Der zweite Goldene Schnitt. Göttliche Harmonie: Was ist der goldene Schnitt in einfachen Worten. Geheimnisse des Universums in Zahlen Goldenes Dreieck im Goldenen Schnitt

Ich gehe gerne durch das Zentrum von Moskau, wo es viele alte Gebäude gibt, die mit verziert sind geometrische Formen enthält den Goldenen Schnitt. Sie ziehen die Aufmerksamkeit einer Person auf sich und lassen sie ihre Schönheit bewundern. Es wurde für mich interessant, über das Lehrbuch der Geometrie hinauszublicken und die Rolle des Goldenen Schnitts im kulturellen Bereich des Lebens zu betrachten.

Goldener Schnitt(oder der Anteil von Phidias) ist laut vielen Forschern für das menschliche Auge am angenehmsten. Dies kann seine vielseitige Anwendung durch den Menschen erklären, beispielsweise in Bereichen wie Architektur, Malerei, Fotografie und Landschaftsgestaltung Verwenden Sie diesen Anteil und verwandte Eigenschaften weithin. Dieser Anteil wurde von den klügsten Leuten wie Leonardo da Vinci und Le Corbusier hoch geschätzt. Der Künstler und Architekt Leonardo Da Vinci glaubte, dass die idealen Proportionen des menschlichen Körpers mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung gebracht werden sollten. Der Architekt Le Corbusier ließ sich in vielen seiner Werke von ihm leiten. Ich wollte mir ein paar Grundkenntnisse zu diesem Thema aneignen.

In der Renaissance war der Goldene Schnitt sehr beliebt, beispielsweise war es üblich, die Maße des Bildes so zu nehmen, dass das Verhältnis von Breite zu Höhe der Anzahl der Phidias entsprach. Die Form des Goldenen Schnitts wurde nicht nur Gemälden, sondern auch Büchern, Tischen und Postkarten gegeben. Daher möchte ich die Verwendung des Goldenen Schnitts in verschiedenen Epochen von der Antike über die Renaissance bis zum XlX. Jahrhundert näher betrachten. Dazu müssen Sie die Literatur zu diesem Thema lesen und studieren, am besten finden interessante Fakten und nehmen Sie sie in Ihr Abstract auf.

Der Zweck dieses Abstracts ist es, die Informationen übersichtlich und interessant darzustellen. Um das Ziel zu erreichen, wurden folgende Aufgaben gestellt

1. Definieren Sie die Begriffe Symmetrie und Asymmetrie, den Goldenen Schnitt.

2. beschreibe die goldenen Figuren und baue einige davon

3. über die Anwendung und Nutzung der göttlichen Proportionen durch den Menschen sprechen

Um meine Arbeit zu schreiben, verwende ich die folgende Literatur: Azevich A.I. "Zwanzig Lektionen der Harmonie", Vedov V. "Gesundheitspyramiden", Sagatelova S.S., Studenetskaya V.N. Geometrie: Schönheit und Harmonie. Die einfachsten Aufgaben Analytische Geometrie auf der Oberfläche. Goldene Symmetrie, Anteil um uns herum. 8-9 Klassen: Wahlkurse“, N.Ya. Vilenkin „Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs“, Artikel aus der elektronischen Version der Science and Technology Library, einer elektronischen Version der Enzyklopädie für Kinder in Mathematik. Buch Azevich A.I. „Twenty Lessons of Harmony“ deckt meiner Meinung nach das Thema Symmetrie und Asymmetrie gut auf und gibt klare und detaillierte erste Informationen zum Goldenen Schnitt. Sagatelova S. S., Studenetskaya V. N. Geometrie: Schönheit und Harmonie. Die einfachsten Probleme der analytischen Geometrie in der Ebene. Goldene Symmetrie, Anteil um uns herum. Grades 8-9: Elective Courses“ beschreibt die goldenen Figuren und wie man sie gut baut. N. Ya. Vilenkin „Behind the Pages of a Mathematics Lehrbook“ erklärt ausführlich die Herleitung der Formeln des Goldenen Schnitts und ihrer Eigenschaften und beschreibt auch den Aufbau des Goldenen Schnitts und des Pentagramms gut. Vedov V. "Pyramiden der Gesundheit" erklärt die Fibonacci-Reihe und das Erhalten der Anzahl von Phidias auf zugängliche und verständliche Weise. Artikel aus der elektronischen Version der Science and Technology Library, der elektronischen Version der Enzyklopädie für Kinder in Mathematik detaillierte Beschreibung die Verwendung des Goldenen Schnitts in der Antike, der Renaissance und dem 19. Jahrhundert.

Kapitel 1 Goldener Schnitt – Symmetrie oder Asymmetrie?

Das wichtigste Ziel dieser aufsatz soll die schönheit als hauptkategorie der ästhetik und der mathematik aufzeigen.

Haben Sie schon einmal über die Bedeutung des Wortes „Harmonie“ nachgedacht?

Harmonie ist ein griechisches Wort und bedeutet „Konsistenz, Proportion, Einheit der Teile und des Ganzen“. Äußerlich kann sich Harmonie in Melodie, Rhythmus, Symmetrie und Proportion manifestieren. Die letzten beiden beziehen sich auf die Mathematik. Mathematik ist ein einzigartiges Mittel, Schönheit zu erkennen. Da Schönheit facettenreich und vielseitig ist, bestätigt sie die Universalität mathematischer Muster.

Harmonie herrscht in allem,

Und alles auf der Welt ist Rhythmus, Akkord und Ton.

Lassen Sie uns die Geschichte in der Reihenfolge vom größten zum kleinsten fortsetzen.

Symmetrie ist das grundlegende Prinzip der Struktur der Welt.

Symmetrie – im weiteren oder engeren Sinne, je nachdem, wie Sie die Bedeutung dieses Begriffs definieren – ist die Idee, durch die der Mensch zu allen Zeiten versucht hat, Ordnung, Schönheit und Perfektion zu verstehen und zu schaffen.

G.Weil

Symmetrie ist ein allgemeines Phänomen, ihre Universalität dient effektive Methode Kenntnis der Natur. Symmetrie in der Natur ist erforderlich, um Stabilität aufrechtzuerhalten. In der äußeren Symmetrie liegt die innere Symmetrie der Konstruktion, die das Gleichgewicht garantiert. Symmetrie ist eine Manifestation des Wunsches der Materie nach Zuverlässigkeit und Stärke.

Symmetrische Formen bieten die Wiederholbarkeit erfolgreicher Formen und sind daher widerstandsfähiger gegen verschiedene Einflüsse. Symmetrie hat viele Facetten.

Die Unveränderlichkeit bestimmter Objekte kann in Bezug auf verschiedene Operationen beobachtet werden - Drehungen, Spiegelungen, Übertragungen.

In der Schule werden drei Haupttypen von Symmetrie untersucht: Symmetrie um einen Punkt (Zentralsymmetrie), Symmetrie um eine Linie (Achsensymmetrie) und Symmetrie um eine Ebene.

Zentralsymmetrie der Blüte

Zentrale Symmetrie in einem künstlichen Ornament.

Symmetrie relativ zu einer Geraden am Beispiel des Gebäudes der Staatlichen Universität Moskau

Symmetrie in Bezug auf eine Ebene in einer Kugel.

Dies sind nicht die einzigen Symmetriearten, es gibt auch Schraubensymmetrie. Wenn wir die Anordnung der Blätter auf einem Ast betrachten, werden wir feststellen, dass das Blatt vom anderen getrennt, aber auch um die Stammachse gedreht ist. Die Blätter sind entlang einer Schraubenlinie am Stamm angeordnet, um das Sonnenlicht nicht voneinander zu verdecken.

Schraubensymmetrie in der Natur am Beispiel einer Schale .

Die Verwendung der Schraubensymmetrie durch eine Person am Beispiel einer Leiter .

Symmetrie hat viele Facetten. Es hat Eigenschaften, die gleichzeitig einfach und komplex sind und sich einmal und unendlich oft manifestieren können.

Werden einem Ungeübten mehrere Figuren angeboten, wählt er intuitiv die symmetrischsten aus. Höchstwahrscheinlich werden wir uns in einer solchen Situation entscheiden gleichseitiges Dreieck oder quadratisch.

Der Mensch strebt instinktiv nach Stabilität, Bequemlichkeit und Schönheit. Die Welt ist so chaotisch und unvorhersehbar, dass Figuren und Dinge, die Ordnung, Harmonie und Symmetrie enthalten, für eine Person am angenehmsten wahrzunehmen sind. Das Arbeiten mit Formen mit mehr Symmetrien ist einfacher.

Je nachdem, wie viele Symmetrien die Figuren haben, kann man sie klassifizieren. Die perfekteste Figur ist ein Ball, der alle Arten von Symmetrie hat.

Symmetrie ist fleißig. Sie gibt jeder ihrer Spezies die Kraft, immer neue Figuren zu erzeugen.

Symmetrie lässt sich in allen Bereichen unseres Lebens beobachten: die Symmetrie des Bauens, der Musik und die Symmetrie der Bilder in der Literatur, die Symmetrie des Tanzes.

Symmetrie ist eines der Prinzipien des Aufbaus der Welt.

Symmetrie ist der Wächter des Friedens,

Asymmetrie ist der Motor des Lebens.

Asymmetrisch kann auch harmonisch sein. Symmetrie ruft ein Gefühl von Frieden und Stille hervor, während Asymmetrie ein Gefühl von Bewegung und Freiheit hervorruft.

Die Nobelpreisträger zeigten, dass unsere Welt nicht symmetrisch ist, die Gesetze der Symmetrie im Universum nicht eingehalten werden. Die Welt ist auf allen Ebenen asymmetrisch: von Elementarteilchen zu biologischen Arten.

Das bekannteste Beispiel für asymmetrische Harmonie ist der Goldene Schnitt. Es gibt Worte von Johannes Kepler: „Die Geometrie hat zwei Schätze: Der eine ist der Satz des Pythagoras, der andere die Teilung einer Strecke im mittleren und äußersten Verhältnis.“ . Um dieses Verhältnis geht es in meinem Essay. In den folgenden Kapiteln werde ich über die Anwendung des Goldenen Schnitts sprechen und im Folgenden eine Definition dieses Konzepts geben und erklären, wie man es erhält.

Wer sich zumindest indirekt mit der Geometrie räumlicher Objekte in Innenarchitektur und Architektur auseinandergesetzt hat, dem ist das Prinzip des Goldenen Schnitts wohl bestens bekannt. Bis vor einigen Jahrzehnten war die Popularität des Goldenen Schnitts so hoch, dass zahlreiche Anhänger mystischer Theorien und des Weltaufbaus ihn als universelle harmonische Regel bezeichnen.

Die Essenz des universellen Anteils

Überraschend anders. Der Grund für die voreingenommene, fast mystische Haltung gegenüber einer so einfachen numerischen Abhängigkeit waren mehrere ungewöhnliche Eigenschaften:

Eine große Anzahl von Objekten in der lebenden Welt, von einem Virus bis zu einer Person, haben grundlegende Proportionen des Körpers oder der Gliedmaßen, die dem Wert des Goldenen Schnitts sehr nahe kommen;
Die Abhängigkeit von 0,63 oder 1,62 ist nur für biologische Wesen typisch und einige Arten von Kristallen, unbelebte Objekte, von Mineralien bis zu Landschaftselementen, haben äußerst selten die Geometrie des goldenen Schnitts;
Die goldenen Proportionen in der Körperstruktur erwiesen sich als optimal für das Überleben echter biologischer Objekte.

Heute findet sich der Goldene Schnitt in der Struktur des Körpers von Tieren, den Schalen und Schalen von Weichtieren, den Proportionen von Blättern, Ästen, Stämmen und Wurzelsystemen in ausreichender Menge eine große Anzahl Sträucher und Kräuter.

Viele Anhänger der Theorie der Universalität des Goldenen Schnitts haben wiederholt versucht zu beweisen, dass seine Proportionen für ihn am optimalsten sind biologische Organismen im Rahmen ihrer Existenz.

Üblicherweise wird der Aufbau der Schale von Astreae Heliotropium, einer der Meeresmollusken, als Beispiel genannt. Die Schale ist eine spiralförmig aufgerollte Calcitschale mit einer Geometrie, die fast mit den Proportionen des Goldenen Schnitts übereinstimmt.

Ein verständlicheres und offensichtlicheres Beispiel ist ein gewöhnliches Hühnerei.

Das Verhältnis der Hauptparameter, nämlich großer und kleiner Fokus oder Abstände von äquidistanten Punkten der Oberfläche zum Schwerpunkt, entspricht ebenfalls dem Goldenen Schnitt. Gleichzeitig ist die Schalenform eines Vogeleis die optimalste für das Überleben eines Vogels als biologischer Art. In diesem Fall spielt die Festigkeit der Schale bei weitem nicht die Hauptrolle.

Für Ihre Information! Als Ergebnis wurde der Goldene Schnitt, auch universelle Proportion der Geometrie genannt, erhalten riesige Menge Praktische Messungen und Größenvergleiche von echten Pflanzen, Vögeln, Tieren.

Ursprung des universellen Anteils

Die antiken griechischen Mathematiker Euklid und Pythagoras kannten den Goldenen Schnitt. In einem der Denkmäler Antike Architektur- Die Cheops-Pyramide hat ein Verhältnis von Seiten und Basis, einzelne Elemente und Wandreliefs werden gemäß dem universellen Verhältnis hergestellt.

Die Technik des Goldenen Schnitts war im Mittelalter von Künstlern und Architekten weit verbreitet, während die Essenz der universellen Proportionen als eines der Geheimnisse des Universums galt und sorgfältig vor dem durchschnittlichen Laien verborgen wurde. Die Komposition vieler Gemälde, Skulpturen und Gebäude wurde streng nach den Proportionen des Goldenen Schnitts gebaut.

Zum ersten Mal wurde die Essenz der universellen Proportion 1509 von dem Franziskanermönch Luca Pacioli dokumentiert, der brillant war mathematische Fähigkeit. Aber die wirkliche Anerkennung fand statt, nachdem der deutsche Wissenschaftler Zeising eine umfassende Studie über die Proportionen und Geometrie des menschlichen Körpers, antike Skulpturen, Kunstwerke, Tiere und Pflanzen durchgeführt hatte.

Bei den meisten lebenden Objekten unterliegen einige Körpergrößen den gleichen Proportionen. 1855 kamen Wissenschaftler zu dem Schluss, dass die Proportionen des Goldenen Schnitts eine Art Maßstab für die Harmonie von Körper und Form sind. Wir sprechen zuallererst von Lebewesen, für die tote Natur ist der Goldene Schnitt viel seltener.

Wie kommst du auf den goldenen Schnitt

Der Goldene Schnitt lässt sich am einfachsten als das Verhältnis zweier Teile desselben Objekts unterschiedlicher Länge, getrennt durch einen Punkt, vorstellen.

Einfach ausgedrückt, wie viele Längen eines kleinen Segments passen in ein großes Segment oder das Verhältnis des größten Teils zur Gesamtlänge eines linearen Objekts. Im ersten Fall beträgt das Verhältnis des Goldenen Schnitts 0,63, im zweiten Fall beträgt das Seitenverhältnis 1,618034.

In der Praxis ist der Goldene Schnitt nur eine Proportion, das Verhältnis von Segmenten einer bestimmten Länge, den Seiten eines Rechtecks oder etwas anderem geometrische Formen, verwandte oder konjugierte dimensionale Eigenschaften von realen Objekten.

Zunächst wurden die goldenen Proportionen empirisch anhand geometrischer Konstruktionen abgeleitet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine harmonische Proportion zu konstruieren oder abzuleiten:

Für Ihre Information! Im Gegensatz zum klassischen Goldenen Schnitt impliziert die architektonische Version das Seitenverhältnis des Segments im Verhältnis 44:56.

Wenn die Standardversion des Goldenen Schnitts für Lebewesen, Malerei, Grafik, Skulpturen und antike Gebäude mit 37:63 berechnet wurde, wurde der Goldene Schnitt in der Architektur ab Ende des 17. Jahrhunderts immer häufiger verwendet 44: 56. Als Ausbreitung des Hochhausbaus sehen die meisten Experten den Wandel hin zu „quadratischeren“ Proportionen.

Das Hauptgeheimnis des Goldenen Schnitts

Wenn die natürlichen Manifestationen des universellen Schnitts in den Proportionen der Körper von Tieren und Menschen, der Stammbasis von Pflanzen noch durch Evolution und Anpassungsfähigkeit an den Einfluss der äußeren Umwelt erklärt werden können, dann die Entdeckung des Goldenen Schnitts in der Konstruktion von Häusern des XII-XIX Jahrhunderts war eine gewisse Überraschung. Darüber hinaus wurde der berühmte altgriechische Parthenon in Übereinstimmung mit den universellen Proportionen gebaut, viele Häuser und Burgen wohlhabender Adliger und wohlhabender Leute im Mittelalter wurden absichtlich mit Parametern sehr nahe am Goldenen Schnitt gebaut.

Der Goldene Schnitt in der Architektur

Viele der bis heute erhaltenen Gebäude zeugen davon, dass die Architekten des Mittelalters um die Existenz des Goldenen Schnitts wussten und sich beim Bau eines Hauses natürlich von ihren primitiven Berechnungen und Abhängigkeiten leiten ließen, mit denen sie versucht, maximale Kraft zu erreichen. Der Wunsch, die schönsten und harmonischsten Häuser in den Gebäuden der Residenzen der regierenden Personen, Kirchen, Rathäusern und Gebäuden von besonderer sozialer Bedeutung in der Gesellschaft zu bauen, wurde besonders deutlich.

Zum Beispiel hat die berühmte Kathedrale Notre Dame in ihren Proportionen viele Abschnitte und Maßketten, die dem goldenen Schnitt entsprechen.

Noch vor der Veröffentlichung seiner Forschungen 1855 durch Professor Zeising, in spätes XVIII Jahrhundert wurden die berühmten Architekturkomplexe des Golitsyn-Krankenhauses und des Senatsgebäudes in St. Petersburg, das Paschkow-Haus und der Petrowski-Palast in Moskau in den Proportionen des Goldenen Schnitts errichtet.

Natürlich wurden früher Häuser unter strikter Einhaltung der Regel des Goldenen Schnitts gebaut. Erwähnenswert ist das Denkmal der antiken Architektur der Kirche der Fürbitte auf dem Nerl, das auf dem Diagramm dargestellt ist.

Alle von ihnen sind nicht nur durch eine harmonische Kombination von Formen und vereint hohe Qualität Konstruktion, sondern vor allem auch das Vorhandensein des Goldenen Schnitts in den Proportionen des Gebäudes. Die erstaunliche Schönheit des Gebäudes wird noch mysteriöser, wenn man das Alter berücksichtigt, das Gebäude der Fürbittekirche stammt aus dem 13. Jahrhundert, aber das Gebäude erhielt sein modernes architektonisches Aussehen um die Wende des 17. Jahrhunderts Restaurierung und Umstrukturierung.

Merkmal des Goldenen Schnitts für eine Person

Die antike Architektur von Gebäuden und Häusern des Mittelalters bleibt attraktiv und interessant für moderner Mann aus vielen Gründen:

Individuell Kunst Stil bei der Gestaltung der Fassaden vermeidet sie modernen Stempel und Stumpfheit, jedes Gebäude ist ein Kunstwerk;
Massenverwendung zum Dekorieren und Dekorieren von Statuen, Skulpturen, Stuck, ungewöhnlichen Kombinationen von Baulösungen aus verschiedenen Epochen;
Die Proportionen und Kompositionen des Gebäudes lenken den Blick auf die wichtigsten Elemente des Gebäudes.

Wichtig! Beim Entwerfen eines Hauses und Entwickeln Aussehen Mittelalterliche Architekten wandten die Regel des Goldenen Schnitts an und nutzten unbewusst die Besonderheiten der Wahrnehmung des menschlichen Unterbewusstseins.

Moderne Psychologen haben experimentell bewiesen, dass der Goldene Schnitt eine Manifestation eines unbewussten Wunsches oder einer menschlichen Reaktion auf eine harmonische Kombination oder Proportion in Größe, Form und sogar Farbe ist. Es wurde ein Experiment durchgeführt, bei dem einer Gruppe von Personen, die einander nicht vertraut waren, die keine gemeinsamen Interessen hatten, aus verschiedenen Berufen und Altersgruppen eine Reihe von Tests angeboten wurden, darunter die Aufgabe, ein Blatt Papier einzubiegen das optimalste Seitenverhältnis. Den Testergebnissen zufolge wurde festgestellt, dass in 85 von 100 Fällen das Blech von den Probanden ziemlich genau nach dem Goldenen Schnitt gebogen wurde.

Deshalb moderne Wissenschaft glaubt, dass das Phänomen der universellen Proportionen ein psychologisches Phänomen ist und nicht die Wirkung irgendwelcher metaphysischer Kräfte.

Verwendung des universellen Schnittfaktors in modernem Design und Architektur

Die Prinzipien der Anwendung des Goldenen Schnitts sind in den letzten Jahren beim Bau von Privathäusern sehr populär geworden. Die Ökologie und Sicherheit von Baumaterialien wurden durch harmonisches Design ersetzt richtige Verteilung Energie im Haus.

Die moderne Interpretation der Regel der universellen Harmonie hat sich längst über die Grenzen der üblichen Geometrie und Form eines Objekts hinaus ausgebreitet. Heute zählen nicht nur die Maßketten der Länge von Portikus und Giebel, einzelner Elemente der Fassade und der Höhe des Gebäudes, sondern auch die Fläche von Räumen, Fenster- und Türöffnungen und sogar die Farbgestaltung das Innere des Zimmers unterliegen der Regel.

Am einfachsten ist es, ein harmonisches Haus modular zu bauen. In diesem Fall sind die meisten Abteilungen und Räume in Form von unabhängigen Blöcken oder Modulen ausgeführt, die nach der Regel des Goldenen Schnitts gestaltet sind. Der Bau eines Gebäudes als Satz harmonischer Module ist viel einfacher als der Bau einer einzelnen Kiste, bei der der größte Teil der Fassade und des Innenraums innerhalb der strengen Grenzen des Goldenen Schnitts liegen muss.

Viele private Hausbaufirmen verwenden die Prinzipien und Konzepte des Goldenen Schnitts, um die Schätzung zu erhöhen und den Kunden den Eindruck zu vermitteln, dass sie sich intensiv mit dem Design des Hauses befasst haben. In der Regel wird ein solches Haus als sehr komfortabel und harmonisch in der Nutzung deklariert. Das richtige Verhältnis der Flächen der Zimmer garantiert spirituellen Komfort und hervorragende Gesundheit der Eigentümer.

Wenn das Haus ohne Berücksichtigung der optimalen Verhältnisse des goldenen Schnitts gebaut wurde, können Sie die Räume so umbauen, dass die Proportionen des Raums dem Verhältnis der Wände im Verhältnis 1: 1,61 entsprechen. Dazu können Möbel verschoben oder zusätzliche Trennwände innerhalb der Räume eingebaut werden. Ebenso werden die Abmessungen von Fenster- und Türöffnungen so geändert, dass die Breite der Öffnung 1,61-mal geringer ist als die Höhe des Türblatts. Ebenso erfolgt die Planung von Möbeln, Haushaltsgeräten, Wand- und Bodendekoration.

Es ist schwieriger, ein Farbschema zu wählen. In diesem Fall haben die Anhänger der Goldenen Regel anstelle des üblichen Verhältnisses von 63:37 eine vereinfachte Interpretation angenommen - 2/3. Das heißt, der Hauptfarbhintergrund sollte 60% des Raums einnehmen, nicht mehr als 30% werden der Schattierungsfarbe zugeteilt, und der Rest ist für verschiedene verwandte Töne reserviert, um die Wahrnehmung der Farblösung zu verbessern.

Die Innenwände des Raumes werden durch einen horizontalen Gürtel oder eine Grenze in einer Höhe von 70 cm geteilt, die installierten Möbel sollten der Höhe der Decken gemäß dem Goldenen Schnitt entsprechen. Die gleiche Regel gilt für die Längenverteilung, zum Beispiel sollte die Größe des Sofas 2/3 der Wandlänge nicht überschreiten, und die Gesamtfläche, die von den Möbeln eingenommen wird, bezieht sich auf die Fläche des Sofas Zimmer wie 1: 1,61.

Der Goldene Schnitt ist in der Praxis aufgrund von nur einem Schnittwert nur schwer massenhaft anwendbar, daher greift man bei der Gestaltung harmonischer Gebäude oft auf eine Reihe von Fibonacci-Zahlen zurück. Auf diese Weise können Sie die Anzahl der möglichen Optionen für Proportionen und geometrische Formen der Hauptelemente des Hauses erweitern. In diesem Fall wird eine Reihe von Fibonacci-Zahlen, die durch eine eindeutige mathematische Beziehung miteinander verbunden sind, als harmonisch oder golden bezeichnet.

Bei der modernen Methode zur Gestaltung von Wohnungen nach dem Prinzip des Goldenen Schnitts ist neben der Fibonacci-Reihe das vom berühmten französischen Architekten Le Corbusier vorgeschlagene Prinzip weit verbreitet. In diesem Fall wird die Körpergröße des zukünftigen Eigentümers oder die durchschnittliche Körpergröße einer Person als Ausgangsmaßeinheit gewählt, anhand derer alle Parameter des Gebäudes und der Einrichtung berechnet werden. Mit dieser Herangehensweise können Sie ein Haus nicht nur harmonisch, sondern auch wirklich individuell gestalten.

Fazit

In der Praxis erweist sich ein gut gebautes Gebäude nach den Bewertungen derer, die sich entschieden haben, ein Haus nach der Regel des Goldenen Schnitts zu bauen, als sehr angenehm zum Wohnen. Aber die Kosten des Gebäudes aufgrund der individuellen Gestaltung und der Verwendung von Baumaterialien benutzerdefinierte Größen steigt um 60-70%. Und dieser Ansatz ist nichts Neues, da die meisten Gebäude des letzten Jahrhunderts speziell dafür gebaut wurden individuelle Eingenschaften zukünftige Besitzer.

Eine Person unterscheidet Objekte um sich herum nach ihrer Form. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine vitale Notwendigkeit diktiert oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, die auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionellen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

Goldener Schnitt - Harmonischer Anteil

In Mathematik Anteil(lat. proportio) die Gleichheit zweier Relationen nennen: ein : B = C : D.

Liniensegment AB kann wie folgt in zwei Teile geteilt werden:

in zwei gleiche Teile AB : AC = AB : Sonne;

in zwei ungleiche Teile in beliebigem Verhältnis (solche Teile bilden keine Proportionen);

also wann AB : AC = AC : Sonne.

Letzteres ist die goldene Teilung oder Teilung des Segments im extremen und durchschnittlichen Verhältnis.

Der goldene Schnitt ist eine solche proportionale Teilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der sich das gesamte Segment zum größeren Teil in der gleichen Weise verhält wie der größere Teil selbst zum kleineren; oder mit anderen Worten, das kleinere Segment verhält sich zum größeren wie das größere zu allem

ein : B = B : C oder von : B = B : aber.

Reis. ein. Geometrische Darstellung des Goldenen Schnitts

Die praktische Bekanntschaft mit dem Goldenen Schnitt beginnt mit dem Teilen eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt mit Kompass und Lineal.

Reis. 2. Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt. BC = 1/2 AB; CD = BC

Von einem Punkt IN eine Senkrechte wird gleich der Hälfte wiederhergestellt AB. Punkt erhalten VON durch eine Linie mit einem Punkt verbunden ABER. Auf der resultierenden Linie wird ein Segment gezeichnet Sonne, endet mit einem Punkt D. Abschnitt ANZEIGE auf eine Gerade übertragen AB. Der resultierende Punkt E teilt das Segment AB im Goldenen Schnitt.

Segmente des Goldenen Schnitts werden durch einen unendlichen irrationalen Bruch ausgedrückt AE= 0,618 ... wenn AB als Einheit nehmen SEIN\u003d 0,382 ... Aus praktischen Gründen werden häufig ungefähre Werte von 0,62 und 0,38 verwendet. Wenn das Segment AB als 100 Teile genommen, dann ist der größte Teil des Segments 62 und der kleinere 38 Teile.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts werden durch die Gleichung beschrieben:

x 2 - x - 1 = 0.

Lösung dieser Gleichung:

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts schufen um diese Zahl herum eine romantische Aura des Mysteriums und einer fast mystischen Anbetung.

Der zweite Goldene Schnitt

Die bulgarische Zeitschrift „Vaterland“ (Nr. 10, 1983) veröffentlichte einen Artikel von Tsvetan Tsekov-Karandash „Über den zweiten goldenen Schnitt“, der sich an den Hauptteil anschließt und ein anderes Verhältnis von 44: 56 angibt.

Ein solches Verhältnis findet sich in der Architektur und findet auch in der Konstruktion von Bildkompositionen in einem länglichen Querformat statt.

Reis. 3. Konstruktion des zweiten Goldenen Schnitts

Die Aufteilung erfolgt wie folgt (siehe Abb. 3). Abschnitt AB wird nach dem Goldenen Schnitt geteilt. Von einem Punkt VON die Senkrechte wird wiederhergestellt CD. Radius AB Es gibt einen Punkt D, die durch eine Linie mit einem Punkt verbunden ist ABER. Rechter Winkel ACD wird halbiert. Von einem Punkt VON Eine Linie wird gezeichnet, bis sie sich mit einer Linie schneidet ANZEIGE. Punkt E teilt das Segment ANZEIGE im Verhältnis zu 56:44.

Reis. 4. Teilung eines Rechtecks durch eine Linie des zweiten Goldenen Schnitts

Auf Abb. 4 zeigt die Position der Linie des zweiten goldenen Schnitts. Es befindet sich in der Mitte zwischen der goldenen Schnittlinie und der Mittellinie des Rechtecks.

goldenes Dreieck

Um Segmente des Goldenen Schnitts der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie verwenden Pentagramm.

Reis. fünf. Gebäude regelmäßiges Fünfeck und Pentagramme

Um ein Pentagramm zu bauen, musst du ein normales Fünfeck bauen. Die Bauweise wurde von dem deutschen Maler und Grafiker Albrecht Dürer (1471...1528) entwickelt. Lassen Ö- der Mittelpunkt des Kreises EIN- ein Punkt auf dem Kreis und E- Mitte des Segments OA. Senkrecht zum Radius OA, an der Stelle restauriert ÜBER, schneidet den Kreis in einem Punkt D. Legen Sie mit einem Kompass ein Segment auf dem Durchmesser beiseite CE = Ed. Die Länge einer Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, ist Gleichstrom. Segmente auf den Kreis legen Gleichstrom und erhalten Sie fünf Punkte, um ein regelmäßiges Fünfeck zu zeichnen. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks durch eine Diagonale und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks teilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Ihre Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die auf die Seite gelegte Basis teilt sie proportional zum goldenen Schnitt.

Reis. 6. Konstruktion des goldenen Dreiecks

Wir ziehen eine gerade Linie AB. ab Punkt ABER Legen Sie dreimal ein Segment darauf ÜBER beliebigen Wert, durch den resultierenden Punkt R Zeichnen Sie eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links des Punktes R Segmente beiseite legen ÜBER. Punkte erhalten D Und D 1 Verbinde mit geraden Linien zu einem Punkt ABER. Abschnitt dd 1 auf der Linie beiseite legen Anzeige 1 , einen Punkt bekommen VON. Sie teilte die Linie Anzeige 1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Linien Anzeige 1 und dd 1 wird verwendet, um ein "goldenes" Rechteck zu bauen.

Geschichte des Goldenen Schnitts

Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, einem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (6. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird angenommen, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern entlehnt hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier fand heraus, dass beim Relief aus dem Tempel des Pharao Sethos I. in Abydos und beim Relief, das den Pharao Ramses darstellt, die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus dem Grab seines Namens, hält Messinstrumente in den Händen, in denen die Proportionen der goldenen Teilung fixiert sind.

Die Griechen waren geschickte Geometer. Sogar das Rechnen wurde ihren Kindern mit Hilfe geometrischer Figuren beigebracht. Das Quadrat von Pythagoras und die Diagonale dieses Quadrats waren die Grundlage für die Konstruktion dynamischer Rechtecke.

Reis. 7. Dynamische Rechtecke

Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste um die Goldene Teilung. Sein Dialog „Timaeus“ widmet sich den mathematisch-ästhetischen Anschauungen der Schule des Pythagoras und insbesondere den Fragen der Goldenen Teilung.

In der Fassade des antiken griechischen Tempels des Parthenon gibt es goldene Proportionen. Bei seinen Ausgrabungen wurden Kompasse gefunden, die von Architekten und Bildhauern der Antike verwendet wurden. Der pompejanische Kompass (Museum in Neapel) enthält auch die Proportionen der goldenen Teilung.

Reis. 8. Antike Kompasse im goldenen Schnitt

In dem, was zu uns gekommen ist antike Literatur Die goldene Teilung wurde erstmals in Euklids Elementen erwähnt. Im 2. Buch der "Anfänge" wird die geometrische Konstruktion der goldenen Teilung angegeben.Nach Euklid beschäftigten sich Hypsicles (II. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (III. Jahrhundert n. Chr.) Und andere mit dem Studium der Goldenen Teilung. mittelalterliches Europa Sie lernten die goldene Teilung aus den arabischen Übersetzungen der "Anfänge" von Euklid kennen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (3. Jahrhundert) kommentierte die Übersetzung. Die Geheimnisse der Golden Division wurden eifersüchtig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur den Eingeweihten bekannt.

Während der Renaissance stieg das Interesse an der goldenen Teilung unter Wissenschaftlern und Künstlern im Zusammenhang mit ihrer Verwendung sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst, insbesondere in der Architektur Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, sah, dass italienische Künstler große empirische Erfahrung, aber wenig Wissen hatten . Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, aber zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli, und Leonardo gab seine Idee auf. Laut Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war Schüler des Künstlers Piero della Francesca, der zwei Bücher schrieb, von denen eines den Titel On Perspective in Painting trug. Er gilt als Begründer der darstellenden Geometrie.

Luca Pacioli war sich der Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst bewusst. 1496 kam er auf Einladung des Herzogs von Moreau nach Mailand, wo er Vorlesungen über Mathematik hielt. Auch Leonardo da Vinci wirkte zu dieser Zeit am Hof der Moro in Mailand. 1509 wurde in Venedig Luca Paciolis Divine Proportion mit brillant ausgeführten Illustrationen veröffentlicht, weshalb angenommen wird, dass sie von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Unter den vielen Vorteilen des Goldenen Schnitts versäumte es der Mönch Luca Pacioli nicht, dessen „göttliche Essenz“ als Ausdruck der göttlichen Dreifaltigkeit von Gott dem Sohn, Gott dem Vater und Gott dem Heiligen Geist zu nennen (man verstand, dass der kleine Segment ist die Personifikation von Gott dem Sohn, das größere Segment ist die Personifikation von Gott dem Vater und das gesamte Segment ist der Gott des Heiligen Geistes).

Auch Leonardo da Vinci widmete dem Studium der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in goldener Teilung. Also gab er dieser Division den Namen Goldener Schnitt. Es ist also immer noch das beliebteste.

Zur gleichen Zeit arbeitete in Nordeuropa, in Deutschland, Albrecht Dürer an denselben Problemen. Er skizziert eine Einleitung zum ersten Entwurf einer Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass derjenige, der etwas weiß, es anderen beibringen sollte, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen."

Einem Brief Dürers nach zu urteilen, traf er Luca Pacioli während seines Aufenthalts in Italien. Albrecht Dürer entwickelt ausführlich die Theorie der Proportionen des menschlichen Körpers. Dürer wies dem Goldenen Schnitt einen wichtigen Platz in seinem Verhältnissystem zu. Die Körpergröße einer Person wird in goldenen Proportionen durch die Gürtellinie sowie durch die Linie geteilt, die durch die Spitzen der Mittelfinger der gesenkten Hände, den unteren Teil des Gesichts gezogen wird - durch den Mund usw. Bekannter Proportionalkompass Dürer.

Großer Astronom des 16. Jahrhunderts Johannes Kepler nannte den Goldenen Schnitt einen der Schätze der Geometrie. Er macht erstmals auf die Bedeutung des Goldenen Schnitts für die Botanik (Pflanzenwachstum und -struktur) aufmerksam.

Kepler nannte den Goldenen Schnitt sich selbst fortsetzend: „Er ist so angeordnet“, schrieb er, „dass die beiden jüngeren Glieder dieses unendlichen Anteils sich zum dritten Glied addieren und zwei beliebige letzte Glieder, wenn sie zusammengezählt werden, ergeben nächsten Term, und die gleiche Proportion bleibt bis unendlich."

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in Richtung des Anstiegs (steigende Reihe) als auch in Richtung des Abfalls (absteigende Reihe) erfolgen.

Wenn Sie sich auf einer geraden Linie beliebiger Länge befinden, verschieben Sie das Segment m, legen Sie ein Segment beiseite m. Basierend auf diesen beiden Segmenten bauen wir eine Segmentskala des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe auf

Reis. neun. Erstellen einer Skala von Segmenten des Goldenen Schnitts

In den folgenden Jahrhunderten wurde die Regel des Goldenen Schnitts zu einem akademischen Kanon, und als mit der Zeit in der Kunst ein Kampf mit dem akademischen Alltag begann, „hat man in der Hitze des Kampfes das Kind mit dem Wasser rausgeschmissen. ” Mitte des 19. Jahrhunderts wurde der Goldene Schnitt wieder „entdeckt“. 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk Ästhetische Forschung. Bei Zeising musste genau das, was passierte, dem Forscher passieren, der das Phänomen als solches betrachtet, ohne Verbindung mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportion des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.

Reis. 10. Goldene Proportionen in Teilen des menschlichen Körpers

Zeising hat einen tollen Job gemacht. Er maß ungefähr zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Die Proportionen des männlichen Körpers schwanken innerhalb des Durchschnittsverhältnisses von 13:8 = 1,625 und nähern sich dem goldenen Schnitt etwas näher als die Proportionen des weiblichen Körpers, in Bezug auf die sich der Durchschnittswert der Proportion im Verhältnis 8:5 ausdrückt = 1,6. Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1: 1, im Alter von 13 Jahren 1,6 und im Alter von 21 Jahren das gleiche wie beim Mann. Die Proportionen des Goldenen Schnitts manifestieren sich auch in Bezug auf andere Körperteile - die Länge der Schulter, des Unterarms und der Hand, der Hand und der Finger usw.

Reis. elf. Goldene Proportionen in der menschlichen Figur

Zeising prüfte die Gültigkeit seiner Theorie an griechischen Statuen. Er entwickelte die Proportionen des Apollo Belvedere bis ins kleinste Detail. Griechische Vasen, architektonische Strukturen verschiedener Epochen, Pflanzen, Tiere, Vogeleier, Musikklänge, poetische Größen. Zeising definierte den Goldenen Schnitt, zeigte, wie er sich in Strecken und in Zahlen ausdrückt. Als die Längenangaben der Segmente ermittelt wurden, erkannte Zeising, dass es sich um eine Fibonacci-Reihe handelte, die endlos in die eine oder andere Richtung fortgesetzt werden konnte. Sein nächstes Buch trug den Titel „Goldene Teilung als morphologisches Grundgesetz in Natur und Kunst“. 1876 wurde in Russland ein kleines Buch, fast eine Broschüre, veröffentlicht, das Zeisings Arbeit skizzierte. Der Autor flüchtete unter den Initialen Yu.F.V. In dieser Ausgabe wird kein einziges Gemälde erwähnt.

Am Ende des XIX - Anfang des XX Jahrhunderts. Viele rein formalistische Theorien erschienen über die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Architektur. Mit der Entwicklung des Designs und der technischen Ästhetik weitete sich das Gesetz des Goldenen Schnitts auf die Gestaltung von Autos, Möbeln etc. aus.

Fibonacci-Reihe

Der Name des italienischen Mathematikermönchs Leonardo aus Pisa, besser bekannt als Fibonacci (Sohn des Bonacci), ist indirekt mit der Geschichte des Goldenen Schnitts verbunden. Er reiste viel in den Osten, führte Europa in indische (arabische) Ziffern ein. 1202 erschien sein mathematisches Werk The Book of the Abacus (Counting Board), in dem alle damals bekannten Probleme gesammelt wurden. Eine der Aufgaben lautete "Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr von einem Paar geboren." In Anbetracht dieses Themas baute Fibonacci die folgende Zahlenreihe auf:

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als die Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, ist gleich der Summe die beiden vorherigen 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 usw., und das Verhältnis benachbarter Zahlen der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Teilung. Also 21:34 = 0,617 und 34:55 = 0,618. Diese Beziehung wird symbolisiert F. Nur dieses Verhältnis - 0,618: 0,382 - ergibt eine kontinuierliche Teilung eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt, dessen Zunahme oder Abnahme bis ins Unendliche, wenn das kleinere Segment mit dem größeren in Beziehung steht, wie das größere mit allem.

Fibonacci befasste sich auch mit den praktischen Bedürfnissen des Handels: Was ist die kleinste Anzahl von Gewichten, die zum Wiegen einer Ware verwendet werden können? Fibonacci beweist, dass folgendes Gewichtssystem optimal ist: 1, 2, 4, 8, 16...

Verallgemeinerter Goldener Schnitt

Die Fibonacci-Reihe hätte nur ein mathematisches Ereignis bleiben können, wenn nicht alle Erforscher der goldenen Teilung in der Pflanzen- und Tierwelt, ganz zu schweigen von der Kunst, ausnahmslos auf diese Reihe als arithmetischen Ausdruck des Gesetzes der goldenen Teilung gestoßen wären .

Wissenschaftler haben die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiterentwickelt. Yu Matiyasevich löst Hilberts 10. Problem mit Fibonacci-Zahlen. Es gibt elegante Methoden, um eine Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mit Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt zu lösen. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Fachzeitschrift herausgibt.

Eine der Errungenschaften auf diesem Gebiet ist die Entdeckung verallgemeinerter Fibonacci-Zahlen und verallgemeinerter Goldener Schnitte.

Die von ihm entdeckte Fibonacci-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8) und die „binäre“ Gewichtsreihe 1, 2, 4, 8, 16 … sind auf den ersten Blick völlig verschieden. Aber die Algorithmen für ihre Konstruktion sind einander sehr ähnlich: Im ersten Fall ist jede Zahl die Summe der vorherigen Zahl mit sich selbst 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., im zweiten - das ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ist es möglich Gemeinsames zu finden mathematische Formel, aus der sowohl die "binäre" Reihe als auch die Fibonacci-Reihe gewonnen werden? Oder gibt uns diese Formel vielleicht neue numerische Sätze mit einigen neuen einzigartigen Eigenschaften?

Lassen Sie uns in der Tat den numerischen Parameter einstellen S, die beliebige Werte annehmen kann: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Stellen Sie sich eine Zahlenreihe vor, S+ 1, deren erste Terme Einheiten sind, und jeder der folgenden ist gleich der Summe der beiden Terme des vorherigen und desjenigen, der vom vorherigen durch getrennt ist S Schritte. Wenn n wir bezeichnen den ten Term dieser Reihe mit φ S ( n), dann bekommen wir allgemeine FormelφS ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Es ist offensichtlich, dass bei S= 0 aus dieser Formel erhalten wir eine "binäre" Reihe, mit S= 1 - Fibonacci-Reihe, mit S\u003d 2, 3, 4. neue Zahlenreihen, die angerufen werden S-Fibonacci-Zahlen.

IN Gesamtansicht golden S-Anteil ist die positive Wurzel der goldenen Gleichung S-Abschnitte x S+1 - x S - 1 = 0.

Es ist leicht zu zeigen, wann S= 0 erhalten wir eine Teilung des Segments in zwei Hälften, und wann S= 1 - der bekannte klassische Goldene Schnitt.

Beziehungen der Nachbarn S-Fibonacci-Zahlen mit absoluter mathematischer Genauigkeit stimmen im Limit mit Golden überein S-Proportionen! Mathematiker sagen in solchen Fällen, dass Gold S-Abschnitte sind numerische Invarianten S-Fibonacci-Zahlen.

Fakten, die die Existenz von Gold bestätigen S-Abschnitte in der Natur, der belarussische Wissenschaftler E.M. Soroko in dem Buch "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). So zeigt sich beispielsweise, dass gut untersuchte binäre Legierungen nur dann besondere, ausgeprägte funktionelle Eigenschaften (thermisch stabil, hart, verschleißfest, oxidationsbeständig etc.) aufweisen, wenn die spezifischen Gewichte der Ausgangskomponenten zueinander in Beziehung gesetzt werden von einem aus Gold S-Proportionen. Dies erlaubte dem Autor, eine Hypothese aufzustellen, dass Gold S-Abschnitte sind numerische Invarianten selbstorganisierender Systeme. Experimentell bestätigt, kann diese Hypothese von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Synergetik sein – einem neuen Wissenschaftsgebiet, das Prozesse in selbstorganisierenden Systemen untersucht.

Mit goldenen Codes S-Proportionen können jede reelle Zahl als Summe von Goldgraden ausdrücken S-Anteile mit ganzzahligen Koeffizienten.

Der grundlegende Unterschied zwischen dieser Methode der Codierung von Zahlen besteht darin, dass die Basen der neuen Codes golden sind S-Proportionen, S> 0 erweisen sich als irrationale Zahlen. Die neuen Zahlensysteme mit irrationalen Basen stellen also gewissermaßen die historisch etablierte Hierarchie der Beziehungen zwischen rationalen und irrationalen Zahlen „auf den Kopf“. Tatsache ist, dass zuerst die natürlichen Zahlen „entdeckt“ wurden; dann sind ihre Verhältnisse rationale Zahlen. Und erst später – nachdem die Pythagoräer inkommensurable Segmente entdeckten – tauchten irrationale Zahlen auf. Beispielsweise wurden in Dezimal-, Quinär-, Binär- und anderen klassischen Positionszahlensystemen natürliche Zahlen - 10, 5, 2 - als eine Art Grundprinzip gewählt, aus dem nach bestimmten Regeln alle anderen natürlichen sowie rationalen Zahlen hervorgehen und irrationale Zahlen wurden konstruiert.

Eine Art Alternative zu den bestehenden Nummerierungsmethoden ist ein neues, irrationales System als Grundprinzip, dessen Anfang als irrationale Zahl gewählt wird (die, wie wir uns erinnern, die Wurzel der Gleichung des goldenen Schnitts ist); andere reelle Zahlen werden dadurch bereits ausgedrückt.

In einem solchen Zahlensystem kann jeder natürliche Zahl immer darstellbar in Form eines Endlichen - und nicht Unendlich, wie bisher angenommen! - Summen von Graden eines der goldenen S-Proportionen. Dies ist einer der Gründe, warum sich die „irrationale“ Arithmetik mit ihrer überraschenden mathematischen Einfachheit und Eleganz durchgesetzt zu haben scheint beste Qualitäten klassische Binär- und "Fibonacci"-Arithmetik.

Gestaltungsprinzipien in der Natur

Alles, was Gestalt annahm, formte sich, wuchs, strebte danach, einen Platz im Raum einzunehmen und sich selbst zu erhalten. Erfüllung findet dieses Streben vor allem in zwei Varianten - Aufwärtswachsen oder sich über die Erdoberfläche ausbreiten und spiralförmig winden.

Die Schale ist spiralförmig gedreht. Wenn Sie es auseinanderfalten, erhalten Sie eine Länge, die etwas geringer ist als die Länge der Schlange. Eine kleine zehn Zentimeter große Muschel hat eine Spirale von 35 cm Länge Spiralen kommen in der Natur sehr häufig vor. Das Konzept des Goldenen Schnitts wird unvollständig sein, ganz zu schweigen von der Spirale.

Reis. 12. Spirale von Archimedes

Die Form der spiralförmig gekräuselten Schale zog die Aufmerksamkeit von Archimedes auf sich. Er studierte es und leitete die Gleichung der Spirale ab. Die nach dieser Gleichung gezeichnete Spirale trägt seinen Namen. Die Zunahme ihres Schrittes ist immer gleichmäßig. Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technik weit verbreitet.

Schon Goethe betonte die Tendenz der Natur zur Spiralität. Die spiralförmige und spiralförmige Anordnung von Blättern an Ästen wurde vor langer Zeit bemerkt. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, in Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat Licht auf diese erstaunlichen Naturphänomene geworfen. Es stellte sich heraus, dass sich in der Anordnung von Blättern auf einem Ast (Phylotaxis), Sonnenblumenkernen und Tannenzapfen die Fibonacci-Reihe manifestiert und sich daher das Gesetz des Goldenen Schnitts manifestiert. Die Spinne spinnt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan dreht sich in Spiralen. Eine verängstigte Rentierherde verstreut sich in einer Spirale. Das DNA-Molekül ist zu einer Doppelhelix verdrillt. Goethe nannte die Spirale „die Kurve des Lebens“.

Zwischen den Kräutern am Straßenrand wächst eine unscheinbare Pflanze - Chicorée. Schauen wir es uns genauer an. Aus dem Hauptstamm wurde ein Ast gebildet. Hier ist das erste Blatt.

Reis. 13. Chicoree

Der Vorgang macht einen starken Ausstoß in den Raum, stoppt, gibt ein Blatt frei, ist aber kürzer als der erste, macht wieder einen Ausstoß in den Raum, aber von geringerer Kraft, gibt ein noch kleineres Blatt frei und stößt erneut aus. Wenn der erste Ausreißer als 100 Einheiten angenommen wird, dann ist der zweite 62 Einheiten, der dritte 38, der vierte 24 und so weiter. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Im Wachstum, der Eroberung des Raumes, behielt die Pflanze gewisse Proportionen. Seine Wachstumsimpulse nahmen proportional zum goldenen Schnitt allmählich ab.

Reis. vierzehn. lebendig gebärende Eidechse

Bei der Eidechse sind auf den ersten Blick für unsere Augen angenehme Proportionen eingefangen - die Länge ihres Schwanzes verhält sich zur Länge des restlichen Körpers mit 62 zu 38.

Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt bricht immer wieder die gestalterische Tendenz der Natur durch - Symmetrie in Wuchs- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Proportionen von Teilen senkrecht zur Wachstumsrichtung.

Die Aufteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen hat die Natur vorgenommen. In Teilen manifestiert sich eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Reis. fünfzehn. Vogel-Ei

Der große Goethe, ein Dichter, Naturforscher und Künstler (er malte und malte in Aquarell), träumte davon, eine einheitliche Lehre von der Form, Bildung und Transformation organischer Körper zu schaffen. Er war es, der den Begriff Morphologie in den wissenschaftlichen Gebrauch einführte.

Pierre Curie hat zu Beginn unseres Jahrhunderts eine Reihe tiefgreifender Symmetrievorstellungen formuliert. Er argumentierte, dass man die Symmetrie eines Körpers nicht berücksichtigen könne, ohne die Symmetrie der Umgebung zu berücksichtigen.

Die Gesetze der "goldenen" Symmetrie manifestieren sich in den Energieübergängen von Elementarteilchen, in der Struktur einiger Chemische Komponenten, in planetarischen und Raumfahrtsysteme, in den Genstrukturen lebender Organismen. Diese Muster befinden sich, wie oben angegeben, in der Struktur einzelner Organe einer Person und des Körpers als Ganzes und manifestieren sich auch in Biorhythmen und der Funktion des Gehirns und der visuellen Wahrnehmung.

Goldener Schnitt und Symmetrie

Der Goldene Schnitt kann nicht ohne Verbindung zur Symmetrie separat betrachtet werden. Der große russische Kristallograph G.V. Wulff (1863...1925) betrachtete den Goldenen Schnitt als eine der Manifestationen der Symmetrie.

Die goldene Teilung ist keine Manifestation der Asymmetrie, sondern etwas Gegenteiliges zur Symmetrie, sondern nach modernen Vorstellungen eine asymmetrische Symmetrie. Die Wissenschaft der Symmetrie umfasst solche Konzepte wie statisch Und dynamische Symmetrie. Statische Symmetrie kennzeichnet Ruhe, Gleichgewicht und dynamische Symmetrie kennzeichnet Bewegung, Wachstum. So wird in der Natur die statische Symmetrie durch die Struktur von Kristallen repräsentiert und in der Kunst charakterisiert sie Frieden, Ausgeglichenheit und Unbeweglichkeit. Dynamische Symmetrie drückt Aktivität aus, charakterisiert Bewegung, Entwicklung, Rhythmus, sie zeugt von Leben. Statische Symmetrie ist durch gleiche Segmente, gleiche Größen gekennzeichnet. Die dynamische Symmetrie ist durch eine Zunahme oder Abnahme von Segmenten gekennzeichnet und wird in den Werten des goldenen Schnitts einer zunehmenden oder abnehmenden Reihe ausgedrückt.

Geheimnis goldener Schnitt versuchte zu verstehen Platon, Euklid, Pythagoras, Leonardo da Vinci, Kepler. Vor langer Zeit geschaffen, begeistert der Goldene Schnitt immer noch die Köpfe vieler Wissenschaftler.

Seit der Antike haben Menschen versucht zu verstehen, wie unsere Welt von der Natur organisiert und geordnet ist.

Pythagoras Er glaubte, dass die Welt nach strengen geometrischen Gesetzen organisiert ist und dass das Universum auf einer Zahl basiert. Es gibt Vermutungen, dass er sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern entlehnt hat. Dies wird durch die Proportionen der Cheopspyramide, Tempel, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun belegt.

Eine der Aufgaben der Alten war es, ein Segment in 2 gleiche Teile zu teilen, so dass die Länge des größeren Segments zur Länge des kleineren in der gleichen Weise in Beziehung stand wie die Länge des gesamten Segments zur Länge des Segments größere.

Oder man dreht dieses Verhältnis um und findet das Verhältnis vom kleineren zum größeren, als Ergebnis errechnet sich das Verhältnis vom größeren zum kleineren = 1,61803 ... und vom kleineren zum größeren = 0,61803 ...

IN Antikes Griechenland eine solche Teilung wurde als harmonisches Verhältnis bezeichnet. 1509, ein italienischer Mathematiker, Mönch Luca Pacioli ein ganzes Buch geschrieben Über göttliche Proportion».

2. Goldenes Dreieck und Pentagramm

« Gold„Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, das Verhältnis der Seite zur Basis beträgt 1,618 ( Anhang 1).

Goldener Schnitt ist auch im Pentagramm zu sehen - die Griechen nannten das Sternpolygon.

Das Fünfeck mit gezogenen Diagonalen, die einen fünfzackigen Stern bilden, wurde als Pentagramm bezeichnet, das seit der Antike als verehrte Figur galt.

Es war ein uraltes magisches Zeichen der Güte und der Bruderschaft der fünf Prinzipien, die der Welt zugrunde liegen – Feuer, Erde, Wasser, Holz und Metall. Ein Pentagramm ist ein regelmäßiges Fünfeck, auf dessen beiden Seiten gebaut wird gleichschenklige Dreiecke, gleich hoch.

Der fünfzackige Stern ist sehr schön, nicht umsonst platzieren ihn viele Länder auf ihren Flaggen und Wappen. Die perfekte Form dieser Figur erfreut das Auge.

Das Fünfeck ist buchstäblich aus Proportionen gewebt, und vor allem der goldene Schnitt ( Anwendung 2).

Ein solches Verhältnis findet sich in der Architektur und findet auch in der Konstruktion von Bildkompositionen in einem länglichen Querformat statt.

Die Abbildung zeigt die Position der Linie des zweiten goldenen Schnitts. Es befindet sich in der Mitte zwischen der goldenen Schnittlinie und der Mittellinie des Rechtecks.

goldenes Dreieck

Um Segmente des Goldenen Schnitts der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie verwenden Pentagramm.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Ihre Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die auf die Seite gelegte Basis teilt sie proportional zum goldenen Schnitt.

Wir ziehen eine gerade Linie AB. ab Punkt ABER Legen Sie darauf dreimal ein Segment O beliebiger Größe durch den resultierenden Punkt beiseite R Zeichnen Sie eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links des Punktes R Segmente beiseite legen ÜBER. Punkte erhalten D Und d1 mit einer geraden Linie verbinden ABER. Abschnitt dd1 auf die Linie bringen Anzeige1, einen Punkt bekommen VON. Sie teilte die Linie Anzeige1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Linien Anzeige1 Und dd1 verwendet, um ein "goldenes" Rechteck zu bauen.