Shamshurin A.V. واحد

جاجارينا ن. واحد

1 ميزانية البلدية مؤسسة تعليمية"متوسط مدرسة شاملةرقم 31 "

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

لقد بدأت بالنظر في الكثير من موضوعات الرياضيات على الإنترنت واخترت هذا الموضوع لأنني متأكد من أن أهمية العثور على DPV يلعب دورًا كبيرًا في حل المعادلات والمشكلات. في عمل بحثيلقد فكرت في المعادلات التي يكفي فيها فقط العثور على ODZ ، والخطر ، والاختيارية ، ومحدودية ODZ ، وبعض المحرمات في الرياضيات. أهم شيء بالنسبة لي هو اجتياز الامتحان جيدًا في الرياضيات ، ولهذا عليك أن تعرف: متى ولماذا وكيف أجد ODZ. دفعني هذا إلى دراسة الموضوع ، والغرض منه هو إظهار أن إتقان هذا الموضوع سيساعد الطلاب على إكمال مهام الاختبار بشكل صحيح. لتحقيق هذا الهدف ، قمت بالبحث عن مؤلفات إضافية ومصادر أخرى. أصبح الأمر ممتعًا بالنسبة لي ، لكن طلاب مدرستنا يعرفون: متى ولماذا وكيف يجدون ODZ. لذلك ، أجريت اختبارًا حول موضوع "متى ولماذا وكيف أجد ODZ؟" (تم إعطاء 10 معادلات). عدد الطلاب - 28. مُدار - 14٪ ، خطر ODZ (يؤخذ في الاعتبار) - 68٪ ، اختياري (يؤخذ في الاعتبار) - 36٪.

هدف: تحديد: متى ولماذا وكيف تجد ODZ.

مشكلة:المعادلات وعدم المساواة التي تحتاج فيها إلى العثور على ODZ لم تجد مكانًا في سياق العرض المنهجي للجبر ، وهذا على الأرجح سبب ارتكاب زملائي أخطاء عند حل مثل هذه الأمثلة ، وتخصيص الكثير من الوقت لحلها ، مع نسيان ODZ.

مهام:

1. أظهر أهمية ODZ في حل المعادلات وعدم المساواة.
2. قم بعمل عملي حول هذا الموضوع ولخص نتائجه.

أعتقد أن المعرفة والمهارات التي اكتسبتها ستساعدني في تقرير ما إذا كنت سأبحث عن ODZ أم لا؟ سأتوقف عن ارتكاب الأخطاء من خلال تعلم كيفية القيام بـ ODZ بشكل صحيح. سواء نجحت ، سيحدد الوقت ، أو بالأحرى الامتحان.

الفصل 1

ما هو ODZ؟

ODZ هو منطقة القيم المسموح بها ، أي أن هذه كلها قيم المتغير التي يكون التعبير منطقيًا بالنسبة لها.

الأهمية.للعثور على ODZ ، لا نقوم بحل المثال! نقوم بحل قطع المثال لإيجاد الأماكن المحرمة.

بعض المحرمات في الرياضيات.هناك عدد قليل جدًا من مثل هذه الأفعال المحظورة في الرياضيات. لكن لا يتذكرها الجميع ...

• التعبيرات تحت علامة التعددية الزوجية أو يجب أن تكون> 0 أو تساوي الصفر ، ODZ: f (x)
• لا يمكن أن يكون التعبير في مقام الكسر مساويًا للصفر ، ODZ: f (x)
• | f (x) | = g (x)، ODZ: g (x) 0

كيف تكتب ODZ؟بسيط جدا. اكتب دائمًا ODZ بجوار المثال. تحت هذه رسائل مشهورةبالنظر إلى المعادلة الأصلية ، اكتب قيم x المسموح بها للمثال الأصلي. يمكن أن يؤدي تحويل مثال إلى تغيير DPV ، وبالتالي الإجابة.

خوارزمية لإيجاد ODZ:

1. تحديد نوع المنع.
2. ابحث عن القيم التي لا معنى للتعبير لها.
3. استبعد هذه القيم من مجموعة الأعداد الحقيقية R.

حل المعادلة: =

بدون ODZ	مع ODZ
الجواب: س = 5	ODZ: => => الجواب: لا جذور

نطاق القيم الصالحة يحمينا من مثل هذه الأخطاء الجسيمة. لنكون صادقين ، بسبب منطقة ODZ ، يتحول العديد من "عازفي الطبول" إلى "ثلاثة أضعاف". بالنظر إلى أن البحث والمحاسبة عن ODZ هي خطوة غير مهمة في الحل ، فقد تخطوا ذلك ، ثم فوجئوا: "لماذا وضع المعلم 2؟" نعم ، لهذا أضعها لأن الإجابة خاطئة! هذه ليست "نقطات" من المعلم ، ولكنها خطأ محدد للغاية ، مثل حساب غير صحيح أو علامة مفقودة.

معادلات إضافية:

أ) = ؛ ب) -42 = 14x + ؛ ج) = 0 ؛ د) | س -5 | = 2 س -2

الفصل 2

ODZ. لم؟ متي؟ كيف؟

النطاق المقبول - هناك حل

1. ODZ عبارة عن مجموعة فارغة ، مما يعني أن المثال الأصلي ليس له حلول

• = ODZ:

الجواب: لا جذور.

• = ODZ:

الجواب: لا جذور.

0 ، المعادلة ليس لها جذور

الجواب: لا جذور.

أمثلة إضافية:

أ) + = 5 ؛ ب) + = 23x-18 ؛ ج) = 0.

1. يوجد رقم واحد أو أكثر في ODZ ، والاستبدال البسيط يحدد الجذور بسرعة.

ODZ: س = 2 ، س = 3

تحقق: x = 2، +، 0<1, верно

تحقق: x = 3، +، 0<1, верно.

الجواب: س = 2 ، س = 3.

• > ODZ: x = 1، x = 0

تحقق: س = 0 ،> ، 0> 0 ، خطأ

تحقق: x = 1،>، 1> 0، true

الجواب: س = 1.

• + \ u003d x ODZ: x \ u003d 3

تحقق: + = 3 ، 0 = 3 ، خطأ.

الجواب: لا جذور.

أمثلة إضافية:

أ) = ؛ ب) + = 0 ؛ ج) + \ u003d × -1

خطر ODZ

لاحظ أن التحولات المتطابقة يمكن أن:

• لا تؤثر على ODZ ؛
• يؤدي إلى تمديد ODZ ؛
• يؤدي إلى تضييق مساحة ODZ.

ومن المعروف أيضًا أنه نتيجة لبعض التحولات التي غيرت ODZ الأصلي ، يمكن أن يؤدي ذلك إلى قرارات غير صحيحة.

دعونا نشرح كل حالة بمثال.

1) ضع في اعتبارك التعبير x + 4x + 7x ، فإن ODZ للمتغير x لهذه المجموعة R. نقدم شروطًا مماثلة. نتيجة لذلك ، ستأخذ الصورة x 2 + 11x. من الواضح أن ODZ للمتغير x لهذا التعبير هو أيضًا المجموعة R. وبالتالي ، فإن التحويل الذي تم إجراؤه لم يغير ODZ.

2) خذ المعادلة س + - = 0. في هذه الحالة ، ODZ: x ≠ 0. يحتوي هذا التعبير أيضًا على مصطلحات مماثلة ، بعد تقليلها ، نصل إلى التعبير x ، والذي يكون ODZ هو R. ما نراه: نتيجة للتحول ، تم توسيع ODZ (تمت إضافة الصفر إلى ODZ لـ المتغير x للتعبير الأصلي).

3) لنأخذ تعبيرًا. يتم تحديد ODV للمتغير x من خلال عدم المساواة (x − 5) (x − 2) ≥0، ODV: (−∞، 2] ∪∪ / Access mode: مواد المواقع www.fipi.ru، www. على سبيل المثال

النطاق المقبول - هناك حل [ المورد الإلكتروني] / وضع الوصول: rudocs.exdat.com ›docs / index-16853.html

ODZ - نطاق القيم المقبولة ، وكيفية العثور على ODZ [مورد إلكتروني] / وضع الوصول: cleverstudents.ru ›expressions / odz.html

النطاق المقبول: النظرية والتطبيق [مورد إلكتروني] / وضع الوصول: pandia.ru ›text / 78/083 / 13650.php

ما هو ODZ [المورد الإلكتروني] / وضع الوصول: www.cleverstudents.ru ›odz.html

ما هو ODZ وكيف تبحث عنه - شرح ومثال. المورد الإلكتروني] / وضع الوصول: cos-cos.ru ›math / 82 /

ملحق 1

عمل عملي "ODZ: متى ولماذا وكيف؟"

الخيار 1	الخيار 2
│х + 14│ = 2 - 2х
	│3-х│ = 1-3х

الملحق 2

إجابات على المهام العمل التطبيقي"ODZ: متى ولماذا وكيف؟"

الخيار 1	الخيار 2
الجواب: لا جذور	الجواب: x هو أي عدد باستثناء x = 5
9x + = +27 ODZ: x ≠ 3 الجواب: لا جذور	ODZ: س = -3 ، س = 5. الجواب: -3 ؛ 5.
ص = - ينقص ، ص = - الزيادات إذن للمعادلة جذر واحد على الأكثر. الجواب: س = 6.	ODZ: → → х≥5 الجواب: × 5 ، × 6.
│х + 14│ = 2-2х ODZ: 2-2х≥0، х≤1 х = -4، х = 16، 16 لا تنتمي إلى ODZ	النقصان - الزيادات المعادلة لها جذر واحد على الأكثر. الجواب: لا جذور.
0 ، ODZ: x≥3 ، x2 الجواب: x≥3 ، x≤2	8x + = -32، ODZ: x ≠ -4. الجواب: لا جذور.
س = 7 ، س = 1. الجواب: لا يوجد حل	زيادة - تناقص الجواب: س = 2.
0 ODZ: x ≠ 15 الجواب: x هو أي عدد باستثناء x = 15.	│3-х│ = 1-3х ، ODZ: 1-3х≥0 ، х≤ x = -1 ، x = 1 لا تنتمي إلى ODZ. الجواب: س = -1.

أي تعبير يحتوي على متغير له نطاق قيمه الصالحة ، حيثما وجد. يجب دائمًا أخذ وزارة الأمن الداخلي في الاعتبار عند اتخاذ القرار. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فقد تحصل على نتيجة غير صحيحة.

ستوضح هذه المقالة كيفية العثور على ODZ بشكل صحيح ، واستخدامها مع الأمثلة. كما ستأخذ في الاعتبار أهمية تحديد منطقة ODZ في القرار.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قيم متغير صالحة وغير صالحة

يرتبط هذا التعريف بالقيم المسموح بها للمتغير. عند تقديم تعريف ، دعنا نرى النتيجة التي سيؤدي إليها.

بدءًا من الصف السابع ، نبدأ العمل بالأرقام و التعبيرات العددية. التعريفات الأولية ذات المتغيرات تقفز إلى قيمة التعبيرات ذات المتغيرات المحددة.

عندما تكون هناك تعبيرات ذات متغيرات محددة ، فقد لا يرضي بعضها. على سبيل المثال ، تعبير مثل 1: a ، إذا كان a \ u003d 0 ، فلا معنى له ، لأنه من المستحيل القسمة على الصفر. بمعنى ، يجب أن يحتوي التعبير على مثل هذه القيم التي تناسب أي حالة وتعطي الإجابة. بعبارة أخرى ، تكون منطقية مع المتغيرات المتاحة.

التعريف 1

إذا كان هناك تعبير يحتوي على متغيرات ، فمن المنطقي فقط إذا أمكن حساب القيمة عند استبدالها.

التعريف 2

إذا كان هناك تعبير به متغيرات ، فلن يكون له معنى عندما لا يمكن حساب القيمة مع استبدالها.

وهذا هو ، من هذا يتبع التعريف الكامل

التعريف 3

المتغيرات الصالحة الموجودة هي تلك القيم التي يكون التعبير منطقيًا لها. وإذا كان لا معنى له ، فإنهم يعتبرون باطلين.

لتوضيح ما سبق: إذا كان هناك أكثر من متغير ، فقد يكون هناك زوج من القيم المناسبة.

مثال 1

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تعبيرًا مثل 1 x - y + z ، حيث يوجد ثلاثة متغيرات. خلاف ذلك ، يمكنك كتابتها على النحو x = 0 ، y = 1 ، z = 2 ، بينما الرمز الآخر هو (0 ، 1 ، 2). تسمى هذه القيم صالحة ، مما يعني أنه يمكنك العثور على قيمة التعبير. نحصل على 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. من هنا نرى أن (1 ، 1 ، 2) غير صالحة. ينتج عن التعويض القسمة على صفر ، أي 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

ما هو ODZ؟

نطاق القيم الصالحة عنصر مهم في تقييم التعبيرات الجبرية. لذلك ، يجدر الانتباه إلى هذا عند الحساب.

التعريف 4

منطقة ODZهي مجموعة القيم المسموح بها للتعبير المحدد.

لنأخذ مثالا للتعبير.

مثال 2

إذا كان لدينا تعبير بالصيغة 5 z - 3 ، فإن ODZ يكون على الشكل (- ∞، 3) ∪ (3، + ∞). هذا هو نطاق القيم الصالحة التي تفي بالمتغير z للتعبير المحدد.

إذا كان هناك تعبيرات بالصيغة z x - y ، فمن الواضح أن x ≠ y ، z تأخذ أي قيمة. هذا ما يسمى بتعبير ODZ. يجب أن يؤخذ في الاعتبار حتى لا تحصل على قسمة على الصفر عند الاستبدال.

نطاق القيم الصالحة ومجال التعريف لهما نفس المعنى. يستخدم الثاني فقط للتعبيرات ، ويستخدم الأول للمعادلات أو عدم المساواة. بمساعدة DPV ، يكون التعبير أو عدم المساواة منطقيًا. يتطابق مجال تعريف الوظيفة مع مجال القيم المقبولة للمتغير x للتعبير f (x).

كيف تجد ODZ؟ أمثلة ، حلول

للعثور على ODZ يعني العثور على جميع القيم الصالحة المناسبة لـ وظيفة معينةأو عدم المساواة. إذا لم يتم استيفاء هذه الشروط ، يمكن الحصول على نتيجة غير صحيحة. للعثور على ODZ ، غالبًا ما يكون من الضروري إجراء تحويلات في تعبير معين.

هناك عبارات لا يمكن تقييمها:

• إذا كان هناك قسمة على صفر ؛
• استخراج جذر الرقم السالب ؛
• وجود مؤشر عدد صحيح سالب - فقط للأرقام الموجبة ؛
• حساب لوغاريتم رقم سالب ؛
• مجال تعريف الظل π 2 + π · k، k ∈ Z و cotangent π · k، k ∈ Z ؛
• إيجاد قيمة قوس جيب الزاوية وعلامة قوس جيب الزاوية لعدد مع قيمة لا تنتمي إلى [- 1 ؛ واحد ] .

كل هذا يتحدث عن أهمية الحصول على DHS.

مثال 3

أوجد مقدار ODZ x 3 + 2 x y - 4 .

قرار

يمكن تكعيب أي رقم. هذا التعبيرليس به كسر ، لذا يمكن أن يكون x و y أي شيء. أي ، ODZ هو أي رقم.

إجابه: x و y هما أي قيمتين.

مثال 4

أوجد تعبير ODZ 1 3 - x + 1 0.

قرار

نلاحظ أن هناك كسرًا واحدًا مقامه صفر. هذا يعني أنه لأي قيمة لـ x ، سنحصل على قسمة على صفر. هذا يعني أنه يمكننا أن نستنتج أن هذا التعبير يعتبر غير محدد ، أي أنه لا يحتوي على ODZ.

إجابه: ∅ .

مثال 5

أوجد ODZ للتعبير المعطى x + 2 · y + 3 - 5 · x.

قرار

التوفر الجذر التربيعيتقول أن هذا التعبير يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر. في قيمة سالبةلا معنى له. ومن ثم ، من الضروري كتابة متباينة بالصيغة x + 2 · y + 3 ≥ 0. أي أن هذا هو النطاق المطلوب للقيم المقبولة.

إجابه:مجموعة من x و y ، حيث x + 2 y + 3 ≥ 0.

مثال 6

أوجد تعبير ODZ بالصيغة 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3).

قرار

حسب الشرط ، لدينا كسر ، لذا لا ينبغي أن يكون مقامه صفرًا. نحصل على x + 1 - 1 ≠ 0. دائمًا ما يكون التعبير الجذري منطقيًا عندما يكون أكبر من أو يساوي الصفر ، أي x + 1 ≥ 0. نظرًا لأنه يحتوي على لوغاريتم ، يجب أن يكون تعبيره موجبًا تمامًا ، أي x 2 + 3> 0. يجب أن يكون أساس اللوغاريتم موجبًا أيضًا ومختلفًا عن 1 ، ثم نضيف الشرطين x + 8> 0 و x + 8 ≠ 1. ويترتب على ذلك أن ODZ المطلوب سيأخذ الشكل:

س + 1 - 1 ≠ 0 ، س + 1 ≥ 0 ، س 2 + 3> 0 ، س + 8> 0 ، س + 8 1

بمعنى آخر ، يطلق عليه نظام عدم المساواة مع متغير واحد. سيؤدي الحل إلى مثل هذا السجل لـ ODZ [- 1 ، 0) ∪ (0 ، + ∞).

إجابه: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

لماذا من المهم أخذ LHS في الاعتبار عند إجراء التغييرات؟

للتحولات المتطابقة ، من المهم العثور على ODZ. هناك حالات لا يحدث فيها وجود ODZ. لفهم ما إذا كان الحل يحتوي على تعبير معين ، تحتاج إلى مقارنة ODZ لمتغيرات التعبير الأصلي و ODZ للتعبير المستلم.

تحولات الهوية:

• قد لا يؤثر على ODZ ؛
• قد يؤدي إلى تمديد أو إضافة إلى وزارة الأمن الداخلي ؛
• يمكن تضييق مساحة ODZ.

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 7

إذا كان لدينا تعبير بالصيغة x 2 + x + 3 · x ، فسيتم تعريف ODZ الخاص به في مجال التعريف بأكمله. حتى مع تقليل المصطلحات المتشابهة وتبسيط التعبير ، لا يتغير ODZ.

المثال 8

إذا أخذنا مثال التعبير x + 3 x - 3 x ، فسنجد أن الأمور مختلفة. نملك تعبير كسري. ونعلم أن القسمة على صفر غير مسموح بها. ثم يكون ODZ الشكل (- ∞ ، 0) ∪ (0 ، + ∞). يمكن ملاحظة أن الصفر ليس حلاً ، لذلك نضيفه بقوس.

تأمل في مثال مع وجود تعبير جذري.

المثال 9

إذا كان هناك x - 1 · x - 3 ، فعليك الانتباه إلى ODZ ، حيث يجب كتابتها على أنها متباينة (x - 1) · (x - 3) ≥ 0. من الممكن الحل بطريقة الفاصل ، ثم نحصل على أن ODZ سيأخذ الشكل (- ∞ ، 1] ∪ [3 ، + ∞). بعد تحويل x - 1 · x - 3 وتطبيق خاصية الجذور ، لدينا أنه يمكن استكمال ODZ وكتابته كنظام من المتباينات بالصيغة x - 1 0، x - 3 ≥ 0. عند حلها ، نحصل على ذلك [3، + ∞). ومن ثم ، فإن ODZ مكتوب بالكامل على النحو التالي: (- ، 1] ∪ [3 ، + ∞).

يجب تجنب التغييرات التي تضيق DHS.

المثال 10

ضع في اعتبارك مثالًا للتعبير x - 1 · x - 3 عندما x = - 1. عند الاستبدال ، نحصل على - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2. إذا تم تحويل هذا التعبير إلى الصورة x - 1 · x - 3 ، فعند الحساب نحصل على 2 - 1 · 2 - 3 التعبير غير منطقي ، لأن التعبير الجذري يجب ألا يكون سالبًا.

يجب اتباع التحولات المتطابقة ، والتي لن تغير DHS.

إذا كانت هناك أمثلة تمدها ، فيجب إضافتها إلى DPV.

المثال 11

ضع في اعتبارك مثال كسر على الصورة x x 3 + x. إذا قللنا بمقدار x ، فسنحصل على 1 × 2 + 1. ثم يتوسع ODZ ويصبح (- ∞ 0) ∪ (0، + ∞). علاوة على ذلك ، عند الحساب ، فإننا نعمل بالفعل مع الكسر الثاني المبسط.

في ظل وجود اللوغاريتمات ، يختلف الوضع قليلاً.

المثال 12

إذا كان هناك تعبير بالصيغة ln x + ln (x + 3) ، فسيتم استبداله بـ ln (x (x + 3)) ، بناءً على خاصية اللوغاريتم. هذا يدل على أن ODZ من (0 ، +) إلى (- ، - 3) ∪ (0 ، +). لذلك ، لتحديد ODZ ln (x (x + 3)) من الضروري إجراء حسابات على ODZ ، أي مجموعات (0 ، + ∞).

عند الحل ، من الضروري دائمًا الانتباه إلى بنية وشكل التعبير الذي قدمته الحالة. إذا تم العثور على مجال التعريف بشكل صحيح ، ستكون النتيجة إيجابية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

إذا كانت معادلة ODZ تتكون من عدد محدودالقيم ، يكفي استبدال كل قيمة في المعادلة للتحقق مما إذا كانت هذه القيمة جذرًا.

أمثلة على تطبيق المحدود على حل المعادلات.

تحت علامة الجذر حتى درجةيجب أن يقف رقم غير سالب، لهذا

المتباينة الأولى تربيعية ، ونحلها. ثانية - .

حل النظام هو تقاطع حلول كلا التفاوتين:

يتكون ODZ من قيمة واحدة: (3).

يبقى التحقق مما إذا كان 3 هو جذر المعادلة:

حصلنا على المساواة الصحيحة ، لذلك ، x \ u003d 3 هو جذر هذه المعادلة.

يجب أن تكون علامة الجذر التربيعي عددًا غير سالب. من هنا ODZ

أول متباينتين من الدرجة الثانية. نحلها بطريقة الفاصل. الثالث خطي. نحدد حل كل متباينة على خط الأعداد ونجد تقاطع الحلول:

يتكون ODZ من قيمتين: (2 ؛ 3).

لنقم بفحص.

هكذا، معادلة معينةله جذر واحد x = 3.

مساحة القيم المقبولة لقوس القوس هي فترة مغلقة من -1 إلى 1. يجب أن تكون قاعدة الدرجة ذات الأس الموجب غير الصحيح عددًا غير سالب. ODZ:

وبالتالي ، فإن مجال القيم المقبولة للمعادلة يتكون من قيمة واحدة: (1). يبقى أن نتحقق مما إذا كان x = 1 هو جذر هذه المعادلة.

الجواب: 1.
إذا كانت معادلة ODZ تتكون من رقم واحد أو أكثر ، يمكن أن تساعدك هذه الطريقة في التعامل مع المهمة بسرعة وسهولة.

مثل الطرق الأخرى لحل المعادلات بناءً على خصائص الوظائف ، فإن استخدام عدد محدود من القيم غالبًا ما يسمح بحل المهام المعقدة وغير القياسية. وعلى الرغم من أن في دورة مدرسيةالجبر ، لا يظهر في كثير من الأحيان ، من المفيد تذكره والقدرة على تطبيقه.

الموضوع: |

وكيف تبحث عن هذا جدا ODZ؟ ندرس المثال بعناية ونبحث عن الأماكن الخطرة. الأماكن التي يمكن فيها ممارسة الأنشطة المحظورة. هناك عدد قليل جدًا من مثل هذه الأفعال المحظورة في الرياضيات.

المزيد من الدروس على الموقع

ODZ (منطقة القيم المسموح بها)

نطاق القيم المقبولة للمعادلة هو مجموعة قيم x التي يكون للجانب الأيمن والأيسر من المعادلة معنى لها.

هذه هي قيم x التي يمكن أن تكون من حيث المبدأ. دعنا نقول في المعادلة = 1 أننا لا نعرف حتى الآن ما هو x. لم نحل المعادلة بعد. لكننا نعلم بالفعل أن x لا يمكن أن يساوي صفرًا تحت أي ظرف من الظروف! لا يمكنك القسمة على الصفر!إلى أي رقم آخر - عدد صحيح ، كسري ، سالب - من فضلك ، ولكن إلى الصفر - بأي حال من الأحوال! خلاف ذلك ، يصبح التعبير الأصلي هراء. هذا يعني أن DPV في هذا المثال: x ما عدا الصفر. فهمتك؟

كيف تجد ، كيف تسجل ، كيف تعمل معها؟

بسيط جدا. بجانب المثال ، اكتب ODZ. تحت هذه الحروف المعروفة ، بالنظر إلى المعادلة الأصلية ، نكتب قيم x ، المسموح بها للمثال الأصلي. أو العكس: البحث عن قيم x المحرمة ،التي بموجبها يفقد المثال الأصلي كل معناه ، ويستبعدهم.

لكن لا يتذكرها الجميع. سوف أذكرهم الآن وأنصحك بتذكرهم.

يجب أن يكون التعبير الموجود أسفل علامة جذر التعددية الزوجية أكبر من أو يساوي الصفر.

لا يمكن أن يكون التعبير في مقام الكسر مساويًا للصفر.

1. هناك نوعان من الدالات التي تحتوي على كسر "مخفي":

هناك أيضًا محظورات في المعادلات اللوغاريتمية - سننظر في ذلك في الموضوعات ذات الصلة. كل شىء. عندما نعثر على أماكن خطرة ، نحسب x ، الأمر الذي سيؤدي إلى هراء.

للعثور على نطاق القيم الصالحة للتعبير ، تحتاج إلى فحص ما إذا كان هناكمعادلة التعبيرالتي ذكرتها أعلاه. وعندما يتم العثور على التعبيرات ، اكتب القيود التي وضعها ، وانتقل "للخارج" "إلى الداخل". ونحن نستبعدهم.

الأهمية! للعثور على ODZ ، لا نقوم بحل المثال! نقوم بحل أجزاء المثال لإيجاد قيم x الممنوعة. يبدو الأمر معقدًا في التفسيرات ، لكنه في الواقع سهل للغاية.

لم أقل شيئًا عن ODZ تحديدًا في الدروس السابقة. لكي لا تخيفك ... في الأمثلة التي تم النظر فيها ، لم يؤثر ODD على الإجابات بأي شكل من الأشكال. بعد كل شيء ، في المحظورات التي عدناها دالة أسيةلا. يحدث ذلك. ولكن في مهام الاختبار المستقل الخارجي ، كقاعدة عامة ، يؤثر ODD على الإجابة! يجب أن تكتب ليس للمفتشين ، ولكن من أجلك. لا تكتب إذا كان من الواضح أن x هو أي رقم. كما ، على سبيل المثال ، في المعادلات الخطية.

في كثير من الأمثلة ، يتيح لك العثور على ODZ الحصول على إجابة بدون حسابات مرهقة. وحتى لفظيا. في بعض المعادلات ، هي المجموعة الفارغة. هذا يعني أن المعادلة الأصلية ليس لها حلول. أو يوجد رقم واحد أو أكثر هناك ، واستبدال بسيط يحدد الجذور بسرعة.

ما الذي لا يعجبك؟ هذا صحيح - جزء صغير. أنا لا أحبها أيضًا ، لذا أقترح التخلص منها. يمكن القيام بذلك بطرق مختلفة. للتخلص من المقام ، أضرب طرفي المعادلة في القاسم المشترك x-4.

مشرف:

1. مقدمة 3

2. الخلفية التاريخية 4

3. "مكان" ODZ عند حل المعادلات والمتباينات 5-6

4. ميزات وخطر ODZ 7

5. ODZ - هناك قرار 8-9

6. العثور على ODZ هو عمل إضافي. معادلة الانتقالات 10-14

7. ODZ في الامتحان 15-16

8- الخلاصة 17

9. الأدب 18

1 المقدمة

مشكلة:المعادلات وعدم المساواة التي تحتاج فيها إلى العثور على ODZ لم تجد مكانًا في سياق العرض المنهجي للجبر ، وهذا على الأرجح سبب ارتكاب زملائي أخطاء عند حل مثل هذه الأمثلة ، وتخصيص الكثير من الوقت لحلها ، مع نسيان ODZ.

هدف:تكون قادرًا على تحليل الموقف واستخلاص استنتاجات صحيحة منطقيًا في أمثلة حيث يكون من الضروري مراعاة ODD.

مهام:

1. دراسة المادة النظرية.

2. حل مجموعة من المعادلات ، المتباينات: أ) كسور منطقي. ب) غير منطقي. ج) لوغاريتمي. د) تحتوي على دوال مثلثية معكوسة.

3. تطبيق المواد المستفادة في موقف يختلف عن المعيار.

4. قم بإعداد ورقة حول موضوع "منطقة القيم المقبولة: النظرية والتطبيق"

مشروع العمل:بدأت العمل في المشروع بتكرار الوظائف التي عرفتها. نطاق العديد منهم محدود.

يحدث ODZ:

1. عند اتخاذ القرار المعادلات المنطقية الكسريةوعدم المساواة

2. عند اتخاذ القرار معادلات غير منطقيةوعدم المساواة

3. عند اتخاذ القرار المعادلات اللوغاريتميةوعدم المساواة

4. عند حل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية معكوسة

بعد حل العديد من الأمثلة من مصادر مختلفة (كتيبات الاستخدام ، والكتب المدرسية ، والكتب المرجعية) ، قمت بتنظيم حل الأمثلة وفقًا للمبادئ التالية:

يمكنك حل المثال ومراعاة ODZ (الطريقة الأكثر شيوعًا)

من الممكن حل المثال دون مراعاة ODZ

من الممكن فقط ، مع الأخذ في الاعتبار ODZ ، التوصل إلى القرار الصحيح.

الطرق المستخدمة في العمل: 1) التحليل. 2) التحليل الإحصائي. 3) الخصم. 4) التصنيف. 5) التنبؤ.

تحليل مدروس نتائج الاستخدامعلى مدى السنوات الماضية. تم ارتكاب العديد من الأخطاء في الأمثلة التي يجب أن تؤخذ في الاعتبار وزارة الأمن الداخلي. هذا يؤكد مرة أخرى ملاءمةموضوعي.

2. مخطط تاريخي

مثل مفاهيم الرياضيات الأخرى ، لم يتطور مفهوم الوظيفة على الفور ، ولكنه مر طريق طويلتطوير. يقول عمل ب. فيرما "مقدمة ودراسة الأماكن المسطحة والصلبة" (1636 ، المنشور عام 1679): "عندما تكون هناك كميتان غير معروفين في المعادلة النهائية ، يوجد مكان". في جوهرها ، نحن نتحدث عن الاعتماد الوظيفي و صورة بيانية("المكان" في فيرما تعني السطر). تشير دراسة الخطوط بواسطة معادلاتها في "الهندسة" لـ R.Decartes (1637) أيضًا إلى فهم واضح للاعتماد المتبادل بين متغيرين. آي بارو ("محاضرات في الهندسة" ، 1670) في شكل هندسيتم تأسيس الانعكاس المتبادل لإجراءات التمايز والتكامل (بالطبع ، بدون استخدام هذه المصطلحات نفسها). هذا يشهد بالفعل على إتقان واضح تمامًا لمفهوم الوظيفة. في الشكل الهندسي والميكانيكي ، نجد هذا المفهوم أيضًا في 1. نيوتن. ومع ذلك ، ظهر مصطلح "الوظيفة" لأول مرة فقط في 1692 بواسطة G. يستدعي G.Lebniz مقاطع مختلفة مرتبطة بمنحنى (على سبيل المثال ، abscissas من نقاطه) وظيفة. في أول دورة مطبوعة بعنوان "تحليل الصغر اللامتناهي لمعرفة الخطوط المنحنية" بواسطة لوبيتال (1696) ، لم يتم استخدام مصطلح "وظيفة".

تم العثور على التعريف الأول للدالة بمعنى قريب من المعنى الحديث في I. Bernoulli (1718): "الوظيفة هي كمية مكونة من متغير وثابت." يعتمد هذا التعريف غير المميز تمامًا على فكرة تحديد دالة بواسطة صيغة تحليلية. تظهر نفس الفكرة في تعريف L. أو كميات ثابتة ". ومع ذلك ، حتى L. Euler ليس غريبًا على الفهم الحديث للوظيفة ، والذي لا يربط مفهوم الوظيفة بأي من تعبيراتها التحليلية. في كتابه "حساب التفاضل" (1755) يقول: "عندما تعتمد بعض الكميات على أخرى بطريقة أنه عندما تتغير الأخيرة ، فإنها هي نفسها تخضع للتغيير ، ثم تسمى الأولى وظائف الثانية".

مع التاسع عشر في وقت مبكرقرون ، تحدد في كثير من الأحيان مفهوم الوظيفة دون ذكر تمثيلها التحليلي. في "أطروحة في حساب التفاضل والتكامل التفاضلي" (1797-1802) يقول س. لاكروا: "أي كمية تعتمد قيمتها على كمية واحدة أو عدة كميات أخرى تسمى دالة لهذه الأخيرة". في "النظرية التحليلية للحرارة" لجيه فورييه (1822) توجد عبارة: "الوظيفة و (خ)يشير إلى وظيفة تعسفية تمامًا ، أي سلسلة من القيم المعطاة ، موضوع أم لا لقانون عام ويتوافق مع جميع القيم xتحتوي على ما بين 0 وبعض القيم x". قريب من الحديث وتعريف N.I Lobachevsky: "... المفهوم العامتتطلب الوظيفة أن الوظيفة من xاسم الرقم المعطى لكل منها xوجنبا إلى جنب مع xيتغير تدريجيا. يمكن إعطاء قيمة الوظيفة إما عن طريق تعبير تحليلي ، أو بشرط يوفر وسيلة لتجربة جميع الأرقام واختيار واحد منها ، أو أخيرًا ، قد تكون التبعية موجودة وتبقى غير معروفة. يُقال في نفس المكان الأدنى قليلاً: "تعترف النظرة العامة للنظرية بوجود التبعية فقط بمعنى أن الأرقام الواحدة مع الأخرى فيما يتعلق يتم فهمها كما لو كانت معطاة معًا." وهكذا ، تم اقتراح التعريف الحديث للدالة ، الخالي من الإشارات إلى المهمة التحليلية ، والذي يُنسب عادةً إلى P. Dirichlet (1837) ، مرارًا وتكرارًا أمامه.

مجال التعريف (القيم المسموح بها) للدالة y هو مجموعة قيم المتغير المستقل x الذي يتم تعريف هذه الوظيفة من أجله ، أي مجال تغيير المتغير المستقل (الوسيطة).

3. "مكان" منطقة القيم المقبولة عند حل المعادلات والمتباينات

1. عند حل المعادلات المنطقية الكسرية والمتبايناتيجب ألا يكون المقام صفراً.

2. حل المعادلات غير المنطقية والمتباينات.

2.1..gif "العرض =" 212 "الارتفاع =" 51 ">.

في هذه الحالة ، ليست هناك حاجة للعثور على ODZ: يتبع من المعادلة الأولى أن قيم x التي تم الحصول عليها تفي بعدم المساواة التالية: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif "العرض =" 107 "الارتفاع =" 27 src = "> هو النظام:

نظرًا للمعادلة وإدخالها بشكل متساوٍ ، فبدلاً من عدم المساواة ، يمكنك تضمين عدم المساواة https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif "width =" 220 "height =" 49 ">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif "width =" 239 "height =" 51 ">

3. حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

3.1 مخطط لحل المعادلة اللوغاريتمية

لكن يكفي التحقق من حالة واحدة فقط من ODZ.

3.2..gif "width =" 115 "height =" 48 src = ">. gif" width = "115" height = "48 src =">

4. المعادلات المثلثيةعطوفتعادل النظام (بدلاً من عدم المساواة ، يمكن للنظام تضمين عدم المساواة https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif "width =" 377 "height =" 23 "> مكافئة لـ المعادلة

4. ملامح وخطر نطاق القيم المباحة

في دروس الرياضيات ، نحن مطالبون بإيجاد ODZ في كل مثال. في الوقت نفسه ، وفقًا للجوهر الرياضي للمسألة ، فإن العثور على ODZ ليس إلزاميًا على الإطلاق ، وغالبًا ما يكون غير ضروري ، وأحيانًا مستحيل - وكل هذا دون أي مساس بحل المثال. من ناحية أخرى ، يحدث غالبًا أنه بعد حل أحد الأمثلة ، ينسى الطلاب أن يأخذوا في الاعتبار ODZ ، وتدوينه كإجابة نهائية ، مع مراعاة بعض الشروط فقط. هذا الظرف معروف ولكن "الحرب" تستمر كل عام ويبدو أنها ستستمر لفترة طويلة.

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، عدم المساواة التالية:

هنا ، يتم البحث عن ODZ ، ويتم حل عدم المساواة. ومع ذلك ، عند حل هذا التفاوت ، يعتقد أطفال المدارس أحيانًا أنه من الممكن تمامًا الاستغناء عن البحث عن ODZ ، وبصورة أدق ، يمكنهم الاستغناء عن الشرط

في الواقع ، للحصول على الإجابة الصحيحة ، من الضروري مراعاة كل من عدم المساواة و.

وهنا ، على سبيل المثال ، حل المعادلة: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif "width =" 79 height = 75 "height =" 75 ">

وهو ما يعادل العمل مع ODZ. ومع ذلك ، في هذا المثال ، مثل هذا العمل زائد عن الحاجة - يكفي التحقق من تحقيق اثنين فقط من هذه المتباينات ، وأي اثنين.

دعني أذكرك أن أي معادلة (عدم مساواة) يمكن اختزالها إلى الصورة. DPV هو ببساطة نطاق الوظيفة على الجانب الأيسر. حقيقة أن هذه المنطقة يجب مراقبتها تتبع بالفعل من تعريف الجذر كرقم من منطقة الوظيفة المعينة ، وبالتالي من ODZ. إليك مثال مضحك حول هذا الموضوع .. يحتوي gif "width =" 20 "height =" 21 src = "> على مجال تعريف لمجموعة من الأرقام الموجبة (هذا بالطبع اتفاق - للنظر في الوظيفة في ، ولكنه معقول) ، ومن ثم فإن -1 ليس هو الجذر.

5. مجموعة من القيم المقبولة - هناك حل

وأخيرًا ، في مجموعة الأمثلة ، يتيح لك العثور على ODZ الحصول على الإجابة بدون تخطيطات مرهقة ،وحتى شفويا.

1. OD3 عبارة عن مجموعة فارغة ، مما يعني أن المثال الأصلي ليس له حلول.

1) 2) 3)

2 بوصة ODZ تم العثور على رقم واحد أو أكثر ، واستبدال بسيط يحدد الجذور بسرعة.

1) , س = 3

2)هنا في ODZ لا يوجد سوى الرقم 1 ، وبعد الاستبدال من الواضح أنه ليس جذرًا.

3) يوجد رقمان في ODZ: 2 و 3 ، وكلاهما مناسب.

4)> يوجد رقمان 0 و 1 في ODZ ، و 1 فقط مناسب.

يمكن استخدام DPV بشكل فعال مع تحليل التعبير نفسه.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) ويترتب على ذلك من ODZ ، ومن أين لدينا ..gif "width =" 143 "height =" 24 "> من ODZ لدينا:. لكن بعد ذلك ، ومنذ ذلك الحين ، لا توجد حلول.

من ODZ لدينا: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif "width =" 48 "height =" 24 ">> ، مما يعني. لحل آخر عدم المساواة ، نحصل على x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ:. منذ ذلك الحين

من ناحية أخرى ، https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif "width =" 160 "height =" 24 ">

ODZ :. ضع في اعتبارك المعادلة في الفترة [-1 ؛ 0).

يحقق هذا التفاوت https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif "width =" 68 "height =" 24 src = ">. gif" width = "123" height = "24 src = "> ولا توجد حلول. مع الوظيفة و https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif "width =" 179 "height =" 25 ">. ODZ: x> 2..gif" width = "233" height = "45 src ="> فلنبحث عن ODZ:

الحل الصحيح ممكن فقط لـ x = 3 و x = 5. بالتحقق ، نجد أن الجذر x \ u003d 3 غير مناسب ، مما يعني أن الإجابة هي: x \ u003d 5.

6. العثور على نطاق القيم المقبولة هو عمل إضافي. معادلة التحولات.

يمكن إعطاء أمثلة عندما يكون الموقف واضحًا حتى بدون العثور على ODZ.

1.

المساواة مستحيلة ، لأنه عند طرح تعبير أكبر من تعبير أصغر ، يجب الحصول على رقم سالب.

2. .

لا يمكن أن يكون مجموع دالتين غير سالبين سالبًا.

سأقدم أيضًا أمثلة حيث يكون العثور على ODZ أمرًا صعبًا ، وأحيانًا يكون مستحيلًا ببساطة.

وأخيرًا ، غالبًا ما يكون البحث عن ODZ مجرد عمل غير ضروري ، والذي بدونه يمكن للمرء القيام به بشكل مثالي ، وبالتالي إثبات فهم ما يحدث. يوجد عدد كبير من الأمثلة هنا ، لذلك سأختار فقط الأمثلة الأكثر نموذجية. في هذه الحالة ، تكون تقنية القرار الرئيسية هي التحولات المكافئة في الانتقال من معادلة (عدم المساواة ، النظام) إلى أخرى.

1.. ليست هناك حاجة إلى ODZ ، لأنه بعد إيجاد قيم x التي من أجلها x2 = 1 ، لا يمكننا الحصول على x = 0.

2.. ليست هناك حاجة إلى ODZ ، لأننا نكتشف متى يكون التعبير الجذري مساويًا لعدد موجب.

3.. ليس هناك حاجة إلى ODZ لنفس الأسباب كما في المثال السابق.

4.

ليست هناك حاجة إلى ODZ ، لأن التعبير الجذر يساوي مربع دالة ما ، وبالتالي لا يمكن أن يكون سالبًا.

5.

6. ..gif "width =" 271 "height =" 51 "> يكفي للحل قيد واحد فقط للتعبير الجذري. في الواقع ، من النظام المختلط المكتوب يترتب على ذلك أن التعبير الجذري الآخر هو أيضًا غير سالب.

8. ليس هناك حاجة إلى ODZ لنفس الأسباب كما في المثال السابق.

9. لا توجد حاجة إلى DPV ، لأنه يكفي أن يكون اثنان من التعبيرات الثلاثة الموجودة تحت علامات اللوغاريتم موجبين للتأكد من أن التعبير الثالث موجب.

10. .gif "width =" 357 "height =" 51 "> ODZ غير مطلوب للأسباب نفسها كما في المثال السابق.

ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه عند الحل بطريقة التحويلات المكافئة ، تساعد معرفة ODZ (وخصائص الوظائف).

وهنا بعض الأمثلة.

واحد. . OD3 ، الذي يتبع منه إيجابية التعبير على الجانب الأيمن ، ويمكن كتابة معادلة مكافئة لهذه المعادلة في هذا النموذج https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif " العرض = "112" height = "27"> ODZ :. لكن بعد ذلك ، وعند حل هذه المتباينة ، ليس من الضروري مراعاة الحالة عندما يكون الجانب الأيمن أقل من 0.

3.. ويترتب على ذلك من ODZ ذلك ، وبالتالي الحالة عند https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif "width =" 303 "height =" 48 "> الانتقال إلى نظرة عامةيبدو مثل هذا:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif "width =" 303 "height =" 24 ">

حالتان ممكنتان: 0 >1.

ومن ثم ، فإن عدم المساواة الأصلية تعادل المجموعة التالية من أنظمة عدم المساواة:

النظام الأول ليس له حلول ، ومن الثاني نحصل على: x<-1 – решение неравенства.

يتطلب فهم شروط التكافؤ معرفة بعض التفاصيل الدقيقة. على سبيل المثال ، لماذا تكافئ المعادلات التالية:

أو

وأخيرًا ، ربما يكون الأمر الأكثر أهمية. الحقيقة هي أن التكافؤ يضمن صحة الإجابة إذا تم إجراء بعض التحولات في المعادلة نفسها ، ولكن لا يتم استخدامه للتحولات في جزء واحد فقط. الاختزال ، استخدام الصيغ المختلفة في أحد الأجزاء لا يندرج تحت نظريات التكافؤ. لقد قدمت بالفعل بعض الأمثلة من هذا النوع. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأخرى.

1. مثل هذا القرار أمر طبيعي. على الجانب الأيسر من الممتلكات دالة لوغاريتميةدعنا ننتقل إلى التعبير ..gif "width =" 111 "height =" 48 ">

لحل هذا النظام ، نحصل على النتيجة (-2 و 2) ، والتي ، مع ذلك ، ليست الإجابة ، لأن الرقم -2 غير مدرج في ODZ. إذن ما الذي نحتاجه لتثبيت ODZ؟ بالطبع لا. ولكن نظرًا لأننا استخدمنا خاصية معينة للدالة اللوغاريتمية في الحل ، يجب علينا ضمان الشروط التي تحققت في ظلها. مثل هذا الشرط هو إيجابية التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم..gif "العرض =" 65 "الارتفاع =" 48 ">.

2. ..gif "width =" 143 "height =" 27 src = "> الأرقام قابلة للاستبدال بهذه الطريقة . من يريد إجراء مثل هذه الحسابات المملة؟ .gif "width =" 12 "height =" 23 src = "> أضف شرطًا ، ومن الواضح على الفور أن الرقم فقط يفي بهذا الشرط https://pandia.ru/text/ 78/083 / images / image128_0.gif "width =" 117 "height =" 27 src = ">) تم عرضه من قبل 52٪ من التجار. أحد أسباب هذا الأداء المنخفض هو حقيقة أن العديد من الخريجين لم يختاروا الجذور التي حصلوا عليها من المعادلة بعد تربيعها.

3) ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، حل إحدى المهام C1: "ابحث عن جميع قيم x التي تشير إليها نقاط الرسم البياني للدالة تقع فوق النقاط المقابلة للرسم البياني للدالة ". تنحصر المهمة في حل متباينة كسرية تحتوي على تعبير لوغاريتمي. نعرف طرق حل هذه المتباينات. وأكثرها شيوعًا هي طريقة الفترة. ومع ذلك ، عند استخدام يقوم التجار بارتكاب العديد من الأخطاء.لنأخذ في الاعتبار أكثر الأخطاء شيوعًا باستخدام مثال عدم المساواة:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. الخلاصة

بإيجاز ، يمكننا القول أنه لا توجد طريقة عالمية لحل المعادلات والمتباينات. في كل مرة ، إذا كنت تريد أن تفهم ما تفعله ، ولا تتصرف بطريقة آلية ، تظهر معضلة: ما هي طريقة القرار لاختيار ، على وجه الخصوص ، للبحث عن ODZ أم لا؟ أعتقد أن تجربتي ستساعدني في حل هذه المعضلة. سأتوقف عن ارتكاب الأخطاء بمجرد أن أتعلم كيفية استخدام ODZ بشكل صحيح. سواء نجحت ، سيحدد الوقت ، أو بالأحرى الامتحان.

9. الأدب

وغيرها .. "الجبر وبداية التحليل 10-11" مشكلة الكتاب والكتاب المدرسي ، م: "التنوير" ، 2002. "كتيب الرياضيات الابتدائية". م: "نوكا" ، 1966. جريدة "الرياضيات" العدد 46 ، جريدة "الرياضيات" رقم جريدة "الرياضيات" رقم "تاريخ الرياضيات في المدرسة الصف السابع والثامن". م: "التنوير" ، 1982. وآخرون "الإصدار الأكثر اكتمالا من الخيارات للمهام الحقيقية للاستخدام: 2009 / FIPI" - M: "Astrel" ، 2009. وغيرها. "USE. الرياضيات. مواد عالمية لإعداد الطلاب / FIPI "- م:" مركز الفكر "2009. وغيرها" الجبر وبداية التحليل 10-11 ". م: "Prosveshchenie" ، 2007. "ورشة عمل حول حل مشاكل الرياضيات المدرسية (ورشة عمل حول الجبر)". م: التربية 1976 "25000 درس رياضيات". م: "Prosveshchenie" ، 1993. "التحضير للأولمبياد في الرياضيات". م: "امتحان" ، 2006. "موسوعة للأطفال" الرياضيات "" المجلد 11 ، م: أفانتا + ؛ 2002. مواد المواقع www. ***** شبكة الاتصالات العالمية. *****.