Wie Sie wissen, liebt die Mathematik Genauigkeit und Kürze – nicht ohne Grund kann eine einzelne Formel in verbaler Form einen Absatz und manchmal eine ganze Textseite einnehmen. So sollen die weltweit in der Wissenschaft eingesetzten grafischen Elemente die Schreibgeschwindigkeit und die Kompaktheit der Datendarstellung erhöhen. Darüber hinaus standardisiert grafische Bilder kann einen Muttersprachler jeder Sprache erkennen, der über Grundkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet verfügt.
Die Geschichte der mathematischen Zeichen und Symbole reicht viele Jahrhunderte zurück - einige von ihnen wurden zufällig erfunden und sollten andere Phänomene bezeichnen; andere sind das Produkt der Aktivitäten von Wissenschaftlern geworden, die gezielt eine künstliche Sprache bilden und sich ausschließlich von praktischen Überlegungen leiten lassen.
Plus und Minus
Die Entstehungsgeschichte von Symbolen, die Protozoen bezeichnen Rechenoperationen, ist nicht sicher bekannt. Es gibt jedoch eine ziemlich wahrscheinliche Hypothese über den Ursprung des Pluszeichens, das wie gekreuzte horizontale und vertikale Linien aussieht. Dementsprechend stammt das Zusatzzeichen aus der lateinischen Vereinigung et, die ins Russische mit „und“ übersetzt wird. Um den Schreibprozess zu beschleunigen, wurde das Wort nach und nach auf ein vertikal orientiertes Kreuz reduziert, das dem Buchstaben t ähnelte. Das früheste verlässliche Beispiel für eine solche Reduzierung stammt aus dem 14. Jahrhundert.
Das allgemein akzeptierte Minuszeichen erschien anscheinend später. Im 14. und sogar im 15. Jahrhundert wurden in der wissenschaftlichen Literatur eine Reihe von Symbolen verwendet, die die Operation der Subtraktion bezeichneten, und nur bis XVI Jahrhundert"Plus" und "Minus" in ihrer modernen Form tauchten in mathematischen Arbeiten zusammen auf.
Multiplikation und Division
Ironischerweise sind die mathematischen Zeichen und Symbole für diese beiden Rechenoperationen heute nicht vollständig standardisiert. Eine beliebte Notation für die Multiplikation ist das vom Mathematiker Oughtred im 17. Jahrhundert vorgeschlagene Diagonalkreuz, das beispielsweise auf Taschenrechnern zu sehen ist. Im Mathematikunterricht in der Schule wird die gleiche Operation meist als Punkt dargestellt – diese Methode wurde im selben Jahrhundert von Leibniz vorgeschlagen. Eine andere Darstellungsart ist das Sternchen, das am häufigsten in der Computerdarstellung verschiedener Berechnungen verwendet wird. Es wurde vorgeschlagen, alles im selben 17. Jahrhundert von Johann Rahn zu verwenden.
Für die Divisionsoperation sind ein Schrägstrich (vorgeschlagen von Ougtred) und eine horizontale Linie mit Punkten oben und unten (das Symbol wurde von Johann Rahn eingeführt) vorgesehen. Die erste Version der Bezeichnung ist beliebter, aber auch die zweite ist weit verbreitet.
Mathematische Zeichen und Symbole und ihre Bedeutung ändern sich manchmal im Laufe der Zeit. Alle drei Methoden zur grafischen Darstellung der Multiplikation sowie beide Methoden zur Division sind jedoch bis zu einem gewissen Grad konsistent und heute relevant.
Gleichheit, Identität, Gleichwertigkeit
Wie bei vielen anderen mathematischen Zeichen und Symbolen war die Notation für Gleichheit ursprünglich verbal. Die allgemein übliche Bezeichnung war lange Zeit die Abkürzung ae aus dem lateinischen aequalis („gleich“). Im 16. Jahrhundert schlug jedoch ein walisischer Mathematiker namens Robert Record zwei horizontale Linien untereinander als Symbol vor. Dem Wissenschaftler zufolge kann man sich nichts Gleicheres einfallen lassen als zwei parallele Segmente.
Trotz der Tatsache, dass ein ähnliches Zeichen verwendet wurde, um die Parallelität von Linien anzuzeigen, gewann das neue Gleichheitszeichen allmählich an Popularität. Übrigens sind Schilder wie "mehr" und "weniger" im Einsatz verschiedene Seiten Zecken erschienen nur im XVII-XVIII Jahrhundert. Heute erscheinen sie jedem Schüler intuitiv.
Etwas komplexere Äquivalenzzeichen (zwei Wellenlinien) und Identitäten (drei horizontale parallele Linien) wurden erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts verwendet.
Zeichen des Unbekannten - "X"
Die Entstehungsgeschichte mathematischer Zeichen und Symbole kennt auch sehr interessante Fälle des Umdenkens von Grafiken im Zuge der Entwicklung der Wissenschaft. Das Symbol für das Unbekannte, heute „x“ genannt, hat seinen Ursprung im Nahen Osten zu Beginn des letzten Jahrtausends.
Bereits im 10. Jahrhundert, in der arabischen Welt, berühmt für ihre Wissenschaftler in dieser historischen Periode, wurde der Begriff des Unbekannten durch ein Wort bezeichnet, das wörtlich übersetzt „etwas“ bedeutet und mit dem Klang „Sh“ beginnt. Um Material und Zeit zu sparen, begann man das Wort in den Abhandlungen auf den Anfangsbuchstaben zu reduzieren.
Viele Jahrzehnte später landeten die schriftlichen Werke arabischer Wissenschaftler in den Städten der Iberischen Halbinsel auf dem Territorium des modernen Spaniens. Wissenschaftliche Abhandlungen wurden in die Landessprache übersetzt, aber es trat eine Schwierigkeit auf - im Spanischen gibt es kein "Sh" -Phonem. Damit beginnende arabische Lehnwörter wurden nach einer Sonderregel geschrieben und erhielten den Buchstaben X vorangestellt. Wissenschaftliche Sprache Damals gab es Latein, in dem das entsprechende Zeichen „X“ heißt.
So hat das Zeichen, das auf den ersten Blick nur ein zufällig gewähltes Symbol ist, eine tiefe Geschichte und ist ursprünglich eine Abkürzung des arabischen Wortes für „etwas“.
Notation anderer Unbekannter
Im Gegensatz zu „X“ haben Y und Z, wie wir sie aus der Schule kennen, sowie a, b, c, eine viel prosaischere Entstehungsgeschichte.
Im 17. Jahrhundert wurde ein Buch von Descartes mit dem Titel „Geometrie“ veröffentlicht. In diesem Buch schlug der Autor vor, Symbole in Gleichungen zu standardisieren: Gemäß seiner Idee begannen die letzten drei Buchstaben des lateinischen Alphabets (beginnend mit "X"), unbekannte und die ersten drei - bekannte Werte zu bezeichnen.
Trigonometrische Begriffe
Die Geschichte eines Wortes wie "Sinus" ist wirklich ungewöhnlich.
Die entsprechenden trigonometrischen Funktionen wurden ursprünglich in Indien benannt. Das Wort, das dem Begriff Sinus entspricht, bedeutet wörtlich "Saite". In der Blütezeit der arabischen Wissenschaft wurden indische Abhandlungen übersetzt und das Konzept, das kein Analogon hatte, in Arabisch, transkribiert. Was in dem Brief passierte, ähnelte zufällig dem realen Wort "hollow", dessen Semantik nichts mit dem ursprünglichen Begriff zu tun hatte. Als Folge davon entstand bei der Übersetzung arabischer Texte ins Lateinische im 12. Jahrhundert das Wort „Sinus“, was „Depression“ bedeutet und als neuer mathematischer Begriff festgeschrieben wurde.
Aber die mathematischen Zeichen und Symbole für Tangens und Kotangens sind immer noch nicht standardisiert – in einigen Ländern werden sie normalerweise als tg und in anderen als tan geschrieben.
Einige andere Zeichen
Wie aus den oben beschriebenen Beispielen ersichtlich ist, fand die Entstehung mathematischer Zeichen und Symbole größtenteils im 16.-17. Jahrhundert statt. Zur gleichen Zeit entstanden die heute üblichen Aufzeichnungsformen wie Prozent, Quadratwurzel, Grad.
Ein Prozent, also ein Hundertstel, wird seit langem als cto (kurz für lateinisch cento) bezeichnet. Es wird angenommen, dass das heute allgemein akzeptierte Zeichen vor etwa vierhundert Jahren durch einen Druckfehler entstanden ist. Das resultierende Bild wurde als eine gute Möglichkeit zur Reduzierung wahrgenommen und hat Wurzeln geschlagen.
Das Wurzelzeichen war ursprünglich ein stilisierter Buchstabe R (kurz für das lateinische Wort radix, „Wurzel“). Die obere Zeile, unter der der Ausdruck heute geschrieben wird, diente als Klammer und war ein separates Zeichen, getrennt von der Wurzel. Klammern wurden später erfunden - sie gelangten dank der Aktivitäten von Leibniz (1646-1716) in weite Verbreitung. Dank seiner eigenen Arbeit wurde das integrale Symbol auch in die Wissenschaft eingeführt und sah aus wie ein länglicher Buchstabe S - eine Abkürzung für das Wort "Summe".
Schließlich wurde das Exponentiationszeichen von Descartes erfunden und in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von Newton verfeinert.
Spätere Bezeichnungen
Wenn man bedenkt, dass die bekannten grafischen Darstellungen von „Plus“ und „Minus“ erst vor wenigen Jahrhunderten in Umlauf gebracht wurden, ist es nicht verwunderlich, dass mathematische Zeichen und Symbole zur Bezeichnung komplexer Phänomene erst im vorletzten Jahrhundert verwendet wurden.
Die Fakultät, die die Form eines Ausrufezeichens nach einer Zahl oder einer Variablen hat, tauchte also nur in auf frühes XIX Jahrhundert. Ungefähr zur gleichen Zeit erschien das große „P“, um das Werk und das Symbol der Grenze zu bezeichnen.
Es ist etwas seltsam, dass die Zeichen für die Zahl Pi und algebraische Summe tauchten erst im 18. Jahrhundert auf - später als zum Beispiel das integrale Symbol, obwohl es intuitiv scheint, dass sie häufiger vorkommen. Die grafische Darstellung des Verhältnisses des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser leitet sich vom Anfangsbuchstaben der griechischen Wörter ab, die „Umfang“ und „Umfang“ bedeuten. Und das Zeichen "Sigma" für die algebraische Summe wurde von Euler im letzten Viertel des 18. Jahrhunderts vorgeschlagen.
Symbolnamen in verschiedenen Sprachen
Wie Sie wissen, war die Wissenschaftssprache in Europa viele Jahrhunderte lang Latein. Physikalische, medizinische und viele andere Begriffe wurden oft in Form von Transkriptionen entlehnt, viel seltener in Form von Pauspapier. So heißen viele mathematische Zeichen und Symbole im Englischen fast genauso wie im Russischen, Französischen oder Deutschen. Wie härtere Essenz Phänomene, desto wahrscheinlicher ist es, dass verschiedene Sprachen es wird den gleichen Namen haben.
Computernotation mathematischer Symbole
Die einfachsten mathematischen Zeichen und Symbole im Word werden durch die übliche Tastenkombination Shift + eine Zahl von 0 bis 9 im russischen oder englischen Layout angezeigt. Für einige weit verbreitete Zeichen sind separate Tasten reserviert: Plus, Minus, Gleichheit, Schrägstrich.
Wenn Sie grafische Darstellungen des Integrals, der algebraischen Summe oder des Produkts, der Pi-Zahl usw. verwenden möchten, müssen Sie in Word die Registerkarte "Einfügen" öffnen und eine der beiden Schaltflächen finden: "Formel" oder "Symbol". Im ersten Fall öffnet sich ein Konstruktor, mit dem Sie innerhalb eines Feldes eine ganze Formel erstellen können, und im zweiten Fall eine Symboltabelle, in der Sie beliebige mathematische Symbole finden können.
Wie man sich mathematische Symbole merkt
Im Gegensatz zu Chemie und Physik, wo die Anzahl der zu merkenden Symbole hundert Einheiten überschreiten kann, arbeitet die Mathematik mit einer relativ kleinen Anzahl von Symbolen. Die einfachsten davon lernen wir in der frühen Kindheit, das Addieren und Subtrahieren, und erst an der Universität in bestimmten Fachrichtungen lernen wir einige komplexe mathematische Zeichen und Symbole kennen. Bilder für Kinder helfen innerhalb weniger Wochen, das grafische Bild der erforderlichen Operation sofort zu erkennen. Es kann viel mehr Zeit erforderlich sein, um die Fähigkeit zur Durchführung dieser Operationen zu beherrschen und ihr Wesen zu verstehen.
Somit erfolgt der Prozess des Auswendiglernens von Zeichen automatisch und erfordert keinen großen Aufwand.
Abschließend
Der Wert mathematischer Zeichen und Symbole liegt darin, dass sie von Menschen, die verschiedene Sprachen sprechen und Träger verschiedener Kulturen sind, leicht verstanden werden können. Aus diesem Grund ist es äußerst nützlich, grafische Darstellungen verschiedener Phänomene und Vorgänge zu verstehen und reproduzieren zu können.
Der hohe Standardisierungsgrad dieser Zeichen bestimmt ihre Verwendung in verschiedenen Bereichen: im Bereich Finanzen, Informationstechnologie, Ingenieurwesen usw. Für alle, die Geschäfte mit Zahlen und Berechnungen machen möchten, Kenntnisse über mathematische Zeichen und Symbole und ihre Bedeutung wird zu einer lebenswichtigen Notwendigkeit.
Unendlichkeit.J. Wallis (1655).
Zum ersten Mal findet es sich in der Abhandlung des englischen Mathematikers John Valis „On Conic Sections“.
Base Natürliche Logarithmen. L.Euler (1736).
Mathematische Konstante, transzendente Zahl. Angegebene Nummer manchmal genannt Nicht-Perov zu Ehren der Schotten Wissenschaftler Napier, Autor der Arbeit "Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle" (1614). Zum ersten Mal ist die Konstante stillschweigend im Anhang der englischen Übersetzung des oben genannten Werks von Napier enthalten, die 1618 veröffentlicht wurde. Dieselbe Konstante wurde erstmals von dem Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli im Zuge der Lösung des Problems des Grenzwertes von Zinserträgen berechnet.
2,71828182845904523...
Die erste bekannte Verwendung dieser Konstante, wo sie mit dem Buchstaben bezeichnet wurde b, gefunden in Leibniz' Briefen an Huygens, 1690-1691. Buchstabe e fing 1727 an, Euler zu verwenden, und die erste Veröffentlichung mit diesem Brief war seine Mechanik, oder die Wissenschaft der Bewegung, Angegeben Analytisch, 1736. Bzw, e allgemein genannt Euler-Zahl. Warum wurde der Buchstabe gewählt? e, ist nicht genau bekannt. Vielleicht liegt das daran, dass das Wort damit beginnt exponentiell("exponentiell", "exponentiell"). Eine andere Annahme ist, dass die Buchstaben a, b, c und d bereits weit verbreitet für andere Zwecke, und e war der erste "kostenlose" Brief.
Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Mathematische Konstante, irrationale Zahl. Die Zahl "pi", der alte Name ist Ludolfs Zahl. Wie jede irrationale Zahl wird π durch einen unendlichen nicht periodischen Dezimalbruch dargestellt:
π=3.141592653589793...
Die Bezeichnung dieser Zahl mit dem griechischen Buchstaben π wurde erstmals von dem britischen Mathematiker William Jones in dem Buch A New Introduction to Mathematics verwendet und nach den Arbeiten von Leonhard Euler allgemein akzeptiert. Diese Bezeichnung kommt vom Anfangsbuchstaben der griechischen Wörter περιφερεια - Kreis, Umfang und περιμετρος - Umfang. Johann Heinrich Lambert bewies 1761 die Irrationalität von π und Adrien Marie Legendre bewies 1774 die Irrationalität von π 2 . Legendre und Euler nahmen an, dass π transzendent sein könnte, d.h. kann keine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllen, was schließlich 1882 von Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde.
imaginäre Einheit. L. Euler (1777, im Druck - 1794).
Es ist bekannt, dass die Gleichung x 2 \u003d 1 hat zwei Wurzeln: 1 und -1 . Die imaginäre Einheit ist eine der beiden Wurzeln der Gleichung x 2 \u003d -1, gekennzeichnet durch den lateinischen Buchstaben ich, eine andere Wurzel: -ich. Diese Bezeichnung wurde von Leonhard Euler vorgeschlagen, der dafür den Anfangsbuchstaben des lateinischen Wortes nahm Imaginär(imaginär). Er erweiterte auch alle Standardfunktionen auf den komplexen Bereich, d.h. in der Form darstellbare Zahlenmenge a+ib, wo a und b sind reelle Zahlen. Der Begriff „komplexe Zahl“ wurde 1831 vom deutschen Mathematiker Carl Gauß weit verbreitet, obwohl der Begriff zuvor 1803 vom französischen Mathematiker Lazar Carnot im gleichen Sinne verwendet worden war.
Einheitsvektoren. W.Hamilton (1853).
Einheitsvektoren werden häufig den Koordinatenachsen des Koordinatensystems (insbesondere den Achsen des kartesischen Koordinatensystems) zugeordnet. Entlang der Achse gerichteter Einheitsvektor X, bezeichnet ich, ein entlang der Achse gerichteter Einheitsvektor Y, bezeichnet j, und dem entlang der Achse gerichteten Einheitsvektor Z, bezeichnet k. Vektoren ich, j, k werden Orte genannt, sie haben Identitätsmodule. Der Begriff „ort“ wurde von dem englischen Mathematiker und Ingenieur Oliver Heaviside (1892) und der Notation eingeführt ich, j, k Der irische Mathematiker William Hamilton.
Der ganzzahlige Teil einer Zahl, antie. K. Gauß (1808).
Der ganzzahlige Teil der Zahl [x] der Zahl x ist die größte ganze Zahl, die x nicht überschreitet. Also =5, [-3,6]=-4. Die Funktion [x] wird auch "Antier von x" genannt. Das ganzzahlige Teilfunktionssymbol wurde 1808 von Carl Gauß eingeführt. Einige Mathematiker ziehen es vor, stattdessen die 1798 von Legendre vorgeschlagene Notation E(x) zu verwenden.
Winkel der Parallelität. N.I. Lobatschewski (1835).
Auf der Lobachevsky-Ebene - der Winkel zwischen der Liniebdurch den Punkt gehenÖparallel zu einer Geradena, ohne PunktÖ, und senkrecht vonÖ auf der a. α ist die Länge dieser Senkrechten. Wie der Punkt entfernt wirdÖ von gerade ader Parallelitätswinkel nimmt von 90° auf 0° ab. Lobatschewski gab eine Formel für den Winkel der Parallelität anP( α )=2arctg e - α /q , wo q ist eine Konstante, die mit der Krümmung des Lobatschewski-Raums zusammenhängt.
Unbekannte oder variable Mengen. R. Descartes (1637).
In der Mathematik ist eine Variable eine Größe, die durch die Menge von Werten gekennzeichnet ist, die sie annehmen kann. Dies kann sowohl eine reale physikalische Größe bedeuten, die vorübergehend isoliert von ihrem physikalischen Kontext betrachtet wird, als auch eine abstrakte Größe, die keine Analoga enthält echte Welt. Das Konzept einer Variablen entstand im 17. Jahrhundert. zunächst unter dem Einfluss naturwissenschaftlicher Forderungen, die das Studium von Bewegungen, Prozessen und nicht nur Zuständen in den Vordergrund rückten. Dieses Konzept erforderte neue Ausdrucksformen. Solche neuen Formen waren wörtliche Algebra und analytische Geometrie René Descartes. Das rechtwinklige Koordinatensystem und die Notation x, y wurden erstmals 1637 von René Descartes in seinem Werk „Discourse on the method“ eingeführt. Pierre Fermat trug auch zur Entwicklung der Koordinatenmethode bei, seine Arbeit wurde jedoch erst nach seinem Tod veröffentlicht. Descartes und Fermat verwendeten die Koordinatenmethode nur in der Ebene. koordinieren methode für den dreidimensionalen Raum wurde bereits im 18. Jahrhundert erstmals von Leonhard Euler verwendet.
Vektor. O. Koshi (1853).
Unter einem Vektor wird von vornherein ein Objekt verstanden, das einen Betrag, eine Richtung und (optional) einen Angriffspunkt hat. Mit dem geometrischen Modell tauchten die Anfänge der Vektorrechnung auf komplexe Zahlen in Gauß (1831). Fortgeschrittene Operationen an Vektoren wurden von Hamilton als Teil seines Quaternion-Kalküls veröffentlicht (die imaginären Komponenten eines Quaternions bildeten einen Vektor). Hamilton hat den Begriff geprägt Vektor(vom lateinischen Wort Vektor, Träger) und beschrieb einige Vektoranalyseoperationen. Dieser Formalismus wurde von Maxwell in seinen Arbeiten zum Elektromagnetismus verwendet, wodurch die Aufmerksamkeit der Wissenschaftler auf den neuen Kalkül gelenkt wurde. Gibbs' Elemente der Vektoranalyse (1880er Jahre) folgten bald, und dann gab Heaviside (1903) der Vektoranalyse ihr modernes Aussehen. Das Vektorzeichen selbst wurde 1853 vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy eingeführt.
Addition Subtraktion. J. Widman (1489).
Die Plus- und Minuszeichen wurden offenbar in der deutschen mathematischen Schule der „Kossisten“ (also Algebraiker) erfunden. Sie werden in Jan (Johannes) Widmanns Lehrbuch A Quick and Pleasant Count for All Merchants verwendet, das 1489 veröffentlicht wurde. Zuvor wurde die Addition durch den Buchstaben gekennzeichnet p(aus dem Lateinischen Plus"mehr") oder das lateinische Wort et(Konjunktion "und") und Subtraktion - per Buchstabe m(aus dem Lateinischen Minus-„weniger, weniger“). Bei Widman ersetzt das Pluszeichen nicht nur die Addition, sondern auch die Vereinigung „und“. Der Ursprung dieser Symbole ist unklar, aber höchstwahrscheinlich wurden sie früher im Handel als Zeichen für Gewinn und Verlust verwendet. Beide Symbole verbreiteten sich bald in Europa – mit Ausnahme Italiens, das etwa ein Jahrhundert lang die alten Bezeichnungen verwendete.
Multiplikation. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Das Multiplikationszeichen in Form eines schrägen Kreuzes wurde 1631 von dem Engländer William Outred eingeführt. Vor ihm der am häufigsten verwendete Buchstabe M, obwohl auch andere Bezeichnungen vorgeschlagen wurden: das Symbol eines Rechtecks (französischer Mathematiker Erigon, 1634), ein Sternchen (schweizerischer Mathematiker Johann Rahn, 1659). Später ersetzte Gottfried Wilhelm Leibniz das Kreuz durch einen Punkt (Ende 17. Jahrhundert), um nicht mit dem Buchstaben verwechselt zu werden x; Vor ihm wurde eine solche Symbolik von dem deutschen Astronomen und Mathematiker Regiomontanus (XV Jahrhundert) und dem englischen Wissenschaftler Thomas Harriot (1560 -1621) gefunden.
Aufteilung. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Outred verwendete den Schrägstrich / als Trennzeichen. Die Doppelpunktteilung begann Gottfried Leibniz zu bezeichnen. Vor ihnen wurde auch oft der Buchstabe verwendet D. Ausgehend von Fibonacci wird auch der horizontale Bruchstrich verwendet, der von Heron, Diophantus und in arabischen Schriften verwendet wurde. In England und den Vereinigten Staaten verbreitete sich das Symbol ÷ (Obelus), das 1659 von Johann Rahn (möglicherweise unter Beteiligung von John Pell) vorgeschlagen wurde. Ein Versuch des American National Committee on Mathematical Standards ( Nationales Komitee für mathematische Anforderungen), den Obelus aus der Praxis zu entfernen (1923), war nicht schlüssig.
Prozent. Herr de la Porte (1685).
Ein Hundertstel eines Ganzen, als Einheit genommen. Das Wort „Prozent“ selbst kommt vom lateinischen „pro centum“, was „hundert“ bedeutet. 1685 erschien in Paris das Buch Manual of Commercial Arithmetic von Mathieu de la Porte. An einer Stelle ging es um Prozentzahlen, was damals „cto“ (kurz für Cento) bedeutete. Der Schriftsetzer verwechselte dieses „cto“ jedoch mit einem Bruch und tippte „%“ ein. Aufgrund eines Tippfehlers kam dieses Zeichen zum Einsatz.
Grad. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Die moderne Notation für den Exponenten wurde von René Descartes in seinem „ Geometrien„(1637), jedoch nur für natürliche Abschlüsse mit Exponenten größer als 2. Später erweiterte Isaac Newton diese Form der Notation auf negative und gebrochene Exponenten (1676), deren Interpretation zu diesem Zeitpunkt bereits vorgeschlagen worden war: der flämische Mathematiker und Ingenieur Simon Stevin, der englische Mathematiker John Wallis u der französische Mathematiker Albert Girard.
arithmetische Wurzel n Potenz einer reellen Zahl a ≥0, - nicht negative Zahl n-ten Grades gleich ist a. Die Rechenwurzel 2. Grades heißt Quadratwurzel und kann ohne Gradangabe geschrieben werden: √. Die arithmetische Wurzel dritten Grades heißt Kubikwurzel. Mittelalterliche Mathematiker (zum Beispiel Cardano) bezeichneten die Quadratwurzel mit dem Symbol R x (aus dem Lateinischen Radix, Wurzel). Die moderne Bezeichnung wurde erstmals 1525 von dem deutschen Mathematiker Christoph Rudolf aus der kossistischen Schule verwendet. Dieses Symbol stammt aus dem stilisierten Anfangsbuchstaben desselben Wortes Wurzel. Die Linie über dem radikalen Ausdruck fehlte zunächst; es wurde später von Descartes (1637) für einen anderen Zweck (anstelle von Klammern) eingeführt, und dieses Merkmal verschmolz bald mit dem Zeichen der Wurzel. Die Kubikwurzel wurde im 16. Jahrhundert wie folgt bezeichnet: R x .u.cu (von lat. Radix universaliscubica). Albert Girard (1629) begann, die übliche Notation für die Wurzel eines beliebigen Grads zu verwenden. Dieses Format wurde dank Isaac Newton und Gottfried Leibniz etabliert.
Logarithmus, Dezimallogarithmus, natürlicher Logarithmus. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Der Begriff „Logarithmus“ gehört dem schottischen Mathematiker John Napier ( "Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentafel", 1614); es entstand aus einer Kombination der griechischen Wörter λογος (Wort, Relation) und αριθμος (Zahl). Der Logarithmus von J. Napier ist eine Hilfszahl zur Messung des Verhältnisses zweier Zahlen. Die moderne Definition des Logarithmus wurde erstmals von dem englischen Mathematiker William Gardiner (1742) gegeben. Per Definition der Logarithmus einer Zahl b aus grund a (a ≠ 1, a > 0) - Exponent m, auf die die Zahl erhöht werden sollte a(als Basis des Logarithmus bezeichnet) zu erhalten b. Bezeichnet Log ein b. So, m = log a b, Wenn ein m = b.
Die ersten Tabellen von Dezimallogarithmen wurden 1617 von Oxford-Mathematikprofessor Henry Briggs veröffentlicht. Also ins Ausland Dezimallogarithmen oft Briggs genannt. Der Begriff "natürlicher Logarithmus" wurde von Pietro Mengoli (1659) und Nicholas Mercator (1668) eingeführt, obwohl der Londoner Mathematiklehrer John Spidell bereits 1619 eine Tabelle natürlicher Logarithmen erstellte.
Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts gab es keine allgemein akzeptierte Schreibweise für den Logarithmus, die Basis a links und über dem Symbol angegeben Protokoll, dann drüber. Letztendlich kamen die Mathematiker zu dem Schluss, dass der bequemste Platz für die Basis unterhalb der Linie nach dem Symbol ist Protokoll. Das Vorzeichen des Logarithmus – das Ergebnis der Kürzung des Wortes „Logarithmus“ – tritt in verschiedenen Formen etwa gleichzeitig mit dem Erscheinen der ersten Logarithmentafeln auf Protokoll- I. Kepler (1624) und G. Briggs (1631), Protokoll- B. Cavalieri (1632). Bezeichnung ln für den natürlichen Logarithmus wurde von dem deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim (1893) eingeführt.
Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens. W. Outred (Mitte 17. Jahrhundert), I. Bernoulli (18. Jahrhundert), L. Euler (1748, 1753).
Die Kurzschreibweise für Sinus und Cosinus wurde von William Outred in eingeführt Mitte des siebzehnten Jahrhundert. Abkürzungen für Tangens und Kotangens: tg, ctg Im 18. Jahrhundert von Johann Bernoulli eingeführt, verbreiteten sie sich in Deutschland und Russland. In anderen Ländern werden die Namen dieser Funktionen verwendet. Bräune, Kinderbett vorgeschlagen von Albert Girard noch früher, in Anfang XVII Jahrhundert. BEIM moderne Form die Theorie der trigonometrischen Funktionen wurde von Leonhard Euler (1748, 1753) aufgestellt, und wir verdanken ihm die Festigung der realen Symbolik.Der Begriff „trigonometrische Funktionen“ wurde 1770 von dem deutschen Mathematiker und Physiker Georg Simon Klugel eingeführt.
Die Sinuslinie wurde ursprünglich von indischen Mathematikern genannt "arha jiva"("Halbsaite", also die Hälfte des Akkords), dann das Wort "archa" wurde verworfen und die Sinuslinie wurde einfach aufgerufen "jiva". Arabische Übersetzer haben das Wort nicht übersetzt "jiva" Arabisches Wort "Vater", was die Bogensehne und den Akkord bezeichnet, und in arabische Buchstaben transkribiert und begann, die Sinuslinie zu nennen "jiba". Da kurze Vokale im Arabischen nicht angezeigt werden und lange "und" im Wort "jiba" In gleicher Weise wie der Halbvokal "y" bezeichnet, begannen die Araber, den Namen der Sinuslinie auszusprechen "halse", was wörtlich "hohl", "Busen" bedeutet. Bei der Übersetzung arabischer Werke ins Lateinische übersetzten europäische Übersetzer das Wort "halse" Lateinisches Wort Sinus, die gleiche Bedeutung haben.Der Begriff „Tangente“ (von lat.Tangenten- berührend) wurde vom dänischen Mathematiker Thomas Fincke in seiner Geometrie der Runde (1583) eingeführt.
Arkussinus. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Inverse trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die invers zu trigonometrischen Funktionen sind. Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „Bogen“ (von lat. Bogen- Bogen).Inverse trigonometrische Funktionen umfassen normalerweise sechs Funktionen: Arkussinus (arcsin), Arkuskosinus (arccos), Arkustangens (arctg), Arkuskotangens (arcctg), Arkussekans (arcsec) und Arkkosekans (arccosec). Spezielle Symbole für inverse trigonometrische Funktionen wurden erstmals von Daniel Bernoulli (1729, 1736) verwendet.Art, inverse trigonometrische Funktionen mit einem Präfix zu notieren Bogen(von lat. Bogen, arc) erschien beim österreichischen Mathematiker Karl Scherfer und fasste dank des französischen Mathematikers, Astronomen und Mechanikers Joseph Louis Lagrange Fuß. Es war gemeint, dass Sie zum Beispiel mit dem üblichen Sinus den Akkord finden können, der ihn entlang eines Kreisbogens unterlagert, und Umkehrfunktion löst das gegenteilige Problem. Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts boten die englischen und deutschen mathematischen Schulen eine andere Schreibweise an: Sünde -1 und 1/sin, aber sie sind nicht weit verbreitet.
Hyperbolischer Sinus, hyperbolischer Kosinus. W. Riccati (1757).
Historiker entdeckten das erste Auftreten hyperbolischer Funktionen in den Schriften des englischen Mathematikers Abraham de Moivre (1707, 1722). Die moderne Definition und detaillierte Untersuchung von ihnen wurde 1757 vom Italiener Vincenzo Riccati in der Arbeit "Opusculorum" durchgeführt, er schlug auch ihre Bezeichnungen vor: Sch,CH. Riccati ging von der Betrachtung einer einzigen Hyperbel aus. Eine unabhängige Entdeckung und weitere Untersuchung der Eigenschaften hyperbolischer Funktionen wurde von dem deutschen Mathematiker, Physiker und Philosophen Johann Lambert (1768) durchgeführt, der eine breite Parallelität zwischen den Formeln der gewöhnlichen und hyperbolischen Trigonometrie feststellte. N.I. Lobachevsky verwendete später diesen Parallelismus und versuchte, die Konsistenz der nichteuklidischen Geometrie zu beweisen, in der gewöhnliche Trigonometrie durch hyperbolische ersetzt wird.
Ähnlich zu trigonometrischer Sinus und Kosinus sind die Koordinaten eines Punktes Koordinatenkreis, sind der hyperbolische Sinus und Kosinus die Koordinaten eines Punktes auf der Hyperbel. Hyperbolische Funktionen werden durch den Exponenten ausgedrückt und stehen in engem Zusammenhang mit trigonometrische Funktionen: sh(x)=0,5(z x-e-x) , ch(x)=0,5(e x + e – x). In Analogie zu trigonometrischen Funktionen werden hyperbolischer Tangens und Kotangens als Verhältnisse von hyperbolischem Sinus und Cosinus bzw. Cosinus und Sinus definiert.
Differential. G. Leibniz (1675, im Druck 1684).
Der lineare Hauptteil des Funktionsinkrements.Wenn die Funktion y=f(x) eine Variable x hat bei x=x0Ableitung und InkrementΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)Funktionen f(x) darstellen kann alsΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , wo Mitglied R unendlich klein im Vergleich zuΔx. Erstes Mitglieddy = f"(x 0 )Δxin dieser Entwicklung heißt das Differential der Funktion f(x) am Punktx0. BEIM Werke von Gottfried Leibniz, Jacob und Johann Bernoulli Wort"Unterschied"im Sinne von "Inkrement" verwendet wurde, I. Bernoulli bezeichnete es mit Δ. G. Leibniz (1675, veröffentlicht 1684) verwendete die Notation für „unendlich kleine Differenz“d- der erste Buchstabe des Wortes"Differential", von ihm aus gebildet"Unterschied".
Unbestimmtes Integral. G. Leibniz (1675, im Druck 1686).
Das Wort "Integral" wurde erstmals von Jacob Bernoulli (1690) im Druck verwendet. Vielleicht leitet sich der Begriff aus dem Lateinischen ab ganze Zahl- ganz. Nach einer anderen Annahme war die Grundlage das lateinische Wort integrieren- wiederherstellen, wiederherstellen. Das Zeichen ∫ wird in der Mathematik zur Bezeichnung eines Integrals verwendet und ist ein stilisiertes Bild des Anfangsbuchstabens eines lateinischen Wortes summa- Summe. Es wurde erstmals Ende des 17. Jahrhunderts vom deutschen Mathematiker Gottfried Leibniz, dem Begründer der Differential- und Integralrechnung, verwendet. Ein anderer Begründer der Differential- und Integralrechnung, Isaac Newton, bot in seinen Werken keine alternative Symbolik des Integrals an, obwohl er es versuchte Verschiedene Optionen: ein vertikaler Balken über einer Funktion oder ein quadratisches Symbol, das einer Funktion vorangeht oder sie umgibt. Unbestimmtes Integral für eine Funktion y=f(x) ist die Sammlung aller Stammfunktionen der gegebenen Funktion.
Bestimmtes Integral. J. Fourier (1819-1822).
Bestimmtes Integral einer Funktion f(x) mit Untergrenze a und Obergrenze b kann als Differenz definiert werden F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , wo F(x)- etwas Stammfunktion einer Funktion f(x) . Bestimmtes Integral ein ∫ b f(x)dx numerisch gleich Fläche Figur, begrenzt durch die x-Achse, gerade Linien x=a und x=b und Funktionsgraph f(x). Der französische Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier schlug zu Beginn des 19. Jahrhunderts den Entwurf eines bestimmten Integrals in der uns bekannten Form vor.
Derivat. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Ableitung - das Grundkonzept der Differentialrechnung, das die Änderungsrate einer Funktion charakterisiert f(x) wenn sich das Argument ändert x . Es ist definiert als die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht, falls eine solche Grenze existiert. Eine Funktion, die irgendwann eine endliche Ableitung hat, heißt an dieser Stelle differenzierbar. Den Vorgang der Berechnung der Ableitung nennt man Differentiation. Der umgekehrte Vorgang ist die Integration. In der klassischen Differentialrechnung wird die Ableitung meistens durch die Konzepte der Grenzwerttheorie definiert, historisch gesehen erschien die Grenzwerttheorie jedoch später als die Differentialrechnung.
Der Begriff "Derivat" wurde 1797 von Joseph Louis Lagrange eingeführt; dy/dx— Gottfried Leibniz 1675. Die Bezeichnung der zeitlichen Ableitung mit einem Punkt über dem Buchstaben stammt von Newton (1691).Der russische Begriff „Ableitung einer Funktion“ wurde erstmals von einem russischen Mathematiker verwendetWassilij Iwanowitsch Wiskowatow (1779-1812).
Privates Derivat. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Für Funktionen vieler Variablen werden partielle Ableitungen definiert - Ableitungen in Bezug auf eines der Argumente, berechnet unter der Annahme, dass die verbleibenden Argumente konstant sind. Notation ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ j 1786 vom französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre eingeführt; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ j- partielle Ableitungen zweiter Ordnung - deutscher Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Unterschied, Zuwachs. I. Bernoulli (spätes 17. Jahrhundert - erste Hälfte 18. Jahrhundert), L. Euler (1755).
Die Bezeichnung des Inkrements mit dem Buchstaben Δ wurde erstmals von dem Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli verwendet. Das Symbol "Delta" wurde nach der Arbeit von Leonhard Euler im Jahr 1755 allgemein üblich.
Summe. L.Euler (1755).
Die Summe ist das Ergebnis der Addition von Werten (Zahlen, Funktionen, Vektoren, Matrizen usw.). Um die Summe von n Zahlen a 1, a 2, ..., a n zu bezeichnen, wird der griechische Buchstabe "Sigma" Σ verwendet: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 ein ich . Das Summenzeichen Σ wurde 1755 von Leonhard Euler eingeführt.
Arbeit. K. Gauß (1812).
Das Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation. Um das Produkt von n Zahlen a 1, a 2, ..., a n zu bezeichnen, wird der griechische Buchstabe "pi" Π verwendet: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Beispiel: 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Das Symbol Π für das Produkt wurde 1812 vom deutschen Mathematiker Carl Gauß eingeführt. In der russischen mathematischen Literatur begegnete Leonty Filippovich Magnitsky erstmals 1703 dem Begriff „Arbeit“.
Fakultät. K. Krump (1808).
Die Fakultät einer Zahl n (bezeichnet als n!, ausgesprochen "en Fakultät") ist das Produkt aller natürlichen Zahlen bis einschließlich n: n! = 1 2 3 ... k. Zum Beispiel 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Per Definition 0! = 1. Die Fakultät ist nur für nicht negative ganze Zahlen definiert. Die Fakultät einer Zahl n ist gleich der Anzahl der Permutationen von n Elementen. Zum Beispiel 3! = 6, in der Tat,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Alle sechs und nur sechs Permutationen von drei Elementen.
Der Begriff „Fakultät“ wurde von dem französischen Mathematiker und eingeführt Politische Figur Louis François Antoine Arbogast (1800), Bezeichnung n! - Der französische Mathematiker Christian Kramp (1808).
Modul, Absolutwert. K. Weierstrass (1841).
Modul, der Absolutwert der reellen Zahl x - eine nicht negative Zahl, die wie folgt definiert ist: |x| = x für x ≥ 0 und |x| = -x für x ≤ 0. Zum Beispiel |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul einer komplexen Zahl z = a + ib ist eine reelle Zahl gleich √(a 2 + b 2).
Es wird angenommen, dass der Begriff "Modul" von dem englischen Mathematiker und Philosophen, einem Schüler von Newton, Roger Cotes, vorgeschlagen wurde. Auch Gottfried Leibniz verwendete diese Funktion, die er „Modul“ nannte und bezeichnete: mol x. Gemeinsame Notation Absolutwert 1841 vom deutschen Mathematiker Karl Weierstraß eingeführt. Für komplexe Zahlen wurde dieses Konzept Anfang des 19. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Augustin Cauchy und Jean Robert Argan eingeführt. 1903 verwendete der österreichische Wissenschaftler Konrad Lorenz dieselbe Symbolik für die Länge eines Vektors.
Norm. E.Schmidt (1908).
Die Norm ist ein auf definiertes Funktional Vektorraum und Verallgemeinerung des Konzepts der Länge eines Vektors oder Betrags einer Zahl. Das Zeichen „Norm“ (vom lateinischen Wort „norma“ – „Regel“, „Probe“) wurde 1908 von dem deutschen Mathematiker Erhard Schmidt eingeführt.
Grenze. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), viele Mathematiker (bis Anfang des 20. Jahrhunderts)
Limit - eines der Grundkonzepte der mathematischen Analyse, was bedeutet, dass sich eine bestimmte Variable im Verlauf ihrer betreffenden Änderung einem bestimmten Wert auf unbestimmte Zeit nähert konstanter Wert. Der Grenzwertbegriff wurde bereits in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von Isaac Newton, aber auch von Mathematikern des 18. Jahrhunderts wie Leonhard Euler und Joseph Louis Lagrange intuitiv verwendet. Die ersten strengen Definitionen des Grenzwerts einer Folge wurden 1816 von Bernard Bolzano und 1821 von Augustin Cauchy gegeben. Das Symbol lim (die ersten 3 Buchstaben des lateinischen Wortes limes - Grenze) erschien 1787 mit dem Schweizer Mathematiker Simon Antoine Jean Lhuillier, aber seine Verwendung ähnelte noch nicht der modernen. Der Ausdruck lim in einer uns geläufigeren Form wurde erstmals 1853 von dem irischen Mathematiker William Hamilton verwendet.Weierstraß führte eine Bezeichnung ein, die der modernen nahe kommt, aber anstelle des üblichen Pfeils verwendete er das Gleichheitszeichen. Der Pfeil tauchte Anfang des 20. Jahrhunderts gleich bei mehreren Mathematikern auf – zum Beispiel 1908 beim englischen Mathematiker Godfried Hardy.
Zeta-Funktion, d Riemannsche Zetafunktion. B. Riemann (1857).
Analytische Funktion der komplexen Variablen s = σ + it, für σ > 1, bestimmt durch die absolut gleichmäßig konvergente Dirichlet-Reihe:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Für σ > 1 gilt die Darstellung in Form des Euler-Produkts:
ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,
wobei das Produkt über alle Primzahlen p genommen wird. Die Zeta-Funktion spielt in der Zahlentheorie eine große Rolle.Als Funktion einer reellen Variablen wurde die Zeta-Funktion 1737 (veröffentlicht 1744) von L. Euler eingeführt, der ihre Zerlegung in ein Produkt angab. Dann wurde diese Funktion vom deutschen Mathematiker L. Dirichlet und besonders erfolgreich vom russischen Mathematiker und Mechaniker P.L. Chebyshev in der Studie des Verteilungsrechts Primzahlen. Die grundlegendsten Eigenschaften der Zeta-Funktion wurden jedoch später entdeckt, nach der Arbeit des deutschen Mathematikers Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), wo die Zeta-Funktion als Funktion einer komplexen Variablen betrachtet wurde; 1857 führte er auch den Namen "Zeta-Funktion" und die Notation ζ (s) ein.
Gamma-Funktion, Euler-Γ-Funktion. A. Legendre (1814).
Die Gammafunktion ist eine mathematische Funktion, die den Begriff der Fakultät auf den Bereich der komplexen Zahlen ausdehnt. Üblicherweise mit Γ(z) bezeichnet. Die z-Funktion wurde erstmals 1729 von Leonhard Euler eingeführt; es wird durch die Formel definiert:
Γ(z) = limn→∞ n!nz /z(z+1)...(z+n).
Ausgedrückt in Form der G-Funktion große Nummer Integrale, unendliche Produkte und Reihensummen. Weit verbreitet in der analytischen Zahlentheorie. Der Name „Gamma-Funktion“ und die Notation Γ(z) wurden 1814 vom französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre vorgeschlagen.
Beta-Funktion, B-Funktion, Euler-B-Funktion. J. Binet (1839).
Eine Funktion zweier Variablen p und q, definiert für p>0, q>0 durch die Gleichheit:
B(p,q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Die Beta-Funktion kann durch die Γ-Funktion ausgedrückt werden: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).So wie die Gammafunktion für ganze Zahlen eine Verallgemeinerung der Fakultät ist, ist die Betafunktion gewissermaßen eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten.
Viele Eigenschaften werden mit der Beta-Funktion beschrieben.Elementarteilchen teilnehmen an starke Interaktion. Diese Eigenschaft ist dem italienischen theoretischen Physiker aufgefallenGabriele Veneziano im Jahr 1968. Es begann Stringtheorie.
Der Name „Beta-Funktion“ und die Notation B(p, q) wurden 1839 von dem französischen Mathematiker, Mechaniker und Astronomen Jacques Philippe Marie Binet eingeführt.
Laplace-Operator, Laplace-Operator. R. Murphy (1833).
Linearer Differenzialoperator Δ, der den Funktionen φ (x 1, x 2, ..., x n) aus n Variablen x 1, x 2, ..., x n die Funktion zuordnet:
Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.
Insbesondere stimmt für eine Funktion φ(x) einer Variablen der Laplace-Operator mit dem Operator der 2. Ableitung überein: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Die Gleichung Δφ = 0 wird üblicherweise als Laplace-Gleichung bezeichnet; daher kommen die Namen „Laplace-Operator“ oder „Laplace-Operator“. Die Notation Δ wurde 1833 vom englischen Physiker und Mathematiker Robert Murphy eingeführt.
Hamilton-Operator, Nabla-Operator, Hamilton-Operator. O. Heaviside (1892).
Vektordifferentialoperator der Form
∇ = ∂/∂x ich+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,
wo ich, j, und k- Koordinatenvektoren. Durch den Nabla-Operator werden die Grundoperationen der Vektoranalyse sowie der Laplace-Operator auf natürliche Weise ausgedrückt.
1853 führte der irische Mathematiker William Rowan Hamilton diesen Operator ein und prägte dafür das Symbol ∇ in Form eines umgekehrten griechischen Buchstabens Δ (Delta). Bei Hamilton zeigte die Spitze des Symbols nach links, später, in den Werken des schottischen Mathematikers und Physikers Peter Guthrie Tate, erhielt das Symbol ein modernes Aussehen. Hamilton nannte dieses Symbol das Wort "atled" (das Wort "delta" rückwärts gelesen). Später begannen englische Gelehrte, darunter Oliver Heaviside, dieses Symbol "Nabla" zu nennen, nach dem Namen des Buchstabens ∇ im phönizischen Alphabet, wo es vorkommt. Der Ursprung des Buchstabens wird mit einem Musikinstrument wie der Harfe in Verbindung gebracht, ναβλα (nabla) bedeutet im Altgriechischen „Harfe“. Der Operator wurde Hamilton-Operator oder Nabla-Operator genannt.
Funktion. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
mathematisches Konzept, die die Beziehung zwischen den Elementen der Mengen widerspiegelt. Wir können sagen, dass eine Funktion ein "Gesetz" ist, eine "Regel", nach der jedem Element einer Menge (Definitionsbereich genannt) ein Element einer anderen Menge (Wertbereich genannt) zugeordnet ist. Das mathematische Konzept einer Funktion drückt eine intuitive Vorstellung davon aus, wie eine Größe den Wert einer anderen Größe vollständig bestimmt. Oft bedeutet der Begriff "Funktion" eine numerische Funktion; das heißt, eine Funktion, die einige Zahlen mit anderen in Einklang bringt. Mathematiker haben lange Zeit Argumente ohne Klammern gegeben, zum Beispiel so - φх. Diese Notation wurde erstmals 1718 vom Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli verwendet.Klammern wurden nur verwendet, wenn es viele Argumente gab oder wenn das Argument ein komplexer Ausdruck war. Echos dieser Zeiten sind weit verbreitet und jetzt RekordeSünde x, lg xusw. Aber allmählich wurde die Verwendung von Klammern f(x) allgemeine Regel. Und das Hauptverdienst daran gebührt Leonhard Euler.
Gleichberechtigung. R. Aufzeichnung (1557).
Das Gleichheitszeichen wurde 1557 vom walisischen Arzt und Mathematiker Robert Record vorgeschlagen; Der Umriss des Charakters war viel länger als der aktuelle, da er das Bild zweier paralleler Segmente imitierte. Der Autor erklärte, dass es auf der Welt nichts Gleicheres gibt als zwei parallele Segmente gleicher Länge. Davor wurde Gleichheit in der antiken und mittelalterlichen Mathematik verbal bezeichnet (z. egal). Rene Descartes begann im 17. Jahrhundert, æ (von lat. gleich), a modernes Zeichen Er verwendete Gleichheitszeichen, um anzuzeigen, dass der Koeffizient negativ sein könnte. François Viète bezeichnete die Subtraktion mit einem Gleichheitszeichen. Das Symbol des Rekords verbreitete sich nicht sofort. Die Verbreitung des Rekordsymbols wurde durch die Tatsache behindert, dass seit der Antike dasselbe Symbol verwendet wurde, um die Parallelität von Linien anzuzeigen; Am Ende wurde entschieden, das Symbol der Parallelität vertikal zu machen. In Kontinentaleuropa wurde das Zeichen „=“ erst an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert von Gottfried Leibniz eingeführt, also mehr als 100 Jahre nach dem Tod von Robert Record, der es erstmals dafür verwendete.
Ungefähr gleich, ungefähr gleich. A. Günther (1882).
Schild " ≈" wurde 1882 vom deutschen Mathematiker und Physiker Adam Wilhelm Sigmund Günther als Symbol für die Beziehung "ungefähr gleich" eingeführt.
Mehr weniger. T. Harriot (1631).
Diese beiden Zeichen wurden 1631 vom englischen Astronomen, Mathematiker, Ethnographen und Übersetzer Thomas Harriot in Gebrauch genommen, davor wurden die Wörter „mehr“ und „weniger“ verwendet.
Vergleichbarkeit. K. Gauß (1801).
Der Vergleich ist das Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen n und m, was bedeutet, dass Unterschied n-m dieser Zahlen wird durch eine gegebene ganze Zahl a geteilt, die als Vergleichsmodul bezeichnet wird; es steht geschrieben: n≡m(mod a) und lautet „Zahlen n und m sind vergleichbar modulo a“. Zum Beispiel 3≡11(mod 4), da 3-11 durch 4 teilbar ist; die Zahlen 3 und 11 sind kongruent modulo 4. Vergleiche haben viele ähnliche Eigenschaften wie Gleichheiten. So kann der Term in einem Teil des Vergleichs mit umgekehrtem Vorzeichen auf einen anderen Teil übertragen werden, und Vergleiche mit demselben Modul können addiert, subtrahiert, multipliziert, beide Teile des Vergleichs mit derselben Zahl multipliziert werden usw. Zum Beispiel,
3≡9+2(mod 4) und 3-2≡9(mod 4)
Gleichzeitig wahre Vergleiche. Und aus einem Paar wahrer Vergleiche 3≡11(mod 4) und 1≡5(mod 4) folgt die Korrektheit des Folgenden:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5 (Mod 4)
3 1≡11 5 (mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3 23≡11 23 (Mod 4)
In der Zahlentheorie werden Methoden zur Lösung verschiedener Vergleiche betrachtet, d.h. Methoden zum Finden ganzer Zahlen, die Vergleiche der einen oder anderen Art erfüllen. Modulo-Vergleiche wurden erstmals von dem deutschen Mathematiker Carl Gauß in seinem Buch Arithmetische Untersuchungen von 1801 verwendet. Zum Vergleich schlug er auch die in der Mathematik etablierte Symbolik vor.
Identität. B. Riemann (1857).
Identität - Gleichheit zweier analytischer Ausdrücke, gültig für alle zulässige Werte Buchstaben darin enthalten. Die Gleichheit a+b = b+a gilt für alle Zahlenwerte a und b und ist daher eine Identität. Zur Aufzeichnung von Identitäten wird in einigen Fällen seit 1857 das Zeichen "≡" verwendet (gelesen "identisch gleich"), dessen Autor in dieser Verwendung der deutsche Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann ist. Kann geschrieben werden a+b ≡ b+a.
Rechtwinkligkeit. P. Erigon (1634).
Rechtwinkligkeit - gegenseitige Übereinkunft zwei Geraden, Ebenen oder eine Gerade und eine Ebene, in denen die angegebenen Figuren einen rechten Winkel bilden. Das Zeichen ⊥ zur Bezeichnung der Rechtwinkligkeit wurde 1634 vom französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Erigon eingeführt. Das Konzept der Rechtwinkligkeit hat eine Reihe von Verallgemeinerungen, aber alle werden in der Regel von dem Zeichen ⊥ begleitet.
Parallelität. W. Outred (posthume Ausgabe von 1677).
Parallelität - die Beziehung zwischen einigen geometrische Formen; zum Beispiel gerade Linien. Je nach Geometrie unterschiedlich definiert; zum Beispiel in der Geometrie von Euklid und in der Geometrie von Lobachevsky. Das Zeichen der Parallelität ist seit der Antike bekannt, es wurde von Heron und Pappus von Alexandria verwendet. Anfangs ähnelte das Symbol dem aktuellen Gleichheitszeichen (nur länger), aber mit dem Aufkommen des letzteren wurde das Symbol vertikal gedreht, um Verwirrung zu vermeiden ||. Sie erschien in dieser Form erstmals 1677 in einer posthumen Ausgabe der Werke des englischen Mathematikers William Outred.
Kreuzung, Vereinigung. J. Peano (1888).
Eine Schnittmenge von Mengen ist eine Menge, die genau die Elemente enthält, die gleichzeitig zu allen gegebenen Mengen gehören. Die Vereinigung von Mengen ist eine Menge, die alle Elemente der ursprünglichen Mengen enthält. Schnitt und Vereinigung werden auch Mengenoperationen genannt, die bestimmten Mengen nach den obigen Regeln neue Mengen zuweisen. Mit ∩ bzw. ∪ bezeichnet. Zum Beispiel, wenn
A= (♠ ♣) und B= (♣ ♦ ),
Dass
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Enthält, enthält. E. Schröder (1890).
Wenn A und B zwei Mengen sind und es in A keine Elemente gibt, die nicht zu B gehören, dann sagen sie, dass A in B enthalten ist. Sie schreiben A⊂B oder B⊃A (B enthält A). Zum Beispiel,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Die Symbole „enthält“ und „enthält“ tauchten 1890 mit dem deutschen Mathematiker und Logiker Ernst Schröder auf.
Zugehörigkeit. J. Peano (1895).
Wenn a ein Element der Menge A ist, dann schreibe a∈A und lese "a gehört zu A". Wenn a kein Element von A ist, schreibe a∉A und lies „a gehört nicht zu A“. Anfangs wurden die Relationen „enthalten“ und „gehören“ („ist ein Element“) nicht unterschieden, aber im Laufe der Zeit erforderten diese Konzepte eine Unterscheidung. Das Zugehörigkeitszeichen ∈ wurde erstmals 1895 vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano verwendet. Das Symbol ∈ kommt vom Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes εστι – sein.
Der universelle Quantor, der Existenzquantor. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Ein Quantor ist eine allgemeine Bezeichnung für logische Operationen, die den Wahrheitsbereich eines Prädikats (mathematische Aussage) angeben. Philosophen haben lange auf logische Operationen geachtet, die den Umfang der Wahrheit eines Prädikats einschränken, sie jedoch nicht als separate Klasse von Operationen herausgegriffen. Obwohl quantorenlogische Konstruktionen sowohl in der Wissenschaft als auch in der Alltagssprache weit verbreitet sind, erfolgte ihre Formalisierung erst 1879 in dem Buch des deutschen Logikers, Mathematikers und Philosophen Friedrich Ludwig Gottlob Frege „Die Kalkül der Begriffe“. Freges Notation sah aus wie umständliche grafische Konstruktionen und wurde nicht akzeptiert. In der Folge wurden viele weitere erfolgreiche Symbole vorgeschlagen, aber die Notation ∃ für den existentiellen Quantor (sprich „existiert“, „es gibt“), die 1885 vom amerikanischen Philosophen, Logiker und Mathematiker Charles Pierce vorgeschlagen wurde, und ∀ für den universellen Quantor ( gelesen "irgendein", "jeder", "jeder"), das der deutsche Mathematiker und Logiker Gerhard Karl Erich Gentzen 1935 in Analogie zum Symbol des Existenzquantors (umgekehrte Anfangsbuchstaben englische Wörter Existenz (Existenz) und Any (any)). Zum Beispiel der Eintrag
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
lautet wie folgt: „Für jedes ε>0 gibt es δ>0, sodass für alle x ungleich x 0 und die Ungleichung |x-x 0 | erfüllen<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Leeres Set. N. Bourbaki (1939).
Eine Menge, die kein Element enthält. Das Leerzeichen wurde 1939 in den Büchern von Nicolas Bourbaki eingeführt. Bourbaki ist das kollektive Pseudonym einer 1935 gegründeten Gruppe französischer Mathematiker. Einer der Mitglieder der Bourbaki-Gruppe war Andre Weil, der Autor des Ø-Symbols.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
In der Mathematik versteht man unter einem Beweis eine auf bestimmten Regeln beruhende Folge von Argumenten, die zeigen, dass eine bestimmte Aussage wahr ist. Seit der Renaissance wird das Ende eines Beweises von Mathematikern mit „Q.E.D.“ bezeichnet, nach dem lateinischen Ausdruck „Quod Erat Demonstrandum“ – „Was zu beweisen war“. Bei der Erstellung des Computerlayoutsystems ΤΕΧ im Jahr 1978 verwendete der amerikanische Informatikprofessor Donald Edwin Knuth ein Symbol: ein gefülltes Quadrat, das sogenannte "Halmos-Symbol", benannt nach dem amerikanischen Mathematiker ungarischer Herkunft Paul Richard Halmos. Heute wird die Fertigstellung eines Proofs üblicherweise mit dem Halmos-Symbol gekennzeichnet. Alternativ werden andere Zeichen verwendet: ein leeres Quadrat, ein rechtwinkliges Dreieck, // (zwei Schrägstriche) sowie die russische Abkürzung "ch.t.d.".
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Wenn Menschen längere Zeit innerhalb eines bestimmten Tätigkeitsbereichs interagieren, beginnen sie, nach einer Möglichkeit zu suchen, den Kommunikationsprozess zu optimieren. Das System der mathematischen Zeichen und Symbole ist eine künstliche Sprache, die entwickelt wurde, um die Menge der grafisch übertragenen Informationen zu reduzieren und gleichzeitig die der Nachricht innewohnende Bedeutung vollständig zu bewahren.
Jede Sprache muss gelernt werden, und die Sprache der Mathematik ist in dieser Hinsicht keine Ausnahme. Um die Bedeutung von Formeln, Gleichungen und Grafiken zu verstehen, ist es erforderlich, im Voraus über bestimmte Informationen zu verfügen, die Begriffe, Notationen usw. zu verstehen. Ohne solche Kenntnisse wird der Text als in einer fremden Sprache verfasst wahrgenommen.
Entsprechend den Anforderungen der Gesellschaft wurden grafische Symbole für einfachere mathematische Operationen (z. B. die Notation von Addition und Subtraktion) früher entwickelt als für komplexe Konzepte wie Integral oder Differential. Je komplexer das Konzept, desto komplexer wird es normalerweise bezeichnet.
Modelle zur Bildung grafischer Symbole
In den frühen Stadien der Zivilisationsentwicklung verbanden die Menschen die einfachsten mathematischen Operationen mit ihren vertrauten Begriffen, die auf Assoziationen basierten. Zum Beispiel wurden im alten Ägypten Addition und Subtraktion durch ein Muster von Laufbeinen angezeigt: Linien, die in Leserichtung gerichtet waren, zeigten „Plus“ und in die entgegengesetzte Richtung – „Minus“.
Zahlen wurden vielleicht in allen Kulturen ursprünglich durch die entsprechende Anzahl von Bindestrichen angezeigt. Später wurden Konventionen für die Aufzeichnung verwendet - dies sparte Zeit und Platz auf materiellen Medien. Oft wurden Buchstaben als Symbole verwendet: Diese Strategie hat sich in Griechisch, Latein und vielen anderen Sprachen der Welt verbreitet.
Die Entstehungsgeschichte mathematischer Symbole und Zeichen kennt die zwei produktivsten Wege, grafische Elemente zu bilden.
Transformation der Wortdarstellung
Anfangs wird jedes mathematische Konzept durch ein Wort oder eine Phrase ausgedrückt und hat keine eigene grafische Darstellung (außer lexikalisch). Das Durchführen von Berechnungen und das Schreiben von Formeln in Worten ist jedoch ein langwieriger Vorgang und nimmt unverhältnismäßig viel Platz auf einem Materialträger ein.
Eine gängige Methode zum Erstellen mathematischer Symbole besteht darin, die lexikalische Darstellung eines Konzepts in ein grafisches Element umzuwandeln. Mit anderen Worten, das Wort, das einen Begriff bezeichnet, wird im Laufe der Zeit verkürzt oder auf andere Weise umgewandelt.
Zum Beispiel ist die Haupthypothese des Ursprungs des Pluszeichens seine Abkürzung aus dem Lateinischen et, dessen Analogon auf Russisch die Vereinigung "und" ist. Allmählich wurde in Schreibschrift der erste Buchstabe nicht mehr geschrieben, und t auf ein Kreuz reduziert.
Ein anderes Beispiel ist das „x“-Zeichen für das Unbekannte, das ursprünglich eine Abkürzung für das arabische Wort für „etwas“ war. Ebenso gab es Zeichen für Quadratwurzel, Prozent, Integral, Logarithmus usw. In der Tabelle der mathematischen Symbole und Zeichen finden Sie mehr als ein Dutzend grafische Elemente, die auf diese Weise erschienen.
Beliebige Zeichenzuweisung
Die zweite gängige Variante der mathematischen Zeichen- und Symbolbildung ist die willkürliche Zuordnung eines Symbols. In diesem Fall stehen das Wort und die grafische Bezeichnung in keinem Zusammenhang - das Zeichen wird normalerweise auf Empfehlung eines Mitglieds der wissenschaftlichen Gemeinschaft genehmigt.
Beispielsweise wurden die Zeichen für Multiplikation, Division und Gleichheit von den Mathematikern William Oughtred, Johann Rahn und Robert Record vorgeschlagen. In einigen Fällen konnten mehrere mathematische Zeichen von einem Wissenschaftler in die Wissenschaft eingeführt werden. Insbesondere Gottfried Wilhelm Leibniz schlug eine Reihe von Symbolen vor, darunter das Integral, das Differential und die Ableitung.
Die einfachsten Operationen
Zeichen wie Plus und Minus sowie Symbole für Multiplikation und Division sind jedem Schüler bekannt, obwohl es für die beiden letztgenannten Operationen mehrere mögliche grafische Zeichen gibt.
Man kann mit Sicherheit sagen, dass die Menschen viele Jahrtausende vor Christus wussten, wie man addiert und subtrahiert, aber standardisierte mathematische Zeichen und Symbole, die diese Aktionen bezeichnen und uns heute bekannt sind, erschienen erst im XIV-XV Jahrhundert.
Trotz der Etablierung einer gewissen Übereinstimmung in der wissenschaftlichen Gemeinschaft kann die Multiplikation heutzutage jedoch durch drei verschiedene Zeichen (diagonales Kreuz, Punkt, Sternchen) und die Division durch zwei (eine horizontale Linie mit Punkten oben und unten oder einem Schrägstrich) dargestellt werden ).
Briefe
Viele Jahrhunderte lang hat die wissenschaftliche Gemeinschaft Latein ausschließlich zum Austausch von Informationen verwendet, und viele mathematische Begriffe und Zeichen haben ihren Ursprung in dieser Sprache. In einigen Fällen sind grafische Elemente das Ergebnis einer Abkürzung von Wörtern, seltener - ihrer absichtlichen oder versehentlichen Umwandlung (z. B. aufgrund eines Tippfehlers).
Die Angabe des Prozentsatzes ("%") stammt höchstwahrscheinlich von der fehlerhaften Schreibweise der Abkürzung wer(cento, d.h. „hundertster Teil“). Auf ähnliche Weise entstand das Pluszeichen, dessen Geschichte oben beschrieben wurde.
Viel mehr wurde durch absichtliche Verkürzung des Wortes gebildet, obwohl dies nicht immer offensichtlich ist. Nicht jeder erkennt den Buchstaben im Quadratwurzelzeichen R, also das erste Zeichen im Wort Radix ("Wurzel"). Das integrale Symbol stellt auch den ersten Buchstaben des Wortes Summa dar, ähnelt aber intuitiv einem Großbuchstaben. f ohne horizontale Linie. Übrigens haben die Herausgeber in der ersten Veröffentlichung genau einen solchen Fehler gemacht, indem sie f anstelle dieses Zeichens eingegeben haben.
griechische Buchstaben
Als grafische Symbole für verschiedene Konzepte werden nicht nur lateinische verwendet, sondern auch in der Tabelle der mathematischen Symbole finden Sie eine Reihe von Beispielen für einen solchen Namen.
Die Zahl Pi, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser darstellt, kommt vom Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes für Kreis. Es gibt mehrere weniger bekannte irrationale Zahlen, die mit den Buchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet werden.
Ein sehr häufiges Zeichen in der Mathematik ist das „Delta“, das den Betrag der Wertänderung von Variablen widerspiegelt. Ein weiteres gemeinsames Zeichen ist "Sigma", das als Summenzeichen fungiert.
Darüber hinaus werden fast alle griechischen Buchstaben auf die eine oder andere Weise in der Mathematik verwendet. Diese mathematischen Zeichen und Symbole und ihre Bedeutung sind jedoch nur Menschen bekannt, die sich beruflich mit Wissenschaft beschäftigen. Im Alltag und Alltag wird dieses Wissen für einen Menschen nicht benötigt.
Zeichen der Logik
Seltsamerweise wurden viele intuitive Symbole erst vor kurzem erfunden.
Insbesondere der horizontale Pfeil, der das Wort "deshalb" ersetzt, wurde erst 1922 vorgeschlagen. Die Quantifizierer der Existenz und Universalität, dh die Zeichen lauten wie: "existiert ..." und "für alle ...", wurden eingeführt 1897 bzw. 1935.
Symbole aus dem Bereich der Mengenlehre wurden 1888-1889 erfunden. Und der durchgestrichene Kreis, der heute jedem Gymnasiasten als Zeichen einer leeren Menge bekannt ist, erschien 1939.
So wurden Zeichen für so komplexe Konzepte wie das Integral oder den Logarithmus Jahrhunderte früher erfunden als einige intuitive Symbole, die auch ohne vorherige Vorbereitung leicht wahrgenommen und assimiliert werden können.
Mathematische Symbole auf Englisch
Aufgrund der Tatsache, dass ein erheblicher Teil der Konzepte in wissenschaftlichen Arbeiten in lateinischer Sprache beschrieben wurde, sind eine Reihe von Namen mathematischer Zeichen und Symbole in Englisch und Russisch gleich. Zum Beispiel: Plus („Plus“), Integral („Integral“), Deltafunktion („Deltafunktion“), Senkrecht („senkrecht“), Parallel („parallel“), Null („Null“).
Einige der Konzepte in den beiden Sprachen werden unterschiedlich genannt: Division ist beispielsweise Division, Multiplikation ist Multiplikation. In seltenen Fällen findet die englische Bezeichnung für ein mathematisches Zeichen im Russischen Verbreitung: So wird beispielsweise ein Schrägstrich in den letzten Jahren oft als „Slash“ (engl. Slash) bezeichnet.
Symboltabelle
Der einfachste und bequemste Weg, sich mit der Liste der mathematischen Zeichen vertraut zu machen, besteht darin, sich eine spezielle Tabelle anzusehen, die die Zeichen von Operationen, Symbole der mathematischen Logik, Mengenlehre, Geometrie, Kombinatorik, mathematische Analyse und lineare Algebra enthält. Diese Tabelle zeigt die wichtigsten mathematischen Zeichen im Englischen.
Mathematische Symbole in einem Texteditor
Bei verschiedenen Arbeiten müssen häufig Formeln verwendet werden, die Zeichen verwenden, die nicht auf der Computertastatur vorhanden sind.
Wie grafische Elemente aus fast allen Wissensgebieten finden sich mathematische Zeichen und Symbole in Word auf der Registerkarte Einfügen. In den Versionen 2003 oder 2007 des Programms gibt es die Option „Symbol einfügen“: Wenn Sie auf die Schaltfläche auf der rechten Seite des Bedienfelds klicken, sieht der Benutzer eine Tabelle mit allen erforderlichen mathematischen Symbolen, griechischen Kleinbuchstaben und Großbuchstaben, verschiedene Arten von Klammern und vieles mehr.
In Versionen des Programms, die nach 2010 veröffentlicht wurden, wurde eine bequemere Option entwickelt. Wenn Sie auf die Schaltfläche "Formel" klicken, gelangen Sie zum Formeldesigner, der die Verwendung von Brüchen, die Eingabe von Daten unter der Wurzel und die Änderung der Groß-/Kleinschreibung (zur Angabe von Graden oder Ordnungszahlen von Variablen) ermöglicht. Alle Zeichen aus der oben dargestellten Tabelle sind auch hier zu finden.
Lohnt es sich, mathematische Symbole zu lernen?
Das System der mathematischen Notation ist eine künstliche Sprache, die nur den Aufnahmeprozess vereinfacht, aber einem außenstehenden Beobachter kein Verständnis für das Thema vermitteln kann. Das Auswendiglernen von Zeichen ohne Studium von Begriffen, Regeln und logischen Verbindungen zwischen Konzepten führt daher nicht zur Beherrschung dieses Wissensbereichs.
Das menschliche Gehirn lernt leicht Zeichen, Buchstaben und Abkürzungen – mathematische Notationen merkt man sich beim Studium des Fachs von selbst. Das Verständnis der Bedeutung jeder spezifischen Handlung schafft so viel Kraft, dass die Zeichen, die die Begriffe bezeichnen, und oft die damit verbundenen Formeln, viele Jahre und sogar Jahrzehnte im Gedächtnis bleiben.
Abschließend
Da jede Sprache, auch eine künstliche, offen für Änderungen und Ergänzungen ist, wird die Zahl der mathematischen Zeichen und Symbole mit der Zeit sicherlich wachsen. Es ist möglich, dass einige Elemente ersetzt oder angepasst werden, während andere auf die einzig mögliche Weise standardisiert werden, was beispielsweise für Multiplikations- oder Divisionszeichen relevant ist.
Die Fähigkeit, mathematische Symbole auf dem Niveau eines Vollschulkurses zu verwenden, ist in der modernen Welt praktisch notwendig. Im Kontext der rasanten Entwicklung der Informationstechnik und Wissenschaft, der weit verbreiteten Algorithmisierung und Automatisierung, sollte der Besitz eines mathematischen Apparates als gegeben vorausgesetzt werden, und die Entwicklung mathematischer Symbole als integraler Bestandteil davon.
Da Berechnungen im humanitären Bereich, in der Wirtschaft, in den Naturwissenschaften und natürlich im Bereich der Ingenieurwissenschaften und der Hochtechnologie verwendet werden, ist das Verständnis mathematischer Konzepte und Symbolkenntnisse für jeden Spezialisten nützlich.
von zwei), 3 > 2 (drei ist größer als zwei) usw.Entwicklung mathematische Symbolik eng verbunden war gemeinsame Entwicklung Konzepte und Methoden der Mathematik. Zuerst Mathematische Zeichen es gab Schilder zur Darstellung von Zahlen - Zahlen, deren Entstehung offenbar dem Schreiben vorausging. Die ältesten Zahlensysteme – babylonisch und ägyptisch – erschienen bereits 3 1/2 Jahrtausende vor Christus. e.
Zuerst Mathematische Zeichen denn willkürliche Werte tauchten viel später (ab dem 5.-4. Jahrhundert v. Chr.) In Griechenland auf. Größen (Fläche, Volumen, Winkel) wurden als Segmente und das Produkt zweier beliebiger homogener Größen als Rechteck dargestellt, das auf den entsprechenden Segmenten aufgebaut ist. In "Anfänge" Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) Mengen werden durch zwei Buchstaben angegeben - den Anfangs- und Endbuchstaben des entsprechenden Segments und manchmal sogar einen. Beim Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.) Die letztere Methode wird üblich. Eine solche Bezeichnung enthielt die Möglichkeiten zur Entwicklung des wörtlichen Kalküls. In der klassischen antiken Mathematik wurde jedoch kein wörtlicher Kalkül erstellt.
Die Anfänge der Buchstabendarstellung und des Infinitesimalrechnens entstehen in späthellenistischer Zeit durch die Befreiung der Algebra von der geometrischen Form. Diophant (wahrscheinlich 3. Jahrhundert) schrieb einen unbekannten ( X) und seine Abschlüsse mit folgenden Vorzeichen:
[ - vom griechischen Begriff dunamiV (dynamis - Stärke), der das Quadrat des Unbekannten bezeichnet, - vom griechischen cuboV (k_ybos) - Würfel]. Rechts neben dem Unbekannten oder seinen Graden schrieb Diophantus die Koeffizienten, zum Beispiel wurde 3x5 dargestellt
(wobei = 3). Beim Addieren ordnete Diophantus Terme einander zu, beim Subtrahieren verwendete er ein Sonderzeichen; Diophantus bezeichnete die Gleichheit mit dem Buchstaben i [aus dem Griechischen isoV (isos) - gleich]. Zum Beispiel die Gleichung
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diophantus würde es so schreiben:
(hier
bedeutet, dass die Einheit keinen Multiplikator in Form einer Potenz des Unbekannten hat).
Einige Jahrhunderte später führten die Indianer verschiedene ein Mathematische Zeichen für mehrere Unbekannte (Abkürzungen für die Namen von Farben, die Unbekannte bezeichnen), Quadrat, Quadratwurzel, subtrahierte Zahl. Also die Gleichung
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Bei der Aufnahme Brahmagupta (7. Jahrhundert) würde so aussehen:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - von yavat - tawat - unbekannt, va - von varga - Quadratzahl, ru - von rupa - Rupienmünze - ein freies Mitglied, ein Punkt über der Zahl bedeutet die zu subtrahierende Zahl).
Die Entstehung der modernen algebraischen Symbolik geht auf das 14. bis 17. Jahrhundert zurück; sie wurde durch die Erfolge der praktischen Arithmetik und des Studiums der Gleichungen bestimmt. In verschiedenen Ländern treten spontan auf Mathematische Zeichen für einige Aktionen und für Kräfte von unbekannter Größe. Viele Jahrzehnte und sogar Jahrhunderte vergehen, bis das eine oder andere praktische Symbol entwickelt wird. Also, am Ende des 15. und. N. Shuke und ich. Pacioli verwendete Additions- und Subtraktionszeichen
(von lat. plus und minus) führten deutsche Mathematiker das moderne + (wahrscheinlich eine Abkürzung von lat. et) und - ein. Zurück im 17. Jahrhundert kann ungefähr zehn zählen Mathematische Zeichen für die Multiplikationsoperation.
waren anders u Mathematische Zeichen unbekannt und seine Grade. Im 16. - frühen 17. Jahrhundert. allein um das Quadrat des Unbekannten wetteiferten beispielsweise mehr als zehn Notationen se(von census - ein lateinischer Begriff, der als Übersetzung des griechischen dunamiV diente, Q(von quadratum), , A (2), , Aii, äh, eine 2 usw. Also die Gleichung
x 3 + 5 x = 12
der italienische Mathematiker G. Cardano (1545) hätte die Form:
vom deutschen Mathematiker M. Stiefel (1544):
vom italienischen Mathematiker R. Bombelli (1572):
Französischer Mathematiker F. Vieta (1591):
vom englischen Mathematiker T. Harriot (1631):
Im 16. und frühen 17. Jahrhundert Gleichheitszeichen und Klammern kommen zum Einsatz: Quadrat (R. Bombelli , 1550), rund (N. Tartaglia, 1556), lockig (F. viet, 1593). Im 16. Jahrhundert Die moderne Form verwendet die Notation von Brüchen.
Ein bedeutender Fortschritt in der Entwicklung der mathematischen Symbolik war die Einführung von Vieta (1591) Mathematische Zeichen für willkürlich Konstanten in Form von Großbuchstaben des lateinischen Alphabets B, D, die ihm erstmals das Schreiben ermöglichten algebraische Gleichungen mit beliebigen Koeffizienten und operiere mit ihnen. Unbekanntes Viet, dargestellt durch Vokale Großbuchstaben A, E, ... Zum Beispiel Vietas Eintrag
In unseren Symbolen sieht es so aus:
x 3 + 3bx = d.
Viet war der Schöpfer algebraischer Formeln. R. Descartes (1637) gab den Zeichen der Algebra ein modernes Aussehen und bezeichnete Unbekannte mit den letzten Buchstaben von lat. Alphabet x, y, z, und beliebige Mengenangaben - in Anfangsbuchstaben a, b, c. Er besitzt auch die aktuelle Urkunde des Abschlusses. Die Notation von Descartes hatte einen großen Vorteil gegenüber allen vorherigen. Daher erhielten sie bald allgemeine Anerkennung.
Weitere Entwicklung Mathematische Zeichen war eng verbunden mit der Entstehung der Infinitesimalanalyse, für deren Entwicklung die Symbolik bereits weitgehend in der Algebra vorbereitet war.
Daten des Auftretens einiger mathematischer Zeichen
| Schild | Bedeutung | Wer eingeführt | Bei Einführung |
| Zeichen einzelner Objekte | |||
| ¥ | Unendlichkeit | J. Wallis | 1655 |
| e | Basis natürlicher Logarithmen | L.Euler | 1736 |
| p | Verhältnis von Umfang zu Durchmesser | W. Jones L.Euler | 1706 |
| ich | Quadratwurzel von -1 | L.Euler | 1777 (im Druck 1794) |
| ich j k | Einheitsvektoren, ort | W.Hamilton | 1853 |
| P (ein) | Winkel der Parallelität | N.I. Lobatschewski | 1835 |
| Zeichen variabler Objekte | |||
| x, y, z | Unbekannte oder Variablen | R. Descartes | 1637 |
| r | Vektor | O. Koshy | 1853 |
| Zeichen einzelne Operationen | |||
| + | Zusatz | Deutsche Mathematiker | Ende des 15. Jahrhunderts |
| – | Subtraktion |
||
| ´ | Multiplikation | W. Outred | 1631 |
| × | Multiplikation | G. Leibniz | 1698 |
| : | Aufteilung | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, ein n | Grad | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | Wurzeln | K. Rudolf | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Protokoll | Logarithmus | I. Kepler | 1624 |
| Protokoll | B. Cavalieri | 1632 |
|
| Sünde | Sinus | L.Euler | 1748 |
| cos | Kosinus |
||
| tg | Tangente | L.Euler | 1753 |
| Bogensünde | Arkussinus | J.Lagrange | 1772 |
Sch | hyperbolischer Sinus | V. Riccati | 1757 |
CH | hyperbolischer Kosinus |
||
| dx, ddx, … | Differential | G. Leibniz | 1675 (im Druck 1684) |
d2x, d3x, … |
|||
| | Integral- | G. Leibniz | 1675 (im Druck 1686) |
| | Derivat | G. Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | Derivat | J.Lagrange | 1770, 1779 |
| du |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | Unterschied | L.Euler | 1755 |
| | partielle Ableitung | A. Legendre | 1786 |
| | bestimmtes Integral | J. Fourier | 1819-22 |
| | Summe | L.Euler | 1755 |
| P | Arbeit | K. Gauß | 1812 |
| ! | Fakultät | K. Crump | 1808 |
| |x| | Modul | K. Weierstraß | 1841 |
| lim | Grenze | W.Hamilton, viele Mathematiker | 1853, frühes 20. Jahrhundert |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | Zeta-Funktion | B. Riemann | 1857 |
| G | Gamma-Funktion | A. Legendre | 1808 |
| BEIM | Beta-Funktion | J. Binet | 1839 |
| D | Delta (Laplace-Operator) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | Nabla (Hamilton-Operator) | W.Hamilton | 1853 |
| Zeichen variabler Operationen | |||
| jx | Funktion | I. Bernoulli | 1718 |
| f(x) | L.Euler | 1734 |
|
| Zeichen individueller Beziehungen | |||
| = | Gleichberechtigung | R. Rekord | 1557 |
| > | mehr | T. Harriot | 1631 |
| < | kleiner |
||
| º | Vergleichbarkeit | K. Gauß | 1801 |
| | Parallelität | W. Outred | 1677 |
| ^ | Rechtwinkligkeit | P. Erigon | 1634 |
UND. Newton führte in seiner Methode der Flüsse und Ströme (1666 und folgende Jahre) Zeichen für aufeinanderfolgende Flüsse (Ableitungen) der Größe (in der Form
und für ein unendlich kleines Inkrement Ö. Etwas früher J. Wallis (1655) schlug das Unendlichkeitszeichen ¥ vor.
Der Schöpfer der modernen Symbolik der Differential- und Integralrechnung ist G. Leibniz. Insbesondere er gehört zu den aktuell Gebräuchlichen Mathematische Zeichen Unterschiede
dx, d 2 x, d 3 x
und integral
Ein großes Verdienst bei der Schaffung der Symbolik der modernen Mathematik gehört L. Euler. Er führte (1734) das erste Zeichen der variablen Operation, nämlich das Vorzeichen der Funktion, in den allgemeinen Gebrauch ein f(x) (von lat. Funktion). Nach Eulers Arbeit erhielten die Zeichen für viele einzelne Funktionen, wie beispielsweise trigonometrische Funktionen, einen einheitlichen Charakter. Euler besitzt die Notation für Konstanten e(Basis natürlicher Logarithmen, 1736), p [wahrscheinlich von griech. perijereia (periphereia) - Umfang, Peripherie, 1736], imaginäre Einheit
(aus dem französischen imaginaire - imaginär, 1777, veröffentlicht 1794).
Im 19. Jahrhundert Die Rolle der Symbolik wächst. Zu diesem Zeitpunkt Vorzeichen des Absolutwertes |x| (ZU. Weierstraß, 1841), Vektor (O. Cauchy, 1853), Bestimmer
(SONDERN. Cayley, 1841) ua Viele im 19. Jahrhundert entstandene Theorien wie die Tensorrechnung konnten ohne entsprechende Symbolik nicht entwickelt werden.
Zusammen mit dem festgelegten Standardisierungsprozess Mathematische Zeichen in der modernen Literatur findet man oft Mathematische Zeichen von einzelnen Autoren nur im Rahmen dieser Studie verwendet.
Aus Sicht der mathematischen Logik, unter Mathematische Zeichen folgende Hauptgruppen lassen sich skizzieren: A) Zeichen von Objekten, B) Zeichen von Operationen, C) Zeichen von Relationen. Beispielsweise stellen die Zeichen 1, 2, 3, 4 Zahlen dar, dh arithmetisch untersuchte Objekte. Das Zusatzzeichen + allein stellt kein Objekt dar; es erhält inhaltlichen Inhalt, wenn angegeben wird, welche Zahlen hinzugefügt werden: Die Notation 1 + 3 stellt die Zahl 4 dar. Das Zeichen > (größer als) ist das Zeichen der Beziehung zwischen Zahlen. Das Zeichen der Relation erhält einen ganz bestimmten Inhalt, wenn angegeben wird, zwischen welchen Gegenständen die Relation betrachtet wird. Zu den oben genannten drei Hauptgruppen Mathematische Zeichen grenzt an das vierte: D) Hilfszeichen, die die Reihenfolge der Kombination der Hauptzeichen festlegen. Eine ausreichende Vorstellung von solchen Zeichen wird durch Klammern gegeben, die die Reihenfolge angeben, in der Aktionen ausgeführt werden.
Die Zeichen von jedem drei Gruppen A), B) und C) sind von zweierlei Art: 1) individuelle Zeichen von wohldefinierten Objekten, Operationen und Relationen, 2) allgemeine Zeichen von "sich nicht wiederholenden" oder "unbekannten" Objekten, Operationen und Relationen.
Beispiele für Zeichen der ersten Art können dienen (siehe auch Tabelle):
A 1) Notation natürlicher Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transzendente zahlen e und P; imaginäre Einheit ich.
B 1) Rechenzeichen +, -, ·, ´,:; Wurzelextraktion, Differenzierung
Vorzeichen von Summe (Vereinigung) È und Produkt (Schnitt) Ç von Mengen; dazu gehören auch die Vorzeichen der einzelnen Funktionen sin, tg, log usw.
1) Gleich- und Ungleichheitszeichen =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Zeichen der zweiten Art stellen willkürliche Objekte, Operationen und Beziehungen einer bestimmten Klasse oder Objekte, Operationen und Beziehungen dar, die bestimmten vorbestimmten Bedingungen unterliegen. Zum Beispiel beim Schreiben der Identität ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 Buchstaben a und b bezeichnen willkürliche Zahlen; beim Studium der funktionellen Abhängigkeit beim = X 2 Buchstaben X und ja - beliebige Zahlen, die in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen; beim Lösen der Gleichung
X bezeichnet eine beliebige Zahl, die die gegebene Gleichung erfüllt (durch Lösen dieser Gleichung erfahren wir, dass nur zwei mögliche Werte +1 und -1 dieser Bedingung entsprechen).
Aus logischer Sicht ist es legitim, solche allgemeinen Zeichen Zeichen von Variablen zu nennen, wie es in der mathematischen Logik üblich ist, ohne Angst davor zu haben, dass der „Änderungsbereich“ einer Variablen möglicherweise aus einem einzigen besteht Objekt oder sogar „leer“ (z. B. bei Gleichungen ohne Lösung). Weitere Beispiele für solche Zeichen sind:
A 2) Bezeichnung von Punkten, Linien, Ebenen und komplexeren geometrischen Formen mit Buchstaben in der Geometrie.
B 2) Notation f, , j für Funktionen und Notation der Operatorrechnung, wenn ein Buchstabe L stellen beispielsweise einen beliebigen Operator der Form dar:
Die Notation für „variable Verhältnisse“ ist weniger gebräuchlich und wird nur in der mathematischen Logik verwendet (vgl. Algebra der Logik ) und in relativ abstrakten, meist axiomatischen, mathematischen Studien.
Zündete.: Cajori, Eine Geschichte mathematischer Notationen, v. 1-2, Chi., 1928-29.
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