دالة عكسية وتكامل غير محدد

الحقيقة 1. التكامل هو عكس الاشتقاق ، أي استعادة دالة من المشتق المعروف لهذه الدالة. تمت استعادة الوظيفة بهذه الطريقة F(x) يسمى بدائيللوظيفة F(x).

التعريف 1. الوظيفة F(x F(x) في بعض الفترات X، إذا كان لجميع القيم xمن هذا الفاصل المساواة F "(x)=F(x) ، هذه هي الوظيفة F(x) هو مشتق من دالة عكسية F(x). .

على سبيل المثال ، الوظيفة F(x) = الخطيئة x هي المشتق العكسي للوظيفة F(x) = كوس x على خط الأعداد بالكامل ، لأن أي قيمة لـ x (الخطيئة x) "= (cos x) .

التعريف 2. تكامل غير محدد للدالة F(x) هو جمع جميع مشتقاته العكسية. هذا يستخدم الترميز

∫

F(x)DX

,

أين العلامة ∫ تسمى علامة التكامل ، الوظيفة F(x) هو Integrand و F(x)DX هو Integrand.

وهكذا ، إذا F(x) بعض المشتقات العكسية لـ F(x) ، من ثم

∫

F(x)DX = F(x) +ج

أين ج - ثابت اعتباطي (ثابت).

لفهم معنى مجموعة المشتقات العكسية للدالة باعتبارها تكاملًا غير محدد ، يكون القياس التالي مناسبًا. يجب ألا يكون هناك باب (باب خشبي تقليدي). وظيفتها هي "أن تكون باباً". مما هو مصنوع من الباب؟ من الشجرة. هذا يعني أن مجموعة المشتقات العكسية للتكامل و "أن يكون بابًا" ، أي تكاملها غير المحدود ، هي الوظيفة "لتكون شجرة + C" ، حيث C ثابت ، والذي يمكن أن يشير في هذا السياق ، إلى على سبيل المثال ، أنواع الأشجار. كما أن الباب مصنوع من الخشب باستخدام بعض الأدوات ، فإن مشتق الوظيفة "مصنوع" من الوظيفة العكسية باستخدام الصيغة التي تعلمناها من خلال دراسة المشتق .

ثم جدول وظائف الأشياء المشتركة والأوليات المقابلة لها ("أن تكون بابًا" - "أن تكون شجرة" ، "أن تكون ملعقة" - "أن تكون معدنًا" ، إلخ.) يشبه جدول التكاملات الأساسية غير المحددة ، والتي سيتم توفيرها أدناه. يسرد جدول التكاملات غير المحددة الوظائف المشتركة ، مما يشير إلى المشتقات العكسية التي "تتكون" منها هذه الدوال. كجزء من مهام العثور على التكامل غير المحدد ، يتم إعطاء مثل هذه التكاملات التي يمكن دمجها مباشرة دون جهود خاصة ، أي وفقًا لجدول التكاملات غير المحددة. في المسائل الأكثر تعقيدًا ، يجب أولاً تحويل التكامل و بحيث يمكن استخدام التكاملات الجدولية.

الحقيقة 2. استعادة دالة كمشتق عكسي ، يجب أن نأخذ في الاعتبار ثابتًا عشوائيًا (ثابت) ج، ولكي لا تكتب قائمة بالمشتقات العكسية ذات الثوابت المختلفة من 1 إلى اللانهاية ، فأنت بحاجة إلى كتابة مجموعة من المشتقات العكسية باستخدام ثابت تعسفي ج، مثل هذا: 5 x³ + ج. لذلك ، يتم تضمين ثابت تعسفي (ثابت) في التعبير عن المشتق العكسي ، حيث يمكن أن يكون المشتق العكسي دالة ، على سبيل المثال ، 5 x³ + 4 أو 5 x³ + 3 وعند التفريق بين 4 أو 3 أو أي ثابت آخر يتلاشى.

حددنا مشكلة التكامل: لدالة معينة F(x) تجد مثل هذه الوظيفة F(x), مشتقهايساوي F(x).

مثال 1أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة

قرار. لهذه الوظيفة ، المشتق العكسي هو الوظيفة

وظيفة F(x) يسمى مشتق عكسي للوظيفة F(x) إذا كان المشتق F(x) يساوي F(x) ، أو ما هو نفس الشيء ، التفاضل F(x) يساوي F(x) DX، بمعنى آخر.

(2)

لذلك ، فإن الوظيفة مشتقة عكسية للدالة. ومع ذلك ، فهو ليس المشتق الوحيد لـ. هم أيضا وظائف

أين معثابت تعسفي. يمكن التحقق من ذلك عن طريق التمايز.

وبالتالي ، إذا كان هناك مشتق عكسي واحد لوظيفة ما ، فعندئذ يوجد لها مجموعة لانهائيةالمشتقات العكسية التي تختلف بمصطلح ثابت. جميع المشتقات العكسية لوظيفة ما مكتوبة بالصيغة أعلاه. هذا يتبع من النظرية التالية.

نظرية (بيان رسمي للحقيقة 2).اذا كان F(x) هي المشتق العكسي للوظيفة F(x) في بعض الفترات X، ثم أي مشتق عكسي آخر لـ F(x) في نفس الفترة الزمنية يمكن تمثيلها كـ F(x) + ج، أين معثابت تعسفي.

في المثال التالي ، ننتقل بالفعل إلى جدول التكاملات ، والذي سيتم توفيره في الفقرة 3 ، بعد خصائص التكامل غير المحدد. نقوم بذلك قبل أن نتعرف على الجدول بأكمله ، حتى يتضح جوهر ما سبق. وبعد الجدول والخصائص ، سنستخدمها بالكامل عند التكامل.

مثال 2ابحث عن مجموعات من المشتقات العكسية:

قرار. نجد مجموعات من الدوال العكسية التي "تتكون" منها هذه الوظائف. عند ذكر الصيغ من جدول التكاملات ، في الوقت الحالي ، ما عليك سوى قبول وجود مثل هذه الصيغ ، وسوف ندرس جدول التكاملات غير المحددة بالكامل بعد ذلك بقليل.

1) تطبيق الصيغة (7) من جدول التكاملات لـ ن= 3 ، نحصل عليها

2) باستخدام الصيغة (10) من جدول التكاملات لـ ن= 1/3 لدينا

3) منذ

ثم وفقا للصيغة (7) في ن= -1/4 بحث

تحت علامة التكامل ، لا يكتبون الوظيفة نفسها F، وحاصل ضربها بالتفاضل DX. يتم ذلك بشكل أساسي للإشارة إلى المتغير الذي يتم البحث عنه المشتق العكسي. علي سبيل المثال،

, ;

هنا في كلتا الحالتين ، تكاملها تساوي ، لكن تكاملاتها غير المحددة في الحالات المدروسة تكون مختلفة. في الحالة الأولى ، تعتبر هذه الوظيفة كدالة لمتغير x، وفي الثانية - كدالة ض .

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد للدالة بدمج هذه الوظيفة.

المعنى الهندسي للتكامل غير المحدد

فليكن مطلوبًا للعثور على منحنى ص = و (س)ونحن نعلم بالفعل أن مماس ميل المماس عند كل نقطة من نقاطه دالة معينة و (خ)حدود هذه النقطة.

بالنسبة الى المعنى الهندسيمشتق ظل من ميل المماس عند نقطة معينة على المنحنى ص = و (س)يساوي قيمة المشتق F "(x). إذن ، علينا إيجاد هذه الدالة و (س)، لأي منهم F "(x) = f (x). الوظيفة المطلوبة في المهمة و (س)مشتق من و (خ). لا يتم تلبية حالة المشكلة من خلال منحنى واحد ، ولكن من خلال مجموعة من المنحنيات. ص = و (س)- أحد هذه المنحنيات وأي منحنى آخر يمكن الحصول عليه منه بالترجمة المتوازية على طول المحور أوي.

دعنا نسمي التمثيل البياني للدالة العكسية لـ و (خ)منحنى متكامل. اذا كان F "(x) = f (x)، ثم الرسم البياني للدالة ص = و (س)هو منحنى متكامل.

الحقيقة 3. يتم تمثيل التكامل غير المحدد هندسيًا بواسطة عائلة جميع المنحنيات المتكاملة كما في الصورة أدناه. يتم تحديد مسافة كل منحنى من الأصل بواسطة ثابت تعسفي (ثابت) للتكامل ج.

خصائص التكامل غير المحدد

حقيقة 4. نظرية 1. مشتق تكامل غير محدد يساوي التكامل ، ومشتقه يساوي التكامل.

حقيقة 5. نظرية 2. التكامل غير المحدد لتفاضل وظيفة F(x) يساوي الوظيفة F(x) إلى حد ثابت ، بمعنى آخر.

(3)

توضح النظريتان 1 و 2 أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان.

حقيقة 6. نظرية 3. يمكن إخراج العامل الثابت في التكامل غير المحدد من علامة التكامل غير المحدد ، بمعنى آخر.

التكاملات الرئيسية التي يجب على كل طالب معرفتها

التكاملات المدرجة هي الأساس وأساس الأسس. هذه الصيغ ، بالطبع ، يجب تذكرها. عند حساب تكاملات أكثر تعقيدًا ، سيتعين عليك استخدامها باستمرار.

انتبه بشكل خاص للصيغ (5) و (7) و (9) و (12) و (13) و (17) و (19). لا تنس إضافة ثابت عشوائي C للإجابة عند الدمج!

لا يتجزأ من ثابت

∫ أ د س = أ س + ج (1)

تكامل وظيفة الطاقة

في الواقع ، يمكن للمرء أن يقصر نفسه على الصيغتين (5) و (7) ، لكن باقي التكاملات من هذه المجموعة شائعة جدًا لدرجة أنه يستحق الاهتمام بها قليلاً.

∫ س د س = س 2 2 + ج (2)
∫ س 2 د س = س 3 3 + ج (3)
∫ 1 س د س = 2 س + ج (4)
∫ 1 x د x = سجل | x | + C (5)
∫ 1 × 2 د × = - 1 × + ج (6)
∫ س ن د س = س ن + 1 ن + 1 + ج (ن ≠ - 1) (7)

تكاملات الدالة الأسية والوظائف الزائدية

بالطبع ، يمكن اعتبار الصيغة (8) (ربما الأكثر ملاءمة للتذكر) على أنها حالة خاصةالصيغ (9). الصيغتان (10) و (11) لتكاملات الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي مشتقة بسهولة من الصيغة (8) ، ولكن من الأفضل فقط تذكر هذه العلاقات.

∫ ه س د س = ه س + ج (8)
∫ أ س د س = أ س سجل أ + ج (أ> 0 ، أ ≠ 1) (9)
∫ ث ح س د س = ج ح س + ج (10)
∫ ج ح س د س = ث ح س + ج (11)

التكاملات الأساسية للدوال المثلثية

خطأ يرتكبه الطلاب غالبًا: يخلطون بين الإشارات في الصيغتين (12) و (13). تذكر أن مشتق الجيب يساوي جيب التمام ، لسبب ما يعتقد الكثير من الناس أن تكامل الجيب وظائف sinxيساوي cosx. هذا ليس صحيحا! تكامل الجيب هو "ناقص جيب التمام" ، لكن تكامل جيب التمام هو "الجيب فقط":

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C (15)

اختزال التكاملات إلى الدوال المثلثية المعكوسة

الصيغة (16) ، التي تؤدي إلى قوس الظل ، هي بطبيعة الحال حالة خاصة من الصيغة (17) لـ a = 1. وبالمثل ، فإن (18) حالة خاصة لـ (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 أ 2 - س 2 د س = قوسين س أ + ج = - أركوس س أ + ج (أ> 0) (19)

تكاملات أكثر تعقيدًا

من المستحسن أيضًا تذكر هذه الصيغ. يتم استخدامها أيضًا في كثير من الأحيان ، ويكون ناتجها مملاً إلى حد ما.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | س + س 2 - أ 2 | + C (21)
∫ أ 2 - س 2 د س = س 2 أ 2 - س 2 + أ 2 2 أركسين س أ + ج (أ> 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (أ> 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | س + س 2 - أ 2 | + C (أ> 0) (24)

قواعد التكامل العامة

1) تكامل مجموع وظيفتين يساوي المجموعالتكاملات المقابلة: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) تكامل الفرق بين وظيفتين يساوي فرق التكاملات المقابلة: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

من السهل ملاحظة أن الخاصية (26) هي ببساطة مزيج من الخصائص (25) و (27).

4) لا يتجزأ من وظيفة معقدة، إذا كانت الوظيفة الداخلية خطية: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

هنا F (x) هي المشتق العكسي للدالة f (x). لاحظ أن هذه الصيغة تعمل فقط عندما تكون الوظيفة الداخلية هي Ax + B.

هام: لا توجد صيغة عالمية لتكامل حاصل ضرب وظيفتين ، وكذلك لتكامل الكسر:

∫ و (س) ز ​​(س) د س =؟ ∫ و (س) ز ​​(س) د س =؟ (ثلاثون)

هذا لا يعني ، بالطبع ، أنه لا يمكن دمج جزء أو منتج. إنه فقط في كل مرة ترى فيها جزءًا لا يتجزأ مثل (30) ، عليك أن تبتكر طريقة "للقتال" معه. في بعض الحالات ، سيساعدك التكامل حسب الأجزاء ، في مكان ما سيكون عليك إجراء تغيير في المتغير ، وفي بعض الأحيان يمكن أن تساعدك الصيغ "المدرسية" في الجبر أو علم المثلثات.

مثال بسيط لحساب التكامل غير المحدد

مثال 1. أوجد التكامل: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

نستخدم الصيغتين (25) و (26) (تكامل مجموع أو فرق الدوال يساوي مجموع أو فرق التكاملات المقابلة. نحصل على: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ ١٢ د س

تذكر أنه يمكن إخراج الثابت من علامة التكامل (الصيغة (27)). يتم تحويل التعبير إلى النموذج

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

لنستخدم الآن جدول التكاملات الأساسية. سنحتاج إلى تطبيق الصيغ (3) و (12) و (8) و (1). دعنا ندمج دالة القوة ، الجيب ، الأس والثابت 1. لا تنس إضافة ثابت عشوائي C في النهاية:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

بعد التحولات الأولية ، نحصل على الإجابة النهائية:

X 3-2 كوس س - 7 ه س + 12 س + ج

اختبر نفسك باستخدام التفاضل: خذ مشتق الدالة الناتجة وتأكد من أنها تساوي التكامل الأصلي.

جدول ملخص التكاملات

∫ أ د س = أ س + ج

∫ س د س = س 2 2 + ج

∫ س 2 د س = س 3 3 + ج

∫ 1 س د س = 2 س + ج

∫ 1 x د x = سجل | x | + ج

∫ 1 × 2 د × = - 1 × + ج

∫ س ن د س = س ن + 1 ن + 1 + ج (ن ≠ - 1)

∫ ه س د س = ه س + ج

∫ أ س د س = أ س ln أ + ج (أ> 0 ، أ ≠ 1)

∫ ق ح س د س = ج ح س + ج

∫ ج ح س د س = ث ح س + ج

∫ sin x d x = - cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = - c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C

∫ 1 أ 2 - س 2 د س = قوسين س أ + ج = - أركوس س أ + ج (أ> 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + ج

∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | س + س 2 - أ 2 | + ج

∫ أ 2 - س 2 د س = س 2 أ 2 - س 2 + أ 2 2 أركسين س أ + ج (أ> 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (أ> 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | س + س 2 - أ 2 | + C (أ> 0)

قم بتنزيل جدول التكاملات (الجزء الثاني) من هذا الرابط

إذا كنت تدرس في إحدى الجامعات ، إذا كنت تواجه أي صعوبات في الرياضيات العليا (التحليل الرياضي ، الجبر الخطي ، نظرية الاحتمالات ، الإحصاء) ، إذا كنت بحاجة إلى خدمات مدرس مؤهل ، فانتقل إلى صفحة مدرس في الرياضيات العليا. دعنا نحل مشاكلك معا!

قد تكون مهتمًا أيضًا

جدول المشتقات العكسية ("التكاملات"). جدول التكاملات. تكاملات مجدولة غير محددة. (التكاملات والتكاملات البسيطة مع معلمة). صيغ للتكامل حسب الأجزاء. صيغة نيوتن ليبنيز.

جدول المشتقات العكسية ("التكاملات"). تكاملات مجدولة غير محددة. (التكاملات والتكاملات البسيطة مع معلمة).
متكامل وظيفة الطاقة.	لا يتجزأ من وظيفة السلطة.
تكامل يختزل إلى تكامل دالة قوة إذا كان x مدفوعًا تحت علامة التفاضل.
	التكامل الأسي ، حيث a هو رقم ثابت.
تكامل دالة أسية مركبة.	تكامل الدالة الأسية.
تكامل يساوي اللوغاريتم الطبيعي.	لا يتجزأ: "لوغاريتم طويل".
	لا يتجزأ: "لوغاريتم طويل".
لا يتجزأ: "لوغاريتم مرتفع".	التكامل ، حيث يتم وضع x في البسط تحت علامة التفاضل (يمكن إضافة وطرح الثابت الموجود أسفل العلامة) ، نتيجة لذلك ، للتكامل الذي يساوي اللوغاريتم الطبيعي.
لا يتجزأ: "لوغاريتم مرتفع".
جيب التمام لا يتجزأ.	شرط لا يتجزأ.
تكامل يساوي الظل.	تكامل يساوي ظل التمام.
لا يتجزأ من القوسين و القوسين
تكامل يساوي كلا من الجيب العكسي وجيب التمام العكسي.	تكامل يساوي كلا من قوس الظل وظل التمام القوسي.
التكامل يساوي قاطع التمام.	لا يتجزأ يساوي القاطع.
تكامل يساوي القوس.	تكامل يساوي قاطع التمام القوسي.
تكامل يساوي القوس.	تكامل يساوي القوس.
تكامل يساوي الجيب الزائدي.	تكامل يساوي جيب التمام الزائدي.
تكامل يساوي الجيب الزائدي ، حيث sinhx هو الجيب الزائدي في اللغة الإنجليزية.	تكامل يساوي جيب التمام الزائدي ، حيث sinhx هو الجيب الزائدي في النسخة الإنجليزية.
تكامل يساوي الظل الزائدي.	تكامل يساوي ظل التمام الزائدي.
تكامل يساوي القاطع الزائدي.	تكامل يساوي قاطع التمام الزائدي.

صيغ للتكامل حسب الأجزاء. قواعد التكامل.

صيغ للتكامل حسب الأجزاء. صيغة نيوتن ليبنيز قواعد التكامل.
تكامل المنتج (الوظيفة) بواسطة ثابت:
تكامل مجموع الوظائف:
تكاملات غير محددة:
التكامل بالصيغة الجزئية تكاملات محددة:
صيغة نيوتن ليبنيز تكاملات محددة:	حيث F (a)، F (b) هي قيم المشتقات العكسية عند النقطتين b و a على التوالي.

جدول مشتق. مشتقات المائدة. مشتق من المنتج. مشتق من الخاص. مشتق دالة معقدة.

إذا كان x متغيرًا مستقلاً ، فعندئذٍ:

جدول مشتق. مشتقات الجدول "مشتقات الجدول" - نعم ، للأسف ، هكذا يتم البحث عنها على الإنترنت
	مشتق دالة القدرة
	مشتق من الأس
مشتق دالة أسية مركبة	مشتق من الدالة الأسية
مشتق من دالة لوغاريتمية	المشتق اللوغاريتم الطبيعي
	مشتق من اللوغاريتم الطبيعي للدالة
مشتق الجيب	مشتق جيب التمام
مشتق قاطع التمام	المشتق القاطع
مشتق من القوسين	مشتق قوس جيب التمام
مشتق من القوسين	مشتق قوس جيب التمام
مشتق الظل	مشتق ظل التمام
مشتق قوس الظل	مشتق من معكوس الظل
مشتق قوس الظل	مشتق من معكوس الظل
مشتق قوسي	مشتق قوس التمام القوسي
مشتق قوسي	مشتق قوس التمام القوسي
مشتق من الجيب الزائدي مشتق من الجيب الزائدي في النسخة الإنجليزية	مشتق جيب التمام الزائدي مشتق جيب التمام الزائدي في النسخة الإنجليزية
مشتق من الظل الزائدي	مشتق من ظل التمام الزائدي
مشتق القاطع الزائدي	مشتق من قاطع التمام الزائدي

قواعد التمايز. مشتق من المنتج. مشتق من الخاص. مشتق دالة معقدة.
مشتق من منتج (دالة) بواسطة ثابت:
مشتق من المجموع (وظائف):
مشتق من المنتج (وظائف):
مشتق حاصل القسمة (وظائف):
مشتق دالة معقدة:

خصائص اللوغاريتمات. الصيغ الأساسية للوغاريتمات. العشري (lg) واللوغاريتمات الطبيعية (ln).

الهوية اللوغاريتمية الأساسية
دعونا نوضح كيف يمكن جعل أي دالة بالصيغة أ ب أسية. بما أن دالة في النموذج e x تسمى أسية ، إذن
يمكن تمثيل أي دالة بالصيغة a b كقوة عشرة

اللوغاريتم الطبيعي ln (اللوغاريتم الأساسي e = 2.718281828459045 ...) ln (e) = 1 ؛ تسجيل (1) = 0

سلسلة تايلور. توسيع وظيفة في سلسلة تايلور.

اتضح أن معظم واجه عمليايمكن تمثيل الوظائف الرياضية بأي دقة بالقرب من نقطة معينة في شكل سلسلة قوى تحتوي على قوى المتغير بترتيب تصاعدي. على سبيل المثال ، بالقرب من النقطة x = 1:

عند استخدام صفوف تسمى صفوف تايلوريمكن التعبير عن الدوال المختلطة التي تحتوي ، على سبيل المثال ، وظائف جبرية ومثلثية وأسية على أنها وظائف جبرية بحتة. بمساعدة المتسلسلة ، يمكن في كثير من الأحيان تنفيذ التفاضل والتكامل بسرعة.

سلسلة تايلور بالقرب من النقطة أ لها الأشكال التالية:

1) ، حيث f (x) هي وظيفة لها مشتقات لجميع الطلبات عند x = a. R n - يتم تحديد المصطلح المتبقي في سلسلة Taylor بالتعبير

2)

يتم تحديد معامل k-th (عند x k) من السلسلة بواسطة الصيغة

3) حالة خاصة من سلسلة تايلور هي سلسلة Maclaurin (= McLaren) (يحدث التحلل حول النقطة a = 0)

ل = 0

يتم تحديد أعضاء السلسلة بواسطة الصيغة

شروط تطبيق مسلسل تايلور.

1. من أجل توسيع الوظيفة f (x) في سلسلة Taylor على الفاصل الزمني (-R ؛ R) ، من الضروري والكافي أن يتم استخدام المصطلح المتبقي في صيغة تايلور (Maclaurin (= McLaren)) لهذا الغرض تميل الوظيفة إلى الصفر عند k → ∞ على الفاصل الزمني المحدد (-R ؛ R).

2. من الضروري أن تكون هناك مشتقات لهذه الوظيفة في النقطة التي سنقوم على مقربة منها ببناء سلسلة تايلور.

خصائص سلسلة تايلور.

إذا كانت f دالة تحليلية ، فإن سلسلة Taylor الخاصة بها في أي نقطة من مجال f تتقارب مع f في بعض المناطق المجاورة لـ a.

هناك وظائف قابلة للتفاضل بلا حدود تتقارب سلسلة Taylor الخاصة بها ولكنها تختلف عن الوظيفة في أي حي من a. علي سبيل المثال:

تُستخدم سلسلة تايلور للتقريب (التقريب هو طريقة علمية تتكون من استبدال بعض الكائنات بأخرى ، بطريقة أو بأخرى قريبة من الأصل ، ولكن أبسط) بوظائف متعددة الحدود. على وجه الخصوص ، الخطية ((من الخطي - الخطي) ، إحدى طرق التمثيل التقريبي للأنظمة غير الخطية المغلقة ، حيث يتم استبدال دراسة النظام غير الخطي بتحليل النظام الخطي ، بمعنى مكافئ للنظام الأصلي .) من المعادلات عن طريق التوسع في سلسلة تايلور وقطع جميع الشروط أعلاه من الدرجة الأولى.

وبالتالي ، يمكن تمثيل أي دالة تقريبًا على أنها كثيرة الحدود بدقة معينة.

أمثلة على بعض التوسعات الشائعة لوظائف الطاقة في سلسلة Maclaurin (= McLaren و Taylor بالقرب من النقطة 0) و Taylor بالقرب من النقطة 1. الشروط الأولى لتوسعات الوظائف الرئيسية في سلسلة Taylor و MacLaren.

أمثلة لبعض التوسعات الشائعة لوظائف الطاقة في سلسلة Maclaurin (= MacLaren ، Taylor بالقرب من النقطة 0)

أمثلة على بعض توسعات سلسلة تايلور الشائعة حول النقطة 1

التعريف 1

المشتق العكسي $ F (x) $ للدالة $ y = f (x) $ في المقطع $$ هو دالة قابلة للتفاضل في كل نقطة من هذا المقطع والمساواة التالية تنطبق على مشتقها:

التعريف 2

جمع كل الأوليات وظيفة معينةيُطلق على $ y = f (x) $ المحدد في فترة زمنية معينة التكامل غير المحدود للدالة المعطاة $ y = f (x) $. يتم الإشارة إلى التكامل غير المحدد بالرمز $ \ int f (x) dx $.

من جدول المشتقات والتعريف 2 ، نحصل على جدول التكاملات الأساسية.

مثال 1

تحقق من صحة الصيغة 7 من جدول التكاملات:

\ [\ int tgxdx = - \ ln | \ cos x | + C ، \ ، \ ، C = const. \]

لنفرق الجانب الأيمن: $ - \ ln | \ cos x | + C $.

\ [\ left (- \ ln | \ cos x | + C \ right) "= - \ frac (1) (\ cos x) \ cdot (- \ sin x) = \ frac (\ sin x) (\ cos س) = tgx \]

مثال 2

تحقق من صحة الصيغة 8 من جدول التكاملات:

\ [\ int ctgxdx = \ ln | \ sin x | + C ، \ ، \ ، C = const. \]

ميّز الطرف الأيمن: $ \ ln | \ sin x | + C $.

\ [\ left (\ ln | \ sin x | \ right) "= \ frac (1) (\ sin x) \ cdot \ cos x = ctgx \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 3

تحقق من صحة الصيغة 11 "من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) + x ^ (2)) = \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C ، \ ، \ ، C = const . \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ left (\ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C \ right) "= \ frac (1) (a) \ cdot \ frac (1) (1+ \ left ( \ frac (x) (a) \ right) ^ (2)) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a ^ (2)) \ cdot \ frac (a ^ (2)) (أ ^ (2) + س ^ (2)) \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 4

تحقق من صحة الصيغة 12 من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) -x ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C، \، \، C = const. \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C $.

$ \ left (\ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C \ right) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac ( 1) (\ frac (a + x) (a-x)) \ cdot \ left (\ frac (a + x) (a-x) \ right) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (a-x) ( a + x) \ cdot \ frac (a-x + a + x) ((a-x) ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (a-x) (a + x) \ cdot \ frac (2a) ((a-x) ^ (2)) = \ frac (1) (a ^ (2) -x ^ (2)) $ المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 5

تحقق من صحة الصيغة 13 "من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C ، \ ، \ ، C = const. \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ left (\ arcsin \ frac (x) (a) + C \ right) "= \ frac (1) (\ sqrt (1- \ left (\ frac (x) (a) \ right) ^ (2 ))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (a) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac ( 1) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 6

تحقق من صحة الصيغة 14 من جدول التكاملات:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C، \، \، C = const. \]

ميّز الجانب الأيمن: $ \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C $.

\ [\ يسار (\ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C \ right) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm أ ^ (2))) \ cdot \ يسار (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) \ right) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ م a ^ (2))) \ cdot \ يسار (1+ \ frac (1) (2 \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot 2x \ right) = \] \ [ = \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ frac (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) + x) ( \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \]

تبين أن المشتق يساوي التكامل. لذلك ، فإن الصيغة صحيحة.

مثال 7

أوجد التكامل:

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx. \]

دعنا نستخدم نظرية مجموع التكامل:

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx = \ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx. \]

لنستخدم النظرية في إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx = \ int \ cos (3x + 2) dx +5 \ int xdx. \]

حسب جدول التكاملات:

\ [\ int \ cos x dx = \ sin x + C ؛ \] \ [\ int xdx = \ frac (x ^ (2)) (2) + C. \]

عند حساب التكامل الأول ، نستخدم القاعدة 3:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1). \]

لذلك،

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1) + \ frac (5x ^ (2) ) (2) + C_ (2) = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + \ frac (5x ^ (2)) (2) + C ، \ ، \ ، C = C_ (1 ) + C_ (2) \]