اعتبر نظامًا من 3 معادلات بها ثلاثة مجاهيل

باستخدام محددات الدرجة الثالثة ، يمكن كتابة حل مثل هذا النظام بنفس الشكل كما هو الحال بالنسبة لنظام من معادلتين ، أي

(2.4)

إذا 0. هنا

أنه حكم كرامر حلول نظام الثلاثة المعادلات الخطيةمع ثلاثة مجاهيل.

مثال 2.3.حل نظام معادلات خطية باستخدام قاعدة كرامر:

قرار . إيجاد محدد المصفوفة الرئيسية للنظام

منذ 0 ، ثم لإيجاد حل للنظام ، يمكنك تطبيق قاعدة كرامر ، ولكن عليك أولاً حساب ثلاثة محددات أخرى:

فحص:

لذلك ، تم العثور على الحل بشكل صحيح. 

قواعد كرامر مشتقة ل أنظمة خطيةالدرجة الثانية والثالثة ، تشير إلى أنه يمكن صياغة نفس القواعد للأنظمة الخطية من أي ترتيب. حقا يحدث

نظرية كرامر. نظام تربيعي من المعادلات الخطية مع محدد غير صفري للمصفوفة الرئيسية للنظام (0) له حل واحد فقط ، ويتم حساب هذا الحل بواسطة الصيغ

(2.5)

أين  – محدد المصفوفة الرئيسي,  أنا – محدد المصفوفة, مشتق من البديل الرئيسيأناالعمود العاشر الأعضاء الحرة.

لاحظ أنه إذا كانت = 0 ، فإن قاعدة كرامر غير قابلة للتطبيق. هذا يعني أن النظام إما ليس لديه حلول على الإطلاق ، أو أنه يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

بعد صياغة نظرية كرامر ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي هو حساب المحددات ذات الترتيب الأعلى.

2.4 محددات الترتيب n

قاصر إضافي م اي جايعنصر أ اي جاييسمى المحدد الذي تم الحصول عليه من المعطى عن طريق الحذف أنا-الخط و يالعمود. الجمع الجبري أ اي جايعنصر أ اي جاييسمى الصغرى لهذا العنصر ، مأخوذ بعلامة (-1) أنا + ي، بمعنى آخر. أ اي جاي = (–1) أنا + ي م اي جاي .

على سبيل المثال ، لنجد العناصر الثانوية والمكملات الجبرية للعناصر أ 23 و أ 31 محددات

نحن نحصل



باستخدام مفهوم التكملة الجبرية ، يمكننا الصياغة نظرية التوسع المحددنمن الترتيب حسب الصف أو العمود.

نظرية 2.1. محدد المصفوفةأيساوي مجموع حاصل ضرب جميع العناصر في صف (أو عمود) ما ومكملاتها الجبرية:

(2.6)

هذه النظرية تكمن وراء إحدى الطرق الرئيسية لحساب المحددات ، ما يسمى. طريقة تخفيض الطلب. نتيجة لتوسع المحدد نالترتيب في أي صف أو عمود ، نحصل على n محددات ( ن–1) الترتيب. من أجل الحصول على عدد أقل من المحددات ، يُنصح باختيار الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. في الممارسة العملية ، عادة ما تتم كتابة صيغة التوسع للمُحدد على النحو التالي:

هؤلاء. تتم كتابة الإضافات الجبرية صراحة من حيث القصر.

أمثلة 2.4.احسب المحددات بتوسيعها أولاً في أي صف أو عمود. عادة في مثل هذه الحالات ، اختر العمود أو الصف الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. سيتم تمييز الصف أو العمود المحدد بسهم.



2.5 الخصائص الأساسية للمحددات

بتوسيع المحدد في أي صف أو عمود ، نحصل على محددات n ( ن–1) الترتيب. ثم كل من هذه المحددات ( ن–1) - الترتيب الثاني يمكن أيضًا أن يتحلل إلى مجموع المحددات ( ن- 2) الترتيب. استمرارًا لهذه العملية ، يمكن للمرء أن يصل إلى محددات الترتيب الأول ، أي لعناصر المصفوفة التي يتم حساب محدداتها. لذلك ، لحساب محددات الترتيب الثاني ، سيتعين عليك حساب مجموع فترتين ، لمحددات الترتيب الثالث - مجموع 6 شروط ، لمحددات الترتيب الرابع - 24 مصطلحًا. سيزداد عدد المصطلحات بشكل حاد مع زيادة ترتيب المحدد. هذا يعني أن حساب محددات الطلبات العالية جدًا يصبح مهمة شاقة إلى حد ما ، تتجاوز قوة الكمبيوتر. ومع ذلك ، يمكن حساب المحددات بطريقة أخرى باستخدام خصائص المحددات.

خاصية 1 . لن يتغير المحدد إذا تم تبديل الصفوف والأعمدة فيه ، أي عند نقل المصفوفة:

.

تشير هذه الخاصية إلى تساوي صفوف وأعمدة المحدد. بمعنى آخر ، أي بيان حول أعمدة المحدد يكون صحيحًا لصفوفه ، والعكس صحيح.

خاصية 2 . يتم تسجيل تغييرات المحدد عند تبادل صفين (عمودين).

عاقبة . إذا كان المحدد يحتوي على صفين متطابقين (أعمدة) ، فإنه يساوي صفرًا.

الملكية 3 . يمكن إخراج العامل المشترك لجميع العناصر في أي صف (عمود) من علامة المحدد.

علي سبيل المثال،

عاقبة . إذا كانت جميع عناصر الصف (العمود) للمحدد تساوي صفرًا ، فإن المحدد نفسه يساوي صفرًا.

الملكية 4 . لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة عناصر صف واحد (عمود) إلى عناصر صف آخر (عمود) مضروبة في بعض الأرقام.

علي سبيل المثال،

الملكية 5 . محدد حاصل ضرب المصفوفة يساوي حاصل ضرب محددات المصفوفة:

تعتمد طريقة كرامر على استخدام المحددات في حل أنظمة المعادلات الخطية. هذا يسرع عملية الحل بشكل كبير.

يمكن استخدام طريقة كرامر لحل نظام من عدد من المعادلات الخطية حيث توجد مجاهيل في كل معادلة. إذا كان محدد النظام لا يساوي صفرًا ، فيمكن استخدام طريقة كرامر في الحل ؛ وإذا كانت تساوي صفرًا ، فلا يمكنها ذلك. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدام طريقة كرامر لحل أنظمة المعادلات الخطية التي لها حل فريد.

تعريف. المحدد ، المكون من معاملات المجهول ، يسمى محدد النظام ويشار إليه بـ (دلتا).

المحددات

يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المعاملات في المجهول المقابل بشروط مجانية:

;

.

نظرية كرامر. إذا كان محدد النظام غير صفري ، فإن نظام المعادلات الخطية له حل واحد ، والمجهول يساوي نسبة المحددات. يحتوي المقام على محدد النظام ، ويحتوي البسط على المحدد الذي تم الحصول عليه من محدد النظام عن طريق استبدال المعاملات بالمجهول بشروط مجانية. تنطبق هذه النظرية على نظام المعادلات الخطية من أي ترتيب.

مثال 1حل نظام المعادلات الخطية:

بالنسبة الى نظرية كرامرنملك:

إذن حل النظام (2):

آلة حاسبة على الانترنت، طريقة حاسمةكرامر.

ثلاث حالات في حل أنظمة المعادلات الخطية

كما يبدو من نظريات كرامر، عند حل نظام المعادلات الخطية ، قد تحدث ثلاث حالات:

الحالة الأولى: نظام المعادلات الخطية له حل فريد

(النظام متسق ومحدد)

الحالة الثانية: نظام المعادلات الخطية له عدد لانهائي من الحلول

(النظام متسق وغير محدد)

** ,

هؤلاء. معاملات المجهول والمصطلحات الحرة متناسبة.

الحالة الثالثة: نظام المعادلات الخطية ليس له حلول

(النظام غير متناسق)

لذا فإن النظام مالمعادلات الخطية مع نالمتغيرات تسمى غير متوافقإذا لم يكن لديها حلول ، و مشتركإذا كان لديه حل واحد على الأقل. يسمى نظام المعادلات المشترك الذي يحتوي على حل واحد فقط المؤكد، وأكثر من واحد غير مؤكد.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر

دع النظام

.

بناء على نظرية كرامر

………….
,

أين
-

معرّف النظام. يتم الحصول على المحددات المتبقية عن طريق استبدال العمود بمعاملات المتغير المقابل (غير معروف) بأعضاء أحرار:

مثال 2

.

لذلك ، فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب المحددات

من خلال صيغ كرامر نجد:

إذن ، (1 ؛ 0 ؛ -1) هو الحل الوحيد للنظام.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

إذا لم تكن هناك متغيرات في نظام المعادلات الخطية في معادلة واحدة أو أكثر ، فعندئذٍ في المحدد ، فإن العناصر المقابلة لها تساوي صفرًا! هذا هو المثال التالي.

مثال 3حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

.

قرار. نجد محدد النظام:

انظر بعناية إلى نظام المعادلات وإلى محدد النظام وكرر الإجابة على السؤال في الحالات التي يكون فيها عنصر واحد أو أكثر من المحدد يساوي صفرًا. إذن ، المحدد لا يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن النظام محدد. لإيجاد الحل ، نحسب محددات المجهول

من خلال صيغ كرامر نجد:

إذن ، حل النظام هو (2 ؛ -1 ؛ 1).

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

أعلى الصفحة

نستمر في حل الأنظمة باستخدام طريقة كرامر معًا

كما ذكرنا سابقًا ، إذا كان محدد النظام يساوي صفرًا ، ولم تكن محددات المجهول مساوية للصفر ، فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول. دعنا نوضح بالمثال التالي.

مثال 6حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

قرار. نجد محدد النظام:

محدد النظام يساوي صفرًا ، وبالتالي ، فإن نظام المعادلات الخطية إما غير متسق ومحدّد ، أو غير متسق ، أي ليس له حلول. للتوضيح ، نحسب محددات المجهول

محددات المجهول لا تساوي الصفر ، وبالتالي فإن النظام غير متناسق ، أي ليس له حلول.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3 × 3 و 4 × 4 ، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت ، طريقة حل كرامر.

في مشاكل أنظمة المعادلات الخطية ، توجد أيضًا تلك التي توجد فيها أحرف أخرى بالإضافة إلى الأحرف التي تشير إلى المتغيرات. تشير هذه الأحرف إلى بعض الأرقام ، وغالبًا ما تكون رقمًا حقيقيًا. في الممارسة العملية ، مثل هذه المعادلات وأنظمة المعادلات تؤدي إلى مشاكل البحث الخصائص المشتركةأي ظواهر أو أشياء. هذا هو ، هل اخترعت أي مواد جديدةأو جهاز ، ولوصف خصائصه الشائعة بغض النظر عن حجم أو عدد النسخ ، من الضروري حل نظام المعادلات الخطية ، حيث توجد أحرف بدلاً من بعض معاملات المتغيرات. ليس عليك البحث بعيدًا عن الأمثلة.

المثال التالي لمشكلة مماثلة ، فقط عدد المعادلات والمتغيرات والحروف التي تدل على بعض الأرقام الحقيقية تزداد.

المثال 8حل نظام المعادلات الخطية بطريقة كرامر:

قرار. نجد محدد النظام:

البحث عن محددات المجهول

نظام المعادلات الخطية هو مجموعة من عدة معادلات خطية يتم النظر فيها معًا.

يمكن أن يحتوي النظام على أي عدد من المعادلات مع أي عدد من المجهول.

حل نظام المعادلات عبارة عن مجموعة من القيم غير المعروفة التي ترضي جميع معادلات النظام ، أي تحويلها إلى متطابقات.

يسمى النظام الذي يحتوي على حل متوافق ، وإلا فإنه يسمى غير متناسق.

يتم استخدام طرق مختلفة لحل النظام.

اسمحوا ان
(عدد المعادلات يساوي عدد المجهول).

طريقة كرامر

ضع في اعتبارك حل نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل:

(7)

للعثور على المجهول
دعنا نطبق صيغة كرامر:

(8)

أين - محدد النظام وعناصره معاملات المجهول:

.

تم الحصول عليها عن طريق استبدال العمود الأول من المحدد عمود الأعضاء الأحرار:

.

بصورة مماثلة:

;
.

مثال 1قم بحل النظام باستخدام صيغة كرامر:

.

الحل: لنستخدم الصيغ (8):

;

;

;

;

إجابه:
.

لأي نظام المعادلات الخطية مع يمكن للمجهولين أن يقولوا:

حل المصفوفة

ضع في اعتبارك حل النظام (7) من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل بطريقة المصفوفة.

باستخدام قواعد ضرب المصفوفات ، يمكن كتابة نظام المعادلات هذا على النحو التالي:
، أين

.

دع المصفوفة غير متدهور ، أي
. ضرب طرفي معادلة المصفوفة على اليسار في المصفوفة
، معكوس المصفوفة ، نحن نحصل:
.

بشرط
، نملك

(9)

مثال 2حل النظام بطريقة المصفوفة:

.

الحل: دعنا نقدم المصفوفات:

- من معاملات غير معروفة ؛

- عمود أحرار.

ثم يمكن كتابة النظام في صورة معادلة مصفوفة:
.

نستخدم الصيغة (9). لنجد معكوس المصفوفة
حسب المعادلة (6):

;

.

لذلك،

حصلت:

.

إجابه:
.

التصفية المتسلسلة للمجهول (طريقة غاوس)

الفكرة الرئيسية للطريقة المستخدمة هي التصفية المتتالية للمجهول. دعونا نشرح معنى هذه الطريقة في نظام من ثلاث معادلات بثلاث مجهولات:

.

لنفترض ذلك
(لو
، ثم نقوم بتغيير ترتيب المعادلات ، واختيار المعادلة الأولى التي يكون فيها المعامل لا يساوي الصفر).

الخطوة الأولى: أ) قسّم المعادلة
على ال
؛ ب) اضرب المعادلة الناتجة في
وطرح من
؛ ج) ثم اضرب الناتج في
وطرح من
. نتيجة للخطوة الأولى ، سيكون لدينا نظام:

,

الخطوة الثانية: تعامل مع المعادلة
و
تمامًا مثل المعادلات
.

نتيجة لذلك ، يتم تحويل النظام الأصلي إلى ما يسمى بالنموذج التدريجي:

من النظام المحول ، يتم تحديد جميع المجهول بالتتابع دون صعوبة.

تعليق. من الناحية العملية ، من الأنسب الاختزال إلى شكل متدرج ليس نظام المعادلات نفسه ، ولكن مصفوفة من المعاملات ، غير المعروفة ، والمصطلحات الحرة.

مثال 3حل النظام باستخدام طريقة جاوس:

.

سيتم كتابة الانتقال من مصفوفة إلى أخرى باستخدام علامة التكافؤ ~.

~
~
~
~

~
.

باستخدام المصفوفة الناتجة ، نكتب النظام المحول:

.

إجابه:
.

ملحوظة: إذا كان لدى النظام حل فريد ، فسيتم تقليل النظام التدريجي إلى حل مثلث ، أي إلى نظام تحتوي فيه المعادلة الأخيرة على حل غير معروف. في حالة وجود نظام غير محدد ، أي واحد فيه عدد غير معروف رقم أكثرمعادلات مستقلة خطيًا ، لن يكون هناك نظام مثلث ، لأن المعادلة الأخيرة ستحتوي على أكثر من واحد غير معروف (يحتوي النظام على عدد لا نهائي من الحلول). عندما يكون النظام غير متسق ، فبعد تصغيره إلى شكل متدرج ، سيحتوي على واحد على الأقل قيمة طيبة
، أي معادلة يكون فيها جميع المجهول لها معاملات صفرية ، والجانب الأيمن ليس صفريًا (لا يوجد نظام حل). طريقة Gauss قابلة للتطبيق على نظام تعسفي من المعادلات الخطية (لأي
و ).

نظرية الوجود لحل نظام المعادلات الخطية

عند حل نظام من المعادلات الخطية بالطريقة الغاوسية ، لا يمكن إعطاء الإجابة على سؤال ما إذا كان نظام معين متسقًا أو غير متسق إلا في نهاية الحسابات. ومع ذلك ، غالبًا ما يكون من المهم حل مسألة توافق أو عدم تناسق نظام المعادلات دون إيجاد الحلول نفسها. يتم إعطاء الإجابة على هذا السؤال من خلال نظرية Kronecker-Capelli التالية.

دع النظام
المعادلات الخطية مع مجهول:

(10)

لكي يكون النظام (10) متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون مرتبة مصفوفة النظام

.

كان مساويًا لمرتبة المصفوفة المعززة

.

علاوة على ذلك ، إذا
، ثم النظام (10) لديه حل فريد ؛ لو
، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

ضع في اعتبارك نظامًا متجانسًا (جميع المصطلحات المجانية تساوي الصفر) من المعادلات الخطية:

.

هذا النظام ثابت دائمًا لأنه يحتوي على حل صفري.

تعطي النظرية التالية الشروط التي بموجبها يكون للنظام أيضًا حلول غير صفرية.

تيريما. من أجل أن يكون لنظام متجانس من المعادلات الخطية حل صفري ، من الضروري والكافي أن يكون محدده كانت تساوي صفرًا:

.

وهكذا ، إذا
، فالحل فريد من نوعه. اذا كان
، إذن هناك عدد لا حصر له من الحلول الأخرى غير الصفرية. دعونا نشير إلى إحدى طرق إيجاد حلول لنظام متجانس من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل في الحالة
.

يمكن إثبات أنه إذا
، والمعادلتان الأولى والثانية غير متناسبة (مستقلتان خطيًا) ، فإن المعادلة الثالثة هي نتيجة المعادلتين الأوليين. يتم تقليل حل نظام متجانس من ثلاث معادلات ذات ثلاثة مجاهيل إلى حل معادلتين ذات ثلاثة مجاهيل. يظهر ما يسمى بالمجهول الحر ، والذي يمكن تعيين قيم عشوائية له.

مثال 4ابحث عن كل حلول النظام:

.

قرار. محددات هذا النظام

.

لذلك فإن النظام لديه صفر الحلول. يمكن ملاحظة أن المعادلتين الأوليين ، على سبيل المثال ، ليست متناسبة ، وبالتالي فهي مستقلة خطيًا. الثالث هو نتيجة الأولين (يتم الحصول عليها بإضافة ضعف الثانية إلى المعادلة الأولى). برفضها ، نحصل على نظام من معادلتين مع ثلاثة مجاهيل:

.

بافتراض ، على سبيل المثال ،
، نحن نحصل

.

حل نظام من معادلتين خطيتين ، نعبر عنه و عبر :
. لذلك ، يمكن كتابة حل النظام على النحو التالي:
، أين - عدد التعسفي.

مثال 5ابحث عن كل حلول النظام:

.

قرار. من السهل أن نرى أنه في هذا النظام توجد معادلة مستقلة واحدة فقط (المعادلتان الأخريان تتناسبان معها). نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل تم اختزاله إلى معادلة واحدة بها ثلاثة مجاهيل. يظهر اثنان من المجهول الحر. إيجاد ، على سبيل المثال ، من المعادلة الأولى
عن التعسفي و ، نحصل على حلول لهذا النظام. يمكن كتابة الشكل العام للحل كـ و - أرقام عشوائية.

أسئلة للفحص الذاتي

قم بصياغة قاعدة كرامر لحل النظام المعادلات الخطية مع مجهول.

ما هو جوهر طريقة المصفوفة لحل الأنظمة؟

ما هي طريقة جاوس لحل نظام المعادلات الخطية؟

صياغة نظرية كرونيكر كابيلي.

صِغ شرطًا ضروريًا وكافيًا لوجود حلول غير صفرية لنظام متجانس من المعادلات الخطية.

أمثلة على الحل الذاتي

ابحث عن كل حلول النظام:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

حدد في أي قيم و نظام المعادلات

أ) لديها حل فريد ؛

ب) ليس له حل.

ج) يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

16.
; 17.
;

ابحث عن جميع الحلول للأنظمة المتجانسة التالية:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

إجابات على الأمثلة

1.
; 2.
؛ 3. Ǿ ؛ 4. Ǿ ؛

5.
- عدد التعسفي.

6.
، أين - عدد التعسفي.

7.
; 8.
؛ 9. Ǿ ؛ 10. Ǿ ؛

11.
، أين - عدد التعسفي.

12. ، أين و - أرقام عشوائية.

13.
; 14.
أين و - أرقام عشوائية.

15. Ǿ ؛ 16. أ)
؛ ب)
؛ في)
.

17. أ)
؛ ب)
؛ في)
;

18.
; 19.
؛ 20. ، أين - عدد التعسفي.

21. ، أين - عدد التعسفي.

22. ، أين - عدد التعسفي.

23. ، أين و - أرقام عشوائية.

العمل التطبيقي

"حل أنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الثالثة بطريقة كرامر"

أهداف العمل:

توسيع فهم طرق حل SLE والعمل على الخوارزمية لحل SLE بطريقة Cramor ؛

لتنمية التفكير المنطقي لدى الطلاب والقدرة على إيجاده حل عقلانيمهام؛

لتثقيف الطلاب في دقة وثقافة الكلام الرياضي المكتوب عند اتخاذ قرارهم.

المادة النظرية الأساسية.

طريقة كرامر. تطبيق لأنظمة المعادلات الخطية.

تم إعطاء نظام من المعادلات الجبرية الخطية N (SLAE) ذات المجهول ، معاملاتها هي عناصر المصفوفة ، والأعضاء الحرة هي الأرقام

يشير الفهرس الأول بجوار المعاملات إلى المعادلة التي يقع فيها المعامل ، والثاني - في أي من المجهول يقع.

إذا كان محدد المصفوفة لا يساوي صفرًا

إذن نظام المعادلات الجبرية الخطية له حل فريد. إن حل نظام المعادلات الجبرية الخطية هو مجموعة مرتبة من الأرقام ، والتي تحول كل معادلة من معادلات النظام إلى مساواة صحيحة. إذا كانت الجوانب اليمنى لجميع معادلات النظام تساوي الصفر ، فإن نظام المعادلات يسمى متجانس. في الحالة التي يكون فيها بعضها غير صفري وغير منتظم إذا كان لنظام المعادلات الجبرية الخطية حل واحد على الأقل ، فإنه يسمى متوافق ، وإلا فإنه غير متوافق. إذا كان حل النظام فريدًا ، فإن نظام المعادلات الخطية يسمى محددًا. في الحالة التي لا يكون فيها حل النظام المتوافق فريدًا ، يُطلق على نظام المعادلات اسم غير محدد. يطلق على نظامين من المعادلات الخطية اسم مكافئ (أو ما يعادله) إذا كانت جميع حلول نظام واحد هي حلول النظام الثاني ، والعكس صحيح. يتم الحصول على أنظمة معادلة (أو ما يعادلها) باستخدام تحويلات مكافئة.

التحولات المكافئة لـ SLAE

1) إعادة ترتيب المعادلات ؛

2) ضرب (أو قسمة) المعادلات بعدد غير صفري ؛

3) إضافة إلى معادلة ما معادلة أخرى ، مضروبة في عدد تعسفي غير صفري.

يمكن العثور على حل SLAE بطرق مختلفة ، على سبيل المثال ، من خلال صيغ Cramer (طريقة Cramer)

نظرية كرامر. إذا كان محدد نظام المعادلات الجبرية الخطية ذات المجهول مختلفًا عن الصفر ، فإن هذا النظام له حل فريد تم العثور عليه بواسطة صيغ كرامر: - المحددات التي تشكلت باستبدال العمود -th ، عمود المصطلحات الحرة.

إذا كان ، وواحد على الأقل من غير الصفر ، فإن SLAE ليس لديه حلول. لو ، ثم SLAE لديها العديد من الحلول.

نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل معطاة. حل النظام بطريقة كرامر

قرار.

أوجد محدد مصفوفة معاملات المجهول

منذ ذلك الحين ، فإن نظام المعادلات المحدد متسق وله حل فريد. دعنا نحسب المحددات:

باستخدام صيغ كرامر ، نجد المجهول

لذا الحل الوحيد للنظام.

تم إعطاء نظام من أربع معادلات جبرية خطية. حل النظام بطريقة كرامر.

دعونا نجد محدد مصفوفة معاملات المجهول. للقيام بذلك ، نقوم بتوسيعه بالسطر الأول.

أوجد مكونات المحدد:

عوّض بالقيم التي تم إيجادها في المحدد

وبالتالي ، فإن المحدد نظام المعادلات متسق وله حل فريد. نحسب المحددات باستخدام صيغ كرامر:

معيار التقييم:

يتم تقييم العمل عند "3" إذا: تم حل أحد الأنظمة بشكل كامل وصحيح بشكل مستقل.

يتم تقييم العمل عند "4" إذا: تم حل أي نظامين بشكل كامل وصحيح بشكل مستقل.

يتم تقييم العمل عند "5" إذا: تم حل ثلاثة أنظمة بشكل كامل وصحيح بشكل مستقل.

الدورات الدراسية: محددات وأنظمة المعادلات الخطية

1. محددات الرتبتين الثانية والثالثة وممتلكاتهما

1.1 مفهوم المصفوفة والمحدد من الدرجة الثانية

جدول أرقام مستطيل

مصفوفة. لتعيين مصفوفة ، إما عمودي مزدوج

شرطات أو أقواس. علي سبيل المثال:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

6 11 2 -6 11 2

إذا كان عدد صفوف المصفوفة هو نفسه عدد الأعمدة ، فسيتم استدعاء المصفوفة

ميدان. تسمى الأرقام المكونة للمصفوفة عناصر.

ضع في اعتبارك مصفوفة مربعة تتكون من أربعة عناصر:

محدد الدرجة الثانية المقابل للمصفوفة (3.1) هو الرقم

ويشار إليها بالرمز

بحكم التعريف

عادة ما يتم استدعاء العناصر التي تشكل مصفوفة محدد معين

عناصر هذا المحدد.

البيان التالي هو الصحيح: بحيث محدد الثانية

كان النظام يساوي الصفر ، فمن الضروري والكافي أن تكون عناصر صفوفه (أو

على التوالي من أعمدتها) متناسبة.

لإثبات هذا التأكيد ، يكفي أن نلاحظ أن كل من

النسب /

يعادل

والمساواة الأخيرة بحكم (3.2) تعادل زوال المحدد.

1.2 نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين

دعونا نوضح كيف يتم استخدام محددات الدرجة الثانية للدراسة و

إيجاد حلول لنظام من معادلتين خطيتين مجهولين

(المعاملات ،

وأعضاء أحرار ،

يفترض أن تعطى). أذكر أن زوجًا من الأرقام

اتصل

حل النظام (3.3) إذا كان استبدال هذه الأرقام في مكانها

وفي هذا النظام

يحول كلا المعادلتين (3.3) إلى متطابقات.

ضرب المعادلة الأولى للنظام (3.3) في -

والثاني - في و

ثم نضيف المساواة الناتجة نحصل عليها

وبالمثل ، بضرب المعادلات (3.3) في - وعلى التوالي نحصل على:

دعونا نقدم الترميز التالي:

باستخدام هذه الرموز والتعبير عن المحدد من الدرجة الثانية

يمكن إعادة كتابة المعادلتين (3.4) و (3.5) على النحو التالي:

محدد

تتكون من معاملات المجهول للنظام (3.3) ، ومن المعتاد الاتصال بها

محدد لهذا النظام. لاحظ أن المحددات

ويتم الحصول عليها من

مؤهل النظام

عن طريق استبدال العمود الأول أو الثاني على التوالي بالمجان

يمكن أن يكون هناك حالتان: 1) محدد النظام

يختلف عن الصفر 2) هذا المحدد يساوي صفرًا.

لنتأمل الحالة أولاً

0. من المعادلات (3.7) نحصل على الفور على صيغ للمجهول ،

اتصل صيغ كرامر:

تعطي معادلات كرامر الناتجة (3.8) حلاً للنظام (3.7) وبالتالي تثبت

تفرد حل النظام الأصلي (3.3). إنديد ، نظام (3.7)

هو نتيجة للنظام (3.3) ، لذا فإن أي حل للنظام (3.3) (في

إذا كان موجودًا!) يجب أن يكون أيضًا أحد حلول النظام (3.7). لذا،

حتى الآن ثبت أنه إذا كان النظام الأصلي (3.3) موجودًا لـ

0 ، فإن هذا الحل يتم تحديده بشكل فريد بواسطة صيغ Cramer (3.8).

من السهل أيضًا التحقق من وجود حل ، أي أن ما في

0 رقمين و

محددة بواسطة صيغ كرامر (3.8). وضعها في مكان المجهول في

المعادلات (3.3) حول هذه المعادلات إلى متطابقات. (دع القارئ

اكتب عبارات عن المحددات بنفسك

وللتحقق من صحة هذه الهويات).

نصل إلى الاستنتاج التالي: إذا كان المحدد

يختلف النظام (3.3) عن الصفر ، ثم يوجد ، علاوة على ذلك ، حل فريد لهذا الأمر

النظام المحدد بواسطة صيغ كرامر (3.8).

نعتبر الآن الحالة عند المحدد

النظام صفر. قد يقدمون أنفسهم حالتين فرعيتين: أو ربما

أحد المحددات

أو يختلف عن

صفر؛ ب) كلا المحددات

وتساوي الصفر. (لو

محدد و

واحد من اثنين من المحددات

وتساوي الصفر إذن

الآخر من هذين المحددين يساوي صفرًا. في الواقع ، دعنا

على سبيل المثال = 0

ثم من هذه النسب نحصل على ذلك

في الحالة الفرعية أ) ، تبين أن واحدة على الأقل من المساواة (3.7) مستحيلة ، أي ،

نظام (3.7) ليس له حلول وبالتالي ليس له حلول والنظام الأصلي

(3.3) (ونتيجة لذلك هو النظام (3.7)).

في الحالة الفرعية ب) ، يحتوي النظام الأصلي (3.3) على مجموعة غير معدودة من الحلول. في

في الواقع ، من المساواة

0 ومن البيان في نهاية ثانية. 1.1 نستنتج أن المعادلة الثانية للنظام

(3.3) هو نتيجة الأول ويمكن التخلص منه. لكن معادلة واحدة مع

مجهولين

عدد لا نهائي من الحلول (واحد على الأقل من المعاملات

أو يختلف عن

صفر ويمكن تحديد المجهول المرتبط به من المعادلة (3.9)

من خلال تعسفيا مجموعة القيمةغير معروف آخر).

وهكذا ، إذا كان المحدد

النظام (3.3) يساوي صفرًا ، ثم النظام (3.3) إما أنه ليس لديه حلول على الإطلاق (في

إذا كان واحدًا على الأقل من المحددات

أو يختلف عن

صفر) أو يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول (في حالة متى

0). في الاخير

الحالة ، يمكن استبدال معادلتين (3.3) بواحدة ، وعند حلها ، واحدة

يتم إعطاء المجهول بشكل تعسفي.

تعليق. عندما أعضاء أحرار

ويساوي الصفر ،

النظام الخطي (3.3) يسمى متجانس. لاحظ أن نفس الشيء

لدى النظام دائمًا ما يسمى بالحل التافه:

0 ، = 0 (هذين

الأرقام تحول كلا المعادلتين المتجانسة إلى هويات).

إذا كان محددًا لنظام متجانس

يختلف عن الصفر ، فإن هذا النظام ليس لديه سوى حل تافه. لو

= 0 ، فإن النظام المتجانس له عدد لا نهائي من الحلول(بقدر ما

بالنسبة للنظام المتجانس ، يتم استبعاد إمكانية غياب الحلول). لذا

الطريقة النظام المتجانس لديه حل غير تافه إذا وفقط إذا

عندما يكون المحدد صفرًا.