرسة ، يواجه كل طالب مفهومًا مثيرًا للاهتمام هو "الدائرة العددية". يعتمد ذلك على قدرة مدرس المدرسة على شرح ما هو ولماذا هناك حاجة إليه ، ومدى نجاح الطالب في علم المثلثات لاحقًا. لسوء الحظ ، لا يمكن لكل معلم شرح هذه المواد بطريقة يسهل الوصول إليها. نتيجة لذلك ، يتم الخلط بين العديد من الطلاب حتى مع كيفية الاحتفال نقطة على دائرة الرقم. إذا قرأت هذه المقالة حتى النهاية ، فستتعلم كيفية القيام بذلك دون مشاكل.
لذلك دعونا نبدأ. لنرسم دائرة نصف قطرها يساوي 1. أكثر نقطة "يمين" في هذه الدائرة سيتم الإشارة إليها بالحرف ا:
تهانينا ، لقد رسمت للتو دائرة وحدة. بما أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي 1 ، فإن طولها يساوي.
يمكن ربط كل رقم حقيقي بطول المسار على طول دائرة الرقم من النقطة ا. اتجاه الحركة هو عكس اتجاه عقارب الساعة باعتباره الاتجاه الإيجابي. للسلبية - في اتجاه عقارب الساعة:
ترتيب النقاط على دائرة العدد
كما لاحظنا بالفعل ، فإن طول الدائرة العددية (دائرة الوحدة) يساوي. فأين سيكون الرقم على هذه الدائرة؟ من الواضح من هذه النقطة افي عكس اتجاه عقارب الساعة ، يجب أن نقطع نصف طول الدائرة ، وسنجد أنفسنا عند النقطة المرغوبة. دعنا نشير إليها بحرف ب:
لاحظ أنه يمكن الوصول إلى نفس النقطة بتمرير نصف الدائرة في الاتجاه السلبي. ثم نضع الرقم على دائرة الوحدة. أي أن الأرقام تتوافق مع نفس النقطة.
علاوة على ذلك ، فإن نفس النقطة تتوافق أيضًا مع الأرقام ، وبشكل عام ، مجموعة لانهائيةالأرقام التي يمكن كتابتها ، حيث ، أي أنها تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة. كل هذا بسبب من وجهة نظر بيمكنك القيام برحلة "حول العالم" في أي اتجاه (إضافة أو طرح المحيط) والوصول إلى نفس النقطة. نحصل على نتيجة مهمة يجب فهمها وتذكرها.
كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة على دائرة الأرقام. لكن كل نقطة على دائرة الأرقام تتوافق مع عدد لانهائي من الأرقام.
دعونا الآن نقسم نصف الدائرة العلوي للدائرة العددية إلى أقواس متساوية الطول بنقطة ج. من السهل أن نرى أن طول القوس OCيساوي . دعونا نضع جانبا الآن من هذه النقطة جقوس له نفس الطول في اتجاه عكس عقارب الساعة. نتيجة لذلك ، وصلنا إلى النقطة ب. النتيجة متوقعة تماما ، منذ ذلك الحين. دعونا نؤجل هذا القوس في نفس الاتجاه مرة أخرى ، ولكن الآن من النقطة ب. نتيجة لذلك ، وصلنا إلى النقطة د، والذي سيتطابق بالفعل مع الرقم:
لاحظ مرة أخرى أن هذه النقطة لا تتوافق فقط مع الرقم ، ولكن أيضًا ، على سبيل المثال ، الرقم ، لأنه يمكن الوصول إلى هذه النقطة عن طريق التنحية عن النقطة اربع دائرة في اتجاه عقارب الساعة (في الاتجاه السلبي).
وبشكل عام ، نلاحظ مرة أخرى أن هذه النقطة تتوافق مع عدد لا حصر له من الأرقام التي يمكن كتابتها بالصيغة 
. ولكن يمكن أيضًا كتابتها كـ. أو ، إذا أردت ، في شكل. كل هذه السجلات متكافئة تمامًا ، ويمكن الحصول عليها من بعضها البعض.
دعونا الآن نكسر القوس إلى OCنصف نقطة م. فكر الآن ما هو طول القوس أوم؟ هذا صحيح ، نصف القوس OC. بمعنى آخر . ما هي الأرقام التي تقابلها النقطة معلى دائرة رقم؟ أنا متأكد من أنك ستدرك الآن أنه يمكن كتابة هذه الأرقام في النموذج.
لكن من الممكن خلاف ذلك. لنأخذ الصيغة المقدمة. ثم نحصل على ذلك 
. بمعنى ، يمكن كتابة هذه الأرقام كـ 
. يمكن الحصول على نفس النتيجة باستخدام دائرة الأرقام. كما قلت ، كلا الإدخالين متكافئان ، ويمكن الحصول عليهما من بعضهما البعض.
الآن يمكنك بسهولة إعطاء مثال للأرقام التي تتوافق مع النقاط ن, صو كعلى دائرة الرقم. على سبيل المثال ، الأرقام و:
غالبًا ما يتم أخذ الحد الأدنى من الأرقام الموجبة للإشارة إلى النقاط المقابلة في دائرة الأرقام. على الرغم من أن هذا ليس ضروريا على الإطلاق ، وهذه النقطة ن، كما تعلم بالفعل ، يتوافق مع عدد لا حصر له من الأرقام الأخرى. بما في ذلك ، على سبيل المثال ، الرقم.
إذا كسرت القوس OCإلى ثلاثة أقواس متساوية بنقاط سو إل، لذا فإن النقطة سسوف تقع بين النقاط او إل، ثم طول القوس نظام التشغيلسوف تساوي ، وطول القوس OLسوف تساوي. باستخدام المعرفة التي تلقيتها في الجزء السابق من الدرس ، يمكنك بسهولة معرفة كيفية تحول بقية النقاط على دائرة الأرقام:
الأعداد التي ليست من مضاعفات على دائرة الأرقام
دعونا الآن نسأل أنفسنا السؤال ، أين على خط الأعداد لتحديد النقطة المقابلة للرقم 1؟ للقيام بذلك ، من الضروري من أقرب نقطة "يمين" في دائرة الوحدة اقم بتأجيل قوس ، سيكون طوله مساويًا لـ 1. يمكننا فقط تحديد موقع النقطة المطلوبة تقريبًا. دعنا ننتقل على النحو التالي.
في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل تعريف الدائرة الرقمية بتفصيل كبير ، ومعرفة الخاصية الرئيسية لها وترتيب الأرقام 1،2،3 ، إلخ. حول كيفية تمييز الأرقام الأخرى على الدائرة (على سبيل المثال ، \ (\ frac (π) (2) ، \ frac (π) (3) ، \ frac (7π) (4) ، 10π ، - \ frac (29π) (6) \)) يفهم.
دائرة الأرقام قم باستدعاء دائرة نصف قطرها الوحدة ، تتوافق نقاطها مع مرتبة وفقًا للقواعد التالية:
1) الأصل في أقصى نقطة يمين الدائرة ؛
2) عكس اتجاه عقارب الساعة - الاتجاه الإيجابي ؛ في اتجاه عقارب الساعة - سلبي
3) إذا رسمنا المسافة \ (t \) على الدائرة في الاتجاه الموجب ، فسنصل إلى النقطة بالقيمة \ (t \) ؛
4) إذا رسمنا المسافة \ (t \) على الدائرة في الاتجاه السلبي ، فسنصل إلى النقطة بالقيمة \ (- t \).
لماذا تسمى الدائرة بالرقم؟
لأنه يحتوي على أرقام. في هذا ، تشبه الدائرة محور الرقم - على الدائرة ، وكذلك على المحور ، لكل رقم نقطة معينة.
لماذا تعرف ما هي دائرة الأرقام؟
بمساعدة دائرة عددية ، يتم تحديد قيمة الجيب وجيب التمام والظل والظل. لذلك ، من أجل معرفة علم المثلثات و اجتياز الامتحانلأكثر من 60 نقطة ، فأنت بالتأكيد بحاجة إلى فهم ماهية دائرة الأرقام وكيفية وضع النقاط عليها.
ماذا تعني عبارة "... لوحدة نصف قطر ..." في التعريف؟
هذا يعني أن نصف قطر هذه الدائرة هو \ (1 \). وإذا قمنا ببناء مثل هذه الدائرة المتمركزة في الأصل ، فسوف تتقاطع مع المحاور عند النقطتين \ (1 \) و \ (- 1 \).
ليس من الضروري رسمها صغيرة ، يمكنك تغيير "حجم" الأقسام على طول المحاور ، ثم ستكون الصورة أكبر (انظر أدناه).
لماذا نصف القطر واحد بالضبط؟ إنه أكثر ملاءمة ، لأنه في هذه الحالة ، عند حساب المحيط باستخدام الصيغة \ (l = 2πR \) ، نحصل على:
طول دائرة الأرقام هو \ (2π \) أو تقريبًا \ (6،28 \).
وماذا تعني عبارة "... نقاطها التي تتوافق مع الأعداد الحقيقية"؟
كما ذكرنا سابقًا ، في دائرة الأرقام لأي رقم حقيقي ، سيكون هناك بالتأكيد "مكانه" - النقطة التي تتوافق مع هذا الرقم.
لماذا تحديد الأصل والاتجاه على دائرة الأرقام؟
الغرض الرئيسي من دائرة الأرقام هو تحديد نقطتها بشكل فريد لكل رقم. ولكن كيف يمكنك تحديد مكان وضع حد له إذا كنت لا تعرف من أين تعد ومن أين تتحرك؟
من المهم هنا عدم الخلط بين الأصل على خط الإحداثيات وعلى دائرة الأرقام - فهذان نظامان مرجعيان مختلفان! أيضًا ، لا تخلط بين \ (1 \) على محور \ (س \) و \ (0 \) على الدائرة - فهذه نقاط على كائنات مختلفة.
ما النقاط التي تتوافق مع الأرقام \ (1 \) ، \ (2 \) ، إلخ؟
تذكر أننا افترضنا أن نصف قطر دائرة الأرقام هو \ (1 \)؟ سيكون هذا هو الجزء الفردي (بالتشابه مع محور الأرقام) ، والذي سنضعه على الدائرة.
لتمييز نقطة على دائرة الأرقام المقابلة للرقم 1 ، عليك السفر من 0 مسافة مساوية لنصف القطر في الاتجاه الموجب.
لتمييز نقطة على الدائرة تقابل الرقم \ (2 \) ، عليك السفر مسافة تساوي نصف قطر من الأصل ، بحيث تكون \ (3 \) مسافة تساوي ثلاثة أنصاف أقطار ، إلخ.
بالنظر إلى هذه الصورة ، قد يكون لديك سؤالان:
1. ماذا سيحدث عندما "تنتهي" الدائرة (أي نصنع دائرة كاملة)؟
الجواب: لنذهب إلى الجولة الثانية! وعندما ينتهي الثاني ، ننتقل إلى الثالث وهكذا. لذلك ، يمكن تطبيق عدد لا حصر له من الأرقام على دائرة.
2. أين سيكونون أرقام سالبة?
الجواب: هناك! يمكن أيضًا ترتيبها ، من خلال حساب العدد المطلوب من نصف القطر من الصفر ، ولكن الآن في اتجاه سلبي.
لسوء الحظ ، من الصعب تعيين أعداد صحيحة على دائرة الأرقام. هذا يرجع إلى حقيقة أن طول الدائرة العددية لن يكون عددًا صحيحًا: \ (2π \). وفي الأماكن الأكثر ملاءمة (عند نقاط التقاطع مع المحاور) لن يكون هناك أيضًا أعداد صحيحة ، بل كسور
نقدم انتباهكم إلى درس فيديو حول موضوع "الدائرة الرقمية". يتم تقديم تعريف لماهية الجيب وجيب التمام والظل والظل والوظائف ذ= الخطيئة x, ذ= كوس x, ذ= tg x, ذ= ctg xلأية وسيطة رقمية. نحن نأخذ في الاعتبار المهام القياسية للمراسلات بين الأرقام والنقاط في دائرة رقم الوحدة للعثور على نقطة واحدة لكل رقم ، وعلى العكس من ذلك ، للعثور على كل نقطة مجموعة من الأرقام التي تتوافق معها.
الموضوع: عناصر نظرية الدوال المثلثية
الدرس: دائرة الأرقام
هدفنا التالي هو التحديد الدوال المثلثية: التجويف, جيب التمام, ظل, ظل التمام-
حجة رقميةيمكن رسمها على خط إحداثيات أو على دائرة.
تسمى هذه الدائرة الدائرة العددية أو الوحدة ، لأن. للراحة ، خذ دائرة مع
على سبيل المثال ، عند إعطاء نقطة ، قم بتمييزها على خط الإحداثيات
و على دائرة العدد.
عند العمل بدائرة رقم ، تم الاتفاق على أن الحركة في عكس اتجاه عقارب الساعة هي اتجاه إيجابي ، والحركة في اتجاه عقارب الساعة سلبية.
المهام النموذجية - تحتاج إلى تحديد الإحداثيات نقطة معينةأو ، على العكس من ذلك ، ابحث عن نقطة بإحداثياتها.
يُنشئ خط الإحداثيات مراسلات فردية بين النقاط والأرقام. على سبيل المثال ، رقم يتوافق مع النقطة أ مع إحداثيات
تتميز كل نقطة B بإحداثيات برقم واحد فقط - المسافة من 0 إلى المأخوذة بعلامة زائد أو ناقص.
في دائرة الأرقام ، تعمل المراسلات الفردية في اتجاه واحد فقط.
على سبيل المثال ، هناك النقطة "ب" تنسيق الدائرة(الشكل 2) ، طول القوس يساوي 1 ، أي هذه النقطة تقابل 1.
إذا كانت الدائرة هي محيط الدائرة ، فهذا يعني أن طول دائرة الوحدة.
إذا أضفنا ، نحصل على نفس النقطة B ، والمزيد - نصل أيضًا إلى النقطة B ، ونطرح - أيضًا النقطة B.
ضع في اعتبارك النقطة B: طول القوس = 1 ، ثم تميز الأرقام النقطة B على دائرة الرقم.
وبالتالي ، فإن الرقم 1 يتوافق مع النقطة الوحيدة في الدائرة الرقمية - النقطة B ، والنقطة B تتوافق مع مجموعة غير معدودة من نقاط النموذج 
.
ما يلي صحيح بالنسبة لدائرة الأرقام:
إذا كان T. مدائرة الرقم تقابل رقمًا ثم تتوافق أيضًا مع رقم النموذج
يمكنك إجراء العديد من الدورات الكاملة حول دائرة الأرقام في اتجاه إيجابي أو سلبي كما تريد - النقطة هي نفسها. لذلك ، فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا حصر له من الحلول.
على سبيل المثال ، بالنظر إلى النقطة "د" ، ما هي الأرقام التي تقابلها؟
نقيس القوس.
مجموعة جميع الأرقام المقابلة للنقطة د.
ضع في اعتبارك النقاط الرئيسية على دائرة الأرقام.
طول الدائرة بأكملها.
هؤلاء. يمكن أن يكون سجل مجموعة الإحداثيات مختلفًا .
يعتبر مهام نموذجيةعلى دائرة الرقم.
1. نظرا:. البحث: نقطة على دائرة العدد.
نختار الجزء بأكمله:
من الضروري إيجاد م على دائرة الأرقام. 
، من ثم 
.
تتضمن هذه المجموعة أيضًا النقطة.
2. معطى:. البحث: نقطة على دائرة العدد.
بحاجة للعثور على تي.
م ينتمي أيضا إلى هذه المجموعة.
لحل المشكلات القياسية المتعلقة بالترابط بين الأرقام والنقاط على دائرة العدد ، وجدنا أنه من الممكن إيجاد نقطة واحدة لكل رقم ، ومن الممكن أن نجد لكل نقطة مجموعة من الأرقام التي تتميز بعلامة معينة نقطة.
دعنا نقسم القوس إلى ثلاثة أجزاء متساوية ونحدد النقطتين M و N.
لنجد كل إحداثيات هذه النقاط.
 |
إذن ، هدفنا هو تحديد الدوال المثلثية. للقيام بذلك ، نحتاج إلى معرفة كيفية تعيين وسيطة دالة. درسنا نقاط دائرة الوحدة وحلنا مشكلتين نموذجيتين - لإيجاد نقطة على دائرة العدد وكتابة جميع إحداثيات نقطة دائرة الوحدة.
1. مردكوفيتش أ. وغيرهم الجبر الصف التاسع: بروك. للتعليم العام المؤسسات - الطبعة الرابعة. - م: Mnemosyne، 2002. - 192 ص: مريض.
2 - مردكوفيتش أ. و غيرها الجبر للصف التاسع: كتاب مهام للطلاب المؤسسات التعليمية/ A.G Mordkovich ، T.N.Mishustina وآخرون - الطبعة الرابعة. - م: Mnemosyne، 2002. - 143 ص: مريض.
3. Yu. N. Makarychev ، علم الجبر. الصف التاسع: كتاب مدرسي لطلاب التعليم العام. المؤسسات / Yu. N. Makarychev، N.G Mindyuk، K. I. Neshkov، I. E. Feoktistov. - الطبعة السابعة ، القس. وإضافية - م: Mnemosyne ، 2008.
4. Alimov Sh.A.، Kolyagin Yu.M.، Sidorov Yu.V. الجبر. الصف 9 16 الطبعة. - م ، 2011. - 287 ص.
5. مردكوفيتش A. G. الجبر. الصف 9 الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الثانية عشر ، ممحاة. - م: 2010. - 224 ص: م.
6. الجبر. الصف 9 في الساعة الثانية ، الجزء الثاني ، كتاب المهام لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. إد. أ.موردكوفيتش. - الطبعة الثانية عشر ، القس. - م: 2010. - 223 ص: م.
مردكوفيتش أ. وآخرون. الجبر للصف التاسع: كتاب المهام لطلاب المؤسسات التعليمية / A.G Mordkovich، T.N.Mishustina et al. - 4th ed. - م: Mnemosyne، 2002. - 143 ص: مريض.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
تعد دروس الفيديو من أكثر الوسائل التعليمية فعالية ، خاصة في التخصصات المدرسية مثل الرياضيات. لذلك ، المؤلف هذه المادةجمعت في كل واحد فقط المعلومات المفيدة والمهمة والمختصة.
تم تصميم هذا الدرس لمدة ١١:٥٢ دقيقة. يلزم نفس القدر من الوقت تقريبًا للمعلم في الدرس لشرح مادة جديدة حول موضوع معين. على الرغم من أن الميزة الرئيسية لدرس الفيديو ستكون حقيقة أن الطلاب سيستمعون بعناية إلى ما يتحدث عنه المؤلف ، دون تشتيت انتباههم بالموضوعات والمحادثات الدخيلة. بعد كل شيء ، إذا لم يستمع الطلاب بعناية ، فسوف يفوتهم نقطة مهمة في الدرس. وإذا تم شرح المادة من قبل المعلم نفسه ، فيمكن لطلابه بسهولة صرف الانتباه عن الشيء الرئيسي بمحادثاتهم حول مواضيع مجردة. وبطبيعة الحال ، يصبح من الواضح أي طريق سيكون أكثر عقلانية.
يخصص المؤلف بداية الدرس لتكرار تلك الوظائف التي تعرف عليها الطلاب في وقت سابق في سياق الجبر. ويقترح الأول لبدء الدراسة - الدوال المثلثية. للنظر فيها ودراستها ، جديد نموذج رياضي. ويصبح هذا النموذج دائرة عددية ، والتي ، فقط ، مذكورة في موضوع الدرس. للقيام بذلك ، يتم تقديم مفهوم دائرة الوحدة ، ويتم تقديم تعريفها. علاوة على ذلك في الشكل ، يوضح المؤلف جميع مكونات هذه الدائرة ، وما هو مفيد للطلاب لمزيد من التعلم. تم تمييز الأرباع بأقواس.
ثم يقترح المؤلف النظر في دائرة الأرقام. هنا يوضح أنه من الأنسب استخدام دائرة الوحدة. توضح هذه الدائرة كيفية الحصول على النقطة M إذا كانت t> 0، t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
علاوة على ذلك ، يذكر المؤلف الطلاب بكيفية العثور على محيط الدائرة. ثم ينتج طول دائرة الوحدة. تم اقتراح هذه البيانات النظرية ليتم تطبيقها في الممارسة العملية. لهذا ، يتم النظر في مثال حيث يكون مطلوبًا للعثور على نقطة على دائرة تتوافق مع قيم معينة من الأرقام. حل المثال مصحوب بتوضيح في شكل رسم ، بالإضافة إلى السجلات الرياضية اللازمة.
وفقًا لشرط المثال الثاني ، من الضروري إيجاد نقاط على دائرة الأرقام. هنا أيضًا ، يكون الحل بأكمله مصحوبًا بتعليقات ورسوم توضيحية وتدوينات رياضية. هذا يساهم في تطوير وتحسين معرفة القراءة والكتابة الرياضية للطلاب. تم إنشاء المثال الثالث بالمثل.
علاوة على ذلك ، يلاحظ المؤلف تلك الأرقام على الدائرة التي تحدث في كثير من الأحيان أكثر من غيرها. هنا يقترح عمل تخطيطين لدائرة عددية. عندما يكون كلا التخطيطين جاهزين ، يتم النظر في المثال الرابع التالي ، حيث يكون مطلوبًا العثور على نقطة على دائرة الأرقام المقابلة للرقم 1. بعد هذا المثال ، تتم صياغة بيان وفقًا له يمكن للمرء أن يجد النقطة M المقابلة لعدد ر.
بعد ذلك ، يتم تقديم ملاحظة ، يتعلم بموجبها المتدربون أن الرقم "pi" يتوافق مع جميع الأرقام التي تقع في نقطة معينة عندما يمر عبر الدائرة بأكملها. يتم تعزيز هذه المعلومات من خلال المثال الخامس. يحتوي حله على التفكير المنطقي والرسومات الصحيحة التي توضح الموقف.
تفسير النص:
دائرة عددية
سابقا ، درسنا الوظائف التي تحددها التعبيرات التحليلية. وكانت تسمى هذه الوظائف الجبرية. ولكن في الدورة المدرسية للرياضيات ، يتم أيضًا دراسة وظائف الفصول الأخرى ، وليس الفصول الجبرية. لنبدأ في دراسة الدوال المثلثية.
لإدخال الدوال المثلثية ، نحتاج إلى نموذج رياضي جديد - دائرة عددية. ضع في اعتبارك دائرة الوحدة. الدائرة التي يكون نصف قطرها مساويًا لمقطع المقياس ، بدون تحديد وحدات قياس معينة ، ستسمى وحدة. يُفترض أن يكون نصف قطر هذه الدائرة 1.
سنستخدم دائرة وحدة يتم فيها رسم الأقطار الأفقية والرأسية CA و DВ (ce a and de be) (انظر الشكل 1).
القوس AB سيطلق عليه الربع الأول ، القوس BC الربع الثاني ، القوس CD سيطلق عليه الربع الثالث ، القوس DA الربع الرابع.
ضع في اعتبارك دائرة الأرقام. بشكل عام ، يمكن اعتبار أي دائرة على أنها دائرة عددية ، ولكن من الأنسب استخدام دائرة وحدة لهذا الغرض.
التعريف يتم إعطاء دائرة وحدة ، ونقطة البداية A موضحة عليها - الطرف الأيمن من القطر الأفقي. دعونا نخصص لكل رقم حقيقي t (te) نقطة من الدائرة وفقًا للقاعدة التالية:
1) إذا كانت t> 0 (te أكبر من الصفر) ، إذن ، بالتحرك من النقطة A في اتجاه عكس عقارب الساعة (الاتجاه الإيجابي للالتفاف حول الدائرة) ، فإننا نصف المسار AM (a em) للطول t حول الدائرة . ستكون النقطة M هي النقطة المرغوبة M (t) (em من te).
2) إذا ر<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) وضعنا النقطة أ بالتوافق مع الرقم t = 0.
دائرة الوحدة ذات التطابق الثابت (بين الأعداد الحقيقية ونقاط الدائرة) تسمى دائرة الأرقام.
من المعروف أن المحيط L (el) يحسب بالصيغة L = 2πR (el يساوي اثنين pi er) ، حيث π≈3.14، R هو نصف قطر الدائرة. بالنسبة لدائرة الوحدة R = 1 سم ، فإن L = 2π≈6.28 سم (el يساوي اثنين pi تقريبًا 6.28).
ضع في اعتبارك الأمثلة.
مثال 1. أوجد نقطة على دائرة الأرقام تتوافق مع رقم معين: ،. (pi على اثنين ، pi ، ثلاثة pi على اثنين ، اثنان pi ، أحد عشر باي على اثنين ، سبعة pi ، ناقص خمسة pi على اثنين)
قرار. أول ستة أرقام موجبة ، لذلك للعثور على النقاط المقابلة للدائرة ، عليك الالتفاف حول مسار الدائرة بطول معين ، والانتقال من النقطة A في اتجاه إيجابي. طول كل ربع دائرة الوحدة متساوٍ. ومن ثم ، AB = ، أي أن النقطة B تقابل الرقم (انظر الشكل 1). AC \ u003d ، أي ، النقطة C تقابل الرقم. AD \ u003d ، أي النقطة D تقابل الرقم. والنقطة A تتوافق مرة أخرى مع الرقم ، لأننا بعد أن مررنا المسار على طول الدائرة ، وصلنا إلى نقطة البداية أ.
ضع في اعتبارك المكان الذي ستوضع فيه النقطة. نظرًا لأننا نعرف بالفعل ما هو المحيط ، فسنحضره إلى النموذج (أربعة بي زائد ثلاثة باي على اثنين). بمعنى ، الانتقال من النقطة A في اتجاه إيجابي ، تحتاج إلى وصف دائرة كاملة مرتين (مسار طوله 4π) بالإضافة إلى مسار طول ينتهي عند النقطة D.
لما؟ هذا هو 3 ∙ 2π + (ثلاثة ضرب اثنين باي زائد باي). لذا ، بالانتقال من النقطة A في اتجاه إيجابي ، تحتاج إلى وصف ثلاث مرات لدائرة كاملة بالإضافة إلى مسار طوله π ، والذي سينتهي عند النقطة C.
للعثور على نقطة على دائرة عددية تقابل رقمًا سالبًا ، عليك الانتقال من النقطة A على طول الدائرة في اتجاه سلبي (في اتجاه عقارب الساعة) على مسار طول ، وهذا يتوافق مع 2π +. سينتهي هذا المسار عند النقطة D.
مثال 2. أوجد نقاطًا على دائرة الأرقام (باي بستة ، باي بأربعة ، باي بثلاثة).
قرار. بقسمة القوس AB على النصف ، نحصل على النقطة E ، والتي تقابلها. وبقسمة القوس AB إلى ثلاثة أجزاء متساوية على النقطتين F و O ، نحصل على أن النقطة F تقابلها والنقطة T تقابلها
(انظر الشكل 2).
مثال 3. أوجد نقاطًا على الدائرة العددية (ناقص ثلاثة عشر باي في أربعة ، وتسعة عشر باي في ستة).
قرار. بتأجيل القوس AE (a em) بطول (باي بأربعة) من النقطة A ثلاث عشرة مرة في الاتجاه السلبي ، نحصل على النقطة H (الرماد) - منتصف القوس BC.
بعد تأجيل القوس AF بطول (pi بمقدار ستة) من النقطة A تسعة عشر مرة في الاتجاه الإيجابي ، سنصل إلى النقطة N (en) ، التي تنتمي إلى الربع الثالث (قوس CD) و CN يساوي الثلث جزء من القرص المضغوط للقوس (حد ذاته).
(انظر الشكل 2 على سبيل المثال).
في أغلب الأحيان ، عليك البحث عن نقاط في دائرة الأرقام تتوافق مع الأرقام (باي بستة ، باي بأربعة ، باي بثلاثة ، باي في اثنين) ، بالإضافة إلى تلك التي تعد من مضاعفاتها ، أي (سبعة pi على ستة ، خمسة pi على أربعة ، أربعة pi على ثلاثة ، أحد عشر pi على اثنين). لذلك ، من أجل التنقل بسرعة ، من المستحسن عمل تخطيطين لدائرة عددية.
في المخطط الأول ، سيتم تقسيم كل ربع من أرباع الدائرة العددية إلى جزأين متساويين ، وبجانب كل نقطة تم الحصول عليها سنكتب "أسمائهم":
في المخطط الثاني ، يتم تقسيم كل ربع إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، وبجانب كل نقطة من الاثنتي عشرة نقطة التي تم الحصول عليها ، نكتب أيضًا "أسمائهم":
إذا تحركنا في اتجاه عقارب الساعة ، فسنحصل على نفس "الأسماء" للنقاط على الرسومات ، فقط بقيمة سالبة. للتخطيط الأول:
وبالمثل ، إذا تحركت في اتجاه عقارب الساعة على طول التخطيط الثاني من النقطة O.
مثال 4. أوجد في دائرة الرقم النقاط المقابلة للأرقام 1 (واحد).
قرار. مع العلم أن π≈3.14 (pi تساوي تقريبًا ثلاثة فاصل أربعة عشر جزءًا من مائة) ، ≈ 1.05 (pi في ثلاثة تساوي تقريبًا نقطة واحدة وخمس مائة) ، ≈ 0.79 (pi في أربعة تساوي تقريبًا صفر نقطة وتسع وسبعين جزء من المائة). وسائل،< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
البيان التالي هو الصحيح: إذا كانت النقطة M لدائرة الأرقام تقابل الرقم t ، فإنها أيضًا تتوافق مع أي رقم من النموذج t + 2πك(te plus two pi ka) ، حيث ka هي أي عدد صحيح و kϵ ض(كا ينتمي إلى ض).
باستخدام هذه العبارة ، يمكننا أن نستنتج أن النقطة تقابل جميع النقاط بالصيغة t = + 2πk (te يساوي pi في ثلاثة زائد قمتين) ، حيث kϵZ ( ka ينتمي إلى zet) ، وإلى نقطة (خمسة pi على أربعة) - نقاط على شكل t = + 2πk (te يساوي خمسة pi على أربعة زائد اثنين pi ka) ، حيث kϵZ ( ka ينتمي إلى z) وما إلى ذلك.
مثال 5. أوجد نقطة على دائرة الأرقام: أ)؛ ب) .
قرار. أ) لدينا: = (6 +) ∙ π = 6π + = + 3 2π. (عشرون باي في ثلاثة يساوي عشرين في ثلاثة باي يساوي ستة زائد ثلثين ، مضروبًا في باي يساوي ستة باي زائد اثنين باي في ثلاثة يساوي اثنان pi ضرب ثلاثة زائد ثلاثة ضرب اثنان pi).
هذا يعني أن الرقم يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم (هذا هو الربع الثاني) (انظر الشكل الثاني في الشكل 4).
ب) لدينا: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) ناقص أربعة). أي أن الرقم يتوافق على دائرة الرقم مع نفس نقطة الرقم
