إضافة	إضافة المصطلح + المصطلح = المجموع 1) للعثور على المصطلح المجهول ، اطرح المصطلح المعروف من المجموع.
الطرح	الطرح minuend - المطروح = الفرق 1) للعثور على المطروح المجهول ، من الضروري طرح الفرق من المطروح المخفض. 2) للعثور على الحد الأدنى المجهول ، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.
عمليه الضرب	عمليه الضرب المضاعف ∙ المضاعف = المنتج 1) للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى تقسيم المنتج على العامل المعروف
قسم التوزيعات: المقسوم عليه = حاصل القسمة	قسم التوزيعات: المقسوم عليه = حاصل القسمة 1) لإيجاد المقسوم المجهول ، تحتاج إلى ضرب حاصل القسمة بالمقسوم عليه. 2) للعثور على قاسم غير معروف ، من الضروري قسمة المقسوم على حاصل القسمة.

خوارزمية لحل معادلة مركبة:

1. ابحث عن الإجراء الأخير على الجانب الأيسر ، ضع دائرة حوله.

2. قم بتسمية مكونات العمل في الأعلى.

3. اختر قاعدة.

4. اترك المكون مع المجهول على اليسار.

5. احسب نتيجة الجانب الأيمن.

6. هل حصلت على معادلة بسيطة؟

لا - تعني العودة إلى النقطة 1.

في هذا الفيديو ، سوف نلقي نظرة على المجموعة بأكملها. المعادلات الخطية، والتي يتم حلها بنفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها يجب أن يسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي المعادلة التي يوجد فيها متغير واحد فقط ، وفي الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسط المعادلات باستخدام الخوارزمية:

1. الأقواس المفتوحة ، إن وجدت ؛
2. انقل المصطلحات التي تحتوي على متغير إلى جانب واحد من علامة التساوي ، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر ؛
3. أحضر الشروط المتشابهة إلى يسار ويمين علامة التساوي ؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $ x $.

بالطبع ، هذه الخوارزمية لا تساعد دائمًا. الحقيقة هي أنه في بعض الأحيان ، بعد كل هذه المكائد ، يتضح أن معامل المتغير $ x $ يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال ، عندما تحصل على شيء مثل $ 0 \ cdot x = 8 $ ، أي على اليسار صفر ، وعلى اليمين رقم غير صفري. في الفيديو أدناه ، سنلقي نظرة على عدة أسباب تجعل هذا الموقف ممكنًا.
2. الحل هو كل الأرقام. الحالة الوحيدة التي يكون فيها ذلك ممكنًا هي عندما يتم تقليل المعادلة إلى البناء $ 0 \ cdot x = 0 $. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن قيمة $ x $ التي نعوضها ، ستظل النتيجة "صفر يساوي صفرًا" ، أي المساواة العددية الصحيحة.

والآن دعونا نرى كيف يعمل كل شيء على مثال المشاكل الحقيقية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نتعامل مع المعادلات الخطية ، وأبسطها فقط. بشكل عام ، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط ، وتنتقل فقط إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى فتح الأقواس ، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير) ؛
2. ثم أحضر ما شابه
3. أخيرًا ، اعزل المتغير ، أي كل ما يرتبط بالمتغير - المصطلحات التي يحتوي عليها - ينتقل إلى جانب ، وكل ما يبقى بدونه ينتقل إلى الجانب الآخر.

بعد ذلك ، كقاعدة عامة ، تحتاج إلى إحضار متماثل في كل جانب من جوانب المساواة الناتجة ، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على المعامل عند "x" ، وسوف نحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية ، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن حتى لطلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة ارتكاب أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة ، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس ، أو عند حساب "الإيجابيات" و "السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك ، يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق ، أو أن الحل هو خط الأعداد بالكامل ، أي أي رقم. سنقوم بتحليل هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ ، كما فهمت بالفعل ، بالأكثر مهام بسيطة.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

بادئ ذي بدء ، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس ، إن وجدت.
2. المتغيرات المنعزلة ، أي يتم نقل كل ما يحتوي على "x" إلى جانب ، وبدون "x" - إلى الجانب الآخر.
3. نقدم شروط مماثلة.
4. نقسم كل شيء على المعامل عند "x".

بالطبع ، لا يعمل هذا المخطط دائمًا ، فهو يحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة والحيل ، والآن سنتعرف عليهم.

حل أمثلة حقيقية لمعادلات خطية بسيطة

مهمة 1

في الخطوة الأولى ، نحن مطالبون بفتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال ، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية ، علينا عزل المتغيرات. ملحوظة: نحن نتكلمفقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتب:

نعطي مصطلحات متشابهة على اليسار واليمين ، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: قسمة عامل:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

هنا حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

في هذه المهمة ، يمكننا ملاحظة الأقواس ، لذلك دعونا نوسعها:

سواء على اليسار أو اليمين ، نرى نفس البناء تقريبًا ، لكن دعنا نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي متغيرات العزل:

فيما يلي بعض مثل:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك ، يمكننا كتابة أن $ x $ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي بالفعل أكثر إثارة للاهتمام:

\ [\ يسار (6-x \ يمين) + \ يسار (12 + x \ يمين) - \ يسار (3-2x \ يمين) = 15 \]

يوجد العديد من الأقواس هنا ، لكن لم يتم ضربهم بأي شيء ، بل لديهم فقط إشارات مختلفة أمامهم. دعنا نقسمهم:

نقوم بالخطوة الثانية التي نعرفها بالفعل:

\ [- س + س + 2 س = 15-6-12 + 3 \]

دعنا نحسب:

نقوم بالخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على المعامل عند "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا ، فأود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه ، ليس لكل معادلة خطية حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور ؛
• حتى لو كانت هناك جذور ، فإن الصفر يمكن أن يدخل بينها - فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس رقم البقية ، لا يجب أن تميزه بطريقة أو بأخرى أو تفترض أنه إذا حصلت على صفر ، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.

ميزة أخرى تتعلق بتوسيع الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم ، نقوم بإزالته ، ولكن بين قوسين نغير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه وفقًا للخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

سيساعدك فهم هذه الحقيقة البسيطة على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤلمة في المدرسة الثانوية ، عندما يكون القيام بمثل هذه الإجراءات أمرًا مفروغًا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى المزيد معادلات معقدة. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر وظيفة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك ، يجب ألا تخاف من هذا ، لأنه إذا قمنا ، وفقًا لقصد المؤلف ، بحل معادلة خطية ، فعندئذٍ في عملية التحويل ، سيتم بالضرورة تقليل جميع المونوميرات التي تحتوي على دالة تربيعية.

مثال 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. لنفعل هذا بعناية شديدة:

لنأخذ الآن الخصوصية:

\ [- س + 6 ((س) ^ (2)) - 6 ((س) ^ (2)) + س = -12 \]

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن معادلة معينةلا توجد حلول لذلك نكتب في الجواب:

\[\تشكيلة \]

أو لا جذور.

المثال رقم 2

نقوم بنفس الخطوات. الخطوة الأولى:

لننقل كل شيء باستخدام متغير إلى اليسار ، وبدونه - إلى اليمين:

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل ، لذلك نكتبها على النحو التالي:

\ [\ varnothing \] ،

أو لا جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل المعادلتين بالكامل. في مثال هذين التعبيرين ، تأكدنا مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية ، لا يمكن أن يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك واحد ، أو لا شيء ، أو عدد لا نهائي. في حالتنا هذه ، درسنا معادلتين ، في كلتا الحالتين ببساطة لا توجد جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهك إلى حقيقة أخرى: كيفية التعامل مع الأقواس وكيفية توسيعها إذا كانت أمامها علامة ناقص. ضع في اعتبارك هذا التعبير:

قبل الفتح ، تحتاج إلى ضرب كل شيء في "x". يرجى ملاحظة: الضرب كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل حدان - على التوالي ، حدين ومضروب.

وفقط بعد اكتمال هذه التحولات التي تبدو أولية ، ولكنها مهمة جدًا وخطيرة ، يمكن فتح القوس من وجهة نظر أن هناك علامة ناقص بعده. نعم ، نعم: الآن فقط ، عند إجراء التحولات ، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس ، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات فقط. في الوقت نفسه ، تختفي الأقواس نفسها ، والأهم من ذلك ، تختفي أيضًا علامة "ناقص" الأمامية.

نفعل الشيء نفسه مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه لهذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير مهمة. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية ، حيث يؤدي عدم القدرة على أداء إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون حل مثل هذه المعادلات البسيطة مرة أخرى.

بالطبع ، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى الأتمتة. لم تعد مضطرًا لإجراء العديد من التحولات في كل مرة ، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. لكن بينما تتعلم فقط ، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنحله الآن بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة ، لكن المعنى يظل كما هو.

مهمة 1

\ [\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (3x-1 \ يمين) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

لنضرب كل العناصر في الجزء الأول:

لنقم بالتراجع:

فيما يلي بعض مثل:

لنقم بالخطوة الأخيرة:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

ها هي إجابتنا النهائية. وعلى الرغم من حقيقة أنه في عملية الحل كان لدينا معاملات ذات دالة تربيعية ، إلا أنها تبادلت بشكل متبادل ، مما يجعل المعادلة خطية تمامًا وليست مربعة.

المهمة رقم 2

\ [\ يسار (1-4x \ يمين) \ يسار (1-3x \ يمين) = 6x \ يسار (2x-1 \ يمين) \]

لنقم بالخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر في القوس الأول في كل عنصر في الثاني. في المجموع ، يجب الحصول على أربعة شروط جديدة بعد التحولات:

والآن قم بإجراء الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات مع "x" إلى اليسار ، وبدون - إلى اليمين:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

لقد تلقينا إجابة نهائية.

الفروق الدقيقة في الحل

إن أهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي: بمجرد أن نبدأ في ضرب الأقواس التي يوجد فيها أكثر من حد ، يتم ذلك وفقًا للقاعدة التالية: نأخذ المصطلح الأول من الأول ونضرب مع كل عنصر من الثاني ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضرب بالمثل مع كل عنصر من العنصر الثاني. نتيجة لذلك ، نحصل على أربعة حدود.

على المجموع الجبري

في المثال الأخير ، أود تذكير الطلاب بما هو موجود مجموع جبري. في الرياضيات الكلاسيكية ، نعني بـ1-7 دولارات بناءًا بسيطًا: نطرح سبعة من واحد. في الجبر ، نعني بهذا ما يلي: إلى الرقم "واحد" نضيف عددًا آخر ، وهو "ناقص سبعة". يختلف هذا المجموع الجبري عن المجموع الحسابي المعتاد.

بمجرد إجراء جميع التحويلات ، كل إضافة وضرب ، تبدأ في رؤية تراكيب مشابهة لتلك الموصوفة أعلاه ، لن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

في الختام ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى التي ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو ، ومن أجل حلها ، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا بشكل طفيف.

حل المعادلات بكسر

لحل مثل هذه المهام ، يجب إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً ، سوف أذكر الخوارزمية الخاصة بنا:

1. فتح بين قوسين.
2. متغيرات منفصلة.
3. إحضار ما شابه ذلك.
4. قسّم على عامل.

للأسف ، هذه الخوارزمية الرائعة ، بكل كفاءتها ، ليست مناسبة تمامًا عندما يكون لدينا كسور أمامنا. وفي ما سنراه أدناه ، لدينا كسر في المعادلتين الأيسر والأيمن.

كيف تعمل في هذه الحالة؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية! للقيام بذلك ، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية ، والتي يمكن إجراؤها قبل الإجراء الأول وبعده ، أي التخلص من الكسور. وبالتالي ، ستكون الخوارزمية على النحو التالي:

1. تخلص من الكسور.
2. فتح بين قوسين.
3. متغيرات منفصلة.
4. إحضار ما شابه ذلك.
5. قسّم على عامل.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا من الممكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع ، في حالتنا جميع الكسور عددية من حيث المقام ، أي في كل مكان يكون المقام مجرد رقم. لذلك ، إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في هذا العدد ، فسنخلص من الكسور.

مثال 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

دعنا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة ، أي فقط لأن لديك قوسين لا يعني أنه عليك ضرب كل منهما في "أربعة". دعنا نكتب:

\ [\ يسار (2x + 1 \ يمين) \ يسار (2x-3 \ يمين) = \ يسار (((x) ^ (2)) - 1 \ يمين) \ cdot 4 \]

لنفتحه الآن:

نقوم بعزل المتغير:

نقوم بتقليل المصطلحات المماثلة:

\ [- 4x = -1 \ يسار | : \ يسار (-4 \ يمين) \ يمين. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

لقد تلقينا الحل النهائي ، ننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

هنا نقوم بنفس الإجراءات:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

تم حل المشكلة.

هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أقوله اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي كما يلي:

• تعرف على الخوارزمية لحل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كان لديك في مكان ما وظائف من الدرجة الثانية، على الأرجح ، في عملية مزيد من التحولات ، سيتم تقليلها.
• تتكون جذور المعادلات الخطية ، حتى أبسطها ، من ثلاثة أنواع: جذر واحد ، خط الأعداد بالكامل جذر ، لا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لفهم الرياضيات بشكل أكبر. إذا كان هناك شيء غير واضح ، فانتقل إلى الموقع ، وحل الأمثلة المقدمة هناك. ترقبوا ، هناك العديد من الأشياء المثيرة للاهتمام في انتظاركم!

أطلب المساعدة في حل معادلة غير معروفة في المقام: (y + 5) / (y ^ 2-5 * y) - (y-5) / (2 * y ^ 2-10 * y) \ u003d (y + 25) / (2y ^ 2-50) هو

المعادلة موجودة في كتاب Algrebe للصف السابع. حاولت حل المشكلة ، لكنني كنت أتوصل باستمرار إلى بعض الحالات المربكة تمامًا. كمرجع: الموضوع الذي يحتوي على معادلات مماثلة يسبق حلول المعادلات التربيعية بوقت طويل ، لذلك من الناحية النظرية يجب حل المعادلة دون التقليل إلى معادلة من الدرجة الثانية. بشكل عام ، سأكون ممتنًا لخوارزمية الحل الموضحة.

في نهاية الدرس توجد الإجابة التالية: 15

1) هو زوج من الأرقام (-3 ؛ 2) حل للمعادلة 2x-3y = 0.

2) من بين حلول المعادلة 3y-9x = 18 ، أوجد حلًا تتساوى فيه قيم المتغيرات.
3) تؤخذ النقطة A على الرسم البياني للمعادلة 4x-5y \ u003d 10. أوجد الحد الفاصل للنقطة A إذا كان إحداثيها هو 2.
4) الرسم البياني للدالة ax + by \ u003d 1 يمر عبر النقطتين A (1؛ -2) و B (-2؛ 7) ما هي المعامِلات a و b؟ 1). أ = 3 ، ب = 1 2). أ = 1 ، ب = 3 3). أ = -1 ، ب = 5 4). أ = 3 ، ب = 9.
5) هو زوج من الأرقام (-1 ؛ 7) حل للمعادلة 23 س + 4 ص = 5.
6) من بين حلول المعادلة x-7y = 12 ، أوجد حلًا تتساوى فيه قيم المتغيرات.
7) النقطة C مأخوذة من الرسم البياني للمعادلة 12x-5y = 23 ، أوجد إحداثيات النقطة C إذا كانت إحداثياتها تساوي -1.

المساعدة لآخر مرة اليوم №1 أي من أزواج الأرقام (-1: 1) ، (كسر ثانية واحدة ، كسر من خمسين) ، (-4: 1) هي حل المعادلة 2x + 5y -3 = 0

№2 أوجد قيم المعامل b في المعادلة + 5x + by + 18 = 0 إذا كان معروفًا أن زوج الأعداد (6: -4) هو حل المعادلة. # 3 قم بتحويل المعادلة الخطية بمتغيرين 6x-3y = 3 للصيغة دالة خطيةص = ص + م

أسئلة حول الجبر للائتمان في الصف 8؟

1. ما هو الكسر العادي؟ اكتب كسرًا مشتركًا. الخاصية الأساسية لكسر. أعط أمثلة.
2. الجمع والقسمة الكسور العاديةذات قواسم مختلفة. أعط أمثلة.
3. ضرب وطرح الكسور العادية ذات القواسم المختلفة. أعط أمثلة.
4. ما هو الرقم العشري؟ العشري. أعط أمثلة.
5. الجمع والقسمة الكسور العشرية. أعط أمثلة.
6. ضرب وطرح الكسور العشرية. أعط أمثلة.
7. ما هو الكسر الجبري. أعط أمثلة.
8. مجال تعريف الكسر الجبري. أعط أمثلة.
9. الخاصية الرئيسية لكسر جبري. أعط أمثلة.
10. جمع وقسمة الكسور الجبرية. أعط أمثلة.
11. طرح وضرب الكسور الجبرية. أعط أمثلة.
12. ما هي الدرجة مع مؤشر طبيعي؟ درجة العدد الموجب مع أي أس. درجة عدد السلبيبرقم زوجي. قوة عدد سالب أس فردي. أعط أمثلة.
13. خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح. أعط أمثلة.
14. ما هي المعادلة؟ جذور المعادلة؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ أعط أمثلة.
15. خوارزمية لحل المعادلات. أعط أمثلة.
16. خوارزمية الحل معادلة كسرية. أعط أمثلة.
17. الجذر التربيعي. الجذر التربيعي الحسابي. أعط أمثلة.
18. خواص الحساب الجذر التربيعي. أعط أمثلة.
19. المعادلة x2 = a وجذورها. أعط أمثلة.
20. خواص الجذور التربيعية. اعط مثالا.

تم استلام نظم المعادلات تطبيق واسعفي القطاع الاقتصادي النمذجة الرياضيةعمليات مختلفة. على سبيل المثال ، عند حل مشاكل إدارة الإنتاج والتخطيط ، والطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.

تستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في مجال الرياضيات ، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء ، عند حل مشاكل تحديد حجم السكان.

نظام المعادلات الخطية هو مصطلح لمعادلتين أو أكثر مع العديد من المتغيرات التي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام حيث تصبح جميع المعادلات مساواة حقيقية أو تثبت أن التسلسل غير موجود.

معادلة خط مستقيم

المعادلات من الشكل ax + by = c تسمى الخطية. التعيينات س ، ص هي المجهول ، التي يجب إيجاد قيمتها ، ب ، أ هي معاملات المتغيرات ، ج هو المصطلح المجاني للمعادلة.
سيبدو حل المعادلة برسم التمثيل البياني الخاص بها كخط مستقيم ، وجميع نقاطه تمثل حل كثير الحدود.

أنواع أنظمة المعادلات الخطية

أبسط أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين X و Y.

F1 (x، y) = 0 و F2 (x، y) = 0 ، حيث F1،2 هي وظائف و (x، y) متغيرات دالة.

حل جملة معادلات - يعني العثور على هذه القيم (س ، ص) التي يصبح النظام مساواة حقيقية لها ، أو لإثبات عدم وجود قيم مناسبة لـ x و y.

زوج من القيم (س ، ص) ، مكتوب على هيئة إحداثيات نقطية ، يسمى حل لنظام المعادلات الخطية.

إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لا يوجد حل ، فيُطلق عليها مكافئ.

الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يكون جانبها الأيمن مساويًا للصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة "يساوي" له قيمة أو يتم التعبير عنه بواسطة دالة ، فإن هذا النظام ليس متجانسًا.

يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من متغيرين ، ثم يجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية مع ثلاثة متغيرات أو أكثر.

في مواجهة الأنظمة ، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المجهول ، لكن هذا ليس كذلك. لا يعتمد عدد المعادلات في النظام على المتغيرات ، يمكن أن يكون هناك عدد كبير منهم بشكل تعسفي.

طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات

لا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة ، كل الطرق تعتمد على الحلول العددية. في دورة مدرسيةتصف الرياضيات بالتفصيل طرقًا مثل التقليب ، والإضافة الجبرية ، والاستبدال ، بالإضافة إلى الطريقة الرسومية وطريقة المصفوفة ، الحل بطريقة غاوس.

تتمثل المهمة الرئيسية في طرق التدريس في الحل في تعليم كيفية تحليل النظام بشكل صحيح وإيجاد خوارزمية الحل الأمثل لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام من القواعد والإجراءات لكل طريقة ، ولكن لفهم مبادئ تطبيق طريقة معينة.

حل أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية للفئة السابعة من البرنامج مدرسة اعداديةبسيطة للغاية وموضحة بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي عن الرياضيات ، يحظى هذا القسم بالاهتمام الكافي. تمت دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية بطريقة Gauss و Cramer بمزيد من التفصيل في الدورات الأولى لمؤسسات التعليم العالي.

حل الأنظمة بطريقة الاستبدال

تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد من خلال الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية ، ثم يتم تقليله إلى شكل متغير واحد. يتم تكرار الإجراء اعتمادًا على عدد المجهول في النظام

دعنا نعطي مثالاً لنظام المعادلات الخطية من الفئة السابعة بطريقة الاستبدال:

كما يتضح من المثال ، تم التعبير عن المتغير x من خلال F (X) = 7 + Y. ساعد التعبير الناتج ، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X ، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . لا يسبب حل هذا المثال صعوبات ويسمح لك بالحصول على القيمة Y. الخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم التي تم الحصول عليها.

ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية بالتعويض. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير من حيث المجهول الثاني سيكون مرهقًا جدًا لإجراء مزيد من العمليات الحسابية. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام ، يكون حل الاستبدال غير عملي أيضًا.

حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:

الحل باستخدام الجمع الجبري

عند البحث عن حل للأنظمة من خلال طريقة الجمع ، يتم إجراء عملية الجمع مصطلحًا بمصطلح وضرب المعادلات بأرقام مختلفة. الهدف النهائي للعمليات الحسابية هو معادلة ذات متغير واحد.

تتطلب تطبيقات هذه الطريقة الممارسة والمراقبة. ليس من السهل حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع مع عدد المتغيرات 3 أو أكثر. تكون الجمع الجبري مفيدة عندما تحتوي المعادلات على كسور وأرقام عشرية.

خوارزمية عمل الحل:

1. اضرب طرفي المعادلة بعدد ما. نتيجة للعملية الحسابية ، يجب أن يصبح أحد معاملات المتغير مساويًا لـ 1.
2. أضف المصطلح الناتج عن طريق المصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
3. عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.

طريقة الحل بإدخال متغير جديد

يمكن إدخال متغير جديد إذا احتاج النظام إلى إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين ، كما يجب ألا يزيد عدد المجاهيل عن اثنين.

تستخدم الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات بإدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة فيما يتعلق بالمجهول الذي تم إدخاله ، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.

يوضح المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t ، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى المعيار ثلاثي الحدود مربع. يمكنك حل كثير الحدود بإيجاد المميز.

من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4 * a * c ، حيث D هو المميز المطلوب ، b ، a ، c هي مضاعفات كثير الحدود. في المثال المعطى ، أ = 1 ، ب = 16 ، ج = 39 ، ومن ثم د = 100. إذا كان المميز أكبر من الصفر ، فهناك حلان: t = -b ± √D / 2 * a ، إذا كان المميز أقل من الصفر ، فهناك حل واحد فقط: x = -b / 2 * a.

تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الجمع.

طريقة بصرية لحل النظم

مناسب للأنظمة ذات 3 معادلات. تتكون الطريقة من رسم الرسوم البيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات وستكون حل مشتركأنظمة.

طريقة الرسم لديها عدد من الفروق الدقيقة. ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.

كما يتضح من المثال ، تم إنشاء نقطتين لكل سطر ، تم اختيار قيم المتغير x بشكل عشوائي: 0 و 3. بناءً على قيم x ، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تمييز النقاط ذات الإحداثيات (0 ، 3) و (3 ، 0) على الرسم البياني وتم توصيلها بخط.

يجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.

يحتاج المثال التالي للبحث حل رسوميأنظمة المعادلات الخطية: 0.5x-y + 2 = 0 and 0.5x-y-1 = 0.

كما يتضح من المثال ، ليس للنظام أي حل ، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع بطولها بالكامل.

الأنظمة من الأمثلة 2 و 3 متشابهة ، ولكن عند بنائها ، يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا ، فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.

ماتريكس وأصنافها

تستخدم المصفوفات لكتابة نظام المعادلات الخطية بإيجاز. الجدول يسمى مصفوفة. نوع خاصمليئة بالأرقام. يحتوي n * m على n - صفوف و m - أعمدة.

تكون المصفوفة مربعة عندما يتساوى عدد الأعمدة والصفوف. متجه المصفوفة هو مصفوفة ذات عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على وحدات على طول أحد الأقطار وعناصر صفرية أخرى متطابقة.

المصفوفة العكسية هي مثل هذه المصفوفة ، عندما يتم ضربها بحيث تتحول المصفوفة الأصلية إلى وحدة واحدة ، فإن مثل هذه المصفوفة توجد فقط للمربع الأول.

قواعد تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة

فيما يتعلق بأنظمة المعادلات ، تتم كتابة المعاملات والأعضاء الأحرار في المعادلات كأرقام من المصفوفة ، والمعادلة الواحدة هي صف واحد من المصفوفة.

يسمى صف المصفوفة non-zero إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف لا يساوي الصفر. لذلك ، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات ، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.

يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بدقة مع المتغيرات. هذا يعني أنه لا يمكن كتابة معاملات المتغير x إلا في عمود واحد ، على سبيل المثال الأول ، معامل المجهول y - فقط في العمود الثاني.

عند ضرب مصفوفة ، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة على التوالي في رقم.

خيارات لإيجاد معكوس المصفوفة

صيغة إيجاد معكوس المصفوفة بسيطة للغاية: K -1 = 1 / | K | ، حيث K -1 هي معكوس المصفوفة و | K | - محدد المصفوفة. | ك | يجب ألا يكون مساويًا للصفر ، فإن النظام لديه حل.

يتم حساب المحدد بسهولة لمصفوفة 2 × 2 ، من الضروري فقط ضرب العناصر قطريًا ببعضها البعض. لخيار "ثلاثة في ثلاثة" ، توجد صيغة | K | = أ 1 ب 2 ج 3 + أ 1 ب 3 ج 2 + أ 3 ب 1 ج 2 + أ 2 ب 3 ج 1 + أ 2 ب 1 ج 3 + أ 3 ب 2 ج 1. يمكنك استخدام الصيغة ، أو تذكر أنك بحاجة إلى أخذ عنصر واحد من كل صف وكل عمود حتى لا تتكرر أرقام الأعمدة والصفوف الخاصة بالعناصر في المنتج.

حل أمثلة نظم المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة

تتيح طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الإدخالات المرهقة عند حل الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المتغيرات والمعادلات.

في هذا المثال ، nm هي معاملات المعادلات ، والمصفوفة متجه x n هي المتغيرات ، و b n هي المصطلحات المجانية.

حل الأنظمة بطريقة غاوس

في الرياضيات العليا ، تدرس طريقة غاوس مع طريقة كرامر ، وتسمى عملية إيجاد حل للأنظمة طريقة غاوس كرامر في الحل. تُستخدم هذه الطرق لإيجاد متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.

طريقة Gauss تشبه إلى حد بعيد الحلول التي تستخدم البدائل و إضافة جبريةلكن أكثر منهجية. في الدورة المدرسية ، يتم استخدام الحل Gaussian لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تحويل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. من خلال عمليات التحويل والبدائل الجبرية ، تم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير به مجهولين ، و 3 و 4 - بمتغيرين 3 و 4 ، على التوالي.

بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف ، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.

في الكتب المدرسية للصف السابع ، يتم وصف مثال لحل غاوسي على النحو التالي:

كما يتضح من المثال ، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين 3x3-2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. سيسمح لك حل أي من المعادلات بإيجاد أحد المتغيرات x n.

تقول النظرية 5 ، المذكورة في النص ، أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بمعادلة مكافئة ، فسيكون النظام الناتج أيضًا مكافئًا للنظام الأصلي.

يصعب على الطلاب فهم طريقة جاوس المدرسة الثانوية، ولكنها إحدى أكثر الطرق إثارة للاهتمام لتطوير براعة الأطفال المسجلين في برنامج دراسة متقدمة في فصول الرياضيات والفيزياء.

لسهولة تسجيل الحسابات ، من المعتاد القيام بما يلي:

تتم كتابة معاملات المعادلات والمصطلحات المجانية في شكل مصفوفة ، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن الجانب الأيمن. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.

أولاً ، يكتبون المصفوفة التي يعملون بها ، ثم يتم تنفيذ جميع الإجراءات بأحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" والاستمرار في أداء ما يلزم الإجراءات الجبريةحتى تتحقق النتيجة.

نتيجة لذلك ، يجب الحصول على مصفوفة يكون فيها أحد الأقطار 1 ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي صفرًا ، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل واحد. يجب ألا ننسى إجراء حسابات بأرقام طرفي المعادلة.

هذا الترميز أقل تعقيدًا ويسمح لك بعدم تشتيت انتباهك من خلال سرد العديد من الأشياء المجهولة.

سيتطلب التطبيق المجاني لأي طريقة حل عناية وقدرًا معينًا من الخبرة. لم يتم تطبيق جميع الطرق. بعض طرق إيجاد الحلول مفضلة أكثر في مجال معين من النشاط البشري ، بينما توجد طرق أخرى لغرض التعلم.

خوارزمية لحل المعادلات: 1. إذا أمكن ، بسّط التعبير (افتح الأقواس ، أعط مصطلحات متشابهة). 2. انقل المصطلحات التي تحتوي على المجهول إلى جانب واحد من المعادلة (عادةً إلى اليسار) ، والبقية إلى الجانب الآخر من المعادلة ، مع تغيير الإشارات إلى الجانب المقابل. 3. إعطاء شروط مماثلة. 4. أوجد جذر المعادلة.

شريحة 27من العرض "معادلات الدرجة 6". حجم الأرشيف مع العرض هو 2882 كيلو بايت.

الرياضيات الصف السادس

ملخصعروض أخرى

"ظهور الأعداد الطبيعية" - الأعداد. هنود المايا. الرعاة القدماء. كيف ظهرت الأعداد الطبيعية. أعداد العشرة الأولى. رياضيات العصر الحجري. يعيش آلة حاسبة. عشرة أيقونات لكتابة الأرقام. بدأت الأرقام في الحصول على أسماء. عدد صحيح. كيف تعلم الناس كتابة الأرقام. الأعداد السالبة والكسرية.

"الكسور" الدرجة 6 - أدت هذه الكسور إلى نفس المقام. اختبار. حاول أن تفعل ذلك بنفسك. لنكن أصدقاء يا رفاق. السفر. عمل صعب. تسخين. المصريين. ابحث عن صديق. خطة عمل. الحاجة إلى الكسور. آه ، تلك الكسور. الرجل مثل كسر. صداقة. كسور في روسيا.

"خصائص المربع" - مهام الملخص. خصائص مذهلةميدان. مشاكل قطع مربع. ما هو المربع. مربع داخل مربع. مساحة المربع أكبر من مساحة أي مستطيل. الخصائص الأساسية للمربع. ترتيب معركة المشاة على شكل مربع. أهداف مجردة. ما هو سر اوريغامي. مربع. جدول المحتويات. فن قص وتشكيل الورق. تنغرم. مربع في الرياضيات.

"العد العقلي ، رياضيات الصف السادس" - متاهة رياضية. يفحص. GCD. ابحث عن الوسط الحسابي. هل الكسور متساوية؟ البحث عن إيماءة. تبسيط. المقسومات على 45. عمل مستقل. أوجد من بين الأعداد تلك التي تقبل القسمة على 2 و 5. عمل التحقق. العد اللفظي. حساب شفوي (في سلسلة). احسب.

"الكلمات المتقاطعة في الرياضيات" - الرياضيات. أداة لرسم الدوائر. الكلمات المتقاطعة. عالم الكلمات المتقاطعة الرياضية. عمل الرياضيات. قواعد الكلمات المتقاطعة. أنواع الكلمات المتقاطعة. قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين. تاريخ. قسم الرياضيات.

"ألعاب الرياضيات للصف السادس" - فك النقش. بكرة صغيرة لكنها ثمينة. علماء الرياضيات المشهورين. ما رقمين ينهي العمل. كم هو الكتاب. علماء الرياضيات المصريون. الاتحاد "و". مقياس الطول. استمر في الصف بثلاثة أرقام. أسئلة مضحكة. قواعد اللعبة. أرخميدس. كم مرة يكون المسار المؤدي إلى الطابق السادس عشر من المنزل أطول من المسار المؤدي إلى الطابق الرابع. كم عدد التفاح هناك. تم قطع السجل إلى سجلات نصف متر. شقيق الأستاذ. السلم يرتفع.