الأعداد المركبة هي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية ، ويُشار إليها عادةً بالرمز. يمكن تمثيل أي رقم مركب كمجموع رسمي ، حيث تكون الأعداد الحقيقية هي وحدة تخيلية.
كتابة رقم مركب في الصورة ، يسمى الشكل الجبري للعدد المركب.
خصائص الأعداد المركبة. التفسير الهندسي للعدد المركب.
الإجراءات على الأعداد المركبة المعطاة في شكل جبري:
ضع في اعتبارك القواعد التي يتم من خلالها تنفيذ العمليات الحسابية على الأعداد المركبة.
إذا تم إعطاء رقمين مركبين α = a + bi و β = c + di ، إذن
α + β = (أ + بي) + (ج + دي) = (أ + ج) + (ب + د) أنا ،
α - β \ u003d (a + bi) - (c + di) \ u003d (a - c) + (b - d) i. (أحد عشر)
يأتي هذا من تعريف عمليتي الجمع والطرح لزوجين مرتبين من الأعداد الحقيقية (انظر الصيغتين (1) و (3)). لقد حصلنا على قواعد جمع وطرح الأعداد المركبة: لإضافة عددين مركبين ، يجب على المرء أن يضيف أجزائه الحقيقية بشكل منفصل ، وبالتالي الأجزاء التخيلية ؛ لطرح آخر من رقم مركب واحد ، من الضروري طرح أجزائها الحقيقية والخيالية ، على التوالي.
الرقم - α \ u003d - a - bi يسمى عكس الرقم α \ u003d a + bi. مجموع هذين الرقمين هو صفر: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.
للحصول على قاعدة الضرب للأعداد المركبة ، نستخدم الصيغة (6) ، أي حقيقة أن i2 = -1. مع الأخذ في الاعتبار هذه النسبة ، نجد (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i - bd ، أي
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i. (12)
تتوافق هذه الصيغة مع الصيغة (2) ، التي حددت مضاعفة الأزواج المرتبة للأرقام الحقيقية.
لاحظ أن مجموع وحاصل ضرب عددين مترافقين مركبين هما عددان حقيقيان. في الواقع ، إذا كانت α = a + bi ، = a - bi ، فإن α = (a + bi) (a - bi) = a2 - i2b2 = a2 + b2 ، α + = (a + bi) + (a - bi) = (أ + أ) + (ب - ب) أنا = 2 أ ، أي
α + = 2a، α = a2 + b2. (13)
عند قسمة رقمين مركبين في الصورة الجبرية ، يجب على المرء أن يتوقع أن يتم التعبير عن حاصل القسمة أيضًا برقم من نفس النوع ، أي α / β = u + vi ، حيث u ، v R. فلنشتق قاعدة لقسمة المركب أعداد. دع الأرقام α = a + bi ، β = c + di معطاة ، و β ≠ 0 ، أي c2 + d2 ≠ 0. تعني عدم المساواة الأخيرة أن c و d لا تختفي في وقت واحد (الحالة عندما c = 0 ، d = 0). بتطبيق المعادلة (12) والثانية من المساواة (13) نجد:
لذلك ، يتم الحصول على حاصل قسمة رقمين مركبين بواسطة:
الصيغة المقابلة (4).
باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها للرقم β = c + di ، يمكنك إيجاد مقلوبه β-1 = 1 / β. بافتراض الصيغة (14) أ = 1 ، ب = 0 ، نحصل عليها
تحدد هذه الصيغة مقلوب عدد معقد غير صفري ؛ هذا الرقم معقد أيضًا.
على سبيل المثال: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i ؛
(6 + 5 ط) - (3 + 8 ط) = 3 - 3 ط ؛
(5-4 ط) (8-9 ط) = 4-77 ط ؛
الإجراءات على الأعداد المركبة في شكل جبري.
55. حجة العدد المركب. الشكل المثلثي لكتابة عدد مركب (مخرجات).
Arg.comm.number. - بين الاتجاه الموجب للمحور X الحقيقي بواسطة المتجه الذي يمثل الرقم المحدد.
صيغة ترين. أعداد: ،
تعريف
الشكل الجبري للعدد المركب هو كتابة العدد المركب \ (\ z \) كـ \ (\ z = x + i y \) ، حيث \ (\ x \) و \ (\ y \) أرقام حقيقية ، \ (\ i \) وحدة تخيلية تحقق العلاقة \ (\ i ^ (2) = - 1 \)
الرقم \ (\ س \) يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب \ (\ ض \) ويشار إليه \ (\ س = \ اسم أوبيراتورن (ري) ض \)
الرقم \ (\ y \) يسمى الجزء الخياليرقم مركب \ (\ ض \) ويشار إليه \ (\ ص = \ اسم أوبيراتورن (إم) ض \)
فمثلا:
العدد المركب \ (\ z = 3-2 i \) والرقم المرتبط به \ (\ overline (z) = 3 + 2 i \) مكتوب في شكل جبري.
القيمة التخيلية \ (\ z = 5 i \) مكتوبة بصيغة جبرية.
بالإضافة إلى ذلك ، بناءً على المشكلة التي يتم حلها ، يمكنك تحويل رقم مركب إلى رقم مثلثي أو عدد أسي.
اكتب الرقم \ (\ z = \ frac (7-i) (4) +13 \) في الصورة الجبرية ، وابحث عن أجزائه الحقيقية والتخيلية ، وكذلك الرقم المرافق.
بتطبيق مصطلح قسمة الكسور وقاعدة جمع الكسور ، نحصل على:
\ (\ z = \ frac (7-i) (4) + 13 = \ frac (7) (4) + 13- \ frac (i) (4) = \ frac (59) (4) - \ frac ( 1) (4) ط \)
لذلك ، فإن الجزء الحقيقي من العدد المركب \ (\ z = \ frac (5 g) (4) - \ frac (1) (4) i \) هو الرقم \ (\ x = \ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \) ، الجزء التخيلي عبارة عن رقم \ (\ y = \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \)
الرقم المقترن: \ (\ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
\ (\ z = \ frac (59) (4) - \ frac (1) (4) i \)، \ (\ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \)، \ (\ \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \)، \ (\ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)
إجراءات الأعداد المركبة في مقارنة الشكل الجبري
رقمان مركبان \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) متساويان إذا \ (\ x_ (1) = x_ (2) \) ، \ (\ y_ (1) = y_ (2) \) أي أجزائها الحقيقية والخيالية متساوية.
حدد أي رقمين مركبين س وص ص \ (\ z_ (1) = 13 + y i \) و \ (\ z_ (2) = x + 5 i \) متساويان.
بحكم التعريف ، يتساوى رقمان مركبان إذا تساوت أجزائهما الحقيقية والخيالية ، أي \ (\ س = 13 \) \ (\ ص = 5 \).
إضافة
تتم إضافة الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) عن طريق الجمع المباشر للأجزاء الحقيقية والخيالية:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) + x_ (2) + i y_ (2) = \ left (x_ (1) + x_ (2) \ right) + i \ يسار (y_ (1) + y_ (2) \ right) \)
أوجد مجموع الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \)، \ (\ z_ (2) = 13-4 i \)
الجزء الحقيقي من العدد المركب \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \) هو الرقم \ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = - 7 \) ، التخيلي الجزء هو الرقم \ (\ y_ (1) = \ mathrm (Im) \) ، \ (\ z_ (1) = 5 \). الأجزاء الحقيقية والخيالية للعدد المركب \ (\ z_ (2) = 13-4 i \) هي \ (\ x_ (2) = \ اسم التشغيل (Re) z_ (2) = 13 \) و \ (\ y_ (2) = \ operatorname (Im) z_ (2) = - 4 \).
لذلك ، فإن مجموع الأعداد المركبة هو:
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = \ يسار (x_ (1) + x_ (2) \ يمين) + i \ يسار (y_ (1) + y_ (2) \ يمين) = (- 7+ 13) + أنا (5-4) = 6 + أنا \)
\ (\ z_ (1) + z_ (2) = 6 + أنا \)
اقرأ المزيد حول إضافة الأعداد المركبة في مقال منفصل: إضافة الأعداد المركبة.
الطرح
يتم طرح الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) و \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) بالطريقة المباشرة طرح الأجزاء الحقيقية والخيالية:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) - \ يسار (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) -x_ (2) + \ يسار (i y_ (1) -i y_ (2) \ right) = \ left (x_ (1) -x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) -y_ (2) \ right ) \)
أوجد الفرق بين الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = 17-35 i \)، \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \)
ابحث عن الأجزاء الحقيقية والخيالية للأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = 17-35 i \)، \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \):
\ (\ x_ (1) = \ اسم مشغل (Re) z_ (1) = 17، x_ (2) = \ اسم مشغل (Re) z_ (2) = 15 \)
\ (\ y_ (1) = \ اسم مشغل (Im) z_ (1) = - 35، y_ (2) = \ اسم مشغل (Im) z_ (2) = 5 \)
لذا فإن الفرق بين الأعداد المركبة هو:
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = \ يسار (x_ (1) -x_ (2) \ يمين) + i \ يسار (y_ (1) -y_ (2) \ right) = (17-15 ) + أنا (-35-5) = 2-40 أنا \)
\ (\ z_ (1) -z_ (2) = 2-40 i \) الضرب
يتم تنفيذ ضرب الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) و \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) مباشرة توليد الأرقام في شكل جبري ، مع مراعاة خاصية الوحدة التخيلية \ (\ i ^ (2) = - 1 \):
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ يسار (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ cdot \ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) \ cdot x_ (2) + i ^ (2) \ cdot y_ (1) \ cdot y_ (2) + \ left (x_ (1) \ cdot i y_ (2) + x_ (2) \ cdot i y_ (1) \ right) = \)
\ (\ = \ يسار (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2 ) \ cdot y_ (1) \ right) \)
أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = 1-5 i \)
مجمع الأعداد المركبة:
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ يسار (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) \ cdot y_ (1) \ right) = (1 \ cdot 5 - (- 5) \ cdot 2) + i (1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 5 ) = 15-23 ط \)
\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = 15-23 i \) انقسام
يتم تحديد عامل العدد المركب \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) و \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) بضرب بسط ومقام الرقم المرافق ذي المقام:
\ (\ frac (z_ (1)) (z_ (2)) = \ frac (x_ (1) + i y_ (1)) (x_ (2) + i y_ (2)) = \ frac (\ left (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) (\ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) = \ frac (x_ (1) \ cdot x_ (2) + y_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2)) + i \ frac (x_ (2) \ cdot y_ (1) -x_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2 ) ^ (2)) \)
لقسمة الرقم 1 على العدد المركب \ (\ z = 1 + 2 i \).
نظرًا لأن الجزء التخيلي من الرقم الحقيقي 1 هو صفر ، فإن العامل هو:
\ (\ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1 \ cdot 1) (1 ^ (2) + 2 ^ (2)) - i \ frac (1 \ cdot 2) (1 ^ ( 2) + 2 ^ (2)) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
\ (\ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)
استدع المعلومات الضرورية حول الأعداد المركبة.
عدد مركبهو تعبير عن النموذج أ + ثنائية، أين أ, بهي أرقام حقيقية ، و أنا- ما يسمى وحدة خيالية، الرمز الذي يكون مربعه -1 ، أي أنا 2 = -1. رقم أاتصل جزء حقيقيوالعدد ب - الجزء الخياليعدد مركب ض = أ + ثنائية. اذا كان ب= 0 ، ثم بدلاً من أ + 0أنااكتب ببساطة أ. يمكن ملاحظة أن الأرقام الحقيقية هي حالة خاصةارقام مركبة.
العمليات الحسابية على الأعداد المركبة هي نفسها في العمليات الحقيقية: يمكن جمعها وطرحها وضربها وقسمتها على بعضها البعض. يتم إجراء عمليات الجمع والطرح وفقًا للقاعدة ( أ + ثنائية) ± ( ج + دي) = (أ ± ج) + (ب ± د)أنا، والضرب - حسب القاعدة ( أ + ثنائية) · ( ج + دي) = (أ – دينار بحريني) + (ميلادي + قبل الميلاد)أنا(هنا يتم استخدامه للتو أنا 2 = -1). العدد = أ – ثنائيةاتصل المكورات معقدةإلى ض = أ + ثنائية. المساواة ض · = أ 2 + ب 2 يسمح لك بفهم كيفية قسمة رقم مركب واحد على رقم مركب آخر (غير صفري):
(فمثلا، 
.)
الأرقام المركبة لها تمثيل هندسي ملائم ومرئي: الرقم ض = أ + ثنائيةيمكن تمثيلها كمتجه مع إحداثيات ( أ; ب) على المستوى الديكارتي (أو ، تقريبًا ، نقطة - نهاية المتجه مع هذه الإحداثيات). في هذه الحالة ، يتم وصف مجموع رقمين مركبين على أنه مجموع المتجهات المقابلة (والتي يمكن إيجادها بواسطة قاعدة متوازي الأضلاع). بواسطة نظرية فيثاغورس ، طول المتجه مع الإحداثيات ( أ; ب) مساوي ل . هذه القيمة تسمى وحدةعدد مركب ض = أ + ثنائيةويشار إليه بواسطة | ض|. تسمى الزاوية التي يصنعها هذا المتجه بالاتجاه الإيجابي للمحور x (محسوبًا عكس اتجاه عقارب الساعة) جدالعدد مركب ضويرمز لها Arg ض. لم يتم تعريف الوسيطة بشكل فريد ، ولكن فقط عند إضافة مضاعف 2 π
راديان (أو 360 درجة ، إذا عدت بالدرجات) - بعد كل شيء ، من الواضح أن الدوران في مثل هذه الزاوية حول الأصل لن يغير المتجه. ولكن إذا كان متجه الطول صتشكل زاوية φ
مع الاتجاه الإيجابي للمحور x ، فإن إحداثياته تساوي ( صكوس φ
; صالخطيئة φ
). ومن هنا اتضح تدوين مثلثيعدد مركب: ض = |ض| (كوس (Arg ض) + أناالخطيئة (Arg ض)). غالبًا ما يكون من المناسب كتابة أرقام معقدة في هذا الشكل ، لأنه يبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. يبدو ضرب الأعداد المركبة في الشكل المثلثي بسيطًا جدًا: ضواحد · ض 2 = |ض 1 | · | ض 2 | (كوس (Arg ض 1 + أرج ض 2) + أناالخطيئة (Arg ض 1 + أرج ض 2)) (عند ضرب عددين مركبين ، يتم ضرب معاملاتهما وتضاف المتغيرات). من هنا اتبع صيغ دي Moivre: ض ن = |ض|ن(كوس ( ن(أرج ض)) + أناالخطيئة ( ن(أرج ض))). بمساعدة هذه الصيغ ، من السهل معرفة كيفية استخراج الجذور من أي درجة من الأعداد المركبة. جذر الدرجة التاسعةمن رقم ضهذا رقم معقد ث، ماذا او ما ث ن = ض. انه واضح 
، و أين كيمكن أن تأخذ أي قيمة من المجموعة (0 ، 1 ، ... ، ن- واحد). هذا يعني أن هناك دائما بالضبط نالجذور نالدرجة العاشرة من رقم مركب (على المستوى تقع عند رؤوس منتظم ن-Gon).
ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية.
دعونا نحدد جذوره.
لا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي -1. ولكن إذا كانت الصيغة تحدد العامل أناكوحدة تخيلية ، يمكن كتابة حل هذه المعادلة بالصيغة 
. حيث 
و 
- الأعداد المركبة ، حيث يمثل -1 الجزء الحقيقي ، 2 أو في الحالة الثانية -2 يمثل الجزء التخيلي. الجزء التخيلي هو أيضًا رقم حقيقي (حقيقي). الجزء التخيلي مضروبًا في الوحدة التخيلية يعني بالفعل رقم خيالي.
بشكل عام ، الرقم المركب له الشكل
ض = x + iy ,
أين س ، صهي أرقام حقيقية ، هي وحدة تخيلية. في عدد من العلوم التطبيقية ، على سبيل المثال ، في الهندسة الكهربائية ، والإلكترونيات ، ونظرية الإشارة ، يتم الإشارة إلى الوحدة التخيلية بواسطة ي. الأعداد الحقيقية س = إعادة (ض)و ص =انا(ض)اتصل أجزاء حقيقية وخياليةأعداد ض.يسمى التعبير شكل جبريتدوين العدد المركب.
أي رقم حقيقي هو حالة خاصة لرقم مركب في النموذج 
. الرقم التخيلي هو أيضًا حالة خاصة للرقم المركب. 
.
تعريف مجموعة الأعداد المركبة ج
يقرأ هذا التعبير على النحو التالي: تعيين من، تتكون من عناصر من هذا القبيل xو ذتنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية روهي الوحدة التخيلية. لاحظ أن إلخ.
رقمان مركبان 
و 
متساوية إذا وفقط إذا كانت أجزائها الحقيقية والخيالية متساوية ، أي و .
تُستخدم الأرقام والوظائف المعقدة على نطاق واسع في العلوم والتكنولوجيا ، ولا سيما في الميكانيكا ، وتحليل وحساب دوائر التيار المتردد ، والإلكترونيات التناظرية ، ونظرية الإشارة ومعالجتها ، ونظرية التحكم الآلي ، والعلوم التطبيقية الأخرى.
- حساب الأعداد المركبة
تتمثل إضافة عددين مركبين في إضافة جزأين حقيقيين وخياليين ، أي
وفقًا لذلك ، الفرق بين عددين مركبين
عدد مركب 
اتصل مركب المترافقةرقم ض =x +أ.
يختلف الرقمان المقترنان المركبان z و z * في إشارات الجزء التخيلي. من الواضح أن
.
تظل أي مساواة بين التعبيرات المعقدة صالحة إذا كانت في هذه المساواة في كل مكان أناوحل محله -
أنا، بمعنى آخر. اذهب إلى مساواة الأرقام المترافقة. أعداد أناو –
أنالا يمكن تمييزها جبريًا لأن 
.
يمكن حساب حاصل ضرب عددين مركبين على النحو التالي:
قسمة عددين مركبين:
مثال:
- طائرة معقدة
يمكن تمثيل العدد المركب بيانياً في نظام إحداثيات مستطيل. دعونا نضع نظام إحداثيات مستطيل في المستوى (س ، ص).
على المحور ثورسنقوم بترتيب الأجزاء الحقيقية x، يدعي المحور الحقيقي (الحقيقي)، على المحور أوي- أجزاء خيالية ذارقام مركبة. هي تحمل الاسم المحور الخيالي. علاوة على ذلك ، فإن كل رقم مركب يتوافق مع نقطة معينة من المستوى ، ويسمى هذا المستوى طائرة معقدة. نقطة لكنالطائرة المعقدة سوف تتوافق مع المتجه OA.
رقم xاتصل الإحداثي السينيالعدد المركب ، العدد ذ – تنسيق.
يتم عرض زوج من الأرقام المترافقة المعقدة كنقاط تقع بشكل متماثل حول المحور الحقيقي.
 |
إذا كان على متن الطائرة نظام الإحداثيات القطبية، ثم كل رقم مركب ضتحددها الإحداثيات القطبية. حيث وحدةأعداد 
هو نصف القطر القطبي للنقطة ، والزاوية 
- الزاوية القطبية أو وسيطة العدد المركب ض.
معامل العدد المركب 
دائما غير سلبي. لم يتم تعريف حجة العدد المركب بشكل فريد. يجب أن تفي القيمة الرئيسية للوسيطة بالشرط 
. إلى كل نقطة من المستوى المركب هناك تطابق أيضًا معنى عامجدال . تعتبر الحجج التي تختلف بمضاعفات 2π متساوية. لم يتم تعريف وسيطة الرقم صفر.
يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة من خلال التعبيرات:
من الواضح أن
حيث
, 
.
تمثيل العدد المركب ضكما
اتصل شكل مثلثعدد مركب.
مثال.
- الشكل الأسي للأعداد المركبة
التحلل في سلسلة Maclaurinلوظائف الحجة الحقيقية 
يشبه:
للدالة الأسية للحجة المعقدة ضالتحلل مشابه
.
يمكن تمثيل توسعة سلسلة Maclaurin للدالة الأسية للحجة التخيلية كـ
يتم استدعاء الهوية الناتجة صيغة أويلر.
لحجة سلبية ، يبدو
بدمج هذه التعبيرات ، يمكننا تحديد التعبيرات التالية لجيب الجيب وجيب التمام
.
باستخدام صيغة أويلر ، من الصيغة المثلثية لتمثيل الأعداد المركبة
متوفرة إيضاحي(أسي ، قطبي) شكل رقم مركب ، أي تمثيلها في النموذج
,
أين 
- الإحداثيات القطبية لنقطة ذات إحداثيات مستطيلة ( س ،ذ).
يتم كتابة اقتران العدد المركب بالشكل الأسي على النحو التالي.
من السهل تحديد الشكل الأسي الصيغ التاليةضرب وقسمة الأعداد المركبة
أي ، في الشكل الأسي ، يكون حاصل ضرب الأعداد المركبة وتقسيمها أسهل من الشكل الجبري. عند الضرب ، تتضاعف وحدات العوامل ، وتُضاف المتغيرات. تنطبق هذه القاعدة على أي عدد من العوامل. على وجه الخصوص ، عند ضرب عدد مركب ضعلى ال أناالمتجه ضيدور عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90
في القسمة ، يُقسم مقياس البسط على مقياس المقام ، ويتم طرح سعة المقام من سعة البسط.
باستخدام الشكل الأسي للأعداد المركبة ، يمكن للمرء الحصول على تعبيرات للهويات المثلثية المعروفة. على سبيل المثال ، من الهوية
باستخدام صيغة أويلر ، يمكننا الكتابة
مساواة الأجزاء الحقيقية والخيالية في التعبير المعطى، نحصل على تعبيرات لجيب التمام وجيب مجموع الزوايا
- القوى والجذور واللوغاريتمات للأعداد المركبة
رفع رقم مركب إلى درجة طبيعية نأنتجت وفقا للصيغة
مثال. إحصاء - عد 
.
تخيل رقما في شكل مثلثي
’
بتطبيق صيغة الأُس نحصل عليها
وضع القيمة في التعبير ص= 1 ، نحصل على ما يسمى ب صيغة دي Moivre، والتي يمكنك من خلالها تحديد تعبيرات الجيب وجيب التمام للزوايا المتعددة.
جذر نال قوة العدد المركب ضلديها نقيم مختلفة يحددها التعبير
مثال. لنجد.
للقيام بذلك ، نعبر عن الرقم المركب () بالصيغة المثلثية
.
وفقًا لصيغة حساب جذر العدد المركب ، نحصل على
لوغاريتم عدد مركب ضهو رقم ث، لأي منهم . اللوغاريتم الطبيعيالعدد المركب له مجموعة لانهائيةالقيم ويتم حسابها بواسطة الصيغة
يتكون من أجزاء حقيقية (جيب التمام) وخيالية (جيب). يمكن تمثيل هذا الضغط كمتجه للطول يو م , المرحلة الأولى(زاوية) يدور بسرعة الزاوية ω .
علاوة على ذلك ، إذا تمت إضافة وظائف معقدة ، فسيتم إضافة أجزائها الحقيقية والخيالية. إذا تم ضرب دالة معقدة في دالة ثابتة أو حقيقية ، فسيتم ضرب أجزائها الحقيقية والتخيلية في نفس العامل. يتم تقليل تمايز / تكامل مثل هذه الوظيفة المعقدة إلى تمايز / تكامل الأجزاء الحقيقية والخيالية.
على سبيل المثال ، التفريق بين تعبير الإجهاد المعقد
هو ضربها في iω هو الجزء الحقيقي من الدالة f (z) و 
هو الجزء التخيلي من الوظيفة. أمثلة: 
.
المعنى ضيتم تمثيلها بنقطة في المستوى المركب z ، والقيمة المقابلة ث- نقطة في المستوى المعقد ث. عند عرضها ث = و (ض)خطوط الطائرة ضتمر في خطوط الطائرة ث، الأشكال من مستوى واحد إلى أشكال أخرى ، لكن أشكال الخطوط أو الأشكال قد تتغير بشكل ملحوظ.
خطة الدرس.
1. لحظة تنظيمية.
2. عرض المواد.
3. الواجب المنزلي.
4. تلخيص الدرس.
خلال الفصول
I. لحظة تنظيمية.
ثانيًا. عرض المادة.
تحفيز.
يتمثل التوسع في مجموعة الأعداد الحقيقية في حقيقة أن الأعداد الجديدة (التخيلية) تضاف إلى الأعداد الحقيقية. يرتبط إدخال هذه الأرقام باستحالة استخراج الجذر من رقم سالب في مجموعة الأعداد الحقيقية.
مقدمة لمفهوم العدد المركب.
تتم كتابة الأرقام التخيلية التي نكمل بها الأعداد الحقيقية ثنائية، أين أناهي الوحدة التخيلية ، و أنا 2 = - 1.
بناءً على ذلك ، نحصل على التعريف التالي للعدد المركب.
تعريف. الرقم المركب هو تعبير عن النموذج أ + ثنائي، أين أو بهي أرقام حقيقية. في هذه الحالة ، يتم استيفاء الشروط التالية:
أ) رقمان مركبان أ 1 + ب 1 طو أ 2 + ب 2 طإذا كانت متساوية وفقط إذا أ 1 = أ 2, ب 1 = ب 2.
ب) يتم تحديد إضافة الأعداد المركبة بالقاعدة:
(أ 1 + ب 1 أنا) + (أ 2 + ب 2 أنا) = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2) أنا.
ج) يتم تحديد مضاعفة الأعداد المركبة بالقاعدة:
(أ 1 + ب 1 i) (أ 2 + ب 2 i) = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 - أ 2 ب 1) أنا.
الشكل الجبري للعدد المركب.
كتابة عدد مركب في النموذج أ + ثنائييسمى الشكل الجبري للعدد المركب ، حيث أ- جزء حقيقي ثنائيةهو الجزء التخيلي ، و بهو رقم حقيقي.
عدد مركب أ + ثنائييعتبر مساويًا للصفر إذا كانت أجزائه الحقيقية والتخيلية تساوي صفرًا: أ = ب = 0
عدد مركب أ + ثنائيفي ب = 0يعتبر عددًا حقيقيًا أ: أ + 0 ط = أ.
عدد مركب أ + ثنائيفي أ = 0يسمى تخيل بحت ويشار إليه ثنائية: 0 + ثنائية = ثنائية.
رقمان مركبان ض = أ + ثنائيةو = أ - ثنائي، والتي تختلف فقط في علامة الجزء التخيلي ، تسمى مترافقة.
الإجراءات على الأعداد المركبة في شكل جبري.
يمكن إجراء العمليات التالية على الأعداد المركبة في شكل جبري.
1) الإضافة.
تعريف. مجموع الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى العدد المركب ض، الجزء الحقيقي منها يساوي مجموع الأجزاء الحقيقية z1و z2، والجزء التخيلي هو مجموع الأجزاء التخيلية للأرقام z1و z2، هذا هو ض = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2) أنا.
أعداد z1و z2تسمى الشروط.
إضافة الأعداد المركبة لها الخصائص التالية:
1º. التبادلية: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. الترابطية: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. عدد مركب -أبييسمى عكس العدد المركب ض = أ + ثنائية. العدد المركب المقابل للعدد المركب ض، يعني -z. مجموع الأعداد المركبة ضو -zيساوي صفر: ض + (-z) = 0
مثال 1: إضافة (3 - ط) + (-1 + 2 ط).
(3 - ط) + (-1 + 2 ط) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) أنا = 2 + 1 ط.
2) الطرح.
تعريف.اطرح من العدد المركب z1عدد مركب z2 ض ،ماذا او ما ض + ض 2 = ع 1.
نظرية. يوجد اختلاف في الأعداد المركبة ، علاوة على ذلك ، فريد من نوعه.
مثال 2: اطرح (4-2 ط) - (-3 + 2 ط).
(4-2 ط) - (-3 + 2 ط) = (4 - (-3)) + (-2-2) أنا = 7-4 ط.
3) الضرب.
تعريف. حاصل ضرب الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 \ u003d أ 2 + ب 2 طيسمى العدد المركب ض، التي تحددها المساواة: ض = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 + أ 2 ب 1) أنا.
أعداد z1و z2تسمى العوامل.
مضاعفة الأعداد المركبة لها الخصائص التالية:
1º. التبادلية: ض 1 ض 2 = ع 2 ع 1.
2º. الترابطية: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. توزيعية الضرب فيما يتعلق بالإضافة:
(z 1 + z 2) z 3 \ u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. ض \ u003d (أ + ثنائية) (أ - ثنائية) \ u003d أ 2 + ب 2هو رقم حقيقي.
في الممارسة العملية ، يتم تنفيذ عملية ضرب الأعداد المركبة وفقًا لقاعدة ضرب المجموع بالمجموع وفصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية.
في المثال التالي ، ضع في اعتبارك ضرب الأعداد المركبة بطريقتين: بالقاعدة وضرب المجموع في المجموع.
مثال 3: اضرب (2 + 3i) (5-7 ط).
1 الطريق. (2 + 3 ط) (5-7 ط) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) أنا = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) أنا = 31 + أنا.
2 طريقة. (2 + 3i) (5-7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10-14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) القسمة.
تعريف. اقسم عددًا مركبًا z1لعدد مركب z2، يعني العثور على مثل هذا العدد المركب ض، ماذا او ما ض ض 2 = ع 1.
نظرية.حاصل قسمة الأعداد المركبة موجود وفريد إذا z2 ≠ 0 + 0i.
عمليًا ، يمكن إيجاد حاصل قسمة الأعداد المركبة بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
يترك ض 1 = أ 1 + ب 1 ط, ض 2 = أ 2 + ب 2 ط، ومن بعد
.
في المثال التالي نقوم بالقسمة على الصيغة وقاعدة الضرب على مرافق المقام.
مثال 4. أوجد حاصل القسمة 
.
5) رفع إلى قوة عدد صحيح موجب.
أ) صلاحيات الوحدة التخيلية.
الاستفادة من المساواة أنا 2 \ u003d -1، من السهل تحديد أي قوة صحيحة موجبة للوحدة التخيلية. نملك:
أنا 3 \ u003d أنا 2 أنا \ u003d -i ،
أنا 4 \ u003d أنا 2 أنا 2 \ u003d 1 ،
أنا 5 \ u003d أنا 4 أنا \ u003d أنا ،
أنا 6 \ u003d أنا 4 أنا 2 \ u003d -1 ،
أنا 7 \ u003d أنا 5 أنا 2 \ u003d -i ،
أنا 8 = أنا 6 أنا 2 = 1إلخ.
هذا يدل على أن قيم الدرجة في، أين ن- عدد صحيح موجب ، يتكرر بشكل دوري عندما يزيد المؤشر بمقدار 4 .
لذلك ، لرفع الرقم أناإلى قوة عدد صحيح موجب ، قسّم الأس على 4 وينصب أناللقوة التي الأس هو باقي القسمة.
مثال 5 احسب: (ط 36 + ط 17) ط 23.
ط 36 = (ط 4) 9 = 9 1 = 1 ،
أنا 17 = أنا 4 × 4 + 1 = (أنا 4) 4 × أنا = 1 أنا = أنا.
أنا 23 = أنا 4 × 5 + 3 = (أنا 4) 5 × أنا 3 = 1 أنا 3 = - أنا.
(i 36 + i 17) i 23 \ u003d (1 + i) (- i) \ u003d - i + 1 \ u003d 1 - i.
ب) يتم تنفيذ رفع رقم مركب إلى قوة عدد صحيح موجب وفقًا لقاعدة رفع ذات الحدين إلى القوة المقابلة ، نظرًا لأنها حالة خاصة لضرب العوامل المعقدة المتطابقة.
مثال 6 احسب: (4 + 2 ط) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.
