– معادلة عامةطائرات في الفضاء

متجه المستوى العادي

المتجه الطبيعي للمستوى هو متجه غير صفري متعامد لكل متجه يقع في المستوى.

معادلة مستوى يمر عبر نقطة بمتجه عادي معين

هي معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة M0 بمتجه عادي معين

ناقلات اتجاه الطائرة

يُطلق على متجهين غير خطيين موازيين للمستوى متجهات الاتجاه للمستوى

معادلات المستوى البارامترية

- المعادلة البارامترية للطائرة في شكل متجه

هي المعادلة البارامترية للمستوى في الإحداثيات

معادلة مستوى من خلال نقطة معينة ومتجهي اتجاه

-نقطة ثابتة

مجرد نقطة لول

متحد المستوى ، مما يعني أنها منتج مختلطيساوي 0.

معادلة مستوى يمر عبر ثلاث نقاط معينة

- معادلة مستوية من خلال ثلاث نقاط

معادلة المستوى في مقاطع

- معادلة مستوية في مقاطع

دليل - إثبات

لإثبات ذلك ، نستخدم حقيقة أن مستوانا يمر عبر A و B و C والمتجه العادي

دعونا نستبدل إحداثيات النقطة والمتجه n في معادلة المستوى بالمتجه العادي

اقسم كل شيء واحصل على

هكذا يذهب.

معادلة المستوى الطبيعي

هي الزاوية بين الثور والمتجه الطبيعي للمستوى الخارج من O.

هي الزاوية بين oy والمتجه الطبيعي للمستوى الخارج من O.

هي الزاوية بين oz والمتجه الطبيعي للمستوى الخارج من O.

هي المسافة من أصل الإحداثيات إلى المستوى.

دليل أو بعض هذه الهراء

الإشارة مقابل D.

وبالمثل بالنسبة لجيب التمام الأخرى. نهاية.

المسافة من نقطة إلى طائرة

النقطة S ، الطائرة

هي المسافة الموجهة من النقطة S إلى المستوى

إذا ، فإن S و O تقعان على جانبي الطائرة

إذا ، ثم S و O تقع على نفس الجانب

اضرب ب n

الترتيب المتبادل لخطين في الفضاء

الزاوية بين الطائرات

عند التقاطع ، يتكون زوجان من الزوايا العمودية ثنائية السطوح ، يسمى الأصغر بالزاوية بين المستويين

خط مستقيم في الفضاء

يمكن إعطاء خط في الفضاء كـ

تقاطع طائرتين:

المعادلات البارامترية للخط المستقيم

- المعادلة البارامترية لخط مستقيم في شكل متجه

هي المعادلة البارامترية لخط مستقيم في الإحداثيات

المعادلة المتعارف عليها

هي المعادلة الأساسية للخط المستقيم.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين

- المعادلة الأساسية لخط مستقيم في شكل متجه ؛

الترتيب المتبادل لخطين في الفضاء

الترتيب المتبادل لخط مستقيم ومستوى في الفضاء

الزاوية بين الخط والمستوى

المسافة من نقطة إلى خط في الفضاء

a هو متجه اتجاه خطنا المستقيم.

هي نقطة عشوائية تنتمي إلى خط معين

- النقطة التي نبحث عنها عن بعد.

المسافة بين خطين متقاطعين

المسافة بين خطين متوازيين

M1 - نقطة تنتمي إلى السطر الأول

M2 هي نقطة تنتمي إلى السطر الثاني

منحنيات وسطوح من الدرجة الثانية

القطع الناقص هو مجموعة من النقاط في المستوى ، مجموع المسافات منها إلى اثنين نقاط معينة(البؤر) هي قيمة ثابتة.

المعادلة المتعارف عليها للقطع الناقص

دعنا نستبدلها بـ

اقسم على

خصائص القطع الناقص

تقاطع محاور الإحداثيات

التماثل حول

1. الأصول

القطع الناقص هو منحنى يقع في جزء محدود من المستوى

يمكن الحصول على القطع الناقص من دائرة عن طريق شدها أو عصرها

المعادلة البارامترية للقطع الناقص:

- مدراء

القطع الزائد

القطع الزائد عبارة عن مجموعة من النقاط في مستوى يكون فيها معامل الاختلاف في المسافات إلى نقطتين معينتين (بؤر) قيمة ثابتة (2 أ)

نفعل كل شيء كما هو الحال مع القطع الناقص ، نحصل عليه

استبدل ب

اقسم على

خصائص القطع الزائد

;

- مدراء

خط مقارب

الخط المقارب هو خط مستقيم يقترب منه المنحنى إلى أجل غير مسمى ، وينحسر إلى ما لا نهاية.

القطع المكافئ

خصائص Parabot

العلاقة بين القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

العلاقة بين هذه المنحنيات لها تفسير جبري: يتم تقديمها جميعًا بواسطة معادلات من الدرجة الثانية. في أي نظام إحداثيات ، يكون لمعادلات هذه المنحنيات الشكل: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 ، حيث a ، b ، c ، d ، e ، f هي أرقام

تحويل أنظمة الإحداثيات الديكارتية المستطيلة

ترجمة موازية لنظام الإحداثيات

- O في نظام الإحداثيات القديم

- إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات القديم

- إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات الجديد

إحداثيات النقطة في نظام الإحداثيات الجديد.

تناوب في نظام تنسيق ديكارتي

- نظام إحداثيات جديد

مصفوفة الانتقال من الأساس القديم إلى الأساس الجديد

- (تحت العمود الأول أنا’ تحت الثانية ي’ ) مصفوفة الانتقال من الأساس أنا,يإلى الأساس أنا’ ,ي’

الحالة العامة

1 خيار

1. تنسيق دوران النظام

الخيار 2

1. تنسيق دوران النظام

   الترجمة الموازية للأصل

المعادلة العامة لأسطر الدرجة الثانية واختزالها إلى الشكل المتعارف عليه

– الشكل العاممعادلات منحنى الدرجة الثانية

تصنيف منحنيات الدرجة الثانية

بيضاوي

مقاطع عرضية من شكل بيضاوي

- الشكل البيضاوي

- الشكل البيضاوي

الإهليلجويد للثورة

الإهليلجيات للثورة إما أن تكون مفلطحة أو متكاثرة ، اعتمادًا على ما نناوب حوله.

أحادية النطاق الزائد

أقسام القطعة الزائدة ذات الشريط الواحد

- القطع الزائد مع المحور الحقيقي

هو القطع الزائد مع محور س حقيقي

اتضح القطع الناقص لأي h. هكذا يذهب.

مفردة الشريط الزائد للثورة

يمكن الحصول على شكل مفرط ذو ورقة واحدة للثورة عن طريق تدوير القطع الزائد حول محوره التخيلي.

ذو طبقتين مفرطتين

أقسام من قطعتين زائدتين

- المبالغة في العمل. اكسسوز

هو القطع الزائد مع المحور الحقيقي oz

مخروط

- زوج من الخطوط المتقاطعة

- زوج من الخطوط المتقاطعة

مكافئ بيضاوي الشكل

- القطع المكافئ

- القطع المكافئ

التناوب

إذا ، إذن ، فإن القطع المكافئ الإهليلجي هو سطح ثورة يتكون من دوران القطع المكافئ حول محور التناظر الخاص به.

القطع المكافئ الزائدي

القطع المكافئ

- القطع المكافئ

h> 0 القطع الزائد مع المحور الحقيقي الموازي لـ x

ح<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

تحت الأسطوانة ، نعني السطح الذي سيتم الحصول عليه عندما يتحرك خط مستقيم في الفضاء ، والذي لا يغير اتجاهه ، إذا كان الخط المستقيم يتحرك بالنسبة لـ oz ، فإن معادلة الأسطوانة هي معادلة المقطع بالمستوى xoy.

اسطوانة بيضاوية الشكل

اسطوانة الزائدية

اسطوانة مكافئ

المولدات المستقيمة للأسطح من الدرجة الثانية

تسمى الخطوط الموجودة تمامًا على السطح بالمولدات المستقيمة للسطح.

سطوح ثورة

اللعنة عليك لول

عرض

من خلال العرضدعنا نسمي القاعدة التي وفقًا لها يرتبط كل عنصر من عناصر المجموعة A بعنصر أو أكثر من عناصر المجموعة B. إذا تم تعيين عنصر واحد من المجموعة B ، فسيتم استدعاء التعيين خالية من الغموض، غير ذلك غامض.

تحويلالمجموعة تسمى تعيين واحد لواحد للمجموعة على نفسها

حقنة

حقن أو تعيين واحد لواحد للمجموعة أ لتعيين ب

(عناصر مختلفة من a تتوافق مع عناصر مختلفة من B) على سبيل المثال y = x ^ 2

التكهن

صدم أو تعيين مجموعة أ على مجموعة ب

لكل ب ، هناك واحد على الأقل (على سبيل المثال ، جيب)

يتوافق كل عنصر من عناصر المجموعة B مع عنصر واحد فقط من المجموعة A. (على سبيل المثال ، y = x)

أي معادلة من الدرجة الأولى بالنسبة للإحداثيات س ، ص ، ض

الفأس + By + Cz + D = 0 (3.1)

يحدد مستوى ، والعكس صحيح: يمكن تمثيل أي مستوى بالمعادلة (3.1) ، والتي تسمى معادلة الطائرة.

المتجه ن(أ ، ب ، ج) المتعامد على المستوى يسمى ناقلات الطبيعيطائرات. في المعادلة (3.1) ، المعاملات أ ، ب ، ج لا تساوي 0 في نفس الوقت.

حالات خاصة للمعادلة (3.1):

1. D = 0 ، Ax + By + Cz = 0 - يمر المستوى عبر نقطة الأصل.

2. C = 0 ، Ax + By + D = 0 - المستوى موازٍ لمحور Oz.

3. C = D = 0 ، Ax + By = 0 - تمر الطائرة عبر محور Oz.

4. B = C = 0 ، Ax + D = 0 - المستوى موازي لمستوى Oyz.

تنسيق معادلات المستوى: x = 0 ، y = 0 ، z = 0.

يمكن إعطاء خط مستقيم في الفضاء:

1) كخط تقاطع بين طائرتين ، أي نظام المعادلات:

أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 ع + د 1 = 0 ، أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 ع + د 2 = 0 ؛ (3.2)

2) نقطتها M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) ، ثم يتم إعطاء الخط المستقيم الذي يمر من خلال المعادلات:

3) النقطة M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) التي تنتمي إليها ، والمتجه أ(م ، ن ، ع) ، ق متداخلة. ثم يتم تحديد الخط المستقيم بواسطة المعادلات:

تسمى المعادلات (3.4) المعادلات الكنسية للخط.

المتجه أاتصل توجيه متجه على التوالي.

المعادلات البارامترية للخط المستقيمنحصل عليها من خلال مساواة كل من العلاقات (3.4) بالمعامل t:

x \ u003d x 1 + mt، y \ u003d y 1 + nt، z \ u003d z 1 + p t. (3.5)

حل نظام (3.2) كنظام المعادلات الخطية المجهولة xو ذ، نصل إلى معادلات الخط المستقيم في التوقعاتأو ل معادلات الخط المستقيم المخفضة :

س = م + أ ، ص = ن + ب. (3.6)

من المعادلات (3.6) يمكن للمرء أن يمر إلى المعادلات الأساسية ، إيجاد ضمن كل معادلة ومعادلة القيم الناتجة:

يمكن للمرء أن ينتقل من المعادلات العامة (3.2) إلى المعادلات الكنسية بطريقة أخرى ، إذا وجد أي نقطة في هذا الخط ومتجه اتجاهه ن= [ن 1 , ن 2] أين ن 1 (أ 1 ، ب 1 ، ج 1) و ن 2 (أ 2 ، ب 2 ، ج 2) - نواقل عادية للطائرات المعطاة. إذا كان أحد القواسم م ، نأو صفي المعادلات (3.4) تبين أنها تساوي الصفر ، ثم يجب تعيين بسط الكسر المقابل على الصفر ، أي النظام

يعادل النظام ؛ مثل هذا الخط عمودي على المحور x.

النظام يكافئ النظام x = x 1، y = y 1؛ الخط المستقيم يوازي محور Oz.

المثال 1.15. اكتب معادلة المستوى ، مع العلم أن النقطة أ (1 ، -1،3) تعمل كقاعدة للعمود المرسوم من الأصل على هذا المستوى.

قرار.حسب حالة المشكلة ، المتجه OA(1، -1،3) متجه عادي للمستوى ، ثم يمكن كتابة معادلته كـ
س ص + 3 ع + د = 0. بالتعويض عن إحداثيات النقطة A (1، -1،3) الخاصة بالمستوى ، نجد D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. إذن x-y + 3z-11 = 0.

المثال 1.16. اكتب معادلة لمستوى يمر عبر محور Oz ويشكل زاوية مقدارها 60 درجة مع المستوى 2x + y-z-7 = 0.

قرار.يتم إعطاء المستوى الذي يمر عبر محور Oz بالمعادلة Ax + By = 0 ، حيث لا يختفي A و B في نفس الوقت. دعونا ب لا
هو 0 ، A / Bx + y = 0. وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية بين مستويين

بحل المعادلة التربيعية 3 م 2 + 8 م - 3 = 0 ، نجد جذورها
م 1 = 1/3 ، م 2 = -3 ، ومنه نحصل على مستويين 1/3 س + ص = 0 و -3 س + ص = 0.

المثال 1.17.اكتب المعادلات الأساسية للخط المستقيم:
5 س + ص + ع = 0 ، 2 س + 3 ص - 2 ع + 5 = 0.

قرار.المعادلات الأساسية للخط المستقيم لها الشكل:

أين م ، ن ، ص- إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم ، x1 ، y1 ، z1- إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى الخط. يُعرَّف الخط المستقيم بأنه خط تقاطع مستويين. للعثور على نقطة تنتمي إلى خط مستقيم ، يتم إصلاح أحد الإحداثيات (أسهل طريقة هي أن نضع ، على سبيل المثال ، x = 0) ويتم حل النظام الناتج كنظام من المعادلات الخطية ذات مجهولين. فلنفترض أن x = 0 ، ثم y + z = 0 ، 3y - 2z + 5 = 0 ، حيث y = -1 ، z = 1. وجدنا إحداثيات النقطة م (س 1 ، ص 1 ، ض 1) التي تنتمي إلى هذا الخط: م (0 ، -1،1). من السهل العثور على متجه التوجيه للخط المستقيم ، مع معرفة المتجهات العادية للمستويات الأصلية ن 1 (5،1،1) و ن 2 (2 ، 3 ، -2). ثم

المعادلات الأساسية للخط هي: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (ض - 1) / 13.

أحد البنود الفرعية لموضوع "معادلة الخط المستقيم على المستوى" هو مسألة تجميع المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل. تتناول المقالة أدناه مبدأ تجميع مثل هذه المعادلات لبعض البيانات المعروفة. دعونا نوضح كيفية الانتقال من المعادلات البارامترية إلى المعادلات ذات الشكل المختلف ؛ دعنا نحلل حل المشكلات النموذجية.

يمكن تعريف خط معين عن طريق تحديد نقطة تنتمي إلى هذا الخط ومتجه اتجاه للخط.

لنفترض أن لدينا نظام إحداثيات مستطيل O x y. كما أن الخط المستقيم a معطى للإشارة إلى النقطة M 1 الواقعة عليه (x 1، y 1) ومتجه الاتجاه للخط المستقيم المحدد أ → = (أ س ، أ ص) . نعطي وصفًا للخط المعطى أ باستخدام المعادلات.

نستخدم نقطة عشوائية M (x ، y) ونحصل على متجه م 1 م → ؛ احسب إحداثياتها من إحداثيات نقطتي البداية والنهاية: م 1 م → = (س - س 1 ، ص - ص 1). دعنا نصف النتيجة: الخط مُعطى بمجموعة من النقاط M (x ، y) ، ويمر بالنقطة M 1 (x 1 ، y 1) وله متجه اتجاه أ → = (أ س ، أ ص) . تحدد المجموعة المحددة خطًا مستقيمًا فقط عندما تكون المتجهات M 1 M → = (x - x 1، y - y 1) و a → = (a x، a y) مترابطة.

هناك شرط ضروري وكافٍ للعلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات ، والتي في هذه الحالة بالنسبة للمتجهات M 1 M → = (x - x 1، y - y 1) و a → = (a x، a y) يمكن كتابتها كـ معادلة:

M 1 M → = λ · a → ، حيث λ هو عدد حقيقي.

التعريف 1

تسمى المعادلة M 1 M → = λ · a → المعادلة المتجهية للخط.

في شكل تنسيق ، يبدو كما يلي:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

معادلات النظام الناتج x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ تسمى المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل. جوهر الاسم هو كما يلي: يمكن تحديد إحداثيات جميع نقاط الخط بواسطة المعادلات البارامترية على مستوى النموذج x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ عند التكرار على جميع القيم الحقيقية من المعلمة λ

وفقًا لما سبق ، فإن المعادلات البارامترية لخط مستقيم على المستوى x \ u003d x 1 + a x λ y \ u003d y 1 + a y تحدد خطًا مستقيمًا معطى في نظام إحداثيات مستطيل ، يمر عبر النقطة M 1 (x 1، y 1) ولها متجه إرشادي أ → = (أ س ، أ ص) . لذلك ، إذا تم توفير إحداثيات نقطة معينة من الخط المستقيم وإحداثيات متجه الاتجاه ، فمن الممكن تدوين المعادلات البارامترية للخط المستقيم المحدد على الفور.

مثال 1

من الضروري تكوين معادلات بارامترية لخط مستقيم على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل ، إذا كانت النقطة M 1 (2 ، 3) تنتمي إليه ومتجه الاتجاه الخاص بها. أ → = (3 ، 1).

قرار

بناءً على البيانات الأولية ، نحصل على: x 1 \ u003d 2، y 1 \ u003d 3، a x \ u003d 3، a y \ u003d 1. ستبدو المعادلات البارامترية كما يلي:

س = س 1 + أ س λ ص = ص 1 + أ ص λ ⇔ س = 2 + 3 ص = 3 + 1 λ ⇔ س = 2 + 3 ص ص = 3 +

دعنا نوضح بوضوح:

الجواب: س = 2 + 3 ص ص = 3 +

يجب ملاحظة: إذا كان المتجه a → = (a x، a y) يعمل كمتجه توجيه للخط المستقيم a ، والنقطتان M 1 (x 1، y 1) و M 2 (x 2، y 2) تنتمي إلى هذا الخط ، ثم يمكن تحديده عن طريق وضع المعادلات البارامترية للصيغة : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ وكذلك هذا الخيار: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y.

على سبيل المثال ، لدينا متجه توجيه لخط مستقيم a → \ u003d (2 ، - 1) ، وكذلك النقاط M 1 (1 ، - 2) و M 2 (3 ، - 3) التي تنتمي إلى هذا الخط. ثم يتم تحديد الخط المستقيم بواسطة المعادلات البارامترية: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ أو x = 3 + 2 · λ y = - 3 -.

يجب الانتباه أيضًا إلى الحقيقة التالية: إذا أ → = (أ س ، أ ص) هو المتجه الموجه للخط المستقيم a ، فإن أيًا من المتجهات سيكون أيضًا متجهًا موجهًا له μ a → = (μ a x، μ a y) حيث μ ϵ R، μ ≠ 0.

وبالتالي ، يمكن تحديد الخط المستقيم a على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل بواسطة المعادلات البارامترية: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ لأي قيمة تختلف عن الصفر.

لنفترض أن الخط a مُعطى بالمعادلات البارامترية x = 3 + 2 λ y = - 2-5 λ. ثم أ → = (2 ، - 5) - ناقلات اتجاه هذا الخط. وأيضًا أي من المتجهات μ · a → = (μ · 2، μ · - 5) = 2 μ، - 5 μ، μ ∈ R، μ ≠ 0 سيصبح متجه الاتجاه للخط المستقيم المحدد. من أجل الوضوح ، ضع في اعتبارك متجهًا محددًا - 2 · a → = (- 4 ، 10) ، فهو يتوافق مع القيمة μ = - 2. في هذه الحالة ، يمكن أيضًا تحديد الخط المستقيم المحدد بواسطة المعادلات البارامترية x = 3-4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

الانتقال من المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى إلى معادلات أخرى لخط مستقيم معين والعكس صحيح

في حل بعض المشكلات ، لا يعد استخدام المعادلات البارامترية هو الخيار الأمثل ، ومن ثم يصبح من الضروري ترجمة المعادلات البارامترية للخط المستقيم إلى معادلات ذات خط مستقيم من نوع مختلف. دعونا نرى كيف نفعل ذلك.

المعادلات البارامترية للخط المستقيم x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ سوف تتوافق مع المعادلة الأساسية للخط المستقيم على المستوى x - x 1 a x = y - y 1 a y.

نحل كل من المعادلات البارامترية فيما يتعلق بالمعامل λ ، ونساوي الأجزاء الصحيحة من المساواة التي تم الحصول عليها ونحصل على المعادلة الأساسية للخط المستقيم المحدد:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

في هذه الحالة ، لن يكون محرجًا إذا كانت x أو y تساوي صفرًا.

مثال 2

من الضروري إجراء الانتقال من المعادلات البارامترية للخط المستقيم x = 3 y = - 2-4 · λ إلى المعادلة الأساسية.

قرار

نكتب المعادلات البارامترية المعطاة بالصيغة التالية: x = 3 + 0 λ y = - 2-4 λ

نعبر عن المعلمة λ في كل من المعادلات: x = 3 + 0 λ y = - 2-4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2-4

نحن نساوي الأجزاء الصحيحة من نظام المعادلات ونحصل على المعادلة الأساسية المطلوبة لخط مستقيم في المستوى:

س - 3 0 = ص + 2-4

إجابه:س - 3 0 = ص + 2-4

في الحالة التي يكون فيها من الضروري كتابة معادلة الخط المستقيم بالشكل A x + B y + C = 0 ، بينما يتم إعطاء المعادلات البارامترية للخط المستقيم على المستوى ، فمن الضروري أولاً عمل الانتقال إلى المعادلة الأساسية ، ثم إلى المعادلة العامة للخط المستقيم. دعنا نكتب التسلسل الكامل للإجراءات:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = أ س (ص - ص 1) ⇔ أ س + ب ص + ج = 0

مثال 3

من الضروري كتابة المعادلة العامة للخط المستقيم إذا تم إعطاء المعادلات البارامترية التي تحدده: x = - 1 + 2 λ y = - 3

قرار

أولاً ، دعنا ننتقل إلى المعادلة الأساسية:

س = - 1 + 2 λ ص = - 3 λ ⇔ λ = س + 1 2 λ = ص - 3 ⇔ س + 1 2 = ص - 3

النسبة الناتجة مطابقة للمساواة - 3 · (س + 1) = 2 · ص. لنفتح القوسين ونحصل على المعادلة العامة للخط المستقيم: - 3 س + 1 = 2 ص ⇔ 3 س + 2 ص + 3 = 0.

الجواب: 3 س + 2 ص + 3 = 0

باتباع منطق الإجراءات أعلاه ، من أجل الحصول على معادلة خط مستقيم بميل ، أو معادلة لخط مستقيم في مقاطع أو معادلة عادية لخط مستقيم ، من الضروري الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم ، ومنه لإجراء انتقال آخر.

فكر الآن في الإجراء العكسي: كتابة المعادلات البارامترية لخط مستقيم لصيغة مختلفة من معادلات هذا الخط المستقيم.

أسهل انتقال: من المعادلة المتعارف عليها إلى المعادلة البارامترية. دع المعادلة الأساسية للصيغة تُعطى: س - س 1 أ س = ص - ص 1 أ ص. نأخذ كل من علاقات هذه المساواة مساوية للمعامل λ:

س - س 1 أ س = ص - ص 1 أ ص = ⇔ λ = س - س 1 أ س λ = ص - ص 1 أ ص

دعونا نحل المعادلات الناتجة للمتغيرين x و y:

س = س 1 + أ س λ ص = ص 1 + أ ص ص

مثال 4

من الضروري كتابة المعادلات البارامترية للخط المستقيم إذا كانت المعادلة الأساسية للخط المستقيم على المستوى معروفة: x - 2 5 = y - 2 2

قرار

دعنا نساوي أجزاء المعادلة المعروفة بالمعامل λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. من المساواة التي تم الحصول عليها نحصل على المعادلات البارامترية للخط المستقيم: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

الجواب: س = 2 + 5 ص = 2 + 2 λ

عندما يكون من الضروري الانتقال إلى المعادلات البارامترية من معادلة عامة معينة لخط مستقيم ، أو معادلة خط مستقيم بميل أو معادلة خط مستقيم في مقاطع ، فمن الضروري إحضار المعادلة الأصلية إلى الكنسي ، ثم قم بالانتقال إلى المعادلات البارامترية.

مثال 5

من الضروري كتابة المعادلات البارامترية للخط المستقيم بالمعادلة العامة المعروفة لهذا الخط المستقيم: 4 س - 3 ص - 3 = 0.

قرار

نقوم بتحويل المعادلة العامة المعطاة إلى معادلة بالصيغة المتعارف عليها:

4 س - 3 ص - 3 = 0 4 س = 3 ص + 3 ⇔ ⇔ 4 س = 3 ص + 1 3 ⇔ س 3 = ص + 1 3 4

نحن نساوي كلا الجزأين من المساواة بالمعامل λ ونحصل على المعادلات البارامترية المطلوبة للخط المستقيم:

س 3 = ص + 1 3 4 = λ ⇔ س 3 = λ ص + 1 3 4 = λ ⇔ س = 3 λ ص = - 1 3 + 4 λ

إجابه:س = 3 ص = - 1 3 + 4 λ

أمثلة ومشكلات المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى

دعونا ننظر في أكثر أنواع المشاكل شيوعًا باستخدام المعادلات البارامترية لخط مستقيم على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل.

1. في مسائل النوع الأول ، تُعطى إحداثيات النقاط ، سواء كانت تنتمي إلى خط مستقيم موصوف بواسطة المعادلات البارامترية أم لا.

يعتمد حل هذه المشكلات على الحقيقة التالية: الأرقام (س ، ص) المحددة من المعادلات البارامترية x \ u003d x 1 + a x λ y \ u003d y 1 + a y λ لبعض القيمة الحقيقية λ هي إحداثيات a النقطة التي تنتمي إلى الخط المستقيم ، والتي يتم وصفها بهذه المعادلات البارامترية.

مثال 6

من الضروري تحديد إحداثيات نقطة تقع على خط مستقيم معطاة بواسطة المعادلات البارامترية x = 2-1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ لـ λ = 3.

قرار

نعوض بالقيمة المعروفة λ = 3 في المعادلات البارامترية المعطاة ونحسب الإحداثيات المرغوبة: x = 2-1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

إجابه: 1 1 2 , 5

المشكلة التالية ممكنة أيضًا: دع بعض النقاط M 0 (x 0 ، y 0) تُعطى على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل ومن الضروري تحديد ما إذا كانت هذه النقطة تنتمي إلى الخط الموصوف بواسطة المعادلات البارامترية x = x 1 + أ س λ ص = ص 1 + أ ص ص.

لحل هذه المشكلة ، من الضروري استبدال إحداثيات نقطة معينة في المعادلات البارامترية المعروفة للخط المستقيم. إذا تم تحديد أن قيمة المعلمة λ = λ 0 ممكنة ، حيث تكون كلتا المعادلتين بارامتريتين صحيحتين ، فإن النقطة المحددة تنتمي إلى الخط المستقيم المحدد.

مثال 7

يتم إعطاء النقاط M 0 (4 ، - 2) و N 0 (- 2 ، 1). من الضروري تحديد ما إذا كانوا ينتمون إلى الخط المستقيم المحدد بواسطة المعادلات البارامترية x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ.

قرار

نعوض بإحداثيات النقطة M 0 (4 ، - 2) في المعادلات البارامترية المعطاة:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

نستنتج أن النقطة M 0 تنتمي إلى خط معين ، لأن يتوافق مع القيمة λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

من الواضح أنه لا توجد مثل هذه المعلمة λ التي تتوافق معها النقطة N 0. بمعنى آخر ، لا يمر الخط المعطى بالنقطة N 0 (- 2 ، 1).

إجابه:النقطة M 0 تنتمي إلى خط معين ؛ النقطة N 0 لا تنتمي إلى السطر المحدد.

1. في مشاكل النوع الثاني ، يلزم تكوين معادلات حدودية لخط مستقيم على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل. تم النظر أعلاه في أبسط مثال على مثل هذه المشكلة (مع الإحداثيات المعروفة لنقطة الخط ومتجه الاتجاه). لننظر الآن إلى الأمثلة التي تحتاج فيها أولًا إلى إيجاد إحداثيات متجه الاتجاه ، ثم كتابة المعادلات البارامترية.

المثال 8

تم إعطاء النقطة M 1 1 2 ، 2 3. من الضروري تكوين معادلات حدودية لخط مستقيم يمر عبر هذه النقطة وخط مستقيم متوازي x 2 \ u003d y - 3-1.

قرار

وفقًا لظروف المشكلة ، فإن الخط المستقيم ، المعادلة التي يجب أن نتقدم بها ، يوازي الخط المستقيم × 2 \ u003d ص - 3-1. بعد ذلك ، كمتجه موجه لخط مستقيم يمر عبر نقطة معينة ، من الممكن استخدام متجه التوجيه لخط مستقيم x 2 = y - 3-1 ، والذي نكتبه بالصيغة: a → = (2، - 1). الآن جميع البيانات الضرورية معروفة لتكوين المعادلات البارامترية المطلوبة:

س = س 1 + أ س λ ص = ص 1 + أ ص λ ⇔ س = 1 2 + 2 λ ص = 2 3 + (- 1) λ ⇔ س = 1 2 + س λ ص = 2 3 -

إجابه:س = ١ ٢ + س λ ص = ٣ ٢ - λ.

المثال 9

تم إعطاء النقطة M 1 (0 ، - 7). من الضروري كتابة المعادلات البارامترية لخط مستقيم يمر بهذه النقطة عموديًا على الخط المستقيم 3 س - 2 ص - 5 = 0.

قرار

بصفته المتجه الموجه للخط المستقيم ، الذي يجب أن تتكون المعادلة منه ، من الممكن أخذ المتجه الطبيعي للخط المستقيم 3 x - 2 y - 5 = 0. إحداثياتها هي (3 ، - 2). نكتب المعادلات البارامترية المطلوبة للخط المستقيم:

س = س 1 + أ س λ ص = ص 1 + أ ص λ ⇔ س = 0 + 3 ص = - 7 + (- 2) λ ⇔ س = 3 ص ص = - 7 - 2 λ

إجابه:س = 3 λ ص = - 7 - 2 λ

1. في مشاكل النوع الثالث ، يلزم الانتقال من المعادلات البارامترية لخط مستقيم معين إلى أنواع أخرى من المعادلات التي تحدده. لقد نظرنا في حل هذه الأمثلة أعلاه ، وسنقدم واحدة أخرى.

المثال 10

بالنظر إلى خط مستقيم على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل ، معرف بواسطة المعادلات البارامترية x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 +. من الضروري إيجاد إحداثيات بعض المتجهات العادية لهذا الخط.

قرار

لتحديد الإحداثيات المرغوبة للمتجه العادي ، سنقوم بالانتقال من المعادلات البارامترية إلى المعادلة العامة:

س = ١ - ٣ ٤ λ ص = - ١ + ⇔ λ = س - ١ - ٣ ٤ = ص + ١ ١ س - ١ - ٣ ٤ = ص + ١ ١ ⇔ ١ س - ١ = - ٣ ٤ ص + 1 ⇔ س + 3 4 ص - 1 4 = 0

معاملا المتغيرين x و y يعطينا الإحداثيات المطلوبة للمتجه الطبيعي. وبالتالي ، فإن المتجه الطبيعي للخط المستقيم x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + له إحداثيات 1 ، 3 4.

إجابه: 1 , 3 4 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

حتى الآن ، درسنا معادلة السطح في الفضاء بمحاور الإحداثيات X ، Y ، Z بشكل واضح أو بشكل ضمني

يمكن للمرء أن يكتب معادلات السطح في شكل حدودي ، معبراً عن إحداثيات نقاطه كوظائف لمعلمتين متغيرين مستقلين و

سنفترض أن هذه الوظائف أحادية القيمة ومستمرة ولها مشتقات مستمرة حتى المرتبة الثانية في نطاق معين من المعلمات

إذا استبدلنا هذه التعبيرات الإحداثية بدلالة u و v في الجانب الأيسر من المعادلة (37) ، فيجب أن نحصل على هوية فيما يتعلق بـ u و V. تمييز هذه الهوية فيما يتعلق بالمتغيرات المستقلة u و v ، لدينا

بالنظر إلى هذه المعادلات كمعادلتين متجانستين فيما يتعلق وتطبيق اللمة الجبرية المذكورة في ، نحصل على

حيث k هي بعض معامل التناسب.

نفترض أن العامل k وواحد على الأقل من الفروق على الجانب الأيمن من الصيغ الأخيرة ليست صفرية.

دعونا نشير للإيجاز الاختلافات الثلاثة المكتوبة على النحو التالي:

كما تعلم ، يمكن كتابة معادلة المستوى المماس لسطحنا عند نقطة ما (x ، y ، z) بالشكل

أو ، بالاستعاضة عن الكميات المتناسبة ، يمكننا إعادة كتابة معادلة مستوى الظل على النحو التالي:

من المعروف أن المعاملات في هذه المعادلة تتناسب مع اتجاه جيب التمام للخط العمودي على السطح.

يتميز موضع النقطة المتغيرة M على السطح بقيم المعلمتين u و v ، وعادة ما تسمى هذه المعلمات إحداثيات نقاط السطح أو معلمات الإحداثيات.

بإعطاء المعلمات u و v قيمًا ثابتة ، نحصل على مجموعتين من الخطوط على السطح ، والتي سوف نسميها خطوط إحداثيات السطح: تنسيق الخطوط التي تتغير على طول v فقط ، وتنسيق الخطوط التي تتغير على طول u فقط. تعطي هاتان المجموعتان من خطوط الإحداثيات شبكة تنسيق على السطح.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك كرة تتمحور حول الأصل ونصف القطر R. يمكن كتابة المعادلات البارامترية لمثل هذا المجال على النحو التالي

من الواضح أن خطوط الإحداثيات في هذه الحالة هي المتوازيات وخطوط الطول في مجالنا.

بالاستخلاص من محاور الإحداثيات ، يمكننا تمييز السطح بمتجه نصف قطر متغير ينتقل من نقطة ثابتة O إلى نقطة متغيرة M على سطحنا. من الواضح أن المشتقات الجزئية لمتجه نصف القطر هذا فيما يتعلق بالمعلمات ستعطي متجهات موجهة على طول المماس لخطوط الإحداثيات. مكونات هذه النواقل على طول المحاور

سيكون ، وفقًا لذلك ، أن المعاملات في معادلة المستوى المماس (39) هي مكونات المنتج المتجه. السطح. من الواضح أن مربع طول هذا المتجه يتم التعبير عنه بواسطة المنتج القياسي للمتجه ونفسه ، أي بعبارة أخرى مربع هذا المتجه 1). فيما يلي ، سيتم لعب دور مهم بواسطة وحدة المتجه الطبيعي للسطح ، والتي من الواضح أنه يمكننا كتابتها بالصيغة

من خلال تغيير ترتيب العوامل في حاصل الضرب المتجه المكتوب ، نحصل على الاتجاه المعاكس للمتجه (40). فيما يلي سنصلح ترتيب العوامل بطريقة معينة ، أي سنقوم بإصلاح اتجاه الوضع الطبيعي إلى السطح بطريقة معينة.

دعونا نأخذ بعض النقطة M على السطح ونرسم من خلال هذه النقطة بعض المنحنى (L) على السطح. هذا المنحنى ، بشكل عام ، ليس خط إحداثيات ، وسيتغير كل من H و v على طوله. سيتم تحديد اتجاه المماس لهذا المنحنى بواسطة المتجه إذا افترضنا أنه على طول (L) بالقرب من النقطة ، فإن المعلمة v هي دالة لها مشتق. من هذا يمكن ملاحظة أن اتجاه المماس للمنحنى المرسوم على سطح ما عند نقطة ما M من هذا المنحنى يتميز تمامًا بالقيمة عند تلك النقطة. عند تحديد مستوى الظل واشتقاق معادلته (39) ، افترضنا أن الدالات (38) عند النقطة المعتبرة وجوارها لهما مشتقات جزئية مستمرة وأن واحدًا على الأقل من معاملات المعادلة (39) يختلف عن الصفر في تعتبر نقطة.

المعادلات المتجهية والبارامترية للمستوى.دع r 0 و r يكونان متجهي نصف القطر للنقطتين M 0 و M ، على التوالي. ثم M 0 M = r - r 0 ، والشرط (5.1) أن النقطة M تنتمي إلى المستوى المار بالنقطة M 0 عموديًا ناقل غير صفرين (الشكل 5.2 ، أ) ، يمكن كتابتها باستخدام المنتج نقطةكنسبة

ن (ص - ص 0) = 0 ، (5.4)

من اتصل معادلة ناقلات الطائرة.

يتوافق المستوى الثابت في الفضاء مع مجموعة من النواقل الموازية له ، أي الفراغ V2. دعونا نختار في هذا الفضاء أساسه 1 ، ه 2 ، أي زوج من المتجهات غير الخطية الموازية للمستوى المدروس ، ونقطة M 0 على المستوى. إذا كانت النقطة M تنتمي إلى المستوى ، فهذا يعادل حقيقة أن المتجه M 0 M موازٍ لها (الشكل 5.2 ، ب) ، أي إنه ينتمي إلى الفضاء المشار إليه V 2. هذا يعني أن هناك تحلل المتجه M 0 M في الأساسه 1 ، ه 2 ، أي هناك عددان t 1 و t 2 حيث M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2. كتابة الجانب الأيسر من هذه المعادلة بدلالة متجهي نصف القطر r 0 و r للنقطتين M 0 و M ، على التوالي ، نحصل عليها ناقل المعادلة البارامترية للمستوى

ص = ص 0 + ر 1 ه 1 + ر 2 ه 2، ر 1، ر 1 ∈ ر (5.5)

للانتقال من المساواة في النواقل في (5.5) إلى مساواتهم إحداثيات، يُشار إليها بـ (x 0 ؛ y 0 ؛ z 0) ، (x ؛ y ؛ z) إحداثيات النقطة M 0 ، M ومن خلال (e 1x ؛ e 1y ؛ e 1z) ، (e 2x ؛ e 2y ؛ e 2z) إحداثيات المتجهات e 1 ، e 2. معادلة الإحداثيات ذات الاسم نفسه للمتجهين r و r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 ، نحصل عليها معادلات المستوى البارامترية

طائرة تمر بثلاث نقاط.لنفترض أن النقاط الثلاث M 1 و M 2 و M 3 لا تقع على خط مستقيم واحد. ثم هناك مستوى فريد تنتمي إليه هذه النقاط. دعونا نجد معادلة هذا المستوى من خلال صياغة معيار لنقطة تعسفية M تنتمي إلى المستوى المعطى π. ثم نكتب هذا المعيار من حيث إحداثيات النقاط. المعيار المشار إليه هو وصف المستوى π كمجموعة من تلك النقاط M التي من أجلها المتجهات M 1 M 2 و M 1 M 3 و M 1 M متحد المستوى. معيار شكوى ثلاثة نواقل هو المساواة إلى صفر من منتج مختلط(انظر 3.2). يتم حساب المنتج المخلوط باستخدام محدد من الدرجة الثالثة، سلاسلها هي إحداثيات المتجهات في أساس متعامد. لذلك ، إذا كانت (x i؛ yx i؛ Zx i) هي إحداثيات النقاط Mx i و i = 1 و 2 و 3 و (x ؛ y ؛ z) هي إحداثيات النقطة M ، فإن M 1 M = (x-x 1 ؛ y-y 1 ؛ z-z 1) ، M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ؛ y 2 -y 1 ؛ z 2 -z 1) ، M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ؛ y 3 -y 1؛ z 3 -z 1) وشرط المساواة إلى الصفر من المنتج المختلط لهذه المتجهات له الشكل

نحسب المحدد الذي نحصل عليه خطيبالنسبة إلى x ، y ، z المعادلة، الذي المعادلة العامة للمستوى المطلوب. على سبيل المثال ، إذا قم بتوسيع المحدد على طول الصف الأول، ثم نحصل

يتم تحويل هذه المساواة ، بعد حساب المحددات وفتح الأقواس ، إلى المعادلة العامة للمستوى.

لاحظ أن معاملات المتغيرات في المعادلة الأخيرة تتطابق مع الإحداثيات ناقلات المنتجم 1 م 2 × م 1 م 3. هذا المنتج المتجه ، كونه نتاج متجهين غير خطيين موازيين للمستوى ، يعطي متجهًا غير صفري عموديًا على π ، أي ها ناقلات الطبيعي. لذا فإن ظهور إحداثيات حاصل الضرب المتجه كمعامِلات للمعادلة العامة للمستوى أمر طبيعي تمامًا.

تأمل الحالة الخاصة التالية لطائرة تمر عبر ثلاث نقاط. النقاط M 1 (a؛ 0؛ 0)، M 2 (0؛ b؛ 0)، M 3 (0؛ 0؛ c)، abc ≠ 0 ، لا تستلقي على خط مستقيم واحد وتحدد مستوى يقطع المقاطع على محاور الإحداثيات بطول غير صفري (الشكل 5.3). هنا ، تعني "أطوال المقاطع" قيمة الإحداثيات غير الصفرية لمتجهات نصف القطر للنقاط M i ، i = 1،2،3.

بما أن M 1 M 2 = (-a ؛ ب ؛ 0) ، M 1 M 3 = (-a ؛ 0 ؛ ج) ، M 1 M = (x-a ؛ y ؛ z) ، تأخذ المعادلة (5.7) الشكل

بعد حساب المحدد ، نجد bc (x - a) + acy + abz = 0 ، نقسم المعادلة الناتجة على abc وننقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن ،

س / أ + ص / ب + ض / ج = 1.

هذه المعادلة تسمى معادلة مستوية في مقاطع.

مثال 5.2.لنجد المعادلة العامة للمستوى الذي يمر عبر نقطة ذات إحداثيات (1 ؛ 1 ؛ 2) ويقطع أجزاء من نفس الطول من محاور الإحداثيات.

معادلة المستوى في مقاطع ، بشرط أن تقطع أجزاء متساوية الطول من محاور الإحداثيات ، على سبيل المثال أ ≠ 0 ، لها الشكل x / a + y / b + z / c = 1. يجب أن تفي هذه المعادلة بالإحداثيات ( 1 ؛ 1 ؛ 2) النقطة المعروفة على المستوى ، أي المساواة 4 / أ = 1. بالتالي ، أ = 4 والمعادلة المرغوبة هي س + ص + ع - 4 = 0.

معادلة المستوى الطبيعي.خذ بعين الاعتبار طائرة π في الفضاء. نحن نصلح لها وحدةعادي المتجهن موجه من الأصل"نحو المستوي" ، والإشارة بواسطة p المسافة من الأصل O لنظام الإحداثيات إلى المستوى π (الشكل 5.4). إذا كان المستوى يمر عبر أصل نظام الإحداثيات ، فعندئذٍ p = 0 ، ويمكن اختيار أي من الاتجاهين المحتملين كإتجاه للمتجه العادي n.

إذا كانت النقطة M تنتمي إلى المستوى π ، فهذا يعادل حقيقة ذلك ناقلات الإسقاط المتعامدأوم في الاتجاهالمتجه n يساوي p ، أي الشرط nOM = pr n OM = p راضٍ ، منذ ذلك الحين طول النواقلن يساوي واحد.

قم بالإشارة إلى إحداثيات النقطة M بواسطة (x ؛ y ؛ z) ودع n = (cosα ؛ cosβ ؛ cosγ) (تذكر ذلك لمتجه الوحدة n الخاص به جيب التمام الاتجاه cosα و cosβ و cosγ هي إحداثياتها أيضًا). نحصل على الناتج القياسي في المساواة nOM = p في شكل إحداثيات المعادلة العادية للطائرة

xcosα + ycosbeta ؛ + zcosγ - ع = 0.

على غرار حالة الخط المستقيم في المستوى ، يمكن تحويل المعادلة العامة للمستوى في الفضاء إلى معادلتها العادية عن طريق القسمة على عامل التطبيع.

بالنسبة لمعادلة المستوى Ax + By + Cz + D = 0 ، فإن عامل التسوية هو الرقم ± √ (A 2 + B 2 + C 2) ، الذي يتم اختيار علامته مقابل علامة D. في القيمة المطلقة ، عامل التطبيع هو طول المتجه الطبيعي (أ ، ب ، ج) للمستوى ، وتتوافق العلامة مع الاتجاه المطلوب لوحدة المتجه الطبيعي للمستوى. إذا كان المستوى يمر عبر أصل نظام الإحداثيات ، أي D = 0 ، ثم يمكن اختيار علامة عامل التطبيع بأي علامة.