الدرجة واحدة من الخصائص الرئيسية في الجبر ، وفي الواقع في جميع الرياضيات ، هي الدرجة العلمية. بالطبع ، في القرن الحادي والعشرين ، يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية باستخدام آلة حاسبة عبر الإنترنت ، ولكن من الأفضل أن تتعلم كيفية القيام بذلك بنفسك لتنمية العقول.

في هذه المقالة ، سننظر في أهم القضايا المتعلقة بهذا التعريف. وبالتحديد ، سوف نفهم ماهيتها بشكل عام وما هي وظائفها الرئيسية ، وما هي الخصائص الموجودة في الرياضيات.

لنلقِ نظرة على أمثلة لشكل العملية الحسابية ، ما هي الصيغ الأساسية. سنقوم بتحليل الأنواع الرئيسية للكميات وكيف تختلف عن الوظائف الأخرى.

سوف نفهم كيفية حل المشاكل المختلفة باستخدام هذه القيمة. سنوضح بأمثلة كيفية رفع درجة الصفر ، غير المنطقي ، السلبي ، إلخ.

حاسبة الأُس على الإنترنت

ما هي درجة الرقم

ما المقصود بعبارة "رفع رقم إلى قوة"؟

الدرجة n للعدد a هي حاصل ضرب عوامل المقدار a n مرة على التوالي.

رياضيا يبدو كالتالي:

أ ن = أ * أ * أ * ... أ ن.

علي سبيل المثال:

• 2 3 = 2 في الخطوة الثالثة. = 2 * 2 * 2 = 8 ؛
• 4 2 = 4 خطوة. اثنان = 4 * 4 = 16 ؛
• 5 4 = 5 خطوة. أربعة = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 ؛
• 10 5 \ u003d 10 في 5 خطوات. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000 ؛
• 10 4 \ u003d 10 في 4 خطوات. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

يوجد أدناه جدول المربعات والمكعبات من 1 إلى 10.

جدول الدرجات من 1 إلى 10

فيما يلي نتائج البناء الأعداد الطبيعيةإلى القوى الإيجابية - "من 1 إلى 100".

الفصل لو	الصف الثاني	الصف 3RD
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

خصائص الدرجة

ما هي خاصية هذه الوظيفة الرياضية؟ دعونا نلقي نظرة على الخصائص الأساسية.

أنشأ العلماء ما يلي العلامات المميزة لجميع الدرجات:

• أ ن * أ م = (أ) (ن + م) ؛
• أ ن: أ م = (أ) (ن م) ؛
• (أ ب) م = (أ) (ب * م).

دعنا نتحقق من الأمثلة:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. ومن ناحية أخرى 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

بالمثل: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. خلاف ذلك 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. ماذا لو كانت مختلفة؟ 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

كما ترى ، تعمل القواعد.

ولكن كيف تكون مع الجمع والطرح؟ كل شيء بسيط. يتم تنفيذ الأس الأول ، وبعد ذلك فقط يتم الجمع والطرح.

لنلقِ نظرة على الأمثلة:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2-3 2 = 25-9 = 16

لكن في هذه الحالة ، يجب عليك أولاً حساب الإضافة ، نظرًا لوجود إجراءات بين قوسين: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

كيف تنتج الحسابات في الحالات الأكثر تعقيدًا؟ الترتيب هو نفسه:

• إذا كانت هناك أقواس ، فأنت بحاجة إلى البدء بها ؛
• ثم الأس.
• ثم إجراء عمليات الضرب والقسمة ؛
• بعد الجمع والطرح.

هناك خصائص محددة لا تميز جميع الدرجات:

1. سيتم كتابة جذر الدرجة n من الرقم a إلى الدرجة m على النحو التالي: a m / n.
2. عند رفع الكسر إلى أس: يخضع كل من البسط ومقامه لهذا الإجراء.
3. عند رفع حاصل ضرب أعداد مختلفة إلى أس ، فإن التعبير سوف يتوافق مع حاصل ضرب هذه الأرقام لقوة معينة. وهذا هو: (أ * ب) ن = أ ن * ب ن.
4. عند رفع رقم إلى قوة سالبة ، تحتاج إلى قسمة 1 على رقم في نفس الخطوة ، ولكن بعلامة "+".
5. إذا كان مقام الكسر في قوة سالبة ، فسيكون هذا المقدار مساويًا لحاصل ضرب البسط والمقام في قوة موجبة.
6. أي عدد أس 0 = 1 وإلى الخطوة. 1 = لنفسه.

هذه القواعد مهمة في الحالات الفردية ، سننظر فيها بمزيد من التفصيل أدناه.

الدرجة مع الأس السالب

ماذا تفعل بالدرجة السالبة أي عندما يكون المؤشر سالبًا؟

بناءً على الخصائص 4 و 5(انظر النقطة أعلاه) اتضح:

أ (- n) \ u003d 1 / A n ، 5 (-2) \ u003d 1/5 2 \ u003d 1/25.

والعكس صحيح:

1 / A (- n) \ u003d A n ، 1/2 (-3) \ u003d 2 3 \ u003d 8.

ماذا لو كان كسرًا؟

(أ / ب) (- ن) = (ب / أ) ن ، (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

درجة بمؤشر طبيعي

يُفهم على أنه درجة ذات أسس تساوي الأعداد الصحيحة.

أشياء للذكرى:

أ 0 = 1 ، 1 0 = 1 ؛ 2 0 = 1 ؛ 3.15 0 = 1 ؛ (-4) 0 = 1 ... إلخ.

أ 1 = أ ، 1 1 = 1 ؛ 2 1 = 2 ؛ 3 1 = 3… الخ.

أيضًا ، إذا كانت (-a) 2 n +2 ، n = 0 ، 1 ، 2 ... فإن النتيجة ستكون بعلامة "+". إذا تم رفع رقم سالب إلى قوة فردية ، فالعكس صحيح.

الخصائص العامة ، وجميع الميزات المحددة الموضحة أعلاه ، هي أيضًا سمات مميزة لها.

درجة كسرية

يمكن كتابة هذا الرأي كمخطط: م / ن. يُقرأ على النحو التالي: جذر الدرجة n من الرقم A إلى أس m.

باستخدام المؤشر الكسري ، يمكنك فعل أي شيء: التقليل ، التحلل إلى أجزاء ، الرفع إلى درجة أخرى ، إلخ.

درجة مع الأس غير المنطقي

اجعل α عددًا غير نسبي و А ˃ 0.

لفهم جوهر الدرجة بمثل هذا المؤشر ، لنلقِ نظرة على الحالات المختلفة المحتملة:

• أ \ u003d 1. ستكون النتيجة 1. نظرًا لوجود بديهية - 1 يساوي واحدًا في جميع القوى ؛

А r 1 А α ˂ А r 2، r 1 r 2 أرقام منطقية ؛

• 0˂А˂1.

في هذه الحالة ، والعكس صحيح: А r 2 А А α А r 1 بنفس الشروط كما في الفقرة الثانية.

على سبيل المثال ، الأس هو الرقم π.إنه عقلاني.

ص 1 - في هذه الحالة يساوي 3 ؛

ص 2 - تساوي 4.

ثم بالنسبة إلى أ = 1 ، 1 π = 1.

أ = 2 ، ثم 2 3 ˂ 2 π 4 2 ، 8 ˂ 2 π 16.

أ = 1/2 ، ثم (½) 4 (½) π ˂ (½) 3 ، 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

تتميز هذه الدرجات بجميع العمليات الرياضية والخصائص المحددة الموضحة أعلاه.

خاتمة

دعونا نلخص - ما هي هذه القيم ، ما هي مزايا هذه الوظائف؟ بالطبع ، أولاً وقبل كل شيء ، يبسطون حياة علماء الرياضيات والمبرمجين عند حل الأمثلة ، لأنهم يسمحون بتقليل العمليات الحسابية وتقليل الخوارزميات وتنظيم البيانات وغير ذلك الكثير.

في أي مكان آخر يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة؟ في أي تخصص عملي: الطب ، الصيدلة ، طب الأسنان ، البناء ، التكنولوجيا ، الهندسة ، التصميم ، إلخ.

مقالات عن العلوم الطبيعية والرياضيات

خصائص القوى التي لها نفس القاعدة

هناك ثلاثة خصائص الدرجةبنفس الأسس والمؤشرات الطبيعية. هذه

• الشغل مجموع
• نشرقوتان لهما نفس الأساس تساوي تعبيرًا حيث الأساس هو نفسه والأس فرقمؤشرات المضاعفات الأصلية.
• رفع قوة رقم إلى قوةيساوي تعبير يكون فيه الأساس هو نفس العدد والأس الشغلدرجتين.

كن حذرا! القواعد المتعلقة جمع وطرحالقوى مع نفس القاعدة غير موجود.

نكتب قواعد الخصائص هذه في شكل صيغ:

• صباحا؟ أ ن = أ م + ن
• صباحا؟ أ ن = أ م - ن
• (am) n = a mn

فكر الآن في أمثلة محددة وحاول إثبات ذلك.

5 2؟ 5 3 = 5 5 - هنا طبقنا القاعدة ؛ والآن تخيل كيف يمكننا حل هذا المثال إذا لم نكن نعرف القواعد:

5 2؟ 5 3 = 5؟ خمسة؟ خمسة؟ خمسة؟ 5 \ u003d 5 5 - خمسة تربيع يساوي خمسة في خمسة ، ومكعب هو حاصل ضرب ثلاث خمسات. النتيجة هي حاصل ضرب خمس خمسات ، لكن هذا شيء آخر بخلاف خمسة أس الخامس: 5 5.

3 9؟ 3 5 = 3 9-5 = 3 4. لنكتب القسمة على شكل كسر:

يمكن تقصيرها:

نتيجة لذلك ، نحصل على:

وهكذا ، أثبتنا أنه عند قسمة قوتين لهما نفس الأسس ، يجب طرح مؤشراتهما.

ومع ذلك ، عند القسمة ، من المستحيل أن يساوي المقسوم عليه صفرًا (حيث لا يمكنك القسمة على صفر). بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لأننا نأخذ في الاعتبار الدرجات ذات المؤشرات الطبيعية فقط ، فلا يمكننا الحصول على رقم أقل من 1 نتيجة لطرح المؤشرات ، لذلك ، فإن الصيغة a m؟ a n = a m - n يتم فرض قيود: a؟ 0 و م> ن.

دعنا ننتقل إلى الخاصية الثالثة:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

دعنا نكتب في شكل موسع:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

يمكنك الوصول إلى هذا الاستنتاج والاستدلال المنطقي. تحتاج إلى ضرب اثنين تربيع أربع مرات. لكن هناك اثنين في كل مربع ، إذن سيكون هناك ثمانية في المجموع.

scienceland.info

قواعد الجمع والطرح.

1. من تغيير في أماكن المصطلحات ، لن يتغير المجموع (خاصية الاستبدال الإضافية)

يمكن كتابة 13 + 25 = 38 على النحو التالي: 25 + 13 = 38

2. لن تتغير نتيجة الإضافة إذا تم استبدال المصطلحات المجاورة بمجموعها (خاصية ارتباطية إضافية).

يمكن كتابة 10 + 13 + 3 + 5 = 31 على النحو التالي: 23 + 3 + 5 = 31 ؛ 26 + 5 = 31 ؛ 23 + 8 = 31 وما إلى ذلك.

3. تضاف الوحدات مع الآحاد ، وتجمع العشرات مع العشرات ، وهكذا.

34 + 11 = 45 (3 عشرات زائد 1 عشرات ؛ 4 آحاد زائد 1 واحد).

4. يتم طرح الوحدات من الوحدات ، والعشرات من العشرات ، إلخ.

53-12 = 41 (3 وحدات ناقص 2 وحدة ؛ 5 عشرات ناقص 1 عشرة)

ملاحظة: 10 وحدات تجعل واحدًا عشرة. يجب تذكر هذا عند الطرح لأن إذا كان عدد الوحدات المخصومة أكبر من عدد الوحدات المخصومة ، فيمكننا "استعارة" عشر وحدات من المخفض.

41-12 \ u003d 29 (لطرح 2 من 1 ، نحتاج أولاً إلى "استعارة" وحدة من عشرات ، نحصل على 11-2 \ u003d 9 ؛ تذكر أن القيمة المخفضة بها أقل بمقدار 1 ، لذلك ، هناك 3 عشرات ومنه طرح عشرة الإجابة 29).

5. إذا تم طرح أحدهما من مجموع فترتين ، فسيتم الحصول على المصطلح الثاني.

هذا يعني أنه يمكن التحقق من الجمع باستخدام الطرح.

للتحقق ، يتم طرح أحد المصطلحات من المجموع: 49-7 = 42 أو 49-42 = 7

إذا لم تحصل ، نتيجة الطرح ، على أحد المصطلحات ، فقد حدث خطأ في الإضافة.

6. إذا أضفت المطروح إلى الفرق ، تحصل على الحد الأدنى.

هذا يعني أنه يمكن التحقق من الطرح عن طريق الجمع.

للتحقق ، أضف المطروح إلى الفرق: 19 + 50 = 69.

إذا لم تحصل على انخفاض نتيجة للإجراء الموضح أعلاه ، فقد حدث خطأ في عملية الطرح.

جمع وطرح الأعداد النسبية

يغطي هذا الدرس جمع وطرح الأعداد المنطقية. الموضوع مصنف على أنه معقد. من الضروري هنا استخدام كامل ترسانة المعرفة المكتسبة سابقًا.

قواعد جمع وطرح الأعداد الصحيحة صالحة أيضًا للأرقام المنطقية. تذكر أن الأرقام المنطقية هي أرقام يمكن تمثيلها في صورة كسر ، وأين أ -هو بسط الكسر بمقام الكسر. و بلا ينبغي أن يكون فارغًا.

في هذا الدرس ، سوف نشير بشكل متزايد إلى الكسور والأرقام المختلطة باعتبارها عبارة واحدة شائعة - أرقام نسبية.

التنقل في الدرس:

مثال 1أوجد قيمة التعبير

نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن علامة الجمع الواردة في التعبير هي علامة العملية ولا تنطبق على الكسور. هذا الكسر له علامة زائد خاصة به ، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابته. لكننا سنكتبها للتوضيح:

هذه هي إضافة الأعداد المنطقية مع علامات مختلفة. لإضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة ، عليك طرح الرقم الأصغر من الوحدة الأكبر ، ووضع الإشارة التي تكون وحدتها أكبر أمام الإجابة. ولكي تفهم أي وحدة أكبر وأيها أقل ، يجب أن تكون قادرًا على مقارنة وحدات هذه الكسور قبل حسابها:

مقياس العدد المنطقي أكبر من مقياس العدد المنطقي. لذلك ، طرحنا من. حصلت على إجابة. بعد ذلك ، بتقليل هذا الكسر بمقدار 2 ، حصلنا على الإجابة النهائية.

إذا رغبت في ذلك ، يمكن تخطي بعض الإجراءات البدائية ، مثل إرفاق الأرقام بين قوسين ووضع وحدات نمطية. يمكن كتابة هذا المثال بطريقة أقصر:

مثال 2أوجد قيمة التعبير

نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن الطرح الوارد في التعبير هو علامة العملية ولا ينطبق على الكسر.

الكسر في هذه الحالة هو رقم نسبي موجب له علامة موجب ، وهو غير مرئي. لكننا سنكتبها للتوضيح:

دعنا نستبدل الطرح بالجمع. تذكر أنه لهذا تحتاج إلى إضافة الرقم المقابل للمطروح إلى الطرح:

حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. لإضافة أرقام منطقية سالبة ، تحتاج إلى إضافة وحداتها النمطية ووضع علامة ناقص قبل الإجابة:

مثال 3أوجد قيمة التعبير

في هذا التعبير ، للكسرين مقامات مختلفة. لتسهيل الأمر على أنفسنا ، فلنقم بإحضار هذه الكسور إلى نفس المقام (المشترك). لن نتطرق إلى هذا بالتفصيل. إذا كنت تواجه مشكلة ، فتأكد من الرجوع إلى درس الكسور وتكرارها.

بعد اختزال الكسور إلى مقام موحد ، سيأخذ التعبير الصيغة التالية:

هذه هي إضافة أعداد منطقية بعلامات مختلفة. نطرح الأصغر من الوحدة الأكبر ونضع العلامة أمام الإجابة المستلمة ، والوحدة النمطية أكبر:

مثال 4أوجد قيمة التعبير

حصلنا على مجموع ثلاثة حدود. أولاً ، ابحث عن قيمة التعبير ، ثم قم بإضافتها إلى الإجابة المستلمة

الإجراء الأول:

الإجراء الثاني:

وبالتالي ، فإن قيمة التعبير متساوية.

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر

مثال 5. أوجد قيمة التعبير

ضع كل رقم بين قوسين مع علاماته. لهذا عدد كسرينشر مؤقتا

دعنا نحسب الأجزاء الصحيحة:

في التعبير الرئيسي بدلاً من اكتب الوحدة الناتجة:

دعنا نحول التعبير الناتج. للقيام بذلك ، نحذف الأقواس ونكتب الوحدة والكسر معًا

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر:

مثال 6أوجد قيمة التعبير

حوّل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي. دعنا نعيد كتابة الباقي كما هو:

نرفق كل رقم منطقي بين قوسين مع علاماته:

دعنا نستبدل الطرح بالجمع:

حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. دعنا نضيف وحدات هذه الأرقام ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة:

وبالتالي ، فإن قيمة التعبير هي.

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر:

مثال 7ابحث عن تعبير القيمة

لنكتب العدد الكسري في الصورة الموسعة. دعنا نعيد كتابة الباقي كما هو:

ضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته

دعنا نستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن ذلك:

دعنا نحسب الأجزاء الصحيحة:

في التعبير الرئيسي ، بدلا من كتابة الرقم الناتج؟ 7

التعبير هو شكل موسع لكتابة عدد كسري. يمكنك كتابة الإجابة على الفور عن طريق كتابة الأرقام 7 وكسر (إخفاء ناقص هذا الكسر) معًا

وبالتالي ، فإن قيمة التعبير هي

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر بكثير. إذا تخطيت بعض التفاصيل ، فيمكن كتابتها على النحو التالي:

المثال 8أوجد قيمة التعبير

يمكن حساب هذا التعبير بطريقتين. دعونا نفكر في كل منهم.

اول طريق.يتم حساب العدد الصحيح والجزء الكسري من التعبير بشكل منفصل.

أولًا ، لنكتب الأعداد الكسرية بالصورة الموسعة:

ضع كل رقم بين قوسين مع علاماته:

دعنا نستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن ذلك:

حصلنا على مجموع عدة شروط. وفقًا لقانون الجمع الجمع ، إذا احتوى التعبير على عدة مصطلحات ، فلن يعتمد المجموع على ترتيب العمليات. سيسمح لنا ذلك بتجميع الأعداد الصحيحة والكسور بشكل منفصل:

دعنا نحسب الأجزاء الصحيحة:

في التعبير الرئيسي بدلا من كتابة الرقم الناتج؟ 3

دعنا نحسب الأجزاء الكسرية:

في التعبير الرئيسي ، بدلاً من كتابة العدد الكسري الناتج

لحساب التعبير الناتج ، يجب توسيع الرقم الكسري مؤقتًا ، ثم وضع كل رقم بين قوسين ، واستبدال عملية الطرح بالجمع. يجب أن يتم ذلك بعناية فائقة حتى لا تخلط بين إشارات المصطلحات.

بعد تحويل التعبير ، لدينا تعبير جديد يسهل حسابه. كان هناك تعبير مشابه في المثال 7. تذكر أننا أضفنا أجزاء الأعداد الصحيحة بشكل منفصل ، وتركنا الجزء الكسري كما هو:

إذن قيمة التعبير هي

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر

في حل قصير ، يتم تخطي خطوات وضع الأرقام بين قوسين ، واستبدال الطرح بالجمع ، ووضع الوحدات النمطية. إذا كنت تدرس في مدرسة أو غيرها مؤسسة تعليمية، فستتم مطالبتك بتخطي هذه الخطوات البدائية لتوفير الوقت والمساحة. يمكن كتابة الحل القصير أعلاه بشكل أقصر. سيبدو مثل هذا:

لذلك ، أثناء تواجدك في المدرسة أو في مؤسسة تعليمية أخرى ، كن مستعدًا لحقيقة أنه يجب القيام ببعض الإجراءات في ذهنك.

الطريقة الثانية.يتم ترجمة تعبيرات الأرقام المختلطة إلى الكسور غير الصحيحةوتحسب مثل الكسور العادية.

ضع بين قوسين كل رقم كسري مع علاماته

دعنا نستبدل الطرح بالجمع:

الآن الأعداد الكسرية وترجمتها إلى كسور غير صحيحة:

حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. دعنا نضيف وحداتهم ونضع علامة ناقص قبل الإجابة المستلمة:

حصلت على نفس الإجابة كما في المرة السابقة.

الحل التفصيلي للطريقة الثانية كالتالي:

المثال 9ابحث عن تعبيرات تعبيرية

اول طريق.أضف العدد الصحيح والجزء الكسري بشكل منفصل.

هذه المرة ، دعونا نحاول تخطي بعض الإجراءات البدائية ، مثل كتابة تعبير في شكل موسع ، ووضع الأرقام بين قوسين ، واستبدال الطرح بالجمع ، ووضع الوحدات النمطية:

لاحظ أنه تم اختزال الأجزاء الكسرية إلى مقام مشترك.

الطريقة الثانية.حول الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية واحسبها مثل الكسور العادية.

المثال 10أوجد قيمة التعبير

دعنا نستبدل الطرح بالجمع:

لا يحتوي التعبير الناتج على أرقام سالبة ، والتي تعد السبب الرئيسي للأخطاء. ونظرًا لعدم وجود أعداد سالبة ، يمكننا حذف الموجب الموجود أمام المطروح وإزالة الأقواس أيضًا. ثم نحصل على أبسط تعبير يسهل حسابه:

في هذا المثال ، تم حساب العدد الصحيح والجزء الكسري بشكل منفصل.

المثال 11.أوجد قيمة التعبير

هذه هي إضافة أعداد منطقية بعلامات مختلفة. نطرح الأصغر من الوحدة الأكبر ونضع العلامة أمام الرقم الناتج ، والوحدة النمطية أكبر:

المثال 12.أوجد قيمة التعبير

يتكون التعبير من عدة معلمات. وفقًا لترتيب العمليات ، أولاً وقبل كل شيء ، تحتاج إلى تنفيذ الإجراءات بين قوسين.

أولاً نحسب التعبير ثم نضيف التعبير ونضيف الإجابات المستلمة.

الإجراء الأول:

الإجراء الثاني:

الإجراء الثالث:

إجابه:قيمة التعبير يساوي

المثال 13أوجد قيمة التعبير

دعنا نستبدل الطرح بالجمع:

يتم الحصول عليها عن طريق جمع أعداد نسبية بعلامات مختلفة. اطرح الوحدة الأصغر من الأكبر وضع العلامة أمام الإجابة ، حيث تكون الوحدة أكبر. لكننا نتعامل مع أعداد مختلطة. لفهم أي وحدة أكبر وأيها أصغر ، تحتاج إلى مقارنة وحدات هذه الأرقام المختلطة. وللمقارنة بين وحدات الأعداد الكسرية ، تحتاج إلى تحويلها إلى كسور غير فعلية ومقارنتها مثل الكسور العادية.

يوضح الشكل التالي جميع الخطوات لمقارنة وحدات الأرقام المختلطة

بمعرفة أيهما أكبر وأيهما أصغر ، يمكننا متابعة حساب مثالنا:

وهكذا ، فإن قيمة التعبير يساوي

ضع في اعتبارك جمع وطرح الكسور العشرية ، وهي أيضًا أعداد منطقية ويمكن أن تكون موجبة وسالبة.

المثال 14أوجد قيمة التعبير؟ 3.2 + 4.3

نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن علامة الجمع الواردة في التعبير هي علامة العملية ولا تنطبق على الكسر العشري 4.3. هذا الرقم العشري له علامة زائد خاصة به ، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابتها. لكننا سنكتبها للتوضيح:

هذه هي إضافة أعداد منطقية بعلامات مختلفة. لإضافة أرقام منطقية بعلامات مختلفة ، عليك طرح الرقم الأصغر من الوحدة الأكبر ، ووضع الإشارة التي تكون وحدتها أكبر أمام الإجابة. ولفهم أي مقياس أكبر وأيهما أصغر ، يجب أن تكون قادرًا على مقارنة معاملات هذه الكسور العشرية قبل حسابها:

المقياس 4.3 أكبر من المقياس 3.2 ، لذلك طرحنا 3.2 من 4.3. حصلت على الجواب 1.1. الإجابة هي نعم ، لأن الإجابة يجب أن تحتوي على علامة الوحدة النمطية الأكبر ، أي الوحدة | +4،3 |.

إذن قيمة التعبير؟ 3.2 + (+4.3) هي 1.1

المثال 15أوجد قيمة التعبير 3.5 + (؟ 8.3)

هذه هي إضافة أعداد منطقية بعلامات مختلفة. كما في المثال السابق ، نطرح الأصغر من الوحدة الأكبر ونضع العلامة أمام الإجابة ، والوحدة النمطية لها أكبر

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

وبالتالي ، فإن قيمة التعبير 3.5 + (؟ 8.3) تساوي 4.8

يمكن كتابة هذا المثال بشكل أقصر:

المثال 16أوجد قيمة التعبير؟ 7.2 + (؟ 3.11)

هذه هي إضافة الأعداد المنطقية السالبة. لإضافة أرقام منطقية سالبة ، تحتاج إلى إضافة وحداتها النمطية ووضع علامة ناقص قبل الإجابة. يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية لتجنب ازدحام التعبير:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

وبالتالي ، فإن قيمة التعبير؟ 7.2 + (؟ 3.11) هي؟ 10.31

يمكن كتابة هذا المثال بشكل أقصر:

المثال 17.أوجد قيمة التعبير؟ 0.48 + (؟ 2.7)

هذه هي إضافة الأعداد المنطقية السالبة. نضيف وحداتهم ونضع علامة ناقص أمام الإجابة المستلمة. يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية لتجنب ازدحام التعبير:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

المثال 18.أوجد قيمة التعبير؟ 4،9؟ 5.9

نضع كل عدد كسري بين قوسين مع علاماته. نأخذ في الاعتبار أن الطرح الوارد في التعبير هو علامة العملية ولا ينطبق على الكسر العشري 5.9. هذا الرقم العشري له علامة زائد خاصة به ، وهي غير مرئية نظرًا لعدم كتابتها. لكننا سنكتبها للتوضيح:

دعنا نستبدل الطرح بالجمع:

حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. أضف الوحدات الخاصة بهم وضع علامة ناقص أمام الإجابة المستلمة. يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية لتجنب ازدحام التعبير:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

وهكذا ، فإن قيمة التعبير؟ 4،9؟ 5.9 يساوي 10.8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

المثال 19.أوجد قيمة التعبير 7؟ 9.3

ضع كل رقم بين قوسين مع علاماته

دعنا نستبدل الطرح بالجمع

لقد حصلنا على جمع أعداد نسبية بعلامات مختلفة. اطرح الوحدة الأصغر من الأكبر وضع العلامة أمام الإجابة ، حيث تكون الوحدة أكبر. يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية لتجنب ازدحام التعبير:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

وهكذا ، فإن قيمة التعبير 7؟ 9.3 يساوي 2.3

الحل التفصيلي لهذا المثال مكتوب على النحو التالي:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

سيبدو الحل القصير كالتالي:

المثال 20.أوجد قيمة التعبير؟ 0.25؟ (؟ 1،2)

دعنا نستبدل الطرح بالجمع:

لقد حصلنا على جمع أعداد نسبية بعلامات مختلفة. نطرح الأصغر من الأكبر ونضع العلامة أمام الإجابة ، ووحدتها أكبر:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

الحل التفصيلي لهذا المثال مكتوب على النحو التالي:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

سيبدو الحل القصير كالتالي:

المثال 21.أوجد قيمة التعبير؟ 3.5 + (4.1؟ 7.1)

بادئ ذي بدء ، سنقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين ، ثم نضيف الإجابة المستلمة بالرقم؟ 3.5. دعنا نتخطى الإدخال بالوحدات النمطية حتى لا نشوش التعبيرات.

الإجراء الأول:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

الإجراء الثاني:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

إجابه:قيمة التعبير؟ 3.5 + (4.1؟ 7.1) هي؟ 6.5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

المثال 22.أوجد قيمة التعبير (3.5؟ 2.9)؟ (3.7 × 9.1)

دعنا ننفذ الإجراءات بين قوسين ، ثم من الرقم الذي ظهر نتيجة تنفيذ الأقواس الأولى ، اطرح الرقم الذي ظهر نتيجة تنفيذ الأقواس الثانية. دعنا نتخطى الإدخال بالوحدات النمطية حتى لا نشوش التعبيرات.

الإجراء الأول:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

الإجراء الثاني:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

الفصل الثالث

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

إجابه:قيمة التعبير (3.5؟ 2.9)؟ (3.7؟ 9.1) يساوي 6.

يمكن كتابة حل قصير لهذا المثال على النحو التالي:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

المثال 23.أوجد قيمة التعبير؟ 3.8 + 17.15؟ 6.2؟ 6.15

ضع بين قوسين كل رقم كسري مع علاماته

استبدل الطرح بجمع حيثما أمكن ذلك

يتكون التعبير من عدة مصطلحات. وفقًا لقانون الجمع الجمع ، إذا كان التعبير يتكون من عدة مصطلحات ، فلن يعتمد المجموع على ترتيب الإجراءات. هذا يعني أنه يمكن إضافة الشروط بأي ترتيب.

لن نعيد اختراع العجلة ، لكننا نضيف كل المصطلحات من اليسار إلى اليمين بالترتيب الذي تظهر به:

الإجراء الأول:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

الإجراء الثاني:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

الإجراء الثالث:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

إجابه:قيمة التعبير؟ 3.8 + 17.15؟ 6.2؟ 6.15 يساوي 1.

يمكن كتابة حل قصير لهذا المثال على النحو التالي:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

تخلق الحلول القصيرة مشاكل وتشويشًا أقل ، لذا من الجيد التعود عليها.

المثال 24.أوجد قيمة التعبير

لنحول الكسر العشري 1.8 إلى عدد كسري. سنعيد كتابة الباقي كما هو. إذا كنت تواجه صعوبة في تحويل رقم عشري إلى رقم كسري ، فتأكد من تكرار الدرس الكسور العشرية.

المثال 25.أوجد قيمة التعبير

دعنا نستبدل الطرح بالجمع. على طول الطريق ، سنقوم بترجمة الكسر العشري (؟ 4.4) إلى كسر غير فعلي

لا توجد أرقام سالبة في التعبير الناتج. وبما أنه لا توجد أعداد سالبة ، يمكننا حذف الموجب الموجود أمام الرقم الثاني وحذف الأقواس. ثم نحصل على تعبير إضافة بسيط يمكن حله بسهولة

المثال 26.أوجد قيمة التعبير

فلنحول العدد الكسري إلى كسر غير فعلي ، والكسر العشري 0.85 إلى كسر عادي. نحصل على التعبير التالي:

حصلنا على جمع الأعداد المنطقية السالبة. نضيف وحداتهم ونضع علامة ناقص أمام الإجابة المستلمة. يمكنك تخطي الإدخال بالوحدات النمطية لتجنب ازدحام التعبير:

المثال 27.أوجد قيمة التعبير

حوّل كلا الكسرين إلى كسرين غير فعليين. لتحويل العدد العشري 2.05 إلى كسر غير فعلي ، يمكنك تحويله أولاً إلى رقم كسري ثم إلى كسر غير فعلي:

بعد تحويل كلا الكسرين إلى كسرين غير فعليين ، نحصل على التعبير التالي:

لقد حصلنا على جمع أعداد نسبية بعلامات مختلفة. نطرح الأصغر من الوحدة الأكبر ونضع العلامة التي تكون وحدتها أكبر أمام الإجابة المستلمة:

المثال 28.أوجد قيمة التعبير

دعنا نستبدل الطرح بالجمع. لنحول عددًا عشريًا إلى كسر مشترك

المثال 29.أوجد قيمة التعبير

تحويل الكسور العشرية 0.25 و 1.25 إلى الكسور المشتركة، اترك الباقي كما هو. نحصل على التعبير التالي:

يمكنك أولاً استبدال الطرح بجمع حيثما أمكن وإضافة الأعداد النسبية واحدًا تلو الآخر. هناك خيار ثان: أولاً اجمع الأرقام المنطقية ، ثم اطرح الرقم المنطقي من الرقم الناتج. سوف نستخدم هذا الخيار.

الإجراء الأول:

الإجراء الثاني:

إجابه:قيمة التعبير يساوي؟ 2.

المثال 30.أوجد قيمة التعبير

تحويل الكسور العشرية إلى كسور مشتركة. دعونا نترك الباقي كما هو.

حصلنا على مجموع عدة شروط. إذا كان المجموع يتكون من عدة مصطلحات ، فيمكن تقييم التعبير بأي ترتيب. هذا يتبع من قانون الجمع الجمع.

لذلك ، يمكننا تنظيم الخيار الأكثر ملاءمة لنا. بادئ ذي بدء ، يمكنك جمع الحدين الأول والأخير ، وهما الأعداد المنطقية و. هذه الأرقام لها نفس القواسممما يعني أنه سيحررنا من الحاجة إلى جلبهم إليه.

الإجراء الأول:

يمكن إضافة الرقم الناتج إلى المصطلح الثاني ، وهو الرقم المنطقي. الأعداد النسبية لها نفس القواسم في الأجزاء الكسرية ، وهذا أيضًا ميزة لنا

الإجراء الثاني:

حسنًا ، لنجمع العدد الناتج 7 مع الحد الأخير ، أي مع عدد كسري. من الملائم أنه عند حساب هذا التعبير ، ستختفي السبعات ، أي أن مجموعها يساوي صفرًا ، لأن مجموع الأرقام المقابلة يساوي صفرًا

الإجراء الثالث:

إجابه:قيمة التعبير

هل أعجبك الدرس؟
انضم الينا مجموعة جديدةفكونتاكتي وابدأ في تلقي إعلامات حول الدروس الجديدة

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

في هذا الدرس سوف نتعلم جمع وطرح الأعداد الصحيحة، وكذلك قواعد الجمع والطرح.

تذكر أن الأعداد الصحيحة كلها موجبة و أرقام سالبة، وكذلك الرقم 0. على سبيل المثال ، الأرقام التالية هي أعداد صحيحة:

يمكن إضافة وطرح الأرقام الموجبة وضربها وتقسيمها بسهولة. لسوء الحظ ، لا يمكن قول هذا عن الأرقام السالبة ، التي تخلط بين العديد من المبتدئين وسلبياتهم قبل كل رقم. كما تبين الممارسة ، فإن الأخطاء التي تحدث بسبب الأرقام السالبة تزعج الطلاب أكثر من غيرها.

أمثلة على الجمع والطرح عدد صحيح

أول شيء يجب تعلمه هو جمع وطرح الأعداد الصحيحة باستخدام خط الإحداثيات. ليس من الضروري رسم خط تنسيق. يكفي أن تتخيلها في أفكارك وترى أين توجد الأعداد السالبة وأين توجد الأعداد الإيجابية.

ضع في اعتبارك أبسط تعبير: 1 + 3. قيمة هذا التعبير هي 4:

يمكن فهم هذا المثال باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك ، من النقطة التي يوجد بها الرقم 1 ، تحتاج إلى الانتقال ثلاث خطوات إلى اليمين. نتيجة لذلك ، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يوجد بها الرقم 4. في الشكل يمكنك أن ترى كيف يحدث هذا:

تخبرنا علامة الجمع في التعبير 1 + 3 أنه يجب علينا الانتقال إلى اليمين في اتجاه زيادة الأعداد.

مثال 2لنجد قيمة التعبير 1؟ 3.

قيمة هذا التعبير هي 2

يمكن فهم هذا المثال مرة أخرى باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك ، من النقطة التي يوجد بها الرقم 1 ، تحتاج إلى التحرك ثلاث خطوات إلى اليسار. نتيجة لذلك ، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 2. يوضح الشكل كيف يحدث هذا:

ناقص علامة في التعبير 1؟ 3 يخبرنا أنه يجب علينا التحرك إلى اليسار في اتجاه الأرقام المتناقصة.

بشكل عام ، يجب أن نتذكر أنه في حالة إجراء الإضافة ، فإننا نحتاج إلى الانتقال إلى اليمين في اتجاه الزيادة. إذا تم إجراء الطرح ، فأنت بحاجة إلى الانتقال إلى اليسار في اتجاه الانخفاض.

مثال 3أوجد قيمة التعبير؟ 2 + 4

قيمة هذا التعبير هي 2

يمكن فهم هذا المثال مرة أخرى باستخدام خط الإحداثيات. للقيام بذلك ، من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 2 ، تحتاج إلى تحريك أربع خطوات إلى اليمين. نتيجة لذلك ، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يوجد فيها الرقم الموجب 2.

يمكن ملاحظة أننا انتقلنا من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 2 إلى اليمين بأربع خطوات وانتهى بنا المطاف عند النقطة التي يوجد بها الرقم الموجب 2.

تخبرنا علامة الجمع في التعبير 2 + 4 أنه يجب علينا الانتقال إلى اليمين في اتجاه زيادة الأعداد.

مثال 4أوجد قيمة التعبير؟ 1؟ 3

قيمة هذا التعبير هي 4

يمكن حل هذا المثال مرة أخرى باستخدام خط إحداثيات. للقيام بذلك ، من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 1 ، تحتاج إلى التحرك ثلاث خطوات إلى اليسار. نتيجة لذلك ، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب؟

يمكن ملاحظة أننا انتقلنا من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 1 إلى اليسار بثلاث خطوات وانتهى بنا المطاف عند النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 4.

علامة الطرح في التعبير؟ 1؟ 3 يخبرنا أنه يجب علينا التحرك إلى اليسار في اتجاه الأرقام المتناقصة.

مثال 5أوجد قيمة التعبير؟ 2 + 2

قيمة هذا التعبير هي 0

يمكن حل هذا المثال باستخدام خط إحداثيات. للقيام بذلك ، من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 2 ، تحتاج إلى تحريك خطوتين إلى اليمين. نتيجة لذلك ، سنجد أنفسنا عند النقطة التي يوجد فيها الرقم 0

يمكن ملاحظة أننا انتقلنا من النقطة التي يوجد فيها الرقم السالب 2 إلى اليمين بخطوتين وانتهى بنا المطاف عند النقطة التي يقع فيها الرقم 0.

تخبرنا علامة الجمع في التعبير 2 + 2 أنه يجب علينا الانتقال إلى اليمين في اتجاه زيادة الأعداد.

قواعد جمع وطرح الأعداد الصحيحة

لحساب هذا التعبير أو ذاك ، ليس من الضروري تخيل خط الإحداثيات في كل مرة ، ناهيك عن رسمه. من الأنسب استخدام القواعد الجاهزة.

عند تطبيق القواعد ، يجب الانتباه إلى علامة العملية وعلامات الأرقام المراد إضافتها أو طرحها. سيحدد هذا القاعدة التي سيتم تطبيقها.

مثال 1أوجد قيمة التعبير؟ 2 + 5

هنا يضاف رقم موجب إلى رقم سالب. بمعنى آخر ، تتم إضافة أرقام بعلامات مختلفة. ؟ 2 سلبي و 5 موجب. في مثل هذه الحالات ، يتم توفير القاعدة التالية:

لذلك ، دعونا نرى أي وحدة أكبر:

هل مقياس العدد 5 أكبر من مقياس العدد 2. تتطلب القاعدة طرح الأصغر من الوحدة الأكبر. لذلك ، يجب أن نطرح 2 من 5 ، وقبل الإجابة المستلمة ضع الإشارة التي يكون مقياسها أكبر.

الرقم 5 له مقياس أكبر ، لذا فإن علامة هذا الرقم ستكون في الإجابة. أي أن الإجابة ستكون إيجابية:

هل هو مكتوب عادة بشكل أقصر 2 + 5 = 3

مثال 2أوجد قيمة التعبير 3 + (؟ 2)

هنا ، كما في المثال السابق ، تتم إضافة أرقام بعلامات مختلفة. 3 هو رقم موجب و 2 هو رقم سلبي. لاحظ أن الرقم 2 محاط بأقواس لجعل التعبير أكثر وضوحًا وجمالًا. هذا التعبير أسهل في الفهم من التعبير 3+؟ 2.

لذلك ، نطبق قاعدة جمع الأعداد بعلامات مختلفة. كما في المثال السابق ، نطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر ونضع العلامة أمام الإجابة ، والوحدة النمطية أكبر:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

مقياس العدد 3 أكبر من مقياس العدد 2 ، لذلك طرحنا 2 من 3 ووضعنا إشارة المقياس ، وهي أكبر ، أمام الإجابة المستلمة. يحتوي الرقم 3 على وحدة أكبر ، لذلك يتم وضع علامة هذا الرقم في الإجابة. هذا هو الجواب نعم.

عادة ما يكتب أقصر 3 + (؟ 2) = 1

مثال 3أوجد قيمة التعبير 3؟ 7

في هذا التعبير ، يُطرح العدد الأكبر من العدد الأصغر. في مثل هذه الحالة ، يتم توفير القاعدة التالية:

لطرح رقم أكبر من رقم أصغر ، أكثراطرح الأصغر وضع ناقصًا أمام الإجابة.

هناك عقبة طفيفة في هذا التعبير. تذكر أن علامة التساوي (=) توضع بين القيم والتعبيرات عندما تكون متساوية مع بعضها البعض.

قيمة التعبير 3؟ 7 كيف عرفنا المساواة؟ هذا يعني أن أي تحويلات سنقوم بها في هذا التعبير يجب أن تكون متساوية؟

لكننا نرى أن المرحلة الثانية تحتوي على التعبير 7؟ 3 ، أيهما لا يساوي؟ 4.

لتصحيح هذا الوضع ، فإن التعبير 7؟ 3 يجب أن تؤخذ بين قوسين وتضع علامة ناقص أمام هذه القوس:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

في هذه الحالة ، ستتم مراعاة المساواة في كل مرحلة:

بعد أن تم تقييم التعبير ، يمكن إزالة الأقواس ، وهذا ما فعلناه.

لكي نكون أكثر دقة ، يجب أن يبدو الحل كما يلي:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

يمكن كتابة هذه القاعدة باستخدام المتغيرات. سيبدو مثل هذا:

أ؟ ب =؟ (ب؟ أ)

يمكن أن يؤدي عدد كبير من الأقواس وعلامات التشغيل إلى تعقيد حل مهمة تبدو بسيطة للغاية ، لذلك من الأفضل تعلم كيفية كتابة مثل هذه الأمثلة بإيجاز ، على سبيل المثال 3؟ 7 =؟ 4.

في الواقع ، يتم تقليل جمع وطرح الأعداد الصحيحة إلى مجرد جمع. ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه إذا كنت تريد طرح الأرقام ، فيمكن استبدال هذه العملية بالجمع.

لذلك دعونا نتعرف على القاعدة الجديدة:

لطرح رقم واحد من آخر يعني إضافة رقم إلى الطرح يكون عكس الرقم المطروح.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك أبسط تعبير 5؟ 3. في المراحل الأولى من تعلم الرياضيات ، نضع ببساطة علامة المساواة وكتبنا الإجابة:

لكننا الآن نتقدم في التعلم ، لذلك نحن بحاجة إلى التكيف مع القواعد الجديدة. تنص القاعدة الجديدة على أنه لطرح رقم واحد من آخر يعني إضافة رقم يكون عكس الرقم المطروح.

باستخدام التعبير 5؟ 3 كمثال ، دعنا نحاول فهم هذه القاعدة. ما يتم اختزاله في هذا التعبير هو 5 ، وما يتم طرحه هو 3. القاعدة تنص على أنه لطرح 3 من 5 ، عليك أن تضيف إلى 5 عددًا يكون عكس 3. الرقم المقابل للرقم 3 هو؟ 3. نكتب تعبير جديد:

ونحن نعلم بالفعل كيفية إيجاد قيم لمثل هذه التعبيرات. هذه هي إضافة أرقام بعلامات مختلفة ، والتي ناقشناها أعلاه. لإضافة أرقام بعلامات مختلفة ، تحتاج إلى طرح الرقم الأصغر من الوحدة الأكبر ، ووضع العلامة التي تكون وحدتها أكبر أمام الإجابة المستلمة:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

هل مقياس العدد 5 أكبر من مقياس العدد؟ 3. لذلك ، طرحنا 3 من 5 وحصلنا على 2. العدد 5 له مقياس أكبر ، لذلك تم وضع علامة هذا الرقم في الإجابة. وهذا يعني أن الجواب إيجابي.

في البداية ، لا ينجح الجميع في استبدال الطرح بالجمع بسرعة. هذا لأن الأعداد الموجبة مكتوبة بدون علامة الجمع الخاصة بها.

على سبيل المثال ، في التعبير 3؟ علامة الطرح 1 التي تشير إلى الطرح هي علامة العملية ولا تشير إلى واحد. الوحدة في هذه الحالة هي رقم موجب ولها علامة الجمع الخاصة بها ، لكننا لا نراها ، لأن علامة الجمع لا تُكتب عادةً قبل الأرقام الموجبة.

وذلك من أجل الوضوح التعبير المعطىيمكن كتابتها على النحو التالي:

للراحة ، يتم وضع الأرقام مع علاماتها بين قوسين. في هذه الحالة ، يكون استبدال الطرح بجمع أسهل كثيرًا. المطروح في هذه الحالة هو الرقم (+1) والعدد المقابل (؟ 1). دعنا نستبدل عملية الطرح بالجمع وبدلاً من المطروح (+1) نكتب الرقم المعاكس (؟ 1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

للوهلة الأولى ، يبدو أنه لا فائدة من هذه الإيماءات الإضافية ، إذا كان بإمكانك استخدام الطريقة القديمة الجيدة لوضع علامة تساوي وتدوين الإجابة على الفور 2. في الواقع ، ستساعدنا هذه القاعدة أكثر من مرة .

لنحل المثال السابق 3؟ 7 باستخدام قاعدة الطرح. أولاً ، نعيد التعبير إلى الصورة العادية ، ونضع كل رقم بعلاماته. ثلاثة لها علامة زائد لأنها عدد موجب. لا ينطبق الطرح الذي يشير إلى الطرح على السبعة. الرقم سبعة له علامة زائد لأنه رقم موجب أيضًا:

دعنا نستبدل الطرح بالجمع:

الحساب الإضافي ليس بالأمر الصعب:

مثال 7أوجد قيمة التعبير؟ 4؟ خمسة

أمامنا عملية الطرح مرة أخرى. يجب استبدال هذه العملية بإضافة. إلى المتناقص (؟ 4) نضيف الرقم المقابل للطرح (+5). الرقم المقابل للمطروح (+5) هو الرقم (؟ 5).

لقد وصلنا إلى موقف نحتاج فيه إلى إضافة أرقام سالبة. في مثل هذه الحالات ، يتم توفير القاعدة التالية:

لإضافة أرقام سالبة ، تحتاج إلى إضافة وحداتها النمطية ، ووضع علامة ناقص أمام الإجابة المستلمة.

لذا ، دعونا نضيف وحدات الأعداد ، كما تتطلب منا القاعدة ، ونضع ناقصًا أمام الإجابة المستلمة:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

يجب وضع الإدخال الذي يحتوي على وحدات بين قوسين ووضع علامة الطرح قبل هذه الأقواس. لذلك نقدم علامة ناقص ، والتي يجب أن تأتي قبل الإجابة:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر:

المثال 8أوجد قيمة التعبير؟ 3؟ خمسة؟ 7؟ تسع

لنجلب التعبير إلى شكل واضح. هنا ، جميع الأرقام باستثناء الرقم؟ 3 موجبة ، لذلك سيكون لها علامات زائد:

دعونا نستبدل عمليات الطرح بعمليات الجمع. ستتغير جميع العيوب (باستثناء الطرح الموجود أمام الثلاثة) إلى إيجابيات وستتغير جميع الأرقام الموجبة إلى العكس:

الآن قم بتطبيق قاعدة جمع الأرقام السالبة. لإضافة أرقام سالبة ، تحتاج إلى إضافة وحداتها النمطية ووضع علامة ناقص أمام الإجابة المستلمة:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

المثال 9أوجد قيمة التعبير؟ 10 + 6؟ 15 + 11؟ 7

لنجلب التعبير إلى شكل واضح:

توجد عمليتان هنا: الجمع والطرح. نترك الجمع كما هو ، ونستبدل الطرح بالجمع:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

باتباع ترتيب الإجراءات ، سنقوم بتنفيذ كل إجراء على حدة ، بناءً على القواعد التي تمت دراستها مسبقًا. يمكن تخطي الإدخالات ذات الوحدات النمطية:

الإجراء الأول:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

الإجراء الثاني:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

الإجراء الثالث:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

الإجراء الرابع:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

إذن ، قيمة التعبير؟ 10 + 6؟ 15 + 11؟ 7 يساوي 15

ملحوظة. ليس من الضروري إحضار التعبير إلى شكل واضح بإحاطة الأرقام بين قوسين. عند التعود على الأرقام السالبة ، يمكن تخطي هذا الإجراء ، لأنه يستغرق وقتًا وقد يكون محيرًا.

لذلك ، لجمع وطرح الأعداد الصحيحة ، عليك أن تتذكر القواعد التالية:

لإضافة أرقام بعلامات مختلفة ، تحتاج إلى طرح وحدة أصغر من وحدة أكبر ، ووضع الإشارة التي تكون وحدتها أكبر أمام الإجابة.

لطرح رقم أكبر من رقم أصغر ، تحتاج إلى طرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر ووضع علامة الطرح أمام الإجابة المستلمة.

لطرح رقم واحد من آخر يعني أن نضيف إلى العدد المختزل عكس الرقم المطروح.

لإضافة أرقام سالبة ، تحتاج إلى إضافة وحداتها النمطية ، ووضع علامة الطرح أمام الإجابة المستلمة.

• لعبة الهوكي بدون قواعد تم إصدار اللعبة في سبتمبر 2012 ، واكتسبت بالفعل ما يقرب من 700000 مستخدم. هناك طريقتان للعبة والعديد من الفرص لبناء الفريق. يذكرنا مسار المباراة في Ultimate Hockey فكونتاكتي بالألعاب المبكرة لسلسلة NHL من Electronic Arts. 3 لاعبين في [...]
• قواعد Omaha Holdem Poker Omaha Hi-Lo و Omaha Five Card تعد Omaha Holdem (Omaha Hold "Em) تعديلًا طفيفًا لـ Texas Hold'em. إذا كنت جديدًا على هذا النوع الأكثر شيوعًا من البوكر ، فقم بدراسة قواعد Texas Hold'em على الرابط ؛ معرفتهم ضرورية لفهم قواعد Omaha. كل شيء [...]
• حل المشكلات في علم الوراثة باستخدام قوانين مندل 1 و 2 محاضرة 8 جوليا كجاهرينوفا 1. - عرض تم نشر العرض التقديمي منذ 3 سنوات بواسطة Alina Artemyeva. " [...]
• قاعدة الجبر من 5 إلى 7 المتتالية العددية ، التي يبدأ كل فرد منها مساويًا للعنصر السابق ، مضافًا إليها نفس الرقم د لهذا التسلسل ، يسمى التقدم الحسابي. الرقم د يسمى الفرق المتوالية العددية. في التدرج الحسابي ، أي في [...]
• نحدد معدل ضريبة النقل للشاحنات الصغيرة والمركبات الأخرى غير النمطية من الفئة "B" نحصل على المعلومات الضرورية من TCP ، دعنا نقول على الفور أن البيانات المشار إليها في السطر 4 "فئة السيارة (A ، B ، C ، D ، مقطورة) "من جواز السفر مركبة(PTS) ، لا تحتاج إلى أن تؤخذ في الاعتبار. بعد كل شيء ، الفئة "ب" لا تعني على الإطلاق [...]
• يشير تصنيف شركات التأمين OSAGO OSAGO إلى التأمين الإجباري ، وهو صالح ليس فقط في روسيا ، ولكن أيضًا في البلدان الأخرى في الخارج القريب. يتم إصدار هذه الوثائق من قبل العديد من شركات التأمين التي حصلت على الترخيص المناسب لممارسة هذه الأنشطة. ولكن، […]
• الإقامة فندق أوفا فندق صغير في أوفا 5 خمس غرف ندعو ضيوف العاصمة إلى فندق مريح ومريح يقع في وسط أوفا على طول شارع كومسومولسكايا 159/1. يوجد بالقرب من الفندق مجمع سينما Iskra IMAX وسيرك ومطعم ونادي ومقهى ومطعم Beer Berry و [...]
• قواعد استخدام زمن المضارع البسيط في اللغة الإنجليزية زمن المضارع البسيط هو زمن نحوي يعتبر من أسهل ما يمكن فهمه ، لأن المضارع البسيط موجود في جميع اللغات. في اللغات السلافيةنعم سيدي. إذا كنت تقرأ هذه المقالة ، فهذا يعني أنك فقط [...]

كيف نضاعف القوى؟ أي القوى يمكن أن تتضاعف وأيها لا يمكن؟ كيف تضرب رقمًا في قوة؟

في الجبر يمكنك إيجاد ناتج القوى في حالتين:

1) إذا كانت الدرجات لها نفس الأساس ؛

2) إذا كانت الدرجات لها نفس المؤشرات.

عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يجب أن تظل القاعدة كما هي ، ويجب إضافة الأس:

عند ضرب الدرجات بنفس المؤشرات ، يمكن إخراج المؤشر الإجمالي من الأقواس:

فكر في كيفية مضاعفة القوى ، مع أمثلة محددة.

لا تتم كتابة الوحدة في الأس ، ولكن عند ضرب الدرجات ، فإنها تأخذ في الاعتبار:

عند الضرب ، يمكن أن يكون عدد الدرجات أيًا. يجب أن نتذكر أنه لا يمكنك كتابة علامة الضرب قبل الحرف:

في التعبيرات ، يتم تنفيذ الأس أولاً.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في قوة ، فيجب عليك أولاً إجراء الأس ، وبعد ذلك فقط - الضرب:

www.algebraclass.ru

الجمع والطرح والضرب وتقسيم القوى

الجمع والطرح للقوى

من الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات الأسس مثل الكميات الأخرى ، بإضافتهم واحدة تلو الأخرى بعلاماتهم.

إذن ، مجموع a 3 و b 2 هو a 3 + b 2.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 هو a 3 - b n + h 5 - d 4.

احتمال نفس القوى من نفس المتغيراتيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن ، مجموع 2a 2 و 3a 2 هو 5a 2.

من الواضح أيضًا أننا إذا أخذنا مربعين a ، أو ثلاثة مربعات a ، أو خمسة مربعات a.

لكن درجات متغيرات مختلفةو بدرجات مختلفة متغيرات متطابقة، يجب إضافتها عن طريق إضافتها إلى علاماتها.

إذن ، مجموع a 2 و a 3 هو مجموع a 2 + a 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يمثلان ضعف مربع a بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحيتم تنفيذ الصلاحيات بنفس طريقة الجمع ، باستثناء أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2 أ 4 - (-6 أ 4) = 8 أ 4
3 س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 \ u003d -h 2 ب 6
5 (أ - ح) 6-2 (أ - ح) 6 = 3 (أ - ح) 6

مضاعفة القوة

يمكن ضرب الأعداد التي لها قوى مثل الكميات الأخرى بكتابتها واحدة تلو الأخرى ، مع أو بدون علامة الضرب بينهما.

إذن ، نتيجة ضرب a 3 في b 2 هي a 3 b 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير بإضافة نفس المتغيرات.
سيأخذ التعبير الصورة: أ 5 ب 5 ص 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى ، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي رقمين ، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي مجموعدرجات الشروط.

إذن ، a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

هنا 5 هي قوة ناتج الضرب ، يساوي 2 + 3 ، مجموع قوى الحدود.

إذن ، أ ن. أ م = أ م + ن.

بالنسبة إلى n ، يتم أخذ a كعامل يساوي عدد مرات قوة n ؛

و م ، تؤخذ كعامل بقدر ما تساوي الدرجة م ؛

لهذا السبب، يمكن ضرب الأسس التي لها نفس الأسس بجمع الأسس.

إذن ، أ 2. أ 6 = أ 2 + 6 = أ 8. و x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

أو:
4 أ ن ⋅ 2 أ ن = 8 أ 2 ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن + 1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: × 4 - ص 4.
اضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

هذه القاعدة صحيحة أيضًا بالنسبة للأعداد التي يكون الأسس فيها - نفي.

1. إذن ، أ -2. أ -3 = أ -5. يمكن كتابة هذا كـ (1 / aa]. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

إذا تم ضرب a + b في a - b ، فستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع عددين أو فرقهما يساوي المجموعأو اختلاف المربعات الخاصة بهم.

إذا كان مجموع وفرق رقمين مرفوعين إلى ميدان، ستكون النتيجة مساوية لمجموع أو فرق هذه الأرقام في الرابعالدرجة العلمية.

إذن (أ - ص) (أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2) ⋅ (أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4) ⋅ (أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأعداد ذات القوى مثل الأعداد الأخرى عن طريق طرحها من المقسوم عليه أو وضعها في صورة كسر.

إذن ، a 3 b 2 على b 2 يساوي a 3.

تبدو كتابة 5 على 3 مثل $ \ frac $. لكن هذا يساوي 2. في سلسلة من الأرقام
أ +4 ، أ +3 ، أ +2 ، أ +1 ، أ 0 ، أ -1 ، أ -2 ، أ -3 ، أ -4.
يمكن قسمة أي رقم على آخر ، ويساوي الأس فرقمؤشرات الأرقام القابلة للقسمة.

عند قسمة القوى التي لها نفس الأساس ، يتم طرح الأسس..

إذن ، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. وهذا يعني ، $ \ frac = y $.

و أ ن + 1: أ = أ ن + 1-1 = أ ن. وهذا يعني ، $ \ frac = a ^ n $.

أو:
y2m: ym = ym
8 أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12 (ب + ص) ن: 3 (ب + ص) 3 = 4 (ب + ص) ن -3

القاعدة صالحة أيضًا للأرقام ذات نفيقيم الدرجة.
نتيجة قسمة a -5 على -3 هي a -2.
أيضًا ، $ \ frac: \ frac = \ frac. \ frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 أو $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

من الضروري إتقان عمليات الضرب والقسمة بشكل جيد للغاية ، حيث أن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة لحل أمثلة مع كسور تحتوي على أعداد ذات قوى

1. تقليل الأسس في $ \ frac $ Answer: $ \ frac $.

2. أنقص الأسس في $ \ frac $. الإجابة: $ \ frac $ أو 2x.

3. اختصر الأسس a 2 / a 3 و -3 / a -4 وأحضر قاسمًا مشتركًا.
a 2 .a -4 هو -2 أول بسط.
a 3 .a -3 هو 0 = 1 ، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: أ -2 / أ -1 و 1 / أ -1.

4. اختصر الأس 2 أ 4/5 أ 3 و 2 / أ 4 وأدخل المقام المشترك.
الجواب: 2 أ 3/5 أ 7 و 5 أ 5/5 أ 7 أو 2 أ 3/5 أ 2 و 5/5 أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب) / ب 4 ب (أ - ب) / 3.

6. اضرب (أ 5 + 1) / س 2 ب (ب 2-1) / (س + أ).

7. اضرب b 4 / a -2 ب h -3 / x و a n / y -3.

8. قسّم 4 / y 3 على 3 / y 2. الجواب: أ / ص.

خصائص الدرجة

نذكرك بأننا نفهم في هذا الدرس خصائص الدرجةمع المؤشرات الطبيعية والصفر. ستتم مناقشة الدرجات ذات المؤشرات المنطقية وخصائصها في دروس الصف الثامن.

تحتوي الدرجة ذات المؤشر الطبيعي على عدة خصائص مهمة، والتي تتيح لك تبسيط العمليات الحسابية في أمثلة ذات قوى.

خاصية # 1
نتاج القوى

عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يبقى الأساس بدون تغيير ويتم إضافة الأس.

a m a n \ u003d a m + n ، حيث "a" هو أي رقم ، و "m" ، "n" هي أي أرقام طبيعية.

تؤثر خاصية الصلاحيات هذه أيضًا على نتاج ثلاث قوى أو أكثر.

تبسيط التعبير.
ب ب 2 ب 3 ب 4 ب 5 = ب 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ب 15

تقديم كدرجة.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

تقديم كدرجة.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

يرجى ملاحظة أنه في الخاصية المشار إليها كان الأمر يتعلق فقط بمضاعفة القوى بنفس الأسس.. لا ينطبق على إضافتهم.

لا يمكنك استبدال المجموع (3 3 + 3 2) بـ 3 5. هذا أمر مفهوم إذا
احسب (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 و 3 5 = 243

الخاصية # 2
الدرجات الخاصة

عند قسمة القوى على نفس الأساس ، تظل القاعدة دون تغيير ، ويتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

اكتب حاصل القسمة كقوة
(2 ب) 5: (2 ب) 3 = (2 ب) 5 - 3 = (2 ب) 2

احسب.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 4 11 = 44
مثال. حل المعادلة. نستخدم خاصية الدرجات الجزئية.
3 8: ر = 3 4

الجواب: ر = ٣ ٤ = ٨١

باستخدام الخاصيتين رقم 1 ورقم 2 ، يمكنك بسهولة تبسيط التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية.

مثال. تبسيط التعبير.
4 5 م + 6 4 م + 2: 4 4 م + 3 = 4 5 م + 6 + م + 2: 4 4 م + 3 = 4 6 م + 8 - 4 م - 3 = 4 2 م + 5

مثال. أوجد قيمة تعبير باستخدام خصائص الدرجة.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

يرجى ملاحظة أن العقار 2 تعامل فقط مع تقسيم السلطات بنفس القواعد.

لا يمكنك استبدال الفرق (4 3 −4 2) بـ 4 1. هذا مفهوم إذا قمت بحساب (4 3 −4 2) = (64-16) = 48 ، و 4 1 = 4

الخاصية # 3
الأس

عند رفع قوة إلى قوة ، فإن قاعدة الأس تظل كما هي ، ويتم مضاعفة الأسس.

(أ ن) م \ u003d أ ن م ، حيث "أ" هو أي رقم ، و "م" ، "ن" أي أرقام طبيعية.

يرجى ملاحظة أن الخاصية رقم 4 ، مثل الخصائص الأخرى للدرجات ، يتم تطبيقها أيضًا بترتيب عكسي.

(أ ن ب ن) = (أ ب) ن

أي ، لضرب الأسس بنفس الأسس ، يمكنك ضرب الأسس وترك الأس دون تغيير.

مثال. احسب.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

مثال. احسب.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

في المزيد أمثلة صعبةقد تكون هناك حالات يجب فيها إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات أسس مختلفة و مؤشرات مختلفة. في هذه الحالة ، ننصحك بالقيام بما يلي.

على سبيل المثال ، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64144 = 9216

مثال على أس كسر عشري.

4 21 (0.25) 20 = 4 4 20 (0.25) 20 = 4 (4 (0.25)) 20 = 4 (1) 20 = 4 1 = 4

الخصائص 5
قوة حاصل القسمة (الكسور)

لرفع حاصل القسمة إلى أس ، يمكنك رفع المقسوم والمقسوم عليه بشكل منفصل لهذه القوة ، وقسمة النتيجة الأولى على الثانية.

(a: b) n \ u003d a n: b n ، حيث "a" ، "b" هي أي أرقام منطقية ، b ≠ 0 ، n أي رقم طبيعي.

مثال. عبر عن التعبير في صورة قوى جزئية.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

نذكرك أنه يمكن تمثيل حاصل القسمة في صورة كسر. لذلك ، سوف نتناول موضوع رفع الكسر إلى قوة بمزيد من التفاصيل في الصفحة التالية.

الدرجات والجذور

عمليات ذات قوى وجذور. درجة مع سلبي ,

صفر وجزئي مؤشر. حول التعبيرات التي لا معنى لها.

عمليات بالدرجات.

1. عند ضرب الأسس بنفس القاعدة ، تُضاف مؤشراتها:

صباحا · أ ن = أ م + ن.

2. عند قسمة الدرجات على نفس القاعدة ، مؤشراتها مطروح .

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذين العاملين.

4. درجة النسبة (الكسر) تساوي نسبة درجات المقسوم (البسط) والمقسوم عليه (المقام):

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن.

5. عند رفع درجة إلى قوة ، تتضاعف مؤشراتها:

تتم قراءة جميع الصيغ أعلاه وتنفيذها في كلا الاتجاهين من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

مثال (2 3 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .

عمليات مع الجذور. في جميع الصيغ أدناه ، يعني الرمز جذر حسابي(التعبير الجذري إيجابي).

1. جذر ناتج عدة عوامل يساوي حاصل ضرب جذور هذه العوامل:

2. جذر العلاقة يساوي النسبةجذور المقسوم والمقسوم عليه:

3. عند رفع جذر إلى قوة ، يكفي أن نرتقي إلى هذه القوة رقم الجذر:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر بمقدار m مرات ورفعت رقم الجذر في نفس الوقت إلى الدرجة m -th ، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر بمقدار m مرات وفي نفس الوقت استخرجت جذر الدرجة m من الرقم الجذري ، فلن تتغير قيمة الجذر:

توسيع مفهوم الدرجة. حتى الآن ، نظرنا في الدرجات فقط بمؤشر طبيعي ؛ لكن العمليات ذات القوى والجذور يمكن أن تؤدي أيضًا إلى نفي, صفرو كسريالمؤشرات. كل هذه الأسس تتطلب تعريفًا إضافيًا.

الدرجة مع الأس السالب. تُعرَّف درجة بعض الأرقام التي لها أس سالب (عدد صحيح) على أنها واحدة مقسومة على درجة نفس الرقم مع أس يساوي القيمة المطلقة للأس سالب:

الآن الصيغة صباحا : أ = م نيمكن استخدامها ليس فقط من أجل م، أكثر من ن، ولكن أيضًا في م، أقل من ن .

مثال أ 4: أ 7 = أ 4 — 7 = أ — 3 .

إذا كنا نريد الصيغة صباحا : أ = صباحا — نكان عادلا في م = ن، نحن بحاجة لتعريف درجة الصفر.

الدرجة مع الأس صفر. درجة أي عدد غير صفري مع أس صفر هي 1.

أمثلة. 2 0 = 1 ، ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجة ذات أس كسري. من أجل رفع رقم حقيقي a إلى القوة m / n ، تحتاج إلى استخراج جذر الدرجة n من القوة mth لهذا الرقم a:

حول التعبيرات التي لا معنى لها. هناك العديد من هذه التعبيرات.

أين أ ≠ 0 , غير موجود.

في الواقع ، إذا افترضنا ذلك xهو رقم معين ، إذن ، وفقًا لتعريف عملية التقسيم ، لدينا: أ = 0· x، بمعنى آخر. أ= 0 وهو ما يتعارض مع الشرط: أ ≠ 0

— أي رقم.

في الواقع ، إذا افترضنا أن هذا التعبير يساوي عددًا ما x، ثم وفقًا لتعريف عملية القسمة لدينا: 0 = 0 x. لكن هذه المساواة تحمل أي رقم xالتي كان من المقرر إثباتها.

0 0 — أي رقم.

الحل: النظر في ثلاث حالات رئيسية:

1) x = 0 – هذه القيمة لا تفي بهذه المعادلة

2) متى x> 0 نحصل على: س / س= 1 ، أي 1 = 1 ، ومن أين يتبع ،

ماذا او ما x- أي رقم ولكن مع مراعاة ذلك

قضيتنا x> 0 ، الجواب x > 0 ;

قواعد ضرب الأسس ذات الأسس المختلفة

درجة بمؤشر منطقي ،

وظيفة الطاقة IV

69. تكاثر السلطات وتقسيمها بنفس الأسس

نظرية 1.لمضاعفة الأسس بنفس الأسس ، يكفي جمع الأسس ، وترك القاعدة كما هي ، أي

دليل.حسب تعريف الدرجة

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

لقد اعتبرنا ناتج قوتين. في الواقع ، الخاصية المُثبتة صحيحة لأي عدد من الصلاحيات التي لها نفس الأسس.

نظرية 2.لقسمة القوى التي لها نفس الأساس عند أس المقسوم أكثر من المؤشرالمقسوم عليه ، يكفي طرح المقسوم عليه من مؤشر المقسوم ، وترك القاعدة كما هي ، أي في ر> ن

(أ =/= 0)

دليل.تذكر أن حاصل قسمة رقم على آخر هو الرقم الذي يعطي المقسوم عند ضربه في القاسم. لذلك ، إثبات الصيغة ، أين أ = / = 0 ، إنه مثل إثبات الصيغة

إذا ر> ن ثم الرقم ر - ص سيكون طبيعيا لذلك ، من خلال نظرية 1

تم إثبات النظرية 2.

لاحظ أن الصيغة

أثبت من قبلنا فقط في ظل افتراض ذلك ر> ن . لذلك ، مما تم إثباته ، لا يمكن حتى الآن استخلاص الاستنتاجات التالية ، على سبيل المثال:

بالإضافة إلى ذلك ، لم نفكر بعد في الدرجات ذات الأسس السالب ، ولا نعرف حتى الآن المعنى الذي يمكن أن يُعطى للتعبير 3 - 2 .

نظرية 3. لرفع أس إلى أس ، يكفي ضرب الأسس ، مع ترك قاعدة الأس كما هي، بمعنى آخر

دليل.باستخدام تعريف الدرجة والنظرية 1 في هذا القسم ، نحصل على:

Q.E.D.

على سبيل المثال ، (2 3) 2 = 2 6 = 64 ؛

518 (عن طريق الفم) تحديد X من المعادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (معدلة) بسّط:

520. (معدل) بسّط:

521- قدم هذه التعبيرات كدرجات لها نفس الأسس:

1) 32 و 64 ؛ 3) 85 و 163 ؛ 5) 4100 و 32 50 ؛

2) -1000 و 100 ؛ 4) -27 و -243 ؛ 6) 81 75 8200 و 3600 4150.

نذكرك بأننا نفهم في هذا الدرس خصائص الدرجةمع المؤشرات الطبيعية والصفر. ستتم مناقشة الدرجات ذات المؤشرات المنطقية وخصائصها في دروس الصف الثامن.

الأس ذو الأس الطبيعي له العديد من الخصائص المهمة التي تسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية في أمثلة الأس.

خاصية # 1
نتاج القوى

تذكر!

عند ضرب الأسس بنفس الأساس ، يبقى الأساس بدون تغيير ويتم إضافة الأس.

a m a n \ u003d a m + n ، حيث "a" - أي رقم ، و "m" ، "n" - أي أرقام طبيعية.

تؤثر خاصية الصلاحيات هذه أيضًا على نتاج ثلاث قوى أو أكثر.

• تبسيط التعبير.
  ب ب 2 ب 3 ب 4 ب 5 = ب 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ب 15
• تقديم كدرجة.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• تقديم كدرجة.
  (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

الأهمية!

يرجى ملاحظة أنه في الخاصية المشار إليها كان الأمر يتعلق فقط بمضاعفة القوى نفس الأسباب . لا ينطبق على إضافتهم.

لا يمكنك استبدال المجموع (3 3 + 3 2) بـ 3 5. هذا أمر مفهوم إذا
احسب (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 و 3 5 = 243

الخاصية # 2
الدرجات الخاصة

تذكر!

عند قسمة القوى على نفس الأساس ، تظل القاعدة دون تغيير ، ويتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

= 11 3 - 2 4 2-1 = 11 4 = 44

مثال. حل المعادلة. نستخدم خاصية الدرجات الجزئية.
3 8: ر = 3 4

تي = 3 8 - 4

الجواب: ر = ٣ ٤ = ٨١

باستخدام الخاصيتين رقم 1 ورقم 2 ، يمكنك بسهولة تبسيط التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية.

• مثال. تبسيط التعبير.
  4 5 م + 6 4 م + 2: 4 4 م + 3 = 4 5 م + 6 + م + 2: 4 4 م + 3 = 4 6 م + 8 - 4 م - 3 = 4 2 م + 5
• مثال. أوجد قيمة تعبير باستخدام خصائص الدرجة.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  الأهمية!

  يرجى ملاحظة أن العقار 2 تعامل فقط مع تقسيم السلطات بنفس القواعد.

  لا يمكنك استبدال الفرق (4 3 −4 2) بـ 4 1. هذا مفهوم إذا أخذنا في الاعتبار (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4

  كن حذرا!

  الخاصية # 3
  الأس

  تذكر!

  عند رفع قوة إلى قوة ، فإن قاعدة الأس تظل كما هي ، ويتم مضاعفة الأسس.

  (أ ن) م \ u003d أ ن م ، حيث "أ" هو أي رقم ، و "م" ، "ن" أي أرقام طبيعية.

  
  

  الخصائص 4
  درجة المنتج

  تذكر!

  عند رفع منتج إلى قوة ، يتم رفع كل عامل إلى قوة. ثم يتم مضاعفة النتائج.

  (أ ب) ن \ u003d أ ن ب ن ، حيث "أ" ، "ب" هي أي أرقام منطقية ؛ "n" - أي رقم طبيعي.

  • مثال 1
    (6 أ 2 ب 3 ج) 2 = 6 2 أ 2 2 ب 3 2 ثانية 1 2 = 36 أ 4 ب 6 ث 2
    
  • مثال 2
    (−x 2 ص) 6 = ((1) 6 × 2 6 ص 1 6) = × 12 ص 6

  الأهمية!

  يرجى ملاحظة أن الخاصية رقم 4 ، مثل الخصائص الأخرى للدرجات ، يتم تطبيقها أيضًا بترتيب عكسي.

  (أ ن ب ن) = (أ ب) ن

  أي ، لضرب الأسس بنفس الأسس ، يمكنك ضرب الأسس وترك الأس دون تغيير.

  • مثال. احسب.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
  • مثال. احسب.
    0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

  في الأمثلة الأكثر تعقيدًا ، قد تكون هناك حالات يجب فيها إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات قواعد مختلفة وأسس مختلفة. في هذه الحالة ، ننصحك بالقيام بما يلي.

  علي سبيل المثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64144 = 9216
  

  مثال على أس كسر عشري.

  4 21 (0.25) 20 = 4 4 20 (0.25) 20 = 4 (4 (0.25)) 20 = 4 (1) 20 = 4 1 = 4

  الخصائص 5
  قوة حاصل القسمة (الكسور)

  تذكر!

  لرفع حاصل القسمة إلى أس ، يمكنك رفع المقسوم والمقسوم عليه بشكل منفصل لهذه القوة ، وقسمة النتيجة الأولى على الثانية.

  (a: b) n \ u003d a n: b n ، حيث "a" ، "b" هي أي أرقام منطقية ، b ≠ 0 ، n أي رقم طبيعي.

  • مثال. عبر عن التعبير في صورة قوى جزئية.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  نذكرك أنه يمكن تمثيل حاصل القسمة في صورة كسر. لذلك ، سوف نتناول موضوع رفع الكسر إلى قوة بمزيد من التفاصيل في الصفحة التالية.

في المقالة السابقة ، تحدثنا عن ماهية المونوميل. في هذه المادة ، سنحلل كيفية حل الأمثلة والمشكلات التي يتم استخدامها فيها. هنا سننظر في إجراءات مثل الطرح والجمع والضرب وتقسيم المونوميرات ورفعها إلى قوة ذات أس طبيعي. سنوضح كيف يتم تعريف مثل هذه العمليات ، ونوضح القواعد الأساسية لتنفيذها وماذا يجب أن تكون النتيجة. سيتم توضيح جميع الأحكام النظرية ، كالعادة ، بأمثلة على مشاكل أوصاف الحلول.

من الأنسب العمل بالتدوين القياسي للأحادية ، لذلك نقدم جميع التعبيرات التي سيتم استخدامها في المقالة في شكل قياسي. إذا تم تعيينهم في البداية بشكل مختلف ، فمن المستحسن إحضارهم أولاً إلى نموذج مقبول بشكل عام.

قواعد إضافة وطرح المونومرات

أبسط العمليات التي يمكن إجراؤها باستخدام المونوميل هي الطرح والجمع. في الحالة العامةستكون نتيجة هذه الإجراءات كثيرة الحدود (تكون أحادية الحدود ممكنة في بعض الحالات الخاصة).

عندما نضيف أو نطرح مونومال ، نكتب أولاً المجموع والفرق المقابل في الصيغة المقبولة عمومًا ، وبعد ذلك نبسط التعبير الناتج. إذا كانت هناك مصطلحات متشابهة ، فيجب تقديمها ، ويجب فتح الأقواس. دعنا نوضح بمثال.

مثال 1

شرط:أضف الأحاديات - 3 · x و 2 ، 72 · x 3 · y 5 · z.

المحلول

لنكتب مجموع المقادير الأصلية. أضف الأقواس وضع علامة الجمع بينهما. سوف نحصل على ما يلي:

(- 3 س) + (2 ، 72 × 3 ص 5 ض)

عندما نفك الأقواس ، نحصل على - 3 × + 2 ، 72 × 3 ص 5 ع. هذه كثيرة الحدود ، مكتوبة في شكل قياسي ، والتي ستكون نتيجة إضافة هذه المونوميرات.

إجابه:(- 3 س) + (2 ، 72 × 3 ص 5 ع) = - 3 س + 2 ، 72 × 3 ص 5 ض.

إذا كان لدينا ثلاثة أو أربعة حدود أو أكثر ، فإننا ننفذ هذا الإجراء بنفس الطريقة.

مثال 2

شرط:اسحب للداخل النظام الصحيحعمليات محددة مع كثيرات الحدود

3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

المحلول

لنبدأ بفتح الأقواس.

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج

نرى أنه يمكن تبسيط التعبير الناتج عن طريق اختزال المصطلحات المتشابهة:

3 أ 2 + 4 أ ج + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = = (3 أ 2 + أ 2 - 7 أ 2) + 4 أ ج - 2 2 3 أك + 4 9 = = - 3 أ 2 + 1 1 3 أك + 4 9

لدينا كثير الحدود ، والتي ستكون نتيجة هذا الإجراء.

إجابه: 3 أ 2 - (- 4 أ ج) + أ 2 - 7 أ 2 + 4 9 - 2 2 3 أ ج = - 3 أ 2 + 1 1 3 أ ج + 4 9

من حيث المبدأ ، يمكننا إجراء جمع وطرح اثنين من المونوميرات ، مع بعض القيود ، حتى ننتهي مع مونوميل. للقيام بذلك ، من الضروري مراعاة بعض الشروط المتعلقة بالشروط وطرح monomials. سنصف كيف يتم ذلك في مقال منفصل.

قواعد ضرب المونومرات

لا يفرض إجراء الضرب أي قيود على المضاعفات. يجب ألا تستوفي المونوميرات المراد ضربها أي شروط إضافية حتى تكون النتيجة أحادية الحد.

لإجراء مضاعفة المونوميل ، تحتاج إلى تنفيذ الخطوات التالية:

1. سجل القطعة بشكل صحيح.
2. قم بتوسيع الأقواس في التعبير الناتج.
3. جمِّع ، إن أمكن ، العوامل التي لها نفس المتغيرات والعوامل العددية بشكل منفصل.
4. نفذ الإجراءات اللازمة بالأرقام وطبق خاصية ضرب الأسس بنفس الأسس على العوامل المتبقية.

دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا.

مثال 3

شرط:اضرب المونومرات 2 · x 4 · y · z و - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11.

المحلول

لنبدأ بتكوين العمل.

نفتح الأقواس فيه ونحصل على الآتي:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2-7 16 ط 2 × 4 × 2 ص 3 ع 11

كل ما علينا فعله هو ضرب الأعداد بين الأقواس الأولى وتطبيق خاصية الأس على الثانية. نتيجة لذلك ، نحصل على ما يلي:

2-7 16 طن 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

إجابه: 2 × 4 ص ع - 7 16 ر 2 × 2 ع 11 = - 7 8 ر 2 × 6 ص ع 14.

إذا كان لدينا ثلاثة أو أكثر من كثيرات الحدود في الشرط ، فإننا نضربهم باستخدام نفس الخوارزمية بالضبط. سننظر في مسألة تكاثر المونوميل بمزيد من التفصيل في مادة منفصلة.

قواعد رفع مونومال إلى قوة

نعلم أن حاصل ضرب عدد معين من العوامل المتطابقة يسمى درجة ذات أس طبيعي. يشار إلى عددهم من خلال الرقم في الفهرس. وفقًا لهذا التعريف ، فإن رفع المونومال إلى قوة يعادل ضرب العدد المشار إليه من المونوميرات المتطابقة. دعونا نرى كيف يتم ذلك.

مثال 4

شرط:ارفع المونومال - 2 · أ · ب 4 للقوة 3.

المحلول

يمكننا استبدال الأس بضرب 3 مونومال - 2 · أ · ب 4. دعنا نكتب ونحصل على الإجابة المطلوبة:

(- 2 أ ب 4) 3 = (- 2 أ ب 4) (- 2 أ ب 4) (- 2 أ ب 4) = ((- 2) (- 2) (- 2)) (أأأ) (ب 4 ب 4) ب 4) = - 8 أ 3 ب 12

إجابه:(- 2 أ ب 4) 3 = - 8 أ 3 ب 12.

ولكن ماذا عن عندما يكون للدرجة أس كبير؟ أكتب عدد كبير منالمضاعفات غير مريحة. بعد ذلك ، لحل مثل هذه المشكلة ، نحتاج إلى تطبيق خصائص الدرجة ، أي خاصية درجة المنتج وخاصية الدرجة في الدرجة.

لنحل المشكلة التي ذكرناها أعلاه بالطريقة الموضحة.

مثال 5

شرط:ارفع - 2 · أ · ب 4 إلى القوة الثالثة.

المحلول

بمعرفة خاصية الدرجة في الدرجة ، يمكننا المضي قدمًا في التعبير عن النموذج التالي:

(- 2 أ ب 4) 3 = (- 2) 3 أ 3 (ب 4) 3.

بعد ذلك نرفع إلى القوة - 2 ونطبق خاصية الأس:

(- 2) 3 (أ) 3 (ب 4) 3 = - 8 أ 3 ب 4 3 = - 8 أ 3 ب 12.

إجابه:- 2 · أ · ب 4 = - 8 · أ 3 · ب 12.

لقد كرسنا أيضًا مقالًا منفصلاً لرفع المونومال إلى قوة.

قواعد قسمة المونوميل

العملية الأخيرة مع monomials ، والتي سنحلل فيها هذه المادة، هو تقسيم المونومال على المونومال. نتيجة لذلك ، يجب أن نحصل على كسر منطقي (جبري) (في بعض الحالات ، من الممكن الحصول على مونوميل). دعونا نوضح على الفور أن القسمة على صفر أحادية لم يتم تعريفها ، لأن القسمة على 0 لم يتم تعريفها.

لإجراء القسمة ، نحتاج إلى كتابة المونوميرات المشار إليها في شكل كسر وتقليلها ، إن أمكن.

مثال 6

شرط:قسّم الضلع - 9 x 4 y 3 z 7 على - 6 p 3 t 5 x 2 y 2.

المحلول

لنبدأ بكتابة المونومال في صورة كسر.

9 × 4 ص 3 ض 7-6 ص 3 ر 5 × 2 ص 2

يمكن اختزال هذا الكسر. بعد القيام بذلك ، نحصل على:

3 × 2 ص ض 7 2 ص 3 ر 5

إجابه:- 9 × 4 ص 3 ض 7 - 6 ص 3 ن 5 × 2 ص 2 = 3 × 2 ص ز 7 2 ص 3 ر 5.

الشروط التي بموجبها ، نتيجة لتقسيم المونومال ، نحصل على مونومال في مقال منفصل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter