النمذجة الرياضية

1. ما هي النمذجة الرياضية؟

منذ منتصف القرن العشرين. في مختلف مجالات النشاط البشري ، بدأ استخدام الأساليب الرياضية وأجهزة الكمبيوتر على نطاق واسع. ظهرت تخصصات جديدة مثل "الاقتصاد الرياضي" و "الكيمياء الرياضية" و "اللغويات الرياضية" وما إلى ذلك ، والتي تدرس النماذج الرياضية للأشياء والظواهر ذات الصلة ، فضلاً عن طرق دراسة هذه النماذج.

نموذج رياضي- هذا وصف تقريبي لأي فئة من الظواهر أو أشياء من العالم الحقيقي بلغة الرياضيات. الغرض الرئيسي من النمذجة هو استكشاف هذه الأشياء والتنبؤ بنتائج الملاحظات المستقبلية. ومع ذلك ، فإن النمذجة هي أيضًا طريقة لإدراك العالم المحيط ، مما يجعل من الممكن التحكم فيه.

لا غنى عن النمذجة الرياضية وتجربة الكمبيوتر المرتبطة بها في الحالات التي تكون فيها تجربة كاملة النطاق مستحيلة أو صعبة لسبب أو لآخر. على سبيل المثال ، من المستحيل إجراء تجربة شاملة في التاريخ للتحقق من "ما سيحدث إذا ..." من المستحيل التحقق من صحة هذه النظرية الكونية أو تلك. من حيث المبدأ ، من الممكن ، ولكن ليس من المعقول ، إجراء تجربة على انتشار بعض الأمراض ، مثل الطاعون ، أو القيام بها انفجار نوويلدراسة آثارها. ومع ذلك ، كل هذا يمكن القيام به على جهاز كمبيوتر ، بعد أن بنى سابقًا نماذج رياضية للظواهر قيد الدراسة.

2. المراحل الرئيسية للنمذجة الرياضية

1) بناء نموذجي. في هذه المرحلة ، يتم تحديد بعض الأشياء "غير الرياضية" - ظاهرة طبيعية ، بناء ، خطة اقتصادية ، عملية إنتاج ، إلخ. في هذه الحالة ، كقاعدة عامة ، يصعب وصف واضح للوضع. أولاً ، يتم تحديد السمات الرئيسية للظاهرة والعلاقة بينها على المستوى النوعي. ثم تتم صياغة التبعيات النوعية الموجودة في لغة الرياضيات ، أي تم بناء نموذج رياضي. هذا هو أصعب جزء في النمذجة.

2) الحل مشكلة رياضيةالتي يقودها النموذج. في هذه المرحلة ، يتم إيلاء الكثير من الاهتمام لتطوير الخوارزميات والأساليب العددية لحل المشكلة على جهاز الكمبيوتر ، والتي يمكن من خلالها العثور على النتيجة بالدقة المطلوبة وضمن الوقت المسموح به.

3) تفسير النتائج المتحصل عليها من النموذج الرياضي.يتم تفسير النتائج المستمدة من النموذج في لغة الرياضيات باللغة المقبولة في هذا المجال.

4) التحقق من كفاية النموذج.في هذه المرحلة ، تم اكتشاف ما إذا كانت نتائج التجربة تتفق مع النتائج النظرية من النموذج ضمن دقة معينة.

5) تعديل النموذج.في هذه المرحلة ، إما أن يصبح النموذج أكثر تعقيدًا بحيث يكون أكثر ملاءمة للواقع ، أو يتم تبسيطه من أجل تحقيق حل مقبول عمليًا.

3. تصنيف النماذج

يمكن تصنيف النماذج وفقًا لمعايير مختلفة. على سبيل المثال ، وفقًا لطبيعة المشكلات التي يتم حلها ، يمكن تقسيم النماذج إلى نماذج وظيفية وهيكلية. في الحالة الأولى ، يتم التعبير عن الكميات التي تميز ظاهرة أو شيء ما كميًا. في الوقت نفسه ، يعتبر بعضها متغيرات مستقلة ، بينما يعتبر البعض الآخر وظائف لهذه الكميات. عادة ما يكون النموذج الرياضي عبارة عن نظام معادلات من أنواع مختلفة (تفاضلية ، جبرية ، إلخ) التي تؤسس علاقات كمية بين الكميات قيد الدراسة. في الحالة الثانية ، يميز النموذج بنية كائن معقد ، يتكون من أجزاء منفصلة ، يوجد بينها اتصالات معينة. عادة ، هذه العلاقات غير قابلة للقياس الكمي. لبناء مثل هذه النماذج ، من الملائم استخدام نظرية الرسم البياني. الرسم البياني هو كائن رياضي ، وهو عبارة عن مجموعة من النقاط (الرؤوس) على مستوى أو في الفضاء ، بعضها متصل بخطوط (حواف).

وفقًا لطبيعة البيانات الأولية ونتائج التنبؤ ، يمكن تقسيم النماذج إلى إحصائية حتمية واحتمالية. نماذج من النوع الأول تعطي تنبؤات محددة لا لبس فيها. تعتمد نماذج النوع الثاني على المعلومات الإحصائية ، والتنبؤات التي تم الحصول عليها بمساعدتهم ذات طبيعة احتمالية.

4. نماذج من النماذج الرياضية

1) مشاكل حول حركة المقذوف.

تأمل المشكلة التالية في الميكانيكا.

يتم إطلاق المقذوف من الأرض بسرعة ابتدائية v 0 = 30 م / ث بزاوية أ = 45 درجة على سطحه ؛ مطلوب للعثور على مسار حركته والمسافة S بين نقطتي البداية والنهاية لهذا المسار.

ثم ، كما هو معروف من مقرر الفيزياء المدرسية ، توصف الصيغ حركة المقذوف:

حيث t - الوقت ، g = 10 m / s 2 - تسارع السقوط الحر. تعطي هذه الصيغ النموذج الرياضي للمهمة. بالتعبير عن t بدلالة x من المعادلة الأولى واستبدالها في الثانية ، نحصل على معادلة مسار القذيفة:

يتقاطع هذا المنحنى (القطع المكافئ) مع المحور x عند نقطتين: x 1 \ u003d 0 (بداية المسار) و (المكان الذي سقطت فيه المقذوفة). استبدال القيم المعطاة v0 و a في الصيغ التي تم الحصول عليها ، نحصل عليها

الجواب: y \ u003d x - 90x 2، S \ u003d 90 m.

لاحظ أنه تم استخدام عدد من الافتراضات في بناء هذا النموذج: على سبيل المثال ، من المفترض أن الأرض مسطحة ، وأن الهواء ودوران الأرض لا يؤثران على حركة المقذوف.

2) مشكلة الخزان مع أصغر مساحة سطحية.

مطلوب إيجاد الارتفاع h 0 ونصف القطر r 0 لخزان قصدير بحجم V = 30 م 3 ، له شكل أسطوانة دائرية مغلقة ، تكون مساحة سطحها S عند أدنى حد (في هذه الحالة ، الأصغر سيتم استخدام كمية القصدير لتصنيعه).

دعنا نكتب الصيغ التاليةلحجم ومساحة سطح أسطوانة ارتفاعها h ونصف قطرها r:

V = p r 2 h ، S = 2p r (r + h).

بالتعبير عن h بدلالة r و V من الصيغة الأولى واستبدال التعبير الناتج في الصيغة الثانية ، نحصل على:

وبالتالي ، من وجهة نظر رياضية ، يتم تقليل المشكلة إلى تحديد قيمة r التي تصل فيها الوظيفة S (r) إلى الحد الأدنى. لنجد قيم r 0 التي اشتقها

يذهب إلى الصفر: يمكنك التحقق من أن المشتق الثاني للدالة S (r) يغير الإشارة من سالب إلى زائد عندما تمر الوسيطة r بالنقطة r 0. لذلك ، فإن الوظيفة S (r) لها حد أدنى عند النقطة r0. القيمة المقابلة h 0 = 2r 0. باستبدال القيمة المعطاة V في التعبير عن r 0 و h 0 ، نحصل على نصف القطر المطلوب والارتفاع

3) مهمة النقل.

يوجد مستودعين دقيقين ومخبزين في المدينة. يتم تصدير 50 ​​طناً من الدقيق يومياً من المستودع الأول و 70 طناً من الثاني إلى المصانع 40 طناً للأول و 80 طناً إلى الثاني.

للدلالة به أ ij تكلفة نقل 1 طن من الدقيق من المستودع الأول إلى مصنع ياء(أنا ، ي = 1.2). اسمحوا ان

أ 11 \ u003d 1.2 ص ، أ 12 \ u003d 1.6 ص ، أ 21 \ u003d 0.8 ص ، أ 22 = 1 ص.

كيف ينبغي التخطيط للنقل بحيث تكون تكلفتها ضئيلة؟

دعونا نعطي المهمة شكل رياضيانتقام. دعونا نشير بمقدار x 1 و x 2 إلى كمية الدقيق التي سيتم نقلها من المستودع الأول إلى المصانع الأولى والثانية ، و x 3 و x 4 - من المستودع الثاني إلى المصانع الأولى والثانية ، على التوالي. ثم:

س 1 + س 2 = 50 ، س 3 + س 4 = 70 ، س 1 + س 3 = 40 ، س 2 + س 4 = 80. (1)

يتم تحديد التكلفة الإجمالية لجميع وسائل النقل من خلال الصيغة

f = 1.2x1 + 1.6x2 + 0.8x3 + x4.

من وجهة نظر رياضية ، المهمة هي إيجاد أربعة أرقام × 1 ، × 2 ، × 3 ، × 4 التي تحقق جميع الشروط المعطاة وتعطي الحد الأدنى للدالة f. دعونا نحل نظام المعادلات (1) بالنسبة إلى xi (i = 1، 2، 3، 4) بطريقة حذف المجهول. لقد حصلنا على ذلك

× 1 \ u003d × 4-30 ، × 2 \ u003d 80 - × 4 ، × 3 \ u003d 70 - × 4 ، (2)

و x 4 لا يمكن تحديده بشكل فريد. بما أن x i i 0 (i = 1، 2، 3، 4) ، فإنه يتبع من المعادلات (2) أن 30J x 4 J 70. بالتعويض عن التعبير لـ x 1 ، x 2 ، x 3 في صيغة f ، نحصل على

f \ u003d 148 - 0.2x 4.

من السهل أن نرى أن الحد الأدنى من هذه الوظيفة يتحقق بأقصى قيمة ممكنة لـ x 4 ، أي عند x 4 = 70. يتم تحديد القيم المقابلة للمجهول الآخر بواسطة الصيغ (2): x 1 = 40 ، × 2 = 10 ، × 3 = 0.

4) مشكلة الاضمحلال الإشعاعي.

لنفترض أن N (0) هو العدد الأولي لذرات المادة المشعة ، و N (t) هو عدد الذرات غير المتحللة في الوقت t. تم إثبات أن معدل التغيير في عدد هذه الذرات N "(t) يتناسب مع N (t) ، أي N" (t) \ u003d –l N (t) ، l> 0 هو ثابت النشاط الإشعاعي لمادة معينة. في الدورة المدرسية للتحليل الرياضي ، يتضح أن حل هذه المعادلة التفاضلية له الصيغة N (t) = N (0) e –l t. يُطلق على الوقت T ، الذي انخفض فيه عدد الذرات الأولية إلى النصف ، عمر النصف ، وهو خاصية مهمة للنشاط الإشعاعي للمادة. لتحديد T ، من الضروري وضع الصيغة ثم على سبيل المثال ، بالنسبة للرادون l = 2.084 10–6 ، وبالتالي T = 3.15 يومًا.

5) مشكلة البائع المتجول.

يحتاج البائع المتجول الذي يعيش في المدينة A 1 إلى زيارة المدن A 2 و A 3 و A 4 ، كل مدينة مرة واحدة بالضبط ، ثم العودة إلى A 1. من المعروف أن جميع المدن متصلة في أزواج بالطرق ، وأن أطوال الطرق b ij بين المدن A i و A j (i، j = 1، 2، 3، 4) هي كما يلي:

ب 12 = 30 ، ب 14 = 20 ، ب 23 = 50 ، ب 24 = 40 ، ب 13 = 70 ، ب 34 = 60.

من الضروري تحديد ترتيب زيارة المدن ، حيث يكون طول المسار المقابل في حده الأدنى.

دعنا نصور كل مدينة كنقطة على المستوى ونضع علامة عليها بالتسمية المقابلة Ai (i = 1 ، 2 ، 3 ، 4). دعنا نربط هذه النقاط بأجزاء من الخطوط: سوف تصور الطرق بين المدن. لكل "طريق" نشير إلى طوله بالكيلومترات (الشكل 2). والنتيجة هي رسم بياني - كائن رياضي يتكون من مجموعة معينة من النقاط على المستوى (تسمى الرؤوس) ومجموعة معينة من الخطوط التي تربط هذه النقاط (تسمى الحواف). علاوة على ذلك ، تم تصنيف هذا الرسم البياني ، حيث يتم تعيين بعض الملصقات لرؤوسه وحوافه - أرقام (حواف) أو رموز (رؤوس). الدورة على الرسم البياني هي سلسلة من الرؤوس V 1، V 2، ...، V k، V 1 بحيث تختلف الرؤوس V 1، ...، V k وأي زوج من الرؤوس V i، V i + 1 (i = 1، ...، k - 1) والزوج V 1، V k متصلان بحافة. وبالتالي ، فإن المشكلة قيد النظر هي العثور على دورة كهذه على الرسم البياني تمر عبر جميع الرؤوس الأربعة التي يكون مجموع جميع أوزان الحافة عندها ضئيلًا. دعونا نبحث في جميع الدورات المختلفة التي تمر بأربعة رؤوس وتبدأ من A 1:

1) أ 1 ، أ 4 ، أ 3 ، أ 2 ، أ 1 ؛
2) أ 1 ، أ 3 ، أ 2 ، أ 4 ، أ 1 ؛
3) أ 1 ، أ 3 ، أ 4 ، أ 2 ، أ 1.

لنجد الآن أطوال هذه الدورات (بالكيلومتر): L 1 = 160 ، L 2 = 180 ، L 3 = 200. إذن ، مسار أصغر طول هو الأول.

لاحظ أنه إذا كانت هناك رؤوس n في الرسم البياني وكانت جميع الرؤوس متصلة في أزواج بواسطة حواف (يسمى هذا الرسم البياني مكتمل) ، فإن عدد الدورات التي تمر عبر جميع الرؤوس يكون متساويًا. لذلك ، في حالتنا هناك ثلاث دورات بالضبط .

6) مشكلة إيجاد علاقة بين تركيب وخواص المواد.

ضع في اعتبارك القليل مركبات كيميائيةتسمى الألكانات العادية. وهي تتكون من ذرات كربون n و n + 2 ذرات هيدروجين (n = 1، 2 ...) ، مترابطة كما هو موضح في الشكل 3 لـ n = 3. دع القيم التجريبية لنقاط غليان هذه المركبات معروفة:

y e (3) = - 42 ° ، y e (4) = 0 ° ، y e (5) = 28 ° ، y e (6) = 69 °.

مطلوب إيجاد علاقة تقريبية بين نقطة الغليان والرقم ن لهذه المركبات. نحن نفترض أن هذا الاعتماد له الشكل

ذ » أن + ب

أين أ، ب - الثوابت التي يتعين تحديدها. للعثور على أو ب نعوض بهذه الصيغة على التوالي n = 3 و 4 و 5 و 6 والقيم المقابلة لنقاط الغليان. لدينا:

- 42 »3 أ+ ب ، 0 »4 أ+ ب ، 28 »5 أ+ ب ، 69 »6 أ+ ب.

لتحديد الأفضل أو ب هناك العديد من الطرق المختلفة. دعونا نستخدم أبسطها. نعبر عن ب من حيث أمن هذه المعادلات:

ب "- 42 - 3 أ، ب »- 4 أ، ب »28-5 أ، ب »69-6 أ.

لنأخذ المتوسط ​​الحسابي لهذه القيم على النحو المرغوب فيه ، أي نضع ب »16 - 4.5 أ. دعونا نستبدل هذه القيمة ب في نظام المعادلات الأصلي وحسابها أ، نحصل عليه أالقيم التالية: أ»37 ، أ»28 ، أ»28 ، أ»36 أمتوسط ​​قيمة هذه الأرقام ، أي قمنا بتعيينها أ»34. إذن ، المعادلة المرغوبة لها الشكل

y »34n - 139.

دعنا نتحقق من دقة النموذج على المركبات الأربعة الأولية ، والتي نحسب لها نقاط الغليان باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها:

ص ص (3) = - 37 درجة ، ص ص (4) = - 3 درجات ، ص ص (5) = 31 درجة ، ص ص (6) = 65 درجة.

وبالتالي ، فإن الخطأ الحسابي لهذه الخاصية لهذه المركبات لا يتجاوز 5 درجات. نستخدم المعادلة الناتجة لحساب نقطة غليان المركب مع n = 7 ، والتي لم يتم تضمينها في المجموعة الأولية ، والتي نعوض بها n = 7 في هذه المعادلة: y р (7) = 99 °. تبين أن النتيجة دقيقة تمامًا: من المعروف أن القيمة التجريبية لنقطة الغليان y e (7) = 98 °.

7) مشكلة تحديد موثوقية الدائرة الكهربائية.

هنا ننظر إلى مثال على نموذج احتمالي. أولاً ، دعنا نعطي بعض المعلومات من نظرية الاحتمال - وهو نظام رياضي يدرس أنماط الظواهر العشوائية التي لوحظت أثناء التكرار المتكرر للتجربة. دعنا نسمي حدثًا عشوائيًا A نتيجة محتملة لبعض التجارب. الأحداث أ 1 ، ... ، أ ك تشكل مجموعة كاملة إذا حدث أحدها بالضرورة نتيجة للتجربة. تسمى الأحداث غير متوافقة إذا لم تحدث في نفس الوقت في نفس التجربة. دع الحدث "أ" يحدث مرات عديدة أثناء تكرار التجربة. تكرار الحدث A هو الرقم W =. من الواضح أن قيمة W لا يمكن التنبؤ بها بالضبط حتى يتم إجراء سلسلة من التجارب n. ومع ذلك ، فإن طبيعة الأحداث العشوائية هي أنه من الناحية العملية يُلاحظ التأثير التالي في بعض الأحيان: مع زيادة عدد التجارب ، تتوقف القيمة عمليًا عن أن تكون عشوائية وتستقر حول عدد غير عشوائي P (A) ، يسمى احتمالية الحدث A. لحدث مستحيل (لا يحدث أبدًا في التجربة) P (A) = 0 ، ولحدث معين (الذي يحدث دائمًا في التجربة) P (A) = 1. إذا كانت الأحداث A 1 ، ... ، A k تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة ، فإن P (A 1) + ... + P (A k) = 1.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أن التجربة تتكون من رمي نرد وملاحظة عدد النقاط التي تم إسقاطها X. ثم يمكننا تقديم الأحداث العشوائية التالية A i = (X = i) ، i = 1 ، ... ، 6. تتشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة متساوية الاحتمال ، لذلك P (A i) = (i = 1، ...، 6).

مجموع الأحداث A و B هو الحدث A + B ، والذي يتكون من حقيقة أن أحدهما على الأقل يحدث في التجربة. ناتج الحدثين A و B هو الحدث AB ، والذي يتكون من حدوث هذين الحدثين في وقت واحد. بالنسبة للأحداث المستقلة A و B ، فإن الصيغ صحيحة

P (AB) = P (A) P (B) ، P (A + B) = P (A) + P (B).

8) انظر الآن فيما يلي مهمة. افترض أن ثلاثة عناصر متصلة في سلسلة في دائرة كهربائية ، وتعمل بشكل مستقل عن بعضها البعض. احتمالات فشل العناصر الأول والثاني والثالث هي على التوالي P 1 = 0.1 ، P 2 = 0.15 ، P 3 = 0.2. سنعتبر الدائرة موثوقة إذا كان احتمال عدم وجود تيار في الدائرة لا يزيد عن 0.4. مطلوب لتحديد ما إذا كانت السلسلة المعينة موثوقة.

نظرًا لأن العناصر متصلة في سلسلة ، فلن يكون هناك تيار في الدائرة (الحدث أ) إذا فشل أحد العناصر على الأقل. دعونا أكون هذا الحدث العنصر الأوليعمل (أنا = 1 ، 2 ، 3). ثم P (A1) = 0.9 ، P (A2) = 0.85 ، P (A3) = 0.8. من الواضح أن A 1 A 2 A 3 هو الحدث الذي تعمل فيه العناصر الثلاثة معًا في وقت واحد ، و

الفوسفور (أ 1 أ 2 أ 3) = ف (أ 1) ل (أ 2) ف (أ 3) = 0.612.

ثم ف (أ) + ف (أ 1 أ 2 أ 3) = 1 ، إذًا ف (أ) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

في الختام ، نلاحظ أن الأمثلة المذكورة أعلاه للنماذج الرياضية (من بينها وظيفية وهيكلية وحتمية واحتمالية) توضيحية ، ومن الواضح أنها لا تستنفد مجموعة كاملة من النماذج الرياضية التي تنشأ في العلوم الطبيعية والبشرية.

محاضرة 1

الأسس المنهجية للنمذجة

الوضع الحالي لمشكلة نمذجة النظام

مفاهيم النمذجة والمحاكاة

النمذجةيمكن اعتباره بديلاً عن الكائن الذي تم التحقيق فيه (الأصلي) بصورته أو وصفه الشرطي أو أي كائن آخر يسمى نموذجوتقديم سلوك قريب من الأصل ضمن افتراضات معينة وأخطاء مقبولة. عادة ما يتم تنفيذ النمذجة بهدف معرفة خصائص الأصل من خلال فحص نموذجه ، وليس الكائن نفسه. بالطبع ، النمذجة لها ما يبررها في الحالة التي تكون فيها أبسط من إنشاء الأصل نفسه ، أو عندما يكون الأخير ، لسبب ما ، من الأفضل عدم الإنشاء على الإطلاق.

تحت نموذجيُفهم الشيء المادي أو المجرد ، وتكون خصائصه إلى حد ما مماثلة لخصائص الكائن قيد الدراسة ، وفي هذه الحالة تتحدد متطلبات النموذج من خلال المشكلة التي يتم حلها والوسائل المتاحة. هناك عدد من المتطلبات العامة للنماذج:

2) الاكتمال - تزويد المتلقي بكافة المعلومات اللازمة

حول الكائن

3) المرونة - القدرة على إعادة إنتاج مواقف مختلفة في كل شيء

مجموعة من الظروف المتغيرة والمعلمات ؛

4) يجب أن يكون تعقيد التنمية مقبولاً للموجود

الوقت والبرمجيات.

النمذجةهي عملية بناء نموذج لشيء ما ودراسة خصائصه من خلال فحص النموذج.

وبالتالي ، تتضمن النمذجة مرحلتين رئيسيتين:

1) تطوير النموذج ؛

2) دراسة النموذج واستخلاص النتائج.

في نفس الوقت ، في كل مرحلة ، يتم حل المهام المختلفة و

طرق ووسائل مختلفة بشكل أساسي.

في الممارسة العملية ، يتم استخدام طرق النمذجة المختلفة. اعتمادًا على طريقة التنفيذ ، يمكن تقسيم جميع النماذج إلى فئتين كبيرتين: المادية والرياضية.

النمذجة الرياضيةمن المعتاد اعتباره وسيلة لدراسة العمليات أو الظواهر بمساعدة نماذجهم الرياضية.

تحت النمذجة الماديةيُفهم على أنه دراسة الكائنات والظواهر على النماذج الفيزيائية ، عندما يتم إعادة إنتاج العملية قيد الدراسة مع الحفاظ على طبيعتها المادية أو يتم استخدام ظاهرة فيزيائية أخرى مماثلة لتلك قيد الدراسة. حيث النماذج الماديةكقاعدة ، يفترضون التجسيد الحقيقي لتلك الخصائص الفيزيائية للأصل والتي تعتبر ضرورية في موقف معين. على سبيل المثال ، عند تصميم طائرة جديدة ، يتم إنشاء نموذجها الذي له نفس الخصائص الديناميكية الهوائية ؛ عند التخطيط لمبنى ما ، يقوم المهندسون المعماريون بعمل تخطيط يعكس الترتيب المكاني لعناصره. في هذا الصدد ، النمذجة المادية تسمى أيضًا النماذج.

نمذجة HILهي دراسة للأنظمة الخاضعة للرقابة على مجمعات المحاكاة مع تضمين معدات حقيقية في النموذج. إلى جانب المعدات الحقيقية ، يشتمل النموذج المغلق على محاكيات التأثير والتداخل ، والنماذج الرياضية للبيئة الخارجية والعمليات التي لا يُعرف لها وصف رياضي دقيق بما فيه الكفاية. إن تضمين معدات حقيقية أو أنظمة حقيقية في الدائرة لنمذجة العمليات المعقدة يجعل من الممكن تقليل عدم اليقين المسبق والتحقيق في العمليات التي لا يوجد لها وصف رياضي دقيق. بمساعدة المحاكاة شبه الطبيعية ، يتم إجراء الدراسات مع مراعاة الثوابت الزمنية الصغيرة وغير الخطية المتأصلة في المعدات الحقيقية. في دراسة النماذج مع تضمين المعدات الحقيقية ، يتم استخدام المفهوم محاكاة ديناميكية، في الدراسة أنظمة معقدةوالظواهر - تطوري, تقليدو المحاكاة السيبرانية.

من الواضح أنه لا يمكن الحصول على الفائدة الحقيقية للنمذجة إلا إذا تم استيفاء شرطين:

1) يوفر النموذج عرضًا صحيحًا (مناسبًا) للخصائص

الأصل ، مهم من وجهة نظر العملية قيد الدراسة ؛

2) النموذج يجعل من الممكن القضاء على المشاكل المذكورة أعلاه ، والتي هي متأصلة

إجراء بحث على أشياء حقيقية.

2. المفاهيم الأساسية للنمذجة الرياضية

يتم تنفيذ حل المشكلات العملية بالطرق الرياضية باستمرار عن طريق صياغة المشكلة (تطوير نموذج رياضي) ، واختيار طريقة لدراسة النموذج الرياضي الذي تم الحصول عليه ، وتحليل النتيجة الرياضية التي تم الحصول عليها. عادة ما يتم تقديم الصيغة الرياضية للمشكلة في شكل صور هندسية ووظائف وأنظمة معادلات ، إلخ. يمكن تمثيل وصف كائن (ظاهرة) باستخدام أشكال رياضية مستمرة أو منفصلة أو حتمية أو عشوائية وغيرها من الأشكال الرياضية.

نظرية النمذجة الرياضيةيضمن تحديد الانتظام في سياق الظواهر المختلفة للعالم المحيط أو تشغيل الأنظمة والأجهزة من خلال الوصف والنمذجة الرياضية بدون اختبارات ميدانية. في هذه الحالة ، يتم استخدام أحكام وقوانين الرياضيات التي تصف الظواهر أو الأنظمة أو الأجهزة المحاكية عند مستوى معين من جعلها مثالية.

النموذج الرياضي (مم)هو وصف رسمي لنظام (أو عملية) بلغة مجردة ، على سبيل المثال ، في شكل مجموعة من العلاقات الرياضية أو مخطط خوارزمية ، أي ه.مثل هذا الوصف الرياضي الذي يوفر تقليدًا لتشغيل الأنظمة أو الأجهزة عند مستوى قريب بدرجة كافية من سلوكها الحقيقي الذي تم الحصول عليه أثناء الاختبار الشامل للأنظمة أو الأجهزة.

يصف أي MM شيئًا حقيقيًا أو ظاهرة أو عملية بدرجة ما من التقريب إلى الواقع. يعتمد نوع MM على الطبيعة كائن حقيقيوكذلك حول أهداف الدراسة.

النمذجة الرياضيةتعد الظواهر الاجتماعية والاقتصادية والبيولوجية والفيزيائية والأشياء والأنظمة والأجهزة المختلفة من أهم وسائل فهم الطبيعة وتصميم مجموعة متنوعة من الأنظمة والأجهزة. هناك أمثلة معروفة على الاستخدام الفعال للنمذجة في إنشاء التقنيات النووية وأنظمة الطيران والفضاء ، والتنبؤ بظواهر الغلاف الجوي والمحيطات ، والطقس ، وما إلى ذلك.

ومع ذلك ، غالبًا ما تتطلب مثل هذه المجالات الجادة من النمذجة أجهزة كمبيوتر عملاقة وسنوات من العمل من قبل فرق كبيرة من العلماء لإعداد البيانات للنمذجة وتصحيحها. ومع ذلك ، في هذه الحالة أيضًا ، لا توفر النمذجة الرياضية للأنظمة والأجهزة المعقدة المال على البحث والاختبار فحسب ، بل يمكنها أيضًا القضاء على الكوارث البيئية - على سبيل المثال ، تجعل من الممكن التخلي عن اختبار الأسلحة النووية والنووية الحرارية لصالح النمذجة الرياضية أو اختبار أنظمة الطيران قبل رحلاتهم الحقيقية. وفي الوقت نفسه ، فإن النمذجة الرياضية على مستوى حل المشكلات الأبسط ، على سبيل المثال ، من مجال الميكانيكا والهندسة الكهربائية والإلكترونيات وهندسة الراديو والعديد من مجالات العلوم والتكنولوجيا الأخرى ، لديها أصبح الآن متاحًا للأداء على أجهزة الكمبيوتر الحديثة. وعند استخدام النماذج المعممة ، يصبح من الممكن نمذجة أنظمة معقدة للغاية ، على سبيل المثال ، أنظمة وشبكات الاتصالات أو الرادار أو أنظمة الملاحة الراديوية.

الغرض من النمذجة الرياضيةهو تحليل العمليات الحقيقية (في الطبيعة أو التكنولوجيا) بالطرق الرياضية. بدوره ، يتطلب هذا إضفاء الطابع الرسمي على عملية MM التي يجب دراستها. يمكن أن يكون النموذج تعبيرًا رياضيًا يحتوي على متغيرات يشبه سلوكها سلوك نظام حقيقي. يمكن أن يتضمن النموذج عناصر عشوائية تأخذ في الاعتبار احتمالات الإجراءات الممكنة لاثنين أو أكثر"اللاعبون" ، على سبيل المثال ، في نظرية الألعاب ؛ أو قد تمثل المتغيرات الحقيقية للأجزاء المترابطة من نظام التشغيل.

يمكن تقسيم النمذجة الرياضية لدراسة خصائص الأنظمة إلى تحليلية ومحاكاة ومجمعة. في المقابل ، يتم تقسيم MM إلى محاكاة وتحليلية.

النمذجة التحليلية

بالنسبة النمذجة التحليليةمن المميزات أن عمليات أداء النظام مكتوبة في شكل بعض العلاقات الوظيفية (الجبرية ، التفاضلية ، المعادلات التكاملية). يمكن التحقق من النموذج التحليلي بالطرق التالية:

1) تحليلي ، عندما يسعون للحصول بشكل عام على تبعيات صريحة لخصائص الأنظمة ؛

2) العددية ، عندما لا يكون من الممكن إيجاد حل للمعادلات بشكل عام ويتم حلها لبيانات أولية محددة ؛

3) نوعي ، عندما يتم العثور على بعض خصائصه في حالة عدم وجود حل.

يمكن الحصول على النماذج التحليلية للأنظمة البسيطة نسبيًا فقط. بالنسبة للأنظمة المعقدة ، غالبًا ما تنشأ مشاكل رياضية كبيرة. لتطبيق الطريقة التحليلية ، يذهب المرء إلى تبسيط كبير للنموذج الأصلي. ومع ذلك ، فإن الدراسة على نموذج مبسط تساعد في الحصول على نتائج إرشادية فقط. تعكس النماذج التحليلية رياضيا بشكل صحيح العلاقة بين متغيرات ومعاملات المدخلات والمخرجات. لكن هيكلها لا يعكس البنية الداخلية للكائن.

في النمذجة التحليلية ، يتم تقديم نتائجه في شكل تعبيرات تحليلية. على سبيل المثال ، عن طريق الاتصال RC- دارة لمصدر جهد ثابت ه(ص, جو ههي مكونات هذا النموذج) ، يمكننا عمل تعبير تحليلي لاعتماد الجهد على الوقت ش(ر) على المكثف ج:

هذه معادلة تفاضلية خطية (DE) وهي نموذج تحليلي لهذه الدائرة الخطية البسيطة. حلها التحليلي تحت الشرط الأولي ش(0) = 0 ، أي مكثف مفرغ جفي بداية المحاكاة ، يسمح لك بالعثور على الاعتماد المطلوب - في شكل صيغة:

ش(ر) = ه(1− السابقص(- ر/ RC)). (2)

ومع ذلك ، حتى في هذا المثال الأبسط ، يلزم بذل جهود معينة لحل المعادلة التفاضلية (1) أو للتطبيق أنظمة الرياضيات الحاسوبية(SCM) مع الحسابات الرمزية - أنظمة الجبر الحاسوبية. بالنسبة لهذه الحالة التافهة تمامًا ، حل مشكلة نمذجة الخطية RC- تعطي الدائرة تعبيرًا تحليليًا (2) بشكل عام إلى حد ما - وهي مناسبة لوصف تشغيل الدائرة لأي تصنيفات مكونة ص, جو ه، ويصف الشحنة الأسية للمكثف جمن خلال المقاوم صمن مصدر جهد ثابت ه.

مما لا شك فيه أن إيجاد الحلول التحليلية في النمذجة التحليلية يعتبر ذا قيمة كبيرة في الكشف عن القوانين النظرية العامة للدوائر والأنظمة والأجهزة الخطية البسيطة. ومع ذلك ، يزداد تعقيدها بشكل حاد حيث يصبح التأثير على النموذج أكثر تعقيدًا وترتيب وعدد زيادة معادلات الحالة التي تصف الكائن المنمذج. يمكنك الحصول على نتائج مرئية أكثر أو أقل عند نمذجة كائنات من الدرجة الثانية أو الثالثة ، ولكن حتى مع وجود ترتيب أعلى ، تصبح التعبيرات التحليلية مرهقة للغاية ومعقدة ويصعب فهمها. على سبيل المثال ، حتى مكبر الصوت الإلكتروني البسيط يحتوي غالبًا على عشرات المكونات. ومع ذلك ، فإن العديد من SCMs الحديثة ، مثل أنظمة الرياضيات الرمزية القيقب ، الرياضياتأو الأربعاء ماتلابقادرون على أتمتة حل المشكلات المعقدة للنمذجة التحليلية إلى حد كبير.

نوع واحد من النمذجة محاكاة رقمية،والتي تتمثل في الحصول على البيانات الكمية اللازمة حول سلوك الأنظمة أو الأجهزة بأي طريقة عددية مناسبة ، مثل طريق أويلر أو رونج-كوتا. من الناحية العملية ، تعد نمذجة الأنظمة والأجهزة غير الخطية باستخدام الطرق العددية أكثر كفاءة من النمذجة التحليلية للدوائر أو الأنظمة أو الأجهزة الخطية الخاصة الفردية. على سبيل المثال ، لحل أنظمة DE (1) أو DE في الحالات الأكثر تعقيدًا ، لا يتم الحصول على الحل في شكل تحليلي ، ولكن بيانات المحاكاة الرقمية يمكن أن توفر بيانات كاملة بما فيه الكفاية عن سلوك الأنظمة والأجهزة التي تمت محاكاتها ، وكذلك المؤامرة الرسوم البيانية التي تصف هذا السلوك من التبعيات.

محاكاة

في تقليدفي النمذجة ، تعيد الخوارزمية التي تنفذ النموذج إنتاج عملية عمل النظام في الوقت المناسب. يتم تقليد الظواهر الأولية التي تتكون منها العملية ، مع الحفاظ على هيكلها المنطقي وتسلسل التدفق في الوقت المناسب.

الميزة الرئيسية لنماذج المحاكاة مقارنة بالنماذج التحليلية هي القدرة على حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

تسهل نماذج المحاكاة مراعاة وجود العناصر المنفصلة أو المستمرة ، والخصائص غير الخطية ، والتأثيرات العشوائية ، وما إلى ذلك. لذلك ، تُستخدم هذه الطريقة على نطاق واسع في مرحلة تصميم الأنظمة المعقدة. الأداة الرئيسية لتنفيذ نمذجة المحاكاة هي جهاز كمبيوتر يسمح بالنمذجة الرقمية للأنظمة والإشارات.

في هذا الصدد ، نحدد عبارة " نمذجة الكمبيوتر"، والذي يستخدم بشكل متزايد في الأدب. سوف نفترض ذلك نمذجة الكمبيوتر- هذه نمذجة رياضية باستخدام تكنولوجيا الكمبيوتر. وفقًا لذلك ، تتضمن تقنية المحاكاة الحاسوبية الإجراءات التالية:

1) تعريف الغرض من النمذجة ؛

2) تطوير نموذج مفاهيمي ؛

3) إضفاء الطابع الرسمي على النموذج ؛

4) تنفيذ البرنامج للنموذج ؛

5) تخطيط التجارب النموذجية ؛

6) تنفيذ خطة التجربة.

7) تحليل وتفسير نتائج المحاكاة.

في نمذجة المحاكاةيعيد MM المستخدم إنتاج خوارزمية ("المنطق") لعمل النظام قيد الدراسة في الوقت المناسب لمجموعات مختلفة من قيم معلمات النظام والبيئة.

مثال على أبسط نموذج تحليلي هو معادلة الحركة المستقيمة المنتظمة. عند دراسة مثل هذه العملية باستخدام نموذج المحاكاة ، يجب تنفيذ مراقبة التغيير في المسار الذي يتم قطعه بمرور الوقت. ومن الواضح ، في بعض الحالات ، أن النمذجة التحليلية هي الأفضل ، في حالات أخرى - المحاكاة (أو مزيج من كليهما). للقيام باختيار جيد ، يجب الإجابة على سؤالين.

ما هو الغرض من النمذجة؟

إلى أي فئة يمكن تخصيص ظاهرة المحاكاة؟

يمكن الحصول على إجابات لكل من هذين السؤالين أثناء تنفيذ أول مرحلتين من النمذجة.

تتوافق نماذج المحاكاة ليس فقط في الخصائص ، ولكن أيضًا في البنية مع الكائن الذي يتم نمذجته. في هذه الحالة ، هناك تطابق واضح وصريح بين العمليات التي تم الحصول عليها في النموذج والعمليات التي تحدث على الكائن. عيب نمذجة المحاكاة هو أن الأمر يستغرق وقتًا طويلاً لحل المشكلة من أجل الحصول على دقة جيدة.

نتائج نمذجة المحاكاة لعمل النظام العشوائي هي تحقيق للمتغيرات أو العمليات العشوائية. لذلك ، للعثور على خصائص النظام ، يلزم التكرار المتعدد ومعالجة البيانات اللاحقة. في أغلب الأحيان ، في هذه الحالة ، يتم استخدام نوع من المحاكاة - إحصائية

النمذجة(أو طريقة مونت كارلو) ، أي الاستنساخ في نماذج العوامل العشوائية ، والأحداث ، والكميات ، والعمليات ، والحقول.

بناءً على نتائج النمذجة الإحصائية ، يتم تحديد تقديرات معايير الجودة الاحتمالية ، العامة والخاصة ، التي تميز أداء وكفاءة النظام الخاضع للرقابة. تستخدم النمذجة الإحصائية على نطاق واسع لحل المشكلات العلمية والتطبيقية في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا. تستخدم طرق النمذجة الإحصائية على نطاق واسع في دراسة الأنظمة الديناميكية المعقدة وتقييم أدائها وكفاءتها.

تعتمد المرحلة الأخيرة من النمذجة الإحصائية على المعالجة الرياضية للنتائج التي تم الحصول عليها. هنا ، يتم استخدام طرق الإحصاء الرياضي (التقدير البارامترية واللامحدارية واختبار الفرضيات). مثال على التقييم البارامترى هو متوسط ​​العينة لمقياس الأداء. من بين الطرق اللامعلمية ، الأكثر استخدامًا طريقة الرسم البياني.

يعتمد المخطط المدروس على اختبارات إحصائية متعددة للنظام وطرق إحصائيات المتغيرات العشوائية المستقلة ، وهذا المخطط بعيد كل البعد عن الطبيعي من الناحية العملية والأمثل من حيث التكاليف. يمكن تحقيق تقليل وقت اختبار النظام باستخدام طرق تقدير أكثر دقة. كما هو معروف من الإحصائيات الرياضية ، فإن التقديرات الفعالة لها أعلى دقة لحجم عينة معين. يعطي التصفية المثلى وطريقة الاحتمالية القصوى الطريقة العامةالحصول على مثل هذه التقديرات في مشاكل النمذجة الإحصائية ، فإن معالجة عمليات تحقيق العمليات العشوائية ضرورية ليس فقط لتحليل عمليات المخرجات.

من المهم أيضًا التحكم في خصائص تأثيرات الإدخال العشوائية. يتمثل عنصر التحكم في التحقق مما إذا كانت توزيعات العمليات التي تم إنشاؤها تتوافق مع التوزيعات المحددة. غالبًا ما تتم صياغة هذه المهمة على أنها مهمة اختبار الفرضية.

الاتجاه العام في المحاكاة بمساعدة الكمبيوتر للأنظمة المعقدة الخاضعة للرقابة هو الرغبة في تقليل وقت المحاكاة ، وكذلك إجراء البحوث في الوقت الفعلي. يتم تمثيل الخوارزميات الحسابية بشكل ملائم في شكل متكرر يسمح بتنفيذها بوتيرة المعلومات الحالية.

مبادئ نهج النظام في النمذجة

أساسيات نظرية النظم

نشأت الأحكام الرئيسية لنظرية الأنظمة في سياق دراسة الأنظمة الديناميكية وعناصرها الوظيفية. يُفهم النظام على أنه مجموعة من العناصر المترابطة التي تعمل معًا لأداء مهمة محددة مسبقًا. يسمح لك تحليل الأنظمة بتحديد أكثر طرق حقيقيةإنجاز المهمة المحددة ، وضمان أقصى قدر من الإيفاء بالمتطلبات المحددة.

لا يتم إنشاء العناصر التي تشكل أساس نظرية الأنظمة بمساعدة الفرضيات ، ولكن يتم اكتشافها تجريبيًا. من أجل البدء في بناء نظام ، من الضروري أن يكون لديك خصائص عامة للعمليات التكنولوجية. وينطبق الشيء نفسه على مبادئ إنشاء معايير مصاغة رياضيًا والتي يجب أن تفي بها العملية أو الوصف النظري لها. النمذجة من أهم طرق البحث العلمي والتجريب.

عند بناء نماذج من الكائنات ، يتم استخدام نهج منظم ، وهو منهجية لحل المشكلات المعقدة ، والتي تعتمد على اعتبار الكائن كنظام يعمل في بيئة معينة. يتضمن نهج النظام الكشف عن سلامة الكائن ، وتحديد ودراسة هيكله الداخلي ، وكذلك الاتصالات مع البيئة الخارجية. في هذه الحالة ، يتم تقديم الكائن كجزء من العالم الحقيقي ، والذي يتم تحديده ودراسته فيما يتعلق بمشكلة بناء نموذج يتم حلها. بجانب، نهج النظميتضمن انتقالًا ثابتًا من العام إلى الخاص ، عندما يعتمد الاعتبار على هدف التصميم ، ويتم اعتبار الكائن فيما يتعلق بالبيئة.

يمكن تقسيم الكائن المعقد إلى أنظمة فرعية ، وهي أجزاء من الكائن تفي بالمتطلبات التالية:

1) النظام الفرعي هو جزء مستقل وظيفيًا من الكائن. إنه متصل بالأنظمة الفرعية الأخرى ، ويتبادل المعلومات والطاقة معهم ؛

2) لكل نظام فرعي ، يمكن تحديد وظائف أو خصائص لا تتوافق مع خصائص النظام بأكمله ؛

3) يمكن تقسيم كل نظام فرعي إلى مستوى العناصر.

في هذه الحالة ، يُفهم العنصر على أنه نظام فرعي من المستوى الأدنى ، ويكون تقسيمه الإضافي غير مناسب من وجهة نظر المشكلة التي يتم حلها.

وبالتالي ، يمكن تعريف النظام على أنه تمثيل كائن في شكل مجموعة من النظم الفرعية والعناصر والعلاقات لغرض إنشائه أو البحث أو التحسين. في الوقت نفسه ، يُطلق على التمثيل الموسع للنظام ، والذي يتضمن الأنظمة الفرعية الرئيسية والوصلات بينها ، البنية الكلية ، ويُطلق على الكشف التفصيلي للهيكل الداخلي للنظام إلى مستوى العناصر اسم البنية المجهرية.

إلى جانب النظام ، يوجد عادةً نظام فائق - نظام من مستوى أعلى ، يتضمن الكائن قيد الدراسة ، ولا يمكن تحديد وظيفة أي نظام إلا من خلال النظام الفائق.

من الضروري تحديد مفهوم البيئة كمجموعة من كائنات العالم الخارجي التي تؤثر بشكل كبير على كفاءة النظام ، ولكنها ليست جزءًا من النظام ونظامه الفائق.

فيما يتعلق بالنهج النظامي لبناء النماذج ، يتم استخدام مفهوم البنية التحتية ، والذي يصف علاقة النظام ببيئته (بيئته). في هذه الحالة ، يتم اختيار ووصف ودراسة خصائص كائن مهم ضمن مهمة محددة يسمى التقسيم الطبقي للكائن ، وأي نموذج للكائن هو وصفه الطبقي.

بالنسبة لنهج منهجي ، من المهم تحديد هيكل النظام ، أي مجموعة من الروابط بين عناصر النظام تعكس تفاعلها. للقيام بذلك ، فإننا ننظر أولاً في الأساليب الهيكلية والوظيفية للنمذجة.

باستخدام نهج هيكلي ، يتم الكشف عن تكوين العناصر المختارة للنظام والروابط بينها. مجموع العناصر والعلاقات يجعل من الممكن الحكم على هيكل النظام. الوصف الأكثر عمومية للهيكل هو الوصف الطوبولوجي. يسمح لك بتحديد مكونات النظام وعلاقاتها باستخدام الرسوم البيانية. الوصف الوظيفي أقل عمومية عند النظر في الوظائف الفردية ، أي خوارزميات لسلوك النظام. في الوقت نفسه ، يتم تنفيذ نهج وظيفي يحدد الوظائف التي يؤديها النظام.

على أساس نهج منظم ، يمكن اقتراح تسلسل لتطوير النموذج ، عند التمييز بين مرحلتين رئيسيتين من التصميم: التصميم الكلي والتصميم الصغير.

في مرحلة التصميم الكلي ، يتم بناء نموذج للبيئة الخارجية ، وتحديد الموارد والقيود ، واختيار نموذج النظام والمعايير لتقييم مدى كفايتها.

تعتمد مرحلة التصميم المصغر إلى حد كبير على النوع المحدد للنموذج المختار. في الحالة العامة ، يتضمن إنشاء المعلومات والدعم الرياضي والتقني والبرمجيات لنظام النمذجة. في هذه المرحلة ، يتم تحديد الخصائص التقنية الرئيسية للنموذج الذي تم إنشاؤه وتقدير وقت العمل به وتكلفة الموارد للحصول على الجودة المحددة للنموذج.

بغض النظر عن نوع النموذج ، عند بنائه ، من الضروري الاسترشاد بعدد من مبادئ نهج منظم:

1) التقدم المستمر خلال مراحل إنشاء النموذج ؛

2) تنسيق المعلومات والموارد والموثوقية والخصائص الأخرى ؛

3) النسبة الصحيحة لمستويات مختلفة من بناء النموذج ؛

4) سلامة المراحل الفردية لتصميم النموذج.

تعليمات

تُعرف طريقة النمذجة الإحصائية (الاختبارات الإحصائية) بطريقة "مونت كارلو". هذه الطريقة هي حالة خاصة من النمذجة الرياضية وتستند إلى إنشاء نماذج احتمالية لظواهر عشوائية. أساس أي عشوائي هو متغير عشوائي أو عملية عشوائية. في هذه الحالة ، يتم وصف عملية عشوائية من وجهة نظر احتمالية على أنها متغير عشوائي ذي أبعاد n. احتمالية كاملة متغير عشوائييعطي كثافة احتمالية. إن معرفة قانون التوزيع هذا يجعل من الممكن الحصول على نماذج رقمية للعمليات العشوائية على جهاز كمبيوتر ، وليس تجارب واسعة النطاق معهم. كل هذا ممكن فقط في شكل منفصل وفي وقت منفصل ، والتي يجب أن تؤخذ في الاعتبار عند إنشاء نماذج ثابتة.

في النمذجة الثابتة ، يجب على المرء الابتعاد عن النظر في ظاهرة معينة ، والتركيز فقط على خصائصها الاحتمالية. هذا يجعل من الممكن استخدام لنمذجة أبسط الظواهر التي لها مؤشرات احتمالية مع ظاهرة المحاكاة. على سبيل المثال ، أي حدث يقع باحتمال 0.5 يمكن محاكاته ببساطة عن طريق رمي عملة متماثلة. كل مرحلة فردية من النمذجة الإحصائية تسمى السحب. لذلك ، لتحديد تقدير التوقع الرياضي ، ستكون هناك حاجة لسحب N لمتغير عشوائي (CV) X.

الأداة الرئيسية للنمذجة على الكمبيوتر هي مستشعرات الأرقام العشوائية المنتظمة على الفاصل الزمني (0 ، 1). لذلك ، في بيئة باسكال ، يتم استدعاء هذا الرقم العشوائي باستخدام الأمر Random. في الآلات الحاسبة ، يتم توفير زر RND لهذه الحالة. توجد أيضًا جداول بهذه الأرقام العشوائية (حتى 1،000،000 في الحجم). يُرمز إلى قيمة الزي في (0 ، 1) SW Z بالرمز z.

ضع في اعتبارك أسلوبًا لنمذجة متغير عشوائي عشوائي باستخدام تحويل غير خطي لوظيفة التوزيع. هذه الطريقة لا تحتوي على أخطاء منهجية. دع قانون توزيع SW X المستمر يُعطى بكثافة الاحتمال W (x). من هنا ابدأ بالتحضير للمحاكاة وتنفيذها.

أوجد دالة التوزيع X - F (x). و (س) = ∫ (-∞ ، س) ث (ث) دس. خذ Z = z وحل المعادلة z = F (x) بالنسبة إلى x (هذا ممكن دائمًا لأن كلا من Z و F (x) يتراوحان من صفر إلى واحد). اكتب الحل x = F ^ (- 1) (ض). هذه هي خوارزمية النمذجة. F ^ (- 1) هو معكوس F. يبقى فقط الحصول باستمرار على القيم xi للنموذج الرقمي X * CD X باستخدام هذه الخوارزمية.

مثال. تُعطى SW من خلال كثافة الاحتمال W (x) = λexp (-x) ، x≥0 (التوزيع الأسي). ابحث عن نموذج رقمي الحل 1 .. F (x) = ∫ (0، x) λ ∙ exp (-λs) ds = 1- exp (-x) .2. z = 1-exp (-x) ، x = (- 1 / λ) ∙ ln (1-z). نظرًا لأن كلا من z و 1-z لهما قيم في الفترة (0 ، 1) وهما متماثلان ، فيمكن استبدال (1-z) بـ z. 3. يتم تنفيذ الإجراء الخاص بنمذجة SW الأسية وفقًا للصيغة x = (- 1 / λ) ∙ lnz. بتعبير أدق ، xi = (- 1 / λ) ln (zi).

ما هو النموذج الرياضي؟

مفهوم النموذج الرياضي.

النموذج الرياضي مفهوم بسيط للغاية. ومهم جدا. إنها نماذج رياضية تربط الرياضيات بالحياة الواقعية.

تتحدث لغة بسيطة, النموذج الرياضي هو وصف رياضي لأي موقف.وهذا كل شيء. يمكن أن يكون النموذج بدائيًا ، ويمكن أن يكون شديد التعقيد. ما هو الوضع ، ما هو النموذج.)

في أي (أكرر - في أي!) الأعمال ، حيث تحتاج إلى حساب شيء ما وحسابه - نحن منخرطون في النمذجة الرياضية. حتى لو كنا لا نعرف ذلك.)

P \ u003d 2 CB + 3 CB

سيكون هذا السجل هو النموذج الرياضي لنفقات مشترياتنا. لا يأخذ النموذج في الاعتبار لون العبوة وتاريخ انتهاء الصلاحية ومهذب الصرافين وما إلى ذلك. لهذا السبب هي نموذج،ليس شراء حقيقي. لكن التكاليف ، أي. ماذا نحتاج- سنعرف بالتأكيد. إذا كان النموذج صحيحًا ، بالطبع.

من المفيد تخيل ماهية النموذج الرياضي ، لكن هذا لا يكفي. أهم شيء هو أن تكون قادرًا على بناء هذه النماذج.

تجميع (بناء) نموذج رياضي للمشكلة.

إن تكوين نموذج رياضي يعني ترجمة شروط المشكلة إلى صيغة رياضية. أولئك. تحويل الكلمات إلى معادلة ، صيغة ، عدم المساواة ، إلخ. علاوة على ذلك ، اقلبها بحيث تتوافق هذه الرياضيات بدقة مع النص الأصلي. خلافًا لذلك ، سننتهي بنموذج رياضي لبعض المشاكل الأخرى غير المعروفة لنا.)

بشكل أكثر تحديدًا ، ما تحتاجه

هناك عدد لا حصر له من المهام في العالم. لذلك ، لاقتراح واضح تعليمات خطوه بخطوهفي رسم نموذج رياضي أيالمهام مستحيلة.

لكن هناك ثلاث نقاط رئيسية يجب الانتباه إليها.

1. في أي مهمة هناك نص ، بشكل غريب بما فيه الكفاية.) هذا النص ، كقاعدة عامة ، له معلومات صريحة ومفتوحة.الأرقام والقيم وما إلى ذلك.

2. في أي مهمة هناك المعلومات المخفية.هذا نص يفترض وجود معرفة إضافية في الرأس. بدونهم - لا شيء. بالإضافة إلى ذلك ، غالبًا ما يتم إخفاء المعلومات الرياضية وراءها بكلمات بسيطةو ... يتخطى الانتباه.

3. في أي مهمة هناك يجب أن يعطى التواصل بين البيانات.يمكن تقديم هذا الارتباط في نص واضح (شيء يساوي شيئًا ما) ، أو يمكن إخفاؤه خلف كلمات بسيطة. لكن الحقائق البسيطة والواضحة غالبًا ما يتم تجاهلها. ولا يتم تجميع النموذج بأي شكل من الأشكال.

يجب أن أقول على الفور أنه من أجل تطبيق هذه النقاط الثلاث ، يجب قراءة المشكلة (بعناية!) عدة مرات. الشيء المعتاد.

والآن - أمثلة.

لنبدأ بمشكلة بسيطة:

عاد بتروفيتش من الصيد وقدم بفخر صيده لأسرته. عند الفحص الدقيق ، اتضح أن 8 أسماك تأتي من البحار الشمالية، 20٪ من مجموع الأسماك من الجنوب ، ولا يوجد سمكة واحدة من النهر المحلي حيث يصطاد بتروفيتش. كم عدد الأسماك التي اشتراها بتروفيتش من متجر المأكولات البحرية؟

يجب تحويل كل هذه الكلمات إلى نوع من المعادلة. للقيام بذلك ، أكرر ، إنشاء علاقة رياضية بين جميع بيانات المشكلة.

من اين نبدأ؟ أولاً ، سنستخرج جميع البيانات من المهمة. لنبدأ بالترتيب:

دعونا نركز على النقطة الأولى.

ما هو هنا صريحمعلومات رياضية؟ 8 أسماك و 20٪. ليس كثيرًا ، لكننا لسنا بحاجة إلى الكثير.)

دعنا ننتبه إلى النقطة الثانية.

تبحث عنه سريةمعلومة. إنها هنا. هذه هي الكلمات: "20٪ من مجموع الأسماكهنا تحتاج إلى فهم ما هي النسب المئوية وكيف يتم حسابها. وإلا فلن يتم حل المهمة. هذه هي بالضبط المعلومات الإضافية التي يجب أن تكون في الرأس.

يوجد هنا أيضا رياضيالمعلومات غير المرئية تمامًا. هذه سؤال المهمة: "كم سمكة اشتريت ...إنه أيضًا رقم. وبدونها ، لن يتم تجميع أي نموذج. لذلك ، دعونا نشير إلى هذا الرقم بالحرف "X".لا نعرف حتى الآن ما يساوي x ، لكن مثل هذا التعيين سيكون مفيدًا جدًا بالنسبة لنا. مزيد من المعلومات حول ما يجب أن تتناوله لـ x وكيفية التعامل معه مكتوب في الدرس كيفية حل المشكلات في الرياضيات؟ دعنا نكتبها على الفور:

قطع x - العدد الإجمالي للأسماك.

في مشكلتنا ، يتم إعطاء أسماك الجنوب كنسبة مئوية. نحن بحاجة إلى ترجمتها إلى أجزاء. لاجل ماذا؟ ثم ماذا يوجد في أييجب أن تكون مهمة النموذج بنفس الأحجام.قطع - لذلك كل شيء على شكل قطع. إذا مُنحنا ، دعنا نقول ساعات ودقائق ، فإننا نترجم كل شيء إلى شيء واحد - إما ساعات فقط ، أو دقائق فقط. لا يهم ماذا. من المهم أن كانت جميع القيم هي نفسها.

العودة إلى الإفصاح. من لا يعرف النسبة المئوية لن يكشف أبدًا ، نعم ... ومن يدري ، سيقول على الفور أن الاهتمام هنا من الرقم الإجمالييتم إعطاء الأسماك. لا نعرف هذا الرقم. لا شيء يأتي منه!

العدد الإجمالي للأسماك (بالقطع!) ليس عبثًا بالحرف "X"معين. لن يجدي عد الأسماك الجنوبية قطعًا ، لكن هل يمكننا كتابتها؟ مثله:

0.2 قطعة × - عدد الأسماك من البحار الجنوبية.

الآن قمنا بتنزيل جميع المعلومات من المهمة. كلاهما صريح وخفي.

دعنا ننتبه إلى النقطة الثالثة.

تبحث عنه اتصال رياضيبين بيانات المهمة. هذا الاتصال بسيط للغاية لدرجة أن الكثيرين لا يلاحظونه ... يحدث هذا غالبًا. من المفيد هنا ببساطة كتابة البيانات التي تم جمعها في مجموعة ، ومعرفة ماذا.

ما الذي نملكه؟ هنالك 8 قطعالأسماك الشمالية ، 0.2 x قطعة- الأسماك الجنوبية و x السمك- المبلغ الإجمالي. هل من الممكن ربط هذه البيانات ببعضها بطريقة ما؟ نعم سهل! العدد الإجمالي للأسماك يساويمجموع الجنوب والشمال! حسنًا ، من كان يظن ...) لذلك نكتب:

س = 8 + 0.2 س

ستكون هذه المعادلة نموذج رياضي لمشكلتنا.

يرجى ملاحظة ذلك في هذه المشكلة لا يُطلب منا طي أي شيء!كنا نحن أنفسنا ، من رؤوسنا ، من أدرك أن مجموع الأسماك الجنوبية والشمالية سيعطينا العدد الإجمالي. الشيء واضح جدًا لدرجة أنه يتخطى الانتباه. لكن بدون هذا الدليل ، لا يمكن تجميع نموذج رياضي. مثله.

الآن يمكنك تطبيق كل قوة الرياضيات لحل هذه المعادلة). هذا ما تم تصميم النموذج الرياضي من أجله. نحل هذه المعادلة الخطية ونحصل على الإجابة.

إجابه: س = 10

لنصنع نموذجًا رياضيًا لمشكلة أخرى:

سئل بتروفيتش: "كم لديك من المال؟" بكى بتروفيتش وأجاب: "نعم ، قليلاً فقط. إذا أنفقت نصف كل الأموال ، ونصف الباقي ، فلن يتبقى لدي سوى كيس واحد من المال ..." ما مقدار المال الذي يملكه بتروفيتش؟

مرة أخرى ، نحن نعمل نقطة تلو الأخرى.

1. نحن نبحث عن معلومات صريحة. لن تجده على الفور! المعلومات الصريحة هي واحدحقيبة المال. هناك بعض الأنصاف الأخرى ... حسنًا ، سنقوم بفرزها في الفقرة الثانية.

2. نحن نبحث عن المعلومات المخفية. هذه نصفين. لما؟ ليس واضحا جدا. اتبحث عن المزيد. هناك مشكلة أخرى: "كم من المال يملك بتروفيتش؟"دعنا نشير إلى مبلغ المال بالحرف "X":

X- كل المال

واقرأ المشكلة مرة أخرى. تعرف بالفعل أن بتروفيتش Xمال. هذا هو المكان الذي يعمل فيه النصفان! نكتب:

0.5 ×- نصف كل الأموال.

والباقي ايضا نصف اي. 0.5 ×.ويمكن كتابة نصف النصف على النحو التالي:

0.5 0.5 × = 0.25 س- نصف الباقي.

الآن يتم الكشف عن جميع المعلومات المخفية وتسجيلها.

3. نحن نبحث عن اتصال بين البيانات المسجلة. هنا يمكنك ببساطة قراءة معاناة بتروفيتش وتدوينها رياضيًا):

إذا أنفقت نصف كل المال...

دعنا نكتب هذه العملية. كل الأموال - X.نصف - 0.5 ×. أن تنفق هو أن تأخذ بعيدا. تصبح العبارة:

س - 0.5 س

ونصف الباقي ...

اطرح نصف الباقي:

س - 0.5 × - 0.25 ×

عندها سيبقى معي كيس نقود واحد فقط ...

وهناك مساواة! بعد كل عمليات الطرح ، يبقى كيس نقود واحد:

س - 0.5 س - 0.25 س \ u003d 1

ها هو النموذج الرياضي! هذه مرة أخرى معادلة خطية ، نحلها ونحصل على:

سؤال للنظر. أربعة ما هو؟ روبل ، دولار ، يوان؟ وفي أي وحدات لدينا أموال في النموذج الرياضي؟ في الحقائب!إذن أربعة كيسأموال بتروفيتش. إنه ليس سيئًا أيضًا.)

المهام ، بالطبع ، أولية. هذا على وجه التحديد لالتقاط جوهر رسم نموذج رياضي. في بعض المهام ، قد يكون هناك الكثير من البيانات التي يسهل الخلط بينها. يحدث هذا غالبًا في ما يسمى ب. مهام الكفاءة. يتم عرض كيفية سحب المحتوى الرياضي من كومة من الكلمات والأرقام مع أمثلة

ملاحظة أخرى. في مشاكل المدرسة الكلاسيكية (تملأ الأنابيب البركة ، وتبحر القوارب في مكان ما ، وما إلى ذلك) ، يتم اختيار جميع البيانات ، كقاعدة عامة ، بعناية فائقة. هناك قاعدتان:
- توجد معلومات كافية في المشكلة لحلها ،
- لا توجد معلومات إضافية في المهمة.

هذا تلميح. إذا كانت هناك قيمة غير مستخدمة في النموذج الرياضي ، فكر فيما إذا كان هناك خطأ. إذا لم تكن هناك بيانات كافية بأي شكل من الأشكال ، فعلى الأرجح ، لم يتم الكشف عن جميع المعلومات المخفية وتسجيلها.

في الكفاءة ومهام الحياة الأخرى ، لا يتم التقيد الصارم بهذه القواعد. ليس لدي تلميح. ولكن يمكن أيضًا حل هذه المشكلات. ما لم تكن ، بالطبع ، تدرب على الكلاسيكية.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

وفقًا للكتاب المدرسي سوفيتوف وياكوفليف: "النموذج (مقياس الطول - القياس) هو بديل كائن عن الكائن الأصلي ، والذي يوفر دراسة بعض خصائص الأصل." (ص 6) "استبدال كائن بآخر من أجل الحصول على معلومات حول أهم خصائص الكائن الأصلي بمساعدة كائن نموذج يسمى النمذجة." (ص 6) "في إطار النمذجة الرياضية ، سوف نفهم عملية إنشاء المراسلات مع كائن حقيقي معين لكائن رياضي ما ، يسمى النموذج الرياضي ، ودراسة هذا النموذج ، والذي يسمح بالحصول على خصائص الكائن الحقيقي قيد الدراسة . يعتمد نوع النموذج الرياضي على كل من طبيعة الكائن الحقيقي ومهام دراسة الكائن والموثوقية المطلوبة والدقة في حل هذه المشكلة.

أخيرًا ، التعريف الأكثر إيجازًا للنموذج الرياضي: "معادلة تعبر عن الفكرة».

تصنيف النموذج

التصنيف الرسمي للنماذج

يعتمد التصنيف الرسمي للنماذج على تصنيف الأدوات الرياضية المستخدمة. غالبا ما تكون مبنية على شكل انقسامات. على سبيل المثال ، إحدى مجموعات الثنائيات الشائعة هي:

إلخ. كل نموذج مبني هو خطي أو غير خطي ، حتمي أو عشوائي ، ... بطبيعة الحال ، الأنواع المختلطة ممكنة أيضًا: مركزة في جانب واحد (من حيث المعلمات) ، والنماذج الموزعة في جانب آخر ، إلخ.

التصنيف حسب طريقة تمثيل الكائن

إلى جانب التصنيف الرسمي ، تختلف النماذج في الطريقة التي تمثل بها الكائن:

• النماذج الهيكلية أو الوظيفية

النماذج الهيكليةيمثل كائنًا كنظام بجهازه الخاص وآلية عمله. نماذج وظيفيةلا تستخدم مثل هذه التمثيلات وتعكس فقط السلوك المدرك خارجيًا (أداء) الكائن. في تعبيرهم المتطرف ، يطلق عليهم أيضًا نماذج "الصندوق الأسود". الأنواع المدمجة من النماذج ممكنة أيضًا ، والتي يشار إليها أحيانًا باسم "النماذج" صندوق رمادي».

المحتوى والنماذج الرسمية

يشير جميع المؤلفين الذين يصفون عملية النمذجة الرياضية تقريبًا إلى أنه يتم أولاً بناء بناء مثالي خاص ، نموذج المحتوى. لا توجد مصطلحات ثابتة هنا ، ويطلق مؤلفون آخرون على هذا الكائن المثالي النموذج المفاهيمي , نموذج المضاربةأو النموذج. في هذه الحالة ، يسمى البناء الرياضي النهائي نموذج رسميأو مجرد نموذج رياضي تم الحصول عليه نتيجة لإضفاء الطابع الرسمي على نموذج المحتوى هذا (نموذج مسبق). يمكن تنفيذ بناء نموذج هادف باستخدام مجموعة من عمليات المثالية الجاهزة ، كما هو الحال في الميكانيكا ، حيث الينابيع المثالية ، أجسام صلبة، البندولات المثالية ، الوسائط المرنة ، إلخ العناصر الهيكليةلنمذجة ذات مغزى. ومع ذلك ، في مجالات المعرفة التي لا توجد فيها نظريات رسمية مكتملة (طليعة الفيزياء ، وعلم الأحياء ، والاقتصاد ، وعلم الاجتماع ، وعلم النفس ، ومعظم المجالات الأخرى) ، يكون إنشاء نماذج ذات مغزى أكثر تعقيدًا بشكل كبير.

تصنيف هادف للنماذج

لا يمكن إثبات فرضية في العلم بشكل نهائي. أوضح ريتشارد فاينمان الأمر بوضوح:

"لدينا دائمًا القدرة على دحض النظرية ، لكن لاحظ أنه لا يمكننا أبدًا إثبات صحتها. لنفترض أنك قدمت فرضية ناجحة ، وحسبت إلى أين تقود ، ووجدت أن جميع عواقبها تم تأكيدها تجريبيًا. هل هذا يعني أن نظريتك صحيحة؟ لا ، هذا يعني ببساطة أنك فشلت في دحضها.

إذا تم بناء نموذج من النوع الأول ، فهذا يعني أنه تم التعرف عليه مؤقتًا على أنه صحيح ويمكن للمرء التركيز على المشكلات الأخرى. ومع ذلك ، لا يمكن أن تكون هذه نقطة في البحث ، ولكنها مجرد وقفة مؤقتة: يمكن أن تكون حالة النموذج من النوع الأول مؤقتة فقط.

النوع 2: نموذج الظواهر (تتصرف كما لو…)

يحتوي النموذج الفينومينولوجي على آلية لوصف الظاهرة. ومع ذلك ، فإن هذه الآلية ليست مقنعة بدرجة كافية ، ولا يمكن تأكيدها بشكل كافٍ من خلال البيانات المتاحة ، أو لا تتفق جيدًا مع النظريات المتاحة والمعرفة المتراكمة حول الكائن. لذلك ، تتمتع النماذج الظاهرية بوضع الحلول المؤقتة. يُعتقد أن الإجابة لا تزال غير معروفة ومن الضروري مواصلة البحث عن "آليات حقيقية". يشير بيرلز ، على سبيل المثال ، إلى نموذج السعرات الحرارية ونموذج الكوارك للجسيمات الأولية إلى النوع الثاني.

قد يتغير دور النموذج في البحث بمرور الوقت ، وقد يحدث أن تؤكد البيانات والنظريات الجديدة النماذج الظاهراتية ويتم ترقيتها إلى حالة الفرضية. وبالمثل ، قد تتعارض المعرفة الجديدة تدريجيًا مع فرضيات النماذج من النوع الأول ، وقد يتم نقلها إلى النوع الثاني. وهكذا ، فإن نموذج الكوارك ينتقل تدريجياً إلى فئة الفرضيات ؛ نشأت الذرية في الفيزياء كحل مؤقت ، ولكن مع مسار التاريخ انتقلت إلى النوع الأول. لكن نماذج الأثير انتقلت من النوع 1 إلى النوع 2 ، وهي الآن خارج نطاق العلم.

تحظى فكرة التبسيط بشعبية كبيرة عند بناء النماذج. لكن التبسيط مختلف. يميز Peierls ثلاثة أنواع من التبسيط في النمذجة.

النوع 3: تقريب (يعتبر شيئًا كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا)

إذا كان من الممكن إنشاء معادلات تصف النظام قيد الدراسة ، فهذا لا يعني أنه يمكن حلها حتى بمساعدة الكمبيوتر. من الأساليب الشائعة في هذه الحالة استخدام التقريبات (نماذج من النوع 3). بينهم نماذج الاستجابة الخطية. يتم استبدال المعادلات بخطية. المثال القياسي هو قانون أوم.

وهنا النوع 8 ، الذي يستخدم على نطاق واسع في النماذج الرياضية للأنظمة البيولوجية.

النوع 8: مظاهرة إمكانية (الشيء الرئيسي هو إظهار التناسق الداخلي للاحتمال)

هذه أيضًا تجارب فكرية.مع كيانات خيالية تثبت ذلك ظاهرة مفترضةمتسقة مع المبادئ الأساسية ومتسقة داخليا. هذا هو الاختلاف الرئيسي عن نماذج النوع 7 ، والتي تكشف عن تناقضات خفية.

واحدة من أشهر هذه التجارب هي هندسة Lobachevsky (أطلق عليها Lobachevsky "الهندسة التخيلية"). مثال آخر هو الإنتاج الضخم للنماذج الحركية الرسمية للتذبذبات الكيميائية والبيولوجية ، والموجات الآلية ، إلخ. ميكانيكا الكم. وبطريقة غير مخططة تمامًا ، تحول في النهاية إلى نموذج من النوع 8 - وهو عرض لإمكانية النقل الآني الكمي للمعلومات.

مثال

لنفكر في نظام ميكانيكي يتكون من زنبرك مثبت في أحد طرفيه وحمل كتلة متصل بالنهاية الحرة للزنبرك. سنفترض أن الحمل يمكن أن يتحرك فقط في اتجاه محور الزنبرك (على سبيل المثال ، تحدث الحركة على طول القضيب). دعونا نبني نموذجًا رياضيًا لهذا النظام. سنصف حالة النظام من خلال المسافة من مركز الحمل إلى موضع توازنه. دعونا نصف التفاعل بين الزنبرك والحمل باستخدام قانون هوك() وبعد ذلك نستخدم قانون نيوتن الثاني للتعبير عنه في شكل معادلة تفاضلية:

حيث يعني المشتق الثاني فيما يتعلق بالوقت:.

تصف المعادلة الناتجة النموذج الرياضي للنظام المادي المدروس. هذا النمط يسمى "التذبذب التوافقي".

وفقًا للتصنيف الرسمي ، فإن هذا النموذج خطي وحتمي وديناميكي ومركّز ومستمر. في عملية بنائه ، وضعنا العديد من الافتراضات (حول غياب القوى الخارجية ، وغياب الاحتكاك ، وصغر الانحرافات ، وما إلى ذلك) ، والتي قد لا تتحقق في الواقع.

فيما يتعلق بالواقع ، غالبًا ما يكون هذا نموذجًا من النوع 4. تبسيط("نحذف بعض التفاصيل من أجل الوضوح") ، حيث تم حذف بعض السمات العامة الأساسية (على سبيل المثال ، التبديد). في بعض التقريب (على سبيل المثال ، طالما أن انحراف الحمل عن التوازن صغير ، مع احتكاك قليل ، لفترة ليست طويلة جدًا ويخضع لشروط أخرى معينة) ، يصف هذا النموذج نظامًا ميكانيكيًا حقيقيًا جيدًا ، نظرًا لأن العوامل المهملة لها تأثير ضئيل على سلوكها. ومع ذلك ، يمكن تحسين النموذج من خلال مراعاة بعض هذه العوامل. سيؤدي هذا إلى نموذج جديد بنطاق أوسع (وإن كان محدودًا مرة أخرى).

ومع ذلك ، عندما يتم تنقيح النموذج ، يمكن أن يزداد تعقيد دراسته الرياضية بشكل كبير ويجعل النموذج عديم الفائدة تقريبًا. في كثير من الأحيان ، يتيح لك النموذج الأبسط استكشاف النظام الحقيقي بشكل أفضل وأعمق من نظام أكثر تعقيدًا (وبشكل رسمي "أكثر صحة").

إذا طبقنا نموذج المذبذب التوافقي على أشياء بعيدة كل البعد عن الفيزياء ، فقد تكون حالته ذات مغزى مختلفة. على سبيل المثال ، عند تطبيق هذا النموذج على المجموعات البيولوجية ، فمن المرجح أن يُنسب إلى النوع 6 تشبيه("دعونا نأخذ في الاعتبار فقط بعض الميزات").

نماذج صلبة وناعمة

المذبذب التوافقي هو مثال لما يسمى بالنموذج "الصلب". يتم الحصول عليها نتيجة لإضفاء المثالية القوية على نظام فيزيائي حقيقي. لحل مشكلة قابلية تطبيقه ، من الضروري فهم مدى أهمية العوامل التي أهملناها. بمعنى آخر ، من الضروري التحقق من النموذج "الناعم" ، الذي يتم الحصول عليه من خلال اضطراب بسيط في النموذج "الصعب". يمكن إعطاؤها ، على سبيل المثال ، من خلال المعادلة التالية:

هنا - بعض الوظائف التي يمكن أن تأخذ في الاعتبار قوة الاحتكاك أو اعتماد معامل صلابة الزنبرك على درجة تمدده - بعض المعلمات الصغيرة. لا يهمنا الشكل الواضح للوظيفة في الوقت الحالي. إذا أثبتنا أن سلوك النموذج الناعم لا يختلف جوهريًا عن سلوك النموذج الصعب (بغض النظر عن الشكل الصريح للعوامل المربكة ، إذا كانت صغيرة بما يكفي) ، فسيتم تقليل المشكلة إلى دراسة النموذج الصعب. خلاف ذلك ، فإن تطبيق النتائج التي تم الحصول عليها في دراسة النموذج الجامد سوف يتطلب بحثًا إضافيًا. على سبيل المثال ، حل معادلة المذبذب التوافقي هي وظائف النموذج ، أي التذبذبات ذات الاتساع الثابت. هل يتبع ذلك أن المذبذب الحقيقي سوف يتأرجح إلى أجل غير مسمى بسعة ثابتة؟ لا ، نظرًا لأن التفكير في نظام به احتكاك صغير عشوائيًا (موجود دائمًا في نظام حقيقي) ، فإننا نحصل على تذبذبات مخمدات. لقد تغير سلوك النظام نوعياً.

إذا احتفظ النظام بسلوكه النوعي تحت اضطراب صغير ، فيُقال إنه مستقر هيكليًا. المذبذب التوافقي هو مثال على نظام غير مستقر هيكليًا (غير خشن). ومع ذلك ، يمكن استخدام هذا النموذج لدراسة العمليات على فترات زمنية محدودة.

عالمية النماذج

عادة ما يكون أهم النماذج الرياضية خاصية مهمة عالمية: يمكن وصف الظواهر الحقيقية المختلفة اختلافًا جذريًا من خلال نفس النموذج الرياضي. لنفترض أن المذبذب التوافقي لا يصف سلوك الحمل على الزنبرك فحسب ، بل يصف أيضًا سلوكًا آخر عمليات التذبذب، غالبًا ما تكون ذات طبيعة مختلفة تمامًا: اهتزازات صغيرة للبندول ، أو تقلبات في مستوى السائل في وعاء على شكل ، أو تغيير في القوة الحالية في دائرة متذبذبة. وهكذا ، عند دراسة نموذج رياضي واحد ، ندرس دفعة واحدة فئة كاملة من الظواهر التي وصفها ذلك النموذج. هذا هو تماثل القوانين الذي تعبر عنه النماذج الرياضية في قطاعات مختلفة معرفة علمية، إنجازات لودفيج فون برتالانفي في إنشاء "نظرية النظم العامة".

المسائل المباشرة والمعكوسة للنمذجة الرياضية

هناك العديد من المشاكل المرتبطة بالنمذجة الرياضية. أولاً ، من الضروري التوصل إلى المخطط الأساسي للكائن الذي يتم نمذجته ، لإعادة إنتاجه في إطار عمليات إضفاء المثالية لهذا العلم. لذلك ، تتحول عربة القطار إلى نظام من الألواح وأجسام أكثر تعقيدًا مصنوعة من مواد مختلفة ، ويتم إعطاء كل مادة على أنها نموذجها الميكانيكي القياسي (الكثافة ، والمرونة ، وخصائص القوة القياسية) ، وبعد ذلك يتم وضع المعادلات ، على طول الطريق يتم تجاهل بعض التفاصيل باعتبارها غير ذات أهمية ، ويتم إجراء الحسابات ، مقارنة بالقياسات ، ويتم تنقيح النموذج ، وما إلى ذلك. ومع ذلك ، من أجل تطوير تقنيات النمذجة الرياضية ، من المفيد تفكيك هذه العملية إلى عناصرها الأساسية المكونة.

تقليديا ، هناك فئتان رئيسيتان من المشاكل المرتبطة بالنماذج الرياضية: المباشر والمعكوس.

مشكلة مباشرة: تعتبر بنية النموذج وجميع معلماته معروفة ، والمهمة الرئيسية هي دراسة النموذج لاستخراج معرفة مفيدة حول الكائن. ما الحمولة الساكنة التي يمكن أن يتحملها الجسر؟ كيف ستتفاعل مع الحمل الديناميكي (على سبيل المثال ، لمسيرة مجموعة من الجنود ، أو مرور قطار بسرعات مختلفة) ، وكيف ستتغلب الطائرة على حاجز الصوت ، وما إذا كانت ستنهار من الرفرفة - هذه أمثلة نموذجية لمهمة مباشرة. يتطلب تحديد المشكلة المباشرة الصحيحة (طرح السؤال الصحيح) مهارة خاصة. إذا لم يتم طرح الأسئلة الصحيحة ، يمكن أن ينهار الجسر ، حتى لو تم بناء نموذج جيد لسلوكه. لذلك ، في عام 1879 ، انهار جسر معدني عبر نهر تاي في بريطانيا العظمى ، قام المصممون ببناء نموذج جسر ، واحتسبوه بهامش أمان يبلغ 20 ضعفًا للحمولة ، لكنهم نسوا الرياح التي تهب باستمرار في تلك الأماكن . وبعد عام ونصف انهار.

في أبسط الحالات (معادلة مذبذب واحد ، على سبيل المثال) ، تكون المشكلة المباشرة بسيطة للغاية وتقلل إلى حل واضح لهذه المعادلة.

مشكلة معكوسة: العديد من النماذج الممكنة معروفة ، من الضروري اختيار نموذج معين بناءً على بيانات إضافية حول الكائن. غالبًا ما تكون بنية النموذج معروفة وتحتاج إلى تحديد بعض المعلمات غير المعروفة. قد تتكون المعلومات الإضافية في بيانات تجريبية إضافية ، أو في متطلبات الكائن ( مهمة التصميم). يمكن أن تأتي البيانات الإضافية بغض النظر عن عملية حل المشكلة العكسية ( الملاحظة السلبية) أو تكون نتيجة تجربة مخطط لها خصيصًا أثناء الحل ( المراقبة النشطة).

كان أحد الأمثلة الأولى على حل مبدع لمشكلة عكسية مع أقصى استخدام ممكن للبيانات المتاحة هو الطريقة التي أنشأها أنا.

مثال آخر هو الإحصاء الرياضي. تتمثل مهمة هذا العلم في تطوير طرق لتسجيل ووصف وتحليل البيانات الملاحظة والتجريبية من أجل بناء نماذج احتمالية لظواهر عشوائية جماعية. أولئك. مجموعة النماذج الممكنة محدودة بنماذج احتمالية. في مشاكل محددة ، تكون مجموعة النماذج أكثر محدودية.

أنظمة المحاكاة الحاسوبية

لدعم النمذجة الرياضية ، تم تطوير أنظمة الرياضيات الحاسوبية ، على سبيل المثال ، Maple ، و Mathematica ، و Mathcad ، و MATLAB ، و VisSim ، وما إلى ذلك ، فهي تسمح لك بإنشاء نماذج رسمية وكتلة لكل من العمليات والأجهزة البسيطة والمعقدة وتغيير معلمات النموذج بسهولة أثناء محاكاة. نماذج القوالبيتم تمثيلها بواسطة كتل (غالبًا رسومية) ، يتم تحديد مجموعة واتصالها بواسطة مخطط النموذج.

أمثلة إضافية

نموذج Malthus

معدل النمو يتناسب مع حجم السكان الحالي. يتم وصفه بواسطة المعادلة التفاضلية

أين هي معلمة معينة يحددها الفرق بين معدل المواليد ومعدل الوفيات. حل هذه المعادلة هو دالة أسية. إذا تجاوز معدل المواليد معدل الوفيات () ، يزداد حجم السكان إلى أجل غير مسمى وبسرعة كبيرة. من الواضح أن هذا في الواقع لا يمكن أن يحدث بسبب الموارد المحدودة. عندما يتم الوصول إلى حجم حرج معين من السكان ، يتوقف النموذج عن كونه مناسبًا ، لأنه لا يأخذ في الاعتبار الموارد المحدودة. يمكن أن يكون تحسين نموذج Malthus هو النموذج اللوجستي ، والذي تم وصفه بواسطة معادلة Verhulst التفاضلية

أين هو حجم السكان "التوازن" ، حيث يتم تعويض معدل المواليد بالضبط بمعدل الوفيات. يميل حجم السكان في مثل هذا النموذج إلى قيمة التوازن ، وهذا السلوك مستقر من الناحية الهيكلية.

نظام المفترس فريسة

لنفترض أن نوعين من الحيوانات يعيشان في منطقة معينة: الأرانب (تأكل النباتات) والثعالب (تأكل الأرانب). دع عدد الأرانب ، عدد الثعالب. باستخدام نموذج Malthus مع التصحيحات اللازمة ، مع مراعاة أكل الثعالب للأرانب ، نصل إلى النظام التالي الذي يحمل الاسم نماذج صينية - فولتيرا:

يحتوي هذا النظام على حالة توازن حيث يكون عدد الأرانب والثعالب ثابتًا. يؤدي الانحراف عن هذه الحالة إلى تقلبات في عدد الأرانب والثعالب ، على غرار التقلبات في المذبذب التوافقي. كما في حالة المذبذب التوافقي ، فإن هذا السلوك غير مستقر من الناحية الهيكلية: تغيير بسيط في النموذج (على سبيل المثال ، مع الأخذ في الاعتبار الموارد المحدودة التي تحتاجها الأرانب) يمكن أن يؤدي إلى تغيير نوعي في السلوك. على سبيل المثال ، يمكن أن تصبح حالة التوازن مستقرة ، وسوف تتلاشى التقلبات السكانية. الوضع المعاكس ممكن أيضًا ، عندما يؤدي أي انحراف بسيط عن وضع التوازن إلى عواقب وخيمة ، حتى الانقراض الكامل لأحد الأنواع. بالنسبة لسؤال أي من هذه السيناريوهات يتم تحقيقه ، لا يقدم نموذج Volterra-Lotka إجابة: مطلوب بحث إضافي هنا.

ملاحظات

1. "تمثيل رياضي للواقع" (موسوعة بريتانيكا)
2. نوفيك آي ب.، حول أسئلة فلسفيةالمحاكاة السيبرانية. م ، المعرفة ، 1964.
3. سوفيتوف ب. يا ، ياكوفليف س.نمذجة النظم: Proc. للجامعات - الطبعة الثالثة ، المنقحة. وإضافية - م: العالي. المدرسة ، 2001. - 343 ص. ردمك 5-06-003860-2
4. سامارسكي أ. ، ميخائيلوف أ.النمذجة الرياضية. الأفكار. طرق. أمثلة. - الطبعة الثانية ، مصححة. - م: فيزماتليت ، 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D.، عناصر نظرية النماذج الرياضية. - الطبعة الثالثة ، القس. - م: KomKniga ، 2007. - 192 برقم ISBN 978-5-484-00953-4
6. سيفوستيانوف ، أ. نمذجة العمليات التكنولوجية: كتاب مدرسي / A.G. سيفوستيانوف ، ب. سيفوستيانوف. - م: الصناعات الخفيفة والغذائية ، 1984. - 344 ص.
7. ويكاموس: نماذج رياضية
8. CliffsNotes.com. مسرد علوم الأرض. 20 سبتمبر 2010
9. أساليب التخفيض والنمو الخشنة للظواهر متعددة النطاقات ، Springer ، سلسلة التعقيد ، برلين-هايدلبرغ-نيويورك ، 2006. XII + 562 pp. ردمك 3-540-35885-4
10. "تعتبر النظرية خطية أو غير خطية ، اعتمادًا على ما - خطي أو غير خطي - الجهاز الرياضي ، وما - الخطي أو غير الخطي - النماذج الرياضية التي تستخدمها. ... دون إنكار الأخير. إن الفيزيائي الحديث ، إذا صادف أنه أعاد تعريف كيان مهم مثل اللاخطية ، من المرجح أن يتصرف بشكل مختلف ، ويفضل اللاخطية باعتبارها الأكثر أهمية والأكثر شيوعًا بين الأضداد ، سيعرف الخطية على أنها "غير - الخطية ". دانيلوف يو.، محاضرات عن الديناميات اللاخطية. مقدمة أولية. التآزر: من الماضي إلى المستقبل. إد 2. - م: URSS، 2006. - 208 ص. ردمك 5-484-00183-8
11. "الأنظمة الديناميكية على غرار عدد محدودتسمى المعادلات التفاضلية العادية الأنظمة المجمعة أو النقطية. يتم وصفها باستخدام فضاء طور ذي أبعاد محدودة وتتميز بعدد محدود من درجات الحرية. نفس النظام في ظروف مختلفةيمكن اعتبارها مركزة أو موزعة. النماذج الرياضية للأنظمة الموزعة هي المعادلات التفاضليةفي المشتقات الجزئية أو المعادلات التكاملية أو المعادلات العادية ذات الحجة المتخلفة. عدد درجات الحرية لنظام موزع لا حصر له ، وهناك حاجة إلى عدد لا حصر له من البيانات لتحديد حالته. أنيشينكو ف.، النظم الديناميكية ، مجلة سوروس التعليمية ، 1997 ، العدد 11 ، ص. 77-84.
12. "اعتمادًا على طبيعة العمليات المدروسة في النظام S ، يمكن تقسيم جميع أنواع النمذجة إلى حتمية وعشوائية وثابتة وديناميكية ومنفصلة ومستمرة ومستمرة ومستمرة. النمذجة الحتمية تعرض عمليات حتمية ، أي العمليات التي يفترض فيها عدم وجود أي تأثيرات عشوائية ؛ النمذجة العشوائية تعرض العمليات والأحداث الاحتمالية. ... تستخدم النمذجة الثابتة لوصف سلوك كائن ما في أي وقت ، بينما تعكس النمذجة الديناميكية سلوك الكائن بمرور الوقت. تعمل النمذجة المنفصلة على وصف العمليات التي يُفترض أنها منفصلة ، على التوالي ، تسمح لك النمذجة المستمرة بعكس العمليات المستمرة في الأنظمة ، ويتم استخدام النمذجة المستمرة المنفصلة للحالات التي تريد فيها إبراز وجود كل من العمليات المنفصلة والمستمرة. سوفيتوف ب. يا ، ياكوفليف س.ردمك 5-06-003860-2
13. عادة ، يعكس النموذج الرياضي بنية (جهاز) الكائن الذي يتم نمذجته ، وخصائص وترابط مكونات هذا الكائن الضرورية لأغراض الدراسة ؛ مثل هذا النموذج يسمى الهيكلي. إذا كان النموذج يعكس فقط كيفية عمل الكائن - على سبيل المثال ، كيفية تفاعله مع التأثيرات الخارجية - عندئذٍ يطلق عليه اسم الصندوق الوظيفي أو المجازي ، الصندوق الأسود. النماذج المجمعة ممكنة أيضًا. Myshkis A. D.ردمك 978-5-484-00953-4
14. "من الواضح ، ولكن أهم مرحلة أولية لبناء أو اختيار نموذج رياضي هي الحصول على أوضح فكرة ممكنة عن الكائن الذي يتم نمذجته وتنقيح نموذج محتواه بناءً على المناقشات غير الرسمية. لا ينبغي ادخار الوقت والجهد في هذه المرحلة ؛ يعتمد نجاح الدراسة بأكملها على ذلك إلى حد كبير. لقد حدث أكثر من مرة أن العمل الكبير الذي تم إنفاقه على حل مشكلة رياضية تبين أنه غير فعال أو حتى ضاع بسبب عدم الاهتمام الكافي بهذا الجانب من المسألة. Myshkis A. D.، عناصر نظرية النماذج الرياضية. - الطبعة الثالثة ، القس. - م: KomKniga ، 2007. - 192 برقم ISBN 978-5-484-00953-4 ، ص. 35.
15. « وصف النموذج المفاهيمي للنظام.في هذه المرحلة الفرعية لبناء نموذج النظام: أ) يتم وصف النموذج المفاهيمي M بعبارات ومفاهيم مجردة ؛ ب) وصف النموذج معطى باستخدام مخططات رياضية نموذجية. ج) قبول الفرضيات والافتراضات بشكل نهائي ؛ د) يتم إثبات اختيار إجراء لتقريب العمليات الحقيقية عند بناء نموذج. سوفيتوف ب. يا ، ياكوفليف س.نمذجة النظم: Proc. للجامعات - الطبعة الثالثة ، المنقحة. وإضافية - م: العالي. المدرسة ، 2001. - 343 ص. ISBN 5-06-003860-2 ، ص. 93.
16. بلخمان آي ، ميشكيس أ د.