عادة ما يسبب إنشاء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على وحدات صعوبات كبيرة لأطفال المدارس. ومع ذلك ، كل شيء ليس بهذا السوء. يكفي تذكر العديد من الخوارزميات لحل مثل هذه المشكلات ، ويمكنك بسهولة رسم حتى أكثر الوظائف التي تبدو معقدة. دعونا نرى ما هي هذه الخوارزميات.

1. رسم الدالة y = | f (x) |

لاحظ أن مجموعة قيم الدالة y = | f (x) | : y ≥ 0. وهكذا ، فإن الرسوم البيانية لهذه الوظائف موجودة دائمًا بالكامل في نصف المستوى العلوي.

رسم الدالة y = | f (x) | يتكون من الخطوات الأربع البسيطة التالية.

1) أنشئ مخطط الدالة y = f (x) بعناية وعناية.

2) اترك دون تغيير جميع نقاط الرسم البياني الموجودة أعلى أو على المحور 0x.

3) يعرض جزء الرسم البياني الذي يقع أسفل المحور 0x بشكل متماثل حول المحور 0x.

مثال 1. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = | x 2 - 4x + 3 |

1) نقوم ببناء رسم بياني للدالة y \ u003d x 2 - 4x + 3. من الواضح أن الرسم البياني لهذه الوظيفة هو قطع مكافئ. لنجد إحداثيات جميع نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محاور الإحداثيات وإحداثيات رأس القطع المكافئ.

س 2 - 4 س + 3 = 0.

س 1 = 3 ، س 2 = 1.

لذلك ، يتقاطع القطع المكافئ مع المحور 0x عند النقاط (3 ، 0) و (1 ، 0).

ص \ u003d 0 2-4 0 + 3 \ u003d 3.

لذلك ، يتقاطع القطع المكافئ مع المحور 0y عند النقطة (0 ، 3).

إحداثيات رأس القطع المكافئ:

س في \ u003d - (-4/2) \ u003d 2 ، ص في \ u003d 2 2-4 2 + 3 \ u003d -1.

وبالتالي ، فإن النقطة (2 ، -1) هي رأس هذا القطع المكافئ.

ارسم القطع المكافئ باستخدام البيانات المستلمة (رسم بياني 1)

2) يتم عرض جزء الرسم البياني الواقع أسفل المحور 0x بشكل متماثل فيما يتعلق بالمحور 0x.

3) نحصل على الرسم البياني للوظيفة الأصلية ( أرز. 2، موضحة بخط منقط).

2. رسم الدالة y = f (| x |)

لاحظ أن دوال النموذج y = f (| x |) هي زوجية:

y (-x) = f (| -x |) = f (| x |) = y (x). هذا يعني أن الرسوم البيانية لمثل هذه الوظائف متناظرة حول المحور 0y.

يتكون رسم الوظيفة y = f (| x |) من سلسلة الإجراءات البسيطة التالية.

1) ارسم الدالة y = f (x).

2) اترك ذلك الجزء من الرسم البياني حيث x ≥ 0 ، أي جزء الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.

3) اعرض جزء الرسم البياني المحدد في الفقرة (2) بشكل متماثل مع المحور 0 ص.

4) كرسم بياني نهائي ، حدد اتحاد المنحنيات التي تم الحصول عليها في الفقرتين (2) و (3).

مثال 2. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = x 2 - 4 · | x | + 3

منذ x 2 = | x | 2 ، ثم يمكن إعادة كتابة الوظيفة الأصلية على النحو التالي: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. والآن يمكننا تطبيق الخوارزمية المقترحة أعلاه.

1) نبني بعناية وعناية الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2-4 x + 3 (انظر أيضًا أرز. واحد).

2) نترك ذلك الجزء من الرسم البياني حيث x ≥ 0 ، أي جزء الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.

3) اعرض الجانب الأيمن من الرسم البياني بشكل متماثل مع المحور 0y.

(تين. 3).

مثال 3. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = log 2 | x |

نطبق المخطط الوارد أعلاه.

1) نرسم الدالة y = log 2 x (الشكل 4).

3. رسم الدالة y = | f (| x |) |

لاحظ أن دوال النموذج y = | f (| x |) | بل هي أيضا. في الواقع ، y (-x) = y = | f (| -x |) | = y = | f (| x |) | = y (x) ، وبالتالي فإن الرسوم البيانية الخاصة بهم متناظرة حول المحور 0y. مجموعة قيم هذه الوظائف: y ≥ 0. ومن ثم ، فإن الرسوم البيانية لهذه الوظائف تقع بالكامل في النصف العلوي من المستوى.

لرسم الدالة y = | f (| x |) | ، تحتاج إلى:

1) أنشئ رسمًا بيانيًا أنيقًا للدالة y = f (| x |).

2) اترك دون تغيير جزء الرسم البياني الموجود أعلى أو على المحور 0x.

3) يجب عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل فيما يتعلق بالمحور 0x.

4) كرسم بياني نهائي ، حدد اتحاد المنحنيات التي تم الحصول عليها في الفقرتين (2) و (3).

مثال 4. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.

1) لاحظ أن x 2 = | x | 2. وبالتالي ، بدلاً من الوظيفة الأصلية y = -x 2 + 2 | x | - واحد

يمكنك استخدام الدالة y = - | x | 2 + 2 | س | - 1 ، لأن الرسوم البيانية الخاصة بهم هي نفسها.

نقوم ببناء رسم بياني y = - | x | 2 + 2 | س | - 1. لهذا نستخدم الخوارزمية 2.

أ) نرسم الوظيفة y \ u003d -x 2 + 2x - 1 (الشكل 6).

ب) نترك ذلك الجزء من الرسم البياني ، والذي يقع في نصف المستوى الأيمن.

ج) اعرض الجزء الناتج من الرسم البياني بشكل متماثل مع المحور 0y.

د) يظهر الرسم البياني الناتج في الشكل بخط منقط (الشكل 7).

2) لا توجد نقاط فوق المحور 0x ، ونترك النقاط على المحور 0x دون تغيير.

3) يتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة إلى 0x.

4) يظهر الرسم البياني الناتج في الشكل بخط منقط (الشكل 8).

مثال 5. ارسم الدالة y = | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |

1) تحتاج أولاً إلى رسم الدالة y = (2 | x | - 4) / (| x | + 3). للقيام بذلك ، نعود إلى الخوارزمية 2.

أ) ارسم بعناية الدالة y = (2x - 4) / (x + 3) (الشكل 9).

لاحظ أن هذه الدالة هي كسور خطية وأن الرسم البياني الخاص بها عبارة عن قطع زائد. لإنشاء منحنى ، تحتاج أولاً إلى إيجاد الخطوط المقاربة للرسم البياني. أفقي - y \ u003d 2/1 (نسبة المعاملات عند x في البسط والمقام لكسر) ، عمودي - x \ u003d -3.

2) سيتم ترك جزء المخطط الموجود أعلى أو على المحور 0x دون تغيير.

3) سيتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة إلى 0x.

4) يظهر الرسم البياني النهائي في الشكل (الشكل 11).

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

"تحويل الوظائف" - متأرجحة. تحرك لأعلى المحور ص. قم بتشغيل الحجم الكامل - ستزيد (سعة) اهتزازات الهواء. انقل على طول المحور x جهة اليسار. أهداف الدرس. 3 نقاط. موسيقى. ارسم الدالة وحدد D (f) و E (f) و T: ضغط x. تحرك لأسفل على المحور ص. أضف اللون الأحمر إلى اللوحة - ستقلل k (تردد) التذبذبات الكهرومغناطيسية.

"دوال متغيرات متعددة" - مشتقات الرتب الأعلى. يمكن تمثيل دالة لمتغيرين بيانياً. حساب التفاضل والتكامل. النقاط الداخلية والحدودية. تحديد نهاية دالة ذات متغيرين. دورة التحليل الرياضي. برمان. حد دالة من متغيرين. الرسم البياني للوظيفة. نظرية. منطقة محدودة.

"مفهوم الوظيفة" - طرق رسم الرسوم البيانية وظيفة من الدرجة الثانية. تعلم طرق مختلفة لتحديد وظيفة هو أسلوب منهجي مهم. ملامح دراسة دالة تربيعية. التفسير الجيني لمفهوم "الوظيفة". الوظائف والرسوم البيانية في مقرر الرياضيات بالمدرسة. يتم تمييز مفهوم الوظيفة الخطية عند رسم رسم بياني لبعض الوظائف الخطية.

"وظيفة الموضوع" - تحليل. من الضروري معرفة ليس ما لا يعرفه الطالب ، ولكن ما يعرفه. وضع الأساس لـ تسليم ناجحالاستخدام والقبول في الجامعات. تركيب. إذا كان الطلاب يعملون بطرق مختلفة ، فيجب على المعلم العمل معهم بطرق مختلفة. تشبيه. تعميم. توزيع مهام الاستخدام حسب الكتل الرئيسية للمحتوى دورة مدرسيةالرياضيات.

"تحويل الرسوم البيانية للوظائف" - كرر أنواع تحويلات الرسوم البيانية. اربط كل رسم بياني بدالة. تناظر. هدف الدرس: الرسوم البيانية وظائف معقدة. ضع في اعتبارك أمثلة للتحولات ، واشرح كل نوع من أنواع التحويل. تحويل الرسوم البيانية للوظائف. تمتد. إصلاح بناء الرسوم البيانية للوظائف باستخدام تحويلات الرسوم البيانية للوظائف الأولية.

"الرسوم البيانية للوظائف" - عرض الوظيفة. نطاق الوظيفة هو جميع قيم المتغير التابع y. التمثيل البياني للدالة هو قطع مكافئ. التمثيل البياني للدالة هو مكعب مكافئ. الرسم البياني للدالة عبارة عن قطع زائد. نطاق ومدى الوظيفة. اربط كل خط مستقيم بمعادلته: مجال الوظيفة هو جميع قيم المتغير المستقل x.

بناء وظيفة

نلفت انتباهك إلى خدمة لرسم الرسوم البيانية للوظائف عبر الإنترنت ، وجميع الحقوق المملوكة للشركة ديسموس. استخدم العمود الأيسر لإدخال الوظائف. يمكنك إدخاله يدويًا أو باستخدام لوحة مفاتيح افتراضيةفي الجزء السفلي من النافذة. لتكبير نافذة الرسم البياني ، يمكنك إخفاء كل من العمود الأيسر ولوحة المفاتيح الافتراضية.

فوائد الرسوم البيانية عبر الإنترنت

• عرض مرئي للوظائف المقدمة
• بناء الرسوم البيانية المعقدة للغاية
• رسم الرسوم البيانية المحددة ضمنيًا (مثل القطع الناقص x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• القدرة على حفظ الرسوم البيانية والحصول على رابط لها ، والذي يصبح متاحًا للجميع على الإنترنت
• التحكم في المقياس ، لون الخط
• القدرة على رسم الرسوم البيانية بالنقاط ، واستخدام الثوابت
• بناء عدة رسوم بيانية للوظائف في نفس الوقت
• التخطيط في الإحداثيات القطبية (استخدم r و θ (\ theta))

من السهل معنا إنشاء رسوم بيانية متفاوتة التعقيد عبر الإنترنت. يتم البناء على الفور. الخدمة مطلوبة للعثور على نقاط تقاطع الوظائف ، لعرض الرسوم البيانية لمزيد من نقلها إلى مستند Word كرسومات توضيحية لحل المشكلات ، لتحليل السمات السلوكية للرسوم البيانية للوظائف. أفضل متصفح للعمل مع الرسوم البيانية في هذه الصفحة من الموقع هو Google Chrome. عند استخدام متصفحات أخرى ، لا يتم ضمان التشغيل الصحيح.

"اللوغاريتم الطبيعي" - 0.1. اللوغاريتمات الطبيعية. 4. "السهام اللوغاريتمية". 0.04. 7.121.

"وظيفة الطاقة من الدرجة 9" - U. مكعب مكافئ. ص = x3. مدرس الصف التاسع Ladoshkina I.A. ص = x2. القطع الزائد. 0. Y \ u003d xn ، y \ u003d x-n حيث n هو المعطى عدد طبيعي. X. الأس هو عدد زوجي طبيعي (2 ن).

"الدالة التربيعية" - 1 تعريف الدالة التربيعية 2 خصائص الوظيفة 3 الرسوم البيانية للوظيفة 4 عدم المساواة التربيعية 5 الاستنتاج. الخصائص: عدم المساواة: من إعداد أندريه جيرليتس ، طالب في الصف الثامن أ. الخطة: الرسم البياني: - فترات الرتابة عند أ> 0 في أ< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"دالة تربيعية ورسمها البياني" - القرار. y \ u003d 4x A (0.5: 1) 1 \ u003d 1 A-ينتمي. عندما تكون a = 1 ، تأخذ الصيغة y = ax الشكل.

"وظيفة من الدرجة 8 من الدرجة الثانية" - 1) قم ببناء الجزء العلوي من القطع المكافئ. رسم دالة تربيعية. x. -7. ارسم الدالة. مدرس الجبر الصف الثامن 496 مدرسة بوفينا تي في -1. خطة البناء. 2) قم ببناء محور التناظر x = -1. ذ.

1. دالة كسرية خطية ورسم بياني لها

دالة على شكل y = P (x) / Q (x) ، حيث P (x) و Q (x) متعددة الحدود ، تسمى دالة كسرية.

بمفهوم أرقام نسبيةربما كنت بالفعل على دراية. بصورة مماثلة وظائف عقلانية هي دوال يمكن تمثيلها كحاصل قسمة لاثنين من كثيرات الحدود.

إذا كانت دالة كسرية منطقية هي حاصل قسمة دالتين خطيتين - كثيرات الحدود من الدرجة الأولى ، أي عرض الوظيفة

y = (ax + b) / (cx + d) ، ثم يطلق عليه خطي كسري.

لاحظ أنه في الدالة y = (ax + b) / (cx + d) ، c ≠ 0 (وإلا فإن الوظيفة تصبح خطية y = ax / d + b / d) وأن a / c ≠ b / d (وإلا فإن دالة ثابتة). يتم تعريف الدالة الكسرية الخطية لجميع الأعداد الحقيقية ، باستثناء x = -d / c. لا تختلف الرسوم البيانية للدوال الكسرية الخطية في الشكل عن الرسم البياني الذي تعرفه y = 1 / x. يسمى المنحنى الذي يمثل الرسم البياني للدالة y = 1 / x مقارنة مبالغ فيها. مع زيادة غير محدودة في x بمقدار قيمه مطلقهتتناقص الدالة y = 1 / x في القيمة المطلقة إلى أجل غير مسمى ويقترب كلا فرعي الرسم البياني من محور الإحداثي: الجانب الأيمن يقترب من الأعلى ، والأيسر من الأسفل. تسمى الخطوط التي تقترب منها فروع القطع الزائد باسمها الخطوط المقاربة.

مثال 1

ص = (2 س + 1) / (س - 3).

المحلول.

لنحدد الجزء الصحيح: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

من السهل الآن أن نرى أن الرسم البياني لهذه الوظيفة يتم الحصول عليه من الرسم البياني للوظيفة y = 1 / x من خلال التحولات التالية: التحول بمقدار 3 أجزاء من الوحدات إلى اليمين ، والتمدد على طول محور Oy بمقدار 7 مرات والتحول بمقدار 2 شريحة تصل.

يمكن كتابة أي كسر y = (ax + b) / (cx + d) بنفس الطريقة ، مع إبراز "الجزء بالكامل". وبالتالي ، فإن الرسوم البيانية لجميع الوظائف الخطية الكسرية عبارة عن قطع زائد يتم إزاحتها على طول محاور الإحداثيات بطرق مختلفة وتمتد على طول محور Oy.

لرسم رسم بياني لبعض الوظائف الجزئية الخطية ، ليس من الضروري على الإطلاق تحويل الكسر الذي يحدد هذه الوظيفة. نظرًا لأننا نعلم أن الرسم البياني عبارة عن قطع زائد ، فسيكون ذلك كافيًا للعثور على الخطوط التي تقترب منها فروعه - الخطوط المقاربة للقطع الزائد x = -d / c و y = a / c.

مثال 2

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة y = (3x + 5) / (2x + 2).

المحلول.

لم يتم تعريف الوظيفة ، عندما س = -1. ومن ثم ، فإن الخط x = -1 بمثابة خط مقارب رأسي. لإيجاد الخط المقارب الأفقي ، دعنا نكتشف ما هي قيم الدالة y (x) التي تقترب عندما تزيد الوسيطة x في القيمة المطلقة.

للقيام بذلك ، نقسم بسط الكسر ومقامه على x:

ص = (3 + 5 / س) / (2 + 2 / س).

بما أن x → يميل الكسر إلى 3/2. ومن ثم ، فإن الخط المقارب الأفقي هو الخط المستقيم y = 3/2.

مثال 3

ارسم الدالة y = (2x + 1) / (x + 1).

المحلول.

نختار "الجزء الكامل" من الكسر:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2-1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =

2 - 1 / (س + 1).

من السهل الآن أن نرى أنه تم الحصول على الرسم البياني لهذه الوظيفة من الرسم البياني للدالة y = 1 / x من خلال التحولات التالية: إزاحة وحدة واحدة إلى اليسار ، وعرض متماثل بالنسبة إلى Ox ، والتحول فواصل زمنية من وحدتين على طول محور Oy.

مجال التعريف د (ص) = (-؛ -1) ᴗ (-1 ؛ + ∞).

نطاق القيم E (y) = (-؛ 2) ᴗ (2 ؛ + ∞).

نقاط التقاطع مع المحاور: c Oy: (0 ؛ 1) ؛ ج الثور: (-1/2 ؛ 0). تزداد الوظيفة في كل فترة من فترات مجال التعريف.

الجواب: الشكل 1.

2. دالة كسرية عقلانية

ضع في اعتبارك دالة منطقية كسرية للصيغة y = P (x) / Q (x) ، حيث P (x) و Q (x) هي كثيرات حدود من الدرجة أعلى من الأولى.

أمثلة على هذه الوظائف العقلانية:

y \ u003d (x 3-5x + 6) / (x 7-6) أو y \ u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

إذا كانت الدالة y = P (x) / Q (x) عبارة عن حاصل قسمة اثنين من كثيرات الحدود من الدرجة أعلى من الأولى ، فسيكون رسمها البياني ، كقاعدة عامة ، أكثر تعقيدًا ، وقد يكون من الصعب أحيانًا بناؤه بالضبط بكل التفاصيل. ومع ذلك ، غالبًا ما يكون تطبيق تقنيات مشابهة لتلك التي التقينا بها أعلاه أمرًا كافيًا.

دع الكسر يكون مناسبًا (ن< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы عدد محدود الكسور الأولية، يتم تحديد شكلها من خلال توسيع مقام الكسر Q (x) إلى منتج من العوامل الحقيقية:

P (x) / Q (x) \ u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) +. .. +

L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 +… + L ms / (x - K s) + ... +

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +… + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +… +

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

من الواضح أن الرسم البياني للدالة الكسرية الكسرية يمكن الحصول عليه كمجموع الرسوم البيانية للكسور الأولية.

رسم التوابع المنطقية الكسرية

فكر في عدة طرق لرسم دالة كسرية منطقية.

مثال 4

ارسم الدالة y = 1 / x 2.

المحلول.

نستخدم الرسم البياني للدالة y \ u003d x 2 لرسم الرسم البياني y \ u003d 1 / x 2 واستخدام طريقة "قسمة" الرسوم البيانية.

المجال D (ص) = (-؛ 0) ᴗ (0 ؛ + ∞).

نطاق القيم E (y) = (0 ؛ + ∞).

لا توجد نقاط تقاطع مع المحاور. الوظيفة زوجية. يزيد لكل x من المجال (-؛ 0) ، ويقلل لـ x من 0 إلى + ∞.

الجواب: الشكل 2.

مثال 5

ارسم الدالة y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

المحلول.

المجال D (ص) = (-؛ 3) ᴗ (3 ؛ + ∞).

y \ u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \ u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \ u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

استخدمنا هنا تقنية التحليل والتخفيض والاختزال إلى دالة خطية.

الجواب: الشكل 3.

مثال 6

ارسم الدالة y \ u003d (x 2-1) / (x 2 + 1).

المحلول.

مجال التعريف هو D (y) = R. بما أن الوظيفة زوجية ، فإن الرسم البياني متماثل حول المحور y. قبل التخطيط ، نقوم بتحويل التعبير مرة أخرى عن طريق تمييز الجزء الصحيح:

ص \ u003d (س 2-1) / (س 2 + 1) \ u003d 1-2 / (س 2 + 1).

لاحظ أن اختيار الجزء الصحيح في صيغة الدالة الكسرية الكسرية هو أحد العناصر الرئيسية عند رسم الرسوم البيانية.

إذا كانت x → ± ∞ ، إذن y → 1 ، أي الخط y = 1 خط مقارب أفقي.

الجواب: الشكل 4.

مثال 7

ضع في اعتبارك الوظيفة y = x / (x 2 + 1) وحاول أن تجد بالضبط أكبر قيمة لها ، أي عظم نقطة عاليةالنصف الأيمن من الرسم البياني. لبناء هذا الرسم البياني بدقة ، فإن معرفة اليوم ليست كافية. من الواضح أن منحنىنا لا يمكن أن "يصعد" مرتفعًا جدًا ، منذ ذلك الحين يبدأ المقام بسرعة في "تجاوز" البسط. دعونا نرى ما إذا كانت قيمة الوظيفة يمكن أن تساوي 1. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل المعادلة x 2 + 1 \ u003d x، x 2 - x + 1 \ u003d 0. هذه المعادلة لا تحتوي جذور حقيقية. لذا فإن افتراضنا خاطئ. للعثور على أكثر أهمية عظيمةوظيفة ، تحتاج إلى معرفة أي حل أكبر للمعادلة A \ u003d x / (x 2 + 1). دعنا نستبدل المعادلة الأصلية بمعادلة تربيعية: Ax 2 - x + A = 0. هذه المعادلة لها حل عندما 1 - 4A 2 ≥ 0. من هنا نجد أعلى قيمةأ = 1/2.

الجواب: الشكل 5 ، ماكس y (x) =.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيفية بناء الرسوم البيانية للوظائف؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.