خصائص الدرجة مع الأس الحقيقي هي أمثلة على القرار. خصائص الدرجات والتركيبات والبراهين والأمثلة. درجة مع الأس المنطقي


بعد تحديد درجة الرقم ، من المنطقي التحدث عنها خصائص الدرجة. في هذه المقالة ، سنعطي الخصائص الأساسية لدرجة الرقم ، بينما نتطرق إلى جميع الأسس الممكنة. سنقدم هنا أدلة على جميع خصائص الدرجة ، ونبين أيضًا كيفية تطبيق هذه الخصائص عند حل الأمثلة.

التنقل في الصفحة.

خصائص الدرجات مع المؤشرات الطبيعية

من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي ، فإن درجة n هي ناتج عوامل n ، كل منها يساوي a. بناءً على هذا التعريف ، وباستخدام خصائص مضاعفة العدد الحقيقي، يمكننا الحصول على ما يلي وتبريره خواص الدرجة مع الأس الطبيعي:

  1. الخاصية الرئيسية للدرجة a m · a n = a m + n ، تعميمها ؛
  2. خاصية القوى الجزئية لها نفس الأسس أ م: أ ن = أ م − ن ؛
  3. خاصية درجة المنتج (أ ب) ن = أ ن ب ن ، امتدادها ؛
  4. الملكية الخاصة في درجة طبيعية(أ: ب) ن = أ ن: ب ن ؛
  5. الأُس (أ م) ن = أ م ن ، تعميمها (((أ ن 1) ن 2) ...) ن ك = أ ن 1 ن 2 ... ن ك;
  6. مقارنة الدرجة مع الصفر:
    • إذا كانت a> 0 ، فإن n> 0 لأي n طبيعي ؛
    • إذا كانت a = 0 ، فعندئذٍ a n = 0 ؛
    • اذا كان<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 إذا أ<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. إذا كان a و b رقمين موجبين و a
  8. إذا م و ن أعداد صحيحة، هذا m> n ، ثم لـ 0 0 المتباينة a m> a n صحيحة.

نلاحظ على الفور أن جميع المساواة المكتوبة مطابقفي ظل الظروف المحددة ، ويمكن تبادل الأجزاء اليمنى واليسرى. على سبيل المثال ، الخاصية الرئيسية للكسر a m a n = a m + n with تبسيط التعابيرغالبًا ما تستخدم في الشكل أ م + ن = أ م أ ن.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل منهم بالتفصيل.

    لنبدأ بخاصية حاصل ضرب قوتين لهما نفس الأسس ، وهو ما يسمى الخاصية الرئيسية للدرجة: لأي رقم حقيقي a وأي عدد طبيعي m و n ، فإن المساواة a m · a n = a m + n صحيحة.

    دعونا نثبت الخاصية الرئيسية للدرجة. من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي ، يمكن كتابة حاصل ضرب القوى التي لها نفس أسس الشكل a m · a n كمنتج. نظرًا لخصائص الضرب ، يمكن كتابة التعبير الناتج كـ ، وهذا المنتج هو قوة الأس الطبيعي m + n ، أي a m + n. هذا يكمل الدليل.

    دعونا نعطي مثالا يؤكد الخاصية الرئيسية للدرجة. لنأخذ الدرجات بنفس الأسس 2 والقوى الطبيعية 2 و 3 ، وفقًا للخاصية الرئيسية للدرجة ، يمكننا كتابة المساواة 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5. دعونا نتحقق من صحتها ، والتي نحسب لها قيم التعابير 2 2 · 2 3 و 2 5. أداء الأُس لدينا 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32و 2 5 \ u003d 2 2 2 2 2 \ u003d 32 ، نظرًا لأنه تم الحصول على قيم متساوية ، فإن المساواة 2 2 2 3 \ u003d 2 5 صحيحة ، وتؤكد الخاصية الرئيسية للدرجة.

    يمكن تعميم الخاصية الرئيسية لدرجة تعتمد على خصائص الضرب على حاصل ضرب ثلاث قوى أو أكثر لها نفس الأسس والأسس الطبيعية. إذن لأي عدد k من الأعداد الطبيعية n 1، n 2،…، n k المساواة أ ن 1 أ ن 2 أ ن ك = أ ن 1 + ن 2 + ... + ن ك.

    علي سبيل المثال، (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    يمكنك الانتقال إلى الخاصية التالية للدرجات بمؤشر طبيعي - ملكية جزئية لها نفس الأسس: لأي عدد حقيقي غير صفري a والأرقام الطبيعية التعسفية m و n التي تفي بالشرط m> n ، فإن المساواة a m: a n = a m − n صحيحة.

    قبل تقديم دليل على هذه الخاصية ، دعونا نناقش معنى الشروط الإضافية في البيان. الشرط a ≠ 0 ضروري لتجنب القسمة على الصفر ، لأن 0 n = 0 ، وعندما تعرفنا على القسمة ، اتفقنا على أنه من المستحيل القسمة على الصفر. تم إدخال الشرط m> n حتى لا نتجاوز الأسس الطبيعية. في الواقع ، بالنسبة إلى m> n ، يكون الأس a m n عددًا طبيعيًا ، وإلا فسيكون إما صفرًا (وهو ما يحدث لـ m − n) أو رقمًا سالبًا (يحدث لـ m

    دليل - إثبات. تسمح لنا الخاصية الرئيسية للكسر بكتابة المساواة أ م − ن أ ن = أ (م − ن) + ن = أ م. من المساواة التي تم الحصول عليها a m n · a n = a m ويترتب على ذلك أن m n هو حاصل قسمة قوى a m و a n. هذا يثبت خاصية القوى الجزئية بنفس الأسس.

    لنأخذ مثالا. لنأخذ درجتين بنفس الأسس والأسس الطبيعية 5 و 2 ، فإن الخاصية المدروسة للدرجة تتوافق مع المساواة π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

    فكر الآن خاصية درجة المنتج: الدرجة الطبيعية n لحاصل ضرب أي عددين حقيقيين a و b تساوي حاصل ضرب الدرجتين a n و b n ، أي (a b) n = a n b n.

    في الواقع ، من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي ، لدينا . يمكن إعادة كتابة المنتج الأخير ، بناءً على خصائص الضرب ، كـ ، والتي تساوي أ ن ب ن.

    هذا مثال: .

    تمتد هذه الخاصية إلى درجة حاصل ضرب ثلاثة عوامل أو أكثر. بمعنى ، تتم كتابة خاصية القوة الطبيعية n لمنتج عوامل k كـ (أ 1 أ 2 ... أ ك) ن = أ 1 ن أ 2 ن ... أ ك ن.

    من أجل الوضوح ، نعرض هذه الخاصية بمثال. لدينا حاصل ضرب ثلاثة عوامل مرفوعًا للقوة الأسية 7.

    الخاصية التالية هي الملكية الطبيعية: حاصل قسمة الأعداد الحقيقية a و b ، b 0 أس الطبيعي n يساوي حاصل قسمة القوى a n و b n ، أي (a: b) n = a n: b n.

    يمكن إجراء الإثبات باستخدام الخاصية السابقة. لذا (أ: ب) ن ب ن = ((أ: ب) ب) ن = أ ن، والمساواة (أ: ب) ن ب ن = أ ن تعني أن (أ: ب) ن هو حاصل قسمة أ ن مقسومًا على ب ن.

    دعنا نكتب هذه الخاصية باستخدام مثال أرقام محددة: .

    الآن دعونا نسمع صوت خاصية الأُس: لأي عدد حقيقي a وأي عدد طبيعي m و n ، فإن قوة a m أس n تساوي قوة a مع الأس m · n ، أي (a m) n = a m · n.

    على سبيل المثال ، (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6.

    إن إثبات ملكية القوة بدرجة ما هو سلسلة المساواة التالية: .

    يمكن تمديد الممتلكات المدروسة إلى درجة داخل درجة ضمن الدرجة ، وما إلى ذلك. على سبيل المثال ، لأي أعداد طبيعية p ، q ، r ، و s ، المساواة . لمزيد من الوضوح ، إليك مثال بأرقام محددة: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    يبقى الخوض في خصائص مقارنة الدرجات مع الأس الطبيعي.

    نبدأ بإثبات خاصية المقارنة بين الصفر والقوة بأس طبيعي.

    أولاً ، دعنا نبرر ذلك n> 0 لأي a> 0.

    حاصل ضرب عددين موجبين هو رقم موجب ، على النحو التالي من تعريف الضرب. تسمح لنا هذه الحقيقة وخصائص الضرب بتأكيد أن نتيجة ضرب أي عدد من الأعداد الموجبة ستكون أيضًا رقمًا موجبًا. وقوة a ذات الأس الطبيعي n هي ، بحكم التعريف ، حاصل ضرب عوامل n ، كل منها يساوي a. تسمح لنا هذه الحجج بتأكيد أنه بالنسبة لأي أساس موجب ، فإن درجة a n هي رقم موجب. بحكم الخاصية المثبتة 3 5> 0 ، (0.00201) 2> 0 و .

    من الواضح تمامًا أنه لأي n طبيعي بـ a = 0 درجة a n تساوي صفرًا. في الواقع ، 0 n = 0 · 0 ·… · 0 = 0. على سبيل المثال ، 0 3 = 0 و 762 = 0.

    دعنا ننتقل إلى القواعد السلبية.

    لنبدأ بالحالة عندما يكون الأس عددًا زوجيًا ، نشير إليه على أنه 2 م ، حيث م هو عدد طبيعي. ثم . لكل منتج من منتجات النموذج a · a يساوي منتج الوحدات النمطية للأرقام a ، وبالتالي فإن a هو رقم موجب. لذلك ، سيكون المنتج إيجابيًا أيضًا. ودرجة 2 م. فيما يلي أمثلة: (6) 4> 0 ، (−2،2) 12> 0 و.

    أخيرًا ، عندما يكون أساس a عددًا سالبًا ويكون الأس عددًا فرديًا 2 م − 1 ، إذن . جميع حاصل الضرب أ · أ أرقام موجبة ، وحاصل ضرب هذه الأعداد الموجبة موجب أيضًا ، وضربه في العدد السالب المتبقي ينتج رقمًا سالبًا. بسبب هذه الخاصية (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    ننتقل إلى خاصية مقارنة الدرجات مع نفس الأسس الطبيعية ، والتي لها الصيغة التالية: درجتين مع نفس الأسس الطبيعية ، n أقل من تلك التي تكون قاعدتها أقل ، وأكثر من تلك التي تكون قاعدتها أكبر. دعنا نثبت ذلك.

    عدم المساواة أ ن خصائص عدم المساواةيتم إثبات عدم المساواة بالشكل أ ن (2،2) 7 و .

    يبقى إثبات آخر الخصائص المدرجة للقوى ذات الأسس الطبيعية. دعونا نصيغها. من الدرجتين ذات المؤشرات الطبيعية ونفس القواعد الإيجابية أقل من واحدة ، تكون الدرجة أكبر ، ويكون مؤشرها أقل ؛ ودرجتين بمؤشرات طبيعية ونفس الأسس أكبر من واحدة ، تكون الدرجة أكبر ، ويكون مؤشرها أكبر. ننتقل إلى إثبات هذه الخاصية.

    دعنا نثبت ذلك لـ m> n و 0 0 بسبب الحالة الأولية m> n ، ومن هنا يتبع ذلك عند 0

    يبقى إثبات الجزء الثاني من الممتلكات. دعنا نثبت أنه بالنسبة إلى m> n و a> 1 ، فإن a m> a n يكون صحيحًا. الفرق a m −a n بعد إخراج n من الأقواس يأخذ الشكل a n · (a m n −1). هذا المنتج موجب ، نظرًا لأن درجة a n هي رقم موجب بالنسبة إلى> 1 ، والفرق a m n −1 هو رقم موجب ، نظرًا لأن m − n> 0 بسبب الحالة الأولية ، وبالنسبة لـ a> 1 ، درجة م − ن أكبر من واحد. لذلك ، a m - a n> 0 و a m> a n ، الذي كان يجب إثباته. يتم توضيح هذه الخاصية من خلال المتباينة 3 7> 3 2.

خصائص الدرجات مع الأس الصحيح

نظرًا لأن الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد طبيعية ، فإن جميع خصائص القوى ذات الأس الصحيح الموجب تتطابق تمامًا مع خصائص القوى ذات الأسس الطبيعية ، المدرجة والمثبتة في الفقرة السابقة.

الدرجة مع الأس الصحيح السالب ، وكذلك الدرجة مع الأس صفر ، قمنا بتعريفها بحيث تظل جميع خصائص الدرجات ذات الأس الطبيعي المعبر عنها بالمساواة صالحة. لذلك ، فإن كل هذه الخصائص صالحة لكل من الأس صفر والأسس السالبة ، بينما ، بالطبع ، قواعد الدرجات غير صفرية.

لذلك ، بالنسبة لأي أعداد حقيقية وغير صفرية ، a و b ، وكذلك أي أعداد صحيحة m و n ، فإن ما يلي صحيح خصائص الدرجات مع الأس الصحيح:

  1. أ م أ ن \ u003d أ م + ن ؛
  2. أ م: أ ن = أ م − ن ؛
  3. (أ ب) ن = أ ن ب ن ؛
  4. (أ: ب) ن = أ ن: ب ن ؛
  5. (أ م) ن = أ م ن ؛
  6. إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا ، فإن a و b عددان موجبان ، و a ب ن.
  7. إذا كانت m و n عددًا صحيحًا ، و m> n ، فعندئذٍ عند 0 1 تتحقق المتباينة a m> a n.

بالنسبة إلى a = 0 ، فإن الأسس a m و a n تكون منطقية فقط عندما يكون كل من m و n عددًا صحيحًا موجبًا ، أي أعداد طبيعية. وبالتالي ، فإن الخصائص المكتوبة للتو صالحة أيضًا للحالات التي تكون فيها a = 0 والأرقام m و n أعداد صحيحة موجبة.

ليس من الصعب إثبات كل من هذه الخصائص ، لذلك يكفي استخدام تعريفات الدرجة مع الأس الطبيعي والصحيح ، وكذلك خصائص الأفعال ذات الأعداد الحقيقية. كمثال ، دعنا نثبت أن خاصية القوة تنطبق على الأعداد الصحيحة الموجبة والأعداد الصحيحة غير الموجبة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى إظهار أنه إذا كانت p تساوي صفرًا أو عددًا طبيعيًا و q تساوي صفرًا أو رقمًا طبيعيًا ، فإن المساواة (a p) q = a p q ، (a - p) q = a (p) q ، (أ ع) −q = أ ع (−q) و (أ − ع) −q = أ (p) (−q). دعنا نقوم به.

للإيجابية p و q ، تم إثبات المساواة (a p) q = a p · q في القسم الفرعي السابق. إذا كان p = 0 ، إذن لدينا (a 0) q = 1 q = 1 و a 0 q = a 0 = 1 ، حيث (a 0) q = a 0 q. وبالمثل ، إذا كانت q = 0 ، فعندئذٍ (a p) 0 = 1 و a p 0 = a 0 = 1 ، من أين (a p) 0 = a p 0. إذا كان كل من p = 0 و q = 0 ، إذن (أ 0) 0 = 1 0 = 1 و 0 0 = أ 0 = 1 ، ومن أين (أ 0) 0 = أ 0 0.

دعنا الآن نثبت أن (a −p) q = a (−p) q. بتعريف الدرجة ذات الأس الصحيح السالب ، إذن . من خلال خاصية حاصل القسمة في الدرجة ، لدينا . بما أن 1 ص = 1 · 1 · ... · 1 = 1 ثم. التعبير الأخير هو ، بحكم التعريف ، قوة من الشكل a - (p q) ، والتي ، بحكم قواعد الضرب ، يمكن كتابتها كـ a (−p) q.

بصورة مماثلة .

و .

وفقًا لنفس المبدأ ، يمكن للمرء أن يثبت جميع الخصائص الأخرى لدرجة ما باستخدام الأس الصحيح ، مكتوبًا في شكل مساواة.

في الخواص قبل الأخيرة المكتوبة ، يجدر بنا أن نركز على إثبات المتباينة a −n> b −n ، وهذا صحيح بالنسبة لأي عدد صحيح سالب −n وأي موجب a و b يكون فيه الشرط a . منذ الشرط أ 0. المنتج a n · b n موجب أيضًا باعتباره حاصل ضرب الأعداد الموجبة a n و b n. ثم يكون الكسر الناتج موجبًا باعتباره حاصل قسمة الأعداد الموجبة b n - a n و a n b n. ومن هنا ، من أين أ n> ب n ، والذي كان يجب إثباته.

يتم إثبات الخاصية الأخيرة للدرجات ذات الأس الصحيح بنفس طريقة إثبات الخاصية المماثلة للدرجات ذات الأس الطبيعي.

خصائص القوى ذات الأسس المنطقية

لقد حددنا الدرجة بأس كسري من خلال توسيع خصائص الدرجة مع الأس الصحيح لها. بمعنى آخر ، الدرجات ذات الأسس الكسرية لها نفس خصائص الدرجات ذات الأسس الصحيحة. يسمى:

يعتمد إثبات خصائص الدرجات ذات الأسس الكسرية على تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، وعلى خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح. دعونا نعطي الدليل.

من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، ثم . تسمح لنا خصائص الجذر الحسابي بكتابة المعادلات التالية. علاوة على ذلك ، باستخدام خاصية الدرجة مع الأس الصحيح ، نحصل ، من هنا ، من خلال تعريف الدرجة ذات الأس الكسري ، على ، ويمكن تحويل أس الدرجة التي تم الحصول عليها على النحو التالي:. هذا يكمل الدليل.

تم إثبات الخاصية الثانية للقوى ذات الأسس الكسرية بنفس الطريقة تمامًا:

يتم إثبات باقي المساواة من خلال مبادئ مماثلة:

ننتقل إلى إثبات العقار التالي. دعنا نثبت أنه لأي موجب أ وب ، أ ب ص. نكتب العدد المنطقي p بالصورة m / n ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. الشروط ص<0 и p>0 في هذه الحالة سيكون معادلاً للشروط م<0 и m>0 على التوالي. بالنسبة إلى m> 0 و a

وبالمثل ، بالنسبة لـ m<0 имеем a m >ب م ، من أين ، وهذا هو ، و أ ب> ب ص.

يبقى إثبات آخر العقارات المدرجة. دعنا نثبت ذلك من أجل أرقام نسبية p و q ، p> q عند 0 0 - عدم المساواة a p> a q. يمكننا دائمًا تقليل العددين المنطقيين p و q إلى مقام مشترك ، ولنحصل على كسرين عاديين ، وحيث m 1 و m 2 عددان صحيحان ، و n عدد طبيعي. في هذه الحالة ، سيتوافق الشرط p> q مع الشرط m 1> m 2 ، الذي يليه. ثم ، من خلال خاصية مقارنة القوى مع نفس الأسس والأس الطبيعي عند 0 1 - المتباينة أ م 1> أ م 2. يمكن إعادة كتابة هذه التفاوتات من حيث خصائص الجذور ، على التوالي ، كـ و . ويتيح لنا تعريف الدرجة ذات الأس المنطقي أن نمرر إلى المتباينات وعلى التوالي. من هذا نستنتج الاستنتاج النهائي: لـ p> q و 0 0 - عدم المساواة a p> a q.

خصائص الدرجات ذات الأس غير المنطقية

من كيفية تعريف الدرجة ذات الأس غير المنطقي ، يمكن استنتاج أن لديها جميع خصائص الدرجات ذات الأسس المنطقية. لذلك بالنسبة لأي أ> 0 ، ب> 0 وأرقام غير منطقية p و q ، فإن ما يلي صحيح خواص الدرجات ذات الأس غير المنطقية:

  1. أ ف أ ف = أ ف + ف ؛
  2. أ ع: أ س = أ ف − س ؛
  3. (أ ب) ع = أ ف ب ع ؛
  4. (أ: ب) ع = أ ف: ب ع ؛
  5. (أ ع) س = أ ف ف ؛
  6. لأية أعداد موجبة أ وب ، أ 0 المتباينة a p ب ص ؛
  7. للأعداد غير النسبية p و q ، p> q عند 0 0 - عدم المساواة a p> a q.

من هذا يمكننا أن نستنتج أن الأسس الحقيقية p و q لـ a> 0 لها نفس الخصائص.

فهرس.

  • فيلينكين نيا ، جوخوف ف.إ. ، تشيسنوكوف أ.س. ، شفارتسبورد س. كتاب الرياضيات Zh ل 5 خلايا. المؤسسات التعليمية.
  • ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي لسبع خلايا. المؤسسات التعليمية.
  • ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي لثماني خلايا. المؤسسات التعليمية.
  • ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي من 9 خلايا. المؤسسات التعليمية.
  • كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
  • Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

S. Shestakov ،
موسكو

امتحان كتابي

الصف 11
1. الحسابات. تحويل التعبير

§ 3. الدرجة مع الأس الحقيقي

تتعلق التدريبات الواردة في الفقرة 5 من الفصل الأول من المجموعة بشكل أساسي بالوظيفة الأسية وخصائصها. في هذه الفقرة ، كما في الفقرات السابقة ، لا يتم اختبار القدرة على إجراء التحويلات بناءً على الخصائص المعروفة فحسب ، بل يتم أيضًا اختبار إتقان الطلاب للرموز الوظيفية. من بين مهام المجموعة ، يمكن تمييز المجموعات التالية:

  • تمارين تختبر استيعاب تعريف الدالة الأسية (1.5.A06 ، 1.5.B01 – B04) والقدرة على استخدام الرموز الوظيفية (1.5A02 ، 1.5.B05 ، 1.5C11) ؛
  • تمارين على تحويل التعبيرات التي تحتوي على قوة ذات أس حقيقي ، وعلى حساب قيم هذه التعبيرات وقيم الدالة الأسية (1.5B07 ، 1.5B09 ، 1.5.C02 ، 1.5.C04 ، الآخرين)؛
  • تمارين لمقارنة قيم التعبيرات التي تحتوي على درجة مع الأس الحقيقي ، والتي تتطلب استخدام خصائص درجة مع الأس الحقيقي والوظيفة الأسية (1.5.B11 ، 1.5C01 ، 1.5C12 ، 1.5D01 ، 1.5D11) ؛
  • تمارين أخرى (بما في ذلك تلك المتعلقة بالتدوين الموضعي للأرقام ، والتعاقب ، وما إلى ذلك) - 1.5.A03 ، 1.5.B08 ، 1.5.C06 ، 1.5. C09 ، 1.5.C10 ، 1.5.D07 ، 1.5.D09.

ضع في اعتبارك عددًا من المهام المتعلقة بالرمزية الوظيفية.

1.5.A02. هـ) يتم إعطاء الوظائف

أوجد قيمة التعبير f 2 (x) - g 2 (x).

قرار. دعنا نستخدم صيغة فرق المربعات:

الجواب: -12.

1.5.C11. ب) يتم إعطاء الوظائف

أوجد قيمة التعبير f (x) f (y) - g (x) g (y) إذا كانت f (x - y) = 9.

فيما يلي حلول مختصرة للتدريبات على تحويل التعبيرات التي تحتوي على قوة ذات أس حقيقي ، وعلى حساب قيم هذه التعبيرات وقيم الدالة الأسية.

1.5. أ) من المعروف أن 6 أ – 6 –أ= 6. أوجد قيمة التعبير (6 أ- 6) 6 أ .

قرار. ويترتب على ظروف المشكلة أن 6 أ – 6 = 6 -أ. ثم

(6 أ- 6) 6 أ = 6 -أ 6 أ = 1.

1.5.C05. ب) أوجد قيمة التعبير 7 أ-ب، لو

قرار. حسب الشرط قسّم بسط ومقام الطرف الأيسر من المعادلة على 7 b. يحصل

لنقم باستبدال. دع y = 7 أ-ب. تأخذ المساواة الشكل

نحل المعادلة الناتجة

المجموعة التالية من التمارين هي مهام لمقارنة قيم التعبيرات التي تحتوي على درجة مع الأس الحقيقي ، والتي تتطلب استخدام خصائص الدرجة مع الأس الحقيقي والدالة الأسية.

1.5 ب 11. ب) رتب الأرقام f (60) و g (45) و h (30) بترتيب تنازلي إذا كانت f (x) = 5 x و g (x) = 7 x و h (x) = 3 x.

قرار. و (60) = 5 60 ، ج (45) = 7 45 ، ح (30) = 3 30.

دعنا نحول هذه الدرجات حتى نحصل على نفس المؤشرات:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

لنكتب الأسس بترتيب تنازلي: 625> 343> 9.

لذلك ، الترتيب المطلوب هو: f (60) ، g (45) ، h (30).

الجواب: و (60) ، ز (45) ، ح (30).

1.5.C12. أ) قارن ، حيث x و y بعض الأعداد الحقيقية.

قرار.

لذا

لذا

منذ 3 2> 2 3 ، حصلنا على ذلك

إجابه:

1.5.D11. أ) قارن الأرقام

منذ أن وصلنا

إجابه:

في نهاية مراجعة المهام للحصول على درجة بمؤشر حقيقي ، سننظر في التمارين المتعلقة بالتدوين الموضعي للرقم والتقدم وما إلى ذلك.

1.5.A03. ب) إعطاء دالة f (x) = (0،1) x. أوجد قيمة التعبير 6f (3) + 9f (2) + 4f (1) + 4f (0).

4f (0) + 4f (1) + 9f (2) + 6f (3) = 4 1 + 4 0.1 + 9 0.01 + 6 0.001 = 4.496.

وبالتالي ، فإن هذا التعبير هو التوسع في مجموع الوحدات الرقمية للكسر العشري 4.496.

الجواب: 4.496.

1.5.D07. أ) الدالة f (x) = 0.1 x معطاة. أوجد قيمة التعبير f 3 (1) - f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (-1) n-1 f 3 (n) + ...

f 3 (1) –f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (- 1) n – 1 f 3 (n) + ... = 0.1 3 –0.1 6 +0، 1 9 + ... + (- 1) n – 1 0.1 3n + ...

هذا التعبير هو مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود مع الحد الأول 0.001 والمقام -0.001. المجموع

1.5.D09. أ) أوجد قيمة التعبير 5 2x +5 2y +2 5x 5 y - 25 y 5 x إذا كان 5 x –5 y = 3، x + y = 3.

5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x = (5 x - 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x - 5 y) = 3 2 +2 5 x + ص +5 س + ص 3 = 3 2 +2 5 3 +3 5 3 = 634.

الجواب: 634.

§ 4. التعبيرات اللوغاريتمية

عند تكرار موضوع "تحويل التعبيرات اللوغاريتمية" (الفقرة 1.6 من المجموعة) ، ينبغي للمرء أن يتذكر عددًا من الصيغ الأساسية المتعلقة باللوغاريتمات:

فيما يلي عدد من الصيغ ، التي لا يلزم معرفتها لحل مشاكل المستويين A و B ، ولكنها قد تكون مفيدة في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا (يمكن تقليل عدد هذه الصيغ أو زيادتها اعتمادًا على وجهات نظر المعلم ومستوى استعداد الطلاب):

يمكن أن تُعزى معظم التدريبات من الفقرة 1.6 من المجموعة إلى إحدى المجموعات التالية:

  • تمارين على الاستخدام المباشر لتعريف وخصائص اللوغاريتمات (1.6.A03 ، 1.6.A04 ، 1.6.B01 ، 1.6.B05 ، 1.6.B08 ، 1.6.B10 ، 1.6.C09 ، 1.6.D01 ، 1.6.D08 ، 1.6.D10) ؛
  • تمارين لحساب قيمة التعبير اللوغاريتمي من قيمة معينة لتعبير آخر أو لوغاريتم (1.6.C02 ، 1.6.C09 ، 1.6.D02) ؛
  • تمارين لمقارنة قيم تعبيرين يحتويان على اللوغاريتمات (1.6.C11) ؛
  • تمارين بمهمة معقدة متعددة الخطوات (1.6.D11 ، 1.6.D12).

نقدم حلولاً موجزة للتدريبات على الاستخدام المباشر لتعريف وخصائص اللوغاريتمات.

1.6.B05. أ) أوجد قيمة التعبير

قرار.

التعبير يأخذ الشكل

1.6.D08. ب) أوجد قيمة التعبير (1 - log 4 36) (1 - log 9 36).

قرار. دعنا نستخدم خصائص اللوغاريتمات:

(1 - سجل 4 36) (1 - تسجيل 9 36) =

= (1 - السجل 4 4 - السجل 4 9) (1 - السجل 9 4 - السجل 9 9) =

= –log 4 9 (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. أ) أوجد قيمة التعبير

قرار. دعنا نحول البسط:

سجل 6 42 سجل 7 42 = (1 + سجل 6 7) (1 + سجل 7 6) = 1 + سجل 6 7 + سجل 7 6 + سجل 6 7 سجل 7 6.

لكن log 6 7 log 7 6 = 1. إذن البسط هو 2 + log 6 7 + log 7 6 والكسر هو 1.

دعنا ننتقل إلى حل التمارين لحساب قيمة التعبير اللوغاريتمي بالنظر إلى قيمة تعبير أو لوغاريتم آخر.

1.6.D02. أ) أوجد قيمة التعبير log 70320 إذا كان log 5 7 = أ، سجل 7 2 = ب.

قرار. دعونا نحول التعبير. دعنا ننتقل إلى القاعدة 7:

يتبع من الشرط أن . لذا

تتطلب المشكلة التالية مقارنة قيم تعبيرين يحتويان على لوغاريتمات.

1.6.C11. أ) قارن الأرقام

قرار. لنأخذ كلا اللوغاريتمين للأساس 2.

لذلك ، هذه الأرقام متساوية.

الجواب: هذه الأرقام متساوية.

عمل مستقل لطالب في السنة الأولى في موضوع الدرجات العلمية مع مؤشر صالح. خصائص الدرجة مع الأس الحقيقي (6 ساعات)

    دراسة المادة النظرية وتدوين الملاحظات (ساعتان)

    حل لغز الكلمات المتقاطعة (2 ساعة)

    أداء الواجب المنزلي (ساعتان)

يتم توفير المراجع والمواد التعليمية أدناه.

حول مفهوم الدرجة مع الأس المنطقي

بعض الاغلبيهشائع

أنواع الوظائف المتعالية من قبل

إرشادية تمامًا ، فتح الوصول إلى

دراسات عديدة.

إل. إيلر

من ممارسة حل المشكلات الجبرية المعقدة بشكل متزايد والتعامل مع القوى ، أصبح من الضروري تعميم مفهوم الدرجة وتوسيعها عن طريق إدخال الأعداد الصفرية والسالبة والكسرية كأسس.

تم استخدام المساواة a 0 = 1 (for) في كتاباته في بداية القرن الخامس عشر. عالم سمرقند الكاشي. بغض النظر عنه ، تم تقديم مؤشر الصفر بواسطة N. Shuke في القرن الخامس عشر. قدم الأخير أيضًا الأسس السلبية. ترد فكرة الأسس الكسرية في عالم الرياضيات الفرنسي ن. أوريم (القرن الرابع عشر) في كتابه

عمل "Algorism من النسب". كتب بدلاً من علامتنا ، بدلاً من ذلك كتب 4. يصوغ Orem لفظيًا قواعد الإجراءات بالدرجات ، على سبيل المثال (في التدوين الحديث) :، إلخ.

في وقت لاحق ، تم العثور على الأسس الكسرية والسالبة في "الحساب الكامل" (1544) بواسطة عالم الرياضيات الألماني M. Stiefel و S. Stevin. هذا الأخير يكتب أن جذر الدرجة صمن الرقم أيمكن أن تحسب كدرجة أمع كسر.

تمت كتابة ملاءمة إدخال المؤشرات الصفرية والسالبة والكسرية والرموز الحديثة لأول مرة بالتفصيل في عام 1665 من قبل عالم الرياضيات الإنجليزي جون فاليس. أكمل عمله أنا. نيوتن ، الذي بدأ في تطبيق الرموز الجديدة بشكل منهجي ، وبعد ذلك دخلت في الاستخدام الشائع.

يعد تقديم الدرجة مع الأس العقلاني أحد الأمثلة العديدة لتعميم مفهوم الإجراء الرياضي. يتم تعريف الدرجة التي تحتوي على الأسس الصفرية والسالبة والكسرية بطريقة تنطبق عليها نفس قواعد العمل كما هو الحال بالنسبة لدرجة ذات الأس الطبيعي ، أي بحيث يتم الحفاظ على الخصائص الأساسية لمفهوم الدرجة المحدد أصلاً ، يسمى:

لا يتعارض التعريف الجديد للدرجة ذات الأس المنطقي مع التعريف القديم للدرجة ذات الأس الطبيعي ، أي أن معنى التعريف الجديد للدرجة ذات الأس المنطقي محفوظ للحالة المعينة لدرجة مع الأس الطبيعي. هذا المبدأ ، الذي لوحظ في تعميم المفاهيم الرياضية ، يسمى مبدأ الدوام (الحفظ ، الثبات). تم التعبير عنها بشكل غير كامل في عام 1830 من قبل عالم الرياضيات الإنجليزي جيه بيكوك ، وقد تم تأسيسها بشكل كامل وواضح من قبل عالم الرياضيات الألماني جي هانكل في عام 1867. كما لوحظ مبدأ الدوام عند تعميم مفهوم العدد والتوسع لمفهوم العدد الحقيقي ، وقبل ذلك إدخال مفهوم الضرب على الكسر ، إلخ.

وظيفة الطاقة والرسمحل المعادلات وعدم المساواة

بفضل اكتشاف طريقة الإحداثيات والهندسة التحليلية ، تبدأ من القرن السابع عشر. أصبح من الممكن إجراء دراسة رسومية قابلة للتطبيق بشكل عام للوظائف والحل الرسومي للمعادلات.

قوةالوظيفة هي دالة في النموذج

حيث α هو رقم حقيقي ثابت. في البداية ، ومع ذلك ، فإننا نقصر أنفسنا على القيم المنطقية لـ α وبدلاً من المساواة (1) نكتب:

أين - رقم منطقي. من أجل التعريف ، على التوالي ، لدينا:

في=1, ص = س.

جدولأول هذه الوظائف على المستوى هي خط مستقيم موازٍ للمحور أوه،والثاني هو منصف زوايا الإحداثيات الأولى والثالثة.

عندما يكون الرسم البياني للوظيفة هو القطع المكافئ . ديكارت ، الذي دلالة على المجهول الأول من قبل ض، والثاني - من خلال ذ ،الثالث - من خلال x: ، كتب معادلة القطع المكافئ مثل هذا: ( ض- الإحداثي السيني). غالبًا ما يستخدم القطع المكافئ لحل المعادلات. لحل معادلة من الدرجة الرابعة على سبيل المثال

ديكارت عن طريق التبديل

حصلت على معادلة من الدرجة الثانية مع مجهولين:

تصور دائرة تقع في مستوى واحد (ضx) معقطع مكافئ (4). هكذا قدم ديكارت المجهول الثاني (X) ،يقسم المعادلة (3) إلى معادلتين (4) و (5) ، كل منهما تمثل موضعًا معينًا من النقاط. تعطي إحداثيات نقاط التقاطع الخاصة بهم جذور المعادلة (3).

ذات يوم قرر الملك اختيار مساعده الأول من بين حاشيته. قاد الجميع إلى قلعة ضخمة. "من يفتحها أولاً سيكون المساعد الأول." لم يمس أحد القلعة. جاء وزير واحد فقط ودفع القفل ففتح. لم يكن مؤمنا.

ثم قال الملك: "ستحصل على هذا المنصب لأنك لا تعتمد فقط على ما تراه وتسمعه ، بل تعتمد على قوتك ولا تخشى المحاولة".

واليوم سنحاول أن نتوصل إلى القرار الصحيح.

1. ما هو المفهوم الرياضي الكلمات المرتبطة بـ:

يتمركز

المؤشر (درجة)

ما الكلمات التي يمكن أن تجمع بين الكلمات:

رقم منطقي

عدد صحيح

عدد طبيعي

عدد غير نسبي (رقم حقيقي)

قم بصياغة موضوع الدرس. (القوة مع الأس الحقيقي)

- كرر خواص الدرجة

- مراعاة استخدام خصائص الدرجات في العمليات الحسابية وتبسيط التعبيرات

- تنمية المهارات الحسابية.

إذن ، a p ، حيث p هو رقم حقيقي.

أعط أمثلة (اختر من التعبيرات 5-2 ، ، 43 ،) درجات

- بمؤشر طبيعي

- مع قيمة عددية

- بمؤشر منطقي

- بمؤشر غير منطقي

ما هي قيم a التي يكون التعبير منطقيًا؟

أ ن ، حيث ن (أ هو أي)

أ م ، أين م (ولا يساوي 0) كيف ننتقل من أس سالب إلى أس موجب؟

حيث p ، q (a> 0)

ما هي الإجراءات (العمليات الحسابية) التي يمكن أداؤها بالدرجات؟

مجموعة المباراة:

عند ضرب الأسس بأساسات متساوية

يتم ضرب الأسس ، لكن الأس يبقى كما هو

عند قسمة القوى على أسس متساوية

الأسس مقسمة ، لكن الأس يبقى كما هو


في هذه المقالة ، سوف نفهم ما هو درجة. سنقدم هنا تعريفات لدرجة الرقم ، مع الأخذ في الاعتبار بالتفصيل جميع الأسس الممكنة للدرجة ، بدءًا من الأس الطبيعي ، وتنتهي برقم غير منطقي. ستجد في المادة الكثير من الأمثلة للدرجات التي تغطي كل التفاصيل الدقيقة التي تنشأ.

التنقل في الصفحة.

الدرجة ذات الأس الطبيعي ، مربع الرقم ، مكعب العدد

دعنا نبدء ب . بالنظر إلى المستقبل ، لنفترض أن تعريف درجة a مع الأس الطبيعي n معطى لـ a ، والذي سنسميه قاعدة الدرجة، و n ، الذي سنسميه الأس. نلاحظ أيضًا أن الدرجة مع المؤشر الطبيعي يتم تحديدها من خلال المنتج ، لذلك لفهم المادة أدناه ، يجب أن يكون لديك فكرة عن مضاعفة الأرقام.

تعريف.

قوة العدد أ مع الأس الطبيعي نهو تعبير للصيغة a n ، والتي تساوي قيمتها حاصل ضرب عوامل n ، كل منها يساوي a ، أي.
على وجه الخصوص ، درجة الرقم أ مع الأس 1 هي الرقم أ نفسه ، أي 1 = أ.

يجدر ذكر قواعد درجات القراءة على الفور. الطريقة العامة لقراءة الإدخال أ ن هي: "أ إلى قوة ن". في بعض الحالات ، تكون هذه الخيارات مقبولة أيضًا: "a إلى القوة n" و "القوة n من الرقم a". على سبيل المثال ، لنأخذ الدرجة 8 12 ، أي "ثمانية أس 12" ، أو "ثمانية أس 12" ، أو "12 أس ثمانية".

القوة الثانية للرقم ، وكذلك القوة الثالثة للرقم ، لها أسمائها الخاصة. تسمى القوة الثانية للرقم مربع الرقم، على سبيل المثال ، تتم قراءة 7 2 على أنها "سبعة تربيع" أو "مربع الرقم سبعة". القوة الثالثة للرقم تسمى رقم المكعب، على سبيل المثال ، يمكن قراءة 5 3 كـ "خمسة تكعيب" أو قول "مكعب من الرقم 5".

حان الوقت لجلب أمثلة على الدرجات مع المؤشرات المادية. لنبدأ بالقوة 5 7 ، حيث 5 هو أساس القوة و 7 هو الأس. دعنا نعطي مثالًا آخر: 4.32 هو الأساس ، والعدد الطبيعي 9 هو الأس (4.32) 9.

يرجى ملاحظة أنه في المثال الأخير ، تم كتابة قاعدة الدرجة 4.32 بين قوسين: لتجنب التناقضات ، سنأخذ بين قوسين جميع قواعد الدرجة التي تختلف عن الأرقام الطبيعية. كمثال ، نعطي الدرجات التالية بمؤشرات طبيعية ، قواعدها ليست أعدادًا طبيعية ، لذا فهي مكتوبة بين قوسين. حسنًا ، من أجل التوضيح الكامل في هذه المرحلة ، سنعرض الفرق الموجود في تسجيلات النموذج (−2) 3 و −2 3. التعبير (−2) 3 هو قوة −2 مع الأس الطبيعي 3 ، والتعبير −2 3 (يمكن كتابته كـ - (2 3)) يتوافق مع الرقم ، قيمة القوة 2 3.

لاحظ أن هناك تدوينًا لدرجة a مع الأس n بالشكل a ^ n. علاوة على ذلك ، إذا كان n عددًا طبيعيًا متعدد القيم ، فسيتم وضع الأس بين قوسين. على سبيل المثال ، 4 ^ 9 هو رمز آخر للقوة 4 9. وإليك المزيد من الأمثلة على كتابة الدرجات باستخدام الرمز "^": 14 ^ (21) ، (−2،1) ^ (155). فيما يلي ، سنستخدم تدوين درجة الصورة أ ن بشكل أساسي.

إحدى المشاكل ، عكس الأس مع الأس الطبيعي ، هي مشكلة إيجاد أساس الدرجة من قيمة معروفة للدرجة وأس معروف. هذه المهمة تؤدي إلى.

من المعروف أن مجموعة الأعداد المنطقية تتكون من أعداد صحيحة وأرقام كسرية ، ويمكن تمثيل كل عدد كسري ككسر عادي موجب أو سالب. لقد حددنا الدرجة مع الأس الصحيح في الفقرة السابقة ، لذلك ، من أجل إكمال تعريف الدرجة مع الأس المنطقي ، نحتاج إلى إعطاء معنى درجة الرقم أ مع الأس الكسري م / ن ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. دعنا نقوم به.

ضع في اعتبارك درجة ذات أس كسري للصيغة. لكي تظل خاصية الدرجة العلمية صالحة ، يجب أن تستمر المساواة . إذا أخذنا في الاعتبار المساواة الناتجة وكيف حددناها ، فمن المنطقي قبولها ، بشرط أن يكون التعبير منطقيًا بالنسبة لمعطى m و n و a.

من السهل التحقق من أن جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح صالحة لأن (يتم ذلك في القسم الخاص بخصائص الدرجة ذات الأس المنطقي).

المنطق أعلاه يسمح لنا بعمل ما يلي خاتمة: إذا كان التعبير معطى m و n و a منطقيًا ، فإن قوة الرقم a مع الأس الكسري m / n تسمى جذر الدرجة n من a إلى القوة m.

هذه العبارة تقربنا من تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. يبقى فقط لوصف معنى m و n والتعبير. اعتمادًا على القيود المفروضة على m و n و a ، هناك طريقتان رئيسيتان.

    أسهل طريقة لتقييد a هي افتراض a≥0 للإشارة إلى موجب m و a> 0 لسالب m (لأن m≤0 ليس لديه قوة تساوي 0 m). ثم نحصل على التعريف التالي للدرجة ذات الأس الكسري.

    تعريف.

    قوة رقم موجب أ مع أس كسري م / ن، حيث m عدد صحيح ، و n عدد طبيعي ، يسمى جذر n من الرقم a مرفوع إلى أس m ، أي.

    يتم تعريف الدرجة الكسرية للصفر أيضًا بالتحذير الوحيد بأن الأس يجب أن يكون موجبًا.

    تعريف.

    قوة الصفر مع الأس الموجب الجزئي م / ن، حيث m عدد صحيح موجب و n عدد طبيعي ، يتم تعريفه على أنه .
    عندما لا يتم تعريف الدرجة ، أي أن درجة الرقم صفر بأس سالب كسري لا معنى لها.

    تجدر الإشارة إلى أنه مع مثل هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري ، هناك فارق بسيط واحد: بالنسبة لبعض السالب a وبعض m و n ، يكون التعبير منطقيًا ، وقد تجاهلنا هذه الحالات من خلال تقديم الشرط a≥0. على سبيل المثال ، من المنطقي أن تكتب أو ، والتعريف أعلاه يجبرنا على قول تلك الدرجات مع الأس الكسري للصيغة لا معنى لها ، لأن القاعدة يجب ألا تكون سلبية.

    هناك طريقة أخرى لتحديد الدرجة باستخدام الأس الكسري m / n وهي النظر بشكل منفصل إلى الأس الزوجي والفردي للجذر. يتطلب هذا النهج شرطًا إضافيًا: درجة الرقم أ ، الذي يكون الأس ، يعتبر درجة الرقم أ ، الذي يكون الأس هو الكسر المقابل غير القابل للاختزال (سيتم توضيح أهمية هذا الشرط أدناه). بمعنى ، إذا كانت m / n جزءًا غير قابل للاختزال ، فعندئذٍ يتم استبدال الدرجة أولاً بأي رقم طبيعي k.

    بالنسبة إلى n و موجب m ، يكون التعبير منطقيًا لأي غير سالب a (جذر حتى درجةمن عند عدد السلبيلا معنى له) ، بالنسبة لسالب m ، يجب أن يظل الرقم a مختلفًا عن الصفر (وإلا فسيتم القسمة على صفر). وبالنسبة للفرد n والإيجابي m ، يمكن أن يكون الرقم a أي شيء (يتم تحديد جذر الدرجة الفردية لأي عدد حقيقي) ، وبالنسبة لسالب m ، يجب أن يكون الرقم a مختلفًا عن الصفر (بحيث لا يكون هناك قسمة على صفر).

    يقودنا المنطق أعلاه إلى مثل هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري.

    تعريف.

    لنفترض أن m / n جزء غير قابل للاختزال ، و m عددًا صحيحًا ، و n عددًا طبيعيًا. لأي انكماش جزء مشتركدرجة. قوة a ذات الأس الكسري غير القابل للاختزال m / n هي لـ

    دعونا نوضح سبب استبدال الدرجة ذات الأس الكسري القابل للاختزال بدرجة ذات أس غير قابل للاختزال. إذا قمنا بتعريف الدرجة ببساطة ، ولم نحفظ بشأن عدم إمكانية اختزال الكسر م / ن ، فسنواجه مواقف مشابهة لما يلي: منذ 6/10 = 3/5 ، ثم المساواة ، لكن ، أ .

موضوع الدرس: شهادة مع الدعاة العقلانية والحقيقية.

الأهداف:

    تعليمي :

    • تعميم مفهوم الدرجة.

      لتطوير القدرة على إيجاد قيمة الدرجة بمؤشر حقيقي ؛

      تعزيز القدرة على استخدام خصائص الدرجة عند تبسيط التعبيرات ؛

      تنمي مهارة استخدام خواص الدرجة في العمليات الحسابية.

    تعليمي :

    • فكري وعاطفي تطوير الذاتطالب علم؛

      تطوير القدرة على التعميم والتنظيم على أساس المقارنة والتوصل إلى نتيجة ؛

      تنشيط النشاط المستقل ؛

      تنمي الفضول.

    تعليمي :

    • تعليم الثقافة الاتصالية والإعلامية للطلاب ؛

      يتم تنفيذ التعليم الجمالي من خلال تكوين القدرة على صياغة مهمة بشكل عقلاني ودقيق على السبورة وفي دفتر ملاحظات.

يجب أن يعرف الطلاب: تعريف وخصائص الدرجة مع الأس الحقيقي

يجب أن يكون الطلاب قادرين على:

    تحديد ما إذا كان التعبير بدرجة ما منطقيًا ؛

    استخدام خصائص الدرجة في العمليات الحسابية وتبسيط التعبيرات ؛

    حل الأمثلة التي تحتوي على درجة ؛

    قارن ، ابحث عن أوجه التشابه والاختلاف.

شكل الدرس: ندوة - ورشة عمل مع عناصر البحث. دعم الكمبيوتر.

شكل تنظيم التدريب: الفردية والجماعية.

التقنيات التربوية : مشكلة التعلمالتعلم بالتعاون شخصيًا - التعلم الموجه، اتصالي.

نوع الدرس: درس في البحث والعمل العملي.

مرئيات الدرس والنشرات:

    عرض

    الصيغ والجداول (التطبيق 1.2)

    التكليف بالعمل المستقل (الملحق 3)

خطة الدرس

№

مرحلة الدرس

الغرض من المرحلة

الوقت دقيقة.

بداية الدرس

الإبلاغ عن موضوع الدرس وتحديد أهداف الدرس.

1-2 دقيقة

العمل الشفوي

راجع معادلات الطاقة.

خصائص الدرجة.

4-5 دقائق

حل أمامي

لوحات من الكتاب المدرسي رقم 57 (1،3،5)

№58 (1،3،5) مع الالتزام التفصيلي لخطة الحل.

تكوين المهارات والقدرات

اطلب من الطلاب تطبيق الخصائص

الدرجات عند إيجاد قيم التعبير.

8-10 دقيقة

العمل في مجموعات صغيرة.

تحديد الفجوات في المعرفة

الطلاب ، وتهيئة الظروف لـ

التنمية الفرديةطالب علم

في الدرس.

15-20 دقيقة

تلخيص العمل.

تتبع نجاح عملك

الطلاب ، عند حل المشكلات المتعلقة بموضوع ما بشكل مستقل ، اكتشفوا ذلك

طبيعة الصعوبات وأسبابها ،

تقديم حلول جماعية.

5-6 دقائق

الواجب المنزلي

عرّف الطلاب على الواجبات المنزلية. قدم التفسيرات اللازمة.

1-2 دقيقة

أثناء الفصول

تنظيم الوقت

مرحبا يا شباب! اكتب في دفاتر ملاحظاتك الرقم وموضوع الدرس.

يقولون إن مخترع الشطرنج ، كمكافأة على اختراعه ، طلب من الراجا بعض الأرز: طلب وضع حبة واحدة في الخلية الأولى من اللوحة ، في الثانية - مرتين أكثر ، أي حبتين ، على ثالثًا - أكثر بمرتين ، أي 4 حبيبات ، وما إلى ذلك حتى 64 خلية.

بدا طلبه متواضعًا جدًا بالنسبة إلى الرجاء ، ولكن سرعان ما أصبح واضحًا أنه كان من المستحيل الوفاء به. يتم التعبير عن عدد الحبوب التي يجب منحها لمخترع الشطرنج كمكافأة بالمجموع

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

هذا المبلغ يساوي عددًا كبيرًا

18446744073709551615

وهي كبيرة جدًا لدرجة أن هذه الكمية من الحبوب يمكن أن تغطي كامل سطح كوكبنا ، بما في ذلك المحيطات ، بطبقة من 1 سم.

تُستخدم الدرجات عند كتابة الأرقام والتعبيرات ، مما يجعلها أكثر إحكاما وملاءمة لأداء الإجراءات.

غالبًا ما تستخدم الدرجات للقياس كميات فيزيائية، والتي يمكن أن تكون "كبيرة جدًا" أو "صغيرة جدًا".

كُتِبَت كتلة الأرض 6000000000000000000000 طن في صورة حاصل ضرب 6.10 21 ر

يُكتب قطر جزيء الماء 0.0000000003 م كمنتج

3.10 -10 م.

1. مع ماذا مفهوم رياضيالكلمات ذات الصلة:

يتمركز
مؤشر(الدرجة العلمية)


ما الكلمات التي يمكن أن تجمع بين الكلمات:
رقم منطقي
عدد صحيح
عدد طبيعي
عدد غير نسبي(عدد حقيقي)
قم بصياغة موضوع الدرس.(القوة مع الأس الحقيقي)

2. لذا أ x،أينx هو رقم حقيقي. حدد من التعبيرات

مع مؤشر طبيعي

مع عدد صحيح

مع مؤشر منطقي

مع مؤشر غير منطقي

3. ما هو هدفنا؟(استعمال)
اي نوعأهداف درسنا ?
- تعميم مفهوم الدرجة.

مهام:

– كرر خصائص الدرجة
- مراعاة استخدام خصائص الدرجات في العمليات الحسابية وتبسيط التعبيرات
- تنمية المهارات الحسابية

4 . درجة مع الأس المنطقي

يتمركز

درجات

الدرجة مع الأسص، القاعدة أ (نن, من

ص= ن

ص= - ن

ص= 0

ص= 0

ص = 0

أ ن= أ. أ. … . أ

أ -ن=

أ 0 =1

أ ن= أ. ….أ

أ -ن=

غير موجود

غير موجود

أ 0 =1

أ = 0

0 ن=0

غير موجود

غير موجود

غير موجود

5 . من هذه التعبيرات ، اختر تلك التي لا معنى لها:

6 . تعريف

إذا كان الرقمص- طبيعي إذن صهناك عملصالأرقام ، كل منها يساوي:

أ ص= أ. أ. … . أ

إذا كان الرقمص- كسري وإيجابي ، أي أينمون- طبيعي >> صفة

الأرقام ، إذن

إذا كان المؤشرصهو منطقي وسالب ، ثم التعبيرأ ص

يتم تعريفه على أنه المعاملة بالمثلأ - ص

أو

اذا كان

7 . علي سبيل المثال

8 . تتمتع قوى الأعداد الموجبة بالخصائص الأساسية التالية:

9 . احسب

10. ما هي الإجراءات (العمليات الحسابية) التي يمكن أداؤها بالدرجات؟

مجموعة المباراة:

أ) عند ضرب الأسس بـ أسباب متساوية

1) يتم ضرب الأسس ، لكن الأس يبقى كما هو

ب) عند قسمة الدرجات على أسس متساوية

2) الأسس مقسمة لكن الأس يبقى كما هو

ب) عند رفع قوة إلى قوة

3) الأساس يبقى كما هو لكن الأسس مضروبين

د) عند ضرب الأسس بأسس متساوية

4) يبقى الأساس كما هو ، ويتم طرح الأسس

هـ) عند قسمة الدرجات بمؤشرات متساوية

5) تظل القاعدة كما هي ، وتجمع المؤشرات

11 . من الكتاب المدرسي (على السبورة)

لحل الفصل:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . بواسطة مواد الاستخدام

(عمل مستقل) على منشورات

الرابع عشرقرن.

الجواب: Oresma. 13. بالإضافة إلى ذلك (بشكل فردي) لأولئك الذين يمكنهم إكمال المهام بشكل أسرع:

14. الواجب المنزلي

المادة 5 (تعرف على التعاريف والصيغ)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

في نهاية الدرس:

"الرياضيات بعد ذلك تحتاج بالفعل إلى أن تُدرَّس ، لأنها تضع العقل بالترتيب"

– هكذا قال عالم الرياضيات الروسي العظيم ميخائيل لومونوسوف.


- شكرا لك على الدرس!

ملحق 1

1. درجات. الخصائص الأساسية

مؤشر

أ 1 = أ

أ ن= أ. ….أ

ارن

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

الدرجة مع الأس الصحيح

أ 0 = 1 ،

اين ا

0 0 - غير محدد.

درجة مع عقلاني

مؤشر

أينأ

م

درجة مع الأس غير المنطقي

الجواب: == 25.9 ...

1. أ x. أ ذ= أ س + ص

2-أ x: أ ذ== أ س ص

3. .(أ x) ذ= أ x.y

4. (أ ب) ن= أ ن.ب ن

5. (=

6. (

الملحق 2

2. درجة مع الأس المنطقي

يتمركز

درجات

الدرجة مع الأسص، القاعدة أ (نن, من

ص= ن

ص= - ن

ص= 0

ص= 0

ص = 0

أ ن= أ. أ. … . أ

أ -ن=

أ 0 =1

أ ن= أ. ….أ

أ -ن=

غير موجود

غير موجود

أ 0 =1

أ = 0

0 ن=0

غير موجود

غير موجود

غير موجود

الملحق 3

3. عمل مستقل

لأول مرة ، تم استخدام الإجراءات على القوى من قبل عالم رياضيات فرنسيالرابع عشرقرن.

فك شفرة اسم العالم الفرنسي.

اقرأ أيضا:

فئات:

جمع: