ال مورد الكترونيهي مادة ممتازة للتعلم التفاعلي في المدارس الحديثة. إنها مكتوبة بشكل جيد ولها هيكل واضح وتتوافق مع خطة المدرسة. بفضل الشروحات التفصيلية ، سيصبح الموضوع المعروض في درس الفيديو واضحًا لأكبر عدد ممكن من الطلاب في الفصل. يجب أن يتذكر المعلمون أنه ليس كل الطلاب لديهم نفس الدرجة من الإدراك وسرعة الفهم والقاعدة. للتعامل مع الصعوبات واللحاق بأقرانك ، والأداء الأكاديمي الصحيح ، وسوف تساعد هذه المواد. بمساعدتهم ، في بيئة منزلية هادئة ، بمفردهم أو مع مدرس ، يمكن للطالب فهم موضوع معين ودراسة النظرية وعرض الأمثلة تطبيق عمليهذه الصيغة أو تلك ، إلخ.

هذا الفيديو التعليمي مخصص لموضوع "الجيب وجيب التمام لاختلاف الحجج". من المفترض أن الطلاب قد تعلموا بالفعل أساسيات علم المثلثات ، وهم على دراية بالوظائف الأساسية وخصائصها ، وصيغ الأشباح وجداول القيم المثلثية.

أيضًا ، قبل الشروع في دراسة هذا الموضوع ، من الضروري فهم الجيب وجيب التمام لمجموع الحجج ، ومعرفة الصيغتين الأساسيتين والقدرة على استخدامها.

في بداية الدرس بالفيديو ، يذكر المذيع الطلاب بهاتين الصيغتين. بعد ذلك ، يتم توضيح الصيغة الأولى - شرط اختلاف الحجج. بالإضافة إلى كيفية اشتقاق الصيغة نفسها ، يتم توضيح كيفية الحصول عليها من صيغة أخرى. وبالتالي ، لن يضطر الطالب إلى حفظ معادلة جديدة دون فهم ، وهو خطأ شائع. هذا مهم جدًا للطلاب في هذا الفصل. يجب أن تتذكر دائمًا أنه يمكنك إضافة علامة + قبل علامة الطرح لكل شيء ، وستتحول علامة الطرح الموجودة على علامة الجمع إلى علامة ناقص في النهاية. بمساعدة مثل هذه الخطوة البسيطة ، يمكنك استخدام صيغة جيب المجموع والحصول على صيغة جيب الاختلاف في الوسيطات.

وبالمثل ، يتم اشتقاق صيغة جيب التمام الخاص بالفرق من صيغة جيب التمام لمجموع الوسائط.

يشرح المتحدث كل شيء خطوة بخطوة ، ونتيجة لذلك ، يتم اشتقاق الصيغة العامة لجيب التمام لمجموع واختلاف الوسيطات والجيب بالمثل.

يقترح المثال الأول من الجزء العملي من هذا الفيديو التعليمي العثور على جيب التمام لـ Pi / 12. يُقترح تقديم هذه القيمة على أنها اختلاف معين ، حيث يكون المخفض والمطروح قيمًا جدوليّة. بعد ذلك ، قم بتطبيق صيغة جيب التمام لاختلاف الوسيطات. باستبدال التعبير ، يمكنك استبدال القيم التي تم الحصول عليها والحصول على الإجابة. يقرأ المذيع الإجابة التي تظهر في نهاية المثال.

المثال الثاني هو المعادلة. في كلا الجانبين الأيمن والأيسر نرى جيب التمام لاختلافات الوسيطات. يشبه الراوي الصيغ المصبوب المستخدمة لاستبدال هذه التعبيرات وتبسيطها. تتم كتابة هذه الصيغ على الجانب الأيمن حتى يتمكن الطلاب من فهم مصدر تغييرات معينة.

المثال الآخر ، المثال الثالث ، هو كسر معين ، حيث لدينا في البسط والمقام معًا التعبيرات المثلثيةوهي الفرق بين المنتجات.

هنا أيضًا ، تُستخدم صيغ التخفيض في المحلول. وبالتالي ، يمكن للطلاب التأكد من أن تخطي موضوع واحد في علم المثلثات ، سيكون من الصعب أكثر فأكثر فهم الباقي.

وأخيرًا ، المثال الرابع. هذه أيضًا معادلة ، في حلها من الضروري استخدام صيغ جديدة مدروسة وقديمة.

يمكنك إلقاء نظرة على الأمثلة الواردة في الفيديو التعليمي بمزيد من التفصيل ومحاولة حلها بنفسك. يمكن تعيينها كـ واجب منزليتلاميذ المدارس.

تفسير النص:

موضوع الدرس هو "الجيب وجيب التمام لاختلاف الحجج".

في الدورة السابقة ، التقينا اثنين الصيغ المثلثيةالجيب وجيب التمام لمجموع الحجج.

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y ،

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.

جيب مجموع زاويتين يساوي المجموعبين حاصل ضرب جيب الزاوية الأولى وجيب الزاوية الثانية وحاصل ضرب جيب التمام للزاوية الأولى وجيب الزاوية الثانية ؛

جيب تمام مجموع زاويتين يساوي الفرق بين حاصل ضرب جيب التمام لهاتين الزاويتين وحاصل ضرب مجموع هاتين الزاويتين.

باستخدام هذه الصيغ ، نشتق معادلات الجيب وجيب التمام لاختلاف الوسيطات.

شرط اختلاف الجدل الخطيئة (س- ص)

يمكن كتابة صيغتين (جيب المجموع وجيب الفرق) على النحو التالي:

الخطيئة (xy) = sin x cos ycos x sin y.

وبالمثل ، نشتق صيغة جيب التمام للفرق:

نعيد كتابة جيب التمام لاختلاف الوسيطات كمجموع ونطبق الصيغة المعروفة بالفعل لجيب تمام الجمع: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

فقط للحجج x و y. بالتعويض عن هذه الحجج في الصيغة ، نحصل على cosxcos (- y) - sinxsin (- y).

الخطيئة (-y) = - siny). واحصل على التعبير النهائي cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) \ u003d cos (x + (- y)) \ u003d cos xcos (- y) - sin x sin (- y) \ u003d cosx cos y + sin xsin y.

إذن cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

جيب تمام الفرق بين زاويتين يساوي المجموع بين حاصل ضرب جيب التمام لهذه الزوايا وحاصل ضرب جيب هذه الزوايا.

نجمع بين صيغتين (جيب تمام مجموع وجيب الفرق) في صيغة واحدة ، نكتب

كوس (xy) = cosxcos y sin xsin y.

تذكر أنه يمكن تطبيق الصيغ عمليًا من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

مثال 1. احسب جيب التمام (جيب التمام لـ pi مقسومًا على اثني عشر).

المحلول. لنكتب pi على اثني عشر كالفرق بين pi على ثلاثة و pi مقسومًا على أربعة: = -.

عوّض بالقيم في صيغة فرق جيب التمام: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny ، لذا cos = cos (-) = cos + sin sin

نعلم أن cos =، cos = sin =، sin =. عرض جدول القيم.

دعونا نستبدل قيمة الجيب وجيب التمام القيم العدديةونحصل على ∙ + ∙ عند ضرب كسر في كسر ، نضرب البسط والمقام ، نحصل على

cos = cos (-) = cos + sin sin = + = = =.

الجواب: cos =.

مثال 2. حل معادلة كوس(2π - 5x) = cos (- 5x) (جيب تمام اثنين pi ناقص خمسة x يساوي جيب تمام pi في اثنين ناقص خمسة x).

المحلول. نطبق صيغ التخفيض cos (2π - cos (جيب التمام اثنان pi ناقص alpha يساوي cosine alpha) و cos (- \ u003d sin (جيب التمام بمقدار اثنين ناقص alpha يساوي sine alpha) على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة ، نحصل على cos 5x \ u003d sin 5x ، نعطيها شكل معادلة متجانسة من الدرجة الأولى ونحصل على cos 5x - sin 5x \ u003d 0. هذه معادلة متجانسة من الدرجة الأولى. نقسم المصطلح على كلا الجزأين للمعادلة بـ cos 5x. لدينا:

cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0 لأن cos 5x: cos 5x \ u003d 1 ، و sin 5x: cos 5x \ u003d tg 5x ، ثم نحصل على:

نظرًا لأننا نعلم بالفعل أن المعادلة tgt \ u003d a لها حل t \ u003d arctga + πn ، وبما أننا لدينا t \ u003d 5x ، a \ u003d 1 ، نحصل على

5x \ u003d arctg 1 + n ،

أ قيمة arctg 1 ، ثم tg 1 = إظهار الجدول

استبدل القيمة في المعادلة وحلها:

الجواب: س = +.

مثال 3. أوجد قيمة كسر. (في البسط ، الفرق بين حاصل ضرب جيب التمام لخمس وسبعين درجة وخمسة وستين درجة وحاصل ضرب جيب خمس وسبعين درجة وخمس وستين درجة ، وفي المقام ، الفرق بين حاصل الضرب لجيب خمسة وثمانين درجة وجيب التمام خمسة وثلاثين درجة وحاصل ضرب جيب التمام خمسة وثمانين درجة وجيب خمسة وثلاثين درجة).

المحلول. في بسط هذا الكسر ، يمكن "طي" الفرق في جيب التمام لمجموع الوسيطتين 75 درجة و 65 درجة ، وفي المقام ، يمكن "طي" الفرق في جيب الاختلاف بين الوسيطتين 85 درجة و 35 درجة. احصل على

الجواب: - 1.

مثال 4. حل المعادلة: cos (-x) + sin (-x) \ u003d 1 (جيب تمام فرق pi بمقدار أربعة و x زائد جيب الفرق بين pi على أربعة و x يساوي واحدًا) .

المحلول. نطبق صيغة جيب التمام للفرق وجيب الاختلاف.

اعرض الصيغة العامة لجيب التمام للفرق

ثم cos (-x) = cos cos x + sinsinx

أظهر الصيغة العامة لجيب الاختلاف

و sin (-x) \ u003d sin cosx - cos sinx

عوّض بهذه التعبيرات في المعادلة cos (-x) + sin (-x) = 1 واحصل على:

cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x \ u003d 1 ،

منذ cos = و sin = إظهار قيمة جدول الجيب وجيب التمام

نحصل على ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - sinx \ u003d 1 ،

الحد الثاني والرابع متعاكسان ، لذلك يلغي كل منهما الآخر ، ويبقى:

∙ cos + cos = 1 ،

سنقرر معادلة معينةونحصل على ذلك

2 ∙∙ كوس س = 1 ،

بما أننا نعلم بالفعل أن المعادلة cos = a لها حل ر = أركوسأ+ 2πك، ونظرًا لأن لدينا t = x ، a = ، نحصل على

س \ u003d arccos + 2πn ،

وبما أن قيمة arccos ، فإن cos =

تسمح لك الصيغ الخاصة بمجموع وفرق الجيب وجيب التمام لزاويتين α و بالانتقال من مجموع الزوايا المشار إليها إلى حاصل ضرب الزاويتين α + β 2 و α - β 2. نلاحظ على الفور أنه يجب ألا تخلط بين الصيغ الخاصة بمجموع وفرق الجيب وجيب التمام مع صيغ الجيب وجيب التمام للجمع والفرق. أدناه نقوم بسرد هذه الصيغ ، ونقدم اشتقاقها ونعرض أمثلة لتطبيق مشاكل معينة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

صيغ مجموع وفرق الجيب وجيب التمام

لنكتب كيف تبدو معادلات الجمع والفرق للجيب وجيب التمام

صيغ الجمع والفرق للجيب

sin α + sin β = 2 sin α + 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - 2 cos α + 2

صيغ الجمع والفرق لجيب التمام

cos α + cos β = 2 cos α + 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - 2، cos α - cos β = 2 sin α + 2 β - α 2

هذه الصيغ صالحة لأي زوايا α و. تسمى الزاويتان α + β 2 و α - β 2 ، على التوالي ، بنصف مجموع ونصف فرق الزوايا ألفا وبيتا. نعطي صيغة لكل صيغة.

تعريفات معادلات الجمع والفرق للجيب وجيب التمام

مجموع جيب الزاويتينيساوي ضعف حاصل ضرب جيب نصف مجموع هذه الزوايا وجيب تمام نصف الفرق.

فرق الجيب من زاويتينيساوي ضعف حاصل ضرب جيب نصف الفرق بين هذه الزوايا وجيب تمام نصف المجموع.

مجموع جيب التمام لزاويتينيساوي ضعف حاصل ضرب جيب التمام لنصف المجموع وجيب التمام لنصف الفرق بين هاتين الزاويتين.

فرق جيب التمام من زاويتينيساوي ضعف حاصل ضرب جيب نصف المجموع وجيب تمام نصف فرق هذه الزوايا ، مأخوذًا بعلامة سالب.

اشتقاق الصيغ لمجموع وفرق الجيب وجيب التمام

لاشتقاق معادلات لمجموع وفرق الجيب وجيب التمام من زاويتين ، يتم استخدام صيغ الجمع. نقدمها أدناه

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

نحن نمثل أيضًا الزوايا نفسها على أنها مجموع أنصاف المجاميع وأنصاف الفروق.

α \ u003d α + β 2 + α - β 2 \ u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \ u003d α + β 2 - α - β 2 \ u003d α 2 + 2 - α 2 + β 2

ننتقل مباشرة إلى اشتقاق معادلات الجمع والفرق للجيب وجيب التمام.

اشتقاق صيغة مجموع الجيب

في مجموع sin α + sin β ، نستبدل α و بالتعبيرات الخاصة بهذه الزوايا الموضحة أعلاه. احصل على

sin α + sin β = sin α + 2 + α - β 2 + sin α + 2 - α - β 2

نطبق الآن صيغة الجمع على التعبير الأول ، وصيغة الجيب لاختلافات الزاوية على التعبير الثاني (انظر الصيغ أعلاه)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + 2 - α - 2 = sin α + 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + 2 cos α - 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + 2 sin α - 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - 2 = = 2 sin α + 2 كوس α - β 2

تتشابه خطوات اشتقاق باقي الصيغ.

اشتقاق صيغة فرق الجيب

sin α - sin β = sin α + 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - 2 sin α + 2 + α - β 2 - sin α + 2 - α - β 2 = خطيئة α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - 2 - cos α + β 2 sin α - 2 = = 2 sin α - 2 كوس α + 2

اشتقاق صيغة مجموع جيب التمام

cos α + cos β = cos α + 2 + α - β 2 + cos α + 2 - α - 2 cos α + 2 + α - β 2 + cos α + 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - 2 = = 2 cos α + 2 كوس α - β 2

اشتقاق صيغة فرق جيب التمام

cos α - cos β = cos α + 2 + α - β 2 - cos α + 2 - α - β 2 cos α + 2 + α - β 2 - cos α + 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + 2 sin α - β 2

أمثلة على حل المشكلات العملية

بادئ ذي بدء ، سوف نتحقق من إحدى الصيغ عن طريق التعويض بقيم زاوية معينة فيها. دع α = π 2 ، β = 6. دعونا نحسب قيمة مجموع جيب هذه الزوايا. أولاً ، دعنا نستخدم جدول القيم الأساسية الدوال المثلثية، ثم قم بتطبيق صيغة مجموع الجيب.

مثال 1. التحقق من صيغة مجموع جيوب زاويتين

α \ u003d π 2، β \ u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \ u003d 1 + 1 2 \ u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \ u003d 2 sin π 2 + 6 2 cos π 2 - π 6 2 \ u003d 2 sin π 3 cos π 6 \ u003d 2 3 2 3 2 \ u003d 3 2

دعونا ننظر الآن في الحالة التي تختلف فيها قيم الزوايا عن القيم الأساسية الواردة في الجدول. دع α = 165 درجة ، β = 75 درجة. دعونا نحسب قيمة الفرق بين جيوب هذه الزوايا.

مثال 2. تطبيق معادلة فرق الجيب

α = 165 ° ، β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2-1 2 = 2 2

باستخدام الصيغ الخاصة بمجموع وفرق الجيب وجيب التمام ، يمكنك الانتقال من المجموع أو الفرق إلى حاصل ضرب الدوال المثلثية. غالبًا ما تسمى هذه الصيغ بالصيغ للانتقال من المجموع إلى المنتج. تُستخدم الصيغ الخاصة بمجموع وفرق الجيب وجيب التمام على نطاق واسع في الحل المعادلات المثلثيةوعند تحويل المقادير المثلثية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter