Mathematik, die ich mag. Grahams unvorstellbare Zahl Die größte Zahl in der Welt von Graham

Epigraph
Schaust du lange in den Abgrund,
Sie können eine gute Zeit haben.
Mechanischer Seeleningenieur

Sobald ein Kind (und das passiert ungefähr im Alter von drei oder vier Jahren) versteht, dass alle Zahlen in drei Gruppen „eins, zwei und viele“ unterteilt sind, versucht es sofort herauszufinden: wie viel ist viel, wie viel unterscheidet sich von viel, und kann es so viele geben, dass es keine mehr gibt. Sicherlich hast du ein interessantes (für dieses Alter) Spiel mit deinen Eltern gespielt, wer wird dir die meisten nennen mehr, und wenn der Vorfahr nicht dümmer war als ein Fünftklässler, dann gewann er immer und antwortete "zwei Millionen" für jede "Million" und "zwei Milliarden" oder "eine Milliarde plus eins" für jede "Milliarde".

In der ersten Schulklasse kennt jeder - Zahlen unendlicher Satz, sie enden nie und es gibt keine größte Zahl. Zu jeder Million Billionen Milliarden können Sie immer "plus eins" sagen und gewinnen. Und wenig später kommt (sollte!) die Einsicht, dass lange Zahlenketten an sich nichts aussagen. All diese Billionen und Milliarden machen nur Sinn, wenn sie zur Darstellung einer bestimmten Anzahl von Objekten dienen oder ein bestimmtes Phänomen beschreiben. Es ist keine Schwierigkeit, eine lange Zahl zu erfinden, die nichts anderes ist als eine Reihe lang klingender Zahlen, es gibt bereits unendlich viele davon. Die Wissenschaft ist gewissermaßen im übertragenen Sinne damit beschäftigt, in diesem grenzenlosen Abgrund nach ganz bestimmten Zahlenkombinationen zu suchen und einige zu ergänzen physikalisches Phänomen, wie die Lichtgeschwindigkeit, die Avogadro-Zahl oder die Planck-Konstante.

Und es stellt sich sofort die Frage, was ist die größte Zahl auf der Welt, die etwas bedeutet? In diesem Artikel werde ich versuchen, über ein digitales Monster namens Graham-Zahl zu sprechen, obwohl die Wissenschaft streng genommen noch mehr Zahlen kennt. Grahams Nummer ist die am meisten publizierte, man könnte sagen, von der breiten Öffentlichkeit "gehört", weil sie recht einfach zu erklären ist und doch groß genug, um einem den Kopf zu verdrehen. Im Allgemeinen muss hier ein kleiner Haftungsausschluss (russische Warnung) erklärt werden. Es mag wie ein Witz klingen, aber ich scherze nicht. Ich meine das ganz ernst – das akribische Zupfen in solche mathematischen Tiefen, verbunden mit der hemmungslosen Erweiterung der Wahrnehmungsgrenzen, kann (und wird) gravierende Auswirkungen auf das Weltbild, auf die Positionierung des Individuums in der Gesellschaft und letztlich haben , im Allgemeinen psychischer Zustand Picking, oder nennen wir die Dinge beim Namen - öffnet den Weg zum Shiz. Es ist nicht notwendig, den folgenden Text zu genau zu lesen, es ist nicht erforderlich, sich die darin beschriebenen Dinge zu lebhaft und anschaulich vorzustellen. Und sag später nicht, dass du nicht gewarnt wurdest!

Finger:

Bevor wir zu den Monsterzahlen übergehen, üben wir zuerst an Katzen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es zur Beschreibung großer Zahlen (keine Monster, sondern nur große Zahlen) zweckmäßig ist, wissenschaftliche oder so genannte zu verwenden. Exponentialschreibweise.

Wenn sie beispielsweise über die Anzahl der Sterne im Universum (im beobachtbaren Universum) sprechen, macht sich kein Idiot die Mühe, mit einer Genauigkeit von zu berechnen, wie viele es im wörtlichen Sinne gibt letzter Stern. Es wird angenommen, dass etwa 10 21 Stück. Und das ist eine niedrigere Schätzung. Das bedeutet, dass die Gesamtzahl der Sterne als Zahl mit 21 Nullen nach einer ausgedrückt werden kann, d. h. "1.000.000.000.000.000.000.000".

So sieht ein kleiner Teil von ihnen (ca. 100.000) in aus Kugelsternhaufen Omega Centauri.

Natürlich wann wir reden Bei solchen Waagen spielen die tatsächlichen Zahlen keine wesentliche Rolle, schließlich ist alles sehr bedingt und ungefähr. Vielleicht ist die tatsächliche Anzahl der Sterne im Universum "1.564.861.615.140.168.357.973" oder vielleicht "9.384.684.643.798.468.483.745". Und sogar "3 333 333 333 333 333 333 333", warum nicht, obwohl es natürlich unwahrscheinlich ist. In der Kosmologie, der Wissenschaft von den Eigenschaften des Universums als Ganzes, werden solche Kleinigkeiten nicht getäuscht. Die Hauptsache ist, sich vorzustellen, dass diese Zahl ungefähr aus 22 Ziffern besteht, von denen es bequemer ist, sie als Einheit mit 21 Nullen zu betrachten und als 10 21 zu schreiben. Die Regel ist allgemein und sehr einfach. Welche Ziffer oder Nummer steht anstelle des Grades (gedruckt Kleingedrucktesüber 10 hier), so viele Nullen nach Eins werden in dieser Zahl sein, wenn Sie es auf einfache Weise malen, mit Zeichen in einer Reihe und nicht auf wissenschaftliche Weise. Einige Zahlen haben "menschliche Namen", zum Beispiel 10 3 nennen wir "tausend", 10 6 - "Millionen" und 10 9 - "Milliarden", und andere nicht. Nehmen wir an, 1059 hat keinen gemeinsamen Namen. Und 10 21 hat es übrigens – es ist eine „Sextillion“.

Alles, was bis zur Million geht, ist für fast jeden intuitiv verständlich, denn wer möchte nicht Millionär werden? Dann beginnen einige Probleme. Obwohl eine Milliarde (10 9) auch fast jedem bekannt ist. Sie können sogar bis zu einer Milliarde zählen. Wenn erst nach der Geburt, buchstäblich im Moment der Geburt, anfangen, einmal pro Sekunde zu zählen "eins, zwei, drei, vier ..." und nicht schlafen, nicht trinken, nicht essen, sondern nur zählen-zählen-zählen unermüdlich Tag und Nacht, dann, wenn 32 Jahre schlagen, kann man bis zu einer Milliarde zählen, denn 32 Umdrehungen der Erde um die Sonne dauern etwa eine Milliarde Sekunden.

7 Milliarden ist die Zahl der Menschen auf der Erde. Auf der Grundlage des Vorstehenden ist es absolut unmöglich, sie alle der Reihe nach zu zählen. Während eines Menschenlebens müssen Sie mehr als zweihundert Jahre leben.

100 Milliarden (10 11) – wie viele Menschen haben im Laufe ihrer Geschichte auf der Erde gelebt? McDonald's verkaufte bis 1998 in den 50 Jahren seines Bestehens 100 Milliarden Hamburger. 100 Milliarden Sterne (naja, etwas mehr) befinden sich in unserer Galaxie die Milchstrasse und die Sonne ist eine von ihnen. Die gleiche Anzahl von Galaxien ist im beobachtbaren Universum enthalten. Es gibt 100 Milliarden Neuronen im menschlichen Gehirn. Und die gleiche Anzahl anaerober Bakterien lebt in jedem Leser dieser Zeilen im Blinddarm.
Eine Billion (1012) ist eine selten verwendete Zahl. Es ist unmöglich, bis zu einer Billion zu zählen, es wird 32.000 Jahre dauern. Vor einer Billion Sekunden lebten Menschen in Höhlen und jagten Mammuts mit Speeren. Ja, vor einer Billion Sekunden lebten Mammuts auf der Erde. Es gibt ungefähr eine Billion Fische in den Ozeanen des Planeten. Unsere benachbarte Andromeda-Galaxie enthält etwa eine Billion Sterne. Ein Mensch besteht aus 10 Billionen Zellen. Russlands BIP im Jahr 2013 belief sich auf 66 Billionen Rubel (in 2013 Rubel). Von der Erde bis zum Saturn wurden in allen jemals veröffentlichten Büchern insgesamt 100 Billionen Zentimeter und die gleiche Anzahl von Buchstaben abgedruckt.

Eine Billiarde (1015, eine Million Milliarden) ist die Gesamtzahl der Ameisen auf dem Planeten. Normale Menschen sprechen dieses Wort nicht laut aus, gut, geben Sie es zu, wenn Sie es tun das letzte Mal hast du in dem gespräch "eine billiarde irgendwas" gehört?

Quintillion (10 18, Milliarden Milliarden) – es gibt so viele mögliche Konfigurationen, wenn man einen 3x3x3-Zauberwürfel zusammenbaut. So ist die Anzahl der Kubikmeter Wasser in den Weltmeeren.
Sextillion (10 21) – dieser Zahl sind wir bereits begegnet. Die Anzahl der Sterne im beobachtbaren Universum. Die Anzahl der Sandkörner in allen Wüsten der Erde. Die Anzahl der Transistoren in allen existierenden elektronischen Geräten der Menschheit, wenn Intel uns nicht belogen hat.

10 Sextillionen (1022) ist die Anzahl der Moleküle in einem Gramm Wasser.

10 24 ist die Masse der Erde in Kilogramm.

10 26 ist der Durchmesser des beobachtbaren Universums in Metern, aber es ist nicht sehr bequem, in Metern zu zählen, die allgemein akzeptierten Grenzen des beobachtbaren Universums betragen 93 Milliarden Lichtjahre.
Die Wissenschaft arbeitet nicht mit Dimensionen, die größer sind als das beobachtbare Universum. Wir wissen mit Sicherheit, dass das beobachtbare Universum dies nicht ist das ganze-alle-das ganze Universum. Das ist der Teil, den wir zumindest theoretisch sehen und beobachten können. Oder vielleicht in der Vergangenheit gesehen haben. Oder wir werden irgendwann in ferner Zukunft sehen können, im Rahmen der modernen Wissenschaft zu bleiben. Aus dem Rest des Universums werden uns selbst mit Lichtgeschwindigkeit keine Signale erreichen können, was diese Orte aus unserer Sicht als nicht existent erscheinen lässt. Wie groß ist das großes Universum niemand weiß es wirklich. Vielleicht millionenfach mehr als vorhersehbar. Oder vielleicht eine Milliarde. Oder vielleicht sogar endlos. Ich sage, das ist keine Wissenschaft mehr, sondern Vermutungen über den Kaffeesatz. Wissenschaftler haben einige Vermutungen, aber das ist mehr Fantasie als Realität.

Zur Visualisierung kosmische Skala Es ist nützlich, dieses Bild zu studieren, indem Sie es auf den gesamten Bildschirm erweitern.

Aber selbst im beobachtbaren Universum können Sie viel mehr von etwas anderem als Metern stopfen.

1051 Atome bilden den Planeten Erde.

10 80 ungefähre Zahl Elementarteilchen im beobachtbaren Universum.

10 90 ist die ungefähre Anzahl von Photonen im beobachtbaren Universum. Davon gibt es fast 10 Milliarden Mal mehr als Elementarteilchen, Elektronen und Protonen.
10 100 ist ein Googol. Diese Zahl bedeutet physikalisch nichts, nur rund und schön. Das Unternehmen, das sich zum Ziel gesetzt hatte, den Googol der Links (ein Witz, das ist natürlich mehr als die Anzahl der Elementarteilchen im Universum!) zu indizieren, nahm 1998 den Namen Google an.

10.122 Protonen werden benötigt, um das beobachtbare Universum bis zu den Augäpfeln zu füllen, dicht so, Proton an Proton, Rücken an Rücken.

10.185 Planck-Volumen sind vom beobachtbaren Universum belegt. Kleinere Werte als das Planck-Volumen (ein Würfel mit Abmessungen der Planck-Länge von 10 -35 Metern) kennt unsere Wissenschaft nicht. Sicherlich gibt es, wie beim Universum, etwas noch Kleineres, aber Wissenschaftler haben noch keine vernünftigen Formeln für solche Kleinigkeiten gefunden, sondern nur reine Spekulationen.

Es stellt sich heraus, dass 10.185 oder so die größte Zahl ist, die im Prinzip etwas bedeuten kann moderne Wissenschaft. In einer Wissenschaft, die fühlen und messen kann. Es ist etwas, das existiert oder existieren könnte, wenn wir alles wüssten, was es über das Universum zu wissen gibt. Die Nummer besteht aus 186 Ziffern, hier ist sie:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Die Wissenschaft endet hier natürlich nicht, aber dann gehen freie Theorien, Vermutungen und sogar pseudowissenschaftliches Schach und Brunft weiter. Sie haben zum Beispiel wahrscheinlich schon von der Inflationstheorie gehört, nach der unser Universum vielleicht nur ein Teil eines größeren Multiversums ist, in dem diese Universen wie Blasen in einem Ozean aus Champagner sind.

Oder von der String-Theorie gehört, nach der es etwa 10.500 Konfigurationen von String-Schwingungen geben kann, was gleich viele potentielle Universen mit jeweils eigenen Gesetzmäßigkeiten bedeutet.
Je weiter in den Wald hinein, desto weniger bleibt die theoretische Physik und Wissenschaft im Allgemeinen in den Zahlen, die an Volumen gewinnen, und hinter den Nullsäulen beginnt eine immer reinere, ungetrübte Königin der Wissenschaften hervorzulugen. Mathematik ist nicht Physik, es gibt keine Einschränkungen und es gibt nichts, wofür man sich schämen müsste, geh spazieren, Seele, schreib Nullen in Formeln bis zum Umfallen.
Ich werde nur den vielen bekannten Googolplex erwähnen. Eine Zahl, die ein Googol von Ziffern hat, zehn hoch ein Googol (10 googol) oder zehn hoch zehn hoch einhundert (10 10 100 (der Editor erlaubt Ihnen nicht, eine weitere Iteration von zu machen Grad, muss ein Bild sein, oder ich setze einen Schrägstrich (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Ich werde es nicht in Zahlen aufschreiben. Googleplex bedeutet absolut nichts. Eine Person kann sich keinen Googolplex von irgendetwas vorstellen, es ist physikalisch unmöglich. Um eine solche Zahl aufzuschreiben, braucht man das gesamte beobachtbare Universum, wenn man mit einem „Nano-Stift“ direkt im Vakuum schreibt, nämlich in den Planck-Zellen des Kosmos. Lassen Sie uns alle Materie in Tinte übersetzen und das Universum mit einer soliden Zahl füllen, dann bekommen wir einen Googolplex. Aber Mathematiker (schreckliche Leute!) wärmen sich nur mit Googolprex auf, das ist die unterste Latte, von der echte Drecksäcke für sie starten. Und wenn Sie denken, dass Googolplex im Ausmaß von Googolplex das ist, worüber wir sprechen, haben Sie keine Ahnung, WIE falsch.
Es gibt viele googolplexes interessante Zahlen, die diese oder jene Rolle in mathematischen Beweisen spielt, egal ob lang oder kurz, gehen wir direkt zur Graham-Zahl, benannt nach (na ja, natürlich) dem Mathematiker Ronald Graham. Zuerst werde ich Ihnen sagen, was es ist und wofür es ist, danach werde ich bildlich und an meinen Fingern ™ beschreiben, wie groß es ist, und dann werde ich die Nummer selbst schreiben. Genauer gesagt werde ich versuchen zu erklären, was ich geschrieben habe.
Die Graham-Zahl tauchte in einer Arbeit auf, die der Lösung eines der Probleme der Ramsey-Theorie gewidmet war, und „Ramsey“ ist hier kein unvollkommenes Partizip, sondern der Nachname eines anderen Mathematikers, Frank Ramsey. Die Aufgabe ist natürlich aus philisterhafter Sicht ziemlich weit hergeholt, wenn auch nicht sehr wirr, sogar leicht verständlich.
Stellen Sie sich einen Würfel vor, dessen Ecken alle durch Liniensegmente in zwei Farben, rot oder blau, verbunden sind. Verbunden und zufällig gefärbt. Einige haben bereits erraten, dass wir über einen Zweig der Mathematik namens Kombinatorik sprechen werden.
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Können wir die Konfiguration der Farben so erfinden und wählen (und es gibt nur zwei davon - rot und blau), dass sich beim Färben dieser Segmente NICHT herausstellt, dass alle Segmente derselben Farbe, die vier Eckpunkte verbinden, liegen im selben Flugzeug? In diesem Fall stellen sie KEINE solche Figur dar:
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Sie können selbst denken, den Würfel in Ihrer Vorstellung vor Ihren Augen drehen, das ist nicht so schwierig. Es gibt zwei Farben, der Würfel hat 8 Scheitelpunkte (Ecken), was bedeutet, dass es 28 Segmente gibt, die sie verbinden. Sie können die Farbkonfiguration so wählen, dass wir die obige Figur nirgendwo bekommen, es wird mehrfarbig sein Linien in allen möglichen Ebenen.
Was wäre, wenn wir mehr Dimensionen hätten? Was wäre, wenn wir keinen Würfel nehmen, sondern einen vierdimensionalen Würfel, d.h. tesserakt ? Können wir den gleichen Trick wie mit 3D hinbekommen?
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Ich werde nicht einmal anfangen zu erklären, was ein vierdimensionaler Würfel ist, weiß jeder? Ein vierdimensionaler Würfel hat 16 Ecken. Und Sie müssen sich nicht den Kopf zerbrechen und versuchen, sich einen vierdimensionalen Würfel vorzustellen. Das ist reine Mathematik. Ich sah mir die Anzahl der Dimensionen an, setzte sie in die Formel ein, erhielt die Anzahl der Scheitelpunkte, Kanten, Flächen und so weiter. Ein vierdimensionaler Würfel hat also 16 Ecken und 120 Segmente, die sie verbinden. Die Anzahl der Farbkombinationen im vierdimensionalen Fall ist viel größer als im dreidimensionalen Fall, aber auch hier ist es nicht sehr schwierig zu berechnen, zu teilen, zu reduzieren und dergleichen. Kurz gesagt, finden Sie heraus, dass Sie im vierdimensionalen Raum mit der Färbung der Segmente des Hyperwürfels auch so viel erreichen können, dass alle Linien gleicher Farbe, die 4 Ecken verbinden, nicht in derselben Ebene liegen.
In fünf Dimensionen? Und im Fünfdimensionalen, wo der Würfel Penteract oder Pentacub genannt wird, ist es auch möglich.
Und das in sechs Dimensionen.
Und dann gibt es Schwierigkeiten. Graham konnte mathematisch nicht beweisen, dass ein siebendimensionaler Hyperwürfel eine solche Operation durchführen könnte. Sowohl achtdimensional als auch neundimensional und so weiter. Aber das gegebene „und so weiter“, wie sich herausstellte, geht nicht ins Unendliche, sondern endet mit einer sehr großen Zahl, die „Graham-Zahl“ genannt wurde.
Das heißt, es gibt eine Mindestdimension des Hyperwürfels, unter der die Bedingung verletzt wird, und es ist nicht mehr möglich, eine Kombination von Farbsegmenten zu vermeiden, dass vier Punkte derselben Farbe in derselben Ebene liegen. Und diese Mindestdimension ist genau größer als sechs und genau kleiner als die Graham-Zahl, das ist der mathematische Beweis des Wissenschaftlers.
Und nun die Definition dessen, was ich oben in wenigen Absätzen in einer trockenen und langweiligen (aber weitläufigen) Sprache der Mathematik beschrieben habe. Es ist nicht notwendig zu verstehen, aber ich kann es nicht bringen.
Stellen Sie sich einen n-dimensionalen Hyperwürfel vor und verbinden Sie alle Knotenpaare, um einen vollständigen Graphen mit 2n Knoten zu erhalten. Lassen Sie uns jede Kante dieses Diagramms entweder rot oder färben blaue Farbe. Bei was der kleinste Wert n jede solche Färbung notwendigerweise einen einfarbigen vollständigen Teilgraphen mit vier Knoten enthält, die alle in derselben Ebene liegen?
1971 bewies Graham, dass dieses Problem eine Lösung hat und dass diese Lösung (die Anzahl der Dimensionen) zwischen der Zahl 6 und einer größeren Zahl liegt, die später (nicht vom Autor selbst) nach ihm benannt wurde. 2008 wurde der Beweis verbessert, die untere Schranke angehoben, jetzt liegt die gewünschte Anzahl an Dimensionen bereits zwischen der Zahl 13 und der Graham-Zahl. Mathematiker schlafen nicht, die Arbeit geht weiter, der Spielraum verengt sich.
Viele Jahre sind seit den 70er Jahren vergangen, wurden gefunden Mathe Probleme in denen Zahlen und mehr Graham vorkommen, aber diese erste Monsterzahl beeindruckte Zeitgenossen, die verstanden, um welche Größenordnung es sich handelte, so sehr, dass sie 1980 in das Guinness-Buch der Rekorde aufgenommen wurde als "die größte Zahl, die jemals an einem strengen mathematischen Beweis beteiligt war". Moment.
Versuchen wir herauszufinden, wie groß es ist. Die größte Zahl, die jeder haben kann physikalische Bedeutung 10 185 , und wenn das gesamte beobachtbare Universum mit einer scheinbar endlosen Menge winziger Zahlen gefüllt ist, erhalten wir etwas Vergleichbares googolplex.
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Können Sie sich diese Gemeinschaft vorstellen? Vorwärts, rückwärts, hoch, runter, so weit das Auge reicht und so weit das Auge reicht Hubble Teleskop, und sogar wie viel es fehlt, bis zu den entferntesten Galaxien und darüber hinaus - Zahlen, Zahlen, Zahlen viel kleiner als ein Proton. Ein solches Universum wird natürlich nicht lange existieren können, es wird sofort in ein Schwarzes Loch kollabieren. Erinnern Sie sich, wie viele Informationen theoretisch in das Universum passen? Ich habe es gesagt.
Die Zahl ist wirklich riesig, bricht das Gehirn. Es ist nicht genau gleich googolplex, und es hat keinen Namen, also nenne ich es "Dochulion". Habe gerade herausgefunden, warum nicht. Die Anzahl der Planck-Zellen im beobachtbaren Universum, und in jede Zelle wird eine Zahl geschrieben. Die Zahl enthält 10.185 Ziffern und kann als 10 10 185 dargestellt werden.
ochulion = 10 10 185
Öffnen wir die Türen der Wahrnehmung etwas weiter. Erinnern Sie sich an die Inflationstheorie? Dass unser Universum nur eine von vielen Blasen im Multiversum ist. Und wenn Sie sich ein Dochulion solcher Blasen vorstellen? Nehmen wir eine Zahl so lang wie alles, was existiert, und stellen wir uns das Multiversum mit einer ähnlichen Anzahl von Universen vor, von denen jedes bis zum Augapfel mit Zahlen gefüllt ist – wir erhalten ein Dochulion von Dochulions. Können Sie sich das vorstellen? Wie du in der Nichtexistenz eines Skalarfelds schwimmst und überall Universen-Universen und Zahlen-Zahlen-Zahlen in ihnen sind ... Ich hoffe, dass ein solcher Albtraum (aber warum ein Albtraum?) Nicht quälen wird (und warum quälen?) nachts einen allzu leicht zu beeindruckenden Leser.
Der Einfachheit halber nennen wir eine solche Operation "Flip". Solch ein frivoler Einwurf, als ob sie das Universum genommen und es umgekrempelt hätten, dann war es innen in Zahlen, und jetzt haben wir im Gegenteil so viele Universen draußen, wie es Zahlen gab, und jede Schachtel ist voll, voll davon Zahlen. Wenn Sie einen Granatapfel schälen, biegen Sie die Kruste so, die Körner schlagen von innen heraus und die Granaten sind wieder in den Körnern. Es kam auch unterwegs auf, warum nicht, weil es mit dohulion funktionierte.
Worauf ich hinaus will? Lohnt es sich langsamer zu werden? Komm schon, Hoba, und noch ein Flip! Und jetzt haben wir so viele Universen, wie es Ziffern in den Universen gab, deren Anzahl gleich dem Dochulion von Ziffern war, die unser Universum füllten. Und sofort, ohne anzuhalten, wieder umdrehen. Sowohl der vierte als auch der fünfte. Zehntel, Tausendstel. Halten Sie mit dem Gedanken Schritt, stellen Sie sich das Bild noch vor?
Lassen Sie uns keine Zeit mit Kleinigkeiten verschwenden, die Flügel der Fantasie ausbreiten, in vollen Zügen beschleunigen und Flip-Flip-Flips machen. Wir drehen jedes Universum so oft um, wie es Prä-Hulion-Universen im vorigen Flip gab, die seit dem vorletzten Jahr umgedreht wurden, die ... äh ... na ja, verfolgst du? Irgendwo so. Lassen Sie unsere Nummer nun "dochouliard" werden.
dohouliard = Flip-Flips
Wir hören nicht auf und drehen Dohulions von Dohouliards um, solange wir die Kraft haben. Bis es dunkel wird in den Augen, bis man schreien möchte. Hier ist jeder tapfere Pinocchio für sich, das Stoppwort wird "brynza" sein.
Also. Worum geht es? Riesige und unendliche Dochulions von Flips und Dohouliards von Universen voller Ziffern sind Grahams Zahl nicht gewachsen. Sie kratzen nicht einmal an der Oberfläche. Wenn Grahams Zahl in Form eines Stocks präsentiert wird, der traditionell über das gesamte vorhersehbare Universum gespannt ist, dann wird sich das, was wir hier zusammengeklebt haben, als eine Kerbe von Dicke herausstellen ... na ja ... wie kann ich es so sagen , um es milde auszudrücken ... nicht erwähnenswert. Hier habe ich es so gut ich konnte weicher gemacht.
Lassen Sie uns jetzt ein wenig abschweifen, machen Sie eine Pause. Wir lasen, wir zählten, unsere Augen waren müde. Vergessen wir die Graham-Zahl, wir müssen noch davor kriechen und kriechen, unsere Augen defokussieren, uns entspannen, über eine viel kleinere, geradezu Miniaturzahl meditieren, die wir g 1 nennen werden, und sie mit nur sechs Zeichen aufschreiben:
g1 = 33
Die Zahl g 1 ist gleich "drei, vier Pfeile, drei". Was bedeutet das? Dies ist die Notation, die Knuths Pfeilnotation genannt wird.
Für Details und Details können Sie den Wikipedia-Artikel lesen, aber es gibt Formeln, ich werde es kurz nacherzählen in einfachen Worten.
Ein Pfeil bedeutet gewöhnliche Potenzierung.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
Zwei Pfeile bedeuten verständlicherweise Potenzierung.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/ 3 = 3 27 = 7.625.597.484.987 (mehr als 7 Billionen)
34 = 3333 = 3 3/ 3/ 3 = 3 7 625 597 484 987 = Zahl mit etwa 3 Billionen Stellen
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/ 7 625 597 484 987 = 3 hoch 3 Billionen Stellen - Googolplex ist schon scheiße
Kurz gesagt, "Zahl Pfeil Pfeil eine andere Zahl" zeigt die Höhe der Grade an (Mathematiker sagen "b Turm") wird aus der ersten Zahl gebildet. 58 bedeutet beispielsweise einen Turm aus acht Fünfern und ist so groß, dass er auf keinem Supercomputer berechnet werden kann, auch nicht auf allen Computern auf dem Planeten gleichzeitig.
Kurz gesagt, „Zahl Pfeil Pfeil eine andere Zahl“ zeigt an, wie hoch die Grade (Mathematiker sagen „Turm“) aus der ersten Zahl gebaut werden. 58 bedeutet beispielsweise ein Turm aus acht Fünfern und ist so groß, dass er auf keinem Supercomputer berechnet werden kann, nicht einmal auf allen Computern auf dem Planeten gleichzeitig.

Kommen wir zu den drei Pfeilen. Wenn der Doppelpfeil die Höhe des Gradturms anzeigt, scheint der Dreifachpfeil "die Höhe des Turms der Höhe des Turms" anzuzeigen? Was dort! Im Falle eines Tripels haben wir die Höhe des Turms die Höhe des Turms die Höhe des Turms (es gibt kein solches Konzept in der Mathematik, ich habe mich entschieden, es "turmlos" zu nennen). Etwa so: 11

Das heißt, 33 bildet turmlose Drillinge mit einer Höhe von 7 Billionen Stücken. Was sind 7 Billionen Tripel, die übereinander gestapelt sind und „towerless“ genannt werden? Wenn Sie diesen Text sorgfältig gelesen haben und gleich am Anfang nicht eingeschlafen sind, erinnern Sie sich wahrscheinlich, dass es 100 Billionen Zentimeter von der Erde bis zum Saturn gibt. Die auf dem Bildschirm in zwölfter Schrift dargestellte Drei, diese hier – 3 – ist fünf Millimeter hoch. Die turmlosen Drillinge werden sich also von Ihrem Bildschirm aus erstrecken ... na ja, natürlich nicht bis zum Saturn. Selbst die Sonne wird nicht reichen, nur ein Viertel einer astronomischen Einheit, etwa so viel wie bei gutem Wetter von der Erde zum Mars. Ich mache Sie darauf aufmerksam (schlafen Sie nicht!), dass das Turmlose keine Nummer von der Erde bis zum Mars ist, es ist ein Turm von Graden so hoch. Wir erinnern uns, dass fünf Tripel in diesem Turm den Googolplex bedecken, die Berechnung des ersten Dezimeters von Tripeln alle Sicherungen der Computer des Planeten durchbrennt und die verbleibenden Millionen Kilometer Grad bereits nutzlos sind, sie verspotten den Leser einfach offen und zählen sie ist nutzlos und unmöglich.
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Nun ist klar, dass 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 turmlos, (nicht 3 zum Grad der Turmlosigkeit, sondern „drei Pfeile Pfeil Turmlosigkeit“ (!)), es wird weder in der Länge noch zur Turmlosigkeit passen Höhe in das beobachtbare Universum und passt nicht einmal in das angebliche Multiversum.
Wörter enden bei 35 = 33333 und Interjektionen enden bei 36 = 333333, aber Sie können üben, wenn Sie interessiert sind.
Kommen wir zu den vier Pfeilen. Wie Sie vielleicht schon erraten haben, sitzt hier der Turm auf dem Turm, fährt ohne Turm, und sogar mit Turm, dass ohne Turm keine Rolle spielt. Ich werde nur stillschweigend ein Bild geben, das das Schema zum Berechnen von vier Pfeilen zeigt, wenn jede nächste Zahl des Gradturms die Höhe des Gradturms bestimmt, die die Höhe des Gradturms bestimmt, die Höhe des Gradturms bestimmt Turm der Grade ... und so weiter bis zur Selbstvergessenheit.

Es ist nutzlos, es zu berechnen, und es wird nicht funktionieren. Die Anzahl der Abschlüsse eignet sich hier nicht für eine sinnvolle Abrechnung. Diese Zahl kann man sich nicht vorstellen, sie kann man nicht beschreiben. Es sind keine Analogien auf die Finger™ anwendbar, es gibt einfach nichts, womit man die Zahl vergleichen könnte. Wir können sagen, dass es riesig ist, dass es grandios ist, dass es monumental ist und über den Ereignishorizont hinausblickt. Das heißt, um ihm einige verbale Epitheta zu geben. Aber Visualisierung, selbst frei und figurativ, ist unmöglich. Wenn es mit drei Pfeilen noch möglich war, zumindest etwas zu sagen, einen Turm von der Erde zum Mars zu ziehen, es irgendwie mit etwas zu vergleichen, dann kann es einfach keine Analogien geben. Versuchen Sie, sich einen dünnen Dreierturm von der Erde zum Mars vorzustellen, daneben noch einen fast gleichen, und noch einen, und noch einen ... Das endlose Feld der Türme erstreckt sich in die Ferne, in die Unendlichkeit, Türme sind überall, Türme sind überall . Und was am beleidigendsten ist, diese Türme haben nicht einmal etwas mit der Zahl zu tun, sie bestimmen nur die Höhe anderer Türme, die gebaut werden müssen, um die Höhe der Türme zu erhalten, um die Höhe der Türme zu erhalten ... um nach unvorstellbar viel Zeit und Iterationen die Zahl selbst zu erhalten.
Das ist g 1, das ist 33.
Ausgeruht? Nun, ab g 1, kehren wir mit neuer Kraft zum Angriff auf die Graham-Zahl zurück. Haben Sie bemerkt, wie die Eskalation von Pfeil zu Pfeil wächst?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = Turm, von der Erde zum Mars.
33 = eine Zahl, die man sich weder vorstellen noch beschreiben kann.
Und stellen Sie sich vor, was für ein digitaler Albtraum vor sich geht, wenn der Schütze fünf Jahre alt ist? Wann sind es sechs? Können Sie sich die Zahl vorstellen, wenn der Schütze hundert ist? Lassen Sie mich, wenn Sie können, Ihre Aufmerksamkeit auf die Zahl g 2 lenken, bei der sich herausstellt, dass die Anzahl dieser Pfeile gleich g 1 ist. Denken Sie daran, was g 1 ist, richtig?

Alles, was bisher geschrieben wurde, all diese Berechnungen, Grade und Türme, die nicht in die Multiversen der Multiversen passen, wurden nur für einen benötigt. Um die ANZAHL DER PFEILE in der Zahl g 2 anzuzeigen. Sie müssen nichts zählen, Sie können einfach lachen und mit der Hand winken.
Ich werde mich nicht verstecken, es gibt auch g 3 , das g 2 Pfeile enthält. Übrigens ist noch klar, dass g 3 nicht g 2 "hoch" von g 2 ist, sondern die Anzahl der turmlosen Türme, die die Höhe bestimmen, die turmlosen Türme, die die Höhe bestimmen ... und so weiter runter die ganze Kette bis zum Hitzetod des Universums? Hier fängt man an zu weinen.
Warum weinen? Denn absolut wahr. Es gibt auch eine Zahl g 4 , die g 3 Pfeile zwischen Tripeln enthält. Es gibt auch g 5 , es gibt g 6 und g 7 und g 17 und g 43 ...
Kurz gesagt, es gibt 64 dieser g. Jeder vorherige ist numerisch gleich der Anzahl der Pfeile im nächsten. Das letzte g 64 ist Grahams Nummer, mit der alles so harmlos zu beginnen schien. Dies ist die Anzahl der Dimensionen des Hyperwürfels, die definitiv ausreichen wird, um die Segmente korrekt rot und blau einzufärben. Vielleicht weniger, das ist sozusagen die Obergrenze. Es ist wie folgt geschrieben:

Was ist die größte Zahl auf der Welt, die etwas bedeutet? In diesem Artikel werde ich versuchen, über ein digitales Monster namens Graham-Zahl zu sprechen.

Schreibt sly2m.livejournal.com

Eine Quelle:

Wenn Sie lange in den Abgrund blicken, können Sie eine gute Zeit haben.
Mechanischer Seeleningenieur

Graham-Nummer auf Fingers™

Sobald ein Kind (und das passiert ungefähr im Alter von drei oder vier Jahren) versteht, dass alle Zahlen in drei Gruppen „eins, zwei und viele“ unterteilt sind, versucht es sofort herauszufinden: wie viel ist viel, wie viel unterscheidet sich von viel, und kann es so viele geben, dass es keine mehr gibt. Sicherlich haben Sie mit Ihren Eltern ein interessantes (für dieses Alter) Spiel gespielt, wer wird die größte Zahl nennen, und wenn der Vorfahre nicht dümmer war als ein Fünftklässler, dann hat er immer gewonnen, für jede „Million“ mit „zwei Millionen“ geantwortet , und für "Milliarde" - "zwei Milliarden" oder "eine Milliarde plus eins".

Schon in der ersten Schulklasse weiß jeder, dass es unendlich viele Zahlen gibt, sie nie enden und es keine größte Zahl gibt. Zu jeder Million Billionen Milliarden können Sie immer "plus eins" sagen und gewinnen. Und wenig später kommt (sollte!) die Einsicht, dass lange Zahlenketten an sich nichts aussagen. All diese Billionen von Milliarden machen nur Sinn, wenn sie zur Repräsentation einer bestimmten Anzahl von Objekten dienen oder ein bestimmtes Phänomen beschreiben. Es ist kein Problem, eine lange Zahl zu erfinden, die nichts anderes ist als eine Reihe lang klingender Zahlen, es gibt bereits unendlich viele davon. Die Wissenschaft ist gewissermaßen im übertragenen Sinne damit beschäftigt, in diesem grenzenlosen Abgrund nach ganz bestimmten Zahlenkombinationen zu suchen, die einige physikalische Phänomene wie die Lichtgeschwindigkeit, die Avogadro-Zahl oder die Planck-Konstante ergänzen.

Und es stellt sich sofort die Frage, was ist die größte Zahl auf der Welt, die etwas bedeutet? In diesem Artikel werde ich versuchen, über ein digitales Monster namens Graham-Zahl zu sprechen, obwohl die Wissenschaft streng genommen noch mehr Zahlen kennt. Grahams Nummer ist die am meisten publizierte, man könnte sagen, von der breiten Öffentlichkeit "gehört", weil sie recht einfach zu erklären ist und doch groß genug, um einem den Kopf zu verdrehen. Im Allgemeinen muss hier ein kleiner Haftungsausschluss (russische Warnung) erklärt werden. Es mag wie ein Witz klingen, aber ich scherze nicht. Ich meine das ganz ernst – das akribische Zupfen in solche mathematischen Tiefen, verbunden mit der hemmungslosen Erweiterung der Wahrnehmungsgrenzen, kann (und wird) gravierende Auswirkungen auf das Weltbild, auf die Positionierung des Individuums in der Gesellschaft und letztlich haben , über den allgemeinen psychologischen Zustand des Pflückers, oder wie wir die Dinge beim richtigen Namen nennen - öffnet den Weg zum Shiz. Es ist nicht notwendig, den folgenden Text zu genau zu lesen, es ist nicht erforderlich, sich die darin beschriebenen Dinge zu lebhaft und anschaulich vorzustellen. Und sag später nicht, dass du nicht gewarnt wurdest!

Wenn sie beispielsweise über die Anzahl der Sterne im Universum (im beobachtbaren Universum) sprechen, wird sich kein Idiot die Mühe machen, zu berechnen, wie viele von ihnen es im wörtlichen Sinne bis zum letzten Stern gibt. Es wird angenommen, dass etwa 10²¹ Stück. Und das ist eine niedrigere Schätzung. Das bedeutet, dass die Gesamtzahl der Sterne als Zahl mit 21 Nullen nach einer ausgedrückt werden kann, d. h. "1.000.000.000.000.000.000.000".

So sieht ein kleiner Teil von ihnen (ca. 100.000) im Kugelsternhaufen Omega Centauri aus.

Natürlich spielen bei solchen Skalen reelle Zahlen keine wesentliche Rolle in der Zahl, alles ist sehr bedingt und ungefähr. Vielleicht ist die tatsächliche Anzahl der Sterne im Universum "1.564.861.615.140.168.357.973" oder vielleicht "9.384.684.643.798.468.483.745". Und sogar „3 333 333 333 333 333 333 333“, warum nicht, obwohl es natürlich unwahrscheinlich ist. In der Kosmologie, der Wissenschaft von den Eigenschaften des Universums als Ganzes, werden solche Kleinigkeiten nicht getäuscht. Die Hauptsache ist, sich vorzustellen, dass diese Zahl ungefähr aus 22 Ziffern besteht, weshalb es bequemer ist, sie als Einheit mit 21 Nullen zu betrachten und als 10²¹ aufzuschreiben. Die Regel ist allgemein und sehr einfach. Welche Ziffer oder Zahl steht anstelle des Grades (klein gedruckt über 10), so viele Nullen nach der Einheit werden in dieser Zahl stehen, wenn Sie es auf einfache Weise mit Zeichen hintereinander malen, und nicht auf wissenschaftlichem Weg. Einige Zahlen haben "menschliche Namen", zum Beispiel 10³ nennen wir "tausend", 10⁶ - "Millionen" und 10⁹ - "Milliarden", und manche nicht. Nehmen wir an, 10⁵⁹ hat keinen gebräuchlichen Namen. Und 10²¹ hat es übrigens drauf – es ist eine „Sextillion“.

Alles, was bis zur Million geht, ist für fast jeden intuitiv verständlich, denn wer möchte nicht Millionär werden? Dann beginnen einige Probleme. Obwohl eine Milliarde (10⁹) auch fast jedem bekannt ist. Sie können sogar bis zu einer Milliarde zählen. Wenn erst nach der Geburt, buchstäblich im Moment der Geburt, einmal pro Sekunde „eins, zwei, drei, vier ...“ zu zählen beginnen und nicht schlafen, nicht trinken, nicht essen, sondern nur zählen-zählen-zählen unermüdlich Tag und Nacht, dann, wenn 32 Jahre schlagen, kann man bis zu einer Milliarde zählen, denn 32 Umdrehungen der Erde um die Sonne dauern etwa eine Milliarde Sekunden.

100 Milliarden (10¹¹) - wie viele Menschen haben im Laufe ihrer Geschichte auf der Erde gelebt? McDonald's verkaufte bis 1998 in den 50 Jahren seines Bestehens 100 Milliarden Hamburger. Es gibt 100 Milliarden Sterne (na ja, ein bisschen mehr) in unserer Milchstraße, und die Sonne ist einer von ihnen. Die gleiche Anzahl von Galaxien ist im beobachtbaren Universum enthalten. Es gibt 100 Milliarden Neuronen im menschlichen Gehirn. Und die gleiche Anzahl anaerober Bakterien lebt in jedem Leser dieser Zeilen im Blinddarm.

Eine Billion (10¹²) ist eine selten verwendete Zahl. Es ist unmöglich, bis zu einer Billion zu zählen, es wird 32.000 Jahre dauern. Vor einer Billion Sekunden lebten Menschen in Höhlen und jagten Mammuts mit Speeren. Ja, vor einer Billion Sekunden lebten Mammuts auf der Erde. Es gibt ungefähr eine Billion Fische in den Ozeanen des Planeten. Unsere benachbarte Andromeda-Galaxie enthält etwa eine Billion Sterne. Ein Mensch besteht aus 10 Billionen Zellen. Russlands BIP im Jahr 2013 belief sich auf 66 Billionen Rubel (in 2013 Rubel). Von der Erde bis zum Saturn wurden in allen jemals veröffentlichten Büchern insgesamt 100 Billionen Zentimeter und die gleiche Anzahl von Buchstaben abgedruckt.

Eine Billiarde (10¹⁵, Millionen Milliarden) ist die Anzahl der Ameisen auf dem Planeten. Normale Menschen sprechen dieses Wort nicht laut aus, nun ja, geben Sie es zu, wann haben Sie das letzte Mal in einem Gespräch „eine Billiarde von etwas“ gehört?

Quintillion (10¹⁸, Milliarde Milliarden) - wie viele mögliche Konfigurationen gibt es beim Zusammenbau eines 3x3x3 Rubik's Cube. So ist die Anzahl der Kubikmeter Wasser in den Weltmeeren.

Sextillion (10²¹) - dieser Zahl sind wir bereits begegnet. Die Anzahl der Sterne im beobachtbaren Universum. Die Anzahl der Sandkörner in allen Wüsten der Erde. Die Anzahl der Transistoren in allen existierenden elektronischen Geräten der Menschheit, wenn Intel uns nicht belogen hat.

10 Sextillionen (10²²) ist die Anzahl der Moleküle in einem Gramm Wasser.

10²⁴ ist die Masse der Erde in Kilogramm.

10²⁶ ist der Durchmesser des beobachtbaren Universums in Metern, aber es ist nicht sehr bequem, in Metern zu zählen, die allgemein akzeptierten Grenzen des beobachtbaren Universums betragen 93 Milliarden Lichtjahre.

Die Wissenschaft arbeitet nicht mit Dimensionen, die größer sind als das beobachtbare Universum. Wir wissen mit Sicherheit, dass das beobachtbare Universum nicht das ganze Universum ist. Das ist der Teil, den wir zumindest theoretisch sehen und beobachten können. Oder vielleicht in der Vergangenheit gesehen haben. Oder wir können irgendwann in ferner Zukunft sehen und im Rahmen der modernen Wissenschaft bleiben. Aus dem Rest des Universums werden uns selbst mit Lichtgeschwindigkeit keine Signale erreichen können, was diese Orte aus unserer Sicht als nicht existent erscheinen lässt. Wie groß dieses große Universum ist, weiß niemand wirklich. Vielleicht millionenfach mehr als vorhersehbar. Oder vielleicht eine Milliarde. Oder vielleicht sogar endlos. Ich sage, das ist keine Wissenschaft mehr, sondern Vermutungen über den Kaffeesatz. Wissenschaftler haben einige Vermutungen, aber das ist mehr Fantasie als Realität.

Um die kosmische Skala zu visualisieren, ist es nützlich, dieses Bild zu studieren und es auf den gesamten Bildschirm zu erweitern.

Aber selbst im beobachtbaren Universum können Sie viel mehr von etwas anderem als Metern stopfen.

10⁵¹ Atome bilden den Planeten Erde.

10⁸⁰ ist die ungefähre Anzahl der Elementarteilchen im beobachtbaren Universum.

10⁹⁰ ist die ungefähre Anzahl von Photonen im beobachtbaren Universum. Davon gibt es fast 10 Milliarden Mal mehr als Elementarteilchen, Elektronen und Protonen.

10¹⁰⁰ - googol. Diese Zahl bedeutet physikalisch nichts, nur rund und schön. Das Unternehmen, das sich zum Ziel gesetzt hatte, das Google der Links (ein Witz natürlich, das ist mehr als die Anzahl der Elementarteilchen im Universum!) zu indizieren, nahm 1998 den Namen Google an.

10¹²² Protonen werden benötigt, um das beobachtbare Universum bis zu den Augäpfeln zu füllen, dicht so, Proton an Proton, Rücken an Rücken.

Das beobachtbare Universum nimmt 10¹⁸⁵ Planck-Bände ein. Weniger als das Planck-Volumen (ein Würfel der Planck-Länge 10⁻³⁵ Meter) kennt unsere Wissenschaft nicht. Sicher gibt es dort, wie im Universum, etwas noch Kleineres, aber Wissenschaftler haben noch keine vernünftigen Formeln für solche Kleinigkeiten gefunden, sondern nur reine Spekulationen.

Es stellt sich heraus, dass 10¹⁸⁵ oder so die größte Zahl ist, die in der modernen Wissenschaft möglicherweise etwas bedeuten könnte. In einer Wissenschaft, die fühlen und messen kann. Es ist etwas, das existiert oder existieren könnte, wenn wir alles wüssten, was es über das Universum zu wissen gibt. Die Nummer besteht aus 186 Ziffern, hier ist sie:

Oder von der Saitentheorie gehört, nach der es etwa 10⁵⁰⁰ Konfigurationen von Saitenschwingungen geben kann, was gleich viele potentielle Universen mit jeweils eigenen Gesetzmäßigkeiten bedeutet.

Je weiter in den Wald hinein, desto weniger bleibt die theoretische Physik und Wissenschaft im Allgemeinen in den Zahlen, die an Volumen gewinnen, und hinter den Nullsäulen beginnt eine immer reinere, ungetrübte Königin der Wissenschaften hervorzulugen. Mathematik ist nicht Physik, es gibt keine Einschränkungen und es gibt nichts, wofür man sich schämen müsste, geh spazieren, Seele, schreib Nullen in Formeln bis zum Umfallen.

Ich werde nur den vielen bekannten Googolplex erwähnen. Eine Zahl, die ein Googol von Ziffern hat, zehn hoch ein Googol oder zehn hoch zehn hoch hundert

Ich werde es nicht in Zahlen aufschreiben. Googleplex bedeutet absolut nichts. Eine Person kann sich keinen Googolplex von irgendetwas vorstellen, es ist physikalisch unmöglich. Um eine solche Zahl aufzuschreiben, braucht man das gesamte beobachtbare Universum, wenn man mit einem „Nano-Stift“ direkt im Vakuum schreibt, nämlich in den Planck-Zellen des Kosmos. Lassen Sie uns alle Materie in Tinte übersetzen und das Universum mit einer soliden Zahl füllen, dann bekommen wir einen Googolplex. Aber Mathematiker (schreckliche Leute!) wärmen sich nur mit dem Googolprex auf, das ist die unterste Stange, von der aus echte Leckerbissen für sie beginnen. Und wenn Sie denken, dass Googolplex im Ausmaß von Googolplex das ist, worüber wir sprechen, haben Sie keine Ahnung, WIE falsch.

Hinter dem Googolplex verbergen sich viele interessante Zahlen, die die eine oder andere Rolle bei mathematischen Beweisen spielen, wie lange und wie kurz, gehen wir direkt zur Graham-Zahl, benannt nach (na ja, natürlich) dem Mathematiker Ronald Graham. Zuerst werde ich Ihnen sagen, was es ist und wofür es ist, danach werde ich bildlich und an meinen Fingern ™ beschreiben, wie groß es ist, und dann werde ich die Nummer selbst schreiben. Genauer gesagt werde ich versuchen zu erklären, was ich geschrieben habe.

Grahams Zahl tauchte in einer Arbeit auf, die der Lösung eines der Probleme der Ramsey-Theorie gewidmet war, und „Ramsey“ ist hier kein unvollkommenes Partizip, sondern der Nachname eines anderen Mathematikers, Frank Ramsey. Die Aufgabe ist natürlich aus philisterhafter Sicht ziemlich weit hergeholt, wenn auch nicht sehr wirr, sogar leicht verständlich.

Stellen Sie sich einen Würfel vor, dessen Ecken alle durch Liniensegmente in zwei Farben, rot oder blau, verbunden sind. Verbunden und zufällig gefärbt. Einige haben es bereits erraten, dass es sich um einen Zweig der Mathematik namens Kombinatorik handelt.

Werden wir in der Lage sein, die Farbkonfiguration so zu erfinden und zu wählen (und es gibt nur zwei davon - rot und blau), dass es beim Färben dieser Segmente NICHT klappt, dass alle Segmente derselben Farbe miteinander verbunden werden vier Ecken in einer Ebene liegen? In diesem Fall stellen sie KEINE solche Figur dar:

Sie können selbst denken, den Würfel in Ihrer Vorstellung vor Ihren Augen drehen, das ist nicht so schwierig. Es gibt zwei Farben, der Würfel hat 8 Ecken (Ecken), was bedeutet, dass es 28 Segmente gibt, die sie verbinden. Sie können die Farbkonfiguration so wählen, dass wir die obige Figur nirgendwo erhalten, es werden mehrfarbige Linien sein in allen möglichen Ebenen.

Was wäre, wenn wir mehr Dimensionen hätten? Was wäre, wenn wir keinen Würfel nehmen, sondern einen vierdimensionalen Würfel, d.h. tesserakt? Können wir den gleichen Trick wie mit 3D hinbekommen?

In fünf Dimensionen? Und im Fünfdimensionalen, wo der Würfel Penteract oder Pentacub genannt wird, ist es auch möglich.
Und das in sechs Dimensionen.

Und dann gibt es Schwierigkeiten. Graham konnte mathematisch nicht beweisen, dass ein siebendimensionaler Hyperwürfel eine solche Operation durchführen könnte. Sowohl achtdimensional als auch neundimensional und so weiter. Aber das gegebene „und so weiter“ ging nicht bis ins Unendliche, sondern endet mit einer sehr großen Zahl, die „Graham-Zahl“ genannt wurde.

Das heißt, es gibt eine Mindestdimension des Hyperwürfels, unter der die Bedingung verletzt wird, und es ist nicht mehr möglich, eine Kombination von Farbsegmenten zu vermeiden, dass vier Punkte derselben Farbe in derselben Ebene liegen. Und diese Mindestdimension ist genau größer als sechs und genau kleiner als die Graham-Zahl, das ist der mathematische Beweis des Wissenschaftlers.

Und nun die Definition dessen, was ich oben in wenigen Absätzen in einer trockenen und langweiligen (aber weitläufigen) Sprache der Mathematik beschrieben habe. Es ist nicht notwendig zu verstehen, aber ich kann es nicht bringen.

Betrachten Sie einen n-dimensionalen Hyperwürfel und verbinden Sie alle Knotenpaare, um einen vollständigen Graphen mit 2n Knoten zu erhalten. Färben Sie jede Kante dieses Diagramms entweder rot oder blau. Was ist der kleinste Wert von n, für den jede solche Färbung notwendigerweise einen einfarbigen vollständigen Teilgraphen mit vier Knoten enthält, die alle in derselben Ebene liegen?

1971 bewies Graham, dass dieses Problem eine Lösung hat und dass diese Lösung (die Anzahl der Dimensionen) zwischen der Zahl 6 und einer größeren Zahl liegt, die später (nicht vom Autor selbst) nach ihm benannt wurde. 2008 wurde der Beweis verbessert, die untere Schranke angehoben, jetzt liegt die gewünschte Anzahl an Dimensionen bereits zwischen der Zahl 13 und der Graham-Zahl. Mathematiker schlafen nicht, die Arbeit geht weiter, der Spielraum verengt sich.

Seit den 70er Jahren sind viele Jahre vergangen, mathematische Probleme wurden gefunden, in denen Zahlen und mehr Graham auftauchen, aber diese erste Monsterzahl beeindruckte Zeitgenossen, die verstanden, um welche Größenordnung es sich handelte, so sehr, dass sie 1980 als „the die größte Zahl, die jemals an einem rigorosen mathematischen Beweis teilgenommen hat" zu dieser Zeit.

Versuchen wir herauszufinden, wie groß es ist. Die größte Zahl, die eine physikalische Bedeutung haben kann, ist 10¹⁸⁵, und wenn das gesamte beobachtbare Universum mit einer scheinbar endlosen Menge magerer Zahlen gefüllt ist, erhalten wir etwas, das einem Googolplex entspricht.

Können Sie sich diese Gemeinschaft vorstellen? Vorwärts, rückwärts, hoch, runter, so weit das Auge reicht und so weit das Hubble-Teleskop reicht, und sogar so weit es nicht reicht, zu den entferntesten Galaxien und darüber hinaus zu blicken – Zahlen, Zahlen, Zahlen viel kleiner als ein Proton. Ein solches Universum wird natürlich nicht lange existieren können, es wird sofort in ein Schwarzes Loch kollabieren. Erinnern Sie sich, wie viele Informationen theoretisch in das Universum passen?

Die Zahl ist wirklich riesig, bricht das Gehirn. Es ist nicht genau gleich googolplex, und es hat keinen Namen, also werde ich es "dochulion" nennen. Habe gerade herausgefunden, warum nicht. Die Anzahl der Planck-Zellen im beobachtbaren Universum, und in jede Zelle wird eine Zahl geschrieben. Die Nummer hat 10¹⁸⁵ Ziffern und kann dargestellt werden als

Öffnen wir die Türen der Wahrnehmung etwas weiter. Erinnern Sie sich an die Inflationstheorie? Dass unser Universum nur eine von vielen Blasen im Multiversum ist. Und wenn Sie sich ein Dochulion solcher Blasen vorstellen? Nehmen wir eine Zahl so lang wie alles, was existiert, und stellen wir uns das Multiversum mit einer ähnlichen Anzahl von Universen vor, von denen jedes bis zum Augapfel mit Zahlen gefüllt ist – wir erhalten ein Dochulion von Dochulions. Können Sie sich das vorstellen? Wie du in der Nichtexistenz eines Skalarfeldes schwebst, und ringsum sind Universen-Universen und Zahlen-Zahlen-Zahlen in ihnen ... Ich hoffe, dass ein solcher Albtraum (aber, warum ein Albtraum?) Nicht quälen wird (und warum quälen?) nachts einen allzu leicht zu beeindruckenden Leser.

Der Einfachheit halber nennen wir eine solche Operation "Flip". Solch ein frivoler Einwurf, als ob sie das Universum genommen und es umgekrempelt hätten, dann war es innen in Zahlen, und jetzt haben wir im Gegenteil so viele Universen draußen, wie es Zahlen gab, und jede Schachtel ist voll, voll davon Zahlen. Wenn Sie einen Granatapfel schälen, biegen Sie die Kruste so, die Körner schlagen von innen heraus und die Granaten sind wieder in den Körnern. Es kam auch unterwegs auf, warum nicht, weil es mit dohulion funktionierte.

Worauf ich hinaus will? Lohnt es sich langsamer zu werden? Komm schon, Hoba, und noch ein Flip! Und jetzt haben wir so viele Universen, wie es Ziffern in den Universen gab, deren Anzahl gleich dem Dochulion von Ziffern war, die unser Universum füllten. Und sofort, ohne anzuhalten, wieder umdrehen. Sowohl der vierte als auch der fünfte. Zehntel, Tausendstel. Halten Sie mit dem Gedanken Schritt, stellen Sie sich das Bild noch vor?

Lassen Sie uns keine Zeit mit Kleinigkeiten verschwenden, die Flügel der Fantasie ausbreiten, in vollen Zügen beschleunigen und Flip-Flip-Flips machen. Wir drehen jedes Universum so oft um, wie es Prä-Hulion-Universen im vorigen Flip gab, die seit dem vorletzten Jahr umgedreht wurden, die ... äh ... na ja, verfolgst du? Irgendwo so. Nehmen wir nun an, unsere Nummer werde "dochouliard".

Dohouliard = Flip-Flips

Wir hören nicht auf und drehen Dohulions von Dohouliards um, solange wir die Kraft haben. Bis es dunkel wird in den Augen, bis man schreien möchte. Hier ist jeder tapfere Pinocchio für sich, das Stoppwort lautet „brynza“.

Also. Worum geht es? Riesige und unendliche Dochulions von Flips und Dohouliards von Universen voller Ziffern sind Grahams Zahl nicht gewachsen. Sie kratzen nicht einmal an der Oberfläche. Wenn Grahams Zahl in Form eines Stocks präsentiert wird, der traditionell über das gesamte vorhersehbare Universum gespannt ist, dann wird sich das, was wir hier zusammengeklebt haben, als eine Kerbe von Dicke herausstellen ... na ja ... wie kann ich es so sagen , um es milde auszudrücken ... nicht erwähnenswert. Hier habe ich es so gut ich konnte weicher gemacht.

Lassen Sie uns jetzt ein wenig abschweifen, machen Sie eine Pause. Wir lasen, wir zählten, unsere Augen waren müde. Vergessen wir Grahams Zahl, wir müssen immer noch davor kriechen und kriechen, unsere Augen unscharf machen, uns entspannen, über eine viel kleinere, geradezu Miniaturzahl meditieren, die wir g₁ nennen, und sie in nur sechs Zeichen aufschreiben:
g₁ = 33

Die Zahl g₁ ist "drei, vier Pfeile, drei". Was bedeutet das? Dies ist die Notation, die Knuths Pfeilnotation genannt wird.

Ein Pfeil bedeutet gewöhnliche Potenzierung.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10.000.000.000

Zwei Pfeile bedeuten verständlicherweise Potenzierung.

Kurz gesagt, „Zahl Pfeil Pfeil eine andere Zahl“ zeigt an, wie hoch die Grade (Mathematiker sagen „Turm“) aus der ersten Zahl gebaut werden. 58 bedeutet beispielsweise ein Turm aus acht Fünfern und ist so groß, dass er auf keinem Supercomputer berechnet werden kann, nicht einmal auf allen Computern auf dem Planeten gleichzeitig.

Kommen wir zu den drei Pfeilen. Wenn der Doppelpfeil die Höhe des Gradturms anzeigt, würde der Dreifachpfeil dann anscheinend „die Höhe des Turms der Höhe des Turms“ anzeigen? Was dort! Im Falle eines Tripels haben wir die Höhe des Turms die Höhe des Turms die Höhe des Turms (es gibt kein solches Konzept in der Mathematik, ich habe mich entschieden, es „turmlos“ zu nennen). Irgendwie so:

Das heißt, 33 bildet turmlose Drillinge mit einer Höhe von 7 Billionen Stücken. Was sind 7 Billionen Tripel, die übereinander gestapelt sind und „towerless“ genannt werden? Wenn Sie diesen Text sorgfältig gelesen haben und gleich am Anfang nicht eingeschlafen sind, erinnern Sie sich wahrscheinlich, dass es 100 Billionen Zentimeter von der Erde bis zum Saturn gibt. Das auf dem Bildschirm dargestellte Tripel in der zwölften Schriftart, diese hier – 3 – ist fünf Millimeter hoch. Die turmlosen Drillinge werden sich also von Ihrem Bildschirm aus erstrecken ... na ja, natürlich nicht bis zum Saturn. Selbst die Sonne wird nicht reichen, nur ein Viertel einer astronomischen Einheit, etwa so viel wie bei gutem Wetter von der Erde zum Mars. Ich mache Sie darauf aufmerksam (schlafen Sie nicht!), dass das Turmlose keine Zahl von der Erde bis zum Mars ist, es ist ein Gradturm von einer solchen Höhe. Wir erinnern uns, dass fünf Tripel in diesem Turm den Googolplex bedecken, die Berechnung des ersten Dezimeters von Tripeln alle Sicherungen der Computer des Planeten durchbrennt und die verbleibenden Millionen Kilometer Grad bereits nutzlos sind, sie verspotten den Leser einfach offen, das ist es nutzlos, sie zu zählen.

Nun ist klar, dass 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 turmlos, (nicht 3 zum Grad der Turmlosigkeit, sondern „drei Pfeile Pfeil Turmlosigkeit“ (!)), ihre turmlose Turmlosigkeit wird weder in der Länge noch in der Höhe passen in das beobachtbare Universum und passt nicht einmal in das vermeintliche Multiversum.

Wörter enden bei 35 = 33333 und Interjektionen enden bei 36 = 333333, aber Sie können üben, wenn Sie interessiert sind.

Kommen wir zu den vier Pfeilen. Wie Sie vielleicht erraten haben, sitzt hier der Turm auf dem Turm, fährt ohne Turm und sogar mit Turm, das ohne Turm - es ist alles dasselbe. Ich werde nur stillschweigend ein Bild geben, das das Schema zum Berechnen von vier Pfeilen zeigt, wenn jede nächste Zahl des Gradturms die Höhe des Gradturms bestimmt, die die Höhe des Gradturms bestimmt, die Höhe des Gradturms bestimmt Turm der Grade ... und so weiter bis zur Selbstvergessenheit.

Das ist g₁, das ist 33.

Ausgeruht? Nun kehren wir von g₁ mit neuen Kräften zum Angriff auf die Graham-Zahl zurück. Haben Sie bemerkt, wie die Eskalation von Pfeil zu Pfeil wächst?

33 = 7 625 597 484 987

33 = Turm, von der Erde zum Mars.

33 = eine Zahl, die man sich weder vorstellen noch beschreiben kann.

Und stellen Sie sich vor, was für ein digitaler Albtraum vor sich geht, wenn der Schütze fünf Jahre alt ist? Wann sind es sechs? Können Sie sich die Zahl vorstellen, wenn der Schütze hundert ist? Wenn Sie können, lassen Sie mich Ihre Aufmerksamkeit auf die Zahl g₂ lenken, bei der sich herausstellt, dass die Anzahl dieser Pfeile gleich g₁ ist. Denken Sie daran, was g₁ ist, richtig?

Ich werde mich nicht verstecken, es gibt auch g₃, das g₂-Pfeile enthält. Übrigens ist noch klar, dass g₃ nicht g₂ „hoch“ von g₂ ist, sondern die Anzahl der turmlosen Türme, die die Höhe bestimmen, die turmlosen Türme, die die Höhe bestimmen … und so weiter die ganze Kette runter bis Der Hitzetod des Universums? Hier fängt man an zu weinen.

Warum weinen? Denn absolut wahr. Es gibt auch die Zahl g₄, die g₃-Pfeile zwischen Tripeln enthält. Es gibt auch g₅, es gibt g₆ und g₇ und g₁₇ und g₄₃...

Kurz gesagt, es gibt 64 dieser g. Jeder vorherige ist numerisch gleich der Anzahl der Pfeile im nächsten. Das letzte g₆₄ ist Grahams Zahl, mit der alles so harmlos zu beginnen schien. Dies ist die Anzahl der Dimensionen des Hyperwürfels, die definitiv ausreichen wird, um die Segmente korrekt rot und blau einzufärben. Vielleicht weniger, das ist sozusagen die Obergrenze. Es ist wie folgt geschrieben:

und schreibe so.

Es gibt Zahlen, die so unglaublich, unglaublich groß sind, dass das gesamte Universum bräuchte, um sie aufzuschreiben. Aber hier ist, was wirklich verrückt macht ... einige dieser unfassbar großen Zahlen sind extrem wichtig, um die Welt zu verstehen.

Wenn ich „die größte Zahl im Universum“ sage, meine ich wirklich die größte bedeutsam Zahl, die maximal mögliche Zahl, die in irgendeiner Weise nützlich ist. Es gibt viele Anwärter auf diesen Titel, aber ich warne Sie gleich: Es besteht in der Tat die Gefahr, dass der Versuch, all dies zu verstehen, Sie umhauen wird. Und außerdem macht zu viel Mathe wenig Spaß.

Googol und Googolplex

Eduard Kasner

Wir könnten mit zwei beginnen, wahrscheinlich den größten Zahlen, von denen Sie jemals gehört haben, und dies sind tatsächlich die beiden größten Zahlen, die allgemein akzeptierte Definitionen haben Englische Sprache. (Es gibt eine ziemlich genaue Nomenklatur für beliebig große Zahlen, aber diese beiden Zahlen sind derzeit nicht in Wörterbüchern zu finden.) Google, seit es weltberühmt wurde (wenn auch mit Fehlern, beachten Sie, dass es sich tatsächlich um Googol handelt). die Form von Google, wurde 1920 geboren, um Kinder für große Zahlen zu interessieren.

Zu diesem Zweck nahm Edward Kasner (im Bild) seine beiden Neffen Milton und Edwin Sirott mit auf eine New Jersey Palisades Tour. Er lud sie ein, irgendwelche Ideen einzubringen, und dann schlug der neunjährige Milton „googol“ vor. Woher er dieses Wort hatte, ist unbekannt, aber Kasner entschied das oder eine Zahl, bei der auf die Eins hundert Nullen folgen, wird fortan Googol genannt.

Aber der junge Milton hat hier nicht aufgehört, er hat sich eine noch größere Nummer ausgedacht, den Googolplex. Laut Milton ist es eine Zahl, die zuerst eine 1 und dann so viele Nullen hat, wie Sie schreiben können, bevor Sie müde werden. Obwohl die Idee faszinierend ist, hielt Kasner eine formellere Definition für erforderlich. Wie er in seinem Buch Mathematics and the Imagination von 1940 erklärte, lässt Miltons Definition die gefährliche Möglichkeit offen, dass der gelegentliche Possenreißer ein überlegener Mathematiker gegenüber Albert Einstein werden könnte, nur weil er mehr Ausdauer hat.

Also entschied Kasner, dass der Googolplex , oder 1 sein würde, gefolgt von einem Googol aus Nullen. Andernfalls und in einer Schreibweise ähnlich der, mit der wir uns mit anderen Zahlen befassen werden, werden wir sagen, dass der googolplex ist. Um zu zeigen, wie faszinierend das ist, bemerkte Carl Sagan einmal, dass es physikalisch unmöglich sei, alle Nullen eines Googolplex aufzuschreiben, weil es einfach nicht genug Platz im Universum gebe. Wenn das gesamte Volumen des beobachtbaren Universums mit etwa 1,5 Mikrometer großen Feinstaubpartikeln gefüllt ist, dann die Anzahl verschiedene Wege Die Position dieser Partikel entspricht ungefähr einem Googolplex.

Sprachlich gesehen sind googol und googolplex wahrscheinlich die beiden größten signifikanten Zahlen (zumindest im Englischen), aber wie wir jetzt feststellen werden, gibt es unendlich viele Möglichkeiten, „Bedeutung“ zu definieren.

Echte Welt

Wenn wir über die größte signifikante Zahl sprechen, gibt es ein vernünftiges Argument dafür, dass dies wirklich bedeutet, dass Sie die größte Zahl mit einem Wert finden müssen, der tatsächlich auf der Welt existiert. Wir können mit der aktuellen menschlichen Bevölkerung beginnen, die derzeit etwa 6920 Millionen beträgt. Das weltweite BIP im Jahr 2010 wurde auf rund 61.960 Milliarden US-Dollar geschätzt, aber beide Zahlen sind klein im Vergleich zu den rund 100 Billionen Zellen, aus denen der menschliche Körper besteht. Natürlich kann keine dieser Zahlen mit vergleichen volle Nummer Teilchen im Universum, die allgemein als etwa angenommen wird, und diese Zahl ist so groß, dass unsere Sprache kein entsprechendes Wort hat.

Wir können ein bisschen mit Messsystemen herumspielen, wodurch die Zahlen immer größer werden. Somit ist die Masse der Sonne in Tonnen geringer als in Pfund. Eine gute Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, die Planck-Einheiten zu verwenden, die die kleinsten möglichen Maße sind, für die die Gesetze der Physik noch gelten. Zum Beispiel beträgt das Alter des Universums in Planck-Zeit etwa . Wenn wir zur ersten Planck-Zeiteinheit nach dem Urknall zurückgehen, werden wir sehen, dass die Dichte des Universums damals war. Wir werden immer mehr, aber wir haben noch nicht einmal einen Googol erreicht.

Die größte Zahl mit einer Anwendung in der realen Welt – oder in diesem Fall einer Anwendung in der realen Welt – ist wahrscheinlich eine der neuesten Schätzungen der Anzahl der Universen im Multiversum. Diese Zahl ist so groß, dass das menschliche Gehirn all diese verschiedenen Universen buchstäblich nicht wahrnehmen kann, da das Gehirn nur zu groben Konfigurationen fähig ist. Tatsächlich ist diese Zahl wahrscheinlich die größte Zahl mit praktischer Bedeutung, wenn Sie die Idee des Multiversums als Ganzes nicht berücksichtigen. Dort lauern jedoch noch viel größere Zahlen. Aber um sie zu finden, müssen wir uns in das Reich der reinen Mathematik begeben, und es gibt keinen besseren Ausgangspunkt als Primzahlen.

Mersenne-Primzahlen

Ein Teil der Schwierigkeit besteht darin, eine gute Definition dessen zu finden, was eine „aussagekräftige“ Zahl ist. Eine Möglichkeit besteht darin, in Begriffen von Primzahlen und Komposita zu denken. Eine Primzahl, wie Sie sich wahrscheinlich aus der Schulmathematik erinnern, ist eine beliebige natürliche Zahl(Achtung nicht gleich eins), die nur durch und selbst teilbar ist. Also sind und Primzahlen und und zusammengesetzte Zahlen. Das bedeutet, dass jede zusammengesetzte Zahl schließlich durch ihre Primteiler dargestellt werden kann. In gewissem Sinne ist die Zahl wichtiger als, sagen wir, weil es keine Möglichkeit gibt, sie als Produkt kleinerer Zahlen auszudrücken.

Natürlich können wir noch ein bisschen weiter gehen. zum Beispiel ist eigentlich nur , was bedeutet, dass ein Mathematiker in einer hypothetischen Welt, in der unser Wissen über Zahlen auf begrenzt ist, immer noch ausdrücken kann. Aber die nächste Zahl ist bereits eine Primzahl, was bedeutet, dass die einzige Möglichkeit, sie auszudrücken, darin besteht, direkt von ihrer Existenz zu wissen. Das bedeutet, dass die größten bekannten Primzahlen eine wichtige Rolle spielen, aber beispielsweise ein Googol – das letztlich nur eine Ansammlung von Zahlen und miteinander multipliziert ist – eigentlich nicht. Und da Primzahlen größtenteils zufällig sind, gibt es keine bekannte Möglichkeit vorherzusagen, dass eine unglaublich große Zahl tatsächlich eine Primzahl sein wird. Bis heute ist die Entdeckung neuer Primzahlen eine schwierige Aufgabe.

Mathematiker Antikes Griechenland hatte mindestens 500 v. Chr. ein Konzept von Primzahlen, und 2000 Jahre später wussten die Menschen nur bis etwa 750, was Primzahlen sind. Euklids Denker sahen die Möglichkeit einer Vereinfachung, aber bis zur Renaissance konnten Mathematiker sie nicht wirklich umsetzen üben. Diese Zahlen sind als Mersenne-Zahlen bekannt und nach der französischen Wissenschaftlerin Marina Mersenne aus dem 17. Jahrhundert benannt. Die Idee ist ganz einfach: Eine Mersenne-Zahl ist eine beliebige Zahl der Form . Also zum Beispiel, und diese Zahl ist eine Primzahl, das gleiche gilt für .

Mersenne-Primzahlen sind viel schneller und einfacher zu bestimmen als jede andere Art von Primzahl, und Computer haben in den letzten sechs Jahrzehnten hart daran gearbeitet, sie zu finden. Bis 1952 war die größte bekannte Primzahl eine Zahl – eine Zahl mit Ziffern. Im selben Jahr wurde auf einem Computer berechnet, dass die Zahl eine Primzahl ist, und diese Zahl besteht aus Ziffern, was sie bereits viel größer als einen Googol macht.

Seitdem sind Computer auf der Jagd, und derzeit ist die te Mersenne-Zahl die größte Primzahl, der Menschheit bekannt. Sie wurde 2008 entdeckt und ist eine Zahl mit fast Millionen Ziffern. Dies ist die größte bekannte Zahl, die nicht durch kleinere Zahlen ausgedrückt werden kann, und wenn Sie helfen möchten, eine noch größere Mersenne-Zahl zu finden, können Sie (und Ihr Computer) jederzeit an der Suche unter http://www.mersenne teilnehmen. org/.

Skews-Nummer

Stanley Skuse

Kommen wir zurück zu den Primzahlen. Wie ich bereits sagte, verhalten sie sich grundlegend falsch, was bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, vorherzusagen, was die nächste Primzahl sein wird. Mathematiker waren gezwungen, sich einigen ziemlich fantastischen Messungen zuzuwenden, um eine Möglichkeit zu finden, zukünftige Primzahlen vorherzusagen, selbst auf nebulöse Weise. Der erfolgreichste dieser Versuche ist wahrscheinlich die Funktion, die Primzahlen zählt, die er in entwickelt hat spätes XVIII Jahrhunderts der legendäre Mathematiker Carl Friedrich Gauß.

Ich erspare Ihnen die kompliziertere Mathematik – wir haben sowieso noch viel vor – aber die Essenz der Funktion ist folgende: Für jede ganze Zahl ist es möglich abzuschätzen, wie viele Primzahlen es weniger als gibt. Zum Beispiel, wenn , sagt die Funktion voraus, dass es Primzahlen geben sollte, wenn - Primzahlen kleiner als , und wenn , dann gibt es kleinere Zahlen, die Primzahlen sind.

Die Anordnung der Primzahlen ist tatsächlich unregelmäßig und nur eine Annäherung an die tatsächliche Anzahl der Primzahlen. Tatsächlich wissen wir, dass es Primzahlen kleiner als , Primzahlen kleiner als und Primzahlen kleiner als gibt. Das hervorragende Note, zwar, aber das ist immer nur eine Schätzung ... und zwar eine Schätzung von oben.

In allen bekannten Fällen bis übertreibt die Funktion, die die Anzahl der Primzahlen ermittelt, die tatsächliche Anzahl der Primzahlen geringfügig unter . Mathematiker dachten einst, dass dies immer der Fall sein würde, bis ins Unendliche, und dass dies sicherlich für einige unvorstellbar große Zahlen gilt, aber 1914 bewies John Edensor Littlewood, dass diese Funktion für eine unbekannte, unvorstellbar große Zahl beginnt, weniger Primzahlen zu produzieren, und dann wird es unendlich oft zwischen Überschätzung und Unterschätzung wechseln.

Die Jagd galt dem Startpunkt der Rennen, und dort tauchte Stanley Skuse auf (siehe Foto). 1933 bewies er, dass die obere Grenze, wenn eine Funktion, die sich der Anzahl der Primzahlen annähert, zum ersten Mal einen kleineren Wert ergibt, die Zahl ist. Es ist schwierig, selbst im abstraktesten Sinne wirklich zu verstehen, was diese Zahl wirklich ist, und aus dieser Sicht war es die größte Zahl, die jemals in einem ernsthaften mathematischen Beweis verwendet wurde. Seitdem konnten Mathematiker die Obergrenze auf eine relativ kleine Zahl reduzieren, aber die ursprüngliche Zahl ist als Skewes-Zahl bekannt geblieben.

Also, wie groß ist die Zahl, die selbst den mächtigen Googolplex zum Zwerg macht? In The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers beschreibt David Wells eine Möglichkeit, wie der Mathematiker Hardy die Größe der Skewes-Zahl verstehen konnte:

„Hardy dachte, es sei ‚die größte Zahl, die je einem bestimmten Zweck in der Mathematik diente‘ und schlug vor, dass, wenn Schach mit allen Teilchen des Universums als Figuren gespielt würde, ein Zug darin bestehen würde, zwei Teilchen auszutauschen, und das Spiel würde aufhören, wenn dieselbe Stellung ein drittes Mal wiederholt, dann entspräche die Anzahl aller möglichen Partien etwa der Anzahl von Skuse''.

Eine letzte Sache, bevor wir fortfahren: Wir haben über die kleinere der beiden Skewes-Zahlen gesprochen. Es gibt noch eine weitere Skewes-Zahl, die der Mathematiker 1955 gefunden hat. Die erste Zahl wird mit der Begründung abgeleitet, dass die sogenannte Riemann-Hypothese wahr ist – eine besonders schwierige Hypothese in der Mathematik, die unbewiesen bleibt, sehr nützlich, wenn es um Primzahlen geht. Wenn die Riemann-Hypothese jedoch falsch ist, fand Skewes heraus, dass der Startpunkt für die Starthilfe auf steigt.

Das Größenproblem

Bevor wir zu einer Zahl kommen, die sogar die Zahl von Skewes winzig aussehen lässt, müssen wir ein wenig über die Größenordnung sprechen, da wir sonst keine Möglichkeit haben, abzuschätzen, wohin wir gehen. Nehmen wir zuerst eine Zahl – es ist eine winzige Zahl, so klein, dass die Menschen tatsächlich ein intuitives Verständnis dafür haben können, was sie bedeutet. Es gibt nur sehr wenige Zahlen, die auf diese Beschreibung passen, da es Zahlen größer als sechs nicht mehr gibt getrennte Nummern und werden „mehrere“, „viele“ usw.

Nehmen wir nun , d.h. . Obwohl wir nicht wirklich intuitiv herausfinden können, wie wir es bei der Zahl getan haben, können wir uns vorstellen, was es ist, aber es ist sehr einfach. Bisher läuft alles gut. Aber was passiert, wenn wir gehen? Dies ist gleich , oder . Wir sind weit davon entfernt, uns diesen Wert wie jeden anderen sehr großen vorzustellen - wir verlieren die Fähigkeit, einzelne Teile irgendwo um eine Million herum zu verstehen. (Wahr, verrückt große Menge Es würde einige Zeit dauern, irgendetwas wirklich bis zu einer Million zu zählen, aber der Punkt ist, dass wir diese Zahl immer noch wahrnehmen können.)

Obwohl wir es uns nicht vorstellen können, sind wir zumindest in der Lage, allgemein zu verstehen, was 7600 Milliarden sind, vielleicht indem wir es mit etwas wie dem US-BIP vergleichen. Wir sind von der Intuition über die Repräsentation zum bloßen Verstehen übergegangen, aber zumindest haben wir immer noch eine Lücke in unserem Verständnis dessen, was eine Zahl ist. Dies wird sich bald ändern, wenn wir die Leiter eine weitere Sprosse hinaufsteigen.

Dazu müssen wir auf die von Donald Knuth eingeführte Notation umschalten, die als Pfeilnotation bekannt ist. Diese Notationen können geschrieben werden als . Wenn wir dann zu gehen, ist die Zahl, die wir erhalten, . Dies entspricht der Gesamtzahl der Drillinge. Wir haben jetzt alle anderen bereits erwähnten Zahlen bei weitem und wahrhaftig übertroffen. Schließlich hatten selbst die größten von ihnen nur drei oder vier Mitglieder in der Indexreihe. Selbst die Super Skewes-Zahl ist zum Beispiel „nur“ – auch wenn sowohl die Basis als auch die Exponenten viel größer als sind, ist sie immer noch absolut nichts im Vergleich zur Größe des Zahlenturms mit Milliarden Mitgliedern.

Offensichtlich gibt es keine Möglichkeit, solch riesige Zahlen zu verstehen ... und doch kann der Prozess, durch den sie erzeugt werden, immer noch verstanden werden. Wir konnten die wirkliche Zahl, die der Turm der Kräfte angibt, nicht verstehen, die eine Milliarde Dreier ist, aber wir können uns im Grunde einen solchen Turm mit vielen Mitgliedern vorstellen, und ein wirklich anständiger Supercomputer wird in der Lage sein, solche Türme im Speicher zu speichern, selbst wenn es so ist können ihre wahren Werte nicht berechnen.

Es wird immer abstrakter, aber es wird immer schlimmer. Sie könnten denken, dass ein Turm von Potenzen, dessen Exponentenlänge ist (außerdem habe ich in einer früheren Version dieses Beitrags genau diesen Fehler gemacht), aber es ist nur . Mit anderen Worten, stellen Sie sich vor, Sie könnten den genauen Wert eines Kraftturms aus Tripeln berechnen, der aus Elementen besteht, und dann nehmen Sie diesen Wert und erstellen einen neuen Turm mit so vielen darin wie ... was ergibt .

Wiederholen Sie diesen Vorgang mit jeder aufeinanderfolgenden Zahl ( Hinweis von rechts beginnend), bis Sie dies einmal tun, und schließlich erhalten Sie . Das ist eine Zahl, die einfach unglaublich groß ist, aber zumindest die Schritte, um sie zu bekommen, scheinen klar zu sein, wenn alles sehr langsam gemacht wird. Wir können Zahlen nicht mehr verstehen oder uns vorstellen, wie sie gewonnen werden, aber zumindest den grundlegenden Algorithmus können wir erst in ausreichend langer Zeit verstehen.

Lassen Sie uns jetzt den Geist darauf vorbereiten, ihn tatsächlich in die Luft zu jagen.

Grahams (Grahams) Nummer

Ronald Graham

So erhalten Sie die Graham-Zahl, die im Guinness-Buch der Rekorde als die größte Zahl gilt, die jemals in einem mathematischen Beweis verwendet wurde. Es ist absolut unmöglich, sich vorzustellen, wie groß es ist, und es ist ebenso schwierig, genau zu erklären, was es ist. Grundsätzlich erscheint Grahams Zahl beim Umgang mit Hyperwürfeln, die theoretisch sind geometrische Formen mit mehr als drei Dimensionen. Der Mathematiker Ronald Graham (siehe Foto) wollte herausfinden, was die kleinste Anzahl von Dimensionen ist, die bestimmte Eigenschaften eines Hyperwürfels stabil halten. (Entschuldigung für diese vage Erklärung, aber ich bin sicher, dass wir alle mindestens zwei Mathematikabschlüsse brauchen, um es genauer zu machen.)

In jedem Fall ist die Graham-Zahl eine obere Schätzung dieser Mindestanzahl von Dimensionen. Wie groß ist diese Obergrenze? Kommen wir zurück zu einer Zahl, die so groß ist, dass wir den Algorithmus zu ihrer Ermittlung ziemlich vage verstehen können. Anstatt einfach eine weitere Ebene nach oben zu springen, zählen wir jetzt die Zahl, die Pfeile zwischen dem ersten und dem letzten Tripel hat. Jetzt sind wir weit über das geringste Verständnis hinaus, was diese Zahl ist oder was getan werden muss, um sie zu berechnen.

Wiederholen Sie nun diesen Vorgang mal ( Hinweis Bei jedem nächsten Schritt schreiben wir die Anzahl der Pfeile gleich der im vorherigen Schritt erhaltenen Anzahl).

Dies, meine Damen und Herren, ist Grahams Zahl, die etwa eine Größenordnung über dem menschlichen Verständnis liegt. Es ist eine Zahl, die so viel mehr ist als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können – sie ist weit mehr als jede Unendlichkeit, die Sie sich jemals vorstellen können – sie widersetzt sich einfach jeder abstraktesten Beschreibung.

Aber hier ist das Seltsame. Da Grahams Zahl im Grunde nur aus Tripeln besteht, die miteinander multipliziert werden, kennen wir einige ihrer Eigenschaften, ohne sie tatsächlich zu berechnen. Wir können Grahams Zahl in keiner uns vertrauten Notation darstellen, selbst wenn wir das gesamte Universum verwendet hätten, um sie aufzuschreiben, aber ich kann Ihnen jetzt die letzten zwölf Ziffern von Grahams Zahl geben: . Und das ist noch nicht alles: Wir kennen zumindest die letzten Ziffern von Grahams Nummer.

Natürlich sollte man sich daran erinnern, dass diese Zahl nur eine Obergrenze in Grahams ursprünglichem Problem ist. Es ist möglich, dass die tatsächliche Anzahl von Messungen, die erforderlich ist, um die gewünschte Eigenschaft zu erfüllen, viel, viel geringer ist. Tatsächlich glauben seit den 1980er Jahren die meisten Experten auf diesem Gebiet, dass es tatsächlich nur sechs Dimensionen gibt – eine Zahl, die so klein ist, dass wir sie auf einer intuitiven Ebene verstehen können. Die Untergrenze wurde seitdem auf erhöht, aber es besteht immer noch eine sehr gute Chance, dass die Lösung von Grahams Problem nicht in der Nähe einer so großen Zahl wie Grahams liegt.

Zur Unendlichkeit

Es gibt also Zahlen, die größer sind als Grahams Zahl? Natürlich gibt es für den Anfang die Graham-Zahl. Was die signifikante Zahl angeht ... nun, es gibt einige teuflisch schwierige Bereiche der Mathematik (insbesondere des als Kombinatorik bekannten Gebiets) und der Informatik, in denen es Zahlen gibt, die sogar noch größer sind als Grahams Zahl. Aber wir haben fast die Grenze dessen erreicht, was ich hoffentlich jemals vernünftig erklären kann. Für diejenigen, die leichtsinnig genug sind, noch weiter zu gehen, wird zusätzliche Lektüre auf eigenes Risiko angeboten.

Nun, jetzt ein erstaunliches Zitat, das Douglas Ray zugeschrieben wird ( Hinweis Klingt ehrlich gesagt ziemlich komisch:

„Ich sehe Klumpen vage Zahlen, die da draußen im Dunkeln lauern, hinter dem kleinen Lichtpunkt, den die Geisteskerze gibt. Sie flüstern miteinander; darüber reden, wer was weiß. Vielleicht mögen sie uns nicht sehr, weil wir ihre kleinen Brüder mit unseren Gedanken gefangen nehmen. Oder vielleicht führen sie einfach eine eindeutig zahlenmäßige Lebensweise da draußen, jenseits unseres Verständnisses.“

Um sich irgendwie die Größenordnung der Zahl vorzustellen, lassen Sie uns ihre Aufzeichnung genauer analysieren.

1 . In der Mathematik gibt es also das Konzept des "Hyperoperators", um die Ebene arithmetischer Operationen zu bestimmen. Somit ist die Addition ein Hyperoperator der ersten Ebene, und ein Hyperoperator der zweiten Ebene ist die Multiplikation, die eine wiederholte Addition ist. Das heißt, ein Multiplikator ist eine Zahl, die angibt, wie oft der multiplizierte Wert addiert werden muss. Zum Beispiel: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Der nächste Hyperoperator ist die Potenzierung, x n = x^n, was im Wesentlichen eine wiederholte Multiplikation ist. Beispiel: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. Das Schreiben von 3 3 in Knuth-Notation sieht wie 33 aus. Hier sollte der Klarheit halber gesagt werden, dass die erste Ziffer im Ausdruck 33 der Wert ist, mit dem wir die Aktion ausführen , und die Anzahl der Pfeile zwischen den Ziffern ist eine arithmetische Operation; in diesem Fall bedeutet ein Pfeil Potenzierung. Die zweite Ziffer bedeutet die Potenz, mit der die erste Ziffer erhoben werden soll (wie oft mit sich selbst multipliziert werden soll). Dementsprechend bedeutet der Ausdruck 74 sieben hoch vier. Mit anderen Worten, 7 muss viermal mit 7 multipliziert werden.

2 . Der Hyperoperator der vierten Ebene ist Tetraation, wiederholte Potenzierung. In Knuths Eintrag sind zwei Pfeile zwischen den Zahlen. Beispiel: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. Das heißt, die zweite Ziffer in Gegenwart von zwei Pfeilen bedeutet, dass Sie die erste Zahl so oft auf erhöhen müssen Macht von selbst. Mit anderen Worten, es zeigt uns die Höhe des Kraftturms von der ersten Ziffer an. Der Eintrag 58 bedeutet beispielsweise einen Turm aus acht Fünfern, die wie Würfel übereinander gestapelt sind.

Diejenigen, deren Gehirn völlig mit Fett angeschwollen ist oder nur mit Gedanken darüber beschäftigt ist, wie man Chan findet, seinen Elf aufpumpt oder Akne loswird, sollte bedenken, dass Ausdrücke in Tetration berechnet werden von oben nach unten, oder von rechts nach links. Einfach gesagt, 3 3 3 ist verdammt noch mal nicht 27 3 , sondern genau das gleiche 3 27 . Jetzt sehen Sie, mein pelziger kleiner Freund, dass Tetraration bereits eine ziemlich mächtige Notation ist, die es Ihnen ermöglicht, in einem kurzen Ausdruck Zahlen zu schreiben, die 100500 mal größer sind als 100500. Aber das ist noch nicht alles, denn es ist kein stark genuger Hyperoperator dafür Berechnen Sie die Grahamsche Zahl.

3 . Machen wir weiter: Der Hyperoperator der fünften Ebene ist die Pentation (wiederholte Tetration). Drei Pfeile zwischen Zahlen. Hier fängt der Scheiß an, von dem Menschen, die keine professionellen Mathematiker sind, auf diesen ganzen Mist spucken und nicht mehr versuchen, ihn zu verstehen. Aber du bist nicht wie sie, oder? Wenn Sie dachten, dass die Pentation der Zahl 3 in 3 hoch 7 625 597 484 987 zerlegt wird, dann haben Sie sich geirrt. Du hast keine Ahnung, wie falsch du liegst. Denn 3 hoch 7 625 597 484 987 ist nur 34. Und Pentation ist 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( Anzahl der Potenzierungen - 7.625.597.484.987 mal)…3. Das heißt, man erhält einen dreifachen Power Tower mit einer Höhe von mehr als siebeneinhalb Billionen Stockwerken! Mit anderen Worten, Die zweite Ziffer in Gegenwart von drei Pfeilen bedeutet, wie hoch der Tetrarationsturm der ersten Ziffer sein wird. Zur Verdeutlichung: 34 kann als 3 3 3 3 oder 3 (3 (3 3)) geschrieben werden. Und hier ist die Hauptsache zu verstehen, dass dieser Turm der Tetraationen kein Turm der Stufen ist, hier ist die Eskalation viel schneller. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Endlich verstanden, Schlampe! 34 ist gleich 3 in Tetration der Zahl, die sich aus der Berechnung des Kraftturms aus der Zahl 3 mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken ergibt. Wenn dementsprechend 34 als dreifacher Kraftturm geschrieben wird, entspricht die Anzahl der Stockwerke in diesem Turm der Anzahl, die sich bei der Berechnung eines Kraftturms mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken ergibt. Eingeführt? Ich habe natürlich nicht vorgestellt, solche Mengen sind nicht auf einen Schlag zu erfassen.

Wenn Sie immer noch langsam nicht verstehen, was hier vor sich geht, dann lesen Sie Absatz 2 noch einmal.

4 . Und der letzte Hyperoperator, den wir brauchen, ist Verhexung. Wie Sie vielleicht erraten haben, vier Pfeile zwischen dreien. Dies ist dementsprechend eine wiederholte Buße. Die zweite Ziffer in Gegenwart von vier Pfeilen bedeutet, wie hoch der "Pentation" -Turm sein wird. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, wobei die Anzahl der Tetraationen das Ergebnis der Berechnung der Pentation 33 ist. Wenn Sie wieder nichts verstehen, lesen Sie die Punkte 3 und 2 erneut.
Wenn wir bis zum Ende dieser undenkbaren Kette von Tetraationen gehen und sie zu berechnen beginnen, dann wird das zweite Tripel vom Ende in der Tetraation gleich 7 625 597 484 987. Und das Ergebnis der Tetration des dritten Tripels von der end ist die Zahl, die man durch Pentation des Tripels im vorigen Absatz erhält. Und vor uns sind weitere Googolplexe und Googolplexe von wiederholten Tetraationen der Zahl 3. Es ist schon sinnlos zu versuchen, etwas zu verstehen, das Ergebnis irgendwie zu verdecken ... Und hier fragen Sie vielleicht: „Ist das wirklich Grahams Nummer? Wow, wie riesig!“ Aber nein, es ist nicht Grahams Nummer. Es war nur ein mathematischer Hinweis, und er ist vernachlässigbar, unermesslich klein im Vergleich zu Grahams Zahl.

Daher fügt die Verhexung der Pentation nur einen Pisspfeil hinzu, aber das Ergebnis fällt um eine unvorstellbare Anzahl von Größenordnungen größer aus. Und nun tatsächlich die Berechnung der Graham-Zahl. Die Zahl drei in den Beispielen wurde aus einem bestimmten Grund verwendet, weil Grahams Zahl im Wesentlichen die multiplizierten Tripel sind. Nennen wir also das Ergebnis unserer Verhexung (33) G1. Dies ist der erste Berechnungsschritt. Nur die erste. Und der nächste Schritt beschleunigt den Fortschritt, sodass das Hinzufügen von eins, zehn, MILLIONEN Pfeilen zwischen den Zahlen die Zeit markiert. Der zweite Schritt ist die Berechnung von G2. Jetzt nehmen wir das Ergebnis unserer Hexatisierung des Tripels und schreiben einen Ausdruck, bei dem die Anzahl der Supergrad-Pfeile gleich diesem Ergebnis ist. G2 = 3…(Anzahl der Supermachtpfeile – G1)…3. Ich frage mich, wie der Hyperoperator auf SOLCHER Ebene heißt?

Die Aufzeichnung nicht nur des Ergebnisses, sondern auch dieser Hyperoperator ist ohne Reduktion nicht mehr möglich. Und die Zahl, die sich aus ihrer Berechnung ergibt (wenn sie natürlich berechnet werden könnte), würde sowohl das Universum als auch füllen Parallelwelten, und Subraum, und jeder andere Astral. Und vergessen Sie nicht, dass in G1 die Anzahl der Pfeile gleich vier war - und dies ist bereits eine Zahl, die nicht auf die übliche Weise zum Berechnen und Schreiben zur Verfügung steht! Und in G2 ist diese Zahl nur die Zahl der Supergrade. Das ist es. Der Fortschritt ist unglaublich schnell. Und das ist erst der Anfang. Der nächste Schritt besteht darin, die Zahl G3 zu berechnen, wobei die Anzahl der Supermachtpfeile gleich G2 ist! Auf ähnliche Weise folgen danach weitere 62 Berechnungsschritte, wobei das Ergebnis jedes Schritts nur die Anzahl der Superkraftpfeile des nächsten Schritts ist und Grahams Zahl G64 ist!

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Um sich irgendwie die Größenordnung der Zahl vorzustellen, lassen Sie uns ihre Aufzeichnung genauer analysieren. Hier ist eine Präambel erforderlich, aber im Allgemeinen wird nichts zu kompliziert sein, wir werden versuchen, alles so klar wie möglich zu beschreiben.

1 . In der Mathematik gibt es also das Konzept des "Hyperoperators", um die Ebene arithmetischer Operationen zu bestimmen. Die Addition ist also ein Hyperoperator der ersten Ebene. Hyperoperator der zweiten Ebene - Multiplikation. Multiplikation ist wiederholte Addition. Das heißt, ein Multiplikator ist eine Zahl, die uns sagt, wie oft wir den multiplizierten Wert addieren müssen. Zum Beispiel: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Der nächste Hyperoperator ist die Potenzierung, x n = x^n, was im Wesentlichen eine wiederholte Multiplikation ist. Beispiel: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. Das Schreiben von 3 3 in Knuth-Notation sieht wie 33 aus. Hier sollte der Klarheit halber gesagt werden, dass die erste Ziffer im Ausdruck 33 der Wert ist, mit dem wir die Aktion ausführen , die Anzahl der Pfeile zwischen Zahlen - dies ist eine arithmetische Operation, in diesem Fall bedeutet ein Pfeil Potenzierung. Die zweite Ziffer bedeutet die Potenz, mit der die erste Ziffer erhoben werden soll (wie oft mit sich selbst multipliziert werden soll). Wenn also der Ausdruck 74 wäre, dann bedeutet das sieben bis zum vierten Grad. Mit anderen Worten, 7 muss viermal mit 7 multipliziert werden.

2 . Der Hyperoperator der vierten Ebene ist Tetraration. Tetration ist wiederholte Potenzierung. In Knuths Eintrag sind zwei Pfeile zwischen den Zahlen. Beispiel: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. Das heißt, die zweite Ziffer in Gegenwart von zwei Pfeilen bedeutet, dass Sie die erste Zahl so oft auf erhöhen müssen Macht von selbst. Mit anderen Worten, es zeigt uns die Höhe des Kraftturms von der ersten Ziffer an. Der Eintrag 58 bedeutet beispielsweise einen Turm aus acht Fünfern, die wie Würfel übereinander gestapelt sind.

Wem das Gehirn komplett mit Fett angeschwollen ist oder sich nur mit Gedanken darüber beschäftigt, wie man einen Chan findet, seine Elfe aufpumpt oder Akne loswird, sollte bedenken, dass Ausdrücke in Tetration berechnet werden von oben nach unten oder von rechts nach links. Einfach gesagt, 3 3 3 ist verdammt noch mal nicht 27 3 , sondern genau das gleiche 3 27 . Jetzt siehst du, mein dummer kleiner Freund, dass die Tetraration bereits eine ziemlich mächtige Notation ist, die es dir erlaubt, in einem kurzen Ausdruck Zahlen zu schreiben, die 100500 mal größer sind als 100500 selbst. Aber das ist noch nicht alles, weil es kein mächtig genuger Hyperoperator dafür ist Berechnen Sie die Grahamsche Zahl.

3 . Machen wir weiter: Der Hyperoperator der fünften Ebene ist die Pentation (wiederholte Tetration). Drei Pfeile zwischen Zahlen. Hier fängt der Scheiß an, von dem Menschen, die keine professionellen Mathematiker sind, auf diesen ganzen Mist spucken und nicht mehr versuchen, ihn zu verstehen. Aber du bist nicht wie sie, oder? Wenn Sie dachten, dass die Pentation der Zahl 3 in 3 hoch 7 625 597 484 987 zerlegt wird, dann haben Sie sich geirrt. Du hast keine Ahnung, wie falsch du liegst. Denn 3 hoch 7 625 597 484 987 ist nur 34. Und Pentation ist 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( Anzahl der Potenzierungen - 7.625.597.484.987 mal)…3. Das heißt, man erhält einen dreifachen Power Tower mit einer Höhe von mehr als siebeneinhalb Billionen Stockwerken! Mit anderen Worten, Die zweite Ziffer in Gegenwart von drei Pfeilen bedeutet, wie hoch der Tetrarationsturm der ersten Ziffer sein wird. Zur Verdeutlichung: 34 kann als 3 3 3 3 oder 3 (3 (3 3)) geschrieben werden. Und hier ist die Hauptsache zu verstehen, dass dieser Turm der Tetraationen kein Turm der Stufen ist, hier ist die Eskalation viel schneller. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. Endlich verstanden? 34 ist gleich 3 in Tetration der Zahl, die sich aus der Berechnung des Kraftturms aus der Zahl 3 mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken ergibt. Wenn dementsprechend 34 als dreifacher Kraftturm geschrieben wird, entspricht die Anzahl der Stockwerke in diesem Turm der Anzahl, die sich bei der Berechnung eines Kraftturms mit einer Höhe von 7.625.597.484.987 Stockwerken ergibt. Eingeführt? Ich habe natürlich nicht vorgestellt, solche Mengen sind nicht auf einen Schlag zu erfassen.

Wenn Sie immer noch langsam nicht verstehen, was hier vor sich geht, dann lesen Sie Absatz 2 noch einmal.

4 . Und der letzte Hyperoperator, den wir brauchen, ist Verhexung. Wie Sie vielleicht erraten haben, vier Pfeile zwischen dreien. Dies ist dementsprechend eine wiederholte Buße. Die zweite Ziffer in Gegenwart von vier Pfeilen bedeutet, wie hoch der "Pentation" -Turm sein wird. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, wobei die Anzahl der Tetraationen das Ergebnis der Berechnung von Pentation 33 ist. Wenn Sie wieder nichts verstehen, lesen Sie erneut die Absätze 3 und 2. Wenn wir zu den übergehen Ganz am Ende dieser undenkbaren Kette von Tetraationen und beginne sie zu berechnen, dann wird bereits das zweite Tripel vom Ende gleich 7 625 597 484 987 sein. Und das Ergebnis der Tetraation des dritten Tripels vom Ende wird die Zahl sein erhalten durch Pentation des Tripels im vorherigen Absatz. Und vor uns sind weitere Googolplexe und Googolplexe von wiederholten Tetraationen der Zahl 3. Es ist schon sinnlos zu versuchen, etwas zu verstehen, das Ergebnis irgendwie zu verdecken ... Und hier fragen Sie vielleicht: „Ist das wirklich Grahams Nummer? Wow, wie riesig!“ Aber nein, es ist nicht Grahams Nummer. Es war nur ein mathematischer Hinweis, und er ist vernachlässigbar, unermesslich klein im Vergleich zu Grahams Zahl.

Es ist also ein Sechseck. Dies fügt der Pentation nur einen Pfeil hinzu, aber das Ergebnis ist eine unvorstellbare Anzahl von Größenordnungen größer. Und nun tatsächlich die Berechnung der Graham-Zahl. Die Zahl drei in den Beispielen wurde aus einem bestimmten Grund verwendet, weil Grahams Zahl im Wesentlichen die multiplizierten Tripel sind. Nennen wir also das Ergebnis unserer Verhexung (33) G1. Dies ist der erste Berechnungsschritt. Nur die erste. Und der nächste Schritt beschleunigt den Fortschritt, sodass das Hinzufügen von eins, zehn, MILLIONEN Pfeilen zwischen den Zahlen die Zeit markiert. Schritt zwei, Berechnung von G2. Jetzt nehmen wir das Ergebnis unserer Hexatisierung des Tripels und schreiben einen Ausdruck, bei dem die Anzahl der Supergrad-Pfeile gleich diesem Ergebnis ist. G2 = 3…(Anzahl der Supermachtpfeile – G1)…3. Ich frage mich, wie der Hyperoperator auf SOLCHER Ebene genannt wird. Nicht nur das Aufzeichnen des Ergebnisses, sondern selbst dieser Hyperoperator ist ohne Reduktion nicht mehr möglich. Und die Zahl, die sich aus seiner Berechnung ergibt (wenn es natürlich möglich wäre, sie zu berechnen), würde das Universum und Parallelwelten, den Subraum und jeden anderen Astralraum mit seinen Zahlen füllen. Und vergessen Sie nicht, dass in G1 die Anzahl der Pfeile gleich 4 war! Und das ist schon eine Zahl, die nicht in gewohnter Weise zur Berechnung und Erfassung zur Verfügung steht! Und in G2 ist diese Zahl nur die Zahl der Supergrade. Das ist es. Der Fortschritt ist unglaublich schnell. Und das ist erst der Anfang. Der nächste Schritt besteht darin, die Zahl G3 zu berechnen, wobei die Anzahl der Supermachtpfeile gleich G2 ist! Und ebenso gibt es danach 62 weitere Berechnungsschritte, wobei das Ergebnis jedes Schritts nur die Anzahl der Superkraftpfeile des nächsten Schritts ist und Grahams Zahl G64 ist!

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