من بين مجموعة كاملة من عدم المساواة اللوغاريتمية ، تمت دراسة عدم المساواة ذات القاعدة المتغيرة بشكل منفصل. يتم حلها وفقًا لصيغة خاصة ، والتي نادرًا ما يتم تدريسها في المدرسة لسبب ما:

سجل ك (س) و (س) ∨ السجل ك (س) ز ​​(س) ⇒ (و (س) - ز (س)) (ك (س) - 1) ∨ 0

بدلاً من الغراب "∨" ، يمكنك وضع أي علامة عدم مساواة: أكثر أو أقل. الشيء الرئيسي هو أن العلامات متشابهة في كلا التفاوتين.

لذلك نتخلص من اللوغاريتمات ونختزل المشكلة إلى متباينة عقلانية. هذا الأخير أسهل في الحل ، ولكن عند التخلص من اللوغاريتمات ، قد تظهر جذور إضافية. لقطعها ، يكفي العثور على المنطقة القيم المسموح بها. إذا نسيت ODZ للوغاريتم ، فإنني أوصي بشدة بتكرارها - راجع "ما هو اللوغاريتم".

يجب كتابة كل ما يتعلق بنطاق القيم المقبولة وحلها بشكل منفصل:

و (خ)> 0 ؛ ز (خ)> 0 ؛ ك (خ)> 0 ؛ ك (س) ≠ 1.

تشكل هذه التفاوتات الأربعة نظامًا ويجب تحقيقها في وقت واحد. عندما يتم العثور على نطاق القيم المقبولة ، يبقى عبورها مع الحل عدم المساواة العقلانية- والجواب جاهز.

مهمة. حل المتباينة:

أولاً ، لنكتب ODZ للوغاريتم:

يتم تنفيذ المتباينتين الأوليين تلقائيًا ، ويجب كتابة المتباينة الأخيرة. نظرًا لأن مربع الرقم يساوي صفرًا فقط إذا كان الرقم نفسه صفرًا ، فلدينا:

× 2 + 1 1 ؛
× 2 ≠ 0 ؛
س ≠ 0.

اتضح أن ODZ للوغاريتم هو جميع الأرقام باستثناء الصفر: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0 ؛ + ∞). الآن نحل مشكلة عدم المساواة الرئيسية:

نقوم بالانتقال من المتباينة اللوغاريتمية إلى المتباينة المنطقية. في المتباينة الأصلية توجد علامة "أقل من" ، لذلك يجب أن تكون المتباينة الناتجة أيضًا بعلامة "أقل من". لدينا:

(10 - (× 2 + 1)) (× 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - × 2) × 2< 0;
(3 - س) (3 + س) × 2< 0.

أصفار هذا التعبير: x = 3 ؛ س = -3 ؛ x = 0. علاوة على ذلك ، x = 0 هو جذر التعددية الثانية ، مما يعني أنه عند المرور عبرها ، لا تتغير إشارة الوظيفة. لدينا:

نحصل على x ∈ (−∞ −3) ∪ (3 ؛ + ∞). هذه المجموعة مضمنة بالكامل في ODZ للوغاريتم ، مما يعني أن هذه هي الإجابة.

تحويل عدم المساواة اللوغاريتمية

غالبًا ما تختلف المتباينة الأصلية عن المتباينة أعلاه. من السهل إصلاح ذلك وفقًا للقواعد القياسية للعمل مع اللوغاريتمات - راجع "الخصائص الأساسية للوغاريتمات". يسمى:

1. يمكن تمثيل أي رقم على أنه لوغاريتم بأساس معين ؛
2. يمكن استبدال مجموع وفرق اللوغاريتمات التي لها نفس الأساس بلوغاريتم واحد.

بشكل منفصل ، أود أن أذكرك بمدى القيم المقبولة. نظرًا لأنه قد يكون هناك العديد من اللوغاريتمات في المتباينة الأصلية ، فمن الضروري إيجاد DPV لكل منها. وبالتالي ، فإن المخطط العام لحل التفاوتات اللوغاريتمية هو كما يلي:

1. أوجد ODZ لكل لوغاريتم متضمن في المتباينة ؛
2. اختصر عدم المساواة إلى المتباينة القياسية باستخدام الصيغ لجمع وطرح اللوغاريتمات ؛
3. حل المتباينة الناتجة وفقًا للمخطط أعلاه.

مهمة. حل المتباينة:

أوجد مجال التعريف (ODZ) للوغاريتم الأول:

نحل بطريقة الفاصل. إيجاد أصفار البسط:

3 س - 2 = 0 ؛
س = 2/3.

ثم - أصفار المقام:

س - 1 = 0 ؛
س = 1.

نحدد الأصفار وعلامات على سهم الإحداثيات:

نحصل على x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1 ؛ + ∞). سيكون اللوغاريتم الثاني لـ ODZ هو نفسه. إذا كنت لا تصدقني ، يمكنك التحقق. الآن نقوم بتحويل اللوغاريتم الثاني بحيث يكون الأساس اثنان:

كما ترون ، تقلصت الثلاثيات في القاعدة وقبل اللوغاريتم. احصل على لوغاريتمين لهما نفس القاعدة. دعونا نجمعها معًا:

سجل 2 (x - 1) 2< 2;
سجل 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

حصلت على المعيار عدم المساواة اللوغاريتمية. نتخلص من اللوغاريتمات بالصيغة. نظرًا لوجود علامة "أقل من" في المتباينة الأصلية ، فإن الناتج تعبير عقلانييجب أن يكون أيضًا أقل من صفر. لدينا:

(و (س) - ز (س)) (ك (س) - 1)< 0;
((x - 1) 2-2 2) (2-1)< 0;
× 2 - 2 × + 1 - 4< 0;
× 2 - 2 × - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
س ∈ (−1 ؛ 3).

حصلنا على مجموعتين:

1. ODZ: س ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1 ؛ +) ؛
2. مرشح الإجابة: س ∈ (−1 ؛ 3).

يبقى عبور هذه المجموعات - نحصل على الإجابة الحقيقية:

نحن مهتمون بتقاطع المجموعتين ، لذلك نختار الفواصل الزمنية المظللة على كلا السهمين. نحصل على x ∈ (−1 ؛ 2/3) ∪ (1 ؛ 3) - يتم ثقب جميع النقاط.

في المقال سوف ننظر حل عدم المساواة. دعنا نتحدث بصراحة عن كيفية بناء حل لعدم المساواةمع أمثلة واضحة!

قبل التفكير في حل المتباينات بالأمثلة ، لنتعامل مع المفاهيم الأساسية.

مقدمة في عدم المساواة

عدم المساواةيسمى التعبير الذي ترتبط فيه الوظائف بعلامات العلاقة> ،. يمكن أن تكون المتباينات عددية وأبجدية.
تسمى المتباينات التي لها علامتا علاقة مزدوج ، بثلاثة - ثلاثية ، إلخ. علي سبيل المثال:
أ (خ)> ب (خ) ،
أ (خ) أ (خ) ب (خ) ،
أ (خ) ب (خ).
أ (خ) المتباينات التي تحتوي على علامة> أو غير صارمة.
حل عدم المساواةهي أي قيمة للمتغير التي تكون هذه المتباينة صحيحة.
"حل المتباينة"يعني أنك بحاجة إلى العثور على مجموعة كل الحلول الخاصة به. هناك العديد من الحلول طرق حل عدم المساواة. بالنسبة حلول عدم المساواةاستخدم خط الأعداد اللانهائي. علي سبيل المثال، حل عدم المساواة x> 3 هو فاصل زمني من 3 إلى + ، والرقم 3 غير مدرج في هذه الفترة ، لذلك يتم الإشارة إلى النقطة على السطر بدائرة فارغة ، لأن عدم المساواة صارم.
+
ستكون الإجابة: x (3 ؛ +).
لم يتم تضمين القيمة x = 3 في مجموعة الحلول ، لذا فإن الأقواس مستديرة. يتم وضع علامة اللانهاية دائمًا بين قوسين. العلامة تعني "الانتماء".
ضع في اعتبارك كيفية حل التفاوتات باستخدام مثال آخر مع الإشارة:
x2
-+
يتم تضمين القيمة x = 2 في مجموعة الحلول ، لذا يُشار إلى القوس المربع والنقطة على الخط بدائرة مملوءة.
سيكون الجواب: س. يستخدم المثال التالي مثل هذا القوس.

دعنا نكتب الإجابة: x ≥ -0,5 من خلال فترات:

س ∈ [-0.5 ؛ + ∞)

يقرأ: x ينتمي إلى الفترة من سالب 0.5 ، بما فيها،ما يصل إلى ما لا نهاية.

لا يمكن تشغيل Infinity أبدًا. إنه ليس رقمًا ، إنه رمز. لذلك ، في مثل هذه الإدخالات ، تتعايش اللانهاية دائمًا مع أقواس.

هذا النوع من التسجيل مناسب للإجابات المعقدة التي تتكون من عدة فجوات. لكن - فقط للإجابات النهائية. في النتائج الوسيطة ، حيث يُتوقع حل إضافي ، من الأفضل استخدام النموذج المعتاد في النموذج عدم المساواة البسيطة. سنتعامل مع هذا في الموضوعات ذات الصلة.

المهام الشعبية مع عدم المساواة.

المتباينات الخطية نفسها بسيطة. لذلك ، غالبًا ما تصبح المهام أكثر صعوبة. لذا ، أعتقد أنه كان من الضروري. هذا ، إذا كان بدافع العادة ، ليس ممتعًا للغاية.) لكنه مفيد. سأعرض أمثلة على مثل هذه المهام. ليس لك أن تتعلمها ، فهي لا لزوم لها. ولكي لا تخافوا عند لقائهم أمثلة مماثلة. القليل من التفكير - وكل شيء بسيط!)

1. أوجد أي حلين لمتباينة 3x - 3< 0

إذا لم يكن من الواضح ما يجب فعله ، فتذكر القاعدة الأساسية للرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل ، فافعل ما تستطيع!

X < 1

وماذا في ذلك؟ لا شيء مميز. ماذا يطلب منا؟ مطلوب منا إيجاد عددين محددين يمثلان حلًا لمتباينة. أولئك. تناسب الجواب. اثنين أيأعداد. في الواقع ، هذا أمر محرج). زوجان من 0 و 0.5 مناسبان. زوجان -3 و -8. نعم هؤلاء الأزواج مجموعة لانهائية! ما هو الجواب الصحيح؟!

أجبت: كل شيء! أي زوج من الأرقام ، كل منهما أقل من واحد ، سيكون الجواب الصحيح.اكتب ما تريد. لنذهب أبعد من ذلك.

2. حل عدم المساواة:

4x - 3 ≠ 0

وظائف مثل هذه نادرة. ولكن ، كمتباينات مساعدة ، عند العثور على ODZ ، على سبيل المثال ، أو عند العثور على مجال وظيفة ، يتم مواجهتها طوال الوقت. يمكن حل هذه المتباينة الخطية كمعادلة خطية عادية. فقط في كل مكان ، باستثناء علامة "=" ( يساوي) ضع العلامة " ≠ " (ليس متساوي). لذلك ستصل إلى الإجابة بعلامة عدم المساواة:

X ≠ 0,75

في المزيد أمثلة صعبةمن الأفضل أن تفعل ذلك بالطريقة الأخرى. اجعل عدم المساواة متساوية. مثله:

4x - 3 = 0

قم بحلها بهدوء كما هو معلوم ، واحصل على الإجابة:

س = 0.75

الشيء الرئيسي ، في النهاية ، عند كتابة الإجابة النهائية ، هو عدم نسيان أننا وجدنا x ، مما يعطي المساواة.ونحتاج - عدم المساواة.لذلك ، نحن لسنا بحاجة إلى هذا X.) ونحتاج إلى كتابته بالأيقونة الصحيحة:

X ≠ 0,75

ينتج عن هذا النهج أخطاء أقل. أولئك الذين يحلون المعادلات على الآلة. وبالنسبة لأولئك الذين لا يحلون المعادلات ، فإن عدم المساواة ، في الواقع ، غير مجدية ...) مثال آخر على مهمة شائعة:

3. أوجد أصغر حل عدد صحيح للمتباينة:

3 (× - 1) < 5x + 9

أولًا ، نحل المتباينة ببساطة. نفتح الأقواس ، وننقل ، ونعطي الأقواس المماثلة ... نحصل على:

X > - 6

ألم يحدث !؟ هل اتبعت الإشارات؟ وخلف علامات الأعضاء ، وخلف علامة اللامساواة ...

دعونا نتخيل مرة أخرى. نحتاج إلى إيجاد رقم محدد يطابق كلاً من الإجابة والشرط "أصغر عدد صحيح".إذا لم يطل عليك الأمر على الفور ، فيمكنك ببساطة أن تأخذ أي رقم وتكتشفه. اثنان أكبر من سالب ستة؟ بالتأكيد! هل يوجد رقم أصغر مناسب؟ بالطبع بكل تأكيد. على سبيل المثال ، الصفر أكبر من -6. وحتى أقل؟ نحن بحاجة إلى أصغر ما يمكن! ناقص ثلاثة أكثر من ناقص ستة! يمكنك بالفعل التقاط النمط والتوقف عن فرز الأرقام بغباء ، أليس كذلك؟)

نأخذ رقمًا أقرب إلى -6. على سبيل المثال ، -5. تم تنفيذ الاستجابة ، -5 > - 6. هل يمكنك العثور على رقم آخر أصغر من -5 ولكن أكبر من -6؟ يمكنك ، على سبيل المثال ، -5.5 ... توقف! لقد قيل لنا كاملالمحلول! لا لفة -5.5! ماذا عن ناقص ستة؟ إيييي! المتباينة صارمة ، سالب 6 لا يقل عن سالب 6!

إذن الإجابة الصحيحة هي -5.

نأمل مع اختيار القيمة من حل مشتركواضح. مثال آخر:

4. حل عدم المساواة:

7 < 3x + 1 < 13

كيف! يسمى هذا التعبير عدم المساواة الثلاثية.بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا تدوين مختصر لنظام عدم المساواة. لكن لا يزال يتعين عليك حل مثل هذه التفاوتات الثلاثية في بعض المهام ... يتم حلها بدون أي أنظمة. من خلال نفس التحولات متطابقة.

من الضروري التبسيط ، تحويل هذه المتباينة إلى X خالص. لكن ... ماذا تنقل إلى أين !؟ هذا هو الوقت المناسب لتذكر أن التحول من اليسار إلى اليمين هو شكل مختصرأول تحول مماثل.

والشكل الكامل يبدو كالتالي: يمكنك إضافة / طرح أي رقم أو تعبير لكلا جزأي المعادلة (عدم المساواة).

هناك ثلاثة أجزاء هنا. هنا سوف نطبق تحولات متطابقةلجميع الأجزاء الثلاثة!

فلنتخلص من الواحد في الجزء الأوسط من المتباينة. اطرح واحدًا من الجزء الأوسط بأكمله. حتى لا تتغير المتباينة ، نطرح واحدًا من الجزأين المتبقيين. مثله:

7 -1< 3x + 1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

بالفعل أفضل ، أليس كذلك؟) يبقى تقسيم الأجزاء الثلاثة إلى ثلاثة:

2 < X < 4

هذا كل شئ. هذا هو الجواب. يمكن أن يكون X أي رقم من اثنين (لا يشمل) إلى أربعة (لا يشمل). هذه الإجابة مكتوبة أيضًا على فترات ، ستكون هذه المدخلات في متباينات التربيع. هناك هم الشيء الأكثر شيوعا.

في نهاية الدرس سأكرر أهم شيء. النجاح في القرار المتباينات الخطيةيعتمد على القدرة على تحويل وتبسيط المعادلات الخطية. إذا في نفس الوقت اتبع علامة عدم المساواة ،لن تكون هناك مشاكل. ما اتمنى لك. لا مشكلة.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

على سبيل المثال ، التعبير \ (x> 5 \) هو متباينة.

أنواع عدم المساواة:

إذا كان \ (أ \) و \ (ب \) أرقامًا أو ، فسيتم استدعاء المتباينة عددي. في الواقع ، هذه مجرد مقارنة بين رقمين. تنقسم هذه التفاوتات إلى مخلصو غير مخلص.

علي سبيل المثال:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\ (17 + 3 \ geq 115 \) هو عدم مساواة عددية غير صالحة لأن \ (17 + 3 = 20 \) و \ (20 \) أقل من \ (115 \) (ليس أكبر من أو يساوي).

إذا كانت \ (أ \) و \ (ب \) تعابير تحتوي على متغير ، إذن لدينا عدم المساواة مع المتغير. تنقسم هذه التفاوتات إلى أنواع حسب المحتوى:

\ (2x + 1 \ geq4 (5-x) \)				متغير فقط للقوة الأولى
\ (3 س ^ 2-س + 5> 0 \)				يوجد متغير في القوة الثانية (مربع) ، لكن لا توجد قوى أعلى (الثالثة ، الرابعة ، إلخ.)
\ (\ log_ (4) ((س + 1))<3\)
\ (2 ^ (س) \ leq8 ^ (5x-2) \)

... إلخ.

ما هو حل لعدم المساواة؟

إذا تم استبدال أي رقم في المتباينة بدلاً من المتغير ، فسوف يتحول إلى رقم رقمي.

إذا كانت القيمة المعطاة لـ x تجعل المتباينة الأصلية عددية صحيحة ، فإنها تسمى حل عدم المساواة. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فهذه القيمة ليست حلاً. و ل حل عدم المساواة- تحتاج إلى إيجاد كل الحلول الخاصة به (أو إثبات عدم وجودها).

علي سبيل المثال،إذا كنا في المتباينة الخطية \ (x + 6> 10 \) ، فإننا نعوض بالرقم \ (7 \) بدلاً من x ، نحصل على المتباينة العددية الصحيحة: \ (13> 10 \). وإذا عوضنا عن \ (2 \) ، فسيكون هناك متباينة عددية غير صحيحة \ (8> 10 \). وهذا يعني أن \ (7 \) هو حل للمتباينة الأصلية ، لكن \ (2 \) ليس كذلك.

لكن المتباينة \ (x + 6> 10 \) لها حلول أخرى. في الواقع ، سنحصل على المتباينات العددية الصحيحة عند استبدال و \ (5 \) و \ (12 \) و \ (138 \) ... وكيف يمكننا إيجاد كل الحلول الممكنة؟ للقيام بذلك ، استخدم في حالتنا ، لدينا:

\ (س + 6> 10 \) \ (| -6 \)
\ (س> 4 \)

أي يمكننا استخدام أي عدد أكبر من أربعة. الآن نحن بحاجة إلى كتابة الإجابة. تتم كتابة حلول المتباينات ، كقاعدة عامة ، رقميًا ، بالإضافة إلى تمييزها على المحور العددي باستخدام التظليل. بالنسبة لحالتنا لدينا:

إجابه: \ (س \ في (4 ؛ + \ infty) \)

متى تتغير العلامة في عدم المساواة؟

هناك فخ كبير في عدم المساواة ، والذي "يحب" الطلاب حقًا الوقوع فيه:

عند ضرب (أو قسمة) عدم المساواة على رقم سالب ، يتم عكسها ("أكبر من" بـ "أقل" ، "أكبر من أو يساوي" بـ "أقل من أو يساوي" ، وهكذا)

لماذا يحدث ذلك؟ لفهم هذا ، دعونا نلقي نظرة على التحولات عدم المساواة العددية\ (3> 1 \). هذا صحيح ، الثلاثي هو حقا أكثر من واحد. أولاً ، لنحاول ضربه بأي رقم موجب ، على سبيل المثال ، اثنان:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot2 \)
\(6>2\)

كما ترى ، بعد الضرب ، تظل المتباينة صحيحة. وبغض النظر عن العدد الموجب الذي نضربه ، سنحصل دائمًا على المتباينة الصحيحة. الآن دعونا نحاول الضرب في رقم سالب، على سبيل المثال ، ناقص ثلاثة:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot (-3) \)
\(-9>-3\)

اتضح أنها متباينة غير صحيحة ، لأن سالب تسعة أقل من ناقص ثلاثة! أي ، لكي تصبح عدم المساواة صحيحة (مما يعني أن تحويل الضرب بالسالب كان "قانونيًا") ، تحتاج إلى قلب علامة المقارنة ، على النحو التالي: \ (- 9<− 3\).
مع التقسيم ، سيظهر بالمثل ، يمكنك التحقق منه بنفسك.

تنطبق القاعدة المكتوبة أعلاه على جميع أنواع المتباينات ، وليس فقط على المتباينات العددية.

مثال: حل المتباينة \ (2 (x + 1) -1<7+8x\)
المحلول:

\ (2 س + 2-1<7+8x\)	لننتقل \ (8x \) إلى اليسار و \ (2 \) و \ (- 1 \) إلى اليمين ، دون أن ننسى تغيير العلامات
\ (2x-8x<7-2+1\)
\ (- 6x<6\) \(|:(-6)\)	قسّم طرفي عدم المساواة على \ (- 6 \) ، مع عدم نسيان التغيير من "الأقل" إلى "الأكبر"
	دعنا نحدد فاصلًا رقميًا على المحور. عدم المساواة ، وبالتالي فإن القيمة \ (- 1 \) "متقطعة" ولا نأخذها ردًا
	لنكتب الإجابة في صورة فترة

إجابه: \ (س \ في (-1 ؛ \ infty) \)

عدم المساواة و DHS

يمكن أن يكون للمتباينات ، وكذلك المعادلات ، قيود على قيم x. وفقًا لذلك ، يجب استبعاد القيم غير المقبولة وفقًا لـ ODZ من الفاصل الزمني للحل.

مثال: حل المتباينة \ (\ sqrt (x + 1)<3\)

المحلول: من الواضح أنه لكي يكون الجانب الأيسر أقل من \ (3 \) ، يجب أن يكون تعبير الجذر أقل من \ (9 \) (بعد كل شيء ، من \ (9 \) فقط \ (3 \)). نحن نحصل:

\ (س + 1<9\) \(|-1\)
\ (x<8\)

كل شئ؟ أي قيمة س أقل من \ (8 \) تناسبنا؟ لا! لأننا إذا أخذنا ، على سبيل المثال ، القيمة \ (- 5 \) التي تبدو مناسبة للمتطلبات ، فلن تكون حلاً للمتباينة الأصلية ، لأنها ستقودنا إلى حساب جذر عدد سالب.

\ (\ الجذر التربيعي (-5 + 1)<3\)
\ (\ الجذر التربيعي (-4)<3\)

لذلك ، يجب أن نأخذ في الاعتبار أيضًا القيود المفروضة على قيم x - لا يمكن أن يكون هناك رقم سالب تحت الجذر. وبالتالي ، لدينا المتطلب الثاني لـ x:

\ (x + 1 \ geq0 \)
\ (س \ جيك -1 \)

ولكي يكون x حلاً نهائيًا ، يجب أن يلبي كلا المطلبين في وقت واحد: يجب أن يكون أقل من \ (8 \) (ليكون حلاً) وأكبر من \ (- 1 \) (ليكون صالحًا من حيث المبدأ). بالتخطيط على خط الأعداد ، لدينا الإجابة النهائية:

إجابه: \ (\ يسار [-1 ؛ 8 \ يمين) \)