أهداف الدرس

عرّف الطلاب على هذا مفهوم رياضي، كمعامل لعدد ؛
لتعليم أطفال المدارس مهارات إيجاد وحدات الأرقام ؛
توحيد المواد المدروسة من خلال أداء المهام المختلفة ؛

مهام

توحيد معرفة الأطفال بمعامل العدد ؛
مع الحل عناصر الاختبارللتحقق من كيفية تعلم الطلاب للمادة التي درسوها ؛
الاستمرار في غرس الاهتمام بدروس الرياضيات ؛
لتثقيف الطلاب في التفكير المنطقي والفضول والمثابرة.

خطة الدرس

1. المفاهيم العامةوتحديد معامل العدد.
2. المعنى الهندسيوحدة.
3. معامل عدد خواصها.
4. حل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على مقياس العدد.
5. مرجع التاريخحول مصطلح "معامل العدد".
6. مهمة لتعزيز المعرفة بالموضوع المغطى.
7. الواجب المنزلي.

مفاهيم عامة حول معامل العدد

عادة ما يسمى مقياس الرقم بالرقم نفسه ، إذا لم يكن له قيمة سالبة ، أو كان الرقم نفسه سالبًا ، ولكن بعلامة معاكسة.

أي أن مقياس العدد الحقيقي غير السالب أ هو الرقم نفسه:

ومقياس العدد الحقيقي السالب x سيكون الرقم المقابل:

في الكتابة ، سيبدو كما يلي:

لفهم أفضل ، دعنا نأخذ مثالاً. إذن ، على سبيل المثال ، مقياس العدد 3 هو 3 ، وكذلك مقياس العدد -3 هو 3.

ويترتب على ذلك أن مقياس العدد يعني القيمة المطلقة ، أي قيمته المطلقة ، ولكن دون مراعاة علامته. لتوضيح الأمر بشكل أكثر بساطة ، من الضروري تجاهل الإشارة من الرقم.

يمكن تحديد معامل الرقم ويبدو كالتالي: | 3 | ، | x | ، | a | إلخ.

لذلك ، على سبيل المثال ، يُرمز إلى مقياس العدد 3 بالرمز | 3 |.

تذكر أيضًا أن مقياس العدد ليس سالبًا أبدًا: | a | ≥ 0.

| 5 | = 5 ، | -6 | = 6 ، | -12.45 | = 12.45 وما إلى ذلك.

المعنى الهندسي للوحدة

معامل الرقم هو المسافة التي تُقاس بوحدات من الأصل إلى النقطة. هذا التعريف يوسع الوحدة مع نقطة هندسيةرؤية.

لنأخذ خط إحداثيات ونشير إلى نقطتين عليه. دع هذه النقاط تتوافق مع أرقام مثل −4 و 2.

الآن دعونا نلقي نظرة على هذه الصورة. نرى أن النقطة A المشار إليها في خط الإحداثيات تتوافق مع الرقم -4 ، وإذا نظرت عن كثب ، سترى أن هذه النقطة تقع على مسافة 4 أجزاء وحدة من النقطة المرجعية 0. ويترتب على ذلك أن طول المقطع OA يساوي أربع وحدات. في هذه الحالة ، سيكون طول المقطع OA ، أي الرقم 4 هو مقياس الرقم -4.

في هذه الحالة ، يتم الإشارة إلى معامل الرقم وكتابته على النحو التالي: | −4 | = 4.

الآن خذ ، وعلى خط الإحداثيات ، قم بالإشارة إلى النقطة B.

سوف تتوافق هذه النقطة B مع الرقم +2 ، وكما نرى ، فهي تقع على مسافة جزأين من الوحدات من الأصل. ويترتب على ذلك أن طول المقطع OB يساوي وحدتين. في هذه الحالة ، سيكون الرقم 2 هو مقياس الرقم +2.

في الكتابة سيبدو كما يلي: | +2 | = 2 أو | 2 | = 2.

والآن دعونا نلخصها. إذا أخذنا عددًا غير معروف أ و أشرنا إليه على خط الإحداثيات بالنقطة أ ، فإن المسافة في هذه الحالة من النقطة أ إلى الأصل ، أي طول المقطع OA ، هي بالضبط مقياس الرقم "أ ".

سيبدو في الكتابة كما يلي: | a | = O.A.

معامل عدد خصائصه

والآن دعونا نحاول إبراز خصائص الوحدة ، والنظر في جميع الحالات الممكنة وكتابتها باستخدام التعبيرات الحرفية:

أولاً ، مقياس العدد هو رقم غير سالب ، مما يعني أن مقياس العدد الموجب يساوي الرقم نفسه: | أ | = أ إذا كانت أ> 0 ؛

ثانيًا ، الوحدات النمطية التي تتكون من أرقام متقابلة متساوية: | a | = | –a |. أي أن هذه الخاصية تخبرنا أن الأرقام المتقابلة لها دائمًا وحدات متساوية ، أي على خط الإحداثيات ، على الرغم من وجود أرقام معاكسة ، إلا أنها على نفس المسافة من النقطة المرجعية. ويترتب على ذلك أن الوحدات النمطية لهذه الأرقام المتقابلة متساوية.

ثالثًا ، معامل الصفر يساوي صفرًا إذا كان هذا الرقم صفرًا: | 0 | = 0 إذا كانت a = 0. هنا يمكننا أن نقول على وجه اليقين أن معامل الصفر هو صفر بالتعريف ، لأنه يتوافق مع أصل خط الإحداثيات.

الخاصية الرابعة للمقياس هي أن مقياس حاصل ضرب عددين يساوي حاصل ضرب وحدات هذين العددين. الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على ما يعنيه هذا. إذا اتبعت التعريف ، فأنت وأنا نعلم أن معامل حاصل ضرب العددين a و b سيكون مساويًا لـ a b ، أو - (a b) ، إذا ، a في ≥ 0 ، أو - (a c) ، إذا ، a في أكبر من 0. سيبدو في السجلات كما يلي: | أ ب | = | أ | | ب |.

الخاصية الخامسة هي أن معامل حاصل الأعداد يساوي نسبة الوحدات النمطية لهذه الأرقام: | أ: ب | = | أ | : | ب |.

وخصائص وحدة العدد التالية:

حل المعادلات والمتباينات التي تحتوي على مقياس العدد

عند البدء في حل المشكلات التي تحتوي على وحدة من رقم ، يجب أن نتذكر أنه لحل مثل هذه المهمة ، من الضروري الكشف عن علامة الوحدة باستخدام معرفة الخصائص التي تتوافق معها هذه المشكلة.

التمرين 1

لذلك ، على سبيل المثال ، إذا كان هناك تعبير يعتمد على متغير أسفل علامة الوحدة النمطية ، فيجب توسيع الوحدة وفقًا للتعريف:

بالطبع ، عند حل المشكلات ، هناك حالات يتم فيها الكشف عن الوحدة بشكل لا لبس فيه. إذا ، على سبيل المثال ، أخذنا

، هنا نرى أن مثل هذا المقدار الموجود أسفل علامة المقياس ليس سالبًا لأي قيمتين لـ x و y.

أو ، على سبيل المثال ، خذ

، نرى أن تعبير المقياس هذا ليس موجبًا لأي من قيم z.

المهمة 2

أمامك خط إحداثيات. في هذا الخط ، من الضروري تحديد الأرقام ، التي سيكون معاملها مساويًا لـ 2.

قرار

بادئ ذي بدء ، يجب أن نرسم خط إحداثيات. أنت تعلم بالفعل أنه لهذا ، في البداية على خط مستقيم ، من الضروري اختيار الأصل والاتجاه ومقطع الوحدة. بعد ذلك ، علينا وضع نقاط من الأصل تساوي المسافة بين جزأين من الوحدات.

كما ترى ، هناك نقطتان من هذا القبيل على خط الإحداثيات ، واحدة منهما تتوافق مع الرقم -2 ، والأخرى مع الرقم 2.

معلومات تاريخية عن معامل العدد

يأتي مصطلح "مقياس" من المعامل اللاتيني الاسم ، والذي يعني كلمة "قياس" في الترجمة. المصطلح صاغه عالم الرياضيات الإنجليزي روجر كوتس. لكن تم تقديم علامة الوحدة بفضل عالم الرياضيات الألماني كارل وييرستراس. عند الكتابة ، يتم الإشارة إلى الوحدة النمطية بالرمز التالي: | |.

أسئلة لتوحيد المعرفة من المواد

في درس اليوم ، تعرفنا على مفهوم مثل مقياس الرقم ، والآن دعنا نتحقق من كيفية تعلمك لهذا الموضوع من خلال الإجابة على الأسئلة المطروحة:

1. ما اسم الرقم الذي هو عكس الرقم الموجب؟
2. ما اسم الرقم المعاكس للرقم السالب؟
3. اسم الرقم الذي هو عكس الصفر. هل يوجد مثل هذا الرقم؟
4. قم بتسمية الرقم الذي لا يمكن أن يكون وحدة الرقم.
5. تحديد معامل العدد.

الواجب المنزلي

1. قبل أن تكون لديك أرقام تحتاج إلى ترتيبها بترتيب تنازلي للوحدات. إذا أكملت المهمة بشكل صحيح ، فسوف تتعرف على اسم الشخص الذي أدخل مصطلح "وحدة نمطية" لأول مرة في الرياضيات.

2. ارسم خط إحداثيات وابحث عن المسافة من M (-5) و K (8) إلى نقطة الأصل.

المواد> الرياضيات> الرياضيات للصف السادس

سيقدم هذا الدرس مفهوم مقياس العدد الحقيقي ويقدم بعض تعريفاته الأساسية ، متبوعة بأمثلة توضح تطبيق العديد من هذه التعريفات.

موضوعات:الأعداد الحقيقية

درس:معامل العدد الحقيقي

1. تعريفات الوحدة

لنفكر في مفهوم مثل معامل العدد الحقيقي ، فلديه عدة تعريفات.

التعريف 1. المسافة من نقطة على خط إحداثي إلى الصفر تسمى معامل العدد، وهو تنسيق النقطة المعينة (الشكل 1).

مثال 1 . لاحظ أن الوحدات النمطية للأرقام المتقابلة متساوية وغير سالبة ، لأن هذه مسافة ، ولا يمكن أن تكون سالبة ، والمسافة من الأرقام المتماثلة حوالي صفر إلى الأصل متساوية.

التعريف 2. .

مثال 2. ضع في اعتبارك إحدى المهام المطروحة في المثال السابق لإثبات تكافؤ التعريفات المقدمة. كما نرى ، مع وجود رقم سالب تحت علامة الوحدة ، فإن إضافة ناقص واحد أمامه يوفر نتيجة غير سلبية ، على النحو التالي من تعريف الوحدة.

عاقبة. يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين مع إحداثيات على خط الإحداثيات على النحو التالي بغض النظر الموقف النسبينقاط (الشكل 2).

2. الخصائص الأساسية للوحدة

1. معامل أي عدد غير سالب

2. وحدة المنتج هي نتاج الوحدات

3. الوحدة النمطية خاصة - هذه وحدات خاصة

3. حل المشكلات

مثال 3. حل المعادلة.

قرار. دعنا نستخدم تعريف الوحدة الثانية: واكتب معادلتنا كنظام معادلات لـ خيارات مختلفةتوسيع الوحدة.

مثال 4. حل المعادلة.

قرار. على غرار حل المثال السابق ، حصلنا على ذلك.

مثال 5. حل المعادلة.

قرار. دعنا نحل من خلال النتيجة الطبيعية من التعريف الأول للوحدة:. دعنا نصور هذا على المحور العددي ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الجذر المطلوب سيكون على مسافة 2 من النقطة 3 (الشكل 3).

بناءً على الشكل ، نحصل على جذور المعادلة: ، لأن النقاط ذات الإحداثيات تقع على مسافة 2 من النقطة 3 ، كما هو مطلوب في المعادلة.

إجابه. .

مثال 6. حل المعادلة.

قرار. مقارنة بالمشكلة السابقة ، هناك تعقيد واحد فقط - وهو عدم وجود تشابه كامل مع صياغة النتيجة الطبيعية حول المسافة بين الأرقام على محور الإحداثيات ، نظرًا لأن علامة الجمع تقع أسفل علامة الوحدة ، وليس علامة الطرح . لكن ليس من الصعب إحضاره بالشكل المطلوب ، والذي سنفعله:

دعنا نصور هذا على المحور العددي بشكل مشابه للحل السابق (الشكل 4).

جذور المعادلة .

إجابه. .

مثال 7. حل المعادلة.

قرار. هذه المعادلة أكثر تعقيدًا بقليل من السابقة ، لأن المجهول في المرتبة الثانية وبعلامة ناقص ، بالإضافة إلى ذلك ، فهي أيضًا ذات عامل عددي. لحل المشكلة الأولى ، نستخدم إحدى خصائص الوحدة ونحصل على:

لحل المسألة الثانية ، سنجري تغييرًا في المتغيرات: وهو ما سيقودنا إلى أبسط معادلة. حسب التعريف الثاني للوحدة . نستبدل هذه الجذور في معادلة الاستبدال ونحصل على معادلتين خطيتين:

إجابه. .

4. الجذر التربيعي والمعامل

في كثير من الأحيان ، أثناء حل المشاكل مع الجذور ، تظهر الوحدات النمطية ، ويجب على المرء الانتباه إلى المواقف التي تنشأ فيها.

للوهلة الأولى على هذه الهوية ، قد تثار أسئلة: "لماذا الوحدة هناك؟" و "لماذا الهوية مزيفة؟". اتضح أنه يمكن للمرء أن يعطي مثالًا مضادًا بسيطًا للسؤال الثاني: إذا كان يجب أن يكون ذلك صحيحًا ، وهو ما يعادله ، وهذه ليست هوية.

بعد ذلك ، قد يظهر السؤال: "هل تحل هذه الهوية المشكلة" ، ولكن هناك أيضًا مثال مضاد لهذا الاقتراح. إذا كان يجب أن يكون ذلك صحيحًا ، فما هو المكافئ ، وهذه هوية خاطئة.

تبعا لذلك ، إذا تذكرنا ذلك الجذر التربيعيمن رقم غير سالب هو رقم غير سالب ، وقيمة المعامل غير سالب ، يصبح من الواضح سبب صحة العبارة أعلاه:

.

مثال 8. احسب قيمة التعبير.

قرار. في مثل هذه المهام ، من المهم عدم التخلص من الجذر على الفور بدون تفكير ، ولكن استخدام الهوية المذكورة أعلاه ، منذ ذلك الحين.

كرقم خاص ليس له علامة.

أمثلة على كتابة الأرقام: + 36 ، 6 ؛ - 273 ؛ 142. (\ displaystyle +36 (،) 6؛ (-) 273؛ 142.) الرقم الأخيرليس له أي علامة وبالتالي فهو إيجابي.

لاحظ أن علامة الجمع والطرح تشير إلى علامة الأرقام ، ولكن ليس للمتغيرات الحرفية أو التعبيرات الجبرية. على سبيل المثال ، في الصيغ −t ؛ أ + ب - (a 2 + b 2) (displaystyle -t؛ a + b؛ - (a ^ (2) + b ^ (2)))لا تحدد رمزا زائد وناقص علامة التعبير الذي يسبقانه ، ولكن الإشارة عملية حسابية، بحيث يمكن أن تكون علامة النتيجة أي شيء ، يتم تحديدها فقط بعد تقييم التعبير.

بالإضافة إلى الحساب ، يتم استخدام مفهوم العلامة في فروع الرياضيات الأخرى ، بما في ذلك الكائنات الرياضية غير الرقمية (انظر أدناه). يعتبر مفهوم العلامة مهمًا أيضًا في تلك الفروع من الفيزياء حيث يتم تقسيم الكميات المادية إلى فئتين ، تسمى شرطيًا موجبة وسلبية - على سبيل المثال ، الشحنات الكهربائية ، وردود الفعل الإيجابية والسلبية ، وقوى الجذب والتنافر المختلفة.

علامة رقم

الأعداد الموجبة والسالبة

لم يتم تعيين أي علامة الصفر ، وهذا هو + 0 (displaystyle +0)و - 0 (displaystyle -0)هو نفس الرقم في الحساب. في التحليل الرياضي ، معنى الرموز + 0 (displaystyle +0)و - 0 (displaystyle -0)قد تختلف ، انظر حولها صفر سلبي وإيجابي ؛ في علوم الكمبيوتر ، قد يختلف ترميز الكمبيوتر لصفرين (نوع صحيح) ، انظر التعليمات البرمجية المباشرة.

فيما يتعلق بما ورد أعلاه ، تم تقديم بعض المصطلحات المفيدة:

• رقم غير سلبيإذا كانت أكبر من أو تساوي الصفر.
• رقم غير إيجابيإذا كانت أقل من أو تساوي الصفر.
• الأعداد الموجبة بدون صفر و أرقام سالبةبدون صفر تسمى أحيانًا (للتأكيد على أنها ليست صفرية) "موجبة تمامًا" و "سلبية تمامًا" على التوالي.

تستخدم المصطلحات نفسها أحيانًا لوظائف حقيقية. على سبيل المثال ، تسمى الوظيفة إيجابيإذا كانت كل قيمه موجبة ، غير سلبي، إذا كانت جميع قيمها غير سالبة ، وما إلى ذلك ، فهي تقول أيضًا أن الوظيفة موجبة / سالبة في فترة زمنية معينة من تعريفها ..

للحصول على مثال لاستخدام الدالة ، راجع المقالة الجذر التربيعي # الأرقام المركبة.

معامل (القيمة المطلقة) لعدد

إذا كان الرقم س (displaystyle x)إسقاط العلامة ، يتم استدعاء القيمة الناتجة وحدةأو قيمه مطلقهأعداد س (displaystyle x)، يشار إليه | x | . (displaystyle | x |.)أمثلة: | 3 | = 3 ؛ | - 3 | = 3. (displaystyle | 3 | = 3 ؛ | (-3) | = 3.)

لأية أرقام حقيقية أ ، ب (displaystyle a ، b)الخصائص التالية تحمل.

علامة الأشياء غير الرقمية

علامة الزاوية

تعتبر قيمة الزاوية على المستوى موجبة إذا تم قياسها عكس اتجاه عقارب الساعة ، وإلا فإنها تكون سالبة. تم تصنيف حالتين من حالات التناوب بالمثل:

• الدوران على مستوى - على سبيل المثال ، يكون الدوران بمقدار (-90 درجة) في اتجاه عقارب الساعة ؛
• يعتبر الدوران في الفضاء حول محور موجه ، كقاعدة عامة ، موجبًا إذا تم استيفاء "قاعدة gimlet" ، وإلا فإنه يعتبر سالبًا.

علامة الاتجاه

في الهندسة التحليلية والفيزياء ، غالبًا ما يتم تقسيم التقدم على طول خط مستقيم أو منحنى معين بشكل مشروط إلى موجب وسالب. قد يعتمد هذا التقسيم على صياغة المشكلة أو على نظام الإحداثيات المختار. على سبيل المثال ، عند حساب طول قوس منحنى ، غالبًا ما يكون من المناسب تعيين علامة ناقص لهذا الطول في أحد الاتجاهين المحتملين.

تسجيل الدخول إلى الحوسبة

البت الأكثر أهمية
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
لتمثيل علامة عدد صحيح ، تستخدم معظم أجهزة الكمبيوتر

اليوم ، أيها الأصدقاء ، لن يكون هناك مخاط ومشاعر. بدلاً من ذلك ، سوف أرسلك إلى معركة مع أحد أقوى المعارضين في دورة الجبر للصفين الثامن والتاسع دون مزيد من الأسئلة.

نعم ، لقد فهمت كل شيء بشكل صحيح: نحن نتحدث عن عدم المساواة بمعامل. سننظر في أربع تقنيات أساسية ستتعلم من خلالها حل حوالي 90٪ من هذه المشكلات. ماذا عن الـ 10٪ الباقية؟ حسنًا ، سنتحدث عنها في درس منفصل. :)

ومع ذلك ، قبل تحليل أي حيل هناك ، أود أن أذكر حقيقتين تحتاج إلى معرفتهما بالفعل. وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم مادة درس اليوم على الإطلاق.

ما تحتاج إلى معرفته بالفعل

كابتن إيفيدنس ، كما كان ، يلمح إلى أنه من أجل حل التفاوتات باستخدام المعامل ، عليك أن تعرف شيئين:

1. كيف يتم حل التفاوتات؟
2. ما هي الوحدة.

لنبدأ بالنقطة الثانية.

تعريف الوحدة

كل شيء بسيط هنا. هناك تعريفان: جبري ورسمي. لنبدأ بالجبر:

تعريف. الوحدة النمطية للرقم $ x $ هي إما الرقم نفسه ، إذا كان غير سالب ، أو الرقم المقابل له ، إذا كان $ x $ الأصلي لا يزال سالبًا.

إنه مكتوب على هذا النحو:

\ [\ اليسار | x \ right | = \ left \ (\ start (align) & x، \ x \ ge 0، \\ & -x، \ x \ lt 0. \\\ end (align) \ right. \]

تتحدث لغة بسيطة، المعامل هو "رقم بدون سالب". وفي هذه الازدواجية (في مكان ما لا تحتاج إلى فعل أي شيء بالرقم الأصلي ، ولكن في مكان ما عليك إزالة بعض ناقص هناك) وتكمن كل الصعوبة التي يواجهها الطلاب المبتدئين.

هل هناك المزيد التعريف الهندسي. من المفيد أيضًا معرفة ذلك ، لكننا سنشير إليه فقط في الحالات المعقدة وبعض الحالات الخاصة ، حيث يكون النهج الهندسي أكثر ملاءمة من الأسلوب الجبري (المفسد: ليس اليوم).

تعريف. دع النقطة $ a $ يتم تمييزها على السطر الحقيقي. ثم الوحدة $ \ left | x-a \ right | $ هي المسافة من النقطة $ x $ إلى النقطة $ a $ على هذا الخط.

إذا قمت برسم صورة ، تحصل على شيء مثل هذا:

تعريف الرسموحدة

بطريقة أو بأخرى ، تتبع خاصيتها الرئيسية مباشرة من تعريف الوحدة: دائمًا ما يكون معامل العدد قيمة غير سالبة. ستكون هذه الحقيقة بمثابة خيط أحمر يمر عبر قصتنا بأكملها اليوم.

حل عدم المساواة. طريقة التباعد

الآن دعونا نتعامل مع المتباينات. يوجد عدد كبير منهم ، لكن مهمتنا الآن هي أن نكون قادرين على حل أبسطها على الأقل. أولئك الذين ينزلون إلى المتباينات الخطية، وكذلك طريقة الفترات.

لديّ برنامجان تعليميان كبيران حول هذا الموضوع (بالمناسبة ، مفيد جدًا جدًا - أوصي بالدراسة):

1. طريقة الفاصل لعدم المساواة(خاصة مشاهدة الفيديو) ؛
2. عدم المساواة الكسرية العقلانية- درس ضخم للغاية ، لكن بعده لن يكون لديك أي أسئلة على الإطلاق.

إذا كنت تعرف كل هذا ، إذا كانت عبارة "دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة" لا تجعلك تريد بشكل غامض قتل نفسك ضد الجدار ، فأنت جاهز: مرحبًا بك في الجحيم إلى الموضوع الرئيسي للدرس. :)

1 - عدم المساواة في شكل "وحدة أقل من وظيفة"

هذه واحدة من أكثر المهام التي تتم مواجهتها مع الوحدات النمطية. مطلوب لحل عدم المساواة من النموذج:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ ltg \]

يمكن لأي شيء أن يعمل كوظائف $ f $ و $ g $ ، لكن عادة ما تكون متعددة الحدود. أمثلة على هذه التفاوتات:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | 2x + 3 \ صحيح | \ ltx + 7 ؛ \\ & \ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 ؛ \\ & \ اليسار | ((س) ^ (2)) - 2 \ يسار | س \ حق | -3 \ حق | \ lt 2. \\\ end (محاذاة) \]

يتم حل كل منهم حرفيًا في سطر واحد وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g \ quad \ left (\ Rightarrow \ left \ (\ start (align) & f \ lt g، \\ & f \ gt -g \\\ end (محاذاة) \صحيح صحيح)\]

من السهل أن نرى أننا نتخلص من الوحدة النمطية ، لكن بدلاً من ذلك نحصل على متباينة مزدوجة (أو ، وهو نفس الشيء ، نظام من متباينتين). لكن هذا الانتقال يأخذ في الاعتبار جميع المشكلات المحتملة تمامًا: إذا كان الرقم الموجود تحت الوحدة موجبًا ، فإن الطريقة تعمل ؛ إذا كانت سلبية ، فإنها لا تزال تعمل ؛ وحتى مع وجود أكثر وظيفة غير ملائمة بدلاً من $ f $ أو $ g $ ، فإن الطريقة ستظل تعمل.

بطبيعة الحال ، السؤال الذي يطرح نفسه: أليس هذا أسهل؟ لسوء الحظ ، لا يمكنك ذلك. هذا هو بيت القصيد من الوحدة.

لكن يكفي من التفلسف. لنحل مشكلتين:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 2x + 3 \ صحيح | \ ltx + 7 \]

قرار. لذلك ، لدينا متباينة كلاسيكية على شكل "الوحدة النمطية أقل من" - حتى أنه لا يوجد شيء يمكن تحويله. نعمل وفق الخوارزمية:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & \ يسار | و \ الحق | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g ؛ \\ & \ اليسار | 2x + 3 \ صحيح | \ lt x + 7 \ Rightarrow - \ left (x + 7 \ right) \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \\\ end (align) \]

لا تتسرع في فتح الأقواس التي يسبقها "ناقص": فمن المحتمل تمامًا أنك سترتكب خطأً مهينًا بسبب التسرع.

\ [- x-7 \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -x-7 \ lt 2x + 3 \\ & 2x + 3 \ lt x + 7 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & -3x \ lt 10 \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار \ (\ start (محاذاة) & x \ gt - \ frac (10) (3) \\ & x \ lt 4 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

تم تقليل المشكلة إلى اثنين من التفاوتات الأولية. نلاحظ حلولهم على خطوط حقيقية متوازية:

تقاطع كثير

سيكون تقاطع هذه المجموعات هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ frac (10) (3)؛ 4 \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 \]

قرار. هذه المهمة أصعب قليلاً. بادئ ذي بدء ، نقوم بعزل الوحدة عن طريق تحريك المصطلح الثاني إلى اليمين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

من الواضح ، لدينا مرة أخرى عدم مساواة في شكل "الوحدة النمطية أقل" ، لذلك نتخلص من الوحدة وفقًا للخوارزمية المعروفة بالفعل:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \ يمين) \ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \]

الانتباه الآن: سيقول شخص ما إنني منحرف قليلاً مع كل هذه الأقواس. لكني أذكرك مرة أخرى أن هدفنا الرئيسي هو حل المتباينة بشكل صحيح والحصول على الإجابة. في وقت لاحق ، عندما تتقن كل ما هو موصوف في هذا الدرس تمامًا ، يمكنك أن تفسد نفسك كما تريد: فتح الأقواس ، وإضافة السلبيات ، وما إلى ذلك.

بالنسبة للمبتدئين ، نتخلص فقط من علامة الطرح المزدوجة الموجودة على اليسار:

\ [- \ يسار (-3 \ يسار (x + 1 \ يمين) \ يمين) = \ يسار (-1 \ يمين) \ cdot \ يسار (-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (x + 1 \ يمين) = 3 \ يسار (س + 1 \ يمين) \]

لنفتح الآن كل الأقواس في المتباينة المزدوجة:

دعنا ننتقل إلى مضاعفة عدم المساواة. هذه المرة ستكون الحسابات أكثر جدية:

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3x-3 \\ & 3x + 3 \ lt ((x) ^ (2)) + 2x -3 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 5x \ lt 0 \\ & ((x) ^ (2)) - x-6 \ gt 0 \\ \ end ( محاذاة اليمين.\]

كلا المتباينات مربعة ويتم حلها بطريقة الفاصل (لهذا السبب أقول: إذا كنت لا تعرف ما هي ، فمن الأفضل عدم استخدام الوحدات بعد). نمرر إلى المعادلة في المتباينة الأولى:

\ [\ start (محاذاة) & ((x) ^ (2)) + 5x = 0 ؛ \\ & x \ يسار (x + 5 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 0 ؛ ((x) _ (2)) = - 5. \\\ end (محاذاة) \]

كما ترى ، تبين أن الإخراج غير مكتمل. معادلة من الدرجة الثانية، والذي تم حله أوليًا. لنتعامل الآن مع المتباينة الثانية للنظام. هناك يجب عليك تطبيق نظرية فييتا:

\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) - x-6 = 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ يسار (x + 2 \ يمين) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - 2. \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالأرقام التي تم الحصول عليها على خطين متوازيين (منفصلان عن المتباينة الأولى ومنفصلان عن الثاني):

مرة أخرى ، نظرًا لأننا نقوم بحل نظام من المتباينات ، فنحن مهتمون بتقاطع المجموعات المظللة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $. هذا هو الجواب.

الإجابة: $ x \ in \ left (-5؛ -2 \ right) $

أعتقد بعد هذه الأمثلة أن مخطط الحل واضح للغاية:

1. افصل الوحدة عن طريق تحريك كل الحدود الأخرى إلى الجانب الآخر من المتباينة. وهكذا نحصل على متباينة بالصيغة $ \ left | و \ الحق | \ ltg $.
2. قم بحل هذا التفاوت بالتخلص من الوحدة النمطية كما هو موضح أعلاه. في مرحلة ما ، سيكون من الضروري الانتقال من نظام متباينة مزدوجة إلى نظام من تعبيرين مستقلين ، يمكن حل كل منهما على حدة.
3. أخيرًا ، يبقى فقط عبور حلول هذين المقدارين المستقلين - وهذا كل شيء ، سنحصل على الإجابة النهائية.

توجد خوارزمية مماثلة أيضًا لعدم المساواة من النوع التالي ، عندما يكون المعامل أكبر من الوظيفة. ومع ذلك ، هناك نوعان من "تحفظات" خطيرة. سنتحدث عن هذه "تحفظات" الآن.

2. عدم المساواة من نموذج "الوحدة أكبر من الوظيفة"

تبدو مثل هذا:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \]

على غرار السابق؟ يبدو انه. ومع ذلك ، يتم حل هذه المهام بطريقة مختلفة تمامًا. رسمياً ، المخطط على النحو التالي:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt g \ Rightarrow \ left [\ start (align) & f \ gt g، \\ & f \ lt -g \\\ end (align) \ right. \]

بمعنى آخر ، نعتبر حالتين:

1. أولاً ، نتجاهل الوحدة النمطية ببساطة - فنحن نحل مشكلة عدم المساواة المعتادة ؛
2. بعد ذلك ، في الواقع ، نفتح الوحدة بعلامة الطرح ، ثم نضرب كلا جزئي المتباينة في 1 بإشارة.

في هذه الحالة ، يتم الجمع بين الخيارات وقوس مربع ، أي لدينا مزيج من متطلبين.

انتبه مرة أخرى: أمامنا ليس نظامًا ، ولكنه إجمالي ، لذلك في الإجابة ، يتم الجمع بين المجموعات ، وليست متقاطعة. هذا اختلاف جوهري عن الفقرة السابقة!

بشكل عام ، كثير من الطلاب لديهم الكثير من الالتباس مع النقابات والتقاطعات ، لذلك دعونا ننظر في هذه المشكلة مرة واحدة وإلى الأبد:

• "∪" هي علامة تسلسل. في الواقع ، هذا هو الحرف "U" الذي جاء إلينا من باللغة الإنجليزيةوهو اختصار لكلمة "Union" ، أي "ذات الصلة".
• "∩" هي علامة التقاطع. لم تأت هذه الهراء من أي مكان ، لكنها ظهرت فقط كمعارضة لـ "∪".

لتسهيل التذكر ، ما عليك سوى إضافة أرجل إلى هذه العلامات لصنع النظارات (فقط لا تتهمني بالترويج لإدمان المخدرات وإدمان الكحول الآن: إذا كنت تدرس هذا الدرس بجدية ، فأنت بالفعل مدمن مخدرات):

الفرق بين التقاطع واتحاد المجموعات

ترجم إلى الروسية ، وهذا يعني ما يلي: الاتحاد (المجموعة) يشمل عناصر من كلتا المجموعتين ، وبالتالي ، ما لا يقل عن كل منهما ؛ لكن التقاطع (النظام) يشمل فقط تلك العناصر الموجودة في المجموعة الأولى والثانية. لذلك ، فإن تقاطع المجموعات لا يكون أبدًا أكبر من مجموعات المصدر.

لذلك أصبح الأمر أكثر وضوحا؟ هذا عظيم. دعنا ننتقل إلى الممارسة.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ يمين | \ gt 5-4x \]

قرار. نحن نتصرف وفقًا للمخطط:

\ [\ اليسار | 3x + 1 \ يمين | \ gt 5-4x \ Rightarrow \ left [\ start (align) & 3x + 1 \ gt 5-4x \\ & 3x + 1 \ lt - \ left (5-4x \ right) \\\ end (align) \ حق.\]

نحن نحل كل عدم المساواة السكانية:

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 3x + 4x \ gt 5-1 \\ & 3x-4x \ lt -5-1 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

\ [\ يسار [\ start (محاذاة) & 7x \ gt 4 \\ & -x \ lt -6 \\ \ end (align) \ right. \]

\ [\ يسار [\ ابدأ (محاذاة) & x \ gt 4/7 \ \\ & x \ gt 6 \\ \ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحتفل بكل مجموعة ناتجة على خط الأعداد ، ثم نجمعها:

اتحاد المجموعات

من الواضح أن الإجابة هي $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

الإجابة: $ x \ in \ left (\ frac (4) (7)؛ + \ infty \ right) $

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gtx \]

قرار. نحن سوف؟ لا ، كل شيء متشابه. ننتقل من متباينة بمقياس إلى مجموعة من متراجعتين:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gt x \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x \\ & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x \\\ end (محاذاة) \ يمين. \]

نحل كل متباينة. لسوء الحظ ، لن تكون الجذور جيدة جدًا هناك:

\ [\ start (محاذاة) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x ؛ \\ & ((x) ^ (2)) + x-3 \ gt 0 ؛ \\ & D = 1 + 12 = 13 ؛ \\ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

في عدم المساواة الثانية ، هناك أيضًا القليل من اللعبة:

\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x؛ \\ & ((x) ^ (2)) + 3x-3 \ lt 0 ؛ \\ & D = 9 + 12 = 21 ؛ \\ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\\ end (محاذاة) \]

الآن علينا تعليم هذه الأعداد على محورين - محور واحد لكل متباينة. ومع ذلك ، يجب وضع علامة على النقاط النظام الصحيح: كيف رقم أكثر، كلما زاد تحويل النقطة إلى اليمين.

وهنا ننتظر الإعداد. إذا كان كل شيء واضحًا بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (21)) (2) \ lt \ frac (-1- \ sqrt (13)) (2) $ (الشروط الموجودة في بسط الأول الكسر أقل من الحدود الموجودة في بسط الثاني ، لذا فإن المجموع أصغر أيضًا) ، بالأرقام $ \ frac (-3- \ sqrt (13)) (2) \ lt \ frac (-1+ \ sqrt (21)) (2) $ لن تكون هناك أيضًا صعوبة (رقم موجب من الواضح أنه أكثر سلبية) ، ولكن مع الزوجين الأخيرين ، كل شيء ليس بهذه البساطة. أيهما أكبر: $ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) $ أو $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) $؟ يعتمد ترتيب النقاط على خطوط الأعداد ، وفي الواقع ، الإجابة على إجابة هذا السؤال.

لذلك دعونا نقارن:

\ [\ start (matrix) \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ vee \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \\ -1+ \ sqrt (13) \ vee -3+ \ sqrt (21) \\ 2+ \ sqrt (13) \ vee \ sqrt (21) \\\ end (matrix) \]

لقد عزلنا الجذر ، وحصلنا على أعداد غير سالبة على طرفي المتباينة ، لذلك لدينا الحق في تربيع كلا الطرفين:

\ [\ start (matrix) ((\ left (2+ \ sqrt (13) \ right)) ^ (2)) \ vee ((\ left (\ sqrt (21) \ right)) ^ (2)) \ \ 4 + 4 \ الجذر التربيعي (13) +13 \ vee 21 \\ 4 \ sqrt (13) \ vee 3 \\\ end (matrix) \]

أعتقد أنه من غير المنطقي أن تكون $ 4 \ sqrt (13) \ gt 3 $ ، لذا $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ gt \ frac (-3+ \ sqrt (21)) ( 2) $ ، أخيرًا سيتم ترتيب النقاط على المحاور على النحو التالي:

حالة الجذور القبيحة

دعني أذكرك بأننا نحل مجموعة ، لذا فإن الإجابة ستكون الاتحاد ، وليس تقاطع المجموعات المظللة.

الإجابة: $ x \ in \ left (- \ infty؛ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \ right) \ bigcup \ left (\ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2 )؛ + \ infty \ right) $

كما ترون ، مخططنا يعمل بشكل رائع لكليهما مهام بسيطة، وللأشياء الجامدة جدًا. "نقطة الضعف" الوحيدة في هذا النهج هي أنك بحاجة إلى مقارنة الأرقام غير المنطقية بشكل صحيح (وصدقوني: هذه ليست مجرد جذور). لكن سيتم تخصيص درس منفصل (وخطير للغاية) لأسئلة المقارنة. ونمضي قدما.

3. عدم المساواة مع "ذيول" غير سلبية

لذلك وصلنا إلى الأكثر إثارة للاهتمام. هذه هي عدم المساواة في الشكل:

\ [\ اليسار | و \ الحق | \ gt \ اليسار | ز \ الحق | \]

بشكل عام ، الخوارزمية التي سنتحدث عنها الآن صحيحة فقط للوحدة. إنه يعمل في جميع حالات عدم المساواة حيث توجد تعبيرات غير سلبية مضمونة على اليسار واليمين:

ماذا تفعل بهذه المهام؟ تذكر فقط:

في المتباينات ذات ذيول غير السالبة ، يمكن رفع كلا الطرفين إلى أي طرف درجة طبيعية. لن تكون هناك قيود إضافية.

بادئ ذي بدء ، سنكون مهتمين بالتربيع - فهو يحرق الوحدات والجذور:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | f \ right | \ right)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (\ sqrt (f) \ right)) ^ (2)) = f. \\\ end (محاذاة) \]

فقط لا تخلط بين هذا وبين أخذ جذر المربع:

\ [\ sqrt (((f) ^ (2))) = \ يسار | f \ الحق | \ ne f \]

تم ارتكاب أخطاء لا حصر لها عندما نسي الطالب تثبيت وحدة! لكن هذه قصة مختلفة تمامًا (مثل معادلات غير منطقية) ، لذلك لن ندخل في ذلك الآن. دعنا نحل مشكلتين بشكل أفضل:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ يمين | \ جي \ يسار | 1-2x \ صحيح | \]

قرار. نلاحظ على الفور شيئين:

1. هذه عدم مساواة غير صارمة. سيتم وضع النقاط على خط الأعداد.
2. من الواضح أن كلا جانبي عدم المساواة غير سالبين (هذه خاصية للوحدة: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).

إذن ، يمكننا تربيع طرفي المتباينة للتخلص من المقياس وحل المسألة باستخدام طريقة الفترة المعتادة:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | x + 2 \ right | \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (\ left | 1-2x \ right | \ right) ) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]

في الخطوة الأخيرة ، خدعت قليلاً: لقد غيرت تسلسل المصطلحات باستخدام التكافؤ في المقياس (في الواقع ، لقد ضربت التعبير $ 1-2x $ في 1).

\ [\ start (align) & ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (\ يسار (2x-1 \ يمين) - \ يسار (x + 2 \ يمين) \ يمين) \ cdot \ يسار (\ يسار (2x-1 \ يمين) + \ يسار (x + 2 \ يمين) \ يمين) \ جنيه 0 ؛ \\ & \ يسار (2x-1-x-2 \ يمين) \ cdot \ يسار (2x-1 + x + 2 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (x-3 \ يمين) \ cdot \ يسار (3x + 1 \ يمين) \ le 0. \\\ end (محاذاة) \]

نحل بطريقة الفاصل. دعنا ننتقل من عدم المساواة إلى المعادلة:

\ [\ start (align) & \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) = 0 ؛ \\ & ((x) _ (1)) = 3 ؛ ((x) _ (2)) = - \ frac (1) (3). \\\ end (محاذاة) \]

نحتفل بالجذور التي تم العثور عليها على خط الأعداد. مرة أخرى: كل النقاط مظللة لأن المتباينة الأصلية ليست صارمة!

التخلص من علامة الوحدة

دعني أذكرك بالعناد بشكل خاص: نأخذ الإشارات من آخر متباينة ، والتي تم تدوينها قبل الانتقال إلى المعادلة. ونرسم المساحات المطلوبة في نفس المتباينة. في حالتنا ، هذا هو $ \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) \ le 0 $.

هذا هو. تم حل المشكلة.

الإجابة: $ x \ in \ left [- \ frac (1) (3)؛ 3 \ right] $.

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ le \ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \]

قرار. نحن نفعل كل شيء بنفس الطريقة. لن أعلق - فقط انظر إلى تسلسل الإجراءات.

دعونا نربيعها:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \ right)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) ؛ \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ يمين)) ^ (2)) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (((x) ^ (2)) + x + 1 - ((x) ^ (2)) - 3x-4 \ right) \ times \\ & \ times \ left (((x) ^ (2)) + x + 1 + ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right) \ le 0 ؛ \\ & \ يسار (-2x-3 \ يمين) \ يسار (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) \ le 0. \\\ end (محاذاة) \]

طريقة التباعد:

\ [\ start (align) & \ left (-2x-3 \ right) \ left (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) = 0 \\ & -2x-3 = 0 \ السهم الأيمن س = -1.5 ؛ \\ & 2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 = 0 \ Rightarrow D = 16-40 \ lt 0 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

يوجد جذر واحد فقط على خط الأعداد:

الجواب هو مجموعة كاملة

الإجابة: $ x \ in \ left [-1.5؛ + \ infty \ right) $.

ملاحظة صغيرة حول المهمة الأخيرة. كما لاحظ أحد طلابي بدقة ، كلا التعبيرين الفرعيين في عدم المساواة هذا إيجابيان بشكل واضح ، لذلك يمكن حذف علامة المعامل دون الإضرار بالصحة.

لكن هذا بالفعل مستوى مختلف تمامًا من التفكير ونهج مختلف - يمكن تسميته بطريقة مشروطة بطريقة العواقب. عنه - في درس منفصل. والآن دعنا ننتقل إلى الجزء الأخير من درس اليوم ونفكر فيه خوارزمية عالميةالذي يعمل دائما. حتى عندما كانت جميع الأساليب السابقة عاجزة. :)

4. طريقة تعداد الخيارات

ماذا لو لم تنجح كل هذه الحيل؟ إذا لم تختزل عدم المساواة إلى ذيول غير سلبية ، إذا كان من المستحيل عزل الوحدة ، إذا كان هناك ألم - حزن - شوق؟

ثم تدخل "المدفعية الثقيلة" لجميع الرياضيات في المشهد - طريقة العد. فيما يتعلق بعدم المساواة في المقياس ، يبدو كالتالي:

1. اكتب كل تعبيرات الوحدة الفرعية ومساواتها بالصفر ؛
2. حل المعادلات الناتجة وحدد الجذور الموجودة على خط رقم واحد ؛
3. سيتم تقسيم الخط المستقيم إلى عدة أقسام ، كل وحدة بها علامة ثابتة وبالتالي يتم توسيعها بشكل لا لبس فيه ؛
4. حل المتباينة في كل قسم (يمكنك النظر بشكل منفصل في الجذور الحدودية التي تم الحصول عليها في الفقرة 2 - من أجل الموثوقية). اجمع النتائج - ستكون هذه هي الإجابة. :)

حسنا كيف؟ ضعيف؟ بسهولة! فقط لفترة طويلة. دعونا نرى في الممارسة:

مهمة. حل المتباينة:

\ [\ اليسار | س + 2 \ حق | \ lt \ اليسار | x-1 \ right | + x- \ frac (3) (2) \]

قرار. هذا الهراء لا يتلخص في عدم المساواة مثل $ \ left | و \ الحق | \ lt g $، $ \ left | و \ الحق | \ gt g $ أو $ \ left | و \ الحق | \ lt \ اليسار | g \ right | $ ، فلنبدأ.

نكتب تعبيرات الوحدة الفرعية ، ونساويها بالصفر ونجد الجذور:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 = 0 \ Rightarrow x = -2؛ \\ & x-1 = 0 \ Rightarrow x = 1. \\\ end (محاذاة) \]

إجمالاً ، لدينا جذرين يقسمان خط الأعداد إلى ثلاثة أقسام ، يتم الكشف بداخلهما عن كل وحدة بشكل فريد:

تقسيم خط الأعداد على أصفار الوظائف شبه المعيارية

دعونا ننظر في كل قسم على حدة.

1. دع $ x \ lt -2 $. ثم يكون كلا التعبيرين في الوحدة الفرعية سالبين ، ويتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\ [\ ابدأ (محاذاة) & - \ يسار (x + 2 \ يمين) \ lt - \ يسار (x-1 \ يمين) + x-1،5 \\ & -x-2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ gt 1.5 \\\ end (محاذاة) \]

لدينا قيد بسيط إلى حد ما. دعنا نتقاطع مع الافتراض الأصلي بأن $ x \ lt -2 $:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ lt -2 \\ & x \ gt 1،5 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

من الواضح أن المتغير $ x $ لا يمكن أن يكون أقل من 2 ولكن أكبر من 1.5 في نفس الوقت. لا توجد حلول في هذا المجال.

1.1 لنفكر بشكل منفصل في حالة الحدود: $ x = -2 $. دعنا فقط نعوض بهذا الرقم في المتباينة الأصلية ونفحص: هل هو صحيح؟

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = -2) ) \\ & 0 \ lt \ يسار | -3 \ حق | -2-1.5 ؛ \\ & 0 \ lt 3-3.5 ؛ \\ & 0 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

من الواضح أن سلسلة الحسابات قادتنا إلى عدم المساواة الخاطئة. لذلك ، فإن المتباينة الأصلية خاطئة أيضًا ، ولا يتم تضمين $ x = -2 $ في الإجابة.

2. الآن دعنا $ -2 \ lt x \ lt 1 $. سيتم فتح الوحدة اليسرى بالفعل بعلامة "علامة الجمع" ، بينما تظل الوحدة اليمنى بعلامة "ناقص". نملك:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt - \ left (x-1 \ right) + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt -x + 1 + x-1.5 \\ & x \ lt - 2.5 \\\ end (محاذاة) \]

مرة أخرى نتقاطع مع المطلب الأصلي:

\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ lt -2،5 \\ & -2 \ lt x \ lt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ varnothing \]

ومرة أخرى ، مجموعة الحلول الفارغة ، نظرًا لعدم وجود أرقام أصغر من 2.5 وأكبر من 2.

2.1. ومره اخرى حالة خاصة: x دولار = 1 دولار. نعوض في المتباينة الأصلية:

\ [\ start (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1،5 \ right |) _ (x = 1)) \\ & \ اليسار | 3 \ الحق | \ lt \ اليسار | 0 \ يمين | + 1-1.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0.5 ؛ \\ & 3 \ lt -0،5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (محاذاة) \]

على غرار "الحالة الخاصة" السابقة ، من الواضح أن الرقم $ x = 1 $ لم يتم تضمينه في الإجابة.

3. آخر قطعة من السطر: $ x \ gt 1 $. هنا يتم توسيع جميع الوحدات بعلامة زائد:

\ [\ start (محاذاة) & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x \ gt 4.5 \\ \ end (محاذاة) \ ]

ومرة أخرى نتقاطع مع المجموعة التي تم العثور عليها مع القيد الأصلي:

\ [\ left \ (\ start (align) & x \ gt 4،5 \\ & x \ gt 1 \\\ end (align) \ right. \ rightarrow x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \حق)\]

أخيراً! لقد أوجدنا الفترة الزمنية التي ستكون الإجابة.

الإجابة: $ x \ in \ left (4،5؛ + \ infty \ right) $

أخيرًا ، ملاحظة واحدة قد تنقذك من الأخطاء الغبية عند حل المشكلات الحقيقية:

عادةً ما تكون حلول المتباينات ذات الوحدات النمطية عبارة عن مجموعات متصلة على خط الأعداد - فواصل زمنية ومقاطع. النقاط المعزولة أكثر ندرة. ونادرًا ما يحدث أن تتطابق حدود الحل (نهاية المقطع) مع حدود النطاق قيد الدراسة.

وبالتالي ، إذا لم يتم تضمين الحدود (تلك "الحالات الخاصة" نفسها) في الإجابة ، فمن شبه المؤكد أنه لن يتم تضمين المناطق الموجودة على اليسار واليمين من هذه الحدود في الإجابة أيضًا. والعكس صحيح: دخلت الحدود ردا ، مما يعني أن بعض المناطق المحيطة بها ستكون أيضا ردود.

ضع ذلك في الاعتبار عند التحقق من الحلول الخاصة بك.