الدروس 32-33. يعكس الدوال المثلثية

09.07.2015 6432 0

هدف: النظر في الدوال المثلثية العكسية ، واستخدامها لكتابة الحلول المعادلات المثلثية.

I. توصيل الموضوع وأهداف الدروس

ثانيًا. تعلم مواد جديدة

1. الدوال المثلثية العكسية

لنبدأ هذا الموضوع بالمثال التالي.

مثال 1

لنحل المعادلة:أ) الخطيئة س = 1/2 ؛ ب) الخطيئة س \ u003d أ.

أ) على المحور الإحداثي ، ضع القيمة 1/2 ورسم الزوايا جانباً× 1 و x2 ، لذلكالخطيئة x = 1/2. في هذه الحالة ، x1 + x2 = ، ومن أين x2 = π -× 1 . وفقًا لجدول قيم الدوال المثلثية ، نجد القيمة x1 = π / 6 ، إذننأخذ في الاعتبار دورية دالة الجيب ونكتب الحلول معادلة معينة: أين ك ∈ Z.

ب) من الواضح أن الخوارزمية لحل المعادلةالخطيئة س = أ هو نفسه كما في الفقرة السابقة. بالطبع ، يتم الآن رسم قيمة a على طول المحور y. هناك حاجة إلى تحديد الزاوية x1 بطريقة أو بأخرى. اتفقنا على الإشارة إلى هذه الزاوية بالرمزقوس الخطيئة أ. ثم يمكن كتابة حلول هذه المعادلة كـيمكن دمج هاتين الصيغتين في صيغة واحدة:حيث

يتم تقديم الدوال المثلثية العكسية الأخرى بالمثل.

في كثير من الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة الزاوية من القيمة المعروفة لوظيفتها المثلثية. هذه المشكلة متعددة القيم - هناك عدد لا حصر له من الزوايا التي تكون وظائفها المثلثية مساوية لنفس القيمة. لذلك ، بناءً على رتابة الدوال المثلثية ، يتم تقديم الدوال المثلثية العكسية التالية لتحديد الزوايا بشكل فريد.

قوس قوس من (arcsin ، الذي يساوي جيبه a ، أي

قوس جيب التمام لعددأ (arccos أ) - هذه الزاوية أ من الفاصل ، وجيب التمام يساوي أ ، أي

ظل القوس لرقمأ (arctg أ) - هذه الزاوية من الفاصل الزمنيالذي هو الظل ، أيtg a = أ.

ظل القوس لرقمأ (arctg أ) - هذه الزاوية أ من الفاصل الزمني (0 ؛ π) ، التي يكون ظلها يساوي a ، أي ctg أ = أ.

مثال 2

لنجد:

بالنظر إلى تعريفات الدوال المثلثية العكسية ، نحصل على:

مثال 3

إحصاء - عد

دع الزاوية a = arcsin 3/5 ثم بالتعريفالخطيئة أ = 3/5 و . لذلك ، نحن بحاجة إلى إيجادكوس أ. باستخدام المتطابقة المثلثية الأساسية ، نحصل على:يؤخذ في الاعتبار أن cos a ≥ 0. إذن ،

خصائص الوظيفة	وظيفة
	ص = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
اِختِصاص	س ∈ [-1 ؛ واحد]	س ∈ [-1 ؛ واحد]	س ∈ (-؛ + ∞)	س ∈ (-+ ∞)
مدى من القيم	ص ∈ [-/ 2 ؛ π / 2]	ذ ∈	ص ∈ (-/ 2 ؛ / 2)	ص ∈ (0 ؛ π)
التكافؤ	غريب	لا زوجي ولا فردي	غريب	لا زوجي ولا فردي
أصفار الوظيفة (ص = 0)	عندما س = 0	بالنسبة إلى x = 1	عندما س = 0	ذ ≠ 0
فترات الثبات	y> 0 لـ x (0 ؛ 1] ، في< 0 при х ∈ [-1; 0)	y> 0 لـ x ∈ [-1 ؛ واحد)	y> 0 لـ x ∈ (0 ؛ + ∞) ، في< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y> 0 لـ x (-؛ + ∞)
روتيني	في ازدياد	النقصان	في ازدياد	النقصان
العلاقة بالدالة المثلثية	الخطيئة ص \ u003d س	كوس ص = س	tg y = x	ctg y = x
جدول

دعونا نقدم عددًا من الأمثلة النموذجية المتعلقة بالتعاريف والخصائص الأساسية للوظائف المثلثية العكسية.

مثال 4

أوجد مجال الوظيفة

من أجل تعريف الدالة y ، من الضروري أن تكون المتباينةوهو ما يعادل نظام عدم المساواةحل المتراجحة الأولى هو المجال x∈ (-∞ ؛ + ∞) ، الثاني -هذه الفجوة وهو حل لنظام عدم المساواة ، ومن ثم مجال الوظيفة

مثال 5

أوجد منطقة تغيير الوظيفة

ضع في اعتبارك سلوك الوظيفةض = 2x - x2 (انظر الشكل).

يمكن ملاحظة أن z ∈ (-∞؛ 1]. بالنظر إلى أن الحجةض تختلف وظيفة الظل العكسي ضمن الحدود المحددة ، من البيانات الموجودة في الجدول نحصل عليهاوبالتالي ، مجال التغيير

مثال 6

دعونا نثبت أن الدالة y = arctg x غريب. اسمحوا انثم tg a \ u003d -x أو x \ u003d - tg a \ u003d tg (- a) ، و لذلك ، - a \ u003d arctg x أو a \ u003d - arctg X. وهكذا نرى ذلكعلى سبيل المثال ، y (x) دالة فردية.

مثال 7

نعبر عن جميع الدوال المثلثية العكسية

اسمحوا ان من الواضح أن ثم منذ ذلك الحين

دعونا نقدم زاوية مثل من ثم

وبالمثل ، لذلك و

لذا،

المثال 8

لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة y \ u003dكوس (arcsin x).

دلالة a \ u003d arcsin x ، إذن نأخذ في الاعتبار أن x \ u003d sin a و y \ u003d cos a ، أي x 2 + y2 = 1 ، والقيود المفروضة على x (x∈ [-واحد؛ 1]) و y (y ≥ 0). ثم الرسم البياني للدالة y =كوس (قوسين س) نصف دائرة.

المثال 9

لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة y \ u003d arccos (كوسكس).

منذ دالة cos التغييرات س على المقطع [-1 ؛ 1] ، ثم يتم تعريف الدالة y على المحور الحقيقي بأكمله وتتغير في الفترة. سوف نضع في اعتبارنا أن y = arccos (كوسكس) \ u003d س على المقطع ؛ الدالة y زوجية ودورية بفترة 2π. بالنظر إلى أن الوظيفة لها هذه الخصائصكوس x ، الآن من السهل التخطيط.

نلاحظ بعض المساواة المفيدة:

المثال 10

العثور على أصغر و أعظم قيمةالمهامدل من ثم احصل على وظيفة هذه الوظيفة لها حد أدنى عند هذه النقطة z = π / 4 وهي تساوي يتم الوصول إلى الحد الأقصى لقيمة الوظيفة عند هذه النقطةض =-/ 2 ، وهي تساوي وهكذا و

المثال 11

لنحل المعادلة

نحن نأخذ ذلك في الاعتبار ثم تبدو المعادلة كما يلي:أو أين من خلال تعريف قوس الظل ، نحصل على:

2. حل أبسط المعادلات المثلثية

على غرار المثال 1 ، يمكنك الحصول على حلول لأبسط المعادلات المثلثية.

المعادلة	قرار
tgx = أ
ctg x = أ

المثال 12

لنحل المعادلة

نظرًا لأن دالة الجيب فردية ، نكتب المعادلة بالصيغةحلول هذه المعادلة:أين نجد

المثال 13

لنحل المعادلة

وفقًا للصيغة أعلاه ، نكتب حلول المعادلة:ويجد

لاحظ أنه في حالات معينة (أ = 0 ؛ ± 1) عند حل المعادلاتالخطيئة س = أ وجيب التمام س \ u003d ولكن من الأسهل والأكثر ملاءمة عدم استخدام الصيغ العامة ، ولكن كتابة الحلول بناءً على دائرة الوحدة:

للمعادلة sin x = 1 الحل

للمعادلة sin x \ u003d 0 حلول x \ u003d π k ؛

للمعادلة sin x = -1 حلول

للمعادلة cos س = 1 حل س = 2πك؛

للمعادلة cos x = 0 الحل

لحل المعادلة cos x = -1

المثال 14

لنحل المعادلة

منذ في هذا المثال هناك حالة خاصةالمعادلات ، ثم وفقًا للصيغة المقابلة نكتب الحل:أين نجد

ثالثا. أسئلة التحكم (المسح الأمامي)

1. تعريف وسرد الخصائص الرئيسية للدوال المثلثية العكسية.

2. أعط رسومات بيانية للوظائف المثلثية العكسية.

3. حل أبسط المعادلات المثلثية.

رابعا. التنازل في الدروس

§ 15 ، رقم 3 (أ ، ب) ؛ 4 (ج ، د) ؛ 7 (أ) ؛ 8 (أ) ؛ 12 (ب) ؛ 13 (أ) ؛ 15 (ج) ؛ 16 (أ) ؛ 18 (أ ، ب) ؛ 19 (ج) ؛ 21 ؛

§ 16 ، رقم 4 (أ ، ب) ؛ 7 (أ) ؛ 8 (ب) ؛ 16 (أ ، ب) ؛ 18 (أ) ؛ 19 (ج ، د) ؛

§ 17 ، رقم 3 (أ ، ب) ؛ 4 (ج ، د) ؛ 5 (أ ، ب) ؛ 7 (ج ، د) ؛ 9 (ب) ؛ 10 (أ ، ج).

V. الواجب المنزلي

§ 15 ، رقم 3 (ج ، د) ؛ 4 (أ ، ب) ؛ 7 (ج) ؛ 8 (ب) ؛ 12 (أ) ؛ 13 (ب) ؛ 15 (د) ؛ 16 (ب) ؛ 18 (ج ، د) ؛ 19 (د) ؛ 22 ؛

§ 16 ، رقم 4 (ج ، د) ؛ 7 (ب) ؛ 8 (أ) ؛ 16 (ج ، د) ؛ 18 (ب) ؛ 19 (أ ، ب) ؛

§ 17 ، رقم 3 (ج ، د) ؛ 4 (أ ، ب) ؛ 5 (ج ، د) ؛ 7 (أ ، ب) ؛ 9 (د) ؛ 10 (ب ، د).

السادس. المهام الإبداعية

1. ابحث عن نطاق الوظيفة:

الإجابات:

2. ابحث عن نطاق الوظيفة:

الإجابات:

3. رسم الوظيفة:

سابعا. تلخيص الدروس

التحضير لامتحان الرياضيات

تجربة - قام بتجارب

الدرس 9 الدوال المثلثية العكسية.

ممارسة

ملخص الدرس

بشكل أساسي ، ستكون القدرة على العمل مع دوال القوس مفيدة لنا عند حل المعادلات المثلثية وعدم المساواة.

المهام التي سننظر فيها الآن مقسمة إلى نوعين: حساب قيم الدوال المثلثية العكسية وتحويلها باستخدام الخصائص الأساسية.

حساب قيم دوال القوس

لنبدأ بحساب قيم وظائف القوس.

مهمة 1. احسب.

كما ترى ، جميع وسيطات دوال القوس موجبة وجدولية ، مما يعني أنه يمكننا استعادة قيمة الزوايا من الجزء الأول من جدول قيم الدوال المثلثية للزوايا من إلى. يتم تضمين هذا النطاق من الزوايا في نطاق قيم كل دالة من وظائف القوس ، لذلك نستخدم الجدول ببساطة ، ونجد قيمة الدالة المثلثية فيه ونستعيد الزاوية التي يتوافق معها.

أ)

ب)

في)

ز)

إجابه. .

المهمة رقم 2. احسب

.

في هذا المثال ، نرى بالفعل الحجج السلبية. خطأ عامفي هذه الحالة ، يكون الأمر مجرد إزالة علامة الطرح من تحت الوظيفة وتقليل المهمة ببساطة إلى المهمة السابقة. ومع ذلك ، قد لا يكون هذا ممكنًا في جميع الحالات. لنتذكر كيف حددنا في الجزء النظري من الدرس التكافؤ بين جميع وظائف القوس. الفرديون هم القوسين والظل القوسي ، أي يتم إخراج الطرح منهم ، أما قوس القوس والظل القوسي فهما وظائف نظرة عامةلتبسيط السالب في الوسيطة ، لديهم صيغ خاصة. بعد الحساب ، لتجنب الأخطاء ، نتحقق من تضمين النتيجة في نطاق القيم.

عندما يتم تبسيط وسيطات الدالة إلى صورة موجبة ، نكتب قيم الزاوية المقابلة من الجدول.

قد يطرح السؤال ، لماذا لا تكتب قيمة الزاوية المقابلة ، على سبيل المثال ، مباشرة من الجدول؟ أولاً ، لأن تذكر الجدول السابق أصعب من ذي قبل ، وثانيًا ، لأنه لا توجد قيم جيب سالبة فيه ، و القيم السالبةالظل سيعطي زاوية خاطئة وفقًا للجدول. من الأفضل أن يكون لديك نهج حل واحد يناسب الجميع بدلاً من الخلط بينه وبين العديد من الأساليب المختلفة.

المهمة رقم 3. احسب.

أ) الخطأ النموذجي في هذه الحالة هو البدء في إخراج سالب وتبسيط شيء ما. أول شيء يجب ملاحظته هو أن حجة القوسين خارج النطاق

لذلك ، لا يهم هذا الإدخال ، ولا يمكن حساب القوس.

ب) الخطأ القياسي في هذه الحالة هو أنهم يخلطون بين قيم الوسيطة والوظيفة ويعطون الإجابة. هذا ليس صحيحا! بالطبع ، تبرز الفكرة أن القيمة في الجدول تتوافق مع جيب التمام ، ولكن في هذه الحالة يتم الخلط بين أن وظائف القوس لا تُحسب من الزوايا ، ولكن من قيم الدوال المثلثية. هذا ليس .

بالإضافة إلى ذلك ، نظرًا لأننا اكتشفنا بالضبط حجة جيب التمام القوسي ، فمن الضروري التحقق من تضمينها في مجال التعريف. للقيام بذلك ، تذكر ذلك ، أي ، مما يعني أن جيب التمام القوسي لا معنى له ولا يمكن حسابه.

بالمناسبة ، على سبيل المثال ، يكون التعبير منطقيًا ، ولكن نظرًا لأن قيمة جيب التمام التي تساوي ليست جدولية ، فمن المستحيل حساب جيب التمام باستخدام الجدول.

إجابه. التعبيرات لا معنى لها.

في هذا المثال ، لا نعتبر قوس ظل التمام وظل التمام القوسي ، نظرًا لأنه ليس لهما نطاق محدود وستكون قيم الوظائف لأي وسيطات.

المهمة رقم 4. احسب .

في الواقع ، تم تقليل المهمة إلى المهمة الأولى ، نحتاج فقط إلى حساب قيم الوظيفتين بشكل منفصل ، ثم استبدالهما في التعبير الأصلي.

إن وسيطة قوس الظل هي جدولة والنتيجة في النطاق.

حجة arccosine ليست جدوليّة ، لكن هذا لا ينبغي أن يخيفنا ، لأنه مهما كان قوس القوسين يساوي ، فإن قيمته عند ضربه في صفر ستؤدي إلى صفر. تبقى ملاحظة مهمة واحدة: من الضروري التحقق مما إذا كانت حجة arccosine تنتمي إلى مجال التعريف ، لأنه إذا لم تكن كذلك ، فلن يكون التعبير بأكمله منطقيًا ، بغض النظر عن حقيقة أنه يحتوي على الضرب في الصفر. لكن يمكننا القول إن ذلك منطقي ونحصل على صفر في الإجابة.

دعنا نعطي مثالًا آخر حيث من الضروري أن تكون قادرًا على حساب دالة قوس واحدة ، مع معرفة قيمة أخرى.

المهمة رقم 5. احسب إذا كان من المعروف أن.

قد يبدو أنه من الضروري أولاً حساب قيمة x من المعادلة المشار إليها ، ثم استبدالها في التعبير المطلوب ، أي في قوس ظل التمام ، لكن هذا ليس ضروريًا.

دعنا نتذكر الصيغة التي ترتبط بها هذه الوظائف:

وسنعبر عنه بما نحتاجه:

للتأكد ، يمكنك التحقق من أن النتيجة تقع في نطاق ظل التمام القوسي.

تحولات وظائف القوس باستخدام خصائصها الأساسية

الآن دعنا ننتقل إلى سلسلة من المهام التي سيتعين علينا فيها استخدام تحويلات وظائف القوس باستخدام خصائصها الأساسية.

المهمة رقم 6. احسب .

بالنسبة للحل ، سنستخدم الخصائص الرئيسية لوظائف القوس المشار إليها ، وفقط بالضرورة نتحقق من القيود المقابلة لها.

أ)

ب) .

إجابه. أ) ؛ ب) .

المهمة رقم 7. احسب.

الخطأ المعتاد في هذه الحالة هو كتابة 4. في الإجابة على الفور.كما أشرنا في المثال السابق ، من أجل استخدام الخصائص الرئيسية لوظائف القوس ، من الضروري التحقق من القيود المقابلة على حجتهم. نحن نتعامل مع عقار:

في

لكن . الشيء الرئيسي في هذه المرحلة من القرار هو عدم التفكير في أن التعبير المحدد لا معنى له ولا يمكن حسابه. بعد كل شيء ، الرباعي ، وهو حجة الظل ، يمكننا تقليله بطرح فترة الظل ، وهذا لن يؤثر على قيمة التعبير. بعد القيام بمثل هذه الإجراءات ، ستكون لدينا فرصة لتقليل الحجة بحيث تدخل النطاق المحدد.

منذ ذلك الحين ، لان .

المهمة رقم 8. احسب.

في هذا المثال ، نتعامل مع تعبير مشابه للخاصية الرئيسية للأركسين ، ولكنه يحتوي فقط على وظائف مشتركة. يجب إحضارها إلى شكل جيب القوس أو جيب تمام القوس. نظرًا لأنه من الأسهل تحويل الدوال المثلثية المباشرة عن الدوال المعكوسة ، فلننتقل من الجيب إلى جيب التمام باستخدام صيغة "الوحدة المثلثية".

كما نعلم بالفعل:

في حالتنا ، في الدور. للراحة ، نحسب أولاً .

قبل التعويض به في الصيغة ، نجد علامته ، أي علامة الجيب الأصلي. يجب أن نحسب الجيب من قيمة جيب التمام القوسي ، مهما كانت هذه القيمة ، نعلم أنها تقع في النطاق. يتوافق هذا النطاق مع زوايا الربعين الأول والثاني ، حيث يكون الجيب موجبًا (تحقق من ذلك بنفسك باستخدام الدائرة المثلثية).

اليوم درس عمليلقد درسنا حساب وتحويل التعبيرات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية

إصلاح المواد بمساعدة أجهزة المحاكاة

آلة 1 آلة 2 آلة 3 آلة 4 آلة 5

تم الانتهاء من أعمال التخرج في موضوع "الدوال المثلثية العكسية. المسائل التي تحتوي على الدوال المثلثية العكسية" في الدورات التدريبية المتقدمة.

يحتوي على مادة نظرية موجزة وأمثلة تم تحليلها ومهام لحل مستقل في كل قسم.

العمل موجه لطلاب المدارس الثانوية والمعلمين.

تحميل:

معاينة:

العمل التخرج

عنوان:

«الدوال المثلثية العكسية.

المشكلات التي تحتوي على الدوال المثلثية العكسية »

إجراء:

مدرس رياضيات

مدرسة ثانوية MOU №5 ، ليرمونتوف

جورباتشينكو ف.

بياتيغورسك 2011

الدوال المثلثية العكسية.

المشكلات التي تحتوي على الدوال المثلثية العكسية

1. معلومات نظرية موجزة

1.1 حلول أبسط المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

الجدول 1.

المعادلة	قرار

1.2 حل أبسط المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية معكوسة

الجدول 2.

عدم المساواة	قرار

1.3 بعض المتطابقات للدوال المثلثية العكسية

من تعريف الدوال المثلثية العكسية ، تتبع الهويات

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

بالإضافة إلى الهويات

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

المتطابقات المتعلقة بالدوال المثلثية المعكوسة المسماة بشكل معاكس

(9)

(10)

2. المعادلات التي تحتوي على الدوال المثلثية المعكوسة

2.1. معادلات النموذجإلخ.

مثل هذه المعادلات تقلل إلى المعادلات المنطقيةالاستبدال.

مثال.

قرار.

إستبدال ( ) يقلل المعادلة إلى تربيعية ، جذورها.

الجذر 3 لا يفي بالشرط.

ثم نحصل على التعويض العكسي

إجابه .

مهام.

2.2. معادلات النموذج، أين - وظيفة عقلانية.

لحل المعادلات من هذا النوع ، من الضروري ضبطها، حل معادلة أبسط صورةوالقيام بالتبديل الخلفي.

مثال.

قرار .

اسمحوا ان . ثم

إجابه . .

مهام .

2.3 معادلات تحتوي إما على دالات قوس مختلفة أو دوال قوسية لوسائط مختلفة.

إذا تضمنت المعادلة عبارات تحتوي على وظائف قوس مختلفة ، أو إذا كانت دوال القوس تعتمد على وسيطات مختلفة ، فإن اختزال هذه المعادلات إلى نتيجتها الجبرية يتم عادةً عن طريق حساب بعض الدوال المثلثية من كلا الجزأين من المعادلة. يتم فصل الجذور الدخيلة الناتجة عن طريق الفحص. إذا تم اختيار الظل أو ظل التمام كوظيفة مباشرة ، فقد تضيع الحلول المضمنة في مجال تعريف هذه الوظائف. لذلك ، قبل حساب قيمة الظل أو ظل التمام من كلا الجزأين من المعادلة ، يجب عليك التأكد من أنه من بين النقاط التي لم يتم تضمينها في مجال تعريف هذه الوظائف ، لا توجد جذور للمعادلة الأصلية.

مثال.

قرار .

إعادة الجدولة إلى الجانب الأيمن وحساب قيمة الجيب لكلا طرفي المعادلة

نتيجة للتحولات ، حصلنا عليها

جذور هذه المعادلة

دعونا تحقق

عندما نمتلك

هكذا، هو جذر المعادلة.

أستعاض ، لاحظ أن الجانب الأيسر من العلاقة الناتجة موجب ، والجانب الأيمن سالب. هكذا،هو جذر خارجي للمعادلة.

إجابه. .

مهام.

2.4 المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية لوسيطة واحدة.

يمكن اختزال هذه المعادلات إلى أبسط المعادلات باستخدام المتطابقات الأساسية (1) - (10).

مثال.

قرار.

إجابه.

مهام.

3. عدم المساواة التي تحتوي على الدوال المثلثية المعكوسة

3.1 أبسط المتباينات.

يعتمد حل أبسط التفاوتات على تطبيق الصيغ الواردة في الجدول 2.

مثال.

قرار.

لان ، إذن حل المتباينة هو الفترة.

إجابه .

مهام.

3.2 عدم المساواة في الشكل, هي وظيفة منطقية.

عدم المساواة في الشكل, هي وظيفة عقلانية ، و- يتم حل إحدى الدوال المثلثية العكسية على مرحلتين - أولاً ، يتم حل عدم المساواة فيما يتعلق بالمجهول، ثم أبسط متباينة تحتوي على دالة مثلثية عكسية.

مثال.

قرار.

دعونا بعد ذلك

حلول عدم المساواة

بالعودة إلى المجهول الأصلي ، نجد أن المتباينة الأصلية تقلص إلى اثنين بسيط

بدمج هذه الحلول ، نحصل على حلول للمتباينة الأصلية

إجابه .

مهام.

3.3 المتباينات التي تحتوي إما على عكس وظائف القوس أو وظائف القوس للحجج المختلفة.

يمكن حل المتباينات المتعلقة بقيم مختلف الدوال المثلثية العكسية أو قيم دالة مثلثية واحدة محسوبة من وسيطات مختلفة بشكل ملائم عن طريق حساب قيم بعض الدوال المثلثية من كلا جزأي المتباينات. يجب أن نتذكر أن المتباينة الناتجة ستعادل المتباينة الأصلية فقط إذا كانت مجموعة قيم الجزأين الأيمن والأيسر من المتباينة الأصلية تنتمي إلى نفس الفترة من رتابة هذه الدالة المثلثية.

مثال.

قرار.

مجموعة من القيم المسموح بها المدرجة في عدم المساواة:. في . لذلك ، فإن القيمليست حلولا لعدم المساواة.

في كل من الجانب الأيمن والجانب الأيسر من المتباينة لهما قيم ، ينتمون إلى الفجوة . لان ما بين أثنينوظيفة الجيب تتزايد بشكل رتيب ، ثم متىالمتباينة الأصلية تعادل

نحل المتباينة الأخيرة

عبور مع فجوة، نحصل على الحل

إجابه.

تعليق. يمكن حلها باستخدام

مهام.

3.4. عدم المساواة في الشكل، أين هي إحدى الدوال المثلثية العكسية ،هي دالة منطقية.

يتم حل هذه المتباينات باستخدام التعويضوالاختزال إلى أبسط تفاوت في الجدول 2.

مثال.

قرار.

دعونا بعد ذلك

لنقم بالتعويض العكسي ، نحصل على النظام

إجابه .

مهام.

الوكالة الفيدرالية للتعليم في الاتحاد الروسي

SEI HPE "جامعة ماري ستيت"

قسم الرياضيات و MPM

عمل الدورة

الدوال المثلثية العكسية

إجراء:

طالب علم

33 مجموعة في الصندوق القومي اليهودي

Yashmetova L. N.

مشرف:

دكتوراه. استاذ مساعد

بورودينا م.

يوشكار أولا

مقدمة ………………………………………………………………………………… ... 3

الفصل الأول: تعريف التوابع المثلثية العكسية.

1.1 وظيفة ص =قوس الخطيئة x……………………………………………………........4

1.2 وظيفة ص =arccos x…………………………………………………….......5

1.3 وظيفة ص =arctg x………………………………………………………….6

1.4 وظيفة ص =أركتج x…………………………………………………….......7

الباب الثاني. حل المعادلات ذات الدوال المثلثية العكسية.

العلاقات الأساسية للدوال المثلثية العكسية ... .8

حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية …………………………………………………………………………… .. 11

حساب قيم التوابع المثلثية العكسية .................... 21

الخلاصة ……………………………………………………………………………………… .25

قائمة الأدب المستعمل …………………………………………… ... 26

مقدمة

في العديد من المشكلات ، هناك حاجة للعثور ليس فقط على قيم الدوال المثلثية لزاوية معينة ، ولكن أيضًا ، على العكس ، زاوية أو قوس لـ مجموعة القيمةبعض الدوال المثلثية.

ترد مشاكل الدوال المثلثية العكسية في مهام الاستخدام (خاصة الكثير في الجزأين B و C). على سبيل المثال ، في الجزء B من اختبار الحالة الموحد ، كان مطلوبًا العثور على القيمة المقابلة للظل من خلال قيمة الجيب (جيب التمام) أو حساب قيمة التعبير الذي يحتوي على قيم جدولية للوظائف المثلثية العكسية. فيما يتعلق بهذا النوع من المهام ، نلاحظ أن مثل هذه المهام في الكتب المدرسية لا تكفي لتكوين مهارة قوية في تنفيذها.

الذي - التي. غاية ورقة مصطلحهو النظر في الدوال المثلثية العكسية وخصائصها ، ومعرفة كيفية حل المشكلات ذات الدوال المثلثية العكسية.

لتحقيق الهدف نحتاج إلى حل المهام التالية:

يستكشف اساس نظرىالدوال المثلثية العكسية

إظهار تطبيق المعرفة النظرية عمليا.

الفصلأنا. تعريف الدوال المثلثية العكسية

1.1 الوظيفة y =قوس الخطيئةx

ضع في اعتبارك الوظيفة
. (1)

في هذه الفترة ، تكون الوظيفة رتيبة (تزداد من -1 إلى 1) ، لذلك توجد دالة عكسية

,
. (2)

لكل قيمة في(قيمة الجيب) من الفاصل الزمني [-1،1] يتوافق مع قيمة واحدة محددة جيدًا X(قيمة القوس) من الامتداد
. بالمرور إلى الترميز المقبول عمومًا ، نحصل عليه

أين
. (3)

هذه هي المواصفات التحليلية للدالة المعكوسة للدالة (1). الوظيفة (3) تسمى قوسجدال . الرسم البياني لهذه الوظيفة هو منحنى متماثل مع الرسم البياني للوظيفة ، حيث ، فيما يتعلق بمنصف زاويتين الإحداثيتين I و III.

دعونا نقدم خصائص الوظيفة ، أين.

خاصية 1.مجال تغيير قيم الوظيفة:.

خاصية 2.الوظيفة فردية ، أي

الملكية 3.الدالة أين لها جذر واحد
.

الملكية 4.اذا ثم
؛ لو ، من ثم.

الملكية 5.الوظيفة رتيبة: كلما زادت الوسيطة من -1 إلى 1 ، تزداد قيمة الدالة من
قبل
.

1.2 وظيفةذ = أرمعكوسx

ضع في اعتبارك الوظيفة
, . (4)

في هذه الفترة ، تكون الوظيفة رتيبة (تنخفض من +1 إلى -1) ، مما يعني وجود دالة عكسية لها

, , (5)

هؤلاء. كل قيمة (قيمة جيب التمام) من الفاصل الزمني [-1،1] يتوافق مع قيمة واحدة محددة جيدًا (قيمة القوس) من الفاصل الزمني. بالمرور إلى الترميز المقبول عمومًا ، نحصل عليه

, . (6)

هذه هي المواصفات التحليلية للدالة المعكوسة للدالة (4). الوظيفة (6) تسمى جيب التمام القوسيجدال X. يمكن بناء الرسم البياني لهذه الوظيفة على أساس خصائص الرسوم البيانية للوظائف العكسية المتبادلة.

الوظيفة ، حيث ، لها الخصائص التالية.

خاصية 1.مجال تغيير قيم الوظيفة:
.

خاصية 2.كميات
و
المرتبطة بالنسبه

الملكية 3.الوظيفة لها جذر واحد
.

الملكية 4.لا تقبل الدالة القيم السالبة.

الملكية 5.الوظيفة رتيبة: كلما زادت الوسيطة من -1 إلى +1 ، تنخفض قيم الوظيفة من 0.

1.3 وظيفةذ = arctgx

ضع في اعتبارك الوظيفة
,
. (7)

لاحظ أن هذه الوظيفة محددة لجميع القيم الموجودة بدقة داخل الفاصل الزمني من إلى ؛ لم يكن موجودًا في نهايات هذه الفترة الزمنية ، منذ القيم

- نقاط توقف الظل.

في هذه الأثناء
الوظيفة رتيبة (تزداد من -
قبل
) ، لذلك بالنسبة للدالة (1) توجد دالة عكسية:

,
, (8)

هؤلاء. لكل قيمة معطاة (قيمة الظل) من الفاصل الزمني
يتوافق مع قيمة واحدة محددة جيدًا (مقدار القوس) من الفاصل الزمني.

بالمرور إلى الترميز المقبول عمومًا ، نحصل عليه

,
. (9)

هذه هي المواصفات التحليلية للدالة المعكوسة لـ (7). الوظيفة (9) تسمى ظل القوسجدال X. لاحظ أن متى
قيمة الوظيفة
، وعندما

، بمعنى آخر. يحتوي الرسم البياني للوظيفة على خطين مقاربين:
و.

الوظيفة ، لها الخصائص التالية.

خاصية 1.نطاق قيم الدالة
.

خاصية 2.الوظيفة فردية ، أي .

الملكية 3.الوظيفة لها جذر واحد.

الملكية 4.اذا كان
، من ثم

؛ لو ، من ثم
.

الملكية 5.الوظيفة رتيبة: كلما زادت الوسيطة من إلى ، زادت قيم الدالة من إلى +.

1.4 وظيفةذ = أركتجكس

ضع في اعتبارك الوظيفة
,
. (10)

يتم تحديد هذه الوظيفة لجميع القيم الموجودة داخل الفاصل الزمني من 0 إلى ؛ لا يوجد في نهايات هذا الفاصل الزمني ، لأن قيم و نقاط انقطاع ظل التمام. في الفترة الزمنية (0 ،) تكون الوظيفة رتيبة (تنخفض من إلى) ، لذلك بالنسبة للدالة (1) توجد دالة عكسية

, (11)

هؤلاء. لكل قيمة معطاة (قيمة ظل التمام) من الفاصل الزمني (
) يتوافق مع قيمة واحدة محددة جيدًا (مقدار القوس) من الفاصل الزمني (0 ،). بالانتقال إلى الترميز المقبول بشكل عام ، فإننا نتواصل من خلال العلاقة. ملخص >> الرياضيات بالمثلثات المهام. ل يعكس حساب المثاثات المهاميشار إليها عادة باسم ستة المهام: قوس قزح ...

جدلية تطور المفهوم المهامفي الرياضيات المدرسية

أطروحة >> علم أصول التدريس

... . يعكس حساب المثاثات المهام. الهدف الرئيسي هو دراسة الخصائص حساب المثاثات المهام، تعليم الطلاب لبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم. أولاً حساب المثاثات وظيفة ...

كيف نشأ المفهوم وتطور؟ المهام

الملخص >> الرياضيات

كيف تشمل هذه المعادلة يعكس حساب المثاثات وظيفة، الدويري ليس جبريًا ... وكذلك الترميز حساب المثاثات) يعكس حساب المثاثات، أسي ولوغاريتمي المهام. مثل المهامتسمى الابتدائية. هكذا...